Geometri sırasında, geometrik şekillerin özelliklerini inceleyeceğiz ve bunların en basitini zaten ele alacağız: üçgenler-ni-ki ve çevresi. Aynı zamanda, bu figürlerin dikdörtgen, eşit tre-kömür-ni-ki gibi özel durumlarını tartıştık. Artık daha genel ve karmaşık incirlerden bahsetmenin zamanı geldi - bir sürü kömür-no-kah.
belirli bir durumda çok-kömür-nikov bir üçgen olduğumuzu zaten biliyoruz (bkz. Şekil 1).
Pirinç. 1. Tre-kömür-nick
Adının kendisinde, bunun üç köşesi olan fi-gu-ra olduğu zaten cher-ki-va-et-sya'nın altındadır. Soldan-tel-ama, içinde bir sürü kömür-no-ke birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin, beş kömür takma adının görüntüsü (bkz. Şekil 2), yani beş köşe-la-mi ile fi-gu-ru.
Pirinç. 2. Beş taraflı takma ad. Sen-yogo-kömür-nick
Tanım.Çokgen- fi-gu-ra, birkaç noktadan (ikiden fazla) ve veteriner-u-u-u-l-a-th-a-th kov ile birlikte, bazıları va-tel-ama birlikte birleşmekten sonra. Bu noktalar na-zy-va-ut-Xia ver-shi-na-miçok fazla kömür-hayır, ama kesimden - sto-ro-na-mi... Aynı zamanda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde bulunmaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez ...
Tanım.Doğru çoklu kömür-nick- bu sen-çok-kömür-nick, hangi-ro-go'da tüm kenarlar ve açılar eşittir.
Herhangi çokgen uçak kemiğini iki bölgeye div-de-la-et: iç-ren-nu ve dış-nu. iç-ren-nyu bölgesi aynı zamanda bir sürü kömür-no-ku.
Başka bir deyişle, örneğin, beş kömürsüz hakkında konuştuklarında, tüm iç-nyu bölgesini ve tsu'yu kastediyorlar. Ve bir çok kömürün içinde yatan tüm noktalar, yani. nokta aynı zamanda beş-kömür-ni-ku'ya da atıfta bulunur (bkz. Şekil 2).
Birçok kömür-ni-ki hala bazen na-zy-va-yut n-coal-ni-ka-mi, ras-smat-ri-va-is-Xia'nın bilinmeyen sayıda köşe durumunda yaygın olduğunun altını çizmek için (n adet).
Tanım. Metre başına çok-kömür-no-ka- çok sayıda kömürün kenar uzunluklarının toplamı.
Şimdi biz-evet-çok-kömür-nikov ile-bilmeyi-bilmeyi bilmek gerekiyor. onlar açık sen-osuruk-ly ve osuruk değil... Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen takma ad. 2 şişkindir ve Şek. 3 paketsiz.
Pirinç. 3. Neva-demet-ly-go-kömür-nick
2. Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenler
Tanım-de-le-tion 1. Çokgen na-zy-wa-et-Xia sen-demet-lym eğer, kanıtlandığında, herhangi bir yanından düz bir şekilde geçerse çokgen bu düz çizginin sadece bir tarafında yer alır. Neva-demet-ly-mi Tüm kalan mogo-kömür-ni-ki.
Şekil 5'teki beş kömürün herhangi bir tarafının ne zaman olduğunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizgiden yüzde yüz olacak, yani. o bir grup. Ancak, Şekil 4'te dört-sen-rekh-kömür-no-ke'de düz bir çizginin ispatı ile. 3 zaten onu ikiye böldüğünü görüyoruz, yani. osuruk değil.
Ama aynı zamanda bir sürü kömürsüzün başka bir tanımı daha var.
Tanım-de-le-tion 2. Çokgen na-zy-wa-et-Xia sen-demet-lym iç noktalarından herhangi ikisini seçtiğinizde ve bunlar bağlandığında, kesimdeki tüm noktalar da iç -n-mi-noktalar-mi-a-go-kömür-ni-ka.
Bu tanımın kullanımının gösterimi, Şekil 2'deki kesme noktalarının inşası örneğinde görülebilir. 2 ve 3.
Tanım. Dia-go-na-liu bir sürü kömür-no-ka-zy-va-is-Xia herhangi bir ot-zok, ortak-bir-nya-yu-shi-iki köşelerinin bitişikliği değil.
3. Bir dışbükey n-genin iç açılarının toplamına ilişkin teorem
Çok-kömür-nikov'un özelliklerinin bir açıklaması için, açıları hakkında iki önemli teori-biz vardır: vy-bunch-lo-th-many-coal-no-ka'nın iç köşelerinin toplamı hakkında theo-re-ma ve demetin dış açılarının toplamı hakkında theo-re-ma... Onları inceleyin.
Teorem. Çok-kömür-yok-ka demetinin iç açılarının toplamı hakkında (n-kömür-no-ka).
Köşelerinin (yanların) sayısı nerede.
Do-ka-tel-tstvo 1. Şekildeki görüntü-zim. 4 zenci zenci.
Pirinç. 4. Sen-n-nick-nick
En iyi-shi-biz yanlısı olarak, tüm olası dia-go-na-li'leri. N-gon-nick'i tri-gon-nick'e bölerler, çünkü her bir kenarda çok fazla kömür-no-ka-ra-zu-et üçgeni var, üste gelen kenarlar hariç. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının n-kömürlerin iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını çizimden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğu için, n-kömürün iç açılarının toplamı:
Do-ka-tel-tstvo 2. Muhtemelen ve bu teori-yeniden-biz'in bir başka do-ka-tel-tilitesi. Resimde-ra-kış benzer n-gon Şek. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşeleriyle birleştirin.
Kömürlerin n-kömürlere raz-bi-e-n-kömürleri-n-kömürleri olup olmadığı-chi-vardır (kaç taraf, çok fazla kömür). Tüm açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu açıdır. Sahibiz:
Q.E.D.
Do-ka-za-ama.
Düzeltilmiş teoriye göre, n-kömür-ni-ka-'nın açılarının toplamının, kenarlarının sayısına (n'den) oturduğu görülebilir. Örneğin, bir üçgende ve açıların toplamı. th-you-rekh-kömür-no-ke'de ve açıların toplamı - vb.
4. Dışbükey bir n-genin dış açılarının toplamına ilişkin teorem
Teorem. Bir sürü kömür-no-ka'nın dış açılarının toplamı hakkında (n-kömür-no-ka).
Köşelerinin (kenarlarının) sayısı nerede ve ..., dış köşeler.
Kanıt. Resimde-ra-kış vy-bump-n-gon-nick, Şek. 6 ve iç ve dış köşelerini gösterir.
Pirinç. 6. Gösterişli dış köşeleri olan zenci nick
Çünkü dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, ardından 
ve benzer şekilde dış köşelerin geri kalanı için. Sonra:
Pre-ob-ra-zo-va-ny sırasında, biz-to-use-zo-va-li zaten n-kömür-ni-ka iç açılarının toplamı hakkında teoreme ulaştık.
Do-ka-za-ama.
Teorinin en başından itibaren, n-kömür demetinin dış açılarının toplamının eşit olduğu ilginç gerçeğini takip ediyoruz. 
köşelerinin (yanların) sayısından. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.
Ayrıca, çok sayıda kömür-nikov - che-you-rekh-kömür-ni-ka-mi özel durumuyla daha ayrıntılı olarak çalışacağız. Bir sonraki derste, pa-ra-le-lo-gram gibi bir fi-gu-sürüyle tanışacağız ve özelliklerini tartışacağız.
BİR KAYNAK
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Üçgen, kare, altıgen - bu rakamlar neredeyse herkes tarafından bilinir. Ancak herkes normal bir çokgenin ne olduğunu bilmiyor. Ama bunların hepsi aynı düzgün çokgene eşit açılara ve kenarlara sahip olana denir. Bu tür birçok şekil var, ancak hepsi aynı özelliklere sahip ve onlara aynı formüller uygulanıyor.
Düzenli çokgen özellikleri
Herhangi bir normal çokgen, ister kare ister sekizgen olsun, bir daire içine yazılabilir. Bu temel özellik genellikle bir şekil oluşturulurken kullanılır. Ek olarak, bir çokgene bir daire yazılabilir. Bu durumda, temas noktalarının sayısı, taraflarının sayısına eşit olacaktır. Düzgün bir çokgenin içine yazılan bir dairenin, onunla ortak bir merkeze sahip olması önemlidir. Bu geometrik şekiller aynı teoremlere tabidir. Normal bir n-gonun herhangi bir kenarı, çevrelenmiş R çemberinin yarıçapı ile ilişkilidir. Bu nedenle, aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: a = 2R ∙ sin180 °. Bu sayede çokgenin sadece kenarlarını değil çevresini de bulabilirsiniz.
Düzgün bir çokgenin kenar sayısı nasıl bulunur
Herhangi biri, bağlandığında kapalı bir çizgi oluşturan bir dizi eşit parçadan oluşur. Bu durumda, oluşturulan şeklin tüm açıları aynı değere sahiptir. Çokgenler basit ve karmaşık olarak ikiye ayrılır. İlk grup bir üçgen ve bir kare içerir. Karmaşık çokgenler daha fazla partiler. Ayrıca yıldız şeklindeki figürleri de içerirler. Karmaşık düzgün çokgenler için, kenarlar bir daire içine alınarak bulunur. İşte bir kanıt. İsteğe bağlı sayıda kenar n olan normal bir çokgen çizin. Etrafına bir daire çizin. R yarıçapını verin. Şimdi size bir miktar n-gon verildiğini hayal edin. Köşelerinin noktaları bir daire üzerinde bulunuyorsa ve birbirine eşitse, o zaman kenarlar şu formülle bulunabilir: a = 2R ∙ sinα: 2.
Yazılı bir düzgün üçgenin kenar sayısını bulma
Eşkenar üçgen düzgün bir çokgendir. Formüller, kare ve n-gon ile aynı şekilde uygulanır. Aynı uzunlukta kenarları olan bir üçgen doğru kabul edilecektir. Bu durumda, açılar 60⁰'ye eşittir. Kenar uzunluğu a olan bir üçgen oluşturalım. Ortancasını ve yüksekliğini bilerek, kenarlarının anlamını bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, x'in medyan veya yükseklik olduğu a = x: cosα formülü aracılığıyla bulma yöntemini kullanacağız. Üçgenin tüm kenarları eşit olduğundan a = b = c elde ederiz. O zaman aşağıdaki ifade doğru olacaktır a = b = c = x: cosα. Benzer şekilde, bir ikizkenar üçgende kenarların değerini bulabilirsiniz, ancak verilen yükseklik x olacaktır. Bu durumda, kesinlikle şeklin tabanına yansıtılmalıdır. Böylece, x yüksekliğini bilerek, a = b = x: cosα formülüyle bir ikizkenar üçgenin a kenarını buluruz. a değerini bulduktan sonra c tabanının uzunluğunu hesaplayabilirsiniz. Pisagor teoremini uygulayalım. c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα tabanının yarısının değerini arayacağız. O zaman c = 2xtgα. Bu kadar basit bir şekilde, herhangi bir yazılı çokgenin kenar sayısını bulabilirsiniz.
Bir daire içinde yazılı bir karenin kenarlarını hesaplama
Diğer yazılı normal çokgenler gibi, bir kare de eşit kenarlar ve köşeler. Aynı formüller üçgen için de geçerlidir. Köşegenin değerini kullanarak bir karenin kenarlarını hesaplayabilirsiniz. Bu yöntemi daha ayrıntılı olarak ele alalım. Köşegenin açıyı ikiye böldüğü bilinmektedir. Başlangıçta değeri 90 dereceydi. Böylece bölmeden sonra iki tane oluşur.Tabandaki açıları 45 dereceye eşit olacaktır. Buna göre, karenin her bir kenarı eşit olacaktır, yani: a = b = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, burada e karenin köşegeni veya dik açılı üçgenin tabanıdır. bölündükten sonra oluşur. Bir karenin kenarlarını bulmanın tek yolu bu değildir. Bu şekli bir daire içine yazalım. Bu R çemberinin yarıçapını bilerek karenin kenarını buluruz. a4 = R√2 şeklinde hesaplayacağız. Düzgün çokgenlerin yarıçapları, a'nın kenar uzunluğu olduğu R = a: 2tg (360 o: 2n) formülüyle hesaplanır.
Bir n-gon'un çevresi nasıl hesaplanır
Bir n-gonun çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır. Bunu hesaplamak zor değil. Bunu yapmak için, tüm tarafların anlamlarını bilmeniz gerekir. Bazı çokgen türleri için özel formüller vardır. Çevreyi çok daha hızlı bulmanızı sağlarlar. Herhangi bir düzgün çokgenin eşit kenarları olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, çevresini hesaplamak için bunlardan en az birini bilmek yeterlidir. Formül, şeklin kenar sayısına bağlı olacaktır. Genel olarak şöyle görünür: P = an, burada a kenar değeridir ve n açı sayısıdır. Örneğin, bir kenarı 3 cm olan düzgün bir sekizgenin çevresini bulmak için 8 ile çarpmak gerekir, yani P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Kenarı 5 cm olan bir altıgen için, aşağıdaki gibi hesaplayın: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ve böylece her çokgen için.
Paralelkenar, kare ve eşkenar dörtgenlerin çevresini bulma
Düzgün bir çokgenin kaç kenarı olduğuna bağlı olarak çevresi hesaplanır. Bu, görevi çok daha kolay hale getirir. Nitekim diğer rakamlardan farklı olarak, bu durumda tüm taraflarını aramanıza gerek yok, bir tane yeterli. Aynı prensibe göre, dörtgenlerin çevresini, yani kareyi ve eşkenar dörtgeni buluyoruz. Bunların farklı rakamlar olmasına rağmen, onlar için formül aynı P = 4a'dır, burada a bir taraftır. Bir örnek verelim. Bir eşkenar dörtgen veya karenin kenarı 6 cm ise, çevreyi şu şekilde buluruz: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Bir paralelkenarın sadece karşılıklı kenarları eşittir. Bu nedenle, çevresi farklı bir yöntem kullanılarak bulunur. Yani, şekildeki a uzunluğunu ve genişliğini bilmemiz gerekiyor. Sonra P = (a + b) ∙ 2 formülünü uygularız. Tüm kenarların ve aralarındaki açıların eşit olduğu bir paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Bir eşkenar ve dik açılı üçgenin çevresini bulma
Doğru olanın çevresi, a kenar uzunluğu olmak üzere P = 3a formülüyle bulunabilir. Bilinmiyorsa, medyan aracılığıyla bulunabilir. Dik açılı bir üçgende sadece iki kenar eşit öneme sahiptir. Temel, Pisagor teoremi aracılığıyla bulunabilir. Üç tarafın da değerleri bilindikten sonra çevreyi hesaplıyoruz. P = a + b + c formülü uygulanarak bulunabilir, burada a ve b eşit kenarlar ve c tabandır. Bir ikizkenar üçgende a = b = a, yani a + b = 2a, sonra P = 2a + c olduğunu hatırlayın. Örneğin, bir ikizkenar üçgenin bir kenarı 4 cm ise, tabanını ve çevresini bulacağız. Pisagor teoremine göre hipotenüsün değerini 2 = √16 + 16 = √32 = 5.65 cm'de c = √a 2 + hesaplıyoruz Şimdi çevreyi hesaplıyoruz P = 2 ∙ 4 + 5.65 = 13.65 cm.
Normal bir çokgenin köşeleri nasıl bulunur
Hayatımızda her gün düzenli bir çokgen oluşur, örneğin sıradan bir kare, üçgen, sekizgen. Bu rakamı kendiniz oluşturmaktan daha kolay bir şey yok gibi görünüyor. Ama bu sadece ilk bakışta. Herhangi bir n-gon inşa etmek için açılarının değerini bilmeniz gerekir. Ama onları nasıl bulacaksınız? Eski bilim adamları bile düzenli çokgenler oluşturmaya çalıştı. Onları daire içine almayı tahmin ettiler. Sonra üzerinde gerekli noktaları işaretlediler, bunları düz çizgilerle birleştirdiler. Basit şekiller için yapım sorunu çözüldü. Formüller ve teoremler elde edildi. Örneğin, ünlü eseri "Başlangıç" ta Öklid, 3-, 4-, 5-, 6- ve 15-gonlar için problem çözmekle meşguldü. Onları inşa etmenin ve köşeleri bulmanın yollarını buldu. Bunu 15-gon için nasıl yapacağımızı görelim. İlk olarak, iç açılarının toplamını hesaplamanız gerekir. S = 180⁰ (n-2) formülünü kullanmalısınız. Yani, bize 15-gon verildi, yani n sayısı 15'tir. Bildiğimiz verileri formülde yerine koyarsak S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰ elde ederiz. 15-gen'in tüm iç açılarının toplamını bulduk. Şimdi her birinin değerini almanız gerekiyor. Toplamda 15 açı var 2340⁰: 15 = 156⁰ hesabını yapıyoruz. Bu, her bir iç açının 156⁰'ye eşit olduğu anlamına gelir, şimdi bir cetvel ve pergel kullanarak normal bir 15-gon oluşturabilirsiniz. Peki ya daha karmaşık n-gon'lar? Yüzyıllardır bilim adamları bu sorunu çözmek için uğraşıyorlar. Sadece 18. yüzyılda Karl Friedrich Gauss tarafından bulundu. Bir 65537-gon inşa edebildi. O zamandan beri, sorun resmi olarak tamamen çözülmüş olarak kabul edilir.
Radyan cinsinden n-gonların açılarını hesaplama
Elbette çokgenlerin köşelerini bulmanın birkaç yolu vardır. Çoğu zaman derece olarak hesaplanırlar. Ancak bunları radyan cinsinden de ifade edebilirsiniz. Nasıl yapılır? Aşağıdaki gibi devam etmelisiniz. Önce, düzgün bir çokgenin kenar sayısını buluruz, sonra 2'yi çıkarırız. Böylece şu değeri elde ederiz: n - 2. Bulunan farkı n sayısıyla çarp ("pi" = 3.14). Şimdi geriye kalan tek şey, elde edilen ürünü n-gon'daki açıların sayısına bölmek. Aynı altıgen örneğini kullanarak bu hesaplamaları düşünün. Yani, n sayısı 15'tir. S = n (n - 2) formülünü uygulayalım: n = 3.14 (15 - 2): 15 = 3.14 ∙ 13: 15 = 2.72. Bu, elbette, radyan cinsinden açıyı hesaplamanın tek yolu değildir. Açıyı derece olarak 57.3'e bölebilirsiniz. Sonuçta, tam olarak bu derece sayısı bir radyana eşittir.
Derece cinsinden açıların değerini hesaplama
Derece ve radyana ek olarak, düzgün bir çokgenin açılarının değerini derece cinsinden bulmaya çalışabilirsiniz. Bu aşağıdaki gibi yapılır. Toplam açı sayısından 2 çıkarın, ortaya çıkan farkı düzgün bir çokgenin kenar sayısına bölün. Bulunan sonucu 200 ile çarpıyoruz. Bu arada, derece gibi bir açı ölçü birimi pratikte kullanılmaz.
n-gonların dış açılarının hesaplanması
Herhangi bir normal çokgen için, içtekine ek olarak, ayrıca hesaplayabilirsiniz. dış köşe... Anlamı, diğer şekillerde olduğu gibi bulunur. Bu nedenle, düzgün bir çokgenin dış köşesini bulmak için iç köşenin değerini bilmeniz gerekir. Ayrıca, bu iki açının toplamının her zaman 180 derece olduğunu biliyoruz. Bu nedenle hesaplamaları şu şekilde yapıyoruz: 180⁰ eksi iç açı değeri. Farkı Bul. Bitişik açının değerine eşit olacaktır. Örneğin, karenin iç köşesi 90 derece olduğundan dış köşesi 180⁰ - 90⁰ = 90⁰ olacaktır. Gördüğümüz gibi, onu bulmak zor değil. Dış açı sırasıyla + 180⁰ ile -180⁰ arasında bir değer alabilir.
Konu, öğrenci yaşı: geometri, 9. sınıf
Dersin amacı: çokgen türlerinin incelenmesi.
Öğrenme görevi: öğrencilerin çokgenler hakkındaki bilgilerini güncellemek, genişletmek ve genelleştirmek; çokgenin "oluşturucu kısımları" hakkında bir fikir oluşturmak; sayı araştırması yapmak Kurucu unsurlar normal çokgenler (üçgenden n - gon'a);
Geliştirme görevi: analiz etme, karşılaştırma, sonuç çıkarma, hesaplama becerilerini geliştirme, sözlü ve yazılı matematiksel konuşma, hafıza, ayrıca düşünme ve öğrenme faaliyetlerinde bağımsızlık, çiftler ve gruplar halinde çalışma yeteneği; araştırma ve bilişsel faaliyetler geliştirmek;
Eğitim görevi: bağımsızlık, etkinlik, verilen iş için sorumluluk, belirlenen hedefe ulaşmada azim eğitmek.
Dersler sırasında: tahtada bir alıntı var
"Doğa matematiğin dilinde konuşur, bu dilin harfleri... matematiksel rakamlar." G.Galliley
Dersin başında, sınıf çalışma gruplarına ayrılır (bizim durumumuzda, her biri 4 kişilik gruplara ayrılır - grup üyelerinin sayısı soru gruplarının sayısına eşittir).
1. Çağrı aşaması -
Hedefler:
a) öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerini güncellemek;
b) çalışılan konuya ilgi uyandırmak, her öğrenciyi eğitim faaliyetleri için motive etmek.
Teknik: “Buna inanıyor musun …” oyunu, metinle çalışmanın organizasyonu.
Çalışma biçimleri: önden, grup.
"Buna inanıyor musun ...."
1.… “çokgen” kelimesi, bu ailedeki tüm şekillerin “birçok açısı” olduğunu mu gösterir?
2.… üçgen, bir düzlemdeki birçok farklı geometrik şekil arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir?
3.… kare bir düzgün sekizgen midir (dört kenar + dört köşe)?
Bugünün dersi çokgenlere odaklanacak. Bu rakamın kapalı bir çoklu çizgi ile sınırlandığını ve bunun da basit, kapalı olduğunu öğreniyoruz. Çokgenlerin düz, düzgün, dışbükey olduğu gerçeğinden bahsedelim. Düz çokgenlerden biri, uzun zamandır aşina olduğunuz bir üçgendir (öğrencilere çokgen görüntüsü, kırık bir çizgi ile posterler gösterebilir, onlara gösterebilirsiniz) Farklı çeşit, TCO'yu da kullanabilirsiniz).
2. Anlama aşaması
Amaç: yeni bilgi edinme, anlama, seçme.
Resepsiyon: zikzak.
Çalışma biçimleri: bireysel-> çift-> grup.
Her gruba dersin konusuyla ilgili bir metin verilir ve metin, hem öğrencilerin bildiği bilgileri hem de tamamen yeni bilgileri içerecek şekilde oluşturulmuştur. Metinle birlikte, öğrencilere cevapları bu metinde bulunması gereken sorular verilir.
çokgenler. Çokgen türleri.
Gemilerin ve uçakların iz bırakmadan kaybolduğu gizemli Bermuda Şeytan Üçgeni'ni kim duymamıştır? Ancak bize çocukluktan tanıdık gelen üçgen, birçok ilginç ve gizemli şeyle doludur.
Taraflara (çok yönlü, ikizkenar, eşkenar) ve köşelere (dar açılı, geniş, dik açılı) bölünmüş, zaten bildiğimiz üçgen türlerine ek olarak, bir üçgen, birçok farklı arasında ayırt edilen geniş bir çokgen ailesine aittir. uçakta geometrik şekiller.
"Çokgen" kelimesi, bu ailedeki tüm şekillerin "birçok açısı" olduğunu gösterir. Ancak bu rakamı karakterize etmek için yeterli değil.
Kesik bir çizgi А 1 А 2 ... А n, А 1, А 2, ... А n noktalarından ve А 1 А 2, А 2 А 3, ... segmentlerinden oluşan bir şekildir. Noktalara çoklu çizginin köşeleri denir ve segmentlere çoklu çizginin bağlantıları denir. (şek. 1)
Kesik bir çizgi, kendi kendine kesişimi yoksa basit olarak adlandırılır (Şekil 2, 3).
Kesik bir çizgi, uçları çakışırsa kapalı olarak adlandırılır. Kesik bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır (Şekil 4).
Basit bir kapalı kesik çizgi, bitişik bağlantıları tek bir düz çizgi üzerinde uzanmıyorsa çokgen olarak adlandırılır (Şekil 5).
“Çok” kısmı yerine “çokgen” kelimesinde belirli bir sayıyı değiştirin, örneğin 3. Bir üçgen elde edeceksiniz. Veya 5. Sonra - bir beşgen. Açılar olduğu kadar çok kenar olduğuna dikkat edin, bu nedenle bu rakamlara çok taraflı denilebilir.
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, çoklu çizginin bağlantılarına çokgenin kenarları denir.
Çokgen, düzlemi iki alana böler: iç ve dış (Şekil 6).
Düz bir çokgen veya çokgen bölge, bir çokgen tarafından sınırlanan bir düzlemin uç kısmıdır.
Bir çokgenin bir kenarının ucu olan iki köşesine komşu denir. Bir kenarın ucu olmayan köşeler bitişik değildir.
n köşesi ve dolayısıyla n kenarı olan bir çokgene n-gon denir.
Rağmen en küçük sayıçokgenin kenarları - 3. Ancak birbirine bağlanan üçgenler, sırayla çokgen olan başka şekiller oluşturabilir.
Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.
Bir çokgen, kenarını içeren herhangi bir doğruya göre bir yarım düzlemde yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Bu durumda, doğrunun kendisinin yarı düzleme ait olduğu kabul edilir.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınsamasının oluşturduğu açıdır.
Teoremi ispatlayalım (dışbükey n - gon'un açılarının toplamı üzerinde): Bir dışbükey n - gon'un açılarının toplamı 180 0 * (n - 2)'dir.
Kanıt. n = 3 durumunda teorem geçerlidir. А 1 А 2 ... А n verilen bir dışbükey çokgen ve n> 3 olsun. İçine köşegenler çizin (bir tepe noktasından). Çokgen dışbükey olduğundan, bu köşegenler onu n - 2 üçgene böler. Bir çokgenin açılarının toplamı, tüm bu üçgenlerin açılarının toplamına eşittir. Her üçgenin açılarının toplamı 180 0'dır ve bu üçgenlerin sayısı n - 2'dir. Bu nedenle, bir dışbükey n - А 1 А 2 ... А n'nin açılarının toplamı 180 0'a eşittir. * (n - 2). Teorem ispatlandı.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç köşesine bitişik olan açıdır.
Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan bir dışbükey çokgene düzgün denir.
Böylece kare başka bir şekilde çağrılabilir - normal bir dörtgen. Eşkenar üçgenler de düzgündür. Bu tür figürler, binaları süsleyen ustaların uzun zamandır ilgisini çekmiştir. Örneğin parke üzerinde güzel desenler yaptılar. Ancak tüm normal çokgenler parke haline getirilemez. Parke normal sekizgenlerden katlanamaz. Gerçek şu ki, her bir açı 135 0'a eşittir. Ve eğer herhangi bir nokta bu tür iki sekizgenin tepe noktasıysa, o zaman payları 270 0 olacaktır ve üçüncü sekizgenin oraya sığabileceği hiçbir yer yoktur: 360 0 - 270 0 = 90 0. Ancak bu bir kare için yeterlidir. Bu nedenle parkeyi normal sekizgen ve karelerden katlamak mümkündür.
Yıldızlar da haklı. Beş köşeli yıldızımız düzenli bir beşgen yıldızdır. Ve kareyi merkez etrafında 45 0 döndürürseniz, normal bir sekizgen yıldız elde edersiniz.
1. grup
Kırık çizgiye ne denir? Bir çoklu çizginin köşelerinin ve bağlantılarının ne olduğunu açıklayın.
Hangi çoklu çizgiye basit denir?
Hangi çoklu çizgiye kapalı denir?
Çokgen neye denir? Bir çokgenin köşeleri nelerdir? Bir çokgenin kenarları nelerdir?
2. grup
Hangi çokgene düz denir? Çokgenlere örnekler veriniz.
n - gon nedir?
Çokgenin hangi köşelerinin bitişik olduğunu ve hangilerinin olmadığını açıklayın.
Bir çokgenin köşegeni nedir?
Grup 3
Hangi çokgene dışbükey denir?
Çokgenin hangi köşelerinin dış, hangilerinin iç olduğunu açıklayın?
Hangi çokgene düzgün denir? Düzgün çokgenlere örnekler veriniz.
4 grup
Bir dışbükey n-genin açılarının toplamı nedir? Kanıtla.
Öğrenciler metinle çalışır, sorulan soruların cevaplarını arar, ardından uzman grupları oluşturulur, aynı konulardaki çalışmalar: öğrenciler ana şeyi vurgular, destekleyici bir özet oluşturur, bilgileri grafiklerden birinde sunar formlar. Çalışmanın sonunda öğrenciler çalışma gruplarına dönerler.
3. Yansıma aşaması -
a) bilgilerinin değerlendirilmesi, bilginin bir sonraki adımına meydan okuma;
b) alınan bilgilerin anlaşılması ve benimsenmesi.
Resepsiyon: araştırma çalışması.
Çalışma biçimleri: bireysel-> çift-> grup.
Çalışma gruplarında, önerilen soruların her bir bölümünü yanıtlayan uzmanlar bulunmaktadır.
Çalışma grubuna geri dönen uzman, grubun diğer üyelerini sorularının cevaplarıyla tanıştırır. Grupta, çalışma grubunun tüm üyeleri arasında bilgi alışverişi yapılır. Böylece her çalışma grubunda, uzmanların çalışmaları sayesinde çalışılan konu hakkında genel bir anlayış oluşturulur.
Öğrencilerin araştırma çalışmaları - tabloyu doldurmak.
| düzgün çokgenler | Resim çizme | Taraf sayısı | köşe sayısı | Tüm iç köşelerin toplamı | Derece ölçüsü int. köşe | Dış açı ölçüsü | köşegen sayısı |
| Bir üçgen | |||||||
| B) dörtgen | |||||||
| C) beşwolnik | |||||||
| D) altıgen | |||||||
| E) n-gon |
Dersin konusuyla ilgili ilginç problemleri çözme.
- Dörtgende, onu üç üçgene bölecek bir çizgi çizin.
- Bir iç köşesi 135 0 olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?
- Bazı çokgenlerde tüm iç açılar birbirine eşittir. Bu çokgenin iç açıları toplamı 360 0, 380 0'a eşit olabilir mi?
Dersi özetlemek. Ev ödevi kaydı.
çokgen özellikleri
çokgen geometrik şekil, genellikle kendi kendine kesişmeyen kapalı bir çoklu çizgi olarak tanımlanır (basit çokgen (Şekil 1a)), ancak bazen kendi kendine kesişmelere izin verilir (o zaman çokgen basit değildir).
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, doğru parçalarına çokgenin kenarları denir. Bir çokgenin köşelerinden birinin uçları ise bitişik olarak adlandırılır. Bir çokgenin bitişik olmayan köşelerini birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.
Açı (veya iç köşe) bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki kenarlarının bu köşede birleşmesi ile oluşturduğu açıya, çokgenin kenarından bakıldığında ise açıya denir. Özellikle çokgen dışbükey değilse açı 180°'yi geçebilir.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki dış açısı, bu tepe noktasında çokgenin iç köşesine bitişik olan açıdır. Genel olarak dış açı, 180° ile iç açı arasındaki farktır. -gon'un her köşesinden> 3 - 3 köşegen çıkar, bu nedenle -gonun toplam köşegen sayısı eşittir.
Üç köşesi olan bir çokgene üçgen, dördü dörtgen, beşi beşgen vb.
ile çokgen n köşeler denir n- Meydan.
Düz bir çokgen, bir çokgen ve onun sınırladığı alanın sonlu bir bölümünden oluşan bir şekildir.
Aşağıdaki (eşdeğer) koşullardan biri sağlanırsa bir çokgene dışbükey denir:
- 1. bitişik köşelerini birleştiren herhangi bir düz çizginin bir tarafında yer alır. (yani, çokgenin kenarlarının uzantıları diğer kenarlarını kesmez);
- 2. birkaç yarım düzlemin kesişimidir (yani ortak kısım);
- 3. Çokgene ait noktalarda uçları olan herhangi bir parça tamamen ona aittir.
Tüm kenarları ve tüm açıları eşitse bir dışbükey çokgene düzgün denir, örneğin eşkenar üçgen, kare ve pentagon.
Tüm kenarları bir daireye değiyorsa, bir dışbükey çokgene bir daire etrafında çevrelenmiş denir.
Düzgün çokgen, tüm açıları ve tüm kenarları eşit olan bir çokgendir.
Çokgen özellikleri:
1 Bir dışbükey -gonun her köşegeni, burada> 3, onu iki dışbükey çokgene ayrıştırır.
2 Bir dışbükey -gonun tüm açılarının toplamıdır.
D.S.: Teoremi matematiksel tümevarım yöntemiyle kanıtlıyoruz. = 3 için, açıktır. Teoremin -gon için doğru olduğunu varsayalım, burada <, ve bunu -gon için kanıtlayın.
Verilen bir çokgen olsun. Bu çokgenin köşegenini çizelim. Teorem 3'e göre, çokgen bir üçgene ve bir dışbükey -gon'a ayrıştırılır (Şekil 5). Tümevarım hipotezi ile. Diğer tarafta, . Bu eşitlikleri ekleyerek ve bunu dikkate alarak (- iç ışın açısı ) ve (- iç ışın açısı ), Aldığımızda:.
3 Herhangi bir normal çokgenin etrafında bir daire ve dahası sadece bir tane tanımlayabilirsiniz.
D-in: Normal bir çokgen olsun ve - açıortaylar ve (şek. 150). O zamandan beri, bu nedenle, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке Ö. bunu kanıtlayalım Ö = AE 2 = Ö =… = AE NS . Üçgen Ö ikizkenar, bu nedenle Ö= Ö... Üçgenlerin eşitliğinin ikinci kriterine göre, bu nedenle, Ö = Ö... Benzer şekilde kanıtlanabilir ki Ö = Ö vesaire. Yani nokta Öçokgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıkta, bu nedenle merkezi olan daire Ö yarıçap Ö bir çokgenle çevrilidir.
Şimdi tek bir çemberin olduğunu kanıtlayalım. Bir çokgenin herhangi üç köşesini ele alalım, örneğin, A 2 , ... Bu noktalardan sadece bir daire geçtiği için çokgenin çevresinde … birden fazla daire tarif edilemez.
- 4 Herhangi bir normal poligonda bir daire ve dahası sadece bir tane yazabilirsiniz.
- 5 Düzgün bir çokgenin içine yazılan bir daire, çokgenin kenarlarına orta noktalarında dokunur.
- 6 Düzgün bir çokgenin çevresinde çevrelenen bir dairenin merkezi, aynı çokgenin içinde yazılı olan bir dairenin merkeziyle çakışır.
- 7 Simetri:
Bu figürü kendine aktaran böyle bir hareket (özdeş olmayan) varsa bir figürün simetrisi (simetrik) vardır derler.
- 7.1. Genel bir üçgenin eksenleri veya simetri merkezleri yoktur; asimetriktir. Bir ikizkenar (ama eşkenar olmayan) üçgenin bir simetri ekseni vardır: tabana dik medyan.
- 7.2. Bir eşkenar üçgenin üç simetri ekseni (yanlara orta dikler) ve 120 ° dönme açısı ile merkez etrafında dönme simetrisi vardır.
7.3 Herhangi bir normal n-gon'un n simetri ekseni vardır, hepsi merkezinden geçer. Ayrıca dönme merkezi etrafında dönme simetrisine sahiptir.
hatta ile n Bazı simetri eksenleri karşıt köşelerden, bazıları ise karşıt kenarların orta noktalarından geçer.
Garip n her eksen karşı tarafın üstünden ve ortasından geçer.
Kenar sayısı çift olan düzgün çokgenin merkezi simetri merkezidir. Kenar sayısı tek olan düzgün çokgenin simetri merkezi yoktur.
8 benzerlik:
Eğer u benzerse, -gon -gon'a, yarım düzleme - yarım düzleme gider, dolayısıyla dışbükey n-gon dışbükey hale gelir n-gon.
Teorem: Eğer dışbükey çokgenlerin kenarları ve açıları eşitlikleri sağlıyorsa:
pod katsayısı nerede
o zaman bu çokgenler benzerdir.
- 8.1 İki benzer çokgenin çevrelerinin oranı, benzerlik katsayısına eşittir.
- 8.2. İki dışbükey benzer çokgenin alanlarının oranı, benzerlik katsayısının karesine eşittir.
çokgen üçgen çevre teoremi
