함수를 매개변수로 정의합니다.
(1)
여기서 매개변수라는 변수가 있습니다. 그리고 함수와 변수의 일부 값에서 도함수를 갖도록 합니다. 더욱이, 함수는 점의 일부 이웃에서도 역함수를 갖는다. 그런 다음 함수 (1)은 매개 변수 형식으로 다음 공식에 의해 결정되는 점에서 도함수를 갖습니다.
(2)

여기 및 는 변수(매개변수)에 대한 함수의 도함수입니다. 그들은 종종 다음과 같이 작성됩니다.
;
.

그런 다음 시스템 (2)는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

증거

조건에 따라 함수에는 역함수가 있습니다. 로 표기하자.
.
그러면 원래 함수는 복소수 함수로 나타낼 수 있습니다.
.
복소수와 역함수를 구별하는 규칙을 사용하여 도함수를 구해 봅시다.
.

규칙이 입증되었습니다.

두 번째 방법으로 증명

점에서 함수의 도함수 정의를 기반으로 두 번째 방법으로 도함수를 구해 보겠습니다.
.
표기법을 소개하겠습니다.
.
그런 다음 이전 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
.

함수가 점 근처에서 역함수를 갖는다는 사실을 사용할 것입니다.
표기법을 소개하겠습니다.
; ;
; .
분수의 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다.
.
에 , . 그 다음에
.

규칙이 입증되었습니다.

고차 파생 상품

더 높은 차수의 미분을 찾으려면 여러 번 미분을 수행해야 합니다. 다음 형식의 매개변수로 정의된 함수의 2차 도함수를 찾아야 한다고 가정합니다.
(1)

공식 (2)를 사용하여 모수적으로도 결정되는 1차 도함수를 찾습니다.
(2)

변수를 사용하여 1차 도함수를 표시해 보겠습니다.
.
그런 다음 변수에 대한 함수의 2차 도함수를 찾으려면 변수에 대한 함수의 1차 도함수를 찾아야 합니다. 변수에 대한 변수의 종속성은 매개변수로도 정의됩니다.
(3)
(3)을 공식 (1) 및 (2)와 비교하면 다음을 찾을 수 있습니다.

이제 결과를 함수로 표현해 보겠습니다. 이를 위해 분수의 도함수에 대한 공식을 대체하고 적용합니다.
.
그 다음에
.

이것으로부터 우리는 변수에 대한 함수의 2차 도함수를 얻습니다:

또한 매개변수적입니다. 첫 번째 줄은 다음과 같이 작성할 수도 있습니다.
.

프로세스를 계속하면 3차 이상의 변수 함수의 도함수를 얻을 수 있습니다.

도함수에 대한 표기를 생략할 수 있다는 점에 유의하십시오. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
;
.

실시예 1

매개변수로 정의된 함수의 도함수 찾기:

해결책

에 대한 파생 상품을 찾습니다.
파생 상품 표에서 다음을 찾습니다.
;
.
우리는 다음을 적용합니다:

.
여기 .

.
여기 .

원하는 파생 상품:
.

답변

실시예 2

매개변수로 표현된 함수의 도함수를 찾습니다.

해결책

거듭제곱 함수와 근에 대한 공식을 사용하여 대괄호를 확장해 보겠습니다.
.

파생 상품 찾기:

.

파생 상품을 찾으십시오. 이를 위해 변수를 도입하고 복소수 함수의 도함수에 대한 공식을 적용합니다.

.

원하는 도함수 찾기:
.

답변

실시예 3

예제 1에서 매개변수로 주어진 함수의 2차 및 3차 도함수를 찾으십시오.

해결책

예제 1에서 우리는 1차 도함수를 찾았습니다:

표기법을 소개하겠습니다. 그런 다음 함수는 에 대해 미분합니다. 매개변수로 지정됩니다.

에 대한 2차 도함수를 찾으려면 에 대한 1차 도함수를 찾아야 합니다.

로 차별화합니다.
.
우리는 예 1과 관련하여 도함수를 찾았습니다.
.
에 대한 2차 도함수는 다음에 대한 1차 도함수와 같습니다.
.

따라서 매개변수 형식의 2차 도함수를 찾았습니다.

이제 우리는 3차 도함수를 찾습니다. 표기법을 소개하겠습니다. 그런 다음 매개변수로 제공되는 함수의 1차 도함수를 찾아야 합니다.

에 대한 도함수를 찾으십시오. 이렇게 하려면 동일한 형식으로 다시 작성하십시오.
.
에서
.

에 대한 3차 도함수는 다음에 대한 1차 도함수와 같습니다.
.

논평

및 각각에서 파생된 변수 및를 생략할 수 있습니다. 그러면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
;
;
;
;
;
;
;
;
.

답변

매개변수 표현에서 2차 도함수의 형식은 다음과 같습니다.

세 번째 차수의 파생물.

지금까지는 이 선들의 점들의 현재 좌표를 직접 연결하는 평면 위의 선 방정식이 고려되었습니다. 그러나 현재 좌표가 세 번째 변수의 함수로 간주되는 선을 정의하는 또 다른 방법이 자주 사용됩니다.

변수의 두 가지 기능이 주어졌다고 하자

t의 동일한 값으로 간주됩니다. 그런 다음 이러한 t 값 중 하나는 명확한 값과 y의 명확한 값, 결과적으로 명확한 점에 해당합니다. 변수 t가 기능 영역(73)의 모든 값을 통과할 때 점은 평면의 일부 선 C를 설명합니다.수식(73)을 이 선의 매개변수 방정식이라고 하고 변수를 매개변수라고 합니다.

함수에 역함수가 있다고 가정합니다. 이 함수를 방정식 (73)의 두 번째에 대입하면 방정식을 얻습니다.

y를 함수로 표현하기

이 함수가 방정식(73)에 의해 매개변수적으로 주어졌다고 말하는 데 동의합시다. 이러한 방정식에서 방정식 (74)로의 전환을 매개변수 배제라고 합니다. 매개변수로 정의된 기능을 고려할 때 매개변수를 제외하는 것은 필수가 아닐 뿐만 아니라 실제로 항상 가능한 것도 아닙니다.

많은 경우에 물어보는 것이 훨씬 더 편리합니다. 다른 의미그런 다음 공식 (73)을 사용하여 인수 및 함수 y의 해당 값을 계산하십시오.

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예 1. 원점과 반지름 R을 중심으로 하는 임의의 점이라고 하자. 이 점의 직교 좌표 x와 y는 극 반지름과 극각으로 표현되며, 여기서 t로 표시하면 다음과 같습니다. I, § 3, p. 3):

방정식(75)을 원의 매개변수 방정식이라고 합니다. 그 매개 변수는 극각이며 0에서 ~까지 다양합니다.

방정식(75)을 항으로 제곱하고 추가하면 항등식으로 인해 매개변수가 제외되고 데카르트 좌표계의 원 방정식이 얻어지며 이는 두 가지 기본 기능을 결정합니다.

이러한 기능 각각은 방정식(75)에 의해 매개변수적으로 지정되지만 이러한 기능에 대한 매개변수 변동 범위는 다릅니다. 첫 번째로; 이 함수의 그래프는 위쪽 반원입니다. 두 번째 함수의 경우 그래프는 아래쪽 반원입니다.

예 2. 타원을 동시에 고려

그리고 원점과 반지름 a를 중심으로 하는 원(그림 138).

타원의 각 점 M에 점 M과 가로 좌표가 동일하고 Ox 축의 한쪽에 위치하는 원의 점 N을 연결합니다. 점 N, 따라서 점 M의 위치는 점의 극각 t에 의해 완전히 결정됩니다. 이 경우 공통 가로 좌표에 대해 다음 식을 얻습니다. x = a. 타원 방정식에서 점 M에서 세로 좌표를 찾습니다.

점 M의 세로좌표와 점 N의 세로좌표가 같은 부호를 가져야 하기 때문에 부호가 선택되었습니다.

따라서 타원에 대해 다음 매개변수 방정식을 얻습니다.

여기서 매개변수 t의 범위는 0에서 까지입니다.

예 3. 원점에서 가로축과 분명히 접촉하는 점 a)와 반지름 a를 중심으로 하는 원을 고려하십시오(그림 139). 이 원이 가로축을 따라 미끄러지지 않고 구르고 있다고 가정합니다. 그런 다음 원점과 초기 순간에 일치하는 원의 점 M은 사이클로이드라는 선을 나타냅니다.

사이클로이드의 매개변수 방정식을 도출해 봅시다. 매개변수 t를 매개변수로 하여 원의 고정점을 위치 O에서 위치 M으로 이동할 때 원의 회전 MCW 각도를 취합니다. 그런 다음 점 M의 좌표와 y에 대해 다음을 얻습니다. 다음 표현:

원이 미끄러지지 않고 축을 따라 굴러간다는 사실 때문에 OB 세그먼트의 길이는 BM 호의 길이와 같습니다. 호 BM의 길이가 반지름 a와 중심각 t의 곱과 같기 때문입니다. 그렇기 때문에 . 그러나 결과적으로,

이 방정식은 사이클로이드의 매개변수 방정식입니다. 매개변수 t가 0에서 로 변경되면 원이 완전히 한 바퀴 회전합니다. 점 M은 사이클로이드의 한 호를 설명합니다.

여기에서 매개변수 t를 제거하면 복잡한 표현식이 생성되고 실제로는 비실용적입니다.

선의 매개변수 정의는 시간이 매개변수의 역할을 하는 역학에서 특히 자주 사용됩니다.

예 4. 수평선에 대한 각도 a에서 초기 속도로 총에서 발사된 발사체의 궤적을 결정합시다. 공기 저항과 발사체의 크기를 고려한 재료 포인트, 우리는 무시합니다.

좌표계를 선택합시다. 우리는 총구에서 발사체의 출발점을 좌표의 원점으로 삼을 것입니다. 우리는 Ox 축을 수평으로, Oy 축을 수직으로 향하게하여 총의 총구와 동일한 평면에 배치합니다. 중력이 없다면 발사체는 Ox 축과 각도 a를 이루는 직선을 따라 움직일 것이고 시간 t는 경로를 덮었을 것입니다.시간 t에서의 발사체 좌표는 각각 다음과 같을 것입니다. 중력으로 인해 발사체는 이 순간까지 값만큼 수직으로 내려와야 합니다. 따라서 실제로 시간 t에서 발사체의 좌표는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

이 방정식은 상수입니다. t가 변경되면 발사체의 궤적 지점의 좌표도 변경됩니다. 방정식은 매개변수가 시간인 발사체 궤적의 매개변수 방정식입니다.

첫 번째 방정식에서 표현하고 대입

두 번째 방정식, 우리는 포물선의 방정식입니다.

긴장하지 마십시오.이 단락에서는 모든 것이 매우 간단합니다. 일반 공식을 매개변수로 작성할 수 있습니다. 주어진 기능, 그러나 명확하게 하기 위해 즉시 기록하겠습니다. 구체적인 예... 매개변수 형식에서 함수는 다음 두 방정식으로 제공됩니다. 종종 방정식은 중괄호 아래가 아니라 순차적으로 작성됩니다:,.

변수는 매개변수라고 하며 "마이너스 무한대"에서 "플러스 무한대"까지 값을 취할 수 있습니다. 예를 들어 값을 고려하여 두 방정식에 대입합니다. ... 또는 인간적으로: "x가 4와 같으면 y는 1과 같습니다." 좌표 평면에 점을 표시할 수 있으며 이 점은 매개변수 값에 해당합니다. 유사하게 "te" 매개변수의 값에 대한 점을 찾을 수 있습니다. "정상" 함수의 경우 매개변수화된 함수의 아메리칸 인디언에 대한 모든 권리도 존중됩니다. 그래프를 플로팅하고 도함수를 찾는 등의 작업을 수행할 수 있습니다. 그건 그렇고, 매개 변수로 지정된 함수의 그래프를 그릴 필요가 있으면 페이지에서 내 기하학적 프로그램을 다운로드하십시오. 수학 공식및 테이블.

가장 간단한 경우에는 함수를 명시적으로 나타낼 수 있습니다. 첫 번째 방정식의 매개변수를 표현해 보겠습니다. - 두 번째 방정식에 대입합니다. ... 결과는 일반 3차 함수입니다.

더 "심각한" 경우에는 이 트릭이 작동하지 않습니다. 하지만 도함수를 찾기 때문에 중요하지 않습니다. 매개변수 함수공식이 있습니다:

"te 변수에 대한 게임"의 파생물을 찾으십시오.

미분의 모든 규칙과 도함수 표는 물론 문자에도 유효하므로 파생상품을 찾는 과정에 새로움이 없다... 정신적으로 테이블의 모든 "x"를 문자 "te"로 바꾸십시오.

"te 변수에 대한 x"의 도함수 찾기:

이제 찾은 파생 상품을 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다.

준비가 된. 도함수는 함수 자체와 마찬가지로 매개변수에 따라 달라집니다.

지정에 관해서는 공식에서 쓰는 대신 첨자 없이 간단히 쓸 수 있습니다. 이것은 "x에 의한" "일반적인" 파생물이기 때문입니다. 그러나 문헌에는 항상 변형이 있으므로 표준에서 벗어나지 않을 것입니다.

실시예 6

우리는 공식을 사용합니다

V 이 경우:

따라서:

매개변수 함수의 도함수를 찾는 기능은 각 단계에서 가능한 한 결과를 단순화하는 것이 좋습니다.... 따라서 고려한 예에서 찾았을 때 루트 아래에 있는 괄호를 확장했습니다(이 작업을 수행할 수는 없었지만). 공식에 대입하면 많은 것들이 잘 줄어들 가능성이 큽니다. 물론 서투른 대답이있는 예가 있지만.

실시예 7

매개변수로 정의된 함수의 도함수 찾기

에 대한 예입니다. 독립적인 결정.

기사 가장 단순한 일반적인 작업파생 상품으로 우리는 함수의 2차 도함수를 찾아야 하는 예를 고려했습니다. 매개변수로 주어진 함수에 대해 2차 도함수를 찾을 수도 있으며 다음 공식으로 찾을 수 있습니다. 2차 도함수를 구하려면 먼저 1차 도함수를 찾아야 한다는 것은 아주 명백합니다.

실시예 8

매개변수로 주어진 함수의 1차 및 2차 도함수 찾기

먼저 1차 도함수를 구해보자.
우리는 공식을 사용합니다

이 경우:

수식에 찾은 파생 상품을 대체합니다. 단순화를 위해 삼각 공식을 사용합니다.

나는 매개변수 함수의 도함수를 찾는 문제에서 단순화 목적으로 아주 자주 삼각 공식 ... 기억하거나 가까이에 두고 각각의 중간 결과와 답변을 단순화할 수 있는 기회를 놓치지 마십시오. 무엇 때문에? 이제 우리는 의 도함수를 취해야 합니다. 이것은 의 도함수를 찾는 것보다 분명히 낫습니다.

2차 도함수를 구해보자.
다음 공식을 사용합니다.

공식을 살펴보겠습니다. 분모는 이전 단계에서 이미 찾았습니다. 분자를 찾는 것은 남아 있습니다 - 변수 "te"에 대한 1차 미분의 미분:

공식을 사용하는 것이 남아 있습니다.

자료를 통합하기 위해 독립 솔루션에 대한 몇 가지 예를 더 제안합니다.

실시예 9

실시예 10

매개변수로 정의된 함수 찾기 및

성공하길 바래!

이 강의가 도움이 되었기를 바랍니다. 이제 암시적으로 지정된 함수와 매개변수 함수에서 파생물을 쉽게 찾을 수 있습니다.

솔루션 및 답변:

예 3: 솔루션:

따라서:

암시적 함수의 파생물.
매개변수로 주어진 함수의 도함수

이 기사에서 우리는 자주 발견되는 두 가지 일반적인 작업을 고려할 것입니다. 제어 작업고등 수학에서. 자료를 성공적으로 마스터하려면 적어도 중간 수준에서 파생 상품을 찾을 수 있어야 합니다. 두 가지 기본 수업에서 파생 상품을 처음부터 찾는 방법을 배울 수 있습니다. 복소수 함수의 도함수... 차별화의 기술로 모든 것이 정상이라면 가자.

암시적 함수의 도함수

또는 간단히 말해서 암시적 함수의 도함수입니다. 암시적 기능이란 무엇입니까? 먼저 하나의 변수에 대한 함수의 정의를 상기해 보겠습니다.

단일 변수 기능하나의 함수 값만 독립 변수의 각 값에 해당하는 규칙입니다.

변수가 호출됩니다 독립 변수또는 논쟁.
변수가 호출됩니다 종속변수또는 기능 .

지금까지 정의된 함수에 대해 살펴보았습니다. 명시적으로형태. 무슨 뜻이에요? 구체적인 예를 들어 보고해 봅시다.

기능을 고려하십시오

우리는 왼쪽에 외로운 "게임"이 있고 오른쪽에 - "x"만... 즉, 기능 명시적으로독립변수로 표현된다.

다른 기능을 고려하십시오.

여기서 변수도 "혼합"됩니다. 그리고 어떤 식 으로든 불가능"게임"을 "x"로만 표현하십시오. 이러한 방법은 무엇입니까? 부호 변경으로 한 부분에서 다른 부분으로 용어를 옮기고, 괄호에서 빼거나, 비례 규칙에 따라 승수를 던지는 등. 평등을 다시 작성하고 "게임"을 명시적인 형식으로 표현해 보세요. 방정식을 몇 시간 동안 비틀고 비틀 수 있지만 그렇게 할 수 없습니다.

내가 당신을 소개하겠습니다 : - 예 암시적 함수.

수학적 분석 과정에서 암시적 함수가 존재(항상 그런 것은 아니지만) 그래프가 있습니다("정상" 함수처럼). 암시적 기능은 동일합니다. 존재 1차 도함수, 2차 도함수 등 그들이 말했듯이, 성소수자의 모든 권리는 존중됩니다.

그리고 이 단원에서는 암시적 함수의 도함수를 찾는 방법을 배웁니다. 그렇게 어렵지 않습니다! 미분의 모든 규칙, 기본 기능의 도함수 표가 유효합니다. 차이점은 바로 지금 고려할 특별한 순간에 있습니다.

네, 그리고 좋은 소식을 전하겠습니다. 아래에 논의된 작업은 세 개의 트랙 앞에 돌이 없는 다소 거칠고 명확한 알고리즘에 따라 수행됩니다.

실시예 1

1) 첫 번째 단계에서 두 부분 모두를 마무리합니다.

2) 도함수의 선형성 규칙을 사용합니다(수업의 처음 두 규칙 파생상품은 어떻게 찾나요? 솔루션의 예):

3) 직접 차별화.
구별하고 완벽하게 이해할 수 있는 방법. 스트로크 아래에 "게임"이 있는 곳에서는 어떻게 해야 합니까?

- 그냥 터무니없이, 함수의 미분은 미분과 같습니다.: .

차별화 방법
여기 우리는 복잡한 기능... 왜요? 사인 아래에는 "igrek"라는 문자가 하나만 있는 것 같습니다. 그러나 사실은 "igrek"라는 문자가 하나뿐이라는 것입니다. 그 자체가 함수다(수업 시작 부분에 있는 정의 참조). 따라서 사인은 외부 함수, 내부 함수입니다. 우리는 복잡한 기능의 미분 규칙을 사용합니다 :

우리는 일반적인 규칙에 따라 제품을 차별화합니다. :

- 또한 복잡한 함수입니다. 모든 "종소리와 휘파람이있는 게임"은 복잡한 기능입니다.:

솔루션 자체의 디자인은 다음과 같아야 합니다.

대괄호가 있으면 다음과 같이 엽니다.

4) 왼쪽에는 소수가 있는 "게임"이 있는 용어를 수집합니다. 오른쪽으로 - 다른 모든 것을 전송하십시오.

5) 왼쪽에서 괄호에서 파생물을 가져옵니다.

6) 그리고 비례 법칙에 따라 이 괄호를 오른쪽 분모에 넣습니다.

파생 상품을 찾았습니다. 준비가 된.

모든 함수를 암시적으로 다시 작성할 수 있다는 점은 흥미롭습니다. 예를 들어, 함수 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다. ... 그리고 방금 고려한 알고리즘에 따라 구별하십시오. 사실, "암시적 기능"과 "암시적 기능"이라는 문구는 하나의 의미적 뉘앙스가 다릅니다. "암시적으로 정의된 함수"라는 문구가 더 일반적이고 정확합니다. - 이 기능은 묵시적으로 설정되지만 여기서는 "게임"을 표현하고 명시적 형식으로 기능을 나타낼 수 있습니다. "게임"을 표현할 수 없을 때 "암묵적 기능"이라는 문구는 "고전적인" 묵시적 기능으로 이해됩니다.

두 번째 솔루션

주목!두 번째 방법은 자신있게 찾는 방법을 알고 있어야만 찾을 수 있습니다. 부분 파생 상품... 미적분과 인형을 처음 접하시는 분들은 이 단락을 읽고 건너 뛰지 마십시오, 그렇지 않으면 머리가 완전히 엉망이 될 것입니다.

두 번째 방법으로 암시적 함수의 도함수를 찾아봅시다.

모든 조건을 왼쪽으로 옮깁니다.

그리고 두 변수의 함수를 고려하십시오.

그런 다음 우리의 도함수는 공식에 의해 찾을 수 있습니다
편도함수를 구해봅시다.

따라서:

두 번째 솔루션을 사용하면 확인할 수 있습니다. 그러나 편미분은 나중에 마스터하고 "한 변수의 함수의 미분"이라는 주제를 공부하는 학생은 편미분을 모르는 것 같기 때문에 깨끗한 버전의 작업으로 공식화하는 것은 바람직하지 않습니다.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 2

암시적 함수의 도함수 찾기

우리는 두 부분 모두에 마무리 작업을 했습니다.

선형성 규칙을 사용합니다.

파생 상품 찾기:

모든 대괄호 확장:

우리는 모든 용어를 왼쪽으로, 나머지는 오른쪽으로 옮깁니다.

최종 답변:

실시예 3

암시적 함수의 도함수 찾기

완벽한 솔루션그리고 수업이 끝날 때 샘플 디자인.

미분 후에 분수가 나타나는 것은 드문 일이 아닙니다. 이러한 경우 분수를 제거해야 합니다. 두 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

실시예 4

암시적 함수의 도함수 찾기

두 부분을 획으로 묶고 선형성 규칙을 사용합니다.

복잡한 함수의 미분 규칙을 사용하여 미분 그리고 사적 구별의 법칙 :

대괄호 확장:

이제 분수를 제거해야 합니다. 이것은 나중에 수행할 수 있지만 즉시 수행하는 것이 더 합리적입니다. 분수의 분모는 입니다. 곱하다 에 . 자세히 보면 다음과 같습니다.

때로는 분화 후 2-3 개의 분수가 나타납니다. 예를 들어 분수가 하나 더 있다면 연산을 반복해야 합니다. 각 부분의 각 항~에

왼쪽에서 괄호를 제외했습니다.

최종 답변:

실시예 5

암시적 함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 그것의 유일한 것은 분수를 제거하기 전에 먼저 분수 자체의 3 층 구조를 제거해야합니다. 튜토리얼의 끝에서 완전한 솔루션과 답변을 제공합니다.

매개변수로 주어진 함수의 도함수

긴장하지 마십시오. 이 단락에서는 모든 것이 매우 간단합니다. 매개변수로 정의된 함수에 대한 일반 공식을 작성할 수도 있지만 명확하게 하기 위해 즉시 구체적인 예를 적어 보겠습니다. 매개변수 형식에서 함수는 다음 두 방정식으로 제공됩니다. 종종 방정식은 중괄호 아래가 아니라 순차적으로 작성됩니다:,.

변수를 매개변수라고 합니다."마이너스 무한대"에서 "플러스 무한대"까지 값을 취할 수 있습니다. 예를 들어 값을 고려하여 두 방정식에 대입합니다. ... 또는 인간적으로: "x가 4와 같으면 y는 1과 같습니다." 좌표평면에 점을 표시할 수 있으며 이 점은 매개변수 값에 해당합니다. 유사하게 "te" 매개변수의 값에 대한 점을 찾을 수 있습니다. "일반" 함수의 경우 매개변수로 정의된 함수의 아메리칸 인디언의 경우 모든 권리도 존중됩니다. 그래프를 플로팅하고 도함수를 찾는 등의 작업을 수행할 수 있습니다. 그건 그렇고, 매개 변수로 주어진 함수의 그래프를 그릴 필요가 있다면 내 프로그램을 사용할 수 있습니다.

더 "심각한" 경우에는 이 트릭이 작동하지 않습니다. 그러나 매개변수 함수의 도함수를 찾기 위해 다음 공식이 있기 때문에 이것은 중요하지 않습니다.

"te 변수에 대한 게임"의 파생물을 찾으십시오.

"te 변수에 대한 x"의 도함수 찾기:

이제 찾은 파생 상품을 공식으로 대체하는 것만 남아 있습니다.

준비가 된. 도함수는 함수 자체와 마찬가지로 매개변수에 따라 달라집니다.

실시예 6

우리는 공식을 사용합니다

이 경우:

따라서:

실시예 7

매개변수로 정의된 함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 솔루션의 예입니다.

기사 파생 상품의 가장 간단한 일반적인 문제우리는 함수의 2차 도함수를 찾아야 하는 예를 고려했습니다. 매개변수로 주어진 함수에 대해 2차 도함수를 찾을 수도 있으며 다음 공식으로 찾을 수 있습니다. 2차 도함수를 구하려면 먼저 1차 도함수를 찾아야 한다는 것은 아주 명백합니다.

실시예 8

매개변수로 주어진 함수의 1차 및 2차 도함수 찾기

먼저 1차 도함수를 구해보자.
우리는 공식을 사용합니다

이 경우:

우리는 발견된 파생 상품을 공식에 대입합니다. 단순화를 위해 삼각 공식을 사용합니다.

변수 x, y가 세 번째 변수 t(매개변수라고 함)의 함수인 평면의 선 정의를 고려하십시오.

각 값에 대해 NS특정 간격에서 특정 값에 해당합니다. NS그리고 야, 그리고따라서 평면의 특정 지점 M(x, y)입니다. 언제 NS지정된 간격의 모든 값을 실행한 다음 포인트 미디엄 (x, y) 일부 행을 설명합니다. 엘... 방정식(2.2)을 선의 매개변수 방정식이라고 합니다. 엘.

함수 x = φ(t)에 역 t = Ф(x)가 있는 경우 이 식을 방정식 y = g(t)에 대입하면 y = g(Ф(x))를 얻습니다. 와이의 기능으로 NS... 이 경우 방정식 (2.2)가 함수를 정의한다고 말합니다. 와이매개변수적으로.

예 1.하자 남 (x, y)- 반지름 원의 임의의 점 NS그리고 원점을 중심으로. 하자 NS- 축 사이의 각도 황소반경 옴(그림 2.3 참조). 그 다음에 x, y통해 표현 NS:

방정식(2.3)은 원의 매개변수 방정식입니다. 방정식(2.3)에서 매개변수 t를 제외합니다. 이를 위해 각 방정식을 제곱하고 추가하면 다음을 얻습니다. x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) 또는 x 2 + y 2 = R 2 - a에서 원의 방정식 데카르트 좌표계. 두 가지 기능을 정의합니다. 이러한 각 기능은 매개변수 방정식(2.3)으로 제공되지만 첫 번째 기능과 두 번째 기능에 대해 제공됩니다.

실시예 2... 매개변수 방정식

반축으로 타원 정의 에이, ㄴ(그림 2.4). 방정식에서 매개변수 제거 NS, 우리는 타원의 표준 방정식을 얻습니다.

실시예 3... 사이클로이드는 이 원이 직선을 따라 미끄러지지 않고 구르면 원 위에 있는 점으로 설명되는 선입니다(그림 2.5). 사이클로이드의 매개변수 방정식을 소개하겠습니다. 구르는 원의 반지름을 NS, 가리키다 미디엄사이클로이드를 설명하는 움직임의 시작 부분은 좌표의 원점과 일치했습니다.

좌표 결정 NS, y 포인트 미디엄원이 각도를 돌린 후 NS
(그림 2.5), t = RMCB... 호 길이 메가바이트세그먼트의 길이와 동일 산부인과,원이 미끄러지지 않고 굴러 다니기 때문에

OB = at, AB = MD = asint, CD = 비용, x = OB - AB = at - asint = a (t - sint),

y = AM = CB - CD = a - 비용 = a (1 - 비용).

따라서 사이클로이드의 매개 변수 방정식이 얻어집니다.

매개변수를 변경할 때 NS 0에서 ~ 2π원이 한 바퀴 회전하는 동안 점 미디엄사이클로이드의 한 호를 설명합니다. 방정식(2.5)은 다음을 정의합니다. 와이의 기능으로 NS... 비록 기능 x = a (t - 신트)역함수를 가지지만 기본함수로 표현되지 않으므로 함수 y = f(x)기본 기능으로 표현되지 않습니다.

방정식(2.2)에 의해 매개변수적으로 정의된 함수의 미분을 고려하십시오. 함수 x = φ(t)는 t의 일부 구간에서 역함수를 가집니다. t = Ф(x), 그 다음에 y = g(Ф(x))... 하자 x = φ(t), y = g(t)파생 상품이 있고 x "t ≠ 0... 복잡한 함수의 미분 법칙에 따르면 y "x = y" t × t "x.따라서 역함수의 미분 규칙에 따라 다음을 수행합니다.

결과 공식(2.6)을 통해 매개변수로 주어진 함수에 대한 도함수를 찾을 수 있습니다.

예제 4. 함수를 보자 와이에 따라 NS, 매개변수로 제공됩니다.

해결책. .
예 5.기울기 찾기 케이매개변수 값에 해당하는 M 0 지점에서 사이클로이드에 접합니다.
해결책.사이클로이드 방정식에서: y "t = asint, x" t = a (1 - 비용),그러므로

한 점에서의 접선의 기울기 남 0의 값과 동일 t 0 = π / 4:

미분 기능

기능을 점에 두십시오. x 0파생상품이 있습니다. 우선순위:
따라서 한계의 속성에 의해(섹션 1.8), 여기서 NS- 무한히 작음 Δx → 0... 여기에서

Δy = f "(x0) Δx + α × Δx. (2.7)

Δx → 0이므로 등식(2.7)의 두 번째 항은 다음과 비교하여 고차의 무한소입니다. , 따라서 Δy 및 f "(x 0) × Δx는 동등하고 극소입니다(f"(x 0) ≠ 0의 경우).

따라서 함수 Δy의 증분은 두 항으로 구성되며, 그 중 첫 번째 f "(x 0) × Δx는 주요 부분 증분 Δy, Δx에 대해 선형(f "(x 0) ≠ 0의 경우).

미분점 x 0에서 함수 f(x)는 함수 증분의 주요 부분이라고 하며 다음과 같이 표시됩니다. 다이또는 df(x 0)... 따라서,

df(x0) = f "(x0) × Δx. (2.8)

예 1.함수의 미분 찾기 다이함수 y = x 2에 대한 함수 Δy의 증분:
1) 임의 NS및 Δ NS; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

해결책

1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) x 0 = 20, Δx = 0.1이면 Δy = 40 × 0.1 + (0.1) 2 = 4.01입니다. 다이 = 40 × 0.1 = 4.

우리는 평등 (2.7)을 다음과 같은 형식으로 씁니다.

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

증분 Δy는 미분과 다릅니다. 다이따라서 Δx와 비교하여 극소 고차로 근사 계산에서 Δx가 충분히 작은 경우 근사 등식 Δy ≈ dy가 사용됩니다.

Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0)를 고려하면 대략적인 공식을 얻습니다.

f (x 0 + Δx) ≈ f (x 0) + dy. (2.10)

실시예 2... 대략적으로 계산합니다.

해결책.고려하다:

공식 (2.10)을 사용하여 다음을 얻습니다.

따라서 ≈ 2.025입니다.

미분의 기하학적 의미를 고려하십시오. df(x 0)(그림 2.6).

함수 y = f(x)의 그래프에 점 M 0(x0, f(x 0))에서 접선을 그리고 φ를 접선 KM0와 Ox 축 사이의 각도라고 하면 f "(x 0 ) = tgφ. ΔM0NP에서:
PN = tgφ × Δx = f "(x 0) × Δx = df (x 0). 그러나 PN은 x가 x 0에서 x 0 + Δx로 변할 때 접선의 세로 좌표의 증가입니다.