첫 번째 수준
루트와 그 속성. 상세한 이론예와 함께(2019)
이 개념이 "뿌리"와 "무엇과 함께 먹는지"가 무엇인지 알아 내려고합시다. 이렇게 하려면 수업에서 이미 접한 예를 고려하십시오(아니면 직면해야 함).
예를 들어 방정식이 있습니다. 이 방정식의 해는 무엇입니까? 제곱하고 동시에 얻을 수 있는 숫자는 무엇입니까? 구구단을 기억하면 답을 쉽게 줄 수 있습니다. 그리고 (결국 두 개의 음수를 곱하면 양수가 나옵니다)! 단순함을 위해 수학자들은 제곱근이라는 특별한 개념을 도입하고 여기에 특별한 기호를 할당했습니다.
산술 제곱근을 정의합시다.
숫자가 반드시 음수가 아니어야 하는 이유는 무엇입니까? 예를 들어, 무엇과 같습니다. 글쎄, 자, 그것을 데리러 가자. 아마 3개? 확인합시다:, 아닙니다. 아마도, ? 다시 확인하십시오. 글쎄, 올라오지 않아? 이것은 예상된 것입니다. 제곱할 때 음수가 되는 숫자가 없기 때문입니다!
다음 사항을 기억해야 합니다. 루트 기호 아래의 숫자 또는 표현식은 음수가 아니어야 합니다!
그러나 가장 세심한 사람들은 아마도 정의가 숫자의 제곱근의 해를 다음과 같이 부른다는 것을 이미 알아차렸을 것입니다 음이 아닌제곱이 "인 숫자. 여러분 중 일부는 맨 처음에 우리가 예를 분석하고 제곱할 수 있고 동시에 얻을 수 있는 선택된 숫자에 대해 답을 '및'이라고 말할 것입니다. 하지만 여기서는 일종의 "음수가 아닌 숫자"에 대해 말합니다! 그러한 지적은 매우 적절합니다. 여기에서 이차 방정식의 개념과 숫자의 산술 제곱근을 구별하기만 하면 됩니다. 예를 들어 표현식과 같지 않습니다.
다음, 즉, 또는. (주제 "" 읽기)
그리고 그 뒤를 따릅니다.
물론 이것은 매우 혼란스럽습니다. 그러나 기호는 방정식을 풀 때의 결과라는 것을 기억해야 합니다. 방정식을 풀 때 모든 x를 적어야 하기 때문에 원래 방정식에 대입하면 올바른 결과. 우리의 이차 방정식둘 다 맞습니다.
그러나 만약 그냥 제곱근을 추출무언가로부터, 그 다음에는 항상 우리는 하나의 음이 아닌 결과를 얻습니다.
이제 그러한 방정식을 풀어보십시오. 이미 간단하고 매끄럽지 않습니까? 숫자를 반복해 보십시오. 무언가가 다 타버릴 것 같습니까? 맨 처음부터 시작해 보겠습니다. - 적합하지 않습니다. 계속 진행합니다. - 3개 미만인 경우에는 옆으로 쓸어내립니다. 하지만 만약 그렇다면 어떻게 될까요? 확인합시다 : - 또한 적합하지 않습니다. 왜냐하면 3개 이상입니다. 음수는 같은 이야기를 만듭니다. 이제 어떻게 해야 할까요? 정말 무차별적으로 우리에게 아무것도주지 않았습니까? 전혀 그렇지 않습니다. 이제 우리는 답이 and 사이뿐만 아니라 and 사이에 있을 것이라는 것을 확실히 압니다. 또한 솔루션이 정수가 아닐 것이 분명합니다. 게다가 그들은 합리적이지 않습니다. 다음은 무엇입니까? 함수를 플롯하고 솔루션에 표시해 보겠습니다.
계산기를 사용하여 시스템을 속이고 답을 구해보자! 비즈니스에서 뿌리를 뽑자! 오-오-오, 그것은 밝혀졌습니다. 이 숫자는 끝이 없습니다. 시험에 계산기가 없을 것이기 때문에 이것을 어떻게 기억할 수 있습니까!? 모든 것이 매우 간단합니다. 외울 필요가 없으며 대략적인 값을 기억해야 합니다(또는 빠르게 추정할 수 있어야 함). 그리고 이미 스스로 대답합니다. 이러한 수를 무리수라고 하며, 이러한 수의 쓰기를 단순화하기 위해 제곱근의 개념이 도입되었습니다.
고정에 대한 다른 예를 살펴보겠습니다. 이 문제를 살펴보겠습니다. 대각선으로 건너야 합니다. 사각 상자 km의 측면으로 몇 km를 가야합니까?
여기서 가장 분명한 것은 삼각형을 별도로 고려하고 피타고라스 정리를 사용하는 것입니다. 따라서, . 여기서 원하는 거리는 얼마입니까? 분명히, 거리는 음수가 될 수 없습니다. 우리는 그것을 얻습니다. 2의 루트는 거의 동일하지만 앞에서 언급했듯이 이미 본격적인 답변입니다.
뿌리가 있는 예제를 풀면 문제가 발생하지 않도록 보고 인식해야 합니다. 이렇게 하려면 최소한 ~에서까지의 숫자의 제곱을 알아야 하고 이를 인식할 수도 있어야 합니다. 예를 들어, 정사각형에 있는 것이 무엇인지 알아야 하고, 반대로 정사각형에 있는 것이 무엇인지 알아야 합니다.
제곱근이 무엇인지 알고 있습니까? 그런 다음 몇 가지 예를 풉니다.
예.
글쎄, 그것은 어떻게 작동 했습니까? 이제 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
답변:
입방근
글쎄, 우리는 제곱근의 개념을 알아 냈고 이제 세제곱근이 무엇이며 차이점이 무엇인지 알아 보겠습니다.
숫자의 세제곱근은 큐브가 속한 숫자입니다. 여기에서 모든 것이 훨씬 간단하다는 것을 알고 계셨습니까? 큐브 루트 기호 아래의 값과 추출할 숫자의 가능한 값에는 제한이 없습니다. 즉, 큐브 루트는 임의의 숫자에서 추출될 수 있습니다.
큐브 루트가 무엇이며 어떻게 추출하는지 이해하셨습니까? 그런 다음 예제를 해결하십시오.
예.
답변:
루트 - 차도
자, 우리는 제곱근과 세제곱근의 개념을 알아냈습니다. 이제 개념을 통해 얻은 지식을 요약해 보겠습니다. th 루트.
Th 루트숫자의 th 거듭제곱은 다음과 같은 숫자입니다.
동등합니다.
만약 - 짝수, 그 다음에:
- 부정적인, 식은 의미가 없습니다(음수의 짝수 번째 근 추출할 수 없습니다!);
- 음수가 아닌() 표현식에는 음수가 아닌 루트가 하나 있습니다.
-가 홀수이면 표현식은 any에 대한 단일 루트를 갖습니다.
놀라지 마십시오. 여기에는 제곱근 및 세제곱근과 동일한 원칙이 적용됩니다. 즉, 우리가 고려할 때 적용한 원칙 제곱근, 우리는 짝수 차수의 모든 근으로 확장합니다.
그리고 큐브 루트에 사용된 속성은 홀수 차수의 루트에 적용됩니다.
자, 명확해 졌습니까? 예를 들어 이해합시다.
여기 모든 것이 다소 명확합니다. 먼저 우리가 봅니다-아, 정도는 짝수이고 루트 아래의 숫자는 양수이므로 우리의 임무는 그러한 숫자를 찾는 것입니다. 네 번째 정도는 우리에게 줄 것입니다. 글쎄, 어떤 제안이 있습니까? 아마도, ? 정확히,!
따라서 정도는 홀수이며 루트 아래의 숫자는 음수입니다. 우리의 임무는 그러한 숫자를 찾는 것입니다. 뿌리를 바로 알아차리기는 다소 어렵습니다. 그러나 즉시 검색 범위를 좁힐 수 있습니다. 그렇죠? 첫째, 원하는 숫자는 확실히 음수이며, 둘째, 홀수이므로 원하는 숫자가 홀수임을 알 수 있습니다. 뿌리를 찾기 위해 노력하십시오. 물론 안전하게 옆으로 쓸어 넘길 수 있습니다. 아마도, ?
예, 이것이 우리가 찾고 있던 것입니다! 계산을 단순화하기 위해 power 속성을 사용했습니다.
뿌리의 기본 속성
분명한? 그렇지 않은 경우 예제를 살펴본 후 모든 것이 제자리에 있어야 합니다.
근의 곱셈
뿌리를 번식하는 방법? 가장 간단하고 기본적인 속성은 이 질문에 답하는 데 도움이 됩니다.
간단한 것부터 시작하겠습니다.
결과 숫자의 근이 정확히 추출되지 않습니까? 중요하지 않습니다. 다음은 몇 가지 예입니다.
그러나 요인이 두 가지가 아니라 더 많은 경우에는 어떻게 됩니까? 같은! 근 곱셈 공식은 여러 요인과 함께 작동합니다.
우리는 그것으로 무엇을 할 수 있습니까? 음, 물론, 3이 제곱근임을 기억하면서 3을 루트 아래에 숨깁니다!
왜 이것이 필요합니까? 예, 예를 해결할 때 우리의 능력을 확장하기 위해:
이 뿌리의 속성은 어떻습니까? 삶이 훨씬 쉬워지나요? 저에게는 맞습니다! 그것만 기억해 우리는 짝수 차수의 루트의 부호 아래에 양수만 도입할 수 있습니다.
또 어디에 도움이 되는지 알아보겠습니다. 예를 들어, 문제는 두 숫자를 비교해야 합니다.
그만큼 더:
당신은 박쥐에서 바로 말할 수 없습니다. 자, 근기호 밑에 숫자를 입력하는 분석 속성을 사용해 볼까요? 그런 다음 계속하십시오.
글쎄, 무엇으로 무엇을 알고 더 많은 수루트 기호 아래에서 루트 자체가 더 커집니다! 저것들. 만약 그렇다면,. 이것으로부터 우리는 단호하게 결론을 내립니다. 그리고 아무도 그렇지 않으면 우리를 설득하지 못할 것입니다!
그 전에 우리는 루트 기호 아래에 요인을 도입했지만 어떻게 제거합니까? 당신은 그것을 인수분해하고 추출된 것을 추출하기만 하면 됩니다!
다른 경로를 택하고 다른 요소로 분해하는 것이 가능했습니다.
나쁘지 않아, 응? 이러한 접근 방식 중 하나가 정확하므로 가장 적합한 방법을 결정하십시오.
예를 들어 다음과 같은 표현이 있습니다.
이 예에서 차수는 짝수이지만 홀수이면 어떻게 될까요? 다시 전력 속성을 적용하고 모든 것을 고려합니다.
이것으로 모든 것이 명확해 보이지만 숫자의 근을 거듭제곱하는 방법은 무엇입니까? 예를 들면 다음과 같습니다.
아주 간단하죠? 그리고 학위가 2 이상이라면? 전력 속성을 사용하여 동일한 논리를 따릅니다.
모든 것이 명확합니까? 다음은 예입니다.
이것들은 그들에 대한 함정입니다. 항상 기억할 가치가 있는... 이것은 실제로 속성 예제를 반영한 것입니다.
| 이상한 경우: 짝수 및: |
분명한? 예를 들어 강화:
예, 루트는 짝수 거듭제곱이고 루트 아래의 음수도 짝수 거듭제곱입니다. 글쎄, 그것은 같은가? 다음은 다음과 같습니다.
그게 다야! 다음은 몇 가지 예입니다.
알았어요? 그런 다음 예제를 해결하십시오.
예.
답변.
답변을 받았다면 안심하고 진행할 수 있습니다. 그렇지 않은 경우 다음 예를 알아보겠습니다.
뿌리의 다른 두 가지 속성을 살펴보겠습니다.
이러한 속성은 예제에서 분석해야 합니다. 자, 해볼까요?
이해했다? 수정합시다.
예.
답변.
뿌리와 그 속성. 평균 수준
산술 제곱근
방정식에는 두 가지 해가 있습니다. 이들은 제곱이 되는 숫자입니다.
방정식을 고려하십시오. 그래픽으로 풀어봅시다. 함수의 그래프와 레벨에 선을 그려봅시다. 이 선의 교차점이 솔루션이 됩니다. 우리는 이 방정식에 두 가지 해가 있음을 알 수 있습니다. 하나는 양수이고 다른 하나는 음수입니다.
하지만 에 이 경우솔루션은 정수가 아닙니다. 게다가 그들은 합리적이지 않습니다. 이러한 비합리적인 결정을 기록하기 위해 특별한 제곱근 기호를 도입합니다.
산술 제곱근제곱이 음수가 아닌 숫자입니다. 표현식이 정의되지 않은 경우 제곱이 음수인 숫자는 없습니다.
제곱근: .
예를 들어, . 그리고 그것은 or를 따릅니다.
다시 한 번 주의를 기울이겠습니다. 이것은 매우 중요합니다. 제곱근항상 음수가 아닌 숫자입니다. !
입방근숫자 중 큐브가 속한 숫자입니다. 큐브 루트는 모든 사람에 대해 정의됩니다. 모든 숫자에서 추출할 수 있습니다. 보시다시피 음수 값을 사용할 수도 있습니다.
숫자의 th 거듭제곱의 루트는 숫자이며, th 거듭제곱은 다음과 같습니다.
짝수인 경우:
- 그렇다면 의 th 루트는 정의되지 않습니다.
- 그렇다면 방정식의 음이 아닌 루트는 의 th 차수의 산술 루트라고하며 로 표시됩니다.
-가 홀수이면 방정식은 모든 것에 대해 단일 근을 갖습니다.
루트 기호의 상단 왼쪽에 차수를 쓴다는 것을 눈치채셨나요? 그러나 제곱근은 아닙니다! 도가 없는 근을 보면 제곱(도)입니다.
예.
뿌리의 기본 속성
뿌리와 그 속성. 메인에 대해 간략히
제곱근(산술 제곱근)음수가 아닌 숫자를 다음과 같이 호출합니다. 제곱이 인 음수가 아닌 숫자
루트 속성:
루트 정도 N실수에서 NS, 어디 N - 자연수, 이러한 실수를 NS, N- 차수는 다음과 같습니다. NS.
루트 정도 N번호에서 NS기호로 표시됩니다. 이 정의에 따르면.
루트 찾기 N-중에서 th 학위 NS뿌리 추출이라고 합니다. 숫자 NS기수(표현식)라고 하며, N- 루트 표시기. 이상한 N뿌리가 있다 N- 임의의 실수에 대한 제곱 NS... 짝수로 N뿌리가 있다 N- 음수가 아닌 숫자에 대해서만 차수 NS... 루트의 모호함을 없애기 위해 N-중에서 th 학위 NS, 산술 근의 개념이 도입되었습니다. N-중에서 th 학위 NS.
차수 N의 산술 근의 개념
만약에 N- 자연수, 더 큰 1 , 음수가 아닌 숫자가 하나만 있습니다. NS, 평등이 성립합니다. 이 번호 NS산술 근이라고 함 N음수가 아닌 숫자의 th 차수 NS로 표시됩니다. 숫자 NS근수라고 하며, N- 루트 표시기.
따라서 정의에 따르면 레코드는 어디에서, 첫째로 무엇을 의미하고 둘째로 무엇을 의미합니다. ...
합리적인 지수가 있는 정도의 개념
자연 지표가 있는 정도: 하자 NS는 실수이고 N- 1보다 큰 자연수, N-숫자의 거듭제곱 NS일을 부르다 N각 요인은 다음과 같습니다. NS, 즉. ... 숫자 NS- 학위의 기초, N- 지수. 지수가 0인 차수: 정의에 의해 가정됩니다. 숫자의 0의 거듭제곱 0 의미가 없습니다. 음의 정수가 있는 차수: 다음과 같은 경우 정의에 의해 가정됩니다. N는 자연수입니다. 분수 지수가 있는 차수: 다음과 같은 경우 정의에 의해 가정됩니다. N- 자연수, 미디엄는 정수입니다.
루트 작업.
아래의 모든 공식에서 기호는 산술 근을 의미합니다(근본 표현식은 양수임).
1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.
2. 비율의 근은 피제수와 제수의 근의 비율과 같습니다.
3. 루트를 거듭제곱할 때 루트 수를 이 거듭제곱으로 올리면 충분합니다. 
4. 루트의 차수를 n배 늘리고 동시에 루트 수를 n승으로 올리면 루트 값은 변경되지 않습니다. 
5. 근의 차수를 n배 줄이고 동시에 근수에서 n번째 근을 추출하면 근의 값은 변경되지 않습니다.
학위 개념의 확장. 지금까지 우리는 자연 지수로만 차수를 고려했습니다. 그러나 거듭제곱과 근이 있는 동작은 음수, 0 및 분수 지수로 이어질 수도 있습니다. 이러한 모든 학위 지표는 추가 정의가 필요합니다.
음의 지수가 있는 차수입니다. 음수(정수) 지수가 있는 숫자의 거듭제곱은 음수 지수의 절대값과 동일한 지수를 가진 동일한 숫자의 거듭제곱으로 단위를 나눈 것으로 정의됩니다.
이제 공식 a m: an n = a m - n은 n보다 큰 m뿐만 아니라 n보다 작은 m에도 사용할 수 있습니다.
예시 a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
공식 a m: a n = a m - n이 m = n에 대해 유효하도록 하려면 0도의 정의가 필요합니다.
제로 등급. 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1입니다.
예시 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.
분수 지수. 실수 a를 m/n의 거듭제곱으로 올리려면 이 수 a의 m제곱의 n제곱근을 추출해야 합니다.
말이 안 되는 표현에 대해. 그런 표현이 몇 가지 있습니다.
사례 1.
≠ 0이 존재하지 않는 경우.
실제로, x가 어떤 숫자라고 가정하면 나눗셈 연산의 정의에 따라 a = 0 x, 즉 a = 0, 조건과 모순됨: a ≠ 0
사례 2.
모든 숫자.
실제로, 이 표현식이 어떤 숫자 x와 같다고 가정하면 나눗셈 연산의 정의에 따라 0 = 0 x가 됩니다. 그러나 이 평등은 필요에 따라 모든 숫자 x에 적용됩니다.
정말로,
솔루션: 세 가지 주요 경우를 고려하십시오.
1) x = 0 - 이 값은 주어진 방정식을 만족하지 않습니다
2) x> 0에 대해 다음을 얻습니다. x / x = 1, 즉 1 = 1, 여기서 x는 임의의 숫자입니다. 그러나 우리의 경우 x> 0을 고려하면 답은 x> 0입니다.
3) x의 경우< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
이 경우 해결책이 없습니다. 따라서 x> 0입니다.
2차 산술 근
정의 1
숫자의 2차 근(또는 제곱근) $ a $제곱하면 $ $와 같은 숫자라고 합니다.
실시예 1
$ 7 ^ 2 = 7 \ cdot 7 = 49 $이므로 숫자 $ 7 $는 $ 49 $의 두 번째 근입니다.
$ 0.9 ^ 2 = 0.9 \ cdot 0.9 = 0.81 $이므로 숫자 $ 0.9 $는 $ 0.81 $의 두 번째 근입니다.
$ 1 ^ 2 = 1 \ cdot 1 = 1 $이므로 숫자 $ 1 $는 숫자 $ 1 $의 두 번째 근입니다.
비고 2
간단히 말해서, 임의의 숫자 $에 대해
$ a = b ^ 2 $와 음수 $ a $는 올바르지 않습니다. 왜냐하면 $ a = b ^ 2 $는 $ b $의 모든 값에 대해 음수일 수 없습니다.
라는 결론을 내릴 수 있다. 실수의 경우 음수의 2차 근이 있을 수 없습니다..
비고 3
때문에 $ 0 ^ 2 = 0 \ cdot 0 = 0 $, 그러면 0은 0에서 2차 근임을 정의합니다.
정의 2
숫자의 2차 산술근 $ a $($ a \ ge 0 $)는 제곱할 때 $ a $와 같을 음수가 아닌 숫자입니다.
2도의 뿌리는 또한 제곱근.
숫자 $ a $의 2차 근을 $ \ sqrt (a) $로 표시하거나 $ \ sqrt (a) $ 표기법을 찾을 수 있습니다. 그러나 대부분의 경우 제곱근의 경우 숫자 $ 2 $ - 루트 지수- 명시되지 않은. "$ \ sqrt() $" 기호는 " 급진적 기호". "루트"와 "급진적"이라는 개념은 동일한 개체의 이름입니다.
산술 루트의 부호 아래에 숫자가 있으면 호출됩니다. 루트 번호, 그리고 표현식인 경우 - 급진적 표현.
레코드 $ \ sqrt (8) $는 "2차 8의 산술 근"으로 읽히고 "산술"이라는 단어는 종종 호출되지 않습니다.
정의 3
정의에 따르면 2차 산술 근당신은 쓸 수 있습니다:
모든 $ a \ ge 0 $에 대해:
$ (\ sqrt (a)) ^ 2 = a $,
$ \ sqrt (a) \ ge 0 $.
우리는 2차 근과 2차 산술 근의 차이를 보여주었습니다. 또한 음수가 아닌 숫자와 표현의 근만 고려할 것입니다. 산술만.
3차 산술 근
정의 4
숫자 $ a $의 3차 근(또는 세제곱근)의 산술근($ a \ ge 0 $)는 입방체일 때 $ a $와 같아지는 음수가 아닌 숫자입니다.
종종 arithmetic이라는 단어가 생략되고 "숫자 $ $의 세 번째 루트"라고 말합니다.
$ a $의 3차 산술근은 $ \ sqrt (a) $로 표시되고, "$ \ sqrt () $" 기호는 3차 산술근의 부호이며, 숫자 $ 3 $ 이 기록에서 루트 지수... 루트 기호 아래에 있는 숫자 또는 표현식을 뿌리 아래.
실시예 2
$ \ sqrt (3,5) $ - $ 3,5 $의 3차 산술 루트 또는 $ 3,5 $의 세제곱근;
$ \ sqrt (x + 5) $는 $ x + 5 $의 3차 근 또는 $ x + 5 $의 세제곱근입니다.
n차 산술 근
정의 5
산술 루트 n번째 학위 숫자 $ a \ ge 0 $에서 음수가 아닌 숫자라고하며 $ n $ - 번째 거듭 제곱하면 $ a $와 같습니다.
$ a \ ge 0 $에서 차수 $ n $의 산술 근에 대한 표기법:
여기서 $ a $는 급진화된 숫자 또는 표현식입니다.
