암시 적 함수의 파생.
매개 변수로 미분 주어진 기능

이 기사에서는 자주 발견되는 두 가지 일반적인 작업을 고려할 것입니다. 제어 작업 고등 수학에서. 자료를 성공적으로 습득하려면 적어도 중간 수준에서 파생 상품을 찾을 수 있어야합니다. 두 가지 기본 레슨에서 거의 처음부터 파생물을 찾는 방법을 배울 수 있습니다. 복잡한 함수의 파생... 모든 것이 차별화 기술과 함께 정렬되면 가자.

암시 적 함수의 파생

즉, 암시 적 함수의 미분입니다. 암시 적 함수 란 무엇입니까? 먼저 한 변수의 함수에 대한 정의를 떠올려 보겠습니다.

단일 변수 기능 하나의 함수 값이 독립 변수의 각 값에 해당하는 규칙입니다.

변수가 호출됩니다. 독립 변수 또는 논의.
변수가 호출됩니다. 종속 변수 또는 함수 .

지금까지 정의 된 함수를 살펴 보았습니다. 명백한 형태. 무슨 뜻이에요? 구체적인 예를 사용하여 디 브리핑을 준비합시다.

기능 고려

왼쪽에는 외로운 "게임"이 있고 오른쪽에는- "x"만... 즉, 기능 명시 적으로 독립 변수로 표현됩니다.

다른 기능을 고려하십시오.

여기서 변수는 "혼합"됩니다. 게다가 어떤 식 으로든 불가능 "x"를 통해서만 "게임"을 표현합니다. 이 방법은 무엇입니까? 부호를 변경하여 한 부분에서 다른 부분으로 용어를 옮기고, 괄호 안에 넣거나, 비율 규칙에 따라 승수를 던집니다. 평등을 다시 작성하고 "게임"을 명시 적으로 표현하려고합니다. 몇 시간 동안 방정식을 비틀고 돌릴 수는 있지만 그렇게 할 수는 없습니다.

소개하겠습니다 :-예 암시 적 기능.

수학적 분석 과정에서 암묵적 기능이 있다 (항상 그런 것은 아님) 그래프가 있습니다 ( "일반"함수처럼). 암시 적 함수는 동일합니다. 있다 1 차 도함수, 2 차 도함수 등 그들이 말했듯이 성적 소수자의 모든 권리가 존중됩니다.

이 강의에서는 암시 적 함수의 미분을 찾는 방법을 배웁니다. 그렇게 어렵지 않습니다! 모든 미분 규칙, 기본 기능의 도함수 표가 유효합니다. 차이점은 하나의 특별한 순간에 있으며, 지금부터 살펴 보겠습니다.

예, 좋은 소식을 전하겠습니다. 아래에서 설명하는 작업은 3 개의 트랙 앞에 돌이없는 다소 어렵고 명확한 알고리즘에 따라 수행됩니다.

예 1

1) 첫 번째 단계에서는 두 부분을 모두 마무리합니다.

2) 우리는 미분의 선형성 규칙을 사용합니다 (수업의 처음 두 규칙 파생 상품을 찾는 방법? 솔루션 예):

3) 직접적인 차별화.
차별화하고 완벽하게 이해할 수있는 방법. 스트로크 아래에 "게임"이있는 곳에서는 어떻게해야합니까?

-그냥 터무니없고 함수의 미분은 미분과 같습니다.: .

차별화하는 방법
여기 우리는 복잡한 기능... 왜? 사인 아래에는 "게임"이라는 글자가 하나만있는 것 같습니다. 하지만 사실 "게임"이라는 글자는 하나뿐입니다. 그 자체가 기능입니다 (공과 시작 부분의 정의 참조). 따라서 사인은 외부 함수, 내부 함수입니다. 복잡한 기능의 미분 규칙을 사용합니다. :

상품은 일반적인 규칙에 따라 차별화됩니다. :

-또한 복잡한 함수입니다. "종소리와 휘파람이있는 게임"은 복잡한 기능입니다.:

솔루션 자체의 디자인은 다음과 같아야합니다.

괄호가 있으면 엽니 다.

4) 왼쪽에는 프라임이있는 "게임"이있는 용어를 수집합니다. 오른쪽으로-나머지는 모두 전송 :

5) 왼쪽에서 괄호에서 파생물을 가져옵니다.

6) 그리고 비율의 규칙에 따라, 우리는이 대괄호를 오른쪽의 분모에 떨어 뜨립니다.

미분을 찾았습니다. 끝난.

모든 함수를 암시 적으로 다시 작성할 수 있다는 점은 흥미 롭습니다. 예를 들어, 함수 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. ... 그리고 방금 고려한 알고리즘에 따라 구별하십시오. 사실, "암시 적 기능"과 "암시 적 기능"이라는 구는 하나의 의미 적 뉘앙스에서 다릅니다. "암시 적으로 정의 된 함수"라는 문구가 더 일반적이고 정확합니다. -이 기능은 묵시적으로 설정되어 있지만 여기서 "게임"을 표현하고 명시적인 형태로 기능을 표현할 수 있습니다. "암시 적 기능"이라는 문구는 "게임"을 표현할 수없는 "고전적인"암시 적 기능으로 이해됩니다.

두 번째 솔루션

주의! 두 번째 방법은 자신있게 찾을 수있을 때만 찾을 수 있습니다. 부분 파생 상품... 미적분 및 기초 초보자, 제발 이 단락을 읽고 건너 뛰지 마십시오그렇지 않으면 머리가 완전히 엉망이 될 것입니다.

두 번째 방법으로 암시 적 함수의 도함수를 찾아 보겠습니다.

모든 조건을 왼쪽으로 옮깁니다.

그리고 두 변수의 함수를 고려하십시오.

그러면 우리의 미분은 공식으로 찾을 수 있습니다.
편미분을 찾아 보겠습니다.

이런 식으로:

두 번째 솔루션을 사용하면 확인할 수 있습니다. 그러나 편도 함수는 나중에 습득하고 "한 변수의 함수 도함수"라는 주제를 연구하는 학생은 편도 함수를 알지 못하는 것 같기 때문에 작업의 깨끗한 버전으로 공식화하는 것은 바람직하지 않습니다.

몇 가지 예를 더 살펴 보겠습니다.

예 2

암시 적 함수의 도함수 찾기

두 부분 모두에 마무리 작업을합니다.

선형성 규칙을 사용합니다.

파생 상품 찾기 :

모든 대괄호 확장 :

우리는 모든 용어를 왼쪽에서, 나머지는 오른쪽으로 옮깁니다.

최종 답변 :

예제 3

암시 적 함수의 도함수 찾기

완벽한 솔루션 강의 끝에 샘플 디자인이 있습니다.

분화 후 분수가 나타나는 것은 드문 일이 아닙니다. 이러한 경우 분수를 제거해야합니다. 두 가지 예를 더 살펴 보겠습니다.

예 4

암시 적 함수의 도함수 찾기

두 부분을 스트로크 아래에 묶고 선형성 규칙을 사용합니다.

복잡한 함수의 미분 규칙을 사용하여 미분 그리고 개인의 차별화 규칙 :

괄호 확장 :

이제 분수를 제거해야합니다. 이것은 나중에 수행 할 수 있지만 즉시 수행하는 것이 더 합리적입니다. 분수의 분모는 다음과 같습니다. 곱하다 의 위에 . 자세히 설명하면 다음과 같습니다.

때때로 분화 후에 2-3 개의 분수가 나타납니다. 예를 들어 분수가 하나 더 있으면 연산을 반복해야합니다. 각 부분의 각 용어 의 위에

왼쪽에는 괄호를 뺀다.

최종 답변 :

예 5

암시 적 함수의 도함수 찾기

이것은에 대한 예입니다 독립적 인 결정... 그 안에있는 유일한 것은 분수를 제거하기 전에 먼저 분수 자체의 3 층 구조를 제거해야합니다. 튜토리얼의 끝에서 완전한 솔루션과 대답.

매개 변수로 주어진 함수의 미분

긴장하지 마십시오.이 단락에서는 모든 것이 매우 간단합니다. 매개 변수로 정의 된 함수에 대한 일반 공식을 작성할 수 있지만 명확하게하기 위해 즉시 작성하겠습니다. 구체적인 예... 매개 변수 형식에서 함수는 두 가지 방정식으로 제공됩니다. 종종 방정식은 중괄호가 아니라 순차적으로 작성됩니다.

변수를 매개 변수라고합니다. "마이너스 무한대"에서 "플러스 무한대"까지 값을 취할 수 있습니다. 예를 들어 값을 고려하여 두 방정식으로 대체하십시오. ... 또는 인간적으로 : "x가 4와 같으면 y는 1과 같습니다." 좌표 평면에 점을 표시 할 수 있으며이 점은 매개 변수 값에 해당합니다. 마찬가지로 "te"매개 변수 값에 대한 점을 찾을 수 있습니다. "정상"함수의 경우, 매개 변수로 정의 된 함수의 아메리카 인디언에게도 모든 권리가 존중됩니다. 그래프를 그리거나 파생 항목을 찾을 수 있습니다. 그건 그렇고, 매개 변수로 주어진 함수의 그래프를 그릴 필요가 있다면 내 프로그램을 사용할 수 있습니다.

가장 간단한 경우에는 함수를 명시 적으로 표현할 수 있습니다. 첫 번째 방정식의 매개 변수를 표현해 보겠습니다. -두 번째 방정식으로 대체하십시오. ... 결과는 일반적인 3 차 함수입니다.

더 "심각한"경우에는이 트릭이 작동하지 않습니다. 그러나 매개 변수 함수의 미분을 찾는 공식이 있기 때문에 중요하지 않습니다.

"테 변수에 대한 게임"의 파생어를 찾으십시오.

물론 모든 미분 규칙과 파생 테이블은 문자에도 유효하므로 파생 상품을 찾는 과정에는 참신함이 없습니다... 표의 모든 x를 문자 te로 정신적으로 바꾸십시오.

"te 변수에 대한 x"의 도함수를 찾으십시오.

이제 발견 된 파생물을 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다.

끝난. 함수 자체와 마찬가지로 미분도 매개 변수에 따라 다릅니다.

지정에 관해서는 공식에서 쓰는 대신 아래 첨자없이 간단히 쓸 수 있습니다. 이것은 "x에 의한" "보통"파생물이기 때문입니다. 그러나 문헌에는 항상 변형이 있으므로 표준에서 벗어나지 않을 것입니다.

예제 6

우리는 공식을 사용합니다

에 이 경우:

이런 식으로:

파라 메트릭 함수의 도함수를 찾는 특징은 각 단계에서 가능한 한 결과를 단순화하는 것이 좋습니다.... 따라서 고려 된 예에서 발견했을 때 루트 아래의 괄호를 확장했습니다 (이렇게 할 수는 없었지만). 공식으로 대체되면 많은 것들이 잘 줄어들 가능성이 큽니다. 물론 답이 서투른 예가 있습니다.

예제 7

매개 변수로 정의 된 함수의 미분 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다.

기사 미분의 가장 간단한 일반적인 문제 함수의 2 차 도함수를 찾는 데 필요한 예를 고려했습니다. 매개 변수로 정의 된 함수의 경우 2 차 도함수를 찾을 수도 있으며 다음 공식으로 구할 수 있습니다. 2 차 도함수를 찾으려면 먼저 1 차 도함수를 찾아야합니다.

예 8

매개 변수로 주어진 함수의 1 차 및 2 차 도함수 찾기

먼저 1 차 도함수를 찾아 봅시다.
우리는 공식을 사용합니다

이 경우 :

발견 된 파생물을 공식으로 대체합니다. 단순화를 위해 삼각 공식을 사용합니다.

변수 x, y가 세 번째 변수 t (파라미터라고 함)의 함수 인 평면의 선 정의를 고려하십시오.

각 값에 대해 티 특정 간격에서 특정 값에 해당 엑스 과 y 및따라서 평면의 특정 지점 M (x, y)입니다. 언제 티 지정된 간격의 모든 값을 실행 한 다음 포인트 미디엄 (x, y) 일부 행을 설명합니다. 엘... 방정식 (2.2)은 선의 매개 변수 방정식이라고합니다. 엘.

함수 x \u003d φ (t)에 역 t \u003d Ф (x)가있는 경우이 식을 방정식 y \u003d g (t)에 대입하면 y \u003d g (Ф (x))를 얻습니다. 와이의 기능으로 엑스... 이 경우 방정식 (2.2)이 함수를 정의한다고 말합니다. 와이 파라 메트릭하게.

예 1. 하자 M (x, y) -반경 원의 임의의 점 아르 자형 원점을 중심으로합니다. 하자 티 -축 사이의 각도 소 및 반경 OM (그림 2.3 참조). 그때 x, y 통해 표현 티:

방정식 (2.3)은 원의 파라 메트릭 방정식입니다. 방정식 (2.3)에서 매개 변수 t를 제외합니다. 이를 위해 각 방정식을 제곱하고 더하면 다음을 얻습니다. x 2 + y 2 \u003d R 2 (cos 2 t + sin 2 t) 또는 x 2 + y 2 \u003d R 2-데카르트 좌표계의 원 방정식. 두 가지 함수를 정의합니다. 이러한 함수 각각은 파라 메트릭 방정식 (2.3)에 의해 제공되지만 첫 번째 함수와 두 번째 함수에 대해 제공됩니다.

예 2... 파라 메트릭 방정식

반축으로 타원 정의 a, b (그림 2.4). 방정식에서 매개 변수 제거 티, 우리는 타원의 정규 방정식을 얻습니다.

예제 3... 사이클로이드는 원이 직선을 따라 미끄러지지 않고 구르는 경우 원 위에 놓인 점으로 설명되는 선입니다 (그림 2.5). 사이클로이드의 파라 메트릭 방정식을 소개하겠습니다. 롤링 원의 반경을 ㅏ, 점 미디엄원점과 일치하는 운동의 시작 부분에서 사이클로이드를 설명합니다.

좌표 결정 엑스, y 포인트 미디엄 원이 각도를 돌린 후 티
(그림 2.5), t \u003d РMCB... 호 길이 MB 세그먼트의 길이와 동일 OB, 원이 미끄러지지 않고 구르기 때문에

OB \u003d at, AB \u003d MD \u003d asint, CD \u003d acost, x \u003d OB-AB \u003d at-asint \u003d a (t-sint),

y \u003d AM \u003d CB-CD \u003d a-acost \u003d a (1-비용).

따라서 사이클로이드의 매개 변수 방정식이 얻어집니다.

매개 변수를 변경할 때 티 0에서 2π 원은 한 바퀴 회전하고 점은 미디엄 사이클로이드의 한 호를 설명합니다. 방정식 (2.5) 정의 와이 의 기능으로 엑스... 비록 기능 x \u003d a (t-sint) 역함수를 가지지 만 기본 함수로 표현되지 않으므로 함수는 y \u003d f (x) 기본 기능으로 표현되지 않습니다.

방정식 (2.2)에 의해 매개 변수로 정의 된 함수의 미분을 고려하십시오. t의 일부 구간에서 x \u003d φ (t) 함수는 역함수를가집니다. t \u003d Ф (x)그때 y \u003d g (Ф (x))... 하자 x \u003d φ (t), y \u003d g (t) 파생 상품이 있고 x "t ≠ 0... 복잡한 기능의 미분 규칙에 따라 y "x \u003d y"t × t "x. 따라서 역함수의 미분 규칙을 기반으로 :

결과 공식 (2.6)을 통해 매개 변수로 주어진 함수에 대한 미분을 찾을 수 있습니다.

예 4. 함수를 보자 와이에 따라 엑스, 매개 변수로 제공 :

결정. .
예 5. 슬로프 찾기 케이 매개 변수 값에 해당하는 점 M 0에서 사이클로이드에 접합니다.
결정. 사이클로이드의 방정식에서 : y "t \u003d asint, x"t \u003d a (1-비용),그래서

점에서 접선의 경사 남 0 값과 같음 t 0 \u003d π / 4 :

다른 기능

지점에서 기능하자 x 0 파생 상품이 있습니다. 정의에 따라 :
따라서 한계 (섹션 1.8)의 속성에 따라 ㅏ -무한히 작은 Δx → 0... 여기에서

Δy \u003d f "(x0) Δx + α × Δx. (2.7)

Δx → 0이므로 등식 (2.7)의 두 번째 항은 무한소입니다. 고차, 비교 따라서 Δy 및 f "(x 0) × Δx는 동등하고 무한소입니다 (f"(x 0) ≠ 0).

따라서 함수 Δy의 증분은 두 개의 항으로 구성되며, 그 중 첫 번째 f "(x 0) × Δx는 주요 부분 증분 Δy, Δx에 대한 선형 (f "(x 0) ≠ 0).

미분 점 x 0에서 함수 f (x)는 함수 증분의 주요 부분이라고하며 다음과 같이 표시됩니다. dy 또는 df (x 0)... 그 후,

df (x0) \u003d f "(x0) × Δx. (2.8)

예 1.함수의 미분 찾기 dy함수 y \u003d x 2에 대한 함수 Δy의 증분 :
1) 임의 엑스 및 Δ 엑스; 2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1.

결정

1) Δy \u003d (x + Δx) 2-x 2 \u003d x 2 + 2xΔx + (Δx) 2-x 2 \u003d 2xΔx + (Δx) 2, dy \u003d 2xΔx.

2) x 0 \u003d 20, Δx \u003d 0.1이면 Δy \u003d 40 × 0.1 + (0.1) 2 \u003d 4.01; dy \u003d 40 × 0.1 \u003d 4.

평등 (2.7)을 다음과 같은 형식으로 작성합니다.

Δy \u003d dy + a × Δx. (2.9)

증분 Δy는 미분과 다릅니다. dy 따라서 Δx와 비교하여 무한한 고차에 의해 대략적인 계산에서 Δx가 충분히 작 으면 근사 등식 Δy ≈ dy가 사용됩니다.

Δy \u003d f (x 0 + Δx)-f (x 0)를 고려하여 대략적인 공식을 얻습니다.

f (x 0 + Δx) ≈ f (x 0) + dy. (2.10)

예 2... 대략 계산하십시오.

결정. 중히 여기다:

공식 (2.10)을 사용하여 다음을 얻습니다.

따라서 ≈ 2.025.

미분의 기하학적 의미를 고려하십시오. df (x 0) (그림 2.6).

점 M 0 (x0, f (x 0))에서 함수 y \u003d f (x)의 그래프에 접선을 그리고 φ를 접선 KM0과 Ox 축 사이의 각도로 설정 한 다음 f "(x 0) \u003d tgφ. ΔM0NP에서 :
PN \u003d tgφ × Δx \u003d f "(x 0) × Δx \u003d df (x 0). 그러나 PN은 x가 x 0에서 x 0 + Δx로 변경 될 때 접선의 세로 좌표의 증분입니다.

따라서 점 x 0에서 함수 f (x)의 미분은 접선의 세로 좌표 증분과 같습니다.

함수의 미분 찾기
y \u003d x. (x) "\u003d 1이므로 dx \u003d 1 × Δx \u003d Δx입니다. 독립 변수 x의 미분은 증분, 즉 dx \u003d Δx와 같다고 가정합니다.

x가 임의의 숫자이면 등식 (2.8)에서 df (x) \u003d f "(x) dx를 얻습니다. .
따라서 함수 y \u003d f (x)의 미분은 인수의 미분에 대한 미분의 비율과 같습니다.

함수 미분의 속성을 고려하십시오.

u (x), v (x)가 미분 가능한 함수이면 다음 공식이 유효합니다.

이러한 공식을 증명하기 위해 합계, 곱 및 몫 함수에 대한 미분 공식이 사용됩니다. 예를 들어 공식 (2.12)을 증명해 보겠습니다.

d (u × v) \u003d (u × v) "Δx \u003d (u × v"+ u "× v) Δx \u003d u × v"Δx + u "Δx × v \u003d u × dv + v × du.

복합 함수의 미분을 고려하십시오 : y \u003d f (x), x \u003d φ (t), 즉. y \u003d f (φ (t)).

그러면 dy \u003d y "t dt,하지만 y"t \u003d y "x × x"t, 그래서 dy \u003d y "x x"t dt. 고려하면,

x "t \u003d dx, 우리는 dy \u003d y"x dx \u003d f "(x) dx를 얻습니다.

따라서 x \u003d φ (t) 인 복합 함수 y \u003d f (x)의 미분은 x가 독립 변수 인 경우와 동일한 dy \u003d f "(x) dx 형식을 갖습니다.이 속성은 호출됩니다. 형태 불변, 미분 과.

긴장하지 마십시오.이 단락에서는 모든 것이 매우 간단합니다. 매개 변수로 정의 된 함수에 대한 일반 공식을 작성할 수 있지만 명확하게하기 위해 특정 예를 즉시 작성하겠습니다. 매개 변수 형식에서 함수는 두 가지 방정식으로 제공됩니다. 종종 방정식은 중괄호가 아니라 순차적으로 작성됩니다.

변수를 매개 변수라고하며 "무한대 마이너스"에서 "무한대 플러스"까지 값을 가질 수 있습니다. 예를 들어 값을 고려하여 두 방정식으로 대체하십시오. ... 또는 인간적으로 : "x가 4와 같으면 y는 1과 같습니다." 좌표 평면에 점을 표시 할 수 있으며이 점은 매개 변수 값에 해당합니다. 마찬가지로 "te"매개 변수의 값에 대한 점을 찾을 수 있습니다. "정상"함수에 관해서는 매개 변수가 주어진 함수에 대한 아메리칸 인디언에게도 모든 권리가 존중됩니다. 그래프를 플로팅하고 파생 항목을 찾을 수 있습니다. 그건 그렇고, 매개 변수로 지정된 함수의 그래프를 그릴 필요가 있다면 페이지에서 내 기하학적 프로그램을 다운로드하십시오. 수학 공식 및 테이블.

더 "심각한"경우에는이 트릭이 작동하지 않습니다. 그러나 매개 변수 함수의 미분을 찾는 공식이 있기 때문에 중요하지 않습니다.

"테 변수에 대한 게임"의 파생어를 찾으십시오.

"te 변수에 대한 x"의 도함수를 찾으십시오.

이제 발견 된 파생물을 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다.

끝난. 함수 자체와 마찬가지로 미분도 매개 변수에 따라 다릅니다.

예제 6

우리는 공식을 사용합니다

이 경우 :

이런 식으로:

예제 7

매개 변수로 정의 된 함수의 미분 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다.

기사 가장 간단한 일반적인 작업 미분 함수의 2 차 도함수를 찾는 데 필요한 예를 고려했습니다. 매개 변수로 정의 된 함수의 경우 2 차 도함수를 찾을 수도 있으며 다음 공식으로 구할 수 있습니다. 2 차 도함수를 찾으려면 먼저 1 차 도함수를 찾아야합니다.

예 8

매개 변수로 주어진 함수의 1 차 및 2 차 도함수 찾기

먼저 1 차 도함수를 찾아 봅시다.
우리는 공식을 사용합니다

이 경우 :

파생 상품을 공식으로 대체합니다. 단순화를 위해 삼각 공식을 사용합니다.

나는 파라 메트릭 함수의 도함수를 찾는 문제에서 단순화를 위해 종종 삼각 공식 ... 그것들을 기억하거나 가까이에 두십시오. 각 중간 결과와 답변을 단순화 할 수있는 기회를 놓치지 마십시오. 무엇 때문에? 이제 우리는 도함수를 취해야합니다. 이것은 도함수를 찾는 것보다 분명히 낫습니다.

2 차 미분을 찾아 봅시다.
공식을 사용합니다.

공식을 살펴 보겠습니다. 분모는 이전 단계에서 이미 발견되었습니다. 변수 "te"에 대한 1 차 도함수의 미분 인 분자를 찾는 것이 남아 있습니다.

공식을 사용하는 것은 남아 있습니다.

자료를 통합하기 위해 독립 솔루션에 대한 몇 가지 예를 더 제공합니다.

예제 9

예 10

매개 변수로 주어진 함수 찾기 및

성공을 기원합니다!

이 강의가 유용했으면 좋겠습니다. 이제 암시 적으로 지정된 함수에서 파생 된 파생 항목을 쉽게 찾을 수 있습니다. 파라 메트릭 함수

솔루션 및 답변 :

예 3 : 솔루션 :

이런 식으로:

이 기능은 여러 가지 방법으로 설정할 수 있습니다. 정의하는 데 사용되는 규칙에 따라 다릅니다. 함수 설정의 명시적인 형식은 y \u003d f (x)입니다. 설명이 불가능하거나 불편할 때가 있습니다. 구간 (a; b) 동안 매개 변수 t에 대해 계산해야하는 쌍 세트 (x; y)가있는 경우. 시스템을 풀려면 x \u003d 3 cos t y \u003d 3 sin t with 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

파라 메트릭 함수 정의

따라서 우리는 x \u003d φ (t), y \u003d ψ (t)가 t ∈ (a; b)에 대해 정의되고 x \u003d φ (t)에 대해 역함수 t \u003d Θ (x)를 갖게됩니다. 문제의 y \u003d ψ (Θ (x)) 형식의 함수의 매개 변수 방정식을 지정합니다.

함수를 조사하기 위해 x에 대한 미분을 검색해야하는 경우가 있습니다. y x "\u003d ψ"(t) φ "(t) 형식의 매개 변수로 정의 된 함수의 도함수에 대한 공식을 고려하십시오. 2 차 및 n 차의 도함수에 대해 이야기 해 봅시다.

매개 변수로 주어진 함수의 도함수에 대한 공식의 유도

x \u003d φ (t), y \u003d ψ (t), 값 t ∈ a에 대해 정의되고 미분 할 수 있습니다. b, 여기서 x t "\u003d φ"(t) ≠ 0 및 x \u003d φ (t)이면 t \u003d Θ (x) 형식의 역함수가 있습니다.

우선, 파라 메트릭에서 명시 적 할당으로 이동해야합니다. 이렇게하려면 인수 x가있는 y \u003d ψ (t) \u003d ψ (Θ (x)) 형식의 복소 함수를 얻어야합니다.

복소 함수의 미분을 구하는 규칙에 따라 y "x \u003d ψ Θ (x) \u003d ψ"Θ x · Θ "x를 얻습니다.

이것은 t \u003d Θ (x) 및 x \u003d φ (t)가 역함수 Θ "(x) \u003d 1 φ"(t), y "x \u003d ψ"Θ (x) Θ의 공식의 역함수임을 보여줍니다. "(x) \u003d ψ"(t) φ "(t).

미분 규칙에 따라 미분 표를 사용하여 몇 가지 예의 솔루션을 고려해 보겠습니다.

예 1

함수 x \u003d t 2 + 1 y \u003d t에 대한 미분을 찾으십시오.

결정

가설에 의해 우리는 φ (t) \u003d t 2 + 1, ψ (t) \u003d t, 따라서 φ "(t) \u003d t 2 + 1", ψ "(t) \u003d t"\u003d 1을 얻습니다. 파생 된 공식을 사용하고 다음과 같은 형식으로 답을 작성해야합니다.

y "x \u003d ψ"(t) φ "(t) \u003d 1 2 t

대답: y x "\u003d 1 2 t x \u003d t 2 + 1.

함수 h의 도함수로 작업 할 때 매개 변수 t는 동일한 매개 변수 t를 통해 인수 x의 표현을 지정하여 이러한 값이 해당하는 인수와 함께 매개 변수로 지정된 함수와 도함수의 값 사이의 연결을 잃지 않도록합니다.

매개 변수로 주어진 함수의 2 차 도함수를 결정하려면 결과 함수에 대한 1 차 도함수 공식을 사용해야합니다.

y ""x \u003d ψ "(t) φ"(t) "φ"(t) \u003d ψ ""(t) φ "(t)-ψ"(t) φ ""(t) φ "( t) 2 φ "(t) \u003d ψ" "(t) φ"(t)-ψ "(t) φ" "(t) φ"(t) 3.

예 2

주어진 함수 x \u003d cos (2 t) y \u003d t 2의 2 차 및 2 차 미분을 찾습니다.

결정

가설에 의해 φ (t) \u003d cos (2 t), ψ (t) \u003d t 2를 얻습니다.

그런 다음 변형 후

φ "(t) \u003d cos (2 t)"\u003d-sin (2 t) 2 t "\u003d-2 sin (2 t) ψ (t) \u003d t 2"\u003d 2 t

따라서 y x "\u003d ψ"(t) φ "(t) \u003d 2 t-2 sin 2 t \u003d-t sin (2 t)가됩니다.

차수 1의 미분의 형태는 x \u003d cos (2 t) y x "\u003d-t sin (2 t)입니다.

이를 해결하려면 2 차 미분 공식을 적용해야합니다. 우리는 형식의 표현을 얻습니다.

yx ""\u003d-t sin (2 t) φ "t \u003d-t"sin (2 t)-t (sin (2 t)) "sin 2 (2 t)-2 sin (2 t) \u003d \u003d 1 sin (2 t)-t cos (2 t) (2 t) "2 sin 3 (2 t) \u003d sin (2 t)-2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

그런 다음 파라 메트릭 함수를 사용하여 2 차 미분을 지정합니다.

x \u003d cos (2t) y x ""\u003d sin (2t)-2t cos (2t) 2 sin 3 (2t)

비슷한 해결책은 다른 방법으로 해결할 수 있습니다. 그때

φ "t \u003d (cos (2 t))"\u003d-sin (2 t) · 2 t "\u003d-2 sin (2 t) ⇒ φ" "t \u003d-2 sin (2 t)"\u003d-2 · sin (2 t) "\u003d-2 cos (2 t) · (2 \u200b\u200bt)"\u003d-4 cos (2 t) ψ "(t) \u003d (t 2)"\u003d 2 t ⇒ ψ ""(t) \u003d ( 2 t) "\u003d 2

이것으로부터 우리는

y ""x \u003d ψ ""(t) φ "(t)-ψ"(t) φ ""(t) φ "(t) 3 \u003d 2 ·-2 sin (2 t)-2 t · (-4 cos (2 t))-2 sin 2 t 3 \u003d \u003d sin (2 t)-2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

대답: y ""x \u003d sin (2 t)-2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

매개 변수로 지정된 함수를 사용하여 더 높은 차수의 미분을 찾는 것도 비슷한 방식으로 수행됩니다.

텍스트에 오류가있는 경우 해당 항목을 선택하고 Ctrl + Enter를 누르십시오.

암시 적 함수의 파생. 매개 변수로 미분 주어진 기능