Nech existuje funkcia y=f(x), X - jej definičný obor, Y - rozsah hodnôt. Vieme, že každému x 0 zodpovedá jedna hodnota y 0 =f(x 0), y 0 Y.
Môže sa ukázať, že každé y (alebo jeho časť 1) zodpovedá aj jedinečnému x z X.
Potom povedia, že na ploche (alebo jej časti ) je definovaná funkcia x=y, ktorá je inverzná k funkcii y=f(x).
Napríklad:
X 
=(); Y=$
Keďže táto funkcia je klesajúca a spojitá na intervale $X$, tak na intervale $Y=$, ktorý je na tomto intervale tiež klesajúci a spojitý (Veta 1).
Vypočítajte $ x $:
\ \
Vyberte si vhodné $x$:
odpoveď: inverzná funkcia $y=-\sqrt(x)$.
Problémy pri hľadaní inverzných funkcií
V tejto časti uvažujeme o inverzných funkciách pre niektoré elementárne funkcie. Úlohy budú riešené podľa vyššie uvedenej schémy.
Príklad 2
Nájdite inverznú funkciu pre funkciu $y=x+4$
Nájdite $x$ z rovnice $y=x+4$:
Príklad 3
Nájdite inverznú funkciu pre funkciu $y=x^3$
rozhodnutie.
Keďže funkcia je rastúca a spojitá na celom definičnom obore, potom podľa vety 1 má na sebe inverznú spojitú a rastúcu funkciu.
Nájdite $x$ z rovnice $y=x^3$:
Nájdenie vhodných hodnôt $ x $
Hodnota v našom prípade je vhodná (keďže rozsahom sú všetky čísla)
Predefinovaním premenných dostaneme, že inverzná funkcia má tvar
Príklad 4
Nájdite inverznú funkciu pre funkciu $y=cosx$ na intervale $$
rozhodnutie.
Uvažujme funkciu $y=cosx$ na množine $X=\left$. Je spojitá a klesajúca na množine $X$ a mapuje množinu $X=\left$ na množinu $Y=[-1,1]$, preto podľa vety o existencii inverznej spojitej monotónnej funkcie, funkcia $y=cosx$ v množine $ Y$ je inverzná funkcia, ktorá je tiež spojitá a zväčšuje sa v množine $Y=[-1,1]$ a mapuje množinu $[-1,1]$ do množiny $\left$.
Nájdite $x$ z rovnice $y=cosx$:
Nájdenie vhodných hodnôt $ x $
Predefinovaním premenných dostaneme, že inverzná funkcia má tvar
Príklad 5
Nájdite inverznú funkciu pre funkciu $y=tgx$ na intervale $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
rozhodnutie.
Uvažujme funkciu $y=tgx$ na množine $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. Je spojitý a rastúci na množine $X$ a mapuje množinu $X=\vľavo(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\vpravo)$ na množinu $Y =R$ teda podľa vety o existencii inverznej spojitej monotónnej funkcie má funkcia $y=tgx$ v množine $Y$ inverznú funkciu, ktorá je tiež spojitá a zväčšuje sa v množine $Y=R. $ a mapuje množinu $R$ na množinu $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
Nájdite $x$ z rovnice $y=tgx$:
Nájdenie vhodných hodnôt $ x $
Predefinovaním premenných dostaneme, že inverzná funkcia má tvar
Čo je to inverzná funkcia? Ako nájsť inverznú funkciu k danej funkcii?
Definícia .
Nech je funkcia y=f(x) definovaná na množine D a E je množina jej hodnôt. Inverzná funkcia vzhľadom na funkcia y=f(x) je funkcia x=g(y), ktorá je definovaná na množine E a priraďuje každému y∈E takú hodnotu x∈D, že f(x)=y.
Teda definičný obor funkcie y=f(x) je definičným oborom inverznej funkcie a definičný obor y=f(x) je definičným oborom inverznej funkcie.
Ak chcete nájsť inverznú funkciu k danej funkcii y=f(x), musíte :
1) Vo vzorci funkcie namiesto y nahraďte x namiesto x - y:
2) Z výslednej rovnosti vyjadrite y ako x:
Nájdite funkciu inverznú k funkcii y=2x-6.
Funkcie y=2x-6 a y=0,5x+3 sú vzájomne inverzné.
Grafy priamych a inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamu priamku y=x(osiktory I a III súradnicových štvrtí).
y=2x-6 a y=0,5x+3-. Graf lineárnej funkcie je . Ak chcete nakresliť priamku, vezmeme dva body.
Je možné jednoznačne vyjadriť y pomocou x, keď rovnica x=f(y) má jedinečné riešenie. Dá sa to urobiť, ak funkcia y=f(x) prevezme každú zo svojich hodnôt v jednom bode svojej definičnej domény (taká funkcia sa nazýva reverzibilné).
Veta (nevyhnutná a postačujúca podmienka na to, aby funkcia bola invertibilná)
Ak je funkcia y=f(x) definovaná a spojitá na číselnom intervale, potom na to, aby bola funkcia invertibilná, je potrebné a postačujúce, aby f(x) bola striktne monotónna.
Navyše, ak y=f(x) narastá na intervale, potom na tomto intervale rastie aj funkcia k nemu inverzná; ak je y=f(x) klesajúce, potom je aj inverzná funkcia klesajúca.
Ak podmienka reverzibility nie je splnená v celej oblasti definície, je možné vybrať interval, v ktorom funkcia iba rastie alebo iba klesá, a na tomto intervale nájsť inverznú funkciu k danej funkcii.
Klasickým príkladom je . medzi)
