Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne s vektorom smeru.
Nech je daný bod a vektor smeru. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a sú kolineárne, t. j. spĺňajú podmienku:
.
Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.
Čísla m , n a p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Pretože vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n a p sa nemôže rovnať nule. Ale jeden alebo dva z nich sa môžu ukázať ako nulové. Napríklad v analytickej geometrii je povolený nasledujúci zápis:
,
čo znamená, že projekcia vektora na os Oy a Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka daná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oy a Oz , teda rovinu yOz .
Príklad 1. Napíš rovnice priamky do priestoru kolmého na rovinu 
a prechádzať priesečníkom tejto roviny s osou Oz
.
Rozhodnutie. Nájdite priesečník tejto roviny s osou Oz ... Pretože akýkoľvek bod ležiaci na osi Oz , má potom súradnice, ktoré v danej rovnici nastavujú rovinu x \u003d y \u003d0, dostaneme 4 z - 8 \u003d 0 alebo z \u003d 2. Preto priesečník tejto roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2). Pretože požadovaná priamka je kolmá na rovinu, je rovnobežná s vektorom jej normály. Preto smerovací vektor priamky môže byť normálny vektor 
dané lietadlo.
Teraz napíšeme hľadané rovnice priamky prechádzajúcej bodom A \u003d (0; 0; 2) v smere vektora:
Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi
Priamku je možné určiť dvoma bodmi, ktoré na nej ležia 
a 
V tomto prípade môže byť smerový vektor priamky vektor. Potom majú kanonické rovnice priamky tvar
.
Vyššie uvedené rovnice určujú priamku prechádzajúcu dvoma danými bodmi.
Príklad 2. Vytvorte rovnicu priamky v priestore prechádzajúcej bodmi a.
Rozhodnutie. Napíšme hľadané rovnice priamky v podobe uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:
.
Pretože, potom je hľadaná čiara kolmá na os Oy .
Priamo ako priesečník rovín
Priamku v priestore môžeme definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t. J. Ako množinu bodov vyhovujúcich sústave dvoch lineárnych rovníc.
Rovnice systému sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.
Príklad 3. Napíšte kanonické rovnice priamky v priestore dané všeobecnými rovnicami
Rozhodnutie. Ak chcete písať kanonické rovnice priamky alebo rovnaké rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov priamky. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvoma súradnicovými rovinami yOz a xOz .
Priesečník priamky s rovinou yOz má úsečku x \u003d 0. Preto nastavenie v tomto systéme rovníc x \u003d 0, dostaneme systém s dvoma premennými:
Jej rozhodnutie r = 2 , z \u003d 6 spolu s x \u003d 0 definuje bod A (0; 2; 6) požadovaný riadok. Potom nastavenie v danom systéme rovníc r \u003d 0, dostaneme systém
Jej rozhodnutie x = -2 , z \u003d 0 spolu s r \u003d 0 definuje bod B (-2; 0; 0) priesečníky priamky s rovinou xOz .
Teraz si zapíšeme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A (0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :
,
alebo po vydelení menovateľov číslom -2:
,
Poučenie zo série „Geometrické algoritmy“
Ahoj drahý čitateľ!
Dnes začneme skúmať algoritmy súvisiace s geometriou. Faktom je, že v informatike existuje veľa problémov s olympiádou, ktoré súvisia s výpočtovou geometriou, a riešenie týchto problémov často spôsobuje ťažkosti.
Na niekoľkých lekciách sa pozrieme na množstvo elementárnych podproblémov, ktoré sú základom pre riešenie väčšiny problémov vo výpočtovej geometrii.
V tejto lekcii vytvoríme program pre nájdenie rovnice priamkyprechádzajúc daným dva body... Na riešenie geometrických problémov budeme potrebovať určité znalosti výpočtovej geometrie. Časť hodiny budeme venovať ich poznávaniu.
Informácie o výpočtovej geometrii
Výpočtová geometria je odvetvie počítačovej vedy, ktoré študuje algoritmy na riešenie geometrických problémov.
Počiatočnými údajmi pre takéto úlohy môžu byť množina bodov v rovine, množina segmentov, mnohouholník (určený napríklad zoznamom jeho vrcholov v smere hodinových ručičiek) atď.
Výsledkom môže byť buď odpoveď na otázku (napríklad to, či bod patrí do segmentu, či sa dva segmenty pretínajú, ...), alebo nejaký geometrický objekt (napríklad najmenší konvexný polygón spájajúci dané body, plocha polygónu atď.) ...
Problémy výpočtovej geometrie budeme brať do úvahy iba v rovine a iba v karteziánskom súradnicovom systéme.
Vektory a súradnice
Ak chcete použiť metódy výpočtovej geometrie, musia byť geometrické obrázky preložené do jazyka čísel. Budeme predpokladať, že v rovine je zadaný karteziánsky súradnicový systém, v ktorom sa smer otáčania proti smeru hodinových ručičiek nazýva kladný.
Geometrické objekty sú teraz analyticky vyjadrené. Na nastavenie bodu teda stačí uviesť jeho súradnice: dvojicu čísel (x; y). Segment je možné určiť zadaním súradníc jeho koncov, priamku je možné určiť zadaním súradníc dvojice jeho bodov.
Ale hlavným nástrojom na riešenie problémov budú vektory. Preto vám pripomeniem niekoľko informácií o nich.
Oddiel AB, kedy A považovaný za začiatok (bod aplikácie) a bod IN - koniec, nazývaný vektor AB a označuje napríklad alebo tučné malé písmeno a .
Na označenie dĺžky vektora (tj. Dĺžky zodpovedajúceho segmentu) použijeme symbol modulu (napríklad).
Ľubovoľný vektor bude mať súradnice rovné rozdielu medzi zodpovedajúcimi súradnicami jeho konca a začiatku:
,
tu poukazuje A a B
mať súradnice 
resp.
Na výpočty použijeme koncept orientovaný uhol, to znamená uhol, ktorý zohľadňuje relatívnu polohu vektorov.
Orientovaný uhol medzi vektormi a a b kladné, ak je rotácia od vektora a na vektor b sa robí v kladnom smere (proti smeru hodinových ručičiek) a záporne v opačnom prípade. Pozri obr. 1a, obr. 1b. Tiež hovoria, že pár vektorov a a b pozitívne (negatívne) orientované.
Hodnota orientovaného uhla teda závisí od poradia, v akom sú vektory uvedené, a môže nadobúdať hodnoty v rozsahu.
Mnoho problémov s výpočtovou geometriou využíva koncept vektorových (skosených alebo pseudoskalárnych) produktov vektorov.
Vektorový produkt vektorov a a b je súčinom dĺžok týchto vektorov sínusom uhla medzi nimi:
.
Vektorový produkt vektorov v súradniciach:
Výraz vpravo je determinant druhého rádu:
Na rozdiel od definície v analytickej geometrii je to skalár.
Znamienko krížového produktu určuje vzájomnú polohu vektorov:
a a b pozitívne orientovaný.
Ak hodnotu, tak dvojicu vektorov a a b negatívne orientovaný.
Vektorový produkt nenulových vektorov je nulový, len ak sú kolineárne ( 
). To znamená, že ležia na jednej priamke alebo na rovnobežkách.
Zvážme niekoľko najjednoduchších úloh potrebných na riešenie zložitejších úloh.
Definujme rovnicu priamky súradnicami dvoch bodov.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma rôzne bodydané ich súradnicami.
Nech sú dva priamky, ktoré sa nezhodujú na priamke: so súradnicami (x1; y1) a so súradnicami (x2; y2). Vektor so začiatkom v bode a koncom v bode má teda súradnice (x2-x1, y2-y1). Ak P (x, y) je ľubovoľný bod na našej priamke, potom sú vektorové súradnice (x-x1, y - y1).
Pomocou vektorového produktu je podmienka kolinearity pre vektory a dá sa zapísať takto:
Tých. (x-x1) (y2-y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0
(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0
Poslednú rovnicu prepíšeme nasledovne:
ax + by + c \u003d 0, (1)
c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)
Rovnicu teda môžeme nastaviť rovnicou tvaru (1).
Úloha 1. Sú uvedené súradnice dvoch bodov. Nájdite jeho zastúpenie ako ax + by + c \u003d 0.
V tejto lekcii sme sa dozvedeli o niektorých informáciách o výpočtovej geometrii. Vyriešili sme problém hľadania rovnice priamky súradnicami dvoch bodov.
V nasledujúcej lekcii zostavíme program na nájdenie priesečníka dvoch priamok daných našimi rovnicami.
Vlastnosti priamky v euklidovskej geometrii.
Cez ktorýkoľvek bod môžete nakresliť nekonečne veľa priamych čiar.
Jednu priamku je možné nakresliť dvoma ľubovoľnými nezhodnými bodmi.
Dve nezodpovedajúce priame čiary v rovine sa pretínajú v jednom bode alebo sú
paralelné (vyplýva z predchádzajúceho).
V trojrozmernom priestore existujú tri možnosti relatívnej polohy dvoch priamych čiar:
- priame čiary sa pretínajú;
- priame čiary sú rovnobežné;
- priamky sa pretínajú.
Rovno riadok - algebraická krivka prvého rádu: v karteziánskom súradnicovom systéme priamka
je dané v rovine rovnicou prvého stupňa (lineárna rovnica).
Všeobecná rovnica priamky.
Definícia... Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého rádu
Sekera + Wu + C \u003d 0,
s konštantnou A, B nerovná sa súčasne nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva bežné
rovnica priamky. Podľa hodnôt konštánt A, B a ZO sú možné tieto špeciálne prípady:
. C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - priamka prechádza východiskom
. A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (o + C \u003d 0)- priamka rovnobežná s osou Oh
. B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - priamka rovnobežná s osou OU
. B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - rovná čiara sa zhoduje s osou OU
. A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - rovná čiara sa zhoduje s osou Oh
Rovnicu môžeme vyjadriť v rôzne formy v závislosti na akomkoľvek danom
počiatočné podmienky.
Rovnica priamky pozdĺž bodu a normálneho vektora.
Definícia... Po karteziánsky obdĺžnikový systém vektor súradníc s komponentami (A, B)
kolmá na priamku danú rovnicou
Sekera + Wu + C \u003d 0.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (1, 2) kolmo na vektor (3, -1).
Rozhodnutie... Pri A \u003d 3 a B \u003d -1 zostavíme rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Na nájdenie koeficientu C
dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A. Získame: 3 - 2 + C \u003d 0, teda
C \u003d -1. Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi.
Nech sú dva body dané v priestore M 1 (x 1, y 1, z 1)a M2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica,
prechádzajúcimi cez tieto body:
Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by sa mal rovnať nule. On
rovina je rovnica vyššie napísanej priamky zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x \u003d x 1 , Ak x 1 \u003d x 2 .
Zlomok \u003d k zavolal sklon rovno.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A (1, 2) a B (3, 4).
Rozhodnutie... Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky podľa bodu a sklonu.
Ak všeobecná rovnica priamky Sekera + Wu + C \u003d 0 viesť k formuláru:
a určiť 
, potom sa volá výsledná rovnica
rovnica priamky so sklonom k.
Rovnica priamky pozdĺž bodu a vektora smeru.
Analogicky s odsekom, ktorý uvažuje o rovnici priamky vedenej normálovým vektorom, môžete vstúpiť do úlohy
priamka vedená bodom a smerový vektor priamky.
Definícia... Každý nenulový vektor (α 1, α 2)ktorých komponenty vyhovujú podmienke
Аα 1 + Вα 2 \u003d 0 zavolal smerovací vektor priamky.
Sekera + Wu + C \u003d 0.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcim bodom A (1, 2).
Rozhodnutie... Rovnica požadovanej priamky bude hľadaná vo forme: Axe + By + C \u003d 0. Podľa definície
koeficienty musia spĺňať podmienky:
1 * A + (-1) * B \u003d 0, t.j. A \u003d B.
Potom má rovnica priamky tvar: Axe + Ay + C \u003d 0, alebo x + y + C / A \u003d 0.
o x \u003d 1, y \u003d 2dostaneme C / A \u003d -3, t.j. požadovaná rovnica:
x + y - 3 \u003d 0
Rovnica priamky v segmentoch.
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, potom vydelením -C dostaneme:
alebo kde
Geometrický význam koeficientov je taký, že koeficient a je súradnica priesečníka
rovno s osou Oh, a b - súradnica priesečníka priamky s osou OU.
Príklad... Je uvedená všeobecná rovnica priamky x - y + 1 \u003d 0.Nájdite rovnicu tejto priamky v segmentoch.
C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.
Normálna rovnica priamky.
Ak obe strany rovnice Sekera + Wu + C \u003d 0 vydeliť číslom 
ktorá sa volá
normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -normálová rovnica.
Znamienko ± normalizačného faktora by sa malo zvoliť tak, aby μ * C< 0.
r - dĺžka kolmice klesnutej od začiatku k priamke,
a φ - uhol tvorený touto kolmou s kladným smerom osi Oh.
Príklad... Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5r - 65 \u003d 0... Je potrebné písať odlišné typy rovnice
táto priamka.
Rovnica tejto priamky v segmentoch:
Rovnica tejto priamky so sklonom: (deliť 5)
Rovnica priamky:
cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.
Je potrebné poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamky,
rovnobežne s osami alebo prechádzajúcimi východiskom.
Uhol medzi priamkami v rovine.
Definícia... Ak sú uvedené dva riadky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , potom medzi týmito čiarami ostrý uhol
bude definované ako
Dve priame čiary sú rovnobežné, ak k 1 \u003d k 2... Dva rovno kolmo,
ak k 1 \u003d -1 / k 2 .
Veta.
Priamy Sekera + Wu + C \u003d 0a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú paralelné, keď sú koeficienty proporcionálne
А 1 \u003d λА, В 1 \u003d λВ... Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa priame čiary zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok
sa nachádzajú ako riešenie systému rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku.
Definícia... Čiara cez bod M 1 (x 1, y 1) a kolmo na čiaru y \u003d kx + b
predstavované rovnicou:
Vzdialenosť od bodu k čiare.
Veta... Ak je daný bod M (x 0, y 0), vzdialenosť k priamke Sekera + Wu + C \u003d 0definovaný ako:
Dôkazy... Nechajte bod M 1 (x 1, y 1) - základňa kolmice klesla z bodu Mza dané
priamka. Potom vzdialenosť medzi bodmi Ma M 1:
(1)
Súradnice x 1 a o 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo na
danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do formy:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C \u003d 0,
potom, riešenie, dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) nájdeme:
Veta je dokázaná.
Definícia. Akákoľvek priamka v rovine môže byť daná rovnicou prvého rádu
Sekera + Wu + C \u003d 0,
a konštanty A, B sa nerovnajú súčasne nule. Táto rovnica prvého rádu sa nazýva všeobecná rovnica priamky.Podľa hodnôt konštanty A, B a C sú možné tieto špeciálne prípady:
C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - čiara prechádza počiatkom
A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (o + C \u003d 0) - priama čiara je rovnobežná s osou Ox
B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - priamka je rovnobežná s osou Oy
B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - priamka sa zhoduje s osou Oy
A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - rovná čiara sa zhoduje s osou Ox
Rovnica priamky môže byť uvedená v rôznych formách v závislosti od akýchkoľvek počiatočných podmienok.
Rovnica priamky pozdĺž bodu a normálneho vektora
Definícia. V karteziánskom obdĺžnikovom súradnicovom systéme je vektor so zložkami (A, B) kolmý na priamku danú rovnicou Ax + Vy + C \u003d 0.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (1, 2) kolmým na (3, -1).
Rozhodnutie... Pri A \u003d 3 a B \u003d -1 zostavíme rovnicu priamky: 3x - y + C \u003d 0. Aby sme našli koeficient C, dosadíme do výsledného výrazu súradnice daného bodu A. Získame: 3 - 2 + C \u003d 0, teda C \u003d -1 ... Spolu: požadovaná rovnica: 3x - y - 1 \u003d 0.
Rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi
Nech sú v priestore dané dva body M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), potom rovnica priamky prechádzajúcej týmito bodmi:
Ak je niektorý z menovateľov nula, zodpovedajúci čitateľ by sa mal rovnať nule. V rovine je rovnica vyššie napísanej priamky zjednodušená:
ak x 1 ≠ x 2 a x \u003d x 1, ak x 1 \u003d x 2.
Zlomok \u003d k sa volá sklon rovno.
Príklad... Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi A (1, 2) a B (3, 4).
Rozhodnutie. Použitím vyššie uvedeného vzorca dostaneme:
Rovnica priamky podľa bodu a sklonu
Ak celkový Ax + Vu + C \u003d 0 prinesie do formulára:
a určiť 
, potom sa volá výsledná rovnica rovnica priamky so sklonomk.
Rovnica priamky pozdĺž bodu a vektora smeru
Analogicky s odsekom, ktorý uvažuje o rovnici priamky vedenej normálovým vektorom, môžete zadať špecifikáciu priamky vedenej bodom a smerovým vektorom priamky.
Definícia. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), ktorého zložky spĺňajú podmienku А α 1 + В α 2 \u003d 0, sa nazýva smerový vektor priamky
Sekera + Wu + C \u003d 0.
Príklad. Nájdite rovnicu priamky so smerovým vektorom (1, -1) a prechádzajúcim bodom A (1, 2).
Rozhodnutie. Rovnicu požadovanej priamky budeme hľadať v tvare: Ax + By + C \u003d 0. Podľa definície musia koeficienty vyhovovať podmienkam:
1 * A + (-1) * B \u003d 0, t.j. A \u003d B.
Potom má rovnica priamky tvar: Ax + Ay + C \u003d 0, alebo x + y + C / A \u003d 0. pre x \u003d 1, y \u003d 2 dostaneme C / A \u003d -3, t.j. požadovaná rovnica:
Rovnica priamky v segmentoch
Ak vo všeobecnej rovnici priamky Ax + Vy + C \u003d 0 C ≠ 0, potom vydelením –C dostaneme: 
alebo
Geometrický význam koeficientov je, že koeficient a je súradnica priesečníka priamky s osou Ox, a b - súradnica priesečníka priamky s osou Oy.
Príklad. Je daná všeobecná rovnica priamky x - y + 1 \u003d 0. Nájdite rovnicu tejto priamky po segmentoch.
C \u003d 1, a \u003d -1, b \u003d 1.
Normálna rovnica priamky
Ak sú obe strany rovnice Ax + Vy + C \u003d 0 vynásobené číslom 
ktorá sa volá normalizačný faktor, potom dostaneme
xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -
normálna rovnica priamky. Znamienko ± normalizačného faktora by sa malo zvoliť tak, aby μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Príklad... Je uvedená všeobecná rovnica priamky 12x - 5y - 65 \u003d 0. Je potrebné písať rôzne typy rovníc tejto priamky.
rovnica tejto priamky v segmentoch: 
rovnica tejto priamky so sklonom: (vydelte 5)
; cos φ \u003d 12/13; sin φ \u003d -5/13; p \u003d 5.
Je potrebné poznamenať, že nie každá priamka môže byť reprezentovaná rovnicou v segmentoch, napríklad priamkami rovnobežnými s osami alebo prechádzajúcimi počiatkom.
Príklad... Priamka odrezáva rovnaké kladné segmenty na súradnicových osiach. Ak plocha trojuholníka tvoreného týmito segmentmi je 8 cm 2, urobte rovnicu.
Rozhodnutie. Rovnica priamky má tvar :, ab / 2 \u003d 8; ab \u003d 16; a \u003d 4, a \u003d -4. a \u003d -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.
Príklad... Vytvorte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom A (-2, -3) a začiatkom.
Rozhodnutie.
Rovná priamka má tvar: 
, kde x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y2 \u003d -3.
Uhol medzi rovnými čiarami v rovine
Definícia. Ak sú uvedené dve priamky y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, potom bude ostrý uhol medzi týmito priamkami definovaný ako
.
Dve priame čiary sú rovnobežné, ak k 1 \u003d k 2. Dve priame čiary sú kolmé, ak k 1 \u003d -1 / k 2.
Veta.Priamky Ax + By + C \u003d 0 a A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sú rovnobežné, keď sú proporcionálne koeficienty A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Ak tiež С 1 \u003d λС, potom sa riadky zhodujú. Súradnice priesečníka dvoch priamok sa nachádzajú ako riešenie systému rovníc týchto priamok.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku
Definícia. Priamku prechádzajúcu bodom M 1 (x 1, y 1) a kolmú na priamku y \u003d kx + b predstavuje rovnica:
Vzdialenosť od bodu k čiare
Veta.Ak je daný bod M (x 0, y 0), potom je vzdialenosť k priamke Ax + Vy + C \u003d 0 určená ako
.
Dôkazy. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:
(1)
Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť ako riešenie systému rovníc:
Druhá rovnica systému je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmo na danú priamku. Ak transformujeme prvú rovnicu systému do formy:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + O 0 + C \u003d 0,
potom, riešenie, dostaneme:
Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) nájdeme:
Veta je dokázaná.
Príklad... Určte uhol medzi priamkami: y \u003d -3 x + 7; y \u003d 2 x + 1.
k1 \u003d -3; k2 \u003d 2; tgφ \u003d 
; φ \u003d π / 4.
Príklad... Ukážte, že priame čiary 3x - 5y + 7 \u003d 0 a 10x + 6y - 3 \u003d 0 sú kolmé.
Rozhodnutie... Nájdeme: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, teda priame čiary sú kolmé.
Príklad... Sú uvedené vrcholy trojuholníka A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nájdite rovnicu pre výšku vyvodenú z vrcholu C.
Rozhodnutie... Nájdeme rovnicu strany AB: 
; 4 x \u003d 6 y - 6;
2 x - 3 r + 3 \u003d 0;
Požadovaná výšková rovnica je: Ax + By + C \u003d 0 alebo y \u003d kx + b. k \u003d. Potom y \u003d. Pretože výška prechádza bodom C, potom jeho súradnice vyhovujú tejto rovnici: 
odkiaľ b \u003d 17. Spolu :. 
Odpoveď: 3 x + 2 r - 34 \u003d 0.
Nechajte čiaru prejsť cez body M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y-y 1 \u003d k (x - x 1), (10,6)
kde k - stále neznámy koeficient.
Pretože priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia vyhovovať rovnici (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).
Odtiaľto nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k
do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2: 
Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Ak x 1 \u003d x 2, potom je priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1, y I) a M 2 (x 2, y 2) rovnobežná s osou súradnice. Jeho rovnica má tvar x \u003d x 1 .
Ak y 2 \u003d y I, potom rovnicu priamky môžeme zapísať v tvare y \u003d y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou úsečky.
Rovnica priamky v segmentoch
Nechajte priamku pretínať os Ox v bode M 1 (a; 0) a os Oy - v bode M 2 (0; b). Rovnica sa stáva: 
tie. 
... Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla a a b označujú, ktoré segmenty sú odrezané priamkou na súradnicových osiach.
Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor
Nájdeme rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmú na daný nenulový vektor n \u003d (A; B).
Vezmite ľubovoľný bod M (x; y) na priamke a zvážte vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin je nulový: to znamená
A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)
Rovnica (10.8) sa volá rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor .
Vektor n \u003d (A; B), kolmý na priamku, sa nazýva normálny normálový vektor tejto priamky .
Rovnicu (10.8) možno prepísať na Sekera + Wu + C \u003d 0 , (10.9)
kde A a B sú súradnice normálového vektora, C \u003d -Aх о - Ву о - voľný člen. Rovnica (10,9) je všeobecná rovnica priamky (pozri obr. 2).
Obr. 1 Obr. 2. Obr
Kanonické rovnice priamky
,
Kde 
- súradnice bodu, cez ktorý prechádza priamka, a 
- smerový vektor.
Kruhy kriviek druhého rádu
Kružnica je množina všetkých bodov roviny v rovnakej vzdialenosti od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.
Kanonická rovnica kružnice s polomerom
R vycentrovaný v bode 
:
Najmä ak sa stred kolónu zhoduje s počiatkom, potom bude rovnica vyzerať takto: 
Elipsa
Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom
a 
, ktoré sa nazývajú ohniská, sú konštantné 
väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami 
.
Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox, a pôvod súradníc v strede medzi ohniskami má tvar 
r 
dea dĺžka hlavnej osi;b - dĺžka polovičnej osi (obr. 2).
