Matematička svojstva
Karakteristika pravilnog šestougla je jednakost njegove stranice i poluprečnika opisane kružnice, jer
Svi uglovi su 120°.
Poluprečnik upisane kružnice je:
Opseg pravilnog šestougla je:
Površina pravilnog šesterokuta izračunava se po formulama:
Šestougaoni oblažu ravninu, odnosno mogu ispuniti ravan bez praznina i preklapanja, formirajući takozvani parket.
Šestougaoni parket (šestougaoni parket)- popločavanje ravni sa jednakim pravilnim šestouglovima, lociranim sa jedne na drugu stranu.
Šestougaoni parket je dvostruki trokutasti parket: ako spojite centre susjednih šesterokuta, tada će iscrtani segmenti dati trouglasti parket. Schläflijev simbol šesterokutnog parketa je (6,3), što znači da se tri šesterokuta spajaju na svakom vrhu parketa.
Šestougaoni parket je najgušće pakovanje krugova u ravni. U dvodimenzionalnom euklidskom prostoru najbolje je ispuniti središta krugova na vrhovima parketa formiranog od pravilnih šesterokuta, u kojima je svaki krug okružen sa šest drugih. Gustina ovog pakovanja je . 1940. godine dokazano je da je ovo pakovanje najgušće.
Pravilni šestougao sa stranicom je univerzalni poklopac, odnosno svaki skup prečnika može biti pokriven pravilnim šestougaonom stranom (Pal-ova lema).
Pravilan šestougao se može konstruisati pomoću šestara i ravnala. Ispod je metoda konstrukcije koju je predložio Euklid u Elementima, knjiga IV, teorema 15.
Pravilni heksagon u prirodi, tehnologiji i kulturi
pokazati podjelu ravni na pravilne šesterokute. Heksagonalni oblik više od ostalih omogućava vam uštedu na zidovima, odnosno manje voska će se potrošiti na saće s takvim ćelijama.
Neki složeni kristali i molekuli, kao što je grafit, imaju heksagonalnu kristalnu rešetku.
Nastaje kada mikroskopske kapljice vode u oblacima privlače čestice prašine i smrzavaju se. Kristali leda koji se pojavljuju u ovom slučaju, koji u početku ne prelaze 0,1 mm u prečniku, padaju i rastu kao rezultat kondenzacije vlage iz zraka na njima. U ovom slučaju nastaju šestokraki kristalni oblici. Zbog strukture molekula vode, mogući su uglovi od samo 60° i 120° između zraka kristala. Glavni kristal vode ima oblik pravilnog šestougla u ravnini. Potom se na vrhove takvog šesterokuta talože novi kristali, na njih se talože novi i tako se dobijaju različiti oblici zvijezda pahuljica.
Naučnici sa Univerziteta Oksford uspjeli su simulirati pojavu takvog šesterokuta u laboratoriji. Kako bi otkrili kako dolazi do takve formacije, istraživači su stavili bocu vode od 30 litara na gramofon. Ona je modelirala atmosferu Saturna i njegovu uobičajenu rotaciju. Unutra su naučnici postavili male prstenove koji se rotiraju brže od kontejnera. To je stvorilo minijaturne vrtloge i mlaze, koje su eksperimentatori vizualizirali zelenom bojom. Što se prsten brže okretao, vrtlozi su postajali sve veći, što je uzrokovalo da obližnji potok odstupa od kružnog oblika. Tako su autori eksperimenta uspjeli dobiti različite oblike - ovale, trokute, kvadrate i, naravno, željeni šesterokut.
Spomenik prirode od oko 40.000 međusobno povezanih bazaltnih (rijetko andezitnih) stupova, nastalih kao rezultat drevne vulkanske erupcije. Smješten na sjeveroistoku Sjeverne Irske, 3 km sjeverno od grada Bushmillsa.
Vrhovi stupova čine svojevrsnu odskočnu dasku, koja počinje u podnožju litice i nestaje ispod površine mora. Većina stupova je heksagonalna, iako neki imaju četiri, pet, sedam ili osam uglova. Najviši stub je visok oko 12 metara.
Prije oko 50-60 miliona godina, tokom paleogenskog perioda, nalazište Antrim je bilo podložno intenzivnoj vulkanskoj aktivnosti kada je rastopljeni bazalt prožimao naslage, formirajući opsežne visoravni lave. S brzim hlađenjem, volumen tvari se smanjio (to se opaža kada se blato osuši). Horizontalna kompresija rezultirala je karakterističnom strukturom šesterokutnih stupova.
Poprečni presjek matice ima oblik pravilnog šesterokuta.
Najpoznatija figura sa više od četiri ugla je pravilni šestougao. U geometriji se često koristi u problemima. A u životu je upravo to ono što saće ima na rezu.
Po čemu se razlikuje od pogrešnog?
Prvo, heksagon je figura sa 6 vrhova. Drugo, može biti konveksna ili konkavna. Prvi se razlikuje po tome što četiri vrha leže na jednoj strani prave linije povučene kroz druga dva.
Treće, pravilan šesterokut karakterizira činjenica da su mu sve strane jednake. Štaviše, svaki ugao figure također ima istu vrijednost. Da biste odredili zbir svih njegovih uglova, moraćete da koristite formulu: 180º * (n - 2). Ovdje je n broj vrhova figure, odnosno 6. Jednostavan proračun daje vrijednost od 720º. Dakle, svaki ugao je 120 stepeni.
U svakodnevnim aktivnostima, pravilan šesterokut se nalazi u pahuljici i orahu. Hemičari to vide čak iu molekulu benzena.
Koja svojstva trebate znati kada rješavate probleme?
Ovom gore navedenom treba dodati:
- dijagonale figure, povučene kroz centar, dijele ga na šest trokuta, koji su jednakostranični;
- stranica pravilnog šestougla ima vrijednost koja se poklapa s polumjerom opisane kružnice oko nje;
- koristeći takvu figuru, moguće je popuniti ravninu, a između njih neće biti praznina i preklapanja.
Uvedena notacija
Tradicionalno, strana pravilne geometrijske figure označava se latiničnim slovom "a". Za rješavanje problema potrebni su i površina i perimetar, to su S i P, redom. Krug je upisan u pravilan šestougao ili opisan oko njega. Zatim se unose vrijednosti za njihove radijuse. Označeni su slovima r i R.
U nekim formulama pojavljuju se unutrašnji ugao, poluperimetar i apotema (koja je okomita na sredinu bilo koje strane iz središta poligona). Za njih se koriste slova: α, p, m.
Formule koje opisuju figuru
Da biste izračunali polumjer upisane kružnice, potrebno vam je ovo: r= (a * √3) / 2, i r = m. Odnosno, ista formula će biti i za apotemu.
Budući da je obim šesterokuta zbir svih strana, on će se odrediti na sljedeći način: P = 6 * a. S obzirom da je stranica jednaka polumjeru opisane kružnice, za obod postoji takva formula za pravilan šesterokut: P = 6 * R. Od one koja je data za polumjer upisane kružnice, odnos između a i r je izvedeno. Tada formula poprima sljedeći oblik: R = 4 r * √3.
Za površinu pravilnog šesterokuta, ovo bi moglo biti korisno: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.
Zadaci
Br. 1. Stanje. Postoji pravilna šestougaona prizma čija je svaka ivica jednaka 4 cm. U nju je upisan cilindar čija se zapremina mora odrediti.
Rješenje. Zapremina cilindra se definira kao proizvod površine baze i visine. Potonji se poklapa sa ivicom prizme. I jednaka je stranici pravilnog šestougla. Odnosno, visina cilindra je takođe 4 cm.
Da biste saznali površinu njegove baze, morate izračunati polumjer kružnice upisane u šesterokut. Formula za to je prikazana iznad. Dakle, r = 2√3 (cm). Zatim je površina kruga: S = π * r 2 = 3,14 * (2√3) 2 = 37,68 (cm 2).
Odgovori. V = 150,72 cm 3.
br. 2. Stanje. Izračunajte polumjer kružnice koja je upisana u pravilan šestougao. Poznato je da je njegova stranica √3 cm. Koliki će biti njen obim?
Rješenje. Ovaj zadatak zahtijeva korištenje dvije od gore navedenih formula. Štaviše, moraju se primijeniti čak i bez modifikacije, samo zamijenite vrijednost strane i izračunajte.
Dakle, polumjer upisane kružnice ispada 1,5 cm. Za perimetar ispada tačna sljedeća vrijednost: 6√3 cm.
Odgovori. r = 1,5 cm, R = 6√3 cm.
br. 3. Stanje. Poluprečnik opisane kružnice je 6 cm.Koliku će vrijednost u ovom slučaju imati stranica pravilnog šestougla?
Rješenje. Iz formule za polumjer kružnice upisane u šesterokut lako se dobije ona po kojoj se mora izračunati stranica. Jasno je da se radijus množi sa dva i dijeli korijenom od tri. Neophodno je osloboditi se iracionalnosti u nazivniku. Dakle, rezultat akcija ima sljedeći oblik: (12 √3) / (√3 * √3), odnosno 4√3.
Odgovori. a = 4√3 cm.
Ima li olovka u vašoj blizini? Pogledajte njegov presjek - to je pravilan šesterokut ili, kako ga još nazivaju, šestougao. Poprečni presjek oraha, polje heksagonalnog šaha, neke složene molekule ugljika (na primjer, grafit), pahulja, saće i drugi predmeti također imaju ovaj oblik. U njemu je nedavno otkriven gigantski pravilni šestougao. Ne čini li se čudnim da priroda tako često koristi strukture ovog posebnog oblika za svoje kreacije? Pogledajmo izbliza.
Pravilni šestougao je mnogougao sa šest jednakih stranica i jednakih uglova. Iz školskog kursa znamo da ima sledeća svojstva:
- Dužina njegovih stranica odgovara poluprečniku opisane kružnice. Od svega, samo pravilan šestougao ima ovo svojstvo.
- Uglovi su međusobno jednaki, a veličina svakog je 120°.
- Opseg šesterokuta se može naći pomoću formule R=6*R ako je poznat poluprečnik kružnice koja je opisana oko njega, ili R=4*√(3)*r ako je kružnica upisana u njega. R i r su polumjeri opisane i upisane kružnice.
- Površina koju zauzima pravilan šestougao određuje se na sljedeći način: S=(3*√(3)*R 2)/2. Ako je polumjer nepoznat, umjesto njega zamjenjujemo dužinu jedne od stranica - kao što znate, ona odgovara dužini polumjera opisane kružnice.
Pravilni šesterokut ima jednu zanimljivu osobinu zbog koje je postao toliko raširen u prirodi - u stanju je ispuniti bilo koju površinu ravnine bez preklapanja i praznina. Postoji čak i takozvana Palova lema, prema kojoj je pravilan šestougao čija je stranica jednaka 1/√(3) univerzalna guma, odnosno može pokriti bilo koji skup prečnika jedne jedinice.
Sada razmotrite konstrukciju pravilnog šesterokuta. Postoji nekoliko načina, od kojih je najlakši korištenje šestara, olovke i ravnala. Prvo, šestarom nacrtamo proizvoljan krug, a zatim napravimo tačku na proizvoljnom mjestu na ovoj kružnici. Bez mijenjanja rješenja kompasa, vrh stavljamo na ovu tačku, označavamo sljedeći zarez na krugu, nastavljamo ovako dok ne dobijemo svih 6 bodova. Sada ostaje samo da ih povežete jedni s drugima ravnim segmentima i ispostavit će se željena figura.
U praksi postoje slučajevi kada trebate nacrtati veliki šesterokut. Na primjer, na plafonu od gipsanih ploča na dva nivoa, oko tačke pričvršćivanja centralnog lustera, potrebno je ugraditi šest malih lampi na donjem nivou. Biće veoma, veoma teško pronaći kompas ove veličine. Kako postupiti u ovom slučaju? Kako nacrtati veliki krug? Veoma jednostavno. Morate uzeti jak konac željene dužine i vezati jedan od njegovih krajeva nasuprot olovci. Sada ostaje samo pronaći pomoćnika koji bi pritisnuo drugi kraj konca na plafon u pravoj tački. Naravno, u ovom slučaju moguće su manje greške, ali malo je vjerovatno da će one uopće biti uočljive nekom autsajderu.
Znate li kako izgleda običan šestougao?
Ovo pitanje nije slučajno postavljeno. Većina učenika 11. razreda ne zna odgovor na to pitanje.
Pravilan šestougao je onaj kod kojeg su sve strane jednake i svi uglovi su takođe jednaki..
Iron nut. Pahuljica. Ćelija saća u kojoj žive pčele. Molekula benzena. Šta je zajedničko ovim objektima? - Činjenica da svi imaju pravilan heksagonalni oblik.
Mnogi školarci su izgubljeni kada vide zadatke za pravilan šesterokut i smatraju da su za njihovo rješavanje potrebne neke posebne formule. je li tako?
Nacrtajte dijagonale pravilnog šestougla. Dobili smo šest jednakostraničnih trouglova. 
Znamo da je površina jednakostraničnog trougla .
Tada je površina pravilnog šesterokuta šest puta veća.
Gdje je stranica pravilnog šestougla.
Imajte na umu da je u pravilnom šesterokutu udaljenost od njegovog centra do bilo kojeg vrha ista i jednaka strani pravilnog šesterokuta.
To znači da je polumjer kružnice opisane oko pravilnog šestougla jednak njegovoj strani.
Lako je pronaći polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut.
On je jednak.
Sada možete lako riješiti sve probleme USE u kojima se pojavljuje pravilan šesterokut.
Pronađite polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut sa stranicom .
Polumjer takve kružnice je .
Odgovor: .
Koja je stranica pravilnog šestougla upisanog u krug poluprečnika 6?
Znamo da je stranica pravilnog šestougla jednaka poluprečniku kružnice koja je opisana oko nje.
Znate li kako izgleda običan šestougao?
Ovo pitanje nije slučajno postavljeno. Većina učenika 11. razreda ne zna odgovor na to pitanje.
Pravilan šestougao je onaj kod kojeg su sve strane jednake i svi uglovi su takođe jednaki..
Iron nut. Pahuljica. Ćelija saća u kojoj žive pčele. Molekula benzena. Šta je zajedničko ovim objektima? - Činjenica da svi imaju pravilan heksagonalni oblik.
Mnogi školarci su izgubljeni kada vide zadatke za pravilan šesterokut i smatraju da su za njihovo rješavanje potrebne neke posebne formule. je li tako?
Nacrtajte dijagonale pravilnog šestougla. Dobili smo šest jednakostraničnih trouglova.
Znamo da je površina jednakostraničnog trougla .
Tada je površina pravilnog šesterokuta šest puta veća.
Gdje je stranica pravilnog šestougla.
Imajte na umu da je u pravilnom šesterokutu udaljenost od njegovog centra do bilo kojeg vrha ista i jednaka strani pravilnog šesterokuta.
To znači da je polumjer kružnice opisane oko pravilnog šestougla jednak njegovoj strani.
Lako je pronaći polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut.
On je jednak.
Sada možete lako riješiti sve probleme USE u kojima se pojavljuje pravilan šesterokut.
Pronađite polumjer kružnice upisane u pravilan šesterokut sa stranicom .
Polumjer takve kružnice je .
Odgovor: .
Koja je stranica pravilnog šestougla upisanog u krug poluprečnika 6?
Znamo da je stranica pravilnog šestougla jednaka poluprečniku kružnice koja je opisana oko nje.
