1. Bir üçgenin açısı diğer üçgenin açısına eşitse, bu üçgenlerin alanları, eşit açıları çevreleyen kenarların ürünleri olarak ilişkilidir.
2. Üçgenlerin alanlarının oranı genel yükseklikler, bu yüksekliklere karşılık gelen tabanların oranına eşittir.
3. Üçgenlerin alanlarının oranı ortak zemin, üçgenin bu kenarlarına karşılık gelen yüksekliklerin oranına eşittir.
4. Bu tür üçgenlerde benzer elemanlar orantılıdır, çevreleri yazılı ve çevrelenmiş dairelerin yarıçapları, üçgenlerin çevreleri, Karekök karelerden.
5. Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle bulunabilir:
6. Sinüs ve kosinüs teoremini kullanarak çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulmak uygundur:
7. Her medyan bir üçgeni 2 eşit üçgene böler.
8. Üç medyan, bir üçgeni 6 eşit üçgene böler.
9. Bisektörlerin kesişme noktası, bisektörü aşağıdakilere göre böler:
açıortayın üçüncü kenara çekildiği açıyı oluşturan kenarların toplamı.
10. Üçgenin ve kenarların medyanları aşağıdaki formülle ilişkilidir:
11. Bir üçgenin kenarına paralel olan ve diğer ikisini kesen düz bir çizgi, bunun gibi bir üçgeni ondan keser.
12. Açıların açıortayları iseB ve C üçgeni ABCM noktasında kesişir, sonra .
13. Bisektörler arasındaki açı bitişik köşeler 90'a eşittir.
14. M, ABC üçgeninde yazılı çemberin AC kenarına teğet noktası ise, o zaman nerede - bir üçgenin yarı çevresi.
15. Daire, ABC üçgeninin BC kenarına ve AB ve AC kenarlarının uzantılarına değiyor. O halde, A köşesinden AB düz çizgisine sahip dairenin teğet noktasına olan uzaklığı, ABC üçgeninin yarı çevresine eşittir.
16. ABC üçgeninde yazılı bir daire, sırasıyla AB, BC ve AC kenarlarına noktalarda temas eder.K, L ve m... Eğer öyleyse.
17. Menelaus teoremi. Verilen ABC üçgeni. Bazı doğrular AB, BC kenarlarını ve AC kenarının devamını C noktalarında keser. 1, A 1, B1 sırasıyla. Sonra
18. Cheva teoremi. А 1, В 1 ve С 1 noktaları olsun ABC üçgeninin sırasıyla BC, AC ve AB kenarlarına aittir. AA segmentleri 1, BB 1 ve CC 1 bir noktada kesişir ancak ve ancak
19. Steiner-Lemus teoremi. Bir üçgenin iki ortayı eşitse, o zaman ikizkenardır.
20. Stewart teoremi. Puan NSABC üçgeninin BC tarafında bulunur, ardından .
21. Yazılı olmayan bir daire, bir kenarına ve diğer ikisinin uzantılarına teğet olan bir dairedir.
22. Her üçgen için, üçgenin dışında bulunan üç dışlanmış daire vardır.
23. Eski dairenin merkezi, bu iki dış köşeye bitişik olmayan, üçgenin dış köşelerinin açıortayı ile iç açıortayının kesişme noktasıdır.
24. Daire, ABC üçgeninin BC kenarına ve AB ve AC kenarlarının uzantılarına dokunuyorsa. O halde, A köşesinden AB düz çizgisine sahip dairenin teğet noktasına olan uzaklığı, ABC üçgeninin yarı çevresine eşittir.
§ 21. Özellikler geometrik şekiller yüzeyde
Ders 53. Düzlemdeki geometrik şekillerin özellikleri
1. Düzlemdeki geometrik şekiller ve özellikleri
2. Açılar, paralel ve dik doğrular
3. Paralel ve dik çizgiler
Geometrik şekil, herhangi bir nokta kümesi olarak tanımlanır. Segment, çizgi, daire, top - geometrik şekiller.
Bir geometrik şeklin tüm noktaları bir düzleme aitse düz denir. Örneğin, bir çizgi parçası, bir dikdörtgen düz şekillerdir. Düz olmayan şekiller var. Bu, örneğin bir küp, bir top, bir piramittir.
Geometrik şekil kavramı küme kavramı üzerinden tanımlandığı için, bir şeklin diğerinin içinde olduğunu (veya bir başkasının içinde yer aldığını) söyleyebiliriz, şekillerin birleşimini, kesişimini ve farkını ele alabiliriz.
Örneğin, AB ve MK ışınlarının birleşimi KB düz çizgisidir ve kesişimleri AM segmentidir.
Dışbükey ve dışbükey olmayan şekilleri ayırt edin. Bir şekle, herhangi iki noktasıyla birlikte, onları birleştiren bir parça da içeriyorsa, dışbükey denir.
F₁ şekilleri dışbükeydir ve şekil F₂ dışbükey değildir.
Dışbükey şekiller bir düzlem, bir doğru, bir ışın, bir doğru parçası, bir nokta, bir dairedir.
Çokgenler için başka bir tanım bilinmektedir: bir çokgen, kenarını içeren her çizginin bir tarafında yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Bu tanımın ve yukarıda bir çokgen için verilenin denkliği ispatlandığı için her ikisini de kullanabiliriz.
Okul geometri dersinde işlenen bazı kavramları, tanımlarını ve özelliklerini kanıtsız kabul ederek düşünün.
köşeler
Enjeksiyon Bir nokta ve bu noktadan çıkan iki ışından oluşan geometrik bir şekildir. Işınlara köşenin kenarları denir ve ortak kökenlerine tepe noktası denir.
Açı farklı şekillerde gösterilir: ya tepesini ya da kenarlarını ya da üç noktayı belirtin: açının tepesi ve yanlarındaki noktalar: А, (k, l), ABS.
açı denir konuşlandırılmış kenarları doğrusal ise.
Açılmamış açının yarısı olan açıya denir. doğrudan. Dik açıdan küçük olan açıya denir keskin... Düz olandan daha büyük, fakat açılmış olandan daha küçük olan açıya denir. Aptal.
düz açı Düzlemin aynı noktadan çıkan iki farklı ışınla sınırlanan kısmıdır.
Ortak bir kökene sahip iki ışının oluşturduğu iki düz açı vardır. Onlar aranmaktadır ek olarak.
Ö 
Planimetride dikkate alınan açılar katlanmamışı aşmaz.
İki köşe denir ilgili ortak bir tarafı varsa ve bu köşelerin diğer kenarları ek yarım çizgilerse.
Komşu açıların toplamı 180º'dir. Bu özelliğin geçerliliği, bitişik açıların tanımlarından kaynaklanmaktadır.
İki köşe denir dikey, bir köşenin kenarları diğerinin kenarlarının tamamlayıcı yarım çizgileri ise.
Dikey açılar eşittir.
Paralel ve dik çizgiler
Düzlemde iki doğru denir paralel eğer kesişmezlerse
Doğru b doğrusuna paralel ise a║b yazın.
Paralel çizgilerin bazı özelliklerini ve hepsinden önemlisi paralellik işaretlerini düşünün.
İşaretlere, belirli bir durumda bir nesnenin bir özelliğinin varlığının kurulduğu teoremler denir. Özellikle, düz çizgilerin paralellik işaretlerini dikkate alma ihtiyacı, pratikte genellikle iki düz çizginin karşılıklı düzenlenmesi sorununu çözmenin gerekli olması, ancak aynı zamanda doğrudan kullanmanın imkansız olmasından kaynaklanmaktadır. tanım.
Aşağıdakileri göz önünde bulundur düz çizgilerin paralellik belirtileri:
1. Üçüncüye paralel iki düz çizgi birbirine paraleldir.
2. İç çapraz açılar eşitse veya iç tek taraflı açıların toplamı 180º ise, düz çizgiler paraleldir.
ifade doğrudur, tam tersi düz çizgilerin paralelliğinin ikinci kriteri: iki paralel düz çizgi üçüncüsü ile kesişirse, çapraz uzanan iç açılar eşittir ve tek taraflı açıların toplamı 180º'dir.
Paralel çizgilerin önemli bir özelliği, teorem, eski bir yunan matematikçinin adını almıştır Thales: Köşenin kenarlarını kesen paralel düz çizgiler, köşenin bir tarafında eşit parçalar keserse, diğer tarafında eşit parçalar keserler.
iki satır denir dik dik açılarda kesişirlerse.
A doğrusu b doğrusuna dik ise, ab yazın.
Dikey çizgilerin ana özellikleri iki teoremde yansıtılır:
1. Düz bir çizginin her noktasından, ona dik ve yalnızca bir düz çizgi çizebilirsiniz.
2. Belirli bir doğrunun üzerinde olmayan herhangi bir noktadan, bu doğruya bir dik ve sadece bir tane bırakabilirsiniz.
Belirli bir çizgiye dik, belirli bir çizgiye dik olan ve kesişme noktalarının bir bitiş noktasına sahip olan bir çizgi parçasıdır. Bu segmentin sonuna dikin tabanı denir.
Belirli bir noktadan düz bir çizgi üzerine bırakılan bir dikmenin uzunluğuna denir. mesafe noktadan çizgiye.
Paralel çizgiler arasındaki mesafe bir doğrunun herhangi bir noktasından diğerine olan uzaklığa denir.
Ders 54. Düzlemdeki geometrik şekillerin özellikleri
4. Üçgenler, dörtgenler, çokgenler. Üçgen, dikdörtgen, paralelkenar, yamuk alanları için formüller.
5. Çevre, daire.
üçgenler
Üçgen, en basit geometrik şekillerden biridir. Ancak çalışması, ölçmenin pratik ihtiyaçlarından ortaya çıkan bütün bir bilim - trigonometriye yol açtı. araziler, alanın haritalarını çizmek, çeşitli mekanizmalar tasarlamak.
Üçgen Bir düz çizgi üzerinde uzanmayan üç noktadan ve bunları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekil denir.
Herhangi bir üçgen düzlemi iki parçaya böler: iç ve dış. Bir üçgen ve onun iç bölgesinden oluşan şekle üçgen (veya düz üçgen) de denir.
Herhangi bir üçgende, aşağıdaki öğeler ayırt edilir: kenarlar, açılar, yükseklikler, açıortaylar, medyanlar, orta çizgiler.
ABC üçgeninin A köşesindeki açısı, AB ve AC yarım doğrularının oluşturduğu açıdır.
Boy uzunluğu Verilen bir tepe noktasından bırakılan bir üçgenin şekline, bu tepe noktasından karşı tarafı içeren bir düz çizgiye çizilen dik denir.
Açıortayüçgene, köşeyi karşı taraftaki bir noktaya bağlayan üçgenin açısının açıortayının bir parçası denir.
Medyan Verilen bir köşeden çizilen üçgenin şekline, bu köşeyi karşı tarafın ortasına bağlayan doğru parçası denir.
Orta hatüçgene iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası denir.
Karşılıklı kenarları ve karşılık gelen açıları varsa üçgenlere eşit denir. Bu durumda, karşılık gelen açılar, karşılık gelen kenarların karşısında olmalıdır.
Pratikte ve teorik yapılarda, aralarındaki ilişkiler sorununa daha hızlı bir çözüm sağlayan üçgenlerin eşitlik işaretleri sıklıkla kullanılır. Bu tür üç işaret vardır:
1. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, diğer üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu üçgenler eşittir.
2. Bir üçgenin kenarı ve ona bitişik açılar, diğer üçgenin kenarına ve ona bitişik açılara sırasıyla eşitse, bu tür üçgenler eşittir.
3. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğer üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.
üçgen denir ikizkenar eğer iki kenarı eşitse. Bu eşit kenarlara yan kenarlar denir ve üçüncü kenara üçgenin tabanı denir.
İkizkenar üçgenlerin bir takım özellikleri vardır, örneğin:
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, açıortay ve yüksekliktir.
Üçgenlerin birkaç özelliğini not edelim.
1. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180º'dir.
Bu özellik, herhangi bir üçgende en az iki açının dar olduğu anlamına gelir.
2. orta hat iki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin şekli üçüncü kenarın yarısına paralel ve eşittir.
3. Herhangi bir üçgende her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.
Dik açılı bir üçgen için Pisagor teoremi doğrudur: hipotenüsün karesi toplamına eşittir kare ayaklar.
dörtgenler
dörtgen dört nokta ve bunları birbirine bağlayan dört ardışık parçadan oluşan bir şekil denir ve bu noktalardan üçü tek bir doğru üzerinde bulunmamalı ve onları birleştiren parçalar kesişmemelidir. Bu noktalara dörtgenin köşeleri, bunları birleştiren parçalara da kenarları denir.
Herhangi bir dörtgen, uçağı iki parçaya böler: iç ve dış. Bir dörtgenden ve iç alanından oluşan bir şekle dörtgen (veya düz dörtgen) de denir.
Bir dörtgenin köşelerinden birinin uçları ise bitişik olarak adlandırılır. Bitişik olmayan köşelere zıt köşeler denir. Dörtgenin zıt köşelerini birleştiren doğru parçalarına denir. köşegenler.
Bir köşeden çıkan bir dörtgenin kenarlarına bitişik denir. Ortak bir ucu olmayan taraflara karşıt taraflar denir. ABCD dörtgeninde, A ve B köşeleri karşılıklı, AB ve BC kenarları bitişik, BC ve AD karşılıklı; AC ve BD doğru parçaları verilen dörtgenin köşegenleridir.
Dörtgenler dışbükeydir ve dışbükey değildir. Böylece, ABCD dörtgeni dışbükeydir ve dörtgen KPMT dışbükey değildir. Dışbükey dörtgenler arasında paralelkenarlar ve yamuklar ayırt edilir.
Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.
ABCD bir paralelkenar olsun. B köşesinden AD doğrusuna BE dikini kabul ediyoruz. Daha sonra BE doğru parçasına BC ve AD kenarlarına karşılık gelen paralelkenarın yüksekliği denir. Bölüm
m 
CM, CD ve AB kenarlarına karşılık gelen paralelkenarın yüksekliğidir.
Paralelkenarların tanınmasını kolaylaştırmak için şu özellik göz önünde bulundurulur: bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktası yarıya bölünmüşse, bu dörtgen bir paralelkenardır.
Bir paralelkenarın tanımında yer almayan bir takım özellikleri teoremler şeklinde formüle edilmiş ve ispatlanmıştır. Aralarında:
1. Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası yarıya bölünür.
2. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve zıt açılar eşittir.
Şimdi bir yamuğun tanımını ve ana özelliğini ele alalım.
yamuk sadece iki zıt kenarı paralel olan dörtgen denir.
Bu paralel kenarlara yamuğun tabanları denir. Diğer iki tarafa yan duvarlar denir.
Kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına yamuğun orta çizgisi denir.
Bir yamuğun orta çizgisi şu özelliğe sahiptir: tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Birçok paralelkenardan dikdörtgenler ve eşkenar dörtgenler ayırt edilir.
Dikdörtgen tüm açıların düz olduğu paralelkenar denir.
Bu tanıma dayanarak, bir dikdörtgenin köşegenlerinin eşit olduğu kanıtlanabilir.
Eşkenar dörtgen tüm kenarları eşit olan paralelkenar denir.
Bu tanımı kullanarak, bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin dik açılarla kesiştiği ve açılarının açıortayları olduğu kanıtlanabilir.
Kareler, dikdörtgenler kümesinden seçilir.
Kare, tüm kenarlarının eşit olduğu bir dikdörtgendir.
Karenin kenarları eşit olduğu için aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir. Bu nedenle kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir.
çokgenler
Bir üçgen ve bir dörtgen kavramının genelleştirilmesi, bir çokgen kavramıdır. Kırık bir çizgi kavramı ile tanımlanır.
Kesik bir çizgi А₁А₂А₃ ... An, А₁, А₂, А₃, ..., Аn noktalarından ve А₁А₂, А₂А₃, ..., AN-₁Аn bunları birbirine bağlayan segmentlerden oluşan bir şekildir. А₁, А₂, А₃,…, Аn noktalarına kesikli çizginin köşeleri denir ve А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn segmentleri onun bağlantılarıdır.
Kesik bir çizginin kendi kendine kesişme noktası yoksa, buna basit denir. Uçları çakışırsa, buna kapalı denir. Şekilde gösterilen kesikli çizgiler şöyle söylenebilir: a) - basit; b) - basit kapalı; c) - basit olmayan kapalı bir çoklu çizgi.
bir B C)
Kesik bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır.
Çoklu çizginin uzunluğunun, uçlarını birleştiren parçanın uzunluğundan daha az olmadığı bilinmektedir.
Çokgen Basit bir kapalı kesik çizgi, bitişik bağlantıları tek bir düz çizgi üzerinde uzanmıyorsa denir.
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, bağlantılarına ise kenarları denir. Bitişik olmayan köşeleri birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.
Herhangi bir çokgen, bir düzlemi, biri iç bölge ve diğeri - çokgenin dış bölgesi (veya düz çokgen) olarak adlandırılan iki parçaya böler.
Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenleri ayırt edin.
Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan bir dışbükey çokgene düzgün denir.
Eşkenar üçgen normaldir, kare düzgün dörtgendir.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınsamasının oluşturduğu açıdır.
Bir dışbükey n-genin açılarının toplamının 180º (n - 2) olduğu bilinmektedir.
Geometride dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenlere ek olarak çokgen şekiller de dikkate alınır.
Çokgen bir şekil, sonlu bir çokgen kümesinin birleşimidir.
bir B C)
Bir çokgen şeklini oluşturan çokgenlerin ortak iç noktaları olmayabilir, ortak iç noktaları olabilir.
Bir çokgen F şeklinin, bunların birleşimi olması halinde çokgen şekillerden oluştuğu söylenir ve şekillerin ortak iç noktaları yoktur. Örneğin, Şekil a) ve c)'de gösterilen çokgen şekiller hakkında, bunların iki çokgen şeklinden oluştuğunu veya iki çokgen şekle ayrıldığını söyleyebiliriz.
Çevre ve daire
çevre düzlemin belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan tüm noktalarından oluşan şekle denir. merkez.
Bir dairenin bir noktasını merkeze bağlayan herhangi bir doğru parçasına dairenin yarıçapı denir. yarıçap dairenin herhangi bir noktasından merkezine olan uzaklığa da denir.
Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına denir akor... Merkezden geçen akor denir çap.
Daire, düzlemin belirli bir noktadan belirli bir mesafeden daha uzak olmayan tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Bu noktaya dairenin merkezi ve bu mesafeye dairenin yarıçapı denir.
Dairenin sınırı, merkezi ve yarıçapı aynı olan bir dairedir.
Çemberin ve çemberin bazı özelliklerini hatırlayalım.
Tek bir çizgileri varsa bir çizgi ve bir dairenin birbirine değdiğini söylüyorlar. ortak nokta... Böyle bir düz çizgiye teğet denir ve düz bir çizgi ile dairenin ortak noktasına teğet noktası denir. Bir doğrunun bir daireye değmesi durumunda, teğet noktasına çizilen yarıçapa dik olduğu kanıtlanmıştır. Bunun tersi de doğrudur (Şekil A).
Bir dairedeki merkez açı, merkezinde bir köşe bulunan düz bir açıdır. Dairenin düz bir açı içinde bulunan kısmına, bu merkez açıya karşılık gelen bir daire yayı denir (Şekil B).
Köşesi daire üzerinde bulunan ve kenarları kesişen açıya bu daireye yazılı denir (Şekil C).
Bir daireye çizilen açı şu özelliğe sahiptir: karşılık gelen merkez açının yarısına eşittir. Özellikle çapa göre köşeler düzdür.
Tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir daire denir.
Bir üçgenin etrafındaki bir daireyi tanımlamak için merkezini bulmanız gerekir. Onu bulma kuralı aşağıdaki teoremle doğrulanır:
Üçgenin çevrelediği dairenin merkezi, bu kenarların orta noktalarından çizilen, kenarlarına dik olanların kesişme noktasıdır (Şekil A).
Bir daireye, tüm kenarlarına dokunuyorsa üçgen içinde yazılı denir.
Böyle bir dairenin merkezini bulma kuralı aşağıdaki teorem ile doğrulanır:
Bir üçgende yazılı bir dairenin merkezi, onun açıortaylarının kesişme noktasıdır (Şekil B)
Böylece, orta dikmeler ve açıortaylar sırasıyla bir noktada kesişir. Geometride, bir üçgenin medyanlarının bir noktada kesiştiği kanıtlanmıştır. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi, yüksekliklerin kesişme noktasına da ortocenter denir.
Böylece, herhangi bir üçgende dört tane vardır. harika noktalar: ağırlık merkezi, yazılı ve dairesel merkezler ve ortomerkez.
Herhangi bir düzgün çokgenin etrafında bir daire tanımlanabilir ve herhangi bir düzgün çokgenin içine bir daire çizilebilir ve çevrelenmiş ve işaretlenmiş dairelerin merkezleri çakışır.
Beşinci varsayım. Öklid dışındaki geometrilerin keşfi.
Geometri oluşturmak için, sadece birkaç konum seçmek, bunları doğrudan uygulamadan almak ve gerekli akıl yürütmenin geri kalanını elde etmek için mantıksal akıl yürütmeyi kullanmak yeterlidir. Hükümler, sonuçları teorem olan aksiyomlar olarak adlandırılmalıdır. Antik Yunan geometrisi İskenderiye Öklid, aksiyomları listeleyen "Başlangıçlar" çalışmasının yazarıdır - hükümler, bunlardan 5 tanesi var:
- İki noktadan geçen düz bir çizgi çizebilirsiniz.
- Düz çizgi her iki yönde de devam ettirilebilir.
- Herhangi bir noktanın etrafına rastgele bir yarıçapla bir daire çizilebilir.
- Tüm dik açılar birbirine eşittir.
- Düzlemde üçüncü ile kesişimdeki iki düz çizgi, toplamı iki dik açıdan daha az olan iç tek taraflı açıları oluşturursa, bu düz çizgiler kesişir (Başka bir formülasyon: düzlemde, uzanmayan bir noktadan geçen bir düzlemde). belirli bir düz çizgi üzerinde, belirli bir düz çizgiye paralel bir ve yalnızca bir düz çizgi çizilebilir).
V POSTÜLATIN FORMÜLASYONU
Beşinci önermenin söylediği şudur:
İki düz çizgi a ve b, üçüncü düz çizgiyle kesiştiklerinde, değerlerinin toplamı iki dik açıdan küçük olan (yani, 180 ° 'den az) iç tek taraflı açılar a ve b oluştururlar; Şekil 1), o zaman bu iki düz çizgi kesişmelidir ve a ve b açılarının bulunduğu üçüncü düz çizginin yanındadır (birlikte 180 ° 'den daha az).
Son beşinci postüla kendi üzerine çizdi Özel dikkat, çünkü çok daha zor formüle edildi ve diğerleri gibi sezgisel değildi. Varsayımın V. Problemi ilk olarak Kazan Üniversitesi profesörü, 1862'de keşfeden parlak Rus matematikçi Nikolai İvanoviç Lobachevsky (1792-1856) tarafından çözüldü. "hiperbolik" olarak da adlandırılan ilk Öklid olmayan geometri.
Paralelliğin Öklid aksiyomundan bağımsız bir geometri teoremleri koleksiyonu , Macar matematikçi Janos Boyai aradı "Mutlak" geometri . Geri kalan tüm teoremler, bu onlar , kanıtında doğrudan veya dolaylı olarak V varsayımına güvendiğimiz, uygun Öklid geometrisi.
Öklidyen olmayan geometriler arasında aşağıdakiler ayırt edilebilir:
- Lobachevsky, Gauss, Boyai'nin geometrisi. Düzlemde, a düz çizgisinin dışındaki A noktasından verilene paralel 1'den fazla düz çizgi çizebilirsiniz.
- Küresel geometri. Astronominin görevleriyle bağlantılı olarak, temel gerçekleri antik çağda incelenen bir kürenin yüzeyindeki geometri. Gerçek şu ki, Dünya yüzeyi pratik olarak düzenli bir küredir, bu nedenle eğri yüzeyler koşullarında hesaplamaların doğruluğunu sağlamak için geometriye ihtiyaç duyulmuştur.
- Riemann geometrisi. Küresel geometriye dayalı. Riemann, teorem ve aksiyom listesini önemli ölçüde genişletti. Riemann'ın geometrisi üç "büyük geometriden" biridir (Euclid, Lobachevsky ve Riemann). Öklid geometrisi sabit sıfır Gauss eğriliği, Lobachevsky - sabit negatif eğrilik olan yüzeylerde gerçekleştiriliyorsa, o zaman Riemann geometrisi sabit pozitif Gauss eğriliği olan yüzeyler üzerinde gerçekleştirilir. Riemann geometrisinde, düz bir çizgi iki nokta, bir düzlem - üç, iki düzlem düz bir çizgide kesişir, vb. ile tanımlanır, ancak bu noktadan herhangi bir düz çizgiye paralel çizmek imkansızdır. Özellikle bu geometride bir teorem vardır: Bir üçgenin açılarının toplamı ikiden fazla düz çizgidir. Tarihsel olarak, Riemann'ın geometrisi diğer iki geometriden daha sonra ortaya çıktı (1854'te) Riemann'ın geometrisi küresel geometriye benzer, ancak herhangi iki "çizginin" küreselde olduğu gibi iki değil, sadece bir kesişme noktasına sahip olması bakımından farklılık gösterir. Bu nedenle, bazen Riemann'ın geometrisine, zıt noktaların tanımlandığı küre üzerindeki geometri denir; böylece küreden bir projektif düzlem elde edilir.
V postülatının özel rolü, daha fazla karmaşıklığı ve daha az netliği (diğer aksiyomlarla karşılaştırıldığında), sonraki yüzyılların matematikçilerinin bu postülayı bir teorem olarak kanıtlamaya çalışmasına neden oldu. Bazıları bu varsayımı Öklid'in aksiyomlarının geri kalanından, onlara yeni ifadeler eklemeden çıkarmaya çalıştı; ancak diğerleri açıkça V varsayımını daha basit ve daha açık olduğunu düşündükleri başka bir aksiyomla değiştirdiler. Elbette, yeni aksiyom, V varsayımına eşdeğer bir ifade içeriyordu. Ancak, V varsayımının açıkça başka bir aksiyomla değiştirilmediği kanıtların analizi, V varsayımına eşdeğer ifadelerin burada da kullanıldığını gösteriyor, ancak bu, kanıtın yazarı tarafından fark edilmeden örtük olarak yapıldı.
Beşinci postülatın önemi fazla tahmin edilemez, çünkü bildiğimiz iki geometrinin hiçbiri onsuz yapamazdı. Beşinci önerme bilim adamları tarafından dikkate alınmasaydı, böyle bir şey olmazdı. en büyük keşif, çünkü Öklid dışı geometrinin yardımıyla insanlar yeni bir uzay anlayışına sahip oldular. Her şey beşinci önermeyle başladı: O, bilimin başlangıç noktası, motorudur.
Sezgi, hem Öklid hem de Öklid olmayan geometrilerin tam teşekküllü matematiğin örnekleri olduğunu dikte etti.
Temel geometrik şekillerin tanımı ve özellikleri.
Temel özellikler
1. Bir üçgenin açısı diğer üçgenin açısına eşitse, bu üçgenlerin alanları, eşit açıları çevreleyen kenarların ürünleri olarak ilişkilidir.
2. Yükseklikleri ortak olan üçgenlerin alanlarının oranı, bu yüksekliklere karşılık gelen tabanların oranına eşittir.
3. Tabanları ortak olan üçgenlerin alanlarının oranı, üçgenin bu kenarlarına karşılık gelen yüksekliklerin oranına eşittir.
4. Bu tür üçgenlerde, benzer elemanlar orantılıdır, çevreli ve yazılı dairelerin yarıçapları, üçgenlerin çevreleri, alanların karekökleri.
5. Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle bulunabilir:
6. Sinüs ve kosinüs teoremini kullanarak çevrelenmiş dairenin yarıçapını bulmak uygundur:
7. Her medyan bir üçgeni 2 eşit üçgene böler.
8. Üç medyan, bir üçgeni 6 eşit üçgene böler.
9. Bisektörlerin kesişme noktası, bisektörü aşağıdakilere göre böler:
açıortayın üçüncü kenara çekildiği açıyı oluşturan kenarların toplamı.
10. Üçgenin ve kenarların medyanları aşağıdaki formülle ilişkilidir:
11. Bir üçgenin kenarına paralel olan ve diğer ikisini kesen düz bir çizgi, bunun gibi bir üçgeni ondan keser.
12. B ve C açılarının açıortayları ise üçgen ABC sonra M noktasında kesişir.
13. Bitişik açıların açıortayları arasındaki açı 90'dır.
14. M, ABC üçgeninde yazılı çemberin AC kenarına teğet noktası ise, o zaman üçgenin yarı çevresi nerededir.
15. Daire, ABC üçgeninin BC kenarına ve AB ve AC kenarlarının uzantılarına değiyor. O halde, A köşesinden AB düz çizgisine sahip dairenin teğet noktasına olan uzaklığı, ABC üçgeninin yarı çevresine eşittir.
16. ABC üçgeninde yazılı bir daire sırasıyla AB, BC ve AC kenarlarına K, L ve M noktalarında dokunuyor. Eğer öyleyse.
17.Menelaus teoremi. Verilen ABC üçgeni. Bazı düz doğrular AB, BC kenarlarını ve AC kenarının devamını sırasıyla C1, A1, B1 noktalarında keser. Sonra
18.Cheva teoremi. A1, B1 ve C1 noktaları ABC üçgeninin sırasıyla BC, AC ve AB kenarlarına ait olsun. AA1, BB1 ve CC1 segmentleri, ancak ve ancak şu durumlarda bir noktada kesişir:
19.Steiner-Lemus teoremi. Bir üçgenin iki ortayı eşitse, o zaman ikizkenardır.
20.Stewart teoremi. O halde D noktası, ABC üçgeninin BC tarafında yer alır.
21. Yazılı olmayan bir daire, bir kenarına ve diğer ikisinin uzantılarına teğet olan bir dairedir.
22. Her üçgen için, üçgenin dışında bulunan üç dışlanmış daire vardır.
23. Eski dairenin merkezi, bu iki dış köşeye bitişik olmayan, üçgenin dış köşelerinin açıortayı ile iç açıortayının kesişme noktasıdır.
24. Daire, ABC üçgeninin BC kenarına ve AB ve AC kenarlarının uzantılarına dokunuyorsa. O halde, A köşesinden AB düz çizgisine sahip dairenin teğet noktasına olan uzaklığı, ABC üçgeninin yarı çevresine eşittir.
Bina görevleri.
planimetri Bir düzlemdeki şekillerin çalışıldığı bir geometri bölümüdür.
Planimetri ile incelenen rakamlar:
3. Paralelkenar (özel durumlar: kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen)
4. yamuk
5. Çevre
6. Üçgen
7. Çokgen
1 puan:
Geometri, topoloji ve matematiğin ilgili dallarında, bir noktaya, uzayda ne hacmi, ne alanı, ne uzunluğu ne de başka herhangi bir şeyi olmayan soyut bir nesne denir. benzer özellikler büyük boyutlar. Bu nedenle, bir noktaya sıfır boyutlu nesne denir. Nokta, matematiğin temel kavramlarından biridir.
Öklid geometrisinde nokta:
Nokta, geometrinin temel kavramlarından biridir, bu nedenle bir "nokta"nın tanımı yoktur. Euclid, noktayı bölünemeyen bir şey olarak tanımladı.
Düz çizgi, geometrinin temel kavramlarından biridir.
Geometrik düz (düz çizgi) - her iki tarafta açık, uzatılmış eğri olmayan geometrik nesne, enine kesit hangi sıfıra eğilimlidir ve düzlem üzerine uzunlamasına izdüşüm bir nokta verir.
Geometrinin sistematik bir sunumunda, düz bir çizgi genellikle geometri aksiyomları tarafından yalnızca dolaylı olarak belirlenen ilk kavramlardan biri olarak alınır.
Geometri oluşturmanın temeli, uzaydaki iki nokta arasındaki mesafe kavramıysa, o zaman düz bir çizgi, yol boyunca iki nokta arasındaki mesafeye eşit olan bir çizgi olarak tanımlanabilir.
3) Paralelkenar:
Paralelkenar, karşılıklı kenarların çift olarak paralel olduğu, yani paralel çizgiler üzerinde uzandığı bir dörtgendir. Paralelkenarın özel durumları dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgendir.
Özel durumlar:
Meydan- tüm açıların düz olduğu düzenli bir dörtgen veya eşkenar dörtgen veya tüm kenarların ve açıların eşit olduğu bir paralelkenar.
kare olarak tanımlanabilir: iki bitişik kenarı eşit olan bir dikdörtgen;
tüm köşeleri düz olan bir eşkenar dörtgen (herhangi bir kare bir eşkenar dörtgendir, ancak her eşkenar dörtgen bir kare değildir).
Dikdörtgen tüm açıları düz (90 dereceye eşit) olan bir paralelkenardır.
Eşkenar dörtgen tüm kenarları eşit olan bir paralelkenardır. Dik açılı eşkenar dörtgene kare denir.
4) Yamuk:
yamuk- tam olarak bir çift zıt kenarı paralel olan bir dörtgen.
1. Kenarları eşit olmayan yamuk,
aranan çok yönlü .
2. Kenarları eşit olan yamuğa denir. ikizkenar.
3. Bir yan kenarı tabanlarla dik açı yapan yamuk olarak adlandırılır. dikdörtgen .
Yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına denir. orta hat yamuk (MN). Yamuğun orta çizgisi tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Bir yamuk kesik üçgen olarak adlandırılabilir, bu nedenle yamukların adları üçgenlerin adlarına benzer (üçgenler çok yönlü, ikizkenar, dikdörtgen).
5) Çevre:
Daire- düzlemin, sıfır olmayan belirli bir mesafede, merkez adı verilen ve yarıçap olarak adlandırılan belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların yeri.
6) Üçgen:
Üçgen- 3 köşesi (köşesi) ve 3 kenarı olan en basit çokgen; düzlemin üç nokta ile sınırlanan kısmı ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç doğru parçası.
7) Çokgen:
Çokgen kapalı bir çoklu çizgi olarak tanımlanan geometrik bir şekildir. Üç vardır farklı seçenekler tanımlar:
Düz kapalı poliller;
Kendinden kesişmeyen düzlem kapalı çokgen çizgiler;
Çokgenlerle sınırlanmış düzlem parçaları.
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, segmentlere çokgenin kenarları denir.
Bir doğrunun ve bir noktanın temel özellikleri:
1. Doğru ne olursa olsun, bu doğruya ait olan ve olmayan noktalar vardır.
Herhangi iki noktadan ve yalnızca bir noktadan düz bir çizgi çizebilirsiniz.
2. Düz bir çizgi üzerindeki üç noktadan biri ve sadece biri diğer ikisi arasında yer alır.
3. Her segmentin sıfırdan büyük belirli bir uzunluğu vardır. Bir doğru parçasının uzunluğu, bölündüğü parçaların uzunluklarının toplamına eşittir.
6. Başlangıç noktasından itibaren herhangi bir yarım satırda, belirli bir uzunluktaki ve yalnızca bir segmenti erteleyebilirsiniz.
7. Herhangi bir yarım çizgiden belirli bir yarım düzleme, belirli bir derece ölçüsü 180 ° 'den küçük olan bir açıyı ve yalnızca bir tanesini erteleyebilirsiniz.
8. Üçgen ne olursa olsun, verilen bir yarım çizgiye göre belirli bir yerde eşit bir üçgen vardır.
Üçgen özellikleri:
Bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişki:
1) Büyük tarafa karşı daha büyük bir açı vardır.
2) Büyük kenar, büyük açının karşısındadır.
3) Eşit taraflara karşı eşit açılar vardır ve bunun tersine karşı eşit açılar Yalan eşit kenarlar.
Bir üçgenin iç ve dış köşeleri arasındaki oran:
1) Herhangi ikisinin toplamı iç köşelerüçgen dış köşeüçüncü köşeye bitişik bir üçgen.
2) Bir üçgenin kenarları ve açıları, sinüs teoremi ve kosinüs teoremi adı verilen ilişkilerle de ilişkilidir.
üçgen denir geniş, dikdörtgen veya dar açılı , en büyük iç açısı buna göre daha büyük, 90∘'ye eşit veya daha küçükse.
Orta hatüçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası.
Üçgen merkez çizgisi özellikleri:
1) Üçgenin ortanca çizgisini içeren çizgi, üçgenin üçüncü kenarını içeren çizgiye paraleldir.
2) Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenarın yarısıdır.
3) Üçgenin orta çizgisi üçgenden benzer bir üçgeni keser.
Dikdörtgen özellikleri:
1) karşılıklı taraflar birbirine eşit ve paraleldir;
2) köşegenler eşittir ve kesişme noktasında yarıya iner;
3) köşegenlerin karelerinin toplamı, tüm (dört) kenarın karelerinin toplamına eşittir;
4) düzlem, aynı boyuttaki dikdörtgenlerle tamamen kaplanabilir;
5) bir dikdörtgen iki şekilde iki eşit dikdörtgene bölünebilir;
6) bir dikdörtgen iki eşit dikdörtgen üçgene bölünebilir;
7) dikdörtgenin etrafında, çapı dikdörtgenin köşegenine eşit olan bir daire tanımlanabilir;
8) bir daireyi düz bir çizgide (kare hariç) tüm kenarlarına değecek şekilde yazmak imkansızdır.
Paralelkenar özellikleri:
1) Bir paralelkenarın köşegeninin orta noktası, simetri merkezidir.
2) Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşittir.
3) Paralelkenarın karşılıklı açıları eşittir.
4) Paralelkenarın her köşegeni onu iki eşit üçgene böler.
5) Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından yarıya bölünür.
6) Paralelkenarın (d1 ve d2) köşegenlerinin karelerinin toplamı, tüm kenarlarının karelerinin toplamına eşittir: d21 + d22 = 2 (a2 + b2)
İLE BİRLİKTE karenin özellikleri:
1) Karenin tüm köşeleri düz, tüm kenarları eşittir.
2) Karenin köşegenleri eşittir ve dik açılarda kesişir.
3) Bir karenin köşegenleri köşelerini ikiye böler.
Elmas özellikleri:
1. Bir eşkenar dörtgenin köşegeni onu iki eşit üçgene böler.
2. Eşkenar dörtgenlerin kesişme noktalarındaki köşegenleri yarıya iner.
3. Bir eşkenar dörtgenin karşılıklı kenarları birbirine ve karşı açıları eşittir.
Ek olarak, eşkenar dörtgen aşağıdaki özelliklere de sahiptir:
a) eşkenar dörtgenin köşegenleri karşılıklı olarak diktir;
b) eşkenar dörtgenin köşegeni, açısını ikiye böler.
Daire özellikleri:
1) Düz bir doğrunun bir daire ile ortak noktaları olamaz; bir daire (teğet) ile ortak bir noktaya sahip olmak; onunla iki ortak noktası var (sekant).
2) Bir düz çizgi üzerinde olmayan üç noktadan bir daire ve dahası sadece bir tane çizebilirsiniz.
3) İki çemberin teğet noktası, merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir.
Çokgen özellikleri:
1) Düz bir dışbükey n-genin iç açıları toplamıdır.
2) Herhangi bir n-gonun köşegen sayısı eşittir.
3) Çokgenin kenarlarının, aralarındaki açının sinüsü ile çarpımı, çokgenin alanına eşittir.
4. Üçgenler, dörtgenler, çokgenler. Üçgen, dikdörtgen, paralelkenar, yamuk alanları için formüller.
5. Çevre, daire.
- üçgenler
Üçgen, en basit geometrik şekillerden biridir. Ancak çalışması, arsaların ölçülmesinde, alanın haritalarının derlenmesinde, çeşitli mekanizmaların tasarlanmasında pratik ihtiyaçlardan ortaya çıkan bütün bir bilim - trigonometriye yol açtı.
Üçgen Bir düz çizgi üzerinde uzanmayan üç noktadan ve bunları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan geometrik bir şekil denir.
Herhangi bir üçgen düzlemi iki parçaya böler: iç ve dış. Bir üçgen ve onun iç bölgesinden oluşan şekle üçgen (veya düz üçgen) de denir.
Herhangi bir üçgende, aşağıdaki öğeler ayırt edilir: kenarlar, açılar, yükseklikler, açıortaylar, medyanlar, orta çizgiler.
ABC üçgeninin A köşesindeki açısı, AB ve AC yarım doğrularının oluşturduğu açıdır.
Boy uzunluğu Verilen bir tepe noktasından bırakılan bir üçgenin şekline, bu tepe noktasından karşı tarafı içeren bir düz çizgiye çizilen dik denir.
Açıortayüçgene, köşeyi karşı taraftaki bir noktaya bağlayan üçgenin açısının açıortayının bir parçası denir.
Medyan Verilen bir köşeden çizilen üçgenin şekline, bu köşeyi karşı tarafın ortasına bağlayan doğru parçası denir.
Orta hatüçgene iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası denir.
Karşılıklı kenarları ve karşılık gelen açıları varsa üçgenlere eşit denir. Bu durumda, karşılık gelen açılar, karşılık gelen kenarların karşısında olmalıdır.
Pratikte ve teorik yapılarda, aralarındaki ilişkiler sorununa daha hızlı bir çözüm sağlayan üçgenlerin eşitlik işaretleri sıklıkla kullanılır. Bu tür üç işaret vardır:
1. Bir üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, diğer üçgenin iki kenarına ve aralarındaki açıya eşitse, bu üçgenler eşittir.
2. Bir üçgenin kenarı ve ona bitişik açılar, diğer üçgenin kenarına ve ona bitişik açılara sırasıyla eşitse, bu tür üçgenler eşittir.
3. Bir üçgenin üç kenarı sırasıyla diğer üçgenin üç kenarına eşitse, bu üçgenler eşittir.
üçgen denir ikizkenar eğer iki kenarı eşitse. Bu eşit kenarlara yan kenarlar denir ve üçüncü kenara üçgenin tabanı denir.
İkizkenar üçgenlerin bir takım özellikleri vardır, örneğin:
Bir ikizkenar üçgende, tabana çizilen medyan, açıortay ve yüksekliktir.
Üçgenlerin birkaç özelliğini not edelim.
1. Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180º'dir.
Bu özellik, herhangi bir üçgende en az iki açının dar olduğu anlamına gelir.
2. İki kenarın orta noktalarını birleştiren üçgenin orta çizgisi, üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.
3. Herhangi bir üçgende her bir kenar diğer iki kenarın toplamından küçüktür.
Dik açılı bir üçgen için Pisagor teoremi doğrudur: hipotenüsün karesi, bacakların karelerinin toplamına eşittir.
- dörtgenler
dörtgen dört nokta ve bunları birbirine bağlayan dört ardışık parçadan oluşan bir şekil denir ve bu noktalardan üçü tek bir doğru üzerinde bulunmamalı ve onları birleştiren parçalar kesişmemelidir. Bu noktalara dörtgenin köşeleri, bunları birleştiren parçalara da kenarları denir.
Herhangi bir dörtgen, uçağı iki parçaya böler: iç ve dış. Bir dörtgenden ve iç alanından oluşan bir şekle dörtgen (veya düz dörtgen) de denir.
Bir dörtgenin köşelerinden birinin uçları ise bitişik olarak adlandırılır. Bitişik olmayan köşelere zıt köşeler denir. Dörtgenin zıt köşelerini birleştiren doğru parçalarına denir. köşegenler.
Bir köşeden çıkan bir dörtgenin kenarlarına bitişik denir. Ortak bir ucu olmayan taraflara karşıt taraflar denir. ABCD dörtgeninde, A ve B köşeleri karşılıklı, AB ve BC kenarları bitişik, BC ve AD karşılıklı; AC ve BD doğru parçaları verilen dörtgenin köşegenleridir.
Dörtgenler dışbükeydir ve dışbükey değildir. Böylece, ABCD dörtgeni dışbükeydir ve dörtgen KPMT dışbükey değildir. Dışbükey dörtgenler arasında paralelkenarlar ve yamuklar ayırt edilir.
Paralelkenar, karşılıklı kenarları paralel olan bir dörtgendir.
ABCD bir paralelkenar olsun. BE dikeyini B köşesinden AD doğrusuna bırakalım. Daha sonra BE doğru parçasına BC ve AD kenarlarına karşılık gelen paralelkenarın yüksekliği denir. Bölüm
m 
CM - CD ve AB kenarlarına karşılık gelen paralelkenarın yüksekliği.
Paralelkenarların tanınmasını kolaylaştırmak için şu özellik göz önünde bulundurulur: bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktası yarıya bölünmüşse, bu dörtgen bir paralelkenardır.
Bir paralelkenarın tanımında yer almayan bir takım özellikleri teoremler şeklinde formüle edilmiş ve ispatlanmıştır. Aralarında:
1. Paralelkenarın köşegenleri kesişir ve kesişme noktası yarıya bölünür.
2. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve zıt açılar eşittir.
Şimdi bir yamuğun tanımını ve ana özelliğini ele alalım.
yamuk sadece iki zıt kenarı paralel olan dörtgen denir.
Bu paralel kenarlara yamuğun tabanları denir. Diğer iki tarafa yan duvarlar denir.
Kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına yamuğun orta çizgisi denir.
Bir yamuğun orta çizgisi şu özelliğe sahiptir: tabanlara paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir.
Birçok paralelkenardan dikdörtgenler ve eşkenar dörtgenler ayırt edilir.
Dikdörtgen tüm açıların düz olduğu paralelkenar denir.
Bu tanıma dayanarak, bir dikdörtgenin köşegenlerinin eşit olduğu kanıtlanabilir.
Eşkenar dörtgen tüm kenarları eşit olan paralelkenar denir.
Bu tanımı kullanarak, bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin dik açılarla kesiştiği ve açılarının açıortayları olduğu kanıtlanabilir.
Kareler, dikdörtgenler kümesinden seçilir.
Kare, tüm kenarlarının eşit olduğu bir dikdörtgendir.
Karenin kenarları eşit olduğu için aynı zamanda bir eşkenar dörtgendir. Bu nedenle kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgen özelliklerine sahiptir.
- çokgenler
Bir üçgen ve bir dörtgen kavramının genelleştirilmesi, bir çokgen kavramıdır. Kırık bir çizgi kavramı ile tanımlanır.
Kesik bir çizgi А₁А₂А₃ ... AN, А₁, А₂, А₃, ..., Аn noktalarından ve А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn onları bağlayan segmentlerden oluşan bir şekildir. А₁, А₂, А₃,…, Аn noktalarına kesik çizginin köşeleri denir ve А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn bölümlerine bağlantıları denir.
Kesik bir çizginin kendi kendine kesişme noktası yoksa, buna basit denir. Uçları çakışırsa, buna kapalı denir. Şekilde gösterilen kesikli çizgiler şöyle söylenebilir: a) - basit; b) - basit kapalı; c) - basit olmayan kapalı bir çoklu çizgi.
bir B C)
Kesik bir çizginin uzunluğu, bağlantılarının uzunluklarının toplamıdır.
Çoklu çizginin uzunluğunun, uçlarını birleştiren parçanın uzunluğundan daha az olmadığı bilinmektedir.
Çokgen Basit bir kapalı kesik çizgi, bitişik bağlantıları tek bir düz çizgi üzerinde uzanmıyorsa denir.
Çoklu çizginin köşelerine çokgenin köşeleri, bağlantılarına ise kenarları denir. Bitişik olmayan köşeleri birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.
Herhangi bir çokgen, bir düzlemi, biri iç bölge ve diğeri - çokgenin dış bölgesi (veya düz çokgen) olarak adlandırılan iki parçaya böler.
Dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenleri ayırt edin.
Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan bir dışbükey çokgene düzgün denir.
Eşkenar üçgen normaldir, kare düzgün dörtgendir.
Bir dışbükey çokgenin belirli bir tepe noktasındaki açısı, kenarlarının bu tepe noktasında yakınsamasının oluşturduğu açıdır.
Bir dışbükey n-genin açılarının toplamının 180º (n - 2) olduğu bilinmektedir.
Geometride dışbükey ve dışbükey olmayan çokgenlere ek olarak çokgen şekiller de dikkate alınır.
Çokgen bir şekil, sonlu bir çokgen kümesinin birleşimidir.
bir B C)
Bir çokgen şeklini oluşturan çokgenlerin ortak iç noktaları olmayabilir, ortak iç noktaları olabilir.
Bir çokgen F şeklinin, bunların birleşimi olması halinde çokgen şekillerden oluştuğu söylenir ve şekillerin ortak iç noktaları yoktur. Örneğin, Şekil a) ve c)'de gösterilen çokgen şekiller hakkında, bunların iki çokgen şeklinden oluştuğunu veya iki çokgen şekle ayrıldığını söyleyebiliriz.
- Çevre ve daire
çevre düzlemin belirli bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan tüm noktalarından oluşan şekle denir. merkez.
Bir dairenin bir noktasını merkeze bağlayan herhangi bir doğru parçasına dairenin yarıçapı denir. yarıçap dairenin herhangi bir noktasından merkezine olan uzaklığa da denir.
Çemberin iki noktasını birleştiren doğru parçasına denir akor... Merkezden geçen akor denir çap.
Daire, düzlemin belirli bir noktadan belirli bir mesafeden daha uzak olmayan tüm noktalarından oluşan bir şekildir. Bu noktaya dairenin merkezi ve bu mesafeye dairenin yarıçapı denir.
Dairenin sınırı, merkezi ve yarıçapı aynı olan bir dairedir.
Çemberin ve çemberin bazı özelliklerini hatırlayalım.
Tek bir ortak noktaları varsa, bir çizgi ve bir dairenin birbirine değdiği söylenir. Böyle bir düz çizgiye teğet denir ve düz bir çizgi ile dairenin ortak noktasına teğet noktası denir. Bir doğrunun bir daireye değmesi durumunda, teğet noktasına çizilen yarıçapa dik olduğu kanıtlanmıştır. Bunun tersi de doğrudur (Şekil A).
Bir dairedeki merkez açı, merkezinde bir köşe bulunan düz bir açıdır. Dairenin düz bir açı içinde bulunan kısmına, bu merkez açıya karşılık gelen bir daire yayı denir (Şekil B).
Köşesi daire üzerinde bulunan ve kenarları kesişen açıya bu daireye yazılı denir (Şekil C).
Bir daireye çizilen açı şu özelliğe sahiptir: karşılık gelen merkez açının yarısına eşittir. Özellikle çapa göre köşeler düzdür.
Tüm köşelerinden geçiyorsa, bir üçgenin etrafında çevrelenmiş bir daire denir.
Bir üçgenin etrafındaki bir daireyi tanımlamak için merkezini bulmanız gerekir. Onu bulma kuralı aşağıdaki teoremle doğrulanır:
Üçgenin çevrelediği dairenin merkezi, bu kenarların orta noktalarından çizilen, kenarlarına dik olanların kesişme noktasıdır (Şekil A).
Bir daireye, tüm kenarlarına dokunuyorsa üçgen içinde yazılı denir.
Böyle bir dairenin merkezini bulma kuralı aşağıdaki teorem ile doğrulanır:
Bir üçgende yazılı bir dairenin merkezi, onun açıortaylarının kesişme noktasıdır (Şekil B)
Böylece, dikler ve bisektörler sırasıyla bir noktada kesişir. Geometride, bir üçgenin medyanlarının bir noktada kesiştiği kanıtlanmıştır. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi, yüksekliklerin kesişme noktasına da ortocenter denir.
Böylece, herhangi bir üçgende dört dikkate değer nokta vardır: ağırlık merkezi, yazılı ve çevrelenmiş dairelerin merkezleri ve ortomerkez.
Herhangi bir düzgün çokgenin etrafında bir daire tanımlanabilir ve herhangi bir düzgün çokgenin içine bir daire çizilebilir ve çevrelenmiş ve işaretlenmiş dairelerin merkezleri çakışır.
