Teorema. Zapremina piramide jednaka je proizvodu površine njene osnove i trećine njene visine.
Prvo dokazujemo ovu teoremu za trouglastu piramidu, a zatim za poligonalnu.
1) Na osnovu trouglaste piramide SABC (slika 102) konstruišemo prizmu SABCDE čija je visina jednaka visini piramide, a jedna bočna ivica se poklapa sa ivicom SB. Dokažimo da je zapremina piramide jedna trećina zapremine ove prizme. Odvojite ovu piramidu od prizme. Ovo ostavlja četvorougaonu piramidu SADEC (koja je prikazana posebno radi jasnoće). Nacrtajmo u njemu reznu ravan kroz vrh S i dijagonalu baze DC. Dobivene dvije trokutaste piramide imaju zajednički vrh S i jednake baze DEC i DAC koje leže u istoj ravni; dakle, prema gore dokazanoj lemi, ove piramide su jednake. Uporedimo jednu od njih, naime SDEC, sa ovom piramidom. Za osnovu SDEC piramide, možete uzeti \(\Delta\)SDE; tada će njen vrh biti u tački C, a visina je jednaka visini ove piramide. Kako je \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, onda su, prema istoj lemi, piramide SDEC i SABC jednake.
Prizmu ABCDES dijelimo na tri piramide jednake veličine: SABC, SDEC i SDAC. (Očigledno, svaka trokutasta prizma može biti podvrgnuta takvoj pregradi. Ovo je jedno od važnih svojstava trokutaste prizme.) Dakle, zbir zapremina tri piramide koje su po veličini jednake datoj je zapremina prizma; shodno tome,
$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$
gdje je H visina piramide.
2) Kroz neki vrh E (slika 103) osnove poligonalne piramide SABCDE povlačimo dijagonale EB i EC.
Zatim crtamo rezne ravnine kroz ivicu SE i svaku od ovih dijagonala. Tada će se poligonalna piramida podijeliti na nekoliko trouglastih koji imaju zajedničku visinu sa datom piramidom. Označavanje površina baza trokutastih piramida kroz b 1 ,b 2 ,b 3 i visine kroz H, imaćemo:
volumen SABCDE = 1 / 3 b 1H+1/3 b 2H+1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H / 3 =
= (područje ABCDE) H / 3 .
Posljedica. Ako V, B i H znače brojeve koji u odgovarajućim jedinicama izražavaju zapreminu, osnovnu površinu i visinu bilo koje piramide, tada
Teorema. Zapremina krnje piramide jednaka je zbiru zapremina tri piramide koje imaju istu visinu kao visina krnje piramide i osnova: jedna je donja osnova ove piramide, druga je gornja osnova, a površina osnove treće piramide jednaka je geometrijskoj sredini površina gornje i donje baze.
Neka su površine osnova krnje piramide (slika 104) B i b, visina H i zapremina V (krnja piramida može biti trouglasta ili poligonalna - nije bitno).
To je potrebno dokazati
V = 1/3 BH + 1/3 b H + 1 / 3 H√B b= 1/3H(B+ b+√B b ),
gdje je √B b je geometrijska sredina između B i b.
Da bismo dokazali na manjoj osnovi, postavljamo malu piramidu koja ovu skraćenu piramidu nadopunjuje u potpunu. Tada možemo smatrati zapreminu skraćene piramide V kao razliku dva volumena - pune piramide i gornje dodatne.
Označavanje visine dodatne piramide slovom X, to ćemo naći
V = 1/3 B (H + X) - 1 / 3 bx= 1 / 3 (BH + B x - bx) = 1 / 3 [VH + (V - b)X].
Da nađem visinu X koristimo teoremu iz , prema kojoj možemo napisati jednačinu:
$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$
Da bismo pojednostavili ovu jednačinu, izvlačimo njen aritmetički kvadratni korijen s obje strane:
$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$
Iz ove jednačine (koja se može posmatrati kao proporcija) dobijamo:
$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$
$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$
i stoga
$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$
Zamijenivši ovaj izraz u formulu koju smo izveli za volumen V, nalazimo:
$$ V = \frac(1)(3)\left $$
Od V- b= (√B + √ b) (√B - √ b), zatim smanjenjem razlomka za razliku √B - √ b dobijamo:
$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$
tj. dobijamo formulu koju je trebalo dokazati.
Ostali materijaliPiramida je poliedar sa poligonom u osnovi. Sva lica, zauzvrat, formiraju trouglove koji se konvergiraju u jednom vrhu. Piramide su trouglaste, četvorougaone i tako dalje. Da biste odredili koja se piramida nalazi ispred vas, dovoljno je izbrojati broj uglova u njenoj osnovi. Definicija "visine piramide" se vrlo često nalazi u zadacima iz geometrije u školskom programu. U članku ćemo pokušati razmotriti različite načine da ga pronađete.
Dijelovi piramide
Svaka piramida se sastoji od sljedećih elemenata:
- bočne strane koje imaju tri ugla i konvergiraju na vrhu;
- apotema predstavlja visinu koja se spušta sa njenog vrha;
- vrh piramide je tačka koja spaja bočne ivice, ali ne leži u ravni baze;
- baza je poligon koji ne sadrži vrh;
- visina piramide je segment koji siječe vrh piramide i formira pravi ugao sa njenom bazom.
Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njen volumen
Kroz formulu V = (S * h) / 3 (u formuli V je volumen, S je površina baze, h je visina piramide), nalazimo da je h = (3 * V) / S . Da bismo konsolidirali materijal, odmah riješimo problem. Trouglasta osnova je 50 cm 2, a zapremina 125 cm 3 . Visina trouglaste piramide je nepoznata, koju moramo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobijamo h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Kako pronaći visinu piramide ako su poznati dužina dijagonale i njen rub
Kao što se sjećamo, visina piramide formira pravi ugao sa svojom bazom. A to znači da visina, ivica i polovina dijagonale zajedno čine Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorine teoreme. Poznavajući dvije dimenzije, neće biti teško pronaći treću vrijednost. Prisjetimo se dobro poznate teoreme a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju ivica piramide; b - prvi krak ili polovina dijagonale i c - drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule, c² = a² - b².
Sada problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, dok je dužina ivice 30 cm.Treba pronaći visinu. Rješavamo: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Dakle, c \u003d √ 500 = oko 22,4.
Kako pronaći visinu krnje piramide
To je poligon koji ima presjek paralelan s njegovom bazom. Visina krnje piramide je segment koji spaja njene dvije osnove. Visina se može naći u pravilnoj piramidi ako su poznate dužine dijagonala obje baze, kao i ivica piramide. Neka je dijagonala veće baze d1, dok je dijagonala manje baze d2, a ivica dužine l. Da biste pronašli visinu, možete spustiti visine od dvije gornje suprotne točke dijagrama do njegove osnove. Vidimo da imamo dva pravougaona trougla, ostaje da pronađemo dužine njihovih nogu. Da biste to učinili, oduzmite manju dijagonalu od veće dijagonale i podijelite sa 2. Tako ćemo pronaći jednu nogu: a \u003d (d1-d2) / 2. Nakon toga, prema Pitagorinoj teoremi, ostaje nam samo pronaći drugi krak, a to je visina piramide.
Pogledajmo sada cijelu ovu stvar u praksi. Pred nama je zadatak. Skraćena piramida ima kvadrat u osnovi, dužina dijagonale veće osnove je 10 cm, dok je manje 6 cm, a ivica 4 cm. Potrebno je pronaći visinu. Za početak, nalazimo jednu nogu: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Jedna noga je 2 cm, a hipotenuza je 4 cm. Ispada da će druga noga ili visina biti 16- 4 \u003d 12, odnosno h \u003d √12 = oko 3,5 cm.
Piramida naziva se poliedar čija je osnova proizvoljan mnogougao, a sva lica su trouglovi sa zajedničkim vrhom, koji je vrh piramide.
Piramida je trodimenzionalna figura. Zato je često potrebno pronaći ne samo njegovu površinu, već i njen volumen. Formula za zapreminu piramide je vrlo jednostavna:
gdje je S površina osnove, a h visina piramide.
Visina piramida se naziva ravna linija, spuštena od vrha do osnove pod pravim uglom. Shodno tome, da bi se pronašao volumen piramide, potrebno je odrediti koji poligon leži u osnovi, izračunati njegovu površinu, saznati visinu piramide i pronaći njen volumen. Razmotrimo primjer izračunavanja volumena piramide.
Zadatak: data je pravilna četvorougaona piramida. 
Stranice osnove a = 3 cm, sve bočne ivice b = 4 cm Nađite zapreminu piramide.
Prvo, zapamtite da vam je za izračunavanje volumena potrebna visina piramide. Možemo ga pronaći pomoću Pitagorine teoreme. Da bismo to učinili, potrebna nam je dužina dijagonale, odnosno polovina. Tada znajući dvije stranice pravokutnog trougla možemo pronaći visinu. Prvo pronađite dijagonalu: 
Zamijenite vrijednosti u formuli: 
Visinu h nalazimo pomoću d i ruba b: 
Sad hajde da nađemo
Teorema.
Zapremina piramide jednaka je jednoj trećini proizvoda površine osnove i visine..
dokaz:
Prvo dokazujemo teoremu za trouglastu piramidu, a zatim za proizvoljnu.1. Zamislite trouglastu piramiduOABCsa zapreminom V, bazna površinaS i visina h. Nacrtajte osu oh (OM2- visina), uzmite u obzir presjekA1 B1 C1piramide sa ravninom okomitom na osuOhi, prema tome, paralelno sa ravninom baze. Označiti saX apscisa tačka M1 presek ove ravni sa x-osom, i krozS(x)- površina poprečnog presjeka. Express S(x) preko S, h I X. Imajte na umu da trouglovi A1 IN1 OD1 I ABC su slični. Zaista A1 IN1 II AB, dakle trougao OA 1 IN 1 slično trokutu OAB. OD shodno tome, ALI1 IN1 : ALIB= OA 1: OA .
pravokutnih trouglova OA 1 IN 1 i OAB takođe su slični (imaju zajednički oštri ugao sa vrhom O). Stoga, OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Na ovaj način ALI 1 IN 1 : A B = x: h.Slično, dokazano je daB1 C1:Ned = X: h I A1 C1:AC = X: h.Dakle, trougaoA1 B1 C1 I ABCslično sa koeficijentom sličnosti X: h.Prema tome, S(x) : S = (x: h)², ili S(x) = S x²/ h².
Primijenimo sada osnovnu formulu za izračunavanje volumena tijela pria= 0, b=h dobijamo
Dakle, zapremina originalne piramide je 1/3Sh. Teorema je dokazana.
Posljedica:
Volumen V krnje piramide sa visinom h i osnovnim površinama S i S1 , izračunavaju se po formuli
h - visina piramide
S top - površina gornje osnove
S niže - površina donje osnove
Glavna karakteristika svake geometrijske figure u prostoru je njen volumen. U ovom članku ćemo razmotriti što je piramida s trokutom u bazi, a također ćemo pokazati kako pronaći volumen trokutne piramide - pravilne pune i skraćene.
Šta je trouglasta piramida?
Svi su čuli za drevne egipatske piramide, ali one su četvorougaone pravilne, a ne trouglaste. Hajde da objasnimo kako da dobijemo trouglastu piramidu.
Uzmimo proizvoljan trougao i spojimo sve njegove vrhove sa nekom tačkom koja se nalazi izvan ravni ovog trougla. Dobivena figura će se zvati trouglasta piramida. To je prikazano na donjoj slici.
Kao što vidite, figuru koja se razmatra formiraju četiri trokuta, koji su u opštem slučaju različiti. Svaki trokut su stranice piramide ili njeno lice. Ova piramida se često naziva tetraedar, odnosno četverostrana trodimenzionalna figura.
Osim stranica, piramida ima i ivice (ima ih 6) i vrhove (ima ih 4).
sa trouglastom bazom
Figura, koja se dobija korišćenjem proizvoljnog trougla i tačke u prostoru, u opštem slučaju će biti nepravilna nagnuta piramida. Sada zamislite da originalni trokut ima iste stranice, a tačka u prostoru se nalazi tačno iznad njegovog geometrijskog centra na udaljenosti h od ravni trougla. Piramida izgrađena korištenjem ovih početnih podataka bit će ispravna.
Očigledno je da će broj ivica, stranica i vrhova pravilne trouglaste piramide biti isti kao i kod piramide izgrađene od proizvoljnog trougla.
Međutim, ispravna figura ima neke karakteristične karakteristike:
- njegova visina, povučena od vrha, tačno će preseći bazu u geometrijskom centru (tačka preseka medijana);
- bočnu površinu takve piramide čine tri identična trokuta koja su jednakokračna ili jednakostranična.
Pravilna trokutasta piramida nije samo čisto teorijski geometrijski objekat. Neke strukture u prirodi imaju svoj oblik, kao što je kristalna rešetka dijamanta, gdje je atom ugljika povezan sa četiri ista atoma kovalentnim vezama, ili molekula metana, gdje vrhove piramide formiraju atomi vodika.
trouglasta piramida
Možete odrediti volumen apsolutno bilo koje piramide s proizvoljnim n-ugao u bazi koristeći sljedeći izraz:
Ovdje simbol S o označava površinu osnove, h je visina figure povučene do označene baze sa vrha piramide.
Budući da je površina proizvoljnog trokuta jednaka polovini umnoška dužine njegove stranice a i apoteme h a spuštene na ovu stranu, formula za zapreminu trokutaste piramide može se napisati u sljedećem obliku:
V = 1/6 × a × h a × h
Za generički tip, određivanje visine nije lak zadatak. Da biste ga riješili, najlakši način je da koristite formulu za udaljenost između tačke (temena) i ravni (trouglasta baza), predstavljenu opštom jednadžbom.
Za ispravan, ima specifičan izgled. Površina osnove (jednakostraničnog trokuta) za njega je jednaka:
Zamijenimo ga u opći izraz za V, dobićemo:
V = √3/12 × a 2 × h
Poseban slučaj je situacija kada se ispostavi da su sve strane tetraedra identični jednakostranični trouglovi. U ovom slučaju, njegov volumen se može odrediti samo na osnovu poznavanja parametra njegove ivice a. Odgovarajući izraz izgleda ovako:
Krnja piramida
Ako se gornji dio koji sadrži vrh odsječe od pravilne trokutaste piramide, tada će se dobiti skraćeni lik. Za razliku od originalnog, sastojat će se od dvije jednakostranične trokutne baze i tri jednakokračna trapeza.
Fotografija ispod prikazuje kako izgleda pravilna skraćena trouglasta piramida napravljena od papira.
Da bi se odredio volumen skraćene trokutaste piramide, potrebno je poznavati njene tri linearne karakteristike: svaku od stranica osnova i visinu figure, jednaku udaljenosti između gornje i donje osnove. Odgovarajuća formula za zapreminu piše se na sledeći način:
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
Ovdje je h visina figure, A i a su dužine stranica velikog (donjeg) i malog (gornjeg) jednakostraničnog trokuta, respektivno.
Rješenje problema
Da bi informacije u članku bile jasnije čitaocu, pokazat ćemo na jasnim primjeru kako koristiti neke od napisanih formula.
Neka zapremina trouglaste piramide bude 15 cm 3. Poznato je da je cifra tačna. Trebali biste pronaći apotemu a b bočne ivice ako je poznato da je visina piramide 4 cm.
Budući da su volumen i visina figure poznati, možete koristiti odgovarajuću formulu za izračunavanje dužine stranice njene baze. Imamo:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm
a b \u003d √ (h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm
Pokazalo se da je izračunata dužina apotema figure veća od njegove visine, što vrijedi za bilo koju vrstu piramide.
