Diskretne slučajne varijable su date zakonom. Zakon distribucije slučajne varijable

U primjeni teorije vjerovatnoće, kvantitativna karakterizacija eksperimenta je od primarne važnosti. Količina koja se može kvantificirati i koja se, kao rezultat eksperimenta, može uzeti od slučaja do slučaja razna značenja, zove se slučajna varijabla.

Primjeri slučajnih varijabli:

1. Broj pojavljivanja parnog broja poena u deset bacanja kocke.

2. Broj pogodaka u metu od strane strijelca koji ispaljuje seriju hitaca.

3. Broj fragmenata eksplodirajućeg projektila.

U svakom od datih primjera, slučajna varijabla može uzeti samo izolirane vrijednosti, odnosno vrijednosti koje se mogu nabrojati pomoću prirodnog niza brojeva.

Takva slučajna varijabla, čije su moguće vrijednosti odvojeni izolirani brojevi, koje ova varijabla uzima sa određenim vjerovatnoćama, naziva se diskretno.

Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan (prebrojiv).

zakon o distribuciji Diskretna slučajna varijabla naziva se lista njenih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća. Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može se specificirati u obliku tabele (serija raspodjele vjerovatnoće), analitički i grafički (poligon raspodjele vjerovatnoće).

Prilikom izvođenja ovog ili onog eksperimenta, potrebno je procijeniti vrijednost koja se proučava "u prosjeku". Ulogu prosječne vrijednosti slučajne varijable igra numerička karakteristika tzv matematičko očekivanje, koji je definisan formulom

gdje x 1 , x 2 ,.. , x n– vrijednosti slučajne varijable X, a str 1 ,str 2 , ... , str n su vjerovatnoće ovih vrijednosti (imajte na umu da str 1 + str 2 +…+ str n = 1).

Primjer. Gađanje se vrši na metu (sl. 11).

Pogodak u I daje tri boda, u II - dva boda, u III - jedan bod. Broj poena koje je jedan strijelac izbacio jednim udarcem ima zakon raspodjele oblika

Za upoređivanje vještine strijelaca dovoljno je uporediti prosječne vrijednosti postignutih poena, tj. matematička očekivanja M(X) i M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Drugi strijelac u prosjeku daje nešto veći broj poena, tj. uz ponovljeno gađanje, to će dati najbolji rezultat.

Obratite pažnju na svojstva matematičkog očekivanja:

1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je samoj konstanti:

M(C) =C.

2. Matematičko očekivanje zbira slučajnih varijabli jednako je zbiru matematičkih očekivanja pojmova:

M=(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Matematičko očekivanje proizvoda međusobno nezavisnih slučajnih varijabli jednako je proizvodu matematičkih očekivanja faktora

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Matematička negacija binomske distribucije jednaka je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da se događaj dogodi u jednom pokušaju (zadatak 4.6).

M(X) = pr.

Procijeniti kako slučajna varijabla „u prosjeku“ odstupa od svog matematičkog očekivanja, tj. Da bi se okarakterizirao širenje vrijednosti slučajne varijable u teoriji vjerojatnosti, koristi se koncept disperzije.

disperzija slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadratne devijacije:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Disperzija je numerička karakteristika disperzije slučajne varijable. Iz definicije se može vidjeti da što je manja varijansa slučajne varijable, to su njene moguće vrijednosti bliže locirane oko matematičkog očekivanja, tj. bolju vrijednost slučajnu varijablu karakterizira njeno matematičko očekivanje.

Iz definicije proizilazi da se varijansa može izračunati po formuli

.

Pogodno je izračunati disperziju koristeći drugu formulu:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Disperzija ima sledeća svojstva:

1. Disperzija konstante je nula:

D(C) = 0.

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz znaka disperzije kvadriranjem:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Varijanca zbira nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijanse pojmova:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Varijanca binomske distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće pojave i nenastupanja događaja u jednom pokušaju:

D(X) = npq.

U teoriji vjerovatnoće često se koristi numerička karakteristika, jednaka kvadratnom korijenu varijanse slučajne varijable. Ova numerička karakteristika naziva se standardna devijacija i označava se simbolom

.

Karakterizira približnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene srednje vrijednosti i ima istu dimenziju kao i slučajna varijabla.

4.1. Strijelac ispaljuje tri hica u metu. Vjerovatnoća da ćete pogoditi metu svakim udarcem je 0,3.

Konstruirajte seriju distribucije broja pogodaka.

Odluka. Broj pogodaka je diskretna slučajna varijabla X. Svaka vrijednost x n slučajna varijabla X odgovara određenoj vjerovatnoći P n .

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable u ovaj slučaj možete podesiti blizu distribucije.

U ovom zadatku X uzima vrijednosti 0, 1, 2, 3. Prema Bernoullijevoj formuli

,

pronađite vjerovatnoće mogućih vrijednosti slučajne varijable:

R 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

R 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

R 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

R 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Nakon što smo uredili vrijednosti slučajne varijable X u rastućem redoslijedu, dobijamo seriju distribucije:

X n

Imajte na umu da suma

znači vjerovatnoću da je slučajna varijabla Xće uzeti barem jednu vrijednost među mogućim, pa je ovaj događaj, dakle, izvjestan

.

4.2 .U urni se nalaze četiri kuglice, numerisane od 1 do 4. Izvađene su dvije lopte. Slučajna vrijednost X je zbir brojeva loptica. Konstruirajte seriju distribucije slučajne varijable X.

Odluka. Vrijednosti slučajne varijable X su 3, 4, 5, 6, 7. Pronađite odgovarajuće vjerovatnoće. Vrijednost 3 slučajna varijabla X može uzeti u jedinom slučaju kada jedna od odabranih loptica ima broj 1, a druga 2. Broj mogućih ishoda testa jednak je broju kombinacija četiri (broj mogućih parova loptica) po dva.

Prema klasičnoj formuli vjerovatnoće, dobijamo

Isto tako,

R(X= 4) =R(X= 6) =R(X= 7) = 1/6.

Zbir 5 može se pojaviti u dva slučaja: 1 + 4 i 2 + 3, dakle

.

X izgleda kao:

Pronađite funkciju distribucije F(x) slučajna varijabla X i zacrtajte to. Izračunajte za X njegova matematička očekivanja i varijansa.

Odluka. Zakon distribucije slučajne varijable može se dati funkcijom distribucije

F(x) = P(X x).

funkcija distribucije F(x) je neopadajuća, lijevo-kontinuirana funkcija definirana na cijeloj realnoj osi, dok

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Za diskretnu slučajnu varijablu, ova funkcija je izražena formulom

.

Stoga, u ovom slučaju

Dijagram funkcije distribucije F(x) je stepenasta linija (slika 12)

	F(x)

Očekivana vrijednostM(X) je ponderisani prosjek vrijednosti X 1 , X 2 ,……X n slučajna varijabla X sa tegovima ρ 1, ρ 2, …… , ρ n i naziva se srednja vrijednost slučajne varijable X. Prema formuli

M(X)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 + ……+ x n ρ n

M(X) = 3 0,14 + 5 0,2 + 7 0,49 + 11 0,17 = 6,72.

Disperzija karakterizira stupanj disperzije vrijednosti slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti i označava se D(X):

D(X)=M[(HM(X)) 2 ]= M(X 2) –[M(X)] 2 .

Za diskretnu slučajnu varijablu, varijansa ima oblik

ili se može izračunati po formuli

Zamjenom numeričkih podataka problema u formulu, dobivamo:

M(X 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(X) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Dvije kocke se bacaju dva puta u isto vrijeme. Napišite binomni zakon raspodjele za diskretnu slučajnu varijablu X- broj pojavljivanja parnog ukupnog broja poena na dvije kocke.

Odluka. Hajde da uvedemo u razmatranje slučajni događaj

ALI= (na dvije kocke u jednom bacanju, ukupno je ispao paran broj bodova).

Koristeći klasičnu definiciju vjerovatnoće, nalazimo

R(ALI)= ,

gdje n - broj mogućih ishoda testa se utvrđuje pravilom

množenja:

n = 6∙6 =36,

m - broj povoljnih događaja ALI ishodi - jednaki

m= 3∙6=18.

Dakle, vjerovatnoća uspjeha u jednom pokušaju je

ρ = P(ALI)= 1/2.

Problem je riješen korištenjem Bernoullijevog testa. Jedan izazov ovdje je baciti dvije kockice jednom. Broj takvih testova n = 2. Slučajna varijabla X uzima vrijednosti 0, 1, 2 sa vjerovatnoćama

R 2 (0) =,R 2 (1) =∙,R 2 (2) =

Željena binomna distribucija slučajne varijable X može se predstaviti kao distributivna serija:

X n
ρ n

4.5 . Postoje četiri standardna dijela u seriji od šest dijelova. Tri stavke su odabrane nasumično. Sastavite distribuciju vjerovatnoće diskretne slučajne varijable X- broj standardnih dijelova među odabranim i pronaći njegovo matematičko očekivanje.

Odluka. Vrijednosti slučajne varijable X su brojevi 0,1,2,3. To je jasno R(X=0)=0, jer postoje samo dva nestandardna dijela.

R(X=1) =
=1/5,

R(X= 2) =
= 3/5,

R(X=3) =
= 1/5.

Zakon distribucije slučajne varijable X predstavljaju kao distributivni niz:

X n
ρ n

Očekivana vrijednost

M(X)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Dokazati da je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj pojavljivanja događaja ALI in n nezavisni testovi, u svakom od kojih je vjerovatnoća nastanka događaja jednaka ρ - jednak je proizvodu broja pokušaja i vjerovatnoće da će se događaj desiti u jednom pokušaju, odnosno dokazati da je matematičko očekivanje binomske distribucije

M(X) =n . ρ ,

dok je varijansa

D(X) =np .

Odluka. Slučajna vrijednost X može uzeti vrijednosti 0, 1, 2…, n. Vjerovatnoća R(X= k) nalazi se po Bernoullijevoj formuli:

R(X=k)= R n(k)= ρ to (1-ρ ) n- to

Slučajna varijabilna distribucijska serija X izgleda kao:

X n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

gdje q= 1- ρ .

Za matematičko očekivanje imamo izraz:

M(X)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

U slučaju jednog testa, odnosno sa n= 1 za slučajnu varijablu X 1 - broj pojavljivanja događaja ALI- serija distribucije ima oblik:

X n
ρ n

M(X 1)= 0 q + 1 ∙ str = str

D(X 1) = str – str 2 = str(1- str) = pq.

Ako a X k - broj pojavljivanja događaja ALI u kom testu onda R(X to)= ρ i

X=X 1 +X 2 +….+X n .

Odavde dobijamo

M(X)=M(X 1 )+M(X 2)+ … +M(X n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)=npq.

4.7. QCD provjerava proizvode za standardizaciju. Vjerovatnoća da je stavka standardna je 0,9. Svaka serija sadrži 5 artikala. Pronađite matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable X- broj serija, od kojih će svaka biti jednaka 4 standardna proizvoda - ako 50 serija podliježe verifikaciji.

Odluka. Vjerovatnoća da će u svakoj nasumično odabranoj seriji biti 4 standardne stavke je konstantna; označimo ga sa ρ .Onda matematičko očekivanje slučajne varijable X jednaki M(X)= 50∙ρ.

Nađimo vjerovatnoću ρ prema Bernoullijevoj formuli:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

M(X)= 50∙0,32=16.

4.8 . Bacaju se tri kockice. Nađite matematičko očekivanje zbira ispuštenih bodova.

Odluka. Možete pronaći distribuciju slučajne varijable X- zbir ispuštenih bodova i zatim njegovo matematičko očekivanje. Međutim, ovaj način je previše težak. Lakše je koristiti drugi trik, koji predstavlja slučajnu varijablu X, čije matematičko očekivanje treba izračunati, kao zbir nekoliko jednostavnijih slučajnih varijabli, čije je matematičko očekivanje lakše izračunati. Ako je slučajna varijabla X i je broj postignutih poena i–te kosti ( i= 1, 2, 3), zatim zbir bodova X izraženo u obliku

X = X 1 + X 2 + X 3 .

Da bi se izračunalo matematičko očekivanje originalne slučajne varijable, ostaje samo koristiti svojstvo matematičkog očekivanja

M(X 1 + X 2 + X 3 )= M(X 1 )+ M(X 2)+ M(X 3 ).

Očigledno je da

R(X i = K)= 1/6, TO= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Dakle, matematičko očekivanje slučajne varijable X i ima oblik

M(X i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

M(X) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Odredite matematičko očekivanje broja uređaja koji nisu uspjeli tokom testa, ako:

a) vjerovatnoća kvara za sve uređaje je ista R, a broj uređaja koji se testiraju jednak je n;

b) vjerovatnoća neuspjeha za i – instrument je jednak str i , i= 1, 2, … , n.

Odluka. Neka je slučajna varijabla X je onda broj neispravnih uređaja

X = X 1 + X 2 + … + H n ,

X i =

To je jasno

R(X i = 1)= R i , R(X i = 0)= 1– R i ,i= 1, 2, … ,n.

M(X i)= 1∙R i + 0∙(1-R i)=P i ,

M(X)=M(X 1)+M(X 2)+ … +M(X n)=P 1 +P 2 + ... + P n .

U slučaju "a", vjerovatnoća kvara uređaja je ista, tj.

R i =p,i= 1, 2, … ,n.

M(X)= np.

Ovaj odgovor bi se mogao dobiti odmah ako se primijeti da je slučajna varijabla X ima binomnu distribuciju sa parametrima ( n, str).

4.10. Dvije kocke se bacaju dva puta u isto vrijeme. Napišite binomni zakon raspodjele za diskretnu slučajnu varijablu X - broj pojavljivanja parnog broja poena na dvije kocke.

Odluka. Neka bude

ALI=(gubitak parnog broja na prvom kocku),

B =(gubitak parnog broja na drugom kocku).

Gubitak parnog broja na obje kocke u jednom bacanju bit će izražen umnoškom AB. Onda

R (AB) = R(ALI)∙R(AT) =
.

Rezultat drugog bacanja dvije kocke ne ovisi o prvom, pa je Bernoullijeva formula primjenjiva kada

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

Slučajna vrijednost X može imati vrijednosti 0, 1, 2 , čiju vjerovatnoću nalazimo po Bernoullijevoj formuli:

R(X= 0)= P 2 (0) = q 2 = 9/16,

R(X= 1)= P 2 (1)= C ,R∙q = 6/16,

R(X= 2)= P 2 (2)= C , R 2 = 1/16.

Slučajna varijabilna distribucijska serija X:

4.11. Uređaj se sastoji od velikog broja nezavisno radećih elemenata sa istom vrlo malom verovatnoćom kvara svakog elementa u određenom vremenu. t. Pronađite prosječan broj kvarova tokom vremena t elemenata, ako je vjerovatnoća da će barem jedan element otkazati tokom ovog vremena 0,98.

Odluka. Broj kvarova tokom vremena t elementi - slučajna varijabla X, koji je raspoređen prema Poissonovom zakonu, pošto je broj elemenata veliki, elementi rade nezavisno i vjerovatnoća kvara svakog elementa je mala. Prosječan broj pojavljivanja događaja u n suđenja jednaka

M(X) = np.

Budući da je vjerovatnoća neuspjeha To elementi iz n izražava se formulom

R n (To)
,

gdje  = np, zatim vjerovatnoća da nijedan element ne otkaže na vrijeme t stižemo do K = 0:

R n (0)= e -  .

Stoga je vjerovatnoća suprotnog događaja tokom vremena t najmanje jedan element ne radi - jednako 1 - e -  . Prema uslovu zadatka, ova vjerovatnoća je jednaka 0,98. Iz jednadžbe

1 - e -  = 0,98,

e -  = 1 – 0,98 = 0,02,

odavde  = -ln 0,02  4.

Dakle za to vreme t rad uređaja će otkazati u prosjeku 4 elementa.

4.12 . Kocka se baca dok se ne baci "dvojka". Pronađite prosječan broj bacanja.

Odluka. Uvodimo slučajnu varijablu X- broj testova koji se moraju izvršiti dok se ne dogodi događaj koji nas zanima. Verovatnoća da X= 1 je jednako vjerovatnoći da će u jednom bacanju kockice ispasti „dvojka“, tj.

R(X= 1) = 1/6.

Događaj X= 2 znači da tokom prvog pokušaja "dvojka" nije ispala, ali je u drugom ispala. Vjerovatnoća događaja X= 2 nalazimo po pravilu množenja vjerovatnoća nezavisnih događaja:

R(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

Isto tako,

R(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, R(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

itd. Dobijamo niz distribucija vjerovatnoće:

					(5/6) to ∙1/6

Prosječan broj bacanja (pokušaja) je matematičko očekivanje

M(X) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + To (5/6) To -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + To (5/6) To -1 + …)

Nađimo zbir niza:

Tog To -1 = (g To) g 
.

dakle,

M(X) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Dakle, potrebno je u prosjeku izvesti 6 bacanja kockice dok ne ispadne "dvojka".

4.13. Nezavisni testovi se izvode sa istom vjerovatnoćom nastanka događaja ALI u svakom testu. Pronađite vjerovatnoću da se neki događaj dogodi ALI ako je varijansa broja pojavljivanja događaja u tri nezavisna ispitivanja 0,63 .

Odluka. Broj pojavljivanja događaja u tri pokušaja je slučajna varijabla X distribuiraju prema binomskom zakonu. Varijanca broja pojavljivanja događaja u nezavisnim pokusima (sa istom vjerovatnoćom pojave događaja u svakom pokušaju) jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerovatnoće nastanka i nenastupanja događaja ( zadatak 4.6)

D(X) = npq.

Po stanju n = 3, D(X) = 0,63, tako da možete R nađi iz jednačine

0,63 = 3∙R(1-R),

koji ima dva rješenja R 1 = 0,7 i R 2 = 0,3.

X; značenje F(5); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz intervala . Konstruirajte poligon distribucije.

1. Funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable je poznata X:

Navedite zakon raspodjele slučajne varijable X u obliku tabele.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable X:

X	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Vjerovatnoća da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri prodavnice okrug. Sastavite zakon o distribuciji, izračunajte matematičko očekivanje i varijansu broja prodavnica u kojima nisu pronađeni sertifikati kvaliteta tokom provere.

1. Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih svjetiljki u seriji od 350 identičnih kutija, za ispitivanje je uzeta po jedna električna lampa iz svake kutije. Odozdo procijenite vjerovatnoću da se prosječno vrijeme gorenja odabranih električnih sijalica razlikuje od prosječnog vremena gorenja cijele serije u apsolutnoj vrijednosti za manje od 7 sati, ako se zna da je prosječno vrijeme gorenja cijele serije standardna devijacija trajanje gorenja električnih lampi u svakoj kutiji je manje od 9 sati.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će među 500 veza biti:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Iscrtajte funkcije i . Izračunajte srednju vrijednost, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Automatska mašina pravi valjke. Vjeruje se da je njihov promjer normalno raspoređena slučajna varijabla sa prosječnom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako, s vjerovatnoćom od 0,99, prečnik leži u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

1. Od 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Pronađite vjerovatnoću da su dva nasumično odabrana dijela standardna.

1. Baci tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir tačaka na ispuštenim stranama višekratnik 9.

1. Riječ "AVANTURA" je sastavljena od kartica, na svakoj je napisano po jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da slova izdvojena po redoslijedu pojavljivanja formiraju riječ: a) AVANTURA; b) CAPTURE.

1. Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. 5 loptica se izvlači nasumično. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:
1. 2 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu loptu.

1. ALI u jednom testu je 0,4. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:
1. događaj ALI pojavit će se 3 puta u seriji od 7 nezavisnih ispitivanja;
2. događaj ALI pojavit će se najmanje 220 i ne više od 235 puta u nizu od 400 izazova.

1. Fabrika je u bazu poslala 5.000 visokokvalitetnih proizvoda. Vjerovatnoća oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Pronađite vjerovatnoću da se ne više od 3 proizvoda ošteti na putu.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kugle. Iz prve urne nasumično se izvlače 3 lopte, a iz druge urne 4. Nađite vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

1. U kutiji je 10 olovaka. 4 olovke su izvučene nasumično. Slučajna vrijednost X je broj plavih olovaka među odabranim. Naći zakon njegove raspodjele, početne i centralne momente 2. i 3. reda.

1. Odjel tehnička kontrola provjerava 475 proizvoda na nedostatke. Vjerovatnoća da je proizvod neispravan je 0,05. Pronađite s vjerovatnoćom od 0,95 granice koje će sadržavati broj neispravnih proizvoda među testiranim.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,003. Pronađite vjerovatnoću da će između 1000 veza biti:
1. najmanje 4 neispravne veze;
2. više od dvije pogrešne veze.

1. Slučajna varijabla je data funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Iscrtajte funkcije i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla je data funkcijom distribucije:

1. Po uzorku ALI riješiti sljedeće zadatke:
1. napraviti varijantnu seriju;

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunati numeričke karakteristike varijacionog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

1. Među 10 srećke 2 pobjeđuju. Pronađite vjerovatnoću da će jedan od pet nasumično izvučenih listića biti pobjednik.

1. Baci tri kockice. Nađite vjerovatnoću da je zbir ubačenih bodova veći od 15.

1. Riječ "PERIMETAR" sastoji se od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PERIMETAR; b) METER.

1. Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se izvlači nasumično. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:
1. 4 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu loptu.

1. Vjerovatnoća događaja ALI u jednom testu je 0,55. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:
1. događaj ALI pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
2. događaj ALI pojavit će se najmanje 130 i ne više od 200 puta u nizu od 300 izazova.

1. Vjerovatnoća curenja u konzervi konzervirane hrane je 0,0005. Pronađite vjerovatnoću da će dvije od 2000 tegli procuriti.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. 2 kuglice se nasumično izvlače iz prve urne, a 3 kuglice se nasumično izvlače iz druge urne. Odrediti vjerovatnoću da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Među delovima koji pristižu na montažu, sa prve mašine je 0,1% neispravnih, sa druge - 0,2%, sa treće - 0,25%, sa četvrte - 0,5%. Produktivnost mašina je povezana u odnosu 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Pronađite vjerovatnoću da je predmet napravljen na prvoj mašini.

1. S obzirom na zakon raspodjele slučajne varijable X:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijansu.

1. Električar ima tri sijalice od kojih svaka ima kvar sa vjerovatnoćom od 0,1 .. Sijalice se ušrafljuju u utičnicu i struja se uključuje. Kada se struja uključi, neispravna sijalica odmah pregori i zamjenjuje se drugom. Pronađite zakon raspodjele, matematičko očekivanje i varijansu broja testiranih sijalica.

1. Vjerovatnoća pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 nezavisnih hitaca. Koristeći Čebiševsku nejednakost, procijenite vjerovatnoću da će cilj biti pogođen najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze sa vjerovatnoćom od 0,002. Pronađite vjerovatnoću da će između 800 veza biti:
1. najmanje tri neispravne veze;
2. više od četiri neispravne veze.

1. Slučajna varijabla je data funkcijom gustoće distribucije:

Nađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte srednju vrijednost, varijansu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla je data funkcijom distribucije:

1. Po uzorku ALI riješiti sljedeće zadatke:
1. napraviti varijantnu seriju;
2. izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
3. komponovati empirijska funkcija distribuciju i izgraditi njen graf;
4. izračunati numeričke karakteristike varijacionog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

1. Za uzorak B riješite sljedeće probleme:
1. napraviti grupiranu seriju varijacija;
2. izgraditi histogram i poligon frekvencija;
3. izračunati numeričke karakteristike varijacionog niza:

srednja vrijednost uzorka;

Varijanca uzorka

· standardna devijacija;

mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su nasumično odabrane prema broju osoblja. Pronađite vjerovatnoću da su svi odabrani ljudi muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerovatnoću da će samo dva novčića imati grb.

3. Riječ "PSIHOLOGIJA" je sastavljena od kartica, od kojih svaka ima po jedno slovo napisano. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odrediti vjerovatnoću da izvađena slova formiraju riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. 5 loptica se izvlači nasumično. Pronađite vjerovatnoću da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. najmanje jednu bijelu loptu.

5. Vjerovatnoća događaja ALI u jednom testu je 0,5. Pronađite vjerovatnoće sljedećih događaja:

a. događaj ALI pojavit će se 3 puta u seriji od 5 nezavisnih ispitivanja;

b. događaj ALI pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u nizu od 50 izazova.

6. Postoji 100 mašina iste snage, koje rade nezavisno jedna od druge u istom režimu, pri čemu im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerovatnoća da će u svakom trenutku biti uključeno između 70 i 86 mašina?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kugle. 4 kuglice se nasumično izvlače iz prve urne i 1 kugla iz druge urne. Nađite vjerovatnoću da se među izvučenim kuglicama nalaze samo 4 crne kuglice.

8. Svakog dana u auto-kuću se isporučuju tri marke automobila u količinama: Moskvich - 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima marke Moskvich, 0,5% ima uređaj protiv krađe, Oka - 0,01%, Volga - 0,1%. Pronađite vjerovatnoću da automobil odveden na testiranje ima uređaj protiv krađe.

9. Brojevi i biraju se nasumično na segmentu. Odrediti vjerovatnoću da ovi brojevi zadovolje nejednakosti .

10. Dat je zakon raspodjele slučajne varijable X:

X
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable X; značenje F(2); vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednosti iz intervala . Konstruirajte poligon distribucije.

kao što je poznato, slučajna varijabla naziva se varijabla koja može poprimiti određene vrijednosti ovisno o slučaju. Slučajne varijable su označene velikim slovima latinica(X, Y, Z) i njihove vrijednosti u odgovarajućim malim slovima (x, y, z). Slučajne varijable se dijele na diskontinualne (diskretne) i kontinuirane.

Diskretna slučajna varijabla je slučajna varijabla koja uzima samo konačan ili beskonačan (prebrojiv) skup vrijednosti sa određenim nenultim vjerovatnoćama.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija koja povezuje vrijednosti slučajne varijable sa njihovim odgovarajućim vjerovatnoćama. Zakon o raspodjeli može se specificirati na jedan od sljedećih načina.

1 . Zakon distribucije može se dati u tabeli:

gdje je λ>0, k = 0, 1, 2, … .

u) preko funkcija distribucije F(x) , koji za svaku vrijednost x određuje vjerovatnoću da slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od x, tj. F(x) = P(X< x).

Svojstva funkcije F(x)

3 . Zakon raspodjele se može postaviti grafički – distributivni poligon (poligon) (vidi problem 3).

Imajte na umu da za rješavanje nekih problema nije potrebno poznavati zakon raspodjele. U nekim slučajevima, dovoljno je znati jedan ili više brojeva koji najviše odražavaju važne karakteristike zakon o distribuciji. To može biti broj koji ima značenje "prosječne vrijednosti" slučajne varijable ili broj koji pokazuje prosječnu veličinu odstupanja slučajne varijable od njene prosječne vrijednosti. Brojevi ove vrste nazivaju se numeričkim karakteristikama slučajne varijable.

Osnovne numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable :

• Matematičko očekivanje (srednja vrijednost) diskretne slučajne varijable M(X)=Σ x i p i.
  Za binomnu distribuciju M(X)=np, za Poissonovu distribuciju M(X)=λ
• Disperzija diskretna slučajna varijabla D(X)=M2 ili D(X) = M(X 2) − 2. Razlika X–M(X) naziva se odstupanjem slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja.
  Za binomnu distribuciju D(X)=npq, za Poissonovu distribuciju D(X)=λ
• Standardna devijacija (standardna devijacija) σ(X)=√D(X).

Primjeri rješavanja zadataka na temu "Zakon distribucije diskretne slučajne varijable"

Zadatak 1.

Izdato je 1000 lutrijskih listića: njih 5 osvajaju 500 rubalja, 10 - 100 rubalja, 20 - 50 rubalja, 50 - 10 rubalja. Odrediti zakon distribucije vjerovatnoće slučajne varijable X - dobitak po listiću.

Odluka. Prema uslovu zadatka, moguće su sljedeće vrijednosti slučajne varijable X: 0, 10, 50, 100 i 500.

Broj tiketa bez dobitka je 1000 - (5+10+20+50) = 915, zatim P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Slično, nalazimo sve druge vjerovatnoće: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Rezultirajući zakon predstavljamo u obliku tabele:

Nađite matematičko očekivanje od X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Zadatak 3.

Uređaj se sastoji od tri nezavisna radna elementa. Vjerovatnoća kvara svakog elementa u jednom eksperimentu je 0,1. Napraviti zakon raspodjele za broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu, izgraditi poligon distribucije. Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je. Pronađite matematičko očekivanje, varijansu i standardnu ​​devijaciju diskretne slučajne varijable.

Odluka. 1. Diskretna slučajna varijabla X=(broj neuspjelih elemenata u jednom eksperimentu) ima sljedeće moguće vrijednosti: x 1 =0 (nijedan od elemenata uređaja nije uspio), x 2 =1 (jedan element nije uspio), x 3 =2 ( dva elementa nisu uspjela) i x 4 \u003d 3 (tri elementa nisu uspjela).

Kvarovi elemenata su nezavisni jedan od drugog, vjerovatnoće kvara svakog elementa su međusobno jednake, stoga je primjenjiv Bernulijeva formula . S obzirom da pod uslovom, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, određujemo verovatnoće vrednosti:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Provjerite: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dakle, željeni zakon binomne distribucije X ima oblik:

Na osi apscise iscrtavamo moguće vrijednosti x i, a na osi ordinata odgovarajuće vjerovatnoće r i. Konstruirajmo tačke M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Povezujući ove tačke sa segmentima, dobijamo željeni poligon distribucije.

3. Naći funkciju raspodjele F(x) = P(X

Za x ≤ 0 imamo F(x) = P(X<0) = 0;
za 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
za 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
za x > 3 biće F(x) = 1, jer događaj je siguran.

Grafikon funkcije F(x)

4. Za binomnu distribuciju X:
- matematičko očekivanje M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- disperzija D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standardna devijacija σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Obrazovna ustanova „Beloruska država

poljoprivredna akademija"

Odsjek za višu matematiku

Smjernice

na izučavanju teme "Slučajne varijable" studenata Računovodstvenog fakulteta dopisnog obrazovanja (NISPO)

Gorki, 2013

slučajne varijable

Diskretne i kontinuirane slučajne varijable

Jedan od osnovnih koncepata u teoriji vjerovatnoće je koncept slučajna varijabla . Slučajna varijabla Poziva se količina koja, kao rezultat testiranja, iz skupa mogućih vrijednosti uzima samo jednu, a ne zna se unaprijed koju.

Slučajne varijable su diskretno i kontinuirano . Diskretna slučajna varijabla (DSV) naziva se slučajna varijabla koja može poprimiti konačan broj vrijednosti izolovanih jedna od druge, tj. ako se moguće vrijednosti ove količine mogu ponovo izračunati. Kontinuirana slučajna varijabla (CRV) poziva se slučajna varijabla čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval realne linije.

Slučajne varijable se označavaju velikim slovima latinice X, Y, Z, itd. Moguće vrijednosti slučajnih varijabli označene su odgovarajućim malim slovima.

Snimanje
znači "vjerovatnost da će slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost jednaku 5, jednako 0,28".

Primjer 1 . Kocka se baca jednom. U tom slučaju mogu se pojaviti brojevi od 1 do 6, koji označavaju broj bodova. Označite slučajnu varijablu X=(broj ispuštenih bodova). Ova slučajna varijabla kao rezultat testa može uzeti samo jednu od šest vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Prema tome, slučajna varijabla X postoji DSV.

Primjer 2 . Kada se baci kamen, on odleti neku udaljenost. Označite slučajnu varijablu X=(kamena udaljenost leta). Ova slučajna varijabla može uzeti bilo koju, ali samo jednu vrijednost iz određenog intervala. Dakle, slučajna varijabla X postoji NSW.

Zakon distribucije diskretne slučajne varijable

Diskretnu slučajnu varijablu karakteriziraju vrijednosti koje može uzeti i vjerovatnoće s kojima se te vrijednosti uzimaju. Zove se korespondencija između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerovatnoća zakon distribucije diskretne slučajne varijable .

Ako su poznate sve moguće vrijednosti
slučajna varijabla X i vjerovatnoće
pojavom ovih vrednosti, smatra se da je zakon raspodele DSV X je poznato i može se napisati kao tabela:

DSV zakon distribucije može se grafički prikazati ako su tačke nacrtane u pravougaonom koordinatnom sistemu
,
, …,
i povežite ih pravim linijama. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.

Primjer 3 . Zrno namijenjeno za čišćenje sadrži 10% korova. 4 zrna su nasumično odabrana. Označite slučajnu varijablu X=(broj korova među četiri odabrana). Konstruirajte DSV zakon raspodjele X i poligon distribucije.

Odluka . Prema primjeru. onda:

Zapisujemo zakon distribucije DSV X u obliku tabele i gradimo poligon distribucije:

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable

Najvažnija svojstva diskretne slučajne varijable opisuju se njenim karakteristikama. Jedna od ovih karakteristika je očekivana vrijednost slučajna varijabla.

Neka je poznat DSV zakon distribucije X:

matematičko očekivanje DSV X zbir proizvoda svake vrijednosti ove veličine prema odgovarajućoj vjerovatnoći naziva se:
.

Matematičko očekivanje slučajne varijable približno je jednako aritmetičkoj sredini svih njenih vrijednosti. Stoga se u praktičnim problemima srednja vrijednost ove slučajne varijable često uzima kao matematičko očekivanje.

Primjer 8 . Strijelac izbacuje 4, 8, 9 i 10 poena sa vjerovatnoćom od 0,1, 0,45, 0,3 i 0,15. Pronađite matematičko očekivanje broja poena u jednom udarcu.

Odluka . Označite slučajnu varijablu X=(broj postignutih poena). Onda . Tako je očekivani prosječan broj poena postignutih sa jednim udarcem 8,2, a sa 10 šuteva 82.

Glavna svojstva matematička očekivanja su:

.

.

, gdje
,
.

.

, gdje X i Y su nezavisne slučajne varijable.

Razlika
pozvao odstupanje slučajna varijabla X od svog matematičkog očekivanja. Ova razlika je slučajna varijabla i njeno matematičko očekivanje je jednako nuli, tj.
.

Disperzija diskretne slučajne varijable

Za karakterizaciju slučajne varijable, osim matematičkog očekivanja, koristi se i disperzija , što omogućava procjenu disperzije (raspršenosti) vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Kada se porede dvije homogene slučajne varijable sa jednakim matematičkim očekivanjima, „najboljom“ se smatra ona koja ima manji raspon, tj. manja disperzija.

disperzija slučajna varijabla X naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja: .

U praktičnim problemima, za izračunavanje varijanse koristi se ekvivalentna formula.

Glavna svojstva disperzije su:

.

Dat je niz distribucije diskretne slučajne varijable. Pronađite vjerovatnoću koja nedostaje i nacrtajte funkciju distribucije. Izračunajte matematičko očekivanje i varijansu ove vrijednosti.

Slučajna varijabla X uzima samo četiri vrijednosti: -4, -3, 1 i 2. Uzima svaku od ovih vrijednosti sa određenom vjerovatnoćom. Pošto zbir svih vjerovatnoća mora biti jednak 1, vjerovatnoća koja nedostaje je jednaka:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

Sastavite funkciju distribucije slučajne varijable X. Poznato je da je funkcija distribucije , tada:

dakle,

Nacrtajmo funkciju F(x) .

Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable jednako je zbiru proizvoda vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerovatnoće, tj.

Varijanca diskretne slučajne varijable se nalazi po formuli:

DODATAK

Elementi kombinatorike Ovdje: - faktorijel broja

Akcije na događaje Događaj je svaka činjenica koja se može ili ne mora dogoditi kao rezultat nekog iskustva. Spajanje događaja ALI i AT- ovaj događaj With, koji se sastoji od pojave ili događaja ALI, ili događaji AT, ili oba događaja u isto vrijeme. Oznaka: ; Ukrštanje događaja ALI i AT- ovaj događaj With, koji se sastoji u istovremenom nastanku oba događaja. Oznaka: ;

Klasična definicija vjerovatnoće Vjerovatnoća događaja ALI je omjer broja eksperimenata , povoljno za nastanak događaja ALI, na ukupan broj eksperimenata :

Formula množenja vjerovatnoće Vjerovatnoća događaja može se pronaći pomoću formule: - vjerovatnoća događaja ALI, - vjerovatnoća događaja AT, - vjerovatnoća događaja AT pod uslovom da je događaj ALI već se dogodilo. Ako su događaji A i B nezavisni (nastanak jednog ne utiče na pojavu drugog), onda je vjerovatnoća događaja:

Formula za dodavanje vjerovatnoće Vjerovatnoća događaja može se pronaći pomoću formule: Vjerovatnoća događaja ALI, Vjerovatnoća događaja AT, - vjerovatnoća zajedničkog nastupa događaja ALI i AT. Ako su događaji A i B nekompatibilni (ne mogu se dogoditi u isto vrijeme), tada je vjerovatnoća događaja:

Formula ukupne vjerovatnoće Neka događaj ALI može se dogoditi istovremeno sa jednim od događaja , , …, Nazovimo ih hipotezama. Također poznat - vjerovatnoća ispunjenja i-th hipoteza i - vjerovatnoća pojave događaja A tokom izvršenja i th hipoteza. Zatim vjerovatnoća događaja ALI može se pronaći pomoću formule:

Bernulijeva shema Neka se izvede n nezavisnih testova. Vjerovatnoća nastanka (uspjeha) događaja ALI u svakom od njih je konstantan i jednak str, vjerovatnoća neuspjeha (tj. ne pojavljivanje događaja ALI) q = 1 - str. Zatim vjerovatnoća pojave k uspjeh u n testovi se mogu naći po Bernoullijevoj formuli: Najvjerovatniji broj uspjeha u Bernoullijevoj shemi, ovo je broj pojavljivanja nekog događaja, koji odgovara najvećoj vjerovatnoći. Može se pronaći pomoću formule:

slučajne varijable diskretno kontinuirano (npr. broj djevojčica u porodici sa 5 djece) (npr. vrijeme rada čajnika) Numeričke karakteristike diskretnih slučajnih varijabli Neka je diskretna vrijednost data nizom distribucije: X R , , …, - vrijednosti slučajne varijable X; , , …, su odgovarajuće vjerovatnoće. funkcija distribucije Funkcija distribucije slučajne varijable X naziva se funkcija data na cijeloj brojevnoj pravoj i jednaka je vjerojatnosti da X biće manje X:

Pitanja za ispit

Događaj. Operacije na slučajnim događajima.

Koncept vjerovatnoće događaja.

Pravila sabiranja i množenja vjerovatnoća. Uslovne vjerovatnoće.

Formula ukupne vjerovatnoće. Bayesova formula.

Bernulijeva shema.

Slučajna varijabla, njena funkcija distribucije i distribucijski redovi.

Osnovna svojstva funkcije distribucije.

Očekivana vrijednost. Svojstva matematičkog očekivanja.

Disperzija. Svojstva disperzije.

Gustoća raspodjele vjerovatnoće jednodimenzionalne slučajne varijable.

Vrste raspodjela: uniformna, eksponencijalna, normalna, binomna i Poissonova raspodjela.

Lokalne i integralne teoreme Moivre-Laplacea.

Zakon i funkcija distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Gustoća distribucije sistema dvije slučajne varijable.

Uslovni zakoni distribucije, uslovno matematičko očekivanje.

Zavisne i nezavisne slučajne varijable. Koeficijent korelacije.

Uzorak. Obrada uzorka. Poligon i histogram frekvencije. Empirijska funkcija distribucije.

Koncept procjene parametara distribucije. Zahtjevi za ocjenjivanje. Interval povjerenja. Izgradnja intervala za procjenu matematičkog očekivanja i standardne devijacije.

statističke hipoteze. Kriteriji pristanka.