Je pozoruhodné, že vlastnosť uvedená v Pytagorovej vete je charakteristickou vlastnosťou pravouhlého trojuholníka. Vyplýva to z vety, ktorá sa obracia na Pytagorovu vetu.
Veta: Ak sa druhá mocnina jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom je trojuholník pravouhlý.
Heronov vzorec
Odvoďme vzorec vyjadrujúci rovinu trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho strán. Tento vzorec je spojený s menom Herona Alexandrijského, starogréckeho matematika a mechanika, ktorý žil pravdepodobne v 1. storočí nášho letopočtu. Geron venoval veľkú pozornosť praktickým aplikáciám geometrie.
Veta. Plochu S trojuholníka, ktorého strany sa rovnajú a, b, c, vypočítame podľa vzorca S =, kde p je polovica obvodu trojuholníka.
Dôkaz.
Dané: ABC, AB = c, BC = a, AC = b Uhly A a B, ostré. CH - výška.
dokázať:
dôkaz:
Uvažujme trojuholník ABC s AB = c, BC = a, AC = b. Každý trojuholník má aspoň dva ostré rohy. Nech A a B sú ostré uhly trojuholníka ABC. Potom základňa H výšky CH trojuholníka leží na strane AB. Zaveďme označenie: CH = h, AH = y, HB = x. podľa Pytagorovej vety a 2 - x 2 = h 2 = b 2 -y 2, odkiaľ
Y 2 - x 2 = b 2 - a 2, alebo (y - x) (y + x) = b 2 - a 2, a keďže y + x = c, potom y- x = (b2 - a2).
Pridaním posledných dvoch rovnosti dostaneme:
2y = + c, odkiaľ
y =, a teda h 2 = b 2 -y 2 = (b - y) (b + y) =
Preto h =.
Pytagorova veta Je jednou zo základných teorém euklidovskej geometrie, ktorá vytvára vzťah
medzi stranami pravouhlého trojuholníka.
Predpokladá sa, že to dokázal grécky matematik Pytagoras, po ktorom bol pomenovaný.
Geometrická formulácia Pytagorovej vety.
Pôvodne bola veta formulovaná takto:
V pravouhlom trojuholníku sa plocha štvorca postaveného na prepone rovná súčtu plôch štvorcov,
postavené na nohách.
Algebraická formulácia Pytagorovej vety.
V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok nôh.
Teda označenie dĺžky prepony trojuholníka o c, a dĺžky nôh cez a a b:
Obe formulácie Pytagorove vety sú ekvivalentné, ale druhá formulácia je elementárnejšia, nie je
vyžaduje koncepciu oblasti. To znamená, že druhé tvrdenie je možné overiť bez toho, aby ste vedeli čokoľvek o oblasti a
meraním iba dĺžok strán pravouhlého trojuholníka.
Konverzná Pythagorova veta.
Ak sa štvorec jednej strany trojuholníka rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán, potom
obdĺžnikový trojuholník.
Alebo inak povedané:
Pre ľubovoľnú trojicu kladných čísel a, b a c také že
je tu pravouhlý trojuholník s nohami a a b a preponu c.
Pytagorova veta pre rovnoramenný trojuholník.
Pytagorova veta pre rovnostranný trojuholník.
Dôkazy Pytagorovej vety.
V súčasnosti je vo vedeckej literatúre zaznamenaných 367 dôkazov tejto vety. Pravdepodobne teorém
Pytagoras je jediná veta s takým pôsobivým počtom dôkazov. Taká rozmanitosť
možno vysvetliť iba základným významom vety pre geometriu.
Samozrejme, koncepčne všetky možno rozdeliť do malého počtu tried. Najznámejší z nich:
dôkaz plošná metóda, axiomatická a exotické dôkazy(Napríklad,
cez diferenciálne rovnice).
1. Dôkaz Pytagorovej vety prostredníctvom podobných trojuholníkov.
Nasledujúci dôkaz algebraickej formulácie je najjednoduchší zo skúmaných dôkazov
priamo z axióm. Najmä nepoužíva koncept plochy postavy.
Nechaj ABC existuje pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C... Nakreslíme výšku od C a označujú
jeho základ cez H.
Trojuholník ACH ako trojuholník AB C v dvoch rohoch. Podobne trojuholník CBH je podobný ABC.
Predstavenie notácie:
dostaneme:
,
čo zodpovedá -
Pridaním a 2 a b 2, dostaneme:
alebo podľa potreby preukázať.
2. Dôkaz Pytagorovej vety plošnou metódou.
Nižšie uvedené dôkazy, napriek ich zdanlivej jednoduchosti, nie sú vôbec také jednoduché. Všetky
využiť vlastnosti oblasti, ktorých dôkaz je náročnejší ako dôkaz samotnej Pytagorovej vety.
- Dôkaz prostredníctvom rovnakej komplementárnosti.
Umiestnite štyri rovnaké obdĺžnikové
trojuholník, ako je znázornené na obrázku
napravo.
Štvoruholník so stranami c- námestie,
keďže súčet dvoch ostrých uhlov je 90° a
rozšírený uhol - 180 °.
Plocha celej postavy je na jednej strane
plocha štvorca so stranou ( a + b), a na druhej strane súčet obsahov štyroch trojuholníkov a
Q.E.D.
3. Dôkaz Pytagorovej vety metódou infinitezimálu.
Vzhľadom na výkres zobrazený na obrázku a
sleduje zmenu stranya, môžeme
napíšte nasledujúci vzťah pre nekonečno
malý bočné prírastkyS a a(pomocou podobnosti
trojuholníky):
Pomocou metódy variabilnej separácie zistíme:
Všeobecnejší výraz pre zmenu prepony v prípade prírastkov oboch nôh:
Integráciou tejto rovnice a použitím počiatočných podmienok dostaneme:
Dostávame sa teda k požadovanej odpovedi:
Ako je ľahké vidieť, kvadratická závislosť v konečnom vzorci sa javí ako lineárna
úmernosť medzi stranami trojuholníka a prírastkami, pričom súčet súvisí s nezávislou
príspevky z prírastku rôznych nôh.
Jednoduchší dôkaz možno získať, ak predpokladáme, že jedna z nôh nezaznamená prírastok
(v tomto prípade noha b). Potom pre konštantu integrácie dostaneme:
Skúmanie tém školských osnov pomocou video lekcií je pohodlný spôsob, ako študovať a osvojiť si materiál. Video pomáha zamerať študentov na hlavné teoretické body a nevynechať dôležité detaily. V prípade potreby si môžu školáci vždy znova vypočuť video lekciu alebo sa vrátiť o niekoľko tém späť.
Tento videonávod pre 8. ročník pomôže študentom preskúmať novú tému v geometrii.
V predchádzajúcej téme sme študovali Pytagorovu vetu a analyzovali jej dôkaz.
Existuje aj veta známa ako inverzná Pytagorova veta. Pozrime sa na to podrobnejšie.
Veta. Trojuholník je obdĺžnikový, ak platí rovnosť: hodnota jednej strany trojuholníka na druhú je rovnaká ako súčet ostatných dvoch strán na druhú.
Dôkaz. Predpokladajme, že máme trojuholník ABC, v ktorom je splnená rovnosť AB 2 = CA 2 + CB 2. Je potrebné dokázať, že uhol C sa rovná 90 stupňom. Uvažujme trojuholník A 1 B 1 C 1, v ktorom je uhol C 1 90 stupňov, strana C 1 A 1 sa rovná CA a strana B 1 C 1 sa rovná BC.
Použitím Pytagorovej vety zapíšeme pomer strán trojuholníka A 1 C 1 B 1: A 1 B 1 2 = C 1 A 1 2 + C 1 B 1 2. Nahradením výrazu rovnakými stranami dostaneme A 1 B 1 2 = CA 2 + CB 2.
Z podmienok vety vieme, že AB 2 = CA 2 + CB 2. Potom môžeme napísať A 1 B 1 2 = AB 2, čo znamená, že A 1 B 1 = AB.
Zistili sme, že v trojuholníkoch ABC a A 1 B 1 C 1 sú tri strany rovnaké: A 1 C 1 = AC, B 1 C 1 = BC, A 1 B 1 = AB. Preto sú tieto trojuholníky rovnaké. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že uhol C sa rovná uhlu C 1 a teda sa rovná 90 stupňom. Zistili sme, že trojuholník ABC je pravouhlý a jeho uhol C je 90 stupňov. Túto vetu sme dokázali.
Autor potom uvádza príklad. Povedzme, že je daný ľubovoľný trojuholník. Veľkosti jeho strán sú známe: 5, 4 a 3 jednotky. Skontrolujme tvrdenie z vety konvertujúcej k Pytagorovej vete: 5 2 = 3 2 + 4 2. Toto tvrdenie je pravdivé, takže tento trojuholník je obdĺžnikový.
V nasledujúcich príkladoch budú trojuholníky tiež pravouhlé, ak sú ich strany rovnaké:
5, 12, 13 jednotiek; rovnosť 13 2 = 5 2 + 12 2 je správna;
8, 15, 17 jednotiek; rovnosť 17 2 = 8 2 + 15 2 je správna;
7, 24, 25 jednotiek; rovnosť 25 2 = 7 2 + 24 2 je správna.
Koncept Pytagorovho trojuholníka je dobre známy. Je to pravouhlý trojuholník s hodnotami strán rovnými celým číslam. Ak sú nohy pytagorovho trojuholníka označené a a c a prepona b, potom hodnoty strán tohto trojuholníka možno zapísať pomocou nasledujúcich vzorcov:
b = k x (m2 - n2)
c = k x (m2 + n2)
kde m, n, k sú ľubovoľné prirodzené čísla a hodnota m je väčšia ako hodnota n.
Zaujímavosť: trojuholník so stranami 5, 4 a 3 sa nazýva aj egyptský trojuholník, taký trojuholník poznali už v starovekom Egypte.
V tomto videonávode sme sa zoznámili s inverznou vetou k Pytagorovej vete. Dôkazy sme podrobne preskúmali. Žiaci sa tiež dozvedeli, ktoré trojuholníky sa nazývajú pytagorejské.
Pomocou tejto video lekcie sa študenti môžu sami ľahko oboznámiť s témou „Inverzná k Pytagorovej vete“.
téma: Opačná veta k Pytagorovej vete.
Ciele lekcie: 1) zvážte konverznú vetu k Pytagorovej vete; jeho uplatnenie v procese riešenia problémov; upevniť Pytagorovu vetu a zlepšiť zručnosti pri riešení problémov na jej aplikáciu;
2) rozvíjať logické myslenie, tvorivé hľadanie, kognitívny záujem;
3) vštepovať žiakom zodpovedný prístup k učeniu, kultúru matematickej reči.
Typ lekcie. Lekcia asimilácie nových poznatkov.
Počas vyučovania
І. Organizácia času
ІІ. Aktualizuje sa vedomosti
Ponaučenie pre mňabychcelzačať štvorverším.
Áno, cesta poznania nie je hladká
Ale poznáme to zo školských rokov
Existuje viac záhad ako indícií
A hľadanie nemá žiadne obmedzenia!
Takže v poslednej lekcii ste sa naučili Pytagorovu vetu. otázky:
Pre ktorý obrazec platí Pytagorova veta?
Aký trojuholník sa nazýva obdĺžnikový?
Formulujte Pytagorovu vetu.
Ako sa píše Pytagorova veta pre každý trojuholník?
Aké trojuholníky sa nazývajú rovnaké?
Aké sú kritériá rovnosti trojuholníkov?
Teraz urobme malú nezávislú prácu:
Riešenie problémov podľa výkresov.
№1
(1 str.) Nájdi: AB.
№2
(1 str.) Nájdite: ВС.
№3
( 2 b.)Nájsť: АС
№4
(1 str.)Nájsť: АС
№5 Dané: ABCDkosoštvorec
(2b.) AB = 13 cm
AC = 10 cm
Nájsť vD
Autotest #1. 5
№2. 5
№3. 16
№4. 13
№5. 24
ІІІ. Štúdia o Nový materiál.
Starovekí Egypťania stavali na zemi pravé uhly týmto spôsobom: lano rozdelili na 12 rovnakých častí uzlami, zviazali jeho konce, potom sa lano natiahlo na zem tak, aby vznikol trojuholník so stranami 3, 4 a 5 dielikov. bola vytvorená. Roh trojuholníka, ktorý ležal oproti strane s 5 dielikmi, bol rovný.
Môžete vysvetliť správnosť tohto rozsudku?
V dôsledku hľadania odpovede na otázku by študenti mali pochopiť, že z matematického hľadiska je otázka: bude trojuholník obdĺžnikový.
Máme problém: ako bez meraní určiť, či trojuholník s danými stranami bude pravouhlý. Riešenie tohto problému je cieľom lekcie.
Zapíšte si tému lekcie.
Veta. Ak sa súčet štvorcov dvoch strán trojuholníka rovná štvorcu tretej strany, potom je takýto trojuholník obdĺžnikový.
Dokážte vetu sami (zostavte si dôkazový plán podľa učebnice).
Z tejto vety vyplýva, že trojuholník so stranami 3, 4, 5 je pravouhlý (egyptský).
Vo všeobecnosti čísla, pre ktoré platí rovnosť , sa nazývajú pytagorejské triplety. A trojuholníky, ktorých dĺžky strán sú vyjadrené pytagorovskými trojicami (6, 8, 10), sú pytagorejské trojuholníky.
Ukotvenie.
Pretože , potom trojuholník so stranami 12, 13, 5 nie je pravouhlý.
Pretože , potom trojuholník so stranami 1, 5, 6 je obdĺžnikový.
№ 430 (a, b, c)
( - nie je)
