한계는 모든 수학 학생들에게 많은 어려움을 안겨줍니다. 한계를 해결하려면 때로는 많은 트릭을 사용해야 하고 다양한 해결 방법 중에서 특정 예에 적합한 방법을 선택해야 합니다.
이 기사에서는 능력의 한계를 이해하거나 제어의 한계를 이해하는 데 도움을 주지는 않지만 고등 수학에서 한계를 이해하는 방법이라는 질문에 답하려고 노력할 것입니다. 이해는 경험과 함께 제공되므로 동시에 몇 가지 정보를 제공하겠습니다. 자세한 예설명과 함께 한계 해결.
수학에서 극한의 개념
첫 번째 질문은 이 한계는 무엇이며, 그 한계는 무엇입니까? 숫자 시퀀스와 함수의 한계에 대해 이야기할 수 있습니다. 우리는 함수의 극한이라는 개념에 관심이 있습니다. 왜냐하면 이것이 학생들이 가장 자주 접하게 되는 것이기 때문입니다. 하지만 먼저 - 가장 일반적인 정의한계:
변수 값이 있다고 가정해 보겠습니다. 변화하는 과정에서 이 값이 특정 숫자에 무한히 접근하면 ㅏ , 저것 ㅏ – 이 값의 한계.
특정 간격으로 정의된 함수의 경우 f(x)=y 그러한 숫자를 한계라고 부릅니다. ㅏ , 함수는 다음과 같은 경향이 있습니다. 엑스 , 특정 지점으로 경향 ㅏ . 점 ㅏ 함수가 정의된 간격에 속합니다.
번거롭게 들리지만 매우 간단하게 작성되었습니다.
임- 영어로부터 한계- 한계.
한계를 결정하기 위한 기하학적 설명도 있지만 여기서는 문제의 이론적인 측면보다는 실제적인 측면에 더 관심이 있기 때문에 이론을 자세히 다루지는 않습니다. 우리가 그런 말을 할 때 엑스 어떤 값을 갖는 경향이 있다는 것은 변수가 숫자의 값을 취하지 않고 무한히 가깝게 접근한다는 것을 의미합니다.
주자 구체적인 예. 임무는 한계를 찾는 것입니다.
이 예를 해결하기 위해 값을 대체합니다. x=3 함수로. 우리는 다음을 얻습니다:
그건 그렇고, 관심이 있다면 이 주제에 대한 별도의 기사를 읽어보십시오.
예에서 엑스 어떤 가치에도 영향을 미칠 수 있습니다. 임의의 숫자 또는 무한대가 될 수 있습니다. 다음은 다음과 같은 경우의 예입니다. 엑스 무한대로 가는 경향이 있습니다.
직관적으로 무엇이 무엇인지 명확합니다. 더 큰 숫자분모에서 함수가 취하는 값은 작아집니다. 그래서 무한한 성장으로 엑스 의미 1/x 감소하여 0에 가까워집니다.
보시다시피, 한계를 해결하려면 노력하려는 값을 함수에 대입하면 됩니다. 엑스 . 그러나 이것은 가장 간단한 경우입니다. 한계를 찾는 것이 그리 명확하지 않은 경우가 많습니다. 한계 내에는 유형의 불확실성이 있습니다. 0/0 또는 무한대/무한대 . 그러한 경우에는 어떻게 해야 합니까? 트릭을 사용하세요!
내부의 불확실성
무한대/무한대 형태의 불확실성
제한을 두십시오.
함수에 무한대를 대입하려고 하면 분자와 분모 모두 무한대를 얻게 됩니다. 일반적으로 그러한 불확실성을 해결하는 데에는 예술의 특정 요소가 있다고 말할 가치가 있습니다. 불확실성이 사라지는 방식으로 기능을 어떻게 변환할 수 있는지 주목해야 합니다. 우리의 경우에는 분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스 고위 학위에서. 무슨 일이 일어날 것?
위에서 이미 논의한 예에서 우리는 분모에 x를 포함하는 항이 0이 되는 경향이 있다는 것을 알고 있습니다. 그러면 한계에 대한 해결책은 다음과 같습니다.
유형 불확실성을 해결하려면 무한대/무한대분자와 분모를 다음과 같이 나눕니다. 엑스최고 수준으로.
그런데! 독자 여러분을 위해 지금 10% 할인 혜택이 제공됩니다.
또 다른 유형의 불확실성: 0/0
언제나 그렇듯이 함수에 값을 대입하면 x=-1 준다 0 분자와 분모에. 조금 더 자세히 살펴보면 분자에 이차 방정식이 있다는 것을 알 수 있습니다. 뿌리를 찾아서 다음과 같이 작성해 봅시다.
줄이고 다음을 얻자:
따라서 유형이 확실하지 않은 경우 0/0 – 분자와 분모를 인수분해합니다.
예제를 더 쉽게 풀 수 있도록 일부 기능의 제한 사항이 포함된 표를 제시합니다.
로피탈의 법칙
또 다른 강력한 방법, 두 유형 모두의 불확실성을 제거할 수 있습니다. 이 방법의 본질은 무엇입니까?
극한에 불확실성이 있으면 불확실성이 사라질 때까지 분자와 분모를 미분합니다.
로피탈의 법칙은 다음과 같습니다.
중요한 점 : 분자와 분모 대신 분자와 분모의 도함수가 존재해야 하는 한계.
이제 실제 예를 들어보겠습니다.
전형적인 불확실성이 있습니다. 0/0 . 분자와 분모의 미분을 살펴보겠습니다.
짜잔, 불확실성이 빠르고 우아하게 해결되었습니다.
이 정보를 실제로 유용하게 적용하고 "고등 수학에서 한계를 해결하는 방법"이라는 질문에 대한 답을 찾을 수 있기를 바랍니다. 수열의 극한이나 한 지점에서 함수의 극한을 계산해야 하는데, 이 작업을 할 시간이 전혀 없다면, 전문 학생 서비스에 문의하여 신속하고 신속하게 상세한 솔루션.
첫 번째 주목할만한 한계는 다음과 같은 평등입니다.
\begin(방정식)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
$\alpha\to(0)$에 대해 $\sin\alpha\to(0)$이 있기 때문에 그들은 첫 번째 주목할만한 극한이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 드러낸다고 말합니다. 일반적으로 공식 (1)에서는 $\alpha$ 변수 대신 두 가지 조건이 충족되는 한 모든 표현식을 사인 부호와 분모 아래에 배치할 수 있습니다.
- 사인 부호 아래의 표현식과 분모의 표현식은 동시에 0이 되는 경향이 있습니다. $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다.
- 사인 기호 아래의 식과 분모의 식은 동일합니다.
첫 번째 결과의 추론도 자주 사용됩니다. 멋진 한계:
\begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식) \begin(방정식) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(방정식)
이 페이지에서는 11개의 예제가 해결되었습니다. 예제 1은 공식 (2)-(4)의 증명에 관한 것입니다. 예제 2번, 3번, 4번, 5번에는 자세한 설명이 포함된 솔루션이 포함되어 있습니다. 예제 번호 6-10에는 이전 예제에서 자세한 설명이 제공되었기 때문에 사실상 설명이 없는 솔루션이 포함되어 있습니다. 솔루션은 일부를 사용합니다. 삼각법 공식그것은 찾을 수 있습니다.
불확실성 $\frac (0) (0)$과 결합된 삼각 함수의 존재가 반드시 첫 번째 주목할만한 극한의 적용을 의미하는 것은 아닙니다. 때로는 간단한 삼각 변환으로 충분할 때도 있습니다. 예를 들면 다음을 참조하세요.
예 1
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha )임을 증명하세요. (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$ 이후:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
$\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ 및 $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ 이므로, 저것:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) $\alpha=\sin(y)$를 변경해 보겠습니다. $\sin(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 조건에서 $y\to(0)$이 됩니다. 또한 $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$인 0 근처가 있으므로 다음과 같습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$이 등식으로 입증되었습니다.
c) $\alpha=\tg(y)$를 대체해 보겠습니다. $\tg(0)=0$이므로 $\alpha\to(0)$ 및 $y\to(0)$ 조건은 동일합니다. 또한 $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$인 0 근처가 있으므로 점 a)의 결과를 기반으로 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
$\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$이 등식으로 입증되었습니다.
등식 a), b), c)는 종종 첫 번째 주목할만한 극한과 함께 사용됩니다.
예 2
극한 계산 $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) ( x+7))$.
$\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ 및 $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, 즉 그리고 분수의 분자와 분모는 동시에 0이 되는 경향이 있습니다. 여기서 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. 완료. 또한 사인 기호와 분모 아래의 식이 일치한다는 것이 분명합니다(즉, 만족함).
따라서 페이지 시작 부분에 나열된 두 조건이 모두 충족됩니다. 이에 따라 공식이 적용 가능해집니다. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.
답변: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.
예 3
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))x=0$이므로 $\frac 형식의 불확실성을 처리합니다. (0 )(0)$, 즉 완료. 그러나 사인 기호 아래의 표현과 분모의 표현은 일치하지 않습니다. 여기서 분모의 표현을 다음과 같이 조정해야 합니다. 필수 양식. 분모에 $9x$라는 표현이 필요하며, 그러면 그것이 참이 됩니다. 기본적으로 분모에 $9$라는 요소가 누락되어 있는데 입력하기가 그리 어렵지 않습니다. 분모의 표현식에 $9$를 곱하기만 하면 됩니다. 당연히 $9$의 곱셈을 보상하려면 즉시 $9$로 나누어야 합니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
이제 분모와 사인 기호 아래의 표현이 일치합니다. 극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$에 대한 두 조건이 모두 충족됩니다. 따라서 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$입니다. 이는 다음을 의미합니다.
$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
예 4
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ 및 $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$이므로 여기서는 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. $\frac(0)(0)$. 그러나 첫 번째 주목할만한 한계의 형태가 위반되었습니다. $\sin(5x)$를 포함하는 분자에는 $5x$의 분모가 필요합니다. 이 상황에서 가장 쉬운 방법은 분자를 $5x$로 나누고 즉시 $5x$를 곱하는 것입니다. 또한 $\tg(8x)$를 $8x$로 곱하고 나누는 유사한 연산을 분모에 대해 수행합니다.
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
$x$만큼 줄이고 상수 $\frac(5)(8)$를 극한 기호 밖으로 가져가면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$는 첫 번째 주목할만한 한계에 대한 요구 사항을 완전히 충족합니다. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$를 찾으려면 다음 공식을 적용할 수 있습니다.
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
예 번호 5
$\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$를 구하세요.
$\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$이므로 ($\cos(0)=1$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^2=0$이면 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 처리하게 됩니다. 그러나 첫 번째 놀라운 극한을 적용하려면 분자에서 코사인을 제거하고 사인(공식을 적용하기 위해) 또는 탄젠트(공식을 적용하기 위해)로 이동해야 합니다. 이는 다음 변환을 통해 수행할 수 있습니다.
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) $$
분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$는 이미 첫 번째 주목할만한 극한에 필요한 형식에 가깝습니다. 분수 $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$를 사용하여 첫 번째 놀라운 극한으로 조정해 보겠습니다(분자와 사인 아래의 표현식이 일치해야 함).
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
문제의 한계로 돌아가 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
예 번호 6
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$를 구합니다.
$\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ 및 $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$이므로, 우리는 불확실성 $\frac(0)(0)$을 다루고 있습니다. 첫 번째 놀라운 한계를 통해 이를 공개해 보겠습니다. 이를 위해 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다. $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$이므로 다음과 같습니다.
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
주어진 한도 내에서 사인을 전달하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
예 번호 7
$\alpha\neq에 따라 한계 $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$를 계산합니다. \ 베타$.
자세한 설명은 이전에 제공되었지만 여기서는 불확실성 $\frac(0)(0)$이 있음을 다시 한 번 언급합니다. 공식을 사용하여 코사인에서 사인으로 이동해 보겠습니다.
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
이 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\오른쪽| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ 베타(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ 알파^2)(2)$.
예 번호 8
극한 $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$를 구합니다.
$\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$이므로 ($\sin(0)=\tg(0)=0$) 및 $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, 여기서는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 다루고 있습니다. 다음과 같이 분석해 보겠습니다.
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\오른쪽)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\오른쪽) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
답변: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
예시 번호 9
극한 $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$를 구합니다.
$\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ 및 $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$이면 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수 $\alpha \to 0$에 유의하세요). 가장 쉬운 방법은 $t=x-3$ 변수를 도입하는 것입니다. 그러나 추가 변환의 편의를 위해(이 이점은 아래 솔루션 과정에서 볼 수 있음) $t=\frac(x-3)(2)$로 대체하는 것이 좋습니다. 이 경우 두 가지 대체 방법을 모두 적용할 수 있다는 점에 유의하세요. 두 번째 대체 방법을 사용하면 분수 작업을 덜 할 수 있습니다. $x\to(3)$ 이후 $t\to(0)$입니다.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
답변: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
예 번호 10
극한을 구합니다 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2 )$.
다시 한번 우리는 불확실성 $\frac(0)(0)$을 다루고 있습니다. 확장을 진행하기 전에 새 변수가 0이 되는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리합니다(공식에서 변수는 $\alpha\to(0)$입니다). 가장 쉬운 방법은 변수 $t=\frac(\pi)(2)-x$를 도입하는 것입니다. $x\to\frac(\pi)(2)$ 이후 $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\왼쪽|\frac(0)(0)\오른쪽| =\left|\begin(정렬)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(정렬)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
답변: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
예 번호 11
한계 찾기 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
이 경우 첫 번째 놀라운 한계를 사용할 필요가 없습니다. 첫 번째와 두 번째 극한에는 삼각 함수와 숫자만 포함되어 있습니다. 이런 종류의 예에서는 종종 극한 기호 아래에 있는 표현을 단순화하는 것이 가능합니다. 또한 앞서 언급한 일부 요소를 단순화하고 축소한 후에는 불확실성이 사라집니다. 나는 단 하나의 목적으로 이 예를 제시했습니다. 극한 기호 아래에 삼각 함수가 존재한다고 해서 반드시 첫 번째 주목할만한 극한을 사용하는 것을 의미하지는 않는다는 것을 보여주기 위한 것입니다.
$\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ 이후 ( $\sin\frac(\pi)(2)=1$ 을 기억하세요) 그리고 $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ ($\cos\frac(\pi)(2)=0$), 그러면 우리는 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성을 처리합니다. 그러나 이것이 우리가 첫 번째 놀라운 한계를 사용해야 한다는 의미는 아닙니다. 불확실성을 밝히려면 $\cos^2x=1-\sin^2x$를 고려하는 것으로 충분합니다.
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Demidovich의 솔루션 북(No. 475)에도 유사한 솔루션이 있습니다. 두 번째 극한에 대해서는 이 섹션의 이전 예에서와 같이 $\frac(0)(0)$ 형식의 불확실성이 있습니다. 왜 발생합니까? 이는 $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ 및 $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$ 때문에 발생합니다. 우리는 이 값을 사용하여 분자와 분모의 표현식을 변환합니다. 우리 행동의 목표는 분자와 분모의 합을 곱으로 적는 것입니다. 그런데 유사한 유형 내에서는 새 변수가 0이 되는 경향이 있는 방식으로 변수를 변경하는 것이 편리한 경우가 많습니다(예를 들어 이 페이지의 예 9번 또는 10번 참조). 그러나 이 예에서는 원하는 경우 $t=x-\frac(2\pi)(3)$ 변수를 바꾸는 것이 구현하기 어렵지 않지만 대체할 필요가 없습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
보시다시피, 우리는 첫 번째 멋진 제한을 적용할 필요가 없었습니다. 물론 원한다면 이 작업을 수행할 수 있지만(아래 참고 참조) 반드시 그럴 필요는 없습니다.
첫 번째 놀라운 한계를 이용한 해결책은 무엇입니까? 표시\숨기기
첫 번째 놀라운 한계를 사용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ 오른쪽))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 삼)). $$
답변: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.
기능 제한- 숫자 ㅏ변화 과정에서 이 가변량이 무한정 접근하는 경우 일부 가변량의 한계가 될 것입니다. ㅏ.
혹은 다른 말로 숫자 ㅏ함수의 한계입니다 y = f(x)그 시점에 x 0, 함수 정의 영역의 일련의 점에 대해 같지 않은 경우 x 0, 그리고 이는 점으로 수렴됩니다. x 0 (극한 x n = x0), 해당 함수 값의 순서는 숫자로 수렴됩니다. ㅏ.
무한대에 가까워지는 인수가 주어지면 그 극한이 다음과 같은 함수의 그래프 엘:
의미 ㅏ~이다 기능의 한계(한계값) 에프엑스(f(x))그 시점에 x 0일련의 포인트가 있는 경우 
, 이는 다음과 같이 수렴됩니다. x 0, 그러나 다음을 포함하지 않습니다. x 0그 요소 중 하나로 (즉, 구멍이 난 근처에) x 0), 함수 값의 시퀀스 
수렴 ㅏ.
코시 함수의 한계.
의미 ㅏ될거야 기능의 한계 에프엑스(f(x))그 시점에 x 0미리 취해진 음수가 아닌 숫자의 경우 ε 해당하는 음수가 아닌 숫자가 발견됩니다 δ = δ(ε) 각 인수에 대해 엑스, 조건을 만족함 0 < | x - x0 | < δ , 부등식은 만족될 것이다 | 에프엑스(f(x)A) |< ε .
한계의 본질과 이를 찾는 기본 규칙을 이해하면 매우 간단할 것입니다. 기능의 한계는 무엇입니까 에프 (엑스)~에 엑스위해 노력하다 ㅏ같음 ㅏ, 다음과 같이 작성됩니다.
또한, 변수가 경향이 있는 값은 엑스는 숫자일 뿐만 아니라 무한대(무한대)일 수도 있고 때로는 +무한대 또는 -무한대일 수도 있고 전혀 제한이 없을 수도 있습니다.
방법을 이해하려면 함수의 한계를 찾아라, 솔루션의 예를 살펴보는 것이 가장 좋습니다.
함수의 한계를 찾는 것이 필요하다 에프 (x) = 1/엑스에:
엑스→ 2, 엑스→ 0, 엑스→ ∞.
첫 번째 한계에 대한 해결책을 찾아보겠습니다. 이렇게 하려면 간단히 대체할 수 있습니다. 엑스경향이 있는 숫자, 즉 2, 우리는 다음을 얻습니다:
함수의 두 번째 극한을 찾아봅시다. 여기로 대체하세요 순수한 형태대신 0 엑스그것은 불가능하다. 왜냐하면 0으로 나눌 수는 없습니다. 그러나 0.01과 같이 0에 가까운 값을 취할 수 있습니다. 0.001; 0.0001; 0.00001 등, 그리고 함수의 값 에프 (엑스)증가합니다: 100; 1000; 10000; 100,000 등등. 따라서 다음과 같은 경우가 이해될 수 있습니다. 엑스→ 0 제한 기호 아래에 있는 함수의 값은 제한 없이 증가합니다. 즉, 무한을 향해 노력하라. 이는 다음을 의미합니다.
세 번째 한계에 관해서. 이전 사례와 동일한 상황으로 대체가 불가능합니다. ∞ 가장 순수한 형태로. 무한증액의 경우도 생각해볼 필요가 있다 엑스. 우리는 1000을 하나씩 대체합니다. 10000; 100000 등, 우리는 함수의 값을 가지고 있습니다 에프 (x) = 1/엑스감소합니다: 0.001; 0.0001; 0.00001; 등등, 0이 되는 경향이 있습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.
함수의 한계를 계산해야 합니다. 
두 번째 예를 풀기 시작하면 불확실성이 보입니다. 여기에서 우리는 분자와 분모의 가장 높은 차수를 찾습니다. x 3, 분자와 분모의 괄호에서 꺼내어 다음과 같이 줄입니다.
답변 
첫 번째 단계 이 한계를 찾아, 대신 값 1을 대체하십시오. 엑스, 결과적으로 불확실성이 발생합니다. 이를 해결하기 위해 분자를 인수분해하고 근을 찾는 방법을 사용하여 이를 해결해 보겠습니다. 이차 방정식 x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ 디=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
따라서 분자는 다음과 같습니다.
답변 
이는 특정 값 또는 기능이 속하는 특정 영역에 대한 정의이며 한계에 의해 제한됩니다.
한계를 해결하려면 다음 규칙을 따르십시오.
본질과 핵심을 이해한 후 한계를 해결하기 위한 규칙, 당신은 얻을 것이다 기본 사상해결 방법에 대해.
기능와이 = 에프 (엑스)는 집합 X의 각 요소 x가 집합 Y의 단 하나의 요소 y와 연관되어 있다는 법칙(규칙)입니다.
요소 x ∈ 엑스~라고 불리는 함수 인수또는 독립 변수.
요소 y ∈ 와이~라고 불리는 함수값또는 종속변수.
집합 X라고 불린다. 함수의 영역.
요소 집합 y ∈ 와이세트 X에 사전 이미지가 있는 를 이라고 합니다. 영역 또는 함수 값 세트.
실제 함수가 호출됩니다. 위에서부터(아래에서) 제한됨, 불평등이 모든 사람에게 적용되는 숫자 M이 있는 경우:
.
숫자 함수가 호출됩니다. 제한된, 모든 사람에 대해 다음과 같은 숫자 M이 있는 경우:
.
상단 가장자리또는 정확한 상한실제 함수는 위에서부터 값의 범위를 제한하는 가장 작은 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 s′: 를 초과하는 인수가 있는 숫자 s입니다.
함수의 상한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다.
.
각기 하단 가장자리또는 정확한 하한실제 함수는 아래에서 값의 범위를 제한하는 가장 큰 숫자라고 합니다. 즉, 이것은 모든 사람과 누구에게나 함수 값이 i′:보다 작은 인수가 있는 숫자 i입니다.
함수의 극한은 다음과 같이 표시될 수 있습니다:
.
함수의 한계 결정
Cauchy에 따른 함수의 극한 결정
끝점에서 기능의 유한한 한계
지점 자체를 제외하고 끝점 근처에서 함수를 정의하도록 합니다. 어느 시점에서 에 따라 에 대한 모든 x에 대해 불평등이 유지되는 것과 같은 것이 있다면
.
함수의 극한은 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .
존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 극한 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
.
일방적인 한계.
한 점의 왼쪽 극한(왼쪽 극한):
.
한 점의 오른쪽 극한(오른쪽 극한):
.
왼쪽 및 오른쪽 한계는 종종 다음과 같이 표시됩니다.
;
.
무한대의 점에서 함수의 유한한계
무한대 지점의 극한도 비슷한 방식으로 결정됩니다.
.
.
.
그들은 종종 다음과 같이 불립니다:
;
;
.
점 근방의 개념을 이용
점의 구멍이 뚫린 이웃 개념을 도입하면 유한하고 무한히 먼 점에서 함수의 유한 극한에 대한 통일된 정의를 제공할 수 있습니다.
.
엔드포인트는 여기
;
;
.
무한대에 있는 모든 점 근처에는 구멍이 뚫립니다.
;
;
.
무한한 기능 제한
정의
함수가 한 점(유한 또는 무한대)의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 합니다. 함수 f의 한계 (엑스) x → x로 0
무한대와 같음, 누구든지 임의로 큰 숫자중 > 0
, 숫자 δ M이 있습니다 > 0
, M에 따라 구멍이 뚫린 δ M - 점 근처에 속하는 모든 x에 대해 다음과 같은 불평등이 유지됩니다.
.
무한한계는 다음과 같이 표시됩니다.
.
또는 .
존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 함수의 무한한 정의는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
.
또한 다음과 같은 특정 부호의 무한 극한 정의를 도입할 수도 있습니다.
.
.
함수 극한의 보편적인 정의
점의 이웃 개념을 사용하여 유한(양면 및 단면) 및 무한히 먼 점 모두에 적용할 수 있는 함수의 유한 및 무한 극한에 대한 보편적인 정의를 제공할 수 있습니다.
.
하이네에 따른 기능의 한계 결정
함수가 X: 집합에 정의되도록 하세요.
숫자 a를 함수의 극한이라고 합니다.시점:
,
x로 수렴하는 시퀀스의 경우 0
:
,
그 요소는 X: 세트에 속합니다.
.
존재와 보편성의 논리적 기호를 사용하여 이 정의를 작성해 보겠습니다.
.
점 x의 왼쪽 이웃을 집합 X로 취하면 0 , 그러면 우리는 왼쪽 극한의 정의를 얻습니다. 오른 손잡이라면 올바른 극한의 정의를 얻습니다. 무한대에 있는 점의 근방을 집합 X로 취하면 함수의 무한대 극한에 대한 정의를 얻을 수 있습니다.
정리
함수의 극한에 대한 Cauchy 정의와 Heine 정의는 동일합니다.
증거
함수 극한의 속성과 정리
또한, 고려중인 함수가 유한수 또는 기호 중 하나인 점의 해당 이웃에 정의되어 있다고 가정합니다. 또한 일측 한계점이 될 수도 있습니다. 즉, 또는 형식을 갖습니다. 이웃은 양면 한계의 경우 양면이고 일방적 한계의 경우 단면입니다.
기본 속성
함수 f의 값이 (엑스)유한한 수의 점 x를 변경(또는 정의하지 않음) 1, x 2, x 3, ... x n, 이 변경은 임의의 점 x에서 함수 극한의 존재와 값에 영향을 미치지 않습니다. 0 .
유한한 한계가 있는 경우 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0
, 함수 f (엑스)제한된:
.
함수가 x 지점을 가지도록 하세요. 0
0이 아닌 유한 한계:
.
그런 다음 간격 의 임의의 숫자 c에 대해 점 x에 구멍이 뚫린 이웃이 있습니다. 0
, 무엇 때문에 ,
, 만약에 ;
, 만약에 .
만약 구멍이 뚫린 지점 근처에서 가 상수이면 .
유한한 한계가 있고 점 x의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0
,
저것 .
만약 , 그리고 그 지점의 일부 근처에
,
저것 .
특히, 어떤 지점 근처에 있는 경우
,
그러면 , 그러면 그리고 ;
만약 , 그때 그리고 .
x 지점의 구멍이 뚫린 근처에 있는 경우 0
:
,
유한한(또는 특정 부호의 무한한) 등호 한계가 있습니다.
, 저것
.
주요 속성에 대한 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수 극한의 기본 속성."
함수 극한의 산술 속성
함수와 포인트의 구멍이 뚫린 근처에서 정의되도록 하세요. 그리고 유한한 한계를 두십시오:
그리고 .
그리고 C를 상수로 두면, 즉 주어진 숫자. 그 다음에
;
;
;
, 만약에 .
그렇다면.
산술 속성의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"함수의 한계에 대한 산술적 속성".
함수의 극한 존재에 대한 코시 기준
정리
유한의 구멍이 뚫린 이웃이나 무한점 x에서 정의된 함수의 경우 0
, 이 시점에서 유한한 한계를 가지므로 모든 ε에 대해 필요하고 충분합니다. > 0
x 지점 근처에 구멍이 뚫린 곳이 있었어요 0
, 모든 점과 이 이웃에서 다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.
복잡한 함수의 한계
복소함수의 극한에 관한 정리
함수에 한계가 있고 구멍이 뚫린 점 근처를 구멍이 난 점 근처에 매핑합니다. 이 근처에 함수를 정의하고 이에 대한 제한을 두십시오.
최종 또는 무한히 먼 지점은 다음과 같습니다. 네이버후드와 그에 상응하는 한계는 양면일 수도 있고 일방일 수도 있습니다.
그런 다음 복잡한 함수의 한계가 있으며 다음과 같습니다.
.
복소함수의 극한 정리는 함수가 한 점에서 정의되지 않거나 극한과 다른 값을 가질 때 적용됩니다. 이 정리를 적용하려면 함수 값 집합에 점이 포함되지 않은 점 근처에 구멍이 뚫린 부분이 있어야 합니다.
.
함수가 점에서 연속인 경우 연속 함수의 인수에 극한 기호를 적용할 수 있습니다.
.
다음은 이 경우에 해당하는 정리이다.
함수의 연속 함수의 한계에 관한 정리
함수 g의 한계를 두자 (티) t → t 0
, 그리고 그것은 x와 같습니다 0
:
.
여기 포인트 t가 있습니다 0
유한하거나 무한히 멀 수 있습니다.
그리고 함수 f를 보자 (엑스)점 x에서 연속이다 0
.
그런 다음 복소 함수 f의 한계가 있습니다. (g(t)), 그리고 그것은 f와 같습니다 (x0):
.
정리의 증명은 페이지에 나와 있습니다.
"복잡한 함수의 한계와 연속성".
무한소 및 무한대 기능
극미량의 기능
정의
다음과 같은 경우 함수를 무한소라고 합니다.
.
합계, 차이 및 곱유한한 수의 무한소 함수 중 는 에서 무한함수입니다.
제한된 함수의 곱점의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 무한소에 대한 무한소 함수는 에 있습니다.
함수가 유한한 한계를 갖기 위해서는 다음이 필요하고 충분합니다.
,
에서 무한함수는 어디에 있습니까?
"무한 함수의 속성".
무한히 큰 기능
정의
다음과 같은 경우 함수가 무한히 크다고 합니다.
.
점 의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 있는 경계 함수의 합 또는 차이와 무한히 큰 함수는 에서 무한히 큰 함수입니다.
함수가 에 대해 무한히 크고 함수가 점의 일부 구멍이 뚫린 이웃에 국한된 경우
.
점 의 일부 구멍이 뚫린 근처에서 함수 가 부등식을 만족하는 경우:
,
함수는 다음과 같이 극미량입니다.
, 그리고 (점의 구멍이 뚫린 부분에서), 그런 다음
.
속성 증명은 섹션에 나와 있습니다.
"무한히 큰 함수의 속성".
무한히 큰 함수와 무한한 함수의 관계
이전의 두 속성에서 무한히 큰 함수와 무한한 함수 사이의 연결이 이어집니다.
함수가 에서 무한히 크면 함수는 에서 무한히 작습니다.
, 및 에 대해 함수가 무한소인 경우 함수는 에 대해 무한히 큽니다.
무한소 함수와 무한히 큰 함수 사이의 관계는 기호로 표현될 수 있습니다.
,
.
무한소 함수가 에서 특정 부호를 갖는 경우, 즉 점의 구멍이 뚫린 근처에서 양수(또는 음수)인 경우 이 사실은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
.
같은 방식으로 무한히 큰 함수가 에 특정 부호를 가지면 다음과 같이 씁니다.
.
그러면 무한히 작은 함수와 무한히 큰 함수 사이의 상징적 연결은 다음 관계로 보완될 수 있습니다.
,
,
,
.
무한대 기호와 관련된 추가 공식은 페이지에서 찾을 수 있습니다.
"무한점과 그 속성."
단조 함수의 한계
정의
일부 세트에 정의된 함수 실수 X라고 불린다 엄격하게 증가, 다음과 같은 부등식이 성립하는 경우:
.
따라서 엄격하게 감소다음과 같은 부등식이 성립합니다.
.
을 위한 비감소:
.
을 위한 비증가:
.
따라서 엄격하게 증가하는 함수는 감소하지 않는 함수이기도 합니다. 엄격하게 감소하는 함수도 증가하지 않습니다.
함수가 호출됩니다. 단조로운, 감소하지 않거나 증가하지 않는 경우.
정리
가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오.
위의 숫자 M:으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 위에서 제한되지 않으면 .
아래에서 숫자 m으로 제한되면 유한한 한계가 있습니다. 아래에서 제한되지 않으면 .
점 a와 b가 무한대에 있는 경우 표현식에서 극한 기호는 다음을 의미합니다.
이 정리는 더 간결하게 공식화될 수 있습니다.
가 있는 간격에서 함수가 감소하지 않도록 하십시오. 그런 다음 지점 a와 b에 단방향 극한이 있습니다.
;
.
비증가 함수에 대한 유사한 정리입니다.
가 있는 간격에서 함수가 증가하지 않도록 하십시오. 그런 다음 일방적인 한계가 있습니다.
;
.
정리의 증거가 페이지에 표시됩니다.
"단조 함수의 한계".
참고자료:
L.D. Kudryavtsev. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 2003.
센티미터. 니콜스키. 수학적 분석 과정. 1권. 모스크바, 1983년.
