삼각 방정식은 가장 쉬운 주제가 아닙니다. 고통스럽게도 그들은 다양합니다.) 예를 들면 다음과 같습니다.
죄 2 x + cos3x = ctg5x
죄(5x + π / 4) = ctg(2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
등...
그러나 이러한(그리고 다른 모든) 삼각 괴물에는 두 가지 공통적이고 의무적인 특성이 있습니다. 첫 번째 - 당신은 믿지 않을 것입니다 - 방정식에 삼각 함수가 있습니다.) 두 번째: x가 있는 모든 표현식이 발견됩니다. 이러한 동일한 기능 내부.그리고 거기에만! x가 아무 곳에나 나타나면 밖의,예를 들어, sin2x + 3x = 3,이것은 이미 혼합형 방정식이 될 것입니다. 이러한 방정식에는 개별적인 접근이 필요합니다. 우리는 여기에서 그것들을 고려하지 않을 것입니다.
우리는 이 수업에서 악의 방정식도 풀지 않을 것입니다.) 여기서 우리는 다룰 것입니다. 가장 간단한 삼각 방정식.왜요? 예, 솔루션 때문에 어느삼각 방정식에는 두 단계가 있습니다. 첫 번째 단계에서 사악한 방정식은 다양한 변형을 통해 단순한 것으로 축소됩니다. 두 번째로 이 가장 간단한 방정식이 풀립니다. 다른 방법은 없습니다.
그래서 2단계에서 문제가 생긴다면 1단계는 별로 의미가 없습니다.)
기본 삼각 방정식은 어떻게 생겼습니까?
싱크 = 에이
cosx = 에이
tgx = 에이
ctgx = 에이
여기 ㅏ 임의의 숫자를 나타냅니다. 누구나.
그건 그렇고, 함수 내부에는 순수한 x가 아니라 다음과 같은 일종의 표현식이 있을 수 있습니다.
코사인 (3x + π / 3) = 1/2
등. 이것은 삶을 복잡하게 만들지 만 삼각 방정식을 푸는 방법에는 영향을 미치지 않습니다.
삼각 방정식을 푸는 방법?
삼각 방정식은 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 첫 번째 방법: 논리 및 삼각 원 사용. 우리는 여기에서 이 경로를 고려할 것입니다. 메모리와 공식을 사용하는 두 번째 방법은 다음 수업에서 설명합니다.
첫 번째 방법은 명확하고 신뢰할 수 있으며 잊기 어렵습니다.) 삼각 방정식, 부등식 및 모든 종류의 까다로운 비표준 예제를 푸는 데 좋습니다. 논리는 기억보다 강하다!)
삼각원을 사용하여 방정식을 풉니다.
우리는 기초 논리와 삼각 원을 사용하는 능력을 포함합니다. 방법을 몰라!? 하지만... 삼각법은 어렵다...) 하지만 상관없습니다. "삼각원 ......이란 무엇입니까?"수업을 살펴보십시오. 및 "삼각원에서 각도 계산". 모든 것이 간단합니다. 튜토리얼과 달리 ...)
아, 아세요!? 그리고 "삼각원을 이용한 실제 작업"까지 마스터했습니다!? 축하합니다. 이 주제는 당신에게 가깝고 이해하기 쉬울 것입니다.) 특히 기쁜 점은 삼각 원이 어떤 방정식을 푸는지 상관하지 않는다는 것입니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 - 모든 것이 그를 위해 하나입니다. 해결 원칙은 단 하나입니다.
그래서 우리는 기본 삼각 방정식을 취합니다. 적어도 이것:
cosx = 0.5
X를 찾아야 합니다. 인간적인 측면에서 필요한 코사인이 0.5인 각도(x)를 찾습니다.
우리는 이전에 원을 어떻게 사용했습니까? 우리는 그것에 모서리를 그렸습니다. 도 또는 라디안. 그리고 즉시 본 이 각도의 삼각 함수. 이제 반대로 해보자. 원에 0.5와 같은 코사인을 그리고 즉시 보다 주입. 남은 것은 답을 적는 것뿐입니다.) 네, 네!
원을 그리고 0.5의 코사인을 표시하십시오. 물론 코사인 축에서. 이와 같이:
이제 이 코사인이 주는 각도를 그려봅시다. 그림 위로 마우스 커서를 이동하고(또는 태블릿에서 그림을 탭함) 보다바로 이 코너 엑스.
코사인 0.5는 어떤 각도입니까?
x = 파이 / 3
코사인 60 °= 코스( 파이 / 3) = 0,5
누군가는 회의적으로 웃을 것입니다. 예 ... 그들은 모든 것이 이미 분명했을 때 원의 가치가 있었는지 말합니다 ... 물론 웃을 수 있습니다 ...) 그러나 사실 이것은 잘못된 대답입니다. 또는 오히려 부족합니다. 원의 감정가는 여기에 여전히 0.5와 같은 코사인을 제공하는 많은 각도가 있다는 것을 이해합니다.
OA의 가동측을 돌리면 풀 턴, 점 A는 원래 위치로 돌아갑니다. 0.5와 같은 동일한 코사인으로. 저것들. 각도가 변경됩니다 360 ° 또는 2π 라디안, 코사인은 아닙니다.새로운 각도 60 ° + 360 ° = 420 °도 우리 방정식의 해가 될 것입니다. 왜냐하면
이러한 완전한 회전을 무한대로 감을 수 있습니다. 그리고 이 모든 새로운 각도는 삼각 방정식의 해가 될 것입니다. 그리고 그들 모두는 어떻게든 응답으로 기록되어야 합니다. 모든 것.그렇지 않으면 결정이 계산되지 않습니다. 예 ...)
수학은 이것을 간단하고 우아한 방식으로 수행하는 방법을 알고 있습니다. 하나의 짧은 대답으로 쓰십시오. 끝없는 세트솔루션. 이것은 우리의 방정식에 대한 모습입니다:
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
해독하겠습니다. 그래도 쓰기 의미있게엉뚱한 글자를 바보같이 그리는 것보다 재밌지?)
파이 / 3 - 이것은 우리와 같은 코너입니다. 보았다원과 식별코사인 테이블에 따르면
2π 라디안 단위의 완전한 혁명입니다.
N 는 전체 수입니다. 전체혁명. 그것은 분명하다 N 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... 등이 될 수 있습니다. 짧은 메모로 표시된 대로:
n ∈ Z
N 속하다( ∈ ) 정수 집합( 지 ). 그건 그렇고, 편지 대신 N 문자를 잘 사용할 수 있습니다 k, m, t 등.
이 항목은 전체를 가져갈 수 있음을 의미합니다. N ... -3 이상, 0 이상, +55 이상. 원하는 것. 그 숫자를 답에 대입하면 가혹한 방정식을 확실히 풀 수 있는 특정 각도를 얻게 됩니다.)
또는 다시 말해서, x = 파이 / 3 무한집합의 유일한 근이다. 다른 모든 근을 얻으려면 π / 3( N ) 라디안. 저것들. 2π n 라디안
모든 것? 아니. 나는 일부러 즐거움을 늘린다. 더 잘 기억하기 위해.) 우리는 방정식에 대한 답의 일부만 받았습니다. 솔루션의 첫 번째 부분을 다음과 같이 작성합니다.
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - 하나의 뿌리가 아니라 짧은 형식으로 작성된 전체 일련의 뿌리입니다.
그러나 0.5의 코사인을 제공하는 각도도 있습니다!
답을 적는 데 사용되었던 우리의 그림으로 돌아가 봅시다. 저기 그녀가있다:
그림 위에 마우스를 올려놓고 보다또 다른 코너 또한 0.5의 코사인을 제공합니다.당신은 그것이 무엇과 같다고 생각합니까? 삼각형은 동일합니다 ... 예! 모서리와 동일합니다. 엑스 , 음의 방향으로만 다시 넣으십시오. 여기가 코너 -엑스. 그러나 우리는 이미 x를 알아 냈습니다. 파이 / 3 또는 60 °. 따라서 다음과 같이 안전하게 작성할 수 있습니다.
x 2 = - π / 3
물론 전체 회전을 통해 얻은 모든 각도를 추가합니다.
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
이제 그게 다야.) 삼각 원에서 우리는 보았다(물론 이해하는 사람)) 모두 0.5와 같은 코사인을 제공하는 각도. 그리고 그들은 이 각도를 짧은 수학적 형태로 썼습니다. 대답은 두 개의 끝없는 일련의 뿌리를 생성했습니다.
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
이것이 정답입니다.
희망, 삼각 방정식 풀기의 일반 원리원을 사용하는 것은 분명합니다. 주어진 방정식에서 코사인 (사인, 탄젠트, 코탄젠트)을 원에 표시하고 해당 각도를 그리고 답을 적습니다.물론 우리가 어떤 코너인지 파악해야합니다. 보았다원에. 때로는 그렇게 명확하지 않습니다. 글쎄요, 여기서 논리가 필요하다고 말씀드린 것입니다.)
예를 들어 다른 삼각 방정식을 살펴보겠습니다.
숫자 0.5가 방정식에서 가능한 유일한 숫자가 아니라는 점에 유의하십시오!) 근과 분수보다 쓰는 것이 더 편리할 뿐입니다.
우리는 일반 원칙에 따라 일합니다. 원을 그리고 표시하십시오(물론 사인 축에!) 0.5. 이 사인에 해당하는 모든 각도를 한 번에 그립니다. 다음 그림을 얻자.
먼저 각도 다루기 엑스 1분기에. 우리는 사인 테이블을 기억하고 이 각도의 값을 결정합니다. 간단한 문제입니다.
x = 파이 / 6
우리는 전체 회전을 기억하고 깨끗한 양심으로 첫 번째 일련의 답변을 기록합니다.
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
절반 완료. 하지만 이제 우리는 정의해야 합니다. 두 번째 코너 ...이것은 코사인보다 교활합니다. 예 ... 그러나 논리가 우리를 구할 것입니다! 두 번째 각도를 결정하는 방법 x를 통해? 네 쉽게! 그림의 삼각형은 동일하며 빨간색 모서리는 엑스 각도와 동일 엑스 ... 음의 방향으로 각도 π에서 측정됩니다. 따라서 빨간색입니다.) 그리고 답을 얻으려면 양의 OX 반축에서 올바르게 측정된 각도가 필요합니다. 0도 각도에서.
커서를 그림 위로 가져가면 모든 것을 볼 수 있습니다. 그림을 복잡하게 만들지 않도록 첫 번째 모서리를 제거했습니다. 관심 있는 각도(녹색으로 표시)는 다음과 같습니다.
파이 - x
X 우리는 그것을 알고 파이 / 6 ... 따라서 두 번째 각도는 다음과 같습니다.
π - π / 6 = 5π / 6
우리는 다시 전체 혁명의 추가를 기억하고 두 번째 일련의 응답을 기록합니다.
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
그게 다야. 완전한 대답은 두 가지 일련의 루트로 구성됩니다.
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
탄젠트와 코탄젠트가 있는 방정식은 삼각 방정식을 풀 때 동일한 일반 원리를 사용하여 쉽게 풀 수 있습니다. 물론 삼각원에 접선과 코탄젠트를 그리는 방법을 알고 있다면.
위의 예에서는 사인 및 코사인 값 0.5 테이블을 사용했습니다. 저것들. 학생이 알고 있는 의미 중 하나 해야하다.이제 역량을 확장해 보겠습니다. 다른 모든 값.결정, 결정!)
따라서 이 삼각 방정식을 풀어야 한다고 가정해 보겠습니다.
짧은 테이블에는 그러한 코사인 값이 없습니다. 우리는 냉혹한 이 끔찍한 사실을 무시합니다. 원을 그리고 코사인 축에 2/3를 표시하고 해당 각도를 그립니다. 우리는 그런 그림을 얻습니다.
먼저 1/4 분기의 각도로 알아보도록 하겠습니다. 내가 X가 무엇인지 알았다면 그들은 즉시 답을 썼을 것입니다! 우리는 모른다 ... 실패!? 침착 한! 수학은 자신의 문제를 포기하지 않습니다! 그녀는 이 경우에 대해 arccosine을 생각해 냈습니다. 몰라요? 헛되이. 알아보십시오. 생각보다 훨씬 쉽습니다. 이 링크 아래에는 "역삼각 함수"에 대한 까다로운 주문이 하나도 없습니다... 이것은 이 주제에서 불필요합니다.
당신이 알고 있다면 "X는 각도이고 코사인은 2/3입니다"라고 스스로에게 말하는 것으로 충분합니다. 그리고 바로 아크코사인의 정의에 따라 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
우리는 추가 회전을 기억하고 삼각 방정식의 첫 번째 일련의 근을 침착하게 기록합니다.
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
두 번째 루트 시리즈도 두 번째 각도에 대해 거의 자동으로 기록됩니다. 모든 것이 동일하며 x(arccos 2/3)만 마이너스가 됩니다.
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
그리고 그게 다야! 이것이 정답입니다. 테이블 값보다 훨씬 쉽습니다. 아무것도 기억할 필요가 없습니다.) 그건 그렇고, 가장 세심한 사람은 역 코사인을 통한 솔루션이있는이 그림을 알 수 있습니다. 본질적으로 cosx = 0.5 방정식의 그림과 다르지 않습니다.
정확히! 일반 원칙은 일반 원칙입니다! 거의 똑같은 두 장의 그림을 특별히 그렸습니다. 원은 우리에게 각도를 보여줍니다 엑스 그것의 코사인에 의해. 테이블은 코사인인지 아닌지 - 원은 모릅니다. 이 각도, π / 3 또는 역 코사인의 종류는 무엇입니까? 그것은 우리에게 달려 있습니다.
사인과 같은 노래. 예를 들어:
원을 다시 그리고 사인을 1/3로 표시하고 모서리를 그립니다. 그림은 다음과 같습니다.
그리고 다시 그림은 방정식과 거의 동일합니다. 싱크 = 0.5.다시 말하지만, 1쿼터의 코너에서 시작합니다. 사인이 1/3이면 x는 무엇입니까? 괜찮아요!
따라서 루트의 첫 번째 팩이 준비되었습니다.
x 1 = 아크신 1/3 + 2π n, n ∈ Z
우리는 두 번째 코너를 다룹니다. 테이블 값이 0.5인 예에서는 다음과 같습니다.
파이 - x
여기에서는 정확히 동일할 것입니다! x만 다릅니다. arcsin 1/3입니다. 그래서 뭐!? 두 번째 루트 팩을 안전하게 기록할 수 있습니다.
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
이것은 절대적으로 정답입니다. 썩 낯익은 것 같지는 않지만. 그러나 이해할 수 있기를 바랍니다.)
이것이 원을 사용하여 삼각 방정식을 푸는 방법입니다. 이 경로는 명확하고 이해할 수 있습니다. 삼각 부등식에서 주어진 간격으로 근을 선택하여 삼각 방정식을 저장하는 사람은 바로 그 사람입니다. 일반적으로 거의 항상 원으로 해결됩니다. 요컨대, 표준 작업보다 약간 더 어려운 작업에서.
지식을 실전에 적용해 볼까요?)
삼각 방정식 풀기:
처음에는 이 강의부터 더 간단합니다.
이제 더 어렵습니다.
힌트: 여기에서 원을 반영해야 합니다. 몸소.)
그리고 이제 그들은 겉보기에 소박합니다 ... 그들은 또한 특별한 경우라고합니다.
싱크 = 0
싱크 = 1
코스 = 0
코스 = -1
힌트: 여기에서 두 개의 답변 시리즈가 있고 어디에 하나가 있는지 원 안에 파악해야 합니다. 그리고 두 개의 답변 시리즈 대신 하나를 기록하는 방법을 알아야 합니다. 네, 무한수의 근이 하나도 잃지 않도록!)
글쎄, 아주 간단한 것들):
싱크 = 0,3
코스 = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
힌트: 여기서 아크사인, 아크코사인이 무엇인지 알아야 합니까? 아크 탄젠트, 아크 코탄젠트 란 무엇입니까? 가장 간단한 정의. 그러나 테이블 값을 기억할 필요는 없습니다!)
대답은 물론 엉망입니다):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
모든 것이 잘되지 않습니까? 그것은 일어난다. 수업을 다시 읽으십시오. 오직 신중하게(그런 구식 단어가 있습니다 ...) 그리고 링크를 따르십시오. 주요 링크는 원에 관한 것입니다. 그것이 없으면 삼각법에서 눈가리개로 길을 건너는 것과 같습니다. 때때로 작동합니다.)
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그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)
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주제에 대한 수업 및 프레젠테이션: "가장 간단한 삼각 방정식 풀기"
추가 자료
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1C의 10학년을 위한 Integral 온라인 상점의 매뉴얼 및 시뮬레이터
기하학의 문제를 해결합니다. 공간에서 대화형 건물 작업
소프트웨어 환경 "1C: Mathematical Constructor 6.1"
우리가 공부할 내용:
1. 삼각 방정식이란 무엇입니까?
3. 삼각 방정식을 푸는 두 가지 주요 방법.
4. 동차 삼각 방정식.
5. 예.
삼각 방정식이란 무엇입니까?
여러분, 우리는 이미 arcsine, arccosine, arctangent 및 arc cotangent를 연구했습니다. 이제 일반적으로 삼각 방정식을 살펴보겠습니다.
삼각 방정식 - 삼각 함수의 부호 아래에 변수가 포함된 방정식.
가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 형식을 반복합시다.
1) | a | ≤ 1인 경우 방정식 cos(x) = a에는 다음과 같은 해가 있습니다.
X = ± arccos (a) + 2πk
2) | a | ≤ 1이면 sin(x) = a 방정식의 해는 다음과 같습니다.
3) 만약 | > 1이면 방정식 sin(x) = a 및 cos(x) = a에는 해가 없습니다. 4) 방정식 tan(x) = a에는 다음과 같은 해가 있습니다. x = arctan(a) + πk
5) 방정식 ctg(x) = a에는 다음과 같은 해가 있습니다. x = arcctg(a) + πk
모든 공식에서 k는 정수입니다.
가장 간단한 삼각 방정식의 형식은 다음과 같습니다. T (kx + m) = a, T- 모든 삼각 함수.
예시.방정식 풀기: a) sin (3x) = √3 / 2
해결책:
A) 3x = t를 표시한 다음 방정식을 다음 형식으로 다시 작성합니다.
이 방정식의 해는 다음과 같습니다. t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.
값 표에서 다음을 얻습니다. t = ((-1) ^ n) × π / 3 + πn.
변수로 돌아가 보겠습니다. 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,
그러면 x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3
답: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, 여기서 n은 정수입니다. (-1) ^ n - 빼기 1의 n승.
삼각 방정식의 더 많은 예.
방정식 풀기: a) cos (x / 5) = 1 b) tg (3x- π / 3) = √3해결책:
A) 이번에는 방정식의 근을 즉시 계산하는 방법으로 바로 이동합니다.
X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. 그러면 x / 5 = πk => x = 5πk
답: x = 5πk, 여기서 k는 정수입니다.
B) 3x- π / 3 = arctan (√3) + πk 형식으로 씁니다. arctan (√3) = π / 3
3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3
답: x = 2π / 9 + πk / 3, 여기서 k는 정수입니다.
방정식 풀기: cos (4x) = √2 / 2. 세그먼트에서 모든 루트를 찾습니다.
해결책:
일반 형식으로 방정식을 풀자: 4x = ± arccos (√2 / 2) + 2πk
4x = ± π / 4 + 2πk;
X = ± π / 16 + πk / 2;
이제 우리 세그먼트에 어떤 뿌리가 떨어질지 봅시다. k에서 k = 0, x = π / 16에서 우리는 주어진 세그먼트에 들어갔습니다.
k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16일 때 다시 쳤습니다.
k = 2의 경우 x = π / 16 + π = 17π / 16이지만 여기서는 히트하지 않았습니다. 즉, 큰 k에 대해서는 확실히 히트하지 않을 것입니다.
답: x = π / 16, x = 9π / 16
해결 방법에는 크게 두 가지가 있습니다.
우리는 가장 간단한 삼각 방정식을 고려했지만 더 복잡한 삼각 방정식이 있습니다. 이를 해결하기 위해 새로운 변수를 도입하는 방법과 인수분해 방법을 사용합니다. 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.방정식을 풀자:
해결책:
방정식을 풀기 위해 t = tg(x)로 표시되는 새 변수를 도입하는 방법을 사용합니다.
교체의 결과로 다음을 얻습니다. t 2 + 2t -1 = 0
이차 방정식의 근 찾기: t = -1 및 t = 1/3
그런 다음 tg (x) = - 1 및 tg (x) = 1/3, 우리는 가장 간단한 삼각 방정식을 얻었고 그 근을 찾습니다.
X = 아크탄(-1) + πk = -π / 4 + πk; x = 아크탄(1/3) + πk.
답: x = -π / 4 + πk; x = 아크탄(1/3) + πk.
방정식 풀이의 예
방정식 풀기: 2sin 2(x) + 3 cos(x) = 0
해결책:
항등식을 사용합시다: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1
우리의 방정식은 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0의 형식을 취합니다.
2코사인 2(x) - 3코사인(x) -2 = 0
대체 t = cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0
이차 방정식의 해는 근입니다. t = 2 및 t = -1 / 2
그런 다음 cos(x) = 2 및 cos(x) = - 1/2입니다.
왜냐하면 코사인은 1보다 큰 값을 가질 수 없으며 cos (x) = 2에는 근이 없습니다.
cos(x) = - 1/2의 경우: x = ± arccos(-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk
답: x = ± 2π / 3 + 2πk
균질 삼각 방정식.
정의: a sin(x) + b cos(x) 형식의 방정식을 1차 동차 삼각 방정식이라고 합니다.형식의 방정식
2차 균질 삼각 방정식.
1차 동차 삼각 방정식을 풀기 위해 cos(x)로 나눕니다. 
0과 같으면 코사인으로 나누는 것이 불가능합니다. 그렇지 않은지 확인합시다.
cos (x) = 0, 다음 asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, 그러나 사인과 코사인은 동시에 0이 아니므로 모순이 있으므로 안전하게 0으로 나눕니다.
방정식을 풉니다.
예: cos 2(x) + sin(x) cos(x) = 0
해결책:
공통 인자를 빼내십시오: cos(x) (c0s(x) + sin(x)) = 0
그런 다음 두 방정식을 풀어야 합니다.
Cos(x) = 0 및 cos(x) + sin(x) = 0
x = π / 2 + πk에 대해 Cos(x) = 0;
cos (x) + sin (x) = 0 방정식을 고려하십시오. 방정식을 cos (x)로 나눕니다.
1 + tg(x) = 0 => tg(x) = - 1 => x = arctan(-1) + πk = -π / 4 + πk
답: x = π / 2 + πk 및 x = -π / 4 + πk
2차 균질 삼각 방정식을 푸는 방법은 무엇입니까?
여러분, 항상 이 규칙을 지켜주세요!
1. 계수 a가 무엇인지 확인하십시오. a = 0이면 방정식은 cos(x)(bsin(x) + ccos(x)) 형식을 취합니다. 이는 이전 슬라이드에서 다음을 푸는 예입니다.
2. a ≠ 0이면 방정식의 양변을 코사인 제곱으로 나누어야 하며 다음을 얻습니다.
변수 t = tg(x)를 변경하고 방정식을 얻습니다.
예제 번호 해결: 3
방정식을 풉니다.해결책:
방정식의 양변을 코사인 제곱으로 나눕니다. 
변수 t = tg(x) 변경: t 2 + 2 t - 3 = 0
이차 방정식의 근 찾기: t = -3 및 t = 1
그러면: tg(x) = - 3 => x = arctan(-3) + πk = -arctg(3) + πk
Tg(x) = 1 => x = π / 4 + πk
답: x = -arctg (3) + πk 및 x = π / 4 + πk
예제 번호 해결: 4
방정식을 풉니다.해결책:
식을 변환해 보겠습니다.
다음과 같은 방정식을 풀 수 있습니다. x = - π / 4 + 2πk 및 x = 5π / 4 + 2πk
답: x = - π / 4 + 2πk 및 x = 5π / 4 + 2πk
예제 번호 해결: 5
방정식을 풉니다.해결책:
식을 변환해 보겠습니다.
우리는 대체 tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0을 소개합니다.
이차 방정식의 해는 근이 됩니다. t = -2 및 t = 1/2
그런 다음 우리는 다음을 얻습니다. tg(2x) = - 2 및 tg(2x) = 1/2
2x = -arctg(2) + πk => x = -arctg(2) / 2 + πk / 2
2x = arctan (1/2) + πk => x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2
답: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 및 x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2
독립적인 솔루션을 위한 작업.
1) 방정식 풀기A) sin(7x) = 1/2 b) cos(3x) = √3 / 2 c) cos(-x) = -1 d) tan(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7
2) 방정식을 풉니다. sin (3x) = √3 / 2. 그리고 세그먼트 [π / 2; 파이].
3) 방정식 풀기: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0
4) 방정식 풀기: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0
5) 방정식 풀기: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0
6) 방정식 풀기: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)
귀하의 개인 정보는 우리에게 중요합니다. 이러한 이유로 당사는 귀하의 정보를 사용하고 저장하는 방법을 설명하는 개인정보 보호정책을 개발했습니다. 개인 정보 보호 정책을 읽고 질문이 있으면 알려주십시오.
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사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 주요 삼각 함수 간의 관계가 설정됩니다. 삼각 공식... 그리고 삼각함수 사이에는 많은 연결이 있기 때문에 삼각함수 공식의 풍부함을 설명합니다. 일부 공식은 동일한 각도의 삼각 함수를 연결하고 다른 공식은 여러 각도의 함수를 연결하고 다른 공식은 각도를 낮출 수 있도록 허용하고 네 번째 공식은 반각의 접선 등을 통해 모든 함수를 표현합니다.
이 기사에서는 대부분의 삼각법 문제를 해결하기에 충분한 모든 기본 삼각법 공식을 순서대로 나열합니다. 암기하고 사용하기 쉽도록 목적별로 그룹화하여 표에 입력합니다.
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기본 삼각 아이덴티티
기본 삼각 아이덴티티한 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 간의 관계를 설정합니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 단위 원의 개념을 따릅니다. 그것들을 사용하면 하나의 삼각 함수를 다른 함수로 표현할 수 있습니다.
이러한 삼각법 공식, 파생 및 적용 예에 대한 자세한 설명은 기사를 참조하십시오.
주조 공식
주조 공식사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 특성, 즉 삼각 함수의 주기성 특성, 대칭 특성 및 주어진 각도만큼 이동하는 특성을 반영합니다. 이러한 삼각 공식을 사용하면 임의의 각도에서 0도에서 90도 범위의 각도로 작업할 수 있습니다.
이 수식의 근거, 암기하기 위한 니모닉 규칙 및 적용 예는 기사에서 연구할 수 있습니다.
덧셈 공식
삼각법 덧셈 공식두 각도의 합 또는 차이의 삼각 함수가 이러한 각도의 삼각 함수로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 공식은 다음과 같은 삼각 공식을 유도하기 위한 기초 역할을 합니다.
이중, 삼중 등의 공식 모서리
이중, 삼중 등의 공식 각도(다중 각도 공식이라고도 함)는 이중, 삼중 등의 삼각 함수가 어떻게 작동하는지 보여줍니다. 각도()는 단일 각도의 삼각 함수로 표현됩니다. 이들의 파생은 덧셈 공식을 기반으로 합니다.
더 자세한 정보는 이중, 삼중 등에 대한 기사 공식에서 수집됩니다. 모서리.
반각 공식
반각 공식반각의 삼각 함수가 정수 각도의 코사인으로 표현되는 방법을 보여줍니다. 이러한 삼각 공식은 이중 각도 공식을 따릅니다.
그들의 결론과 적용 사례는 기사에서 찾을 수 있습니다.
도 감소 공식
삼각도 감소 공식삼각 함수의 자연 각도에서 사인 및 코사인으로의 전환을 용이하게 하도록 설계되었지만 다중 각도입니다. 즉, 삼각 함수의 정도를 첫 번째로 낮출 수 있습니다.
삼각 함수의 합과 차 공식
주요 목적 삼각 함수의 합과 차에 대한 공식삼각함수 식을 단순화할 때 매우 유용한 함수의 곱으로 이동하는 것입니다. 이 공식은 사인과 코사인의 합과 차를 인수분해할 수 있기 때문에 삼각 방정식을 푸는 데에도 널리 사용됩니다.
사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식
삼각 함수의 곱에서 합 또는 차이로의 전환은 사인, 코사인 및 사인을 코사인으로 곱한 공식을 사용하여 수행됩니다.
일반 삼각 치환
삼각함수를 반각의 접선으로 표현하는 공식으로 삼각함수의 기본 공식에 대한 복습을 마치겠습니다. 이 교체 이름은 범용 삼각 치환... 그것의 편리함은 모든 삼각 함수가 근이 없는 합리적으로 반각의 탄젠트로 표현된다는 사실에 있습니다.
서지.
- 대수학:교과서. 9 cl. 수요일 학교 / 유. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; 에드. S. A. Telyakovsky.- M .: 교육, 1990.- 272 p.: ill.- ISBN 5-09-002727-7
- 바쉬마코프 M.I.대수와 분석의 시작: 교과서. 10-11 cl. 수요일 쉬크. - 제3판. - M .: 교육, 1993 .-- 351 p .: 아프다. - ISBN 5-09-004617-4.
- 대수학그리고 분석의 시작: 교과서. 10-11 cl. 일반 교육. 기관 / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn 및 기타; 에드. A. N. Kolmogorov. - 14판 - M .: Education, 2004. - 384 p.: 병 - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G.수학(기술학교 지원 매뉴얼): 교과서. 매뉴얼 - M .; 더 높은. shk., 1984.-351 p., ill.
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가장 간단한 삼각 방정식은 일반적으로 공식으로 해결됩니다. 다음 삼각 방정식을 가장 간단한 것으로 간주합니다.
싱크 = 에이
cosx = 에이
tgx = 에이
ctgx = 에이
x는 찾을 각도,
a - 임의의 숫자.
그리고 다음은 가장 간단한 방정식의 해를 즉시 쓸 수 있는 공식입니다.
사인의 경우:
코사인의 경우:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
접선의 경우:
x = 아크탄 a + π n, n ∈ Z
코탄젠트의 경우:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
실제로 이것은 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 이론적 부분입니다. 게다가, 모든 것!) 전혀. 그러나 이 주제에 대한 오류의 수는 단순히 규모를 벗어났습니다. 특히 예제가 템플릿에서 약간 벗어난 경우. 왜요?
네, 많은 사람들이 이 편지를 쓰기 때문에, 그들의 의미를 전혀 이해하지 못하고 있습니다!어떤 일이 일어나더라도 조심스럽게 적어둡니다...) 이것은 처리해야 합니다. 인간을 위한 삼각법, 결국 삼각법을 위한 인간!?)
알아볼까요?
한 각도는 다음과 같습니다. 아크코스 에이, 둘째: -아코
그리고 그것은 항상 그렇게 작동할 것입니다.어떠한 것도 ㅏ.
못 믿겠다면 마우스를 사진 위로 가져가거나 태블릿에서 사진을 탭하세요.) 번호를 변경했습니다. ㅏ 일부 부정적인. 어쨌든, 우리는 한 코너를 얻었다 아크코스 에이, 둘째: -아코
따라서 답은 항상 두 가지 계열의 루트 형태로 작성할 수 있습니다.
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
이 두 시리즈를 하나로 결합합니다.
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
그리고 그게 다야. 코사인을 사용하여 가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 일반 공식을 얻었습니다.
이것은 일종의 초과학적 지혜가 아니라, 두 가지 일련의 응답을 축약한 표기법으로,당신과 작업 "C"는 어깨에있을 것입니다. 불평등이 있는 경우 주어진 간격에서 근을 선택하면 ... 거기에 플러스/마이너스가 있는 답은 나오지 않습니다. 그리고 답변을 업무적으로 처리하여 두 개의 개별 답변으로 나누면 모든 것이 결정됩니다.) 사실, 이에 대해 우리는 이해합니다. 무엇을, 어떻게, 어디서.
가장 간단한 삼각 방정식에서
싱크 = 에이
또한 두 개의 일련의 뿌리를 얻습니다. 항상. 그리고 이 2개의 시리즈는 또한 기록될 수 있습니다 한 줄. 이 줄만 더 교활할 것입니다.
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
그러나 본질은 그대로입니다. 수학자들은 일련의 근에 대한 두 개의 레코드 대신 하나를 만드는 공식을 만들었습니다. 그리고 그게 다야!
수학자들을 살펴볼까요? 그리고 당신은 결코 알지 못합니다 ...)
이전 수업에서 사인이 있는 삼각 방정식의 솔루션(공식 없음)이 자세히 분석되었습니다.
대답은 두 가지 일련의 뿌리를 생성했습니다.
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
공식을 사용하여 동일한 방정식을 풀면 다음과 같은 답을 얻습니다.
x = (-1) n arcsin 0.5 + π n, n ∈ Z
사실 이것은 미완의 답변입니다.) 학생은 다음을 알아야 합니다. 아크신 0.5 = π / 6.완전한 대답은 다음과 같습니다.
x = (-1) n 파이 / 6+ π n, n ∈ Z
이것은 흥미로운 질문을 제기합니다. 다음을 통해 회신 x 1; x 2 (정답이다!) 그리고 외로운 길을 통해 엑스 (그리고 이것이 정답입니다!) - 같은 것입니까, 그렇지 않습니까? 이제 알아보도록 하겠습니다.)
다음으로 대체 x 1 의미 N = 0; 하나; 2; 등등, 우리는 일련의 뿌리를 얻습니다.
x 1 = π / 6; 13π / 6; 25파이 / 6 등.
다음과 같은 답변에서 동일한 대체로 x 2 , 우리는 다음을 얻습니다.
x 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 등.
이제 값을 대체합니다. N (0; 1; 2; 3; 4 ...) 외로운 사람에 대한 일반 공식으로 엑스 ... 즉, 마이너스 1을 0으로 올린 다음 첫 번째, 두 번째 등으로 올립니다. 그리고 물론, 우리는 두 번째 항에서 0을 대체합니다. 하나; 2 3; 4 등 그리고 우리는 계산합니다. 우리는 시리즈를 얻습니다.
x = 파이 / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25파이 / 6 등.
그것이 당신이 볼 수있는 전부입니다.) 일반 공식은 정확히 같은 결과,두 개의 답변으로 별도로. 한 번에 순서대로만. 수학자에게 속지 마십시오.)
탄젠트와 코탄젠트로 삼각 방정식을 푸는 공식도 확인할 수 있습니다. 그러나 우리는 하지 않을 것입니다.) 그것들은 매우 간단합니다.
나는 의도적으로 이 모든 대체 및 검증을 설명했습니다. 여기서 간단한 한 가지를 이해하는 것이 중요합니다. 기본 삼각 방정식을 푸는 공식이 있습니다. 답변에 대한 짧은 기록일 뿐입니다.이 간결함을 위해 코사인 솔루션에 플러스/마이너스를 삽입하고 사인 솔루션에 (-1) n을 삽입해야 했습니다.
이러한 삽입물은 기본 방정식에 대한 답을 적어야 하는 작업에서 어떤 식으로든 간섭하지 않습니다. 그러나 불평등을 해결해야 하거나 답으로 무언가를 해야 하는 경우 간격에 따라 근을 선택하고 ODZ를 확인하는 등의 작업을 수행하면 이러한 삽입물이 사람을 쉽게 불안하게 만들 수 있습니다.
그리고 무엇을 해야 할까요? 예, 답을 두 개의 시리즈로 작성하거나 삼각원을 따라 방정식/부등식을 푸십시오. 그러면 이러한 삽입물이 사라지고 생활이 쉬워집니다.)
요약할 수 있습니다.
가장 간단한 삼각 방정식을 풀기 위한 기성 답변 공식이 있습니다. 네 조각. 방정식의 해를 즉시 기록하는 데 좋습니다. 예를 들어 다음 방정식을 풀어야 합니다.
싱크 = 0.3
쉬운: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0.2
괜찮아요: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1.2
용이하게: x = 아크탄 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
하나 남은: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
코사인 x = 1.8
당신이 지식으로 빛나는 경우 즉시 답을 작성하십시오.
x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
그렇다면 당신은 이미 빛납니다, 이것은 ... ... 웅덩이에서.) 정답 : 솔루션이 없습니다. 왜 그런지 이해가 되시나요? 아크코사인이 무엇인지 읽어보세요. 또한 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트의 표 값이 원래 방정식의 오른쪽에 있으면 - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 등. - 아치를 통한 답변은 미완성입니다. 아치는 라디안으로 변환해야 합니다.
그리고 만약 당신이 다음과 같은 불평등을 만난다면
대답은 다음과 같습니다.
х πn, n ∈ Z
드문 넌센스가 있습니다. 예 ...) 여기서 삼각 원을 결정할 필요가 있습니다. 우리는 관련 주제에서 무엇을 할 것입니다.
영웅적으로 이 줄까지 읽은 사람들을 위해. 당신의 엄청난 노력에 감사하지 않을 수 없습니다. 당신은 보너스.)
보너스:
무서운 전투 환경에서 공식을 작성할 때 학문적으로 단련된 얼간이도 종종 어디에 있는지 혼동합니다. πn, 그리고 어디서 2π n. 여기에 간단한 트릭이 있습니다. 에 모든가치가 있는 공식 πn. 역 코사인이 있는 유일한 공식을 제외하고. 그곳에 서 있다 2πn. 둘피엔. 키워드 - 둘.같은 공식에는 둘처음에 서명하십시오. 플러스 마이너스. 여기 저기에 - 둘.
그래서 당신이 썼다면 둘역코사인 앞에 부호를 붙이면 끝에 무엇이 나올지 더 쉽게 기억할 수 있습니다. 둘피엔. 그리고 심지어 그 반대의 경우도 발생합니다. 남자 기호 건너 뛰기 ± , 끝까지 가다, 제대로 쓴다 둘 pien, 그리고 그것은 그 감각에 올 것입니다. 뭔가 앞서 둘징후! 그 사람은 처음으로 돌아가지만 실수는 바로잡을 것입니다! 이와 같이.)
이 사이트가 마음에 드신다면...
그건 그렇고, 나는 당신을 위해 몇 가지 더 흥미로운 사이트를 가지고 있습니다.)
예제 해결을 연습하고 레벨을 확인할 수 있습니다. 즉각적인 검증 테스트. 학습 - 관심을 가지고!)
함수와 파생어를 알 수 있습니다.
