1. 한 삼각형의 각도가 다른 삼각형의 각도와 같으면 이 삼각형의 면적은 같은 각도를 포함하는 변의 곱으로 관련됩니다.
2. 삼각형의 면적 비율 전체 높이, 이 높이에 해당하는 밑변의 비율과 같습니다.
3. 삼각형의 면적 비율 공통 근거, 는 삼각형의 이러한 변에 해당하는 높이의 비율과 같습니다.
4. 그러한 삼각형에서 유사한 요소는 비례하고, 내접원과 외접원의 반지름, 삼각형의 둘레, 제곱근광장에서.
5. 내접원의 반지름은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
6. 사인과 코사인의 정리를 사용하여 외접원의 반지름을 찾는 것이 편리합니다.
7. 각 중앙값은 삼각형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
8. 세 개의 중선은 삼각형을 6개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
9. 이등분선의 교점은 다음에 대해 이등분선을 나눕니다.
이등분선이 세 번째 변으로 그려지는 각도를 형성하는 변의 합.
10. 삼각형과 변의 중앙값은 다음 공식으로 연결됩니다.
11. 삼각형의 변에 평행하고 다른 두 개를 교차하는 직선은 그 삼각형에서 이와 같은 삼각형을 잘라냅니다.
12. 각의 이등분선인 경우NS및 C 삼각형 알파벳점 M에서 교차한 다음 .
13. 이등분선 사이의 각도 인접한 모서리 90과 같음.
14. M이 삼각형 ABC에 내접하는 원의 변 AC와 접하는 점이라면,어디 - 삼각형의 반 둘레.
15. 원은 삼각형 ABC의 변 BC와 변 AB와 AC의 연장선에 닿습니다. 그런 다음 꼭짓점 A에서 직선 AB가있는 원의 접선 점까지의 거리는 삼각형 ABC의 반둘레와 같습니다.
16. 삼각형 ABC에 내접한 원은 한 점에서 변 AB, BC, AC에 각각 닿습니다.케이, 엘그리고 미디엄... 그렇다면.
17. 메넬라우스의 정리. 주어진 삼각형 ABC. 일부 직선은 변 AB, BC와 교차하고 점 C에서 AC 변의 연속 1, A 1, B 1 각기. 그 다음에
18. 체바의 정리. 포인트 А 1, В 1 및 С 1 삼각형 ABC의 변 BC, AC 및 AB에 각각 속합니다. AA 세그먼트 1, BB 1 및 CC 1 한 점에서 교차하는 경우에만
19. 슈타이너-레무스 정리. 삼각형의 두 이등분선이 같으면 이등변입니다.
20. 스튜어트의 정리. 가리키다 NSABC 삼각형의 BC 쪽에 위치하면 .
21. 쓰이지 않은 원은 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접하는 원입니다.
22. 각 삼각형에 대해 삼각형 외부에 있는 3개의 제외된 원이 있습니다.
23. 외원의 중심은 삼각형의 외부 모서리의 이등분선과 내부의 이등분선의 교차점이며, 이 두 외부 모서리에 인접하지 않습니다.
24. 원이 삼각형 ABC의 변 BC와 변 AB와 AC의 연장선에 닿는 경우. 그러면 꼭짓점 A에서 직선 AB가 있는 원의 접선 점까지의 거리는 삼각형 ABC의 반둘레와 같습니다.
§ 21. 재산 기하학적 모양표면에
강의 53. 평면에서 기하학적 도형의 속성
1. 평면 위의 기하학적 도형과 그 속성
2. 각도, 평행 및 수직 직선
3. 평행선과 수직선
기하학적 모양은 점 집합으로 정의됩니다. 세그먼트, 선, 원, 공 - 기하학적 모양.
기하학적 도형의 모든 점이 하나의 평면에 속하는 경우 평면이라고 합니다. 예를 들어, 선분, 직사각형은 평평한 도형입니다. 평평하지 않은 모양이 있습니다. 예를 들어 큐브, 공, 피라미드입니다.
기하 도형의 개념은 집합의 개념을 통해 정의되기 때문에 한 도형이 다른 도형에 포함(또는 다른 도형에 포함)되었다고 말할 수 있으며 도형의 합집합, 교집합 및 차이를 고려할 수 있습니다.
예를 들어 두 광선 AB와 MK의 합집합은 직선 KB이고 교차점은 선분 AM입니다.
볼록한 도형과 볼록하지 않은 도형을 구별하십시오. 두 점과 함께 두 점을 연결하는 선분도 포함하는 경우 그림을 볼록이라고 합니다.
도형 F₁는 볼록하고 도형 F₂는 볼록하지 않습니다.
볼록 도형은 평면, 직선, 광선, 선분, 점, 원입니다.
폴리곤의 경우 다른 정의가 알려져 있습니다. 폴리곤은 측면을 포함하는 각 선의 측면에 있는 경우 볼록이라고 합니다. 이 정의와 다각형에 대해 위에서 주어진 정의의 동등성이 입증되었으므로 둘 다 사용할 수 있습니다.
학교 기하학 과정에서 공부한 몇 가지 개념, 그 정의 및 속성을 고려하여 증거 없이 받아들이십시오.
모서리
주입점과 이 점에서 나오는 두 개의 광선으로 구성된 기하학적 도형입니다. 광선은 모서리의 측면이라고하며 공통 원점은 정점이라고합니다.
각도는 다른 방식으로 표시됩니다. 즉, 상단 또는 측면을 나타내거나 세 점을 표시합니다. 상단과 각 측면의 점: А, (k, l), ABS.
각도라고 합니다 배치측면이 동일선상에 있는 경우.
펼친 각의 절반인 각을 이라고 합니다. 직접.직각보다 작은 각을 직각보다 작은 각이라고 합니다. 날카로운... 직선보다 크고 전개된 각도보다 작은 각도를 멍청한.
플랫 앵글같은 점에서 나오는 두 개의 다른 광선으로 둘러싸인 평면의 일부입니다.
공통 원점을 가진 두 개의 광선에 의해 형성된 두 개의 평면 각도가 있습니다. 그들은 불려 추가의.
영형 
평면 측정에서 고려되는 각도는 펼친 상태를 초과하지 않습니다.
두 모서리를 호출합니다. 인접한한 면이 공통이고 이 모서리의 다른 면이 추가 반선인 경우.
인접한 각의 합은 180º입니다. 이 속성의 유효성은 인접 각도의 정의에서 따릅니다.
두 모서리를 호출합니다. 세로,한 모서리의 측면이 다른 모서리의 보완적인 반선인 경우.
수직 각도는 동일합니다.
평행선 및 수직선
평면 위의 두 직선을 평행 한그들이 교차하지 않는다면
선이 선 b와 평행하면 a║b를 쓰세요.
평행선의 몇 가지 속성과 우선 평행선의 기호를 살펴보겠습니다.
기호는 특정 상황에서 대상의 속성이 존재한다는 정리라고 합니다. 특히, 직선의 평행도 기호를 고려해야 할 필요성은 실제로 종종 두 직선의 상호 배열 문제를 해결해야하지만 동시에 직접 사용하는 것이 불가능하다는 사실에 기인합니다. 정의.
다음을 고려하세요 직선의 평행도 표시:
1. 세 번째에 평행한 두 직선이 서로 평행합니다.
2. 내부 십자 거짓말 각도가 같거나 내부 한면 각도의 합이 180º이면 직선은 평행합니다.
그 말은 사실이고, 반대직선 평행도의 두 번째 기준: 두 개의 평행한 직선이 세 번째 직선과 교차하는 경우 십자형으로 놓인 내각은 같고 한변 각도의 합은 180º입니다.
평행선의 중요한 속성은 다음과 같습니다. 정리,고대 그리스 수학자의 이름을 따서 명명 탈레스: 모서리의 변을 교차하는 평행한 직선이 모서리의 한 쪽에서 동일한 세그먼트를 자르면 다른 쪽에서도 동일한 세그먼트를 잘라냅니다.
2개의 라인이 호출된다. 수직직각으로 교차하는 경우.
선 a가 선 b에 수직이면 ab를 쓰십시오.
수직선의 주요 속성은 두 가지 정리에 반영됩니다.
1. 직선의 각 점을 지나서, 그것에 수직인 직선을 그릴 수 있고, 오직 하나만 그릴 수 있습니다.
2. 이 선에 있지 않은 모든 지점에서 이 선에 수직으로 하나만 떨어뜨릴 수 있습니다.
주어진 직선에 수직인 것은 교차점의 끝점이 있는 주어진 직선에 수직인 직선의 한 부분입니다. 이 선분의 끝을 수직선의 밑면이라고 합니다.
주어진 한 점에서 직선으로 떨어지는 수직선의 길이를 거리점에서 직선으로.
평행선 사이의 거리한 직선의 한 점에서 다른 점까지의 거리라고 합니다.
강의 54. 평면에서 기하학적 도형의 속성
4. 삼각형, 사각형, 다각형. 삼각형, 직사각형, 평행사변형, 사다리꼴의 면적에 대한 공식.
5. 둘레, 원.
삼각형
삼각형은 가장 단순한 기하학적 모양 중 하나입니다. 그러나 그의 연구는 측정의 실질적인 필요성에서 비롯된 전체 과학 - 삼각법을 일으켰습니다. 토지 플롯, 지역의 지도를 작성하고 다양한 메커니즘을 설계합니다.
삼각형하나의 직선에 있지 않은 세 개의 점과 쌍으로 연결하는 세 개의 세그먼트로 구성된 기하학적 도형이 호출됩니다.
모든 삼각형은 평면을 내부와 외부의 두 부분으로 나눕니다. 삼각형과 그 내부 영역으로 구성된 모양을 삼각형(또는 평평한 삼각형)이라고도 합니다.
모든 삼각형에서 측면, 각도, 높이, 이등분선, 중앙값, 중간선과 같은 요소가 구별됩니다.
꼭짓점 A에서 삼각형 ABC의 각도는 반선 AB와 AC가 이루는 각도입니다.
키주어진 꼭짓점에서 떨어진 삼각형을 이 꼭짓점에서 반대쪽을 포함하는 직선으로 그린 수직선이라고 합니다.
이등분삼각형은 꼭짓점을 반대쪽의 한 점과 연결하는 삼각형 각의 이등분선의 선분이라고합니다.
중앙값주어진 꼭짓점에서 그린 삼각형의 한 꼭짓점과 반대쪽 변의 중간을 연결하는 선분이라고 합니다.
중간 라인삼각형은 두 변의 중점을 연결하는 선분입니다.
삼각형은 대응하는 변과 대응하는 각이 있으면 같다고 합니다. 이 경우 해당 모서리는 해당 면의 반대쪽에 있어야 합니다.
실제로 및 이론적 구성에서 삼각형의 평등 표시가 종종 사용되어 삼각형 간의 관계에 대한 질문에 더 빠른 솔루션을 제공합니다. 다음과 같은 세 가지 징후가 있습니다.
1. 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각이 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 각각 같으면 그 삼각형은 같습니다.
2. 한 삼각형의 변과 그것에 인접한 각이 다른 삼각형의 변과 그것에 인접한 각과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다.
3. 한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다.
삼각형이라고 한다 이등변두 변이 같은 경우. 이 같은 변을 측면이라고 하고 세 번째 변을 삼각형의 밑변이라고 합니다.
이등변 삼각형에는 다음과 같은 여러 속성이 있습니다.
이등변 삼각형에서 밑변에 그려진 중앙값은 이등분선과 높이입니다.
삼각형의 몇 가지 속성에 주목합시다.
1. 삼각형의 각의 합은 180º입니다.
이 속성은 모든 삼각형에서 최소한 두 개의 각이 예각임을 의미합니다.
2. 중간 선두 변의 중점을 연결하는 삼각형의 한 변은 세 번째 변의 절반과 평행하고 같습니다.
3. 모든 삼각형에서 각 변은 다른 두 변의 합보다 작습니다.
직각 삼각형의 경우 피타고라스 정리가 참입니다. 빗변의 제곱 합과 같다다리의 사각형.
사각형
사각형 4개의 점과 이들을 연결하는 4개의 연속적인 선분으로 구성된 도형이라고 하며, 이 점 중 3개도 하나의 직선 위에 놓이지 않아야 하며, 이들을 연결하는 선분은 교차하지 않아야 합니다. 이 점을 사변형의 꼭짓점이라고 하고, 두 점을 연결하는 선분을 변이라고 합니다.
모든 사각형은 평면을 내부와 외부의 두 부분으로 나눕니다. 사변형과 그 내부 영역으로 이루어진 모양을 사변형(또는 평평한 사변형)이라고도 합니다.
사변형의 꼭짓점은 한 변의 끝인 경우 인접이라고 합니다. 인접하지 않은 정점을 반대 정점이라고 합니다. 사변형의 반대쪽 꼭짓점을 연결하는 선분을 대각선.
한 꼭짓점에서 나가는 사변형의 변을 인접면이라고 합니다. 공통 끝이 없는 면을 반대 면이라고 합니다. 사변형 ABCD에서 꼭짓점 A와 B는 반대이고 변 AB와 BC는 인접하고 BC와 AD는 반대입니다. 세그먼트 AC 및 BD는 주어진 사각형의 대각선입니다.
사각형은 볼록하고 볼록하지 않습니다. 따라서 사각형 ABCD는 볼록하고 사각형 KPMT는 볼록하지 않습니다. 볼록 사각형 중에서 평행 사변형과 사다리꼴이 구별됩니다.
평행사변형은 마주보는 변이 평행한 사변형입니다.
ABCD를 평행사변형이라고 하자. 꼭짓점 B에서 선 AD까지 수직 BE를 인정합니다. 그런 다음 세그먼트 BE를 변 BC와 AD에 해당하는 평행 사변형의 높이라고합니다. 부분
미디엄 
CM - CD와 AB의 측면에 해당하는 평행 사변형의 높이.
평행 사변형의 인식을 단순화하기 위해 다음 기능이 고려됩니다. 사변형의 대각선이 교차하고 교차점이 절반이면 이 사변형은 평행 사변형입니다.
정의에 포함되지 않은 평행 사변형의 여러 속성은 정리의 형태로 공식화되고 증명됩니다. 그 중:
1. 평행 사변형의 대각선이 교차하고 교차점이 절반입니다.
2. 평행사변형에서 마주보는 변과 마주보는 각은 같다.
이제 사다리꼴의 정의와 그 주요 속성을 살펴보겠습니다.
사다리꼴마주보는 두 변만 평행한 사각형이라고 합니다.
이 평행한 변을 사다리꼴의 밑변이라고 합니다. 다른 두 면을 측벽이라고 합니다.
변의 중점을 연결하는 선분을 사다리꼴의 정중선이라고 합니다.
사다리꼴의 중간 선에는 속성이 있습니다. 밑변과 평행하고 그 절반의 합과 같습니다.
많은 평행사변형 중에서 직사각형과 마름모가 구별됩니다.
직사각형모든 각이 직선인 평행사변형이라고 합니다.
이 정의에 따라 직사각형의 대각선이 동일함을 증명할 수 있습니다.
마름모모든면이 동일한 평행 사변형이라고합니다.
이 정의를 사용하여 마름모의 대각선이 직각으로 교차하고 각의 이등분선임을 증명할 수 있습니다.
사각형은 사각형 집합에서 선택됩니다.
정사각형은 모든 변이 같은 직사각형입니다.
정사각형의 변이 같으므로 마름모이기도 합니다. 따라서 정사각형은 직사각형과 마름모의 속성을 가지고 있습니다.
다각형
삼각형과 사각형의 개념을 일반화하면 다각형의 개념입니다. 그것은 파선의 개념을 통해 정의됩니다.
파선 А₁А₂А₃ ... An은 점 А₁, А₂, А₃, ..., Аn과 이들을 연결하는 선분 А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn으로 구성된 그림입니다. 점 А₁, А₂, А₃,…
파선에 자체 교차점이 없으면 단순이라고 합니다. 끝이 일치하면 닫힘이라고합니다. 그림에 표시된 파선은 다음과 같이 말할 수 있습니다. b) - 단순 폐쇄; c) - 단순하지 않은 닫힌 폴리라인.
a b c)
파선의 길이는 링크 길이의 합입니다.
파선의 길이는 끝을 연결하는 세그먼트의 길이보다 작지 않은 것으로 알려져 있습니다.
다각형인접한 링크가 하나의 직선에 있지 않으면 단순 폐쇄 파선이 호출됩니다.
폴리라인의 꼭짓점을 폴리곤의 꼭짓점이라고 하고, 그 링크를 변이라고 합니다. 인접하지 않은 정점을 연결하는 선분을 대각선이라고 합니다.
모든 다각형은 평면을 두 부분으로 나눕니다. 그 중 하나는 내부 영역이라고하고 다른 하나는 다각형 (또는 평평한 다각형)의 외부 영역입니다.
볼록한 다각형과 볼록하지 않은 다각형을 구별합니다.
볼록 다각형은 모든 변이 있고 모든 각도가 같으면 정다각형이라고 합니다.
정삼각형은 정삼각형, 정사각형은 정사각형입니다.
주어진 꼭짓점에서 볼록 다각형의 각도는 이 꼭짓점에서 수렴하는 변에 의해 형성된 각도입니다.
볼록 n각형의 각의 합은 180º(n - 2)인 것으로 알려져 있습니다.
기하학에서 볼록 및 비 볼록 다각형 외에도 다각형 그림도 고려됩니다.
다각형 도형은 유한한 다각형 집합의 합집합입니다.
나 B 다)
다각형 모양을 구성하는 다각형에는 공통 내부 점이 없을 수 있으며 공통 내부 점이 있을 수 있습니다.
다각형 도형 F는 다각형 도형의 합집합이며 도형 자체에 공통 내부 점이 없는 경우 다각형 도형으로 구성된다고 합니다. 예를 들어, 그림 a)와 c)에 나타난 다각형에 대해 두 개의 다각형으로 구성되거나 두 개의 다각형으로 분할된다고 말할 수 있습니다.
원과 원
둘레로주어진 점에서 같은 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성된 도형이라고 합니다. 센터.
원의 한 점을 중심으로 연결하는 모든 선분을 원의 반지름이라고 합니다. 반지름원의 임의의 점에서 중심까지의 거리라고도 합니다.
원의 두 점을 연결하는 선분을 현... 중심을 지나는 현을 화음이라고 한다. 지름.
원은 주어진 점에서 주어진 점보다 크지 않은 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성된 그림입니다. 이 점을 원의 중심이라고 하고 이 거리를 원의 반지름이라고 합니다.
원의 경계는 중심과 반지름이 같은 원입니다.
원과 원의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.
그들은 하나가 있으면 선과 원이 닿는다고 말합니다. 공통점... 이러한 직선을 접선이라고 하고, 직선과 원의 공통점을 접선점이라고 합니다. 직선이 원에 닿으면 접선점에 그려진 반지름에 수직임을 증명합니다. 그 반대도 마찬가지입니다(그림 A).
원의 중심각은 중심에 꼭지점이 있는 평평한 각입니다. 평평한 각 내부에 위치한 원의 일부를 이 중심각에 해당하는 원호라고 합니다(그림 B).
꼭지점이 원 위에 있고 측면이 교차하는 각도를이 원에 내접한다고합니다 (그림 C).
원에 내접한 각은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 해당 중심각의 절반과 같습니다. 특히 지름을 기준으로 한 모서리가 직선입니다.
삼각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 삼각형에 외접한 원이라고 합니다.
삼각형 주위의 원을 설명하려면 중심을 찾아야 합니다. 그것을 찾는 규칙은 다음 정리에 의해 정당화됩니다.
삼각형에 외접하는 원의 중심은 이 변의 중점을 통해 그린 변에 수직인 교차점입니다(그림 A).
원이 모든면에 닿으면 삼각형에 내접이라고합니다.
이러한 원의 중심을 찾는 규칙은 다음 정리에 의해 정당화됩니다.
삼각형에 내접하는 원의 중심은 이등분선의 교점입니다(그림 B)
따라서, 중간 수직그리고 이등분선은 각각 한 점에서 교차합니다. 기하학에서 삼각형의 중선은 한 점에서 교차한다는 것이 입증되었습니다. 이 점을 삼각형의 무게중심이라고 하고, 높이의 교차점을 직교중심이라고 합니다.
따라서 모든 삼각형에는 4가 있습니다. 멋진 포인트: 무게중심, 내접중심, 외접중심, 직교중심.
원은 모든 정다각형을 중심으로 설명할 수 있고, 원은 모든 정다각형에 내접할 수 있으며 외접원과 내접원의 중심이 일치합니다.
다섯 번째 가정. 유클리드 이외의 기하학 발견.
기하학을 구성하려면 몇 가지 위치만 선택하고 실습에서 직접 가져오고 논리적 추론을 사용하여 나머지 필요한 추론을 얻는 것으로 충분합니다. 규정은 공리라고 해야 하며, 그 결과는 정리입니다. 고대 그리스 기하학자 알렉산드리아의 유클리드(Euclid of Alexandria)는 공리를 나열한 "시작"이라는 작품의 저자이며, 그 중 5가지가 있습니다.
- 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있습니다.
- 직선은 양방향으로 계속될 수 있습니다.
- 임의의 반지름을 가진 임의의 점 주위에 원을 그릴 수 있습니다.
- 모든 직각은 서로 같습니다.
- 세 번째와 교차하는 평면의 두 직선이 내부 단각을 형성하고 그 합이 두 직각보다 작 으면이 직선이 교차합니다 (또 다른 공식 : 평면에서 위의 한 점을 통과하는 주어진 직선에서 하나의 직선만 주어진 )에 평행하게 그릴 수 있습니다.
V POSTULATE의 공식화
다섯 번째 가정은 다음과 같이 말합니다.
두 직선 a와 b가 형성되면 세 번째 직선과 교차할 때 내부 단변 각도 a와 b, 값의 합이 두 직각 미만(즉, 180° 미만; 그림 1), 이 두 직선은 교차해야 하며 각도 a와 b가 위치한 세 번째 직선의 측면과 함께 있습니다(함께 180° 미만임).
마지막 다섯 번째 가정은 스스로를 끌어들였다. 특별한 주의, 그것은 훨씬 더 어렵게 공식화되었고 다른 것들처럼 직관적이지 않았기 때문입니다. 가정의 문제 V는 1862년에 발견한 뛰어난 러시아 수학자 Nikolai Ivanovich Lobachevsky(1792-1856)인 Kazan University의 교수에 의해 처음 해결되었습니다. "쌍곡선"이라고도 하는 최초의 비유클리드 기하학.
평행성 유클리드 공리와 무관한 기하학 정리 모음 , 헝가리 수학자 Janos Boyai는 "절대" 기하학 . 나머지 모든 정리, 그게 그거다 , 우리가 V 가정에 직간접적으로 의존하는 증명에서, 적절한 유클리드 기하학.
비유클리드 기하학 중에서 다음을 구별할 수 있습니다.
- Lobachevsky, Gauss, Boyai의 기하학. 직선 a 외부의 점 A를 통과하는 평면에서 주어진 직선에 평행한 직선을 1개 이상 그릴 수 있습니다.
- 구형 기하학. 천문학의 과제와 관련하여 고대에 기본 사실이 연구 된 구 표면의 기하학. 사실 지구의 표면은 거의 규칙적인 구이므로 곡면 조건에서 계산의 정확성을 보장하기 위해 기하학이 필요했습니다.
- 리만 기하학. 구형 기하학을 기반으로 합니다. Riemann은 정리와 공리의 목록을 크게 확장했습니다. 리만의 기하학은 세 가지 "위대한 기하학"(Euclid, Lobachevsky 및 Riemann) 중 하나입니다. 유클리드 기하학이 일정한 음의 곡률을 갖는 일정한 0 가우스 곡률, Lobachevsky - 일정한 음의 곡률을 갖는 표면에서 실현된다면, 리만 기하학은 일정한 양의 가우스 곡률을 갖는 표면에서 실현됩니다. 리만 기하학에서 직선은 2개의 점, 1개의 평면으로 정의됩니다. 3개의 면, 2개의 평면이 직선에서 교차하는 등이지만 이 점을 통해 직선에 평행한 것을 그리는 것은 불가능합니다. 특히이 기하학에는 정리가 있습니다. 삼각형의 각도의 합은 두 개 이상의 직선입니다. 역사적으로 Riemann의 기하학은 다른 두 기하학보다 늦게 나타났습니다(1854년). Riemann의 기하학은 구면 기하학과 유사하지만 두 개의 "선"이 구에서와 같이 두 개가 아니라 단 하나의 교차점을 갖는다는 점에서 다릅니다. 따라서 때때로 Riemann의 기하학은 반대 점이 식별되는 구의 기하학이라고합니다. 따라서 투영 평면은 구에서 얻습니다.
V 공리의 특별한 역할, 그것의 더 큰 복잡성 및 덜 명확성(다른 공리와 비교하여)은 후세기의 수학자들이 이 가정을 정리로 증명하려고 시도하기 시작했다는 사실로 이어졌습니다. 그들 중 일부는 새로운 진술을 추가하지 않고 유클리드의 나머지 공리로부터 이 가정을 추론하려고 했습니다. 그러나 다른 사람들은 공개적으로 V 공리를 다른 공리로 대체했으며, 이는 더 간단하고 명확하다고 생각했습니다. 물론 새로운 공리에는 가정 V에 해당하는 진술이 포함되어 있습니다. 그러나 V 공리가 공개적으로 다른 공리로 대체되지 않은 증명의 분석은 V 공리와 동등한 진술이 여기서도 사용되었음을 보여주지만 이것은 증거 작성자가 눈치채지 못한 채 묵시적으로 수행된 것입니다.
다섯 번째 가정의 중요성은 과대평가될 수 없습니다. 왜냐하면 우리에게 알려진 두 기하학 중 어느 것도 그것 없이는 하지 못했을 것이기 때문입니다. 다섯 번째 가정이 과학자들에 의해 고려되지 않았다면 그러한 가정은 없었을 것입니다. 가장 위대한 발견, 비유클리드 기하학의 도움으로 사람들은 공간에 대한 새로운 이해를 얻었습니다. 모든 것이 시작된 것은 다섯 번째 가정과 함께였습니다. 그는 과학의 출발점이자 엔진입니다.
직관은 유클리드 기하학과 비유클리드 기하학 모두 본격적인 수학의 예라고 지시했습니다.
기본 기하학적 모양의 정의와 속성.
기본 속성
1. 한 삼각형의 각도가 다른 삼각형의 각도와 같으면 이 삼각형의 면적은 같은 각도를 포함하는 변의 곱으로 관련됩니다.
2. 높이가 같은 삼각형의 넓이의 비율은 이 높이에 해당하는 밑변의 비율과 같습니다.
3. 밑변이 공통인 삼각형의 면적의 비율은 삼각형의 이러한 변에 해당하는 높이의 비율과 같습니다.
4. 이러한 삼각형에서 유사한 요소는 내접원과 외접원의 반지름, 삼각형의 둘레, 면적의 제곱근에 비례합니다.
5. 내접원의 반지름은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.
6. 사인과 코사인의 정리를 사용하여 외접원의 반지름을 찾는 것이 편리합니다.
7. 각 중앙값은 삼각형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
8. 세 개의 중선은 삼각형을 6개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
9. 이등분선의 교점은 다음에 대해 이등분선을 나눕니다.
이등분선이 세 번째 변으로 그려지는 각도를 형성하는 변의 합.
10. 삼각형과 변의 중앙값은 다음 공식으로 연결됩니다.
11. 삼각형의 변에 평행하고 다른 두 개를 교차하는 직선은 그 삼각형에서 이와 같은 삼각형을 잘라냅니다.
12. 각 B와 C의 이등분선 삼각형 ABC그런 다음 점 M에서 교차합니다.
13. 인접한 각의 이등분선 사이의 각도는 90입니다.
14. M이 삼각형 ABC에 내접하는 원의 변 AC와 접하는 점이라면 삼각형의 반둘레는 어디에 있습니까?
15. 원은 삼각형 ABC의 변 BC와 변 AB와 AC의 연장선에 닿습니다. 그런 다음 꼭짓점 A에서 직선 AB가있는 원의 접선 점까지의 거리는 삼각형 ABC의 반둘레와 같습니다.
16. 삼각형 ABC에 내접한 원이 K, L, M 지점에서 각각 변 AB, BC, AC와 접합니다. 그렇다면.
17.메넬라우스의 정리.주어진 삼각형 ABC. 일부 직선은 각각 점 C1, A1, B1에서 변 AB, BC 및 AC 변의 연속과 교차합니다. 그 다음에
18.체바의 정리.점 A1, B1 및 C1이 삼각형 ABC의 변 BC, AC 및 AB에 각각 속한다고 하자. 세그먼트 AA1, BB1 및 CC1은 다음 경우에만 한 지점에서 교차합니다.
19.슈타이너-레무스 정리.삼각형의 두 이등분선이 같으면 이등변입니다.
20.스튜어트의 정리.그러면 점 D는 ABC 삼각형의 BC 쪽에 위치합니다.
21. 쓰이지 않은 원은 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접하는 원입니다.
22. 각 삼각형에 대해 삼각형 외부에 있는 3개의 제외된 원이 있습니다.
23. 외원의 중심은 삼각형의 외부 모서리의 이등분선과 내부의 이등분선의 교차점이며, 이 두 외부 모서리에 인접하지 않습니다.
24. 원이 삼각형 ABC의 변 BC와 변 AB와 AC의 연장선에 닿는 경우. 그런 다음 꼭짓점 A에서 직선 AB가있는 원의 접선 점까지의 거리는 삼각형 ABC의 반둘레와 같습니다.
빌드 작업.
면적측정평면상의 도형을 연구하는 기하학의 한 부분입니다.
Planimetry로 연구한 수치:
3. 평행사변형(특수한 경우: 정사각형, 직사각형, 마름모)
4. 사다리꼴
5. 둘레
6. 삼각형
7. 다각형
1) 포인트:
기하학, 위상수학 및 수학의 관련 분야에서 점은 부피도 면적도 길이도 다른 어떤 것도 없는 공간의 추상적인 대상이라고 합니다. 유사한 특성큰 치수. 따라서 점을 0차원 객체라고 합니다. 요점은 수학의 기본 개념 중 하나입니다.
유클리드 기하학의 점:
점은 기하학의 기본 개념 중 하나이므로 "점"에는 정의가 없습니다. 유클리드는 점을 나눌 수 없는 것으로 정의했습니다.
직선은 기하학의 기본 개념 중 하나입니다.
기하학적 직선(직선) - 양쪽이 열리고 곡선이 아닌 확장된 기하학적 개체, 횡단면이는 0이 되는 경향이 있고 평면에 대한 세로 투영은 점을 제공합니다.
기하학의 체계적인 표현에서 직선은 일반적으로 기하학의 공리에 의해 간접적으로 결정되는 초기 개념 중 하나로 간주됩니다.
기하학을 구성하는 기초가 공간의 두 점 사이의 거리 개념이라면 직선은 두 점 사이의 거리와 같은 경로로 선으로 정의할 수 있습니다.
3) 평행사변형:
평행 사변형은 반대쪽이 쌍으로 평행 한 사각형, 즉 평행선 위에 있습니다. 평행사변형의 특별한 경우는 직사각형, 정사각형 및 마름모입니다.
특수한 상황들:
정사각형- 모든 각이 직선인 정사변형 또는 마름모 또는 모든 변과 각이 동일한 평행사변형.
정사각형은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.: 인접한 두 변이 같은 직사각형
모든 모서리가 직선인 마름모(모든 정사각형은 마름모이지만 모든 마름모가 정사각형은 아님).
직사각형모든 각도가 직선인 평행사변형(90도)입니다.
마름모는 모든 변이 동일한 평행사변형입니다. 직각인 마름모를 정사각형이라고 합니다.
4) 사다리꼴:
사다리꼴- 정확히 한 쌍의 마주보는 변이 평행한 사각형.
1. 변이 같지 않은 사다리꼴,
~라고 불리는 변하기 쉬운 .
2. 측면이 동일한 사다리꼴을 호출합니다. 이등변
3. 한 변이 밑변과 직각을 이루는 사다리꼴을 직사각형 .
사다리꼴 측면의 중점을 연결하는 선분을 중간 선사다리꼴(MN). 사다리꼴의 중간선은 밑면과 평행하고 그 절반의 합과 같습니다.
사다리꼴은 잘린 삼각형이라고 할 수 있으므로 사다리꼴의 이름은 삼각형의 이름과 유사합니다(삼각형은 다용도, 이등변, 직사각형).
5) 둘레:
원- 반경이라고 하는 0이 아닌 주어진 거리에서 중심이라고 하는 주어진 점에서 등거리에 있는 평면의 점의 궤적.
6) 삼각형:
삼각형- 3개의 꼭짓점(모서리)과 3개의 면이 있는 가장 단순한 다각형 3개의 점으로 둘러싸인 평면의 일부와 이 점을 쌍으로 연결하는 3개의 선분.
7) 다각형:
다각형닫힌 폴리라인으로 정의된 기하학적 도형입니다. 세 가지가 있습니다 다른 옵션정의:
평평한 닫힌 폴리라인;
자기 교차가 없는 평면 닫힌 다각형 선;
다각형으로 둘러싸인 평면의 일부입니다.
폴리라인의 꼭짓점을 폴리곤의 꼭짓점이라고 하고 선분을 폴리곤의 측면이라고 합니다.
선과 점의 기본 속성:
1. 선이 무엇이든 이 선에 속하고 속하지 않는 점이 있습니다.
두 점을 지나는 직선은 하나만 그릴 수 있습니다.
2. 직선 위의 세 점 중 두 점 사이에 한 점만 놓여 있습니다.
3. 각 세그먼트에는 0보다 큰 특정 길이가 있습니다. 세그먼트의 길이는 세그먼트를 임의의 점으로 나눈 부분의 길이의 합과 같습니다.
6. 시작점의 반선에서 주어진 길이의 세그먼트를 하나만 놓을 수 있습니다.
7. 임의의 반선에서 주어진 반면으로 180 ° 미만의 주어진 각도로 각도를 연기 할 수 있습니다. 단 하나.
8. 삼각형이 무엇이든 주어진 반선을 기준으로 주어진 위치에 동일한 삼각형이 있습니다.
삼각형 속성:
삼각형의 변과 각의 관계:
1) 큰 면에 대해 더 큰 각도가 있습니다.
2) 더 큰 변은 더 큰 각의 반대편에 있습니다.
3) 같은 변에 대해 같은 각이 있고, 반대로 등각거짓말하다 등변.
삼각형의 안쪽 모서리와 바깥쪽 모서리의 비율:
1) 둘의 합 내부 모서리삼각형은 바깥쪽 모서리세 번째 모서리에 인접한 삼각형.
2) 삼각형의 변과 각은 사인의 정리와 코사인의 정리라고 하는 관계로도 연결됩니다.
삼각형이라고 한다 둔각, 직사각형 또는 예각 , 최대 내각이 이에 상응하여 90°보다 크거나 작으면.
중간 라인삼각형의 는 삼각형의 두 변의 중점을 연결하는 선분입니다.
삼각형 중심선 속성:
1) 삼각형의 중선을 포함하는 선은 삼각형의 세 번째 변을 포함하는 선과 평행합니다.
2) 삼각형의 정중선은 세 번째 변의 절반입니다.
3) 삼각형의 가운데 선은 삼각형에서 유사한 삼각형을 잘라냅니다.
직사각형 속성:
1) 마주보는 변이 서로 평행하고 평행하다.
2) 대각선은 동일하고 교차점에서 반으로 나뉩니다.
3) 대각선의 제곱의 합은 모든 (4) 변의 제곱의 합과 같습니다.
4) 같은 크기의 직사각형으로 평면을 완전히 포장할 수 있습니다.
5) 직사각형은 두 가지 방법으로 두 개의 동일한 직사각형으로 나눌 수 있습니다.
6) 직사각형은 두 개의 동일한 직사각형 삼각형으로 나눌 수 있습니다.
7) 원은 직사각형 주위에 설명될 수 있으며, 그 지름은 직사각형의 대각선과 같습니다.
8) 원(정사각형 제외)이 모든 변에 닿도록 직선으로 내접는 것은 불가능합니다.
평행사변형 속성:
1) 평행사변형의 대각선의 중점은 대칭의 중심이다.
2) 평행사변형의 반대변은 같다.
3) 평행사변형의 반대각은 같다.
4) 평행 사변형의 각 대각선은 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
5) 평행 사변형의 대각선은 교차점에 의해 반으로 나뉩니다.
6) 평행 사변형의 대각선 제곱의 합(d1 및 d2)은 모든 변의 제곱의 합과 같습니다. d21 + d22 = 2 (a2 + b2)
와 함께 사각형의 속성:
1) 정사각형의 모든 모서리는 직선이고 정사각형의 모든면은 동일합니다.
2) 정사각형의 대각선은 동일하고 직각으로 교차합니다.
3) 정사각형의 대각선은 모서리를 반으로 나눕니다.
다이아몬드 속성:
1. 마름모의 대각선은 마름모를 두 개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.
2. 교차점에서 마름모의 대각선은 절반입니다.
3. 마름모의 마주보는 변은 서로 같고, 마주보는 각도 같다.
또한 마름모에는 다음과 같은 속성도 있습니다.
a) 마름모의 대각선은 서로 수직입니다.
b) 마름모의 대각선은 각도를 반으로 나눕니다.
원 속성:
1) 직선은 원과 공통점이 없을 수 있습니다. 원(접선)과 한 점을 공유합니다. 두 가지 공통점이 있습니다(시컨트).
2) 하나의 직선 위에 있지 않은 세 점을 통해 원을 그리고 또 하나만 그릴 수 있습니다.
3) 두 원의 접선점은 두 원의 중심을 연결하는 선에 있습니다.
다각형 속성:
1) 평평한 볼록 n각형의 내각의 합은 다음과 같습니다.
2) n각형의 대각선의 개수는 동일합니다.
3) 다각형의 변과 그 사이의 각도의 사인을 곱한 값은 다각형의 면적과 같습니다.
4. 삼각형, 사각형, 다각형. 삼각형, 직사각형, 평행사변형, 사다리꼴의 면적에 대한 공식.
5. 둘레, 원.
- 삼각형
삼각형은 가장 단순한 기하학적 모양 중 하나입니다. 그러나 그 연구는 토지 플롯을 측정하고, 지역의 지도를 작성하고, 다양한 메커니즘을 설계하는 실제적인 요구에서 비롯된 삼각법이라는 전체 과학을 일으켰습니다.
삼각형하나의 직선에 있지 않은 세 개의 점과 쌍으로 연결하는 세 개의 세그먼트로 구성된 기하학적 도형이 호출됩니다.
모든 삼각형은 평면을 내부와 외부의 두 부분으로 나눕니다. 삼각형과 그 내부 영역으로 구성된 모양을 삼각형(또는 평평한 삼각형)이라고도 합니다.
모든 삼각형에서 측면, 각도, 높이, 이등분선, 중앙값, 중간선과 같은 요소가 구별됩니다.
꼭짓점 A에서 삼각형 ABC의 각도는 반선 AB와 AC가 이루는 각도입니다.
키주어진 꼭짓점에서 떨어진 삼각형을 이 꼭짓점에서 반대쪽을 포함하는 직선으로 그린 수직선이라고 합니다.
이등분삼각형은 꼭짓점을 반대쪽의 한 점과 연결하는 삼각형 각의 이등분선의 선분이라고합니다.
중앙값주어진 꼭짓점에서 그린 삼각형의 한 꼭짓점과 반대쪽 변의 중간을 연결하는 선분이라고 합니다.
중간 라인삼각형은 두 변의 중점을 연결하는 선분입니다.
삼각형은 대응하는 변과 대응하는 각이 있으면 같다고 합니다. 이 경우 해당 모서리는 해당 면의 반대쪽에 있어야 합니다.
실제로 및 이론적 구성에서 삼각형의 평등 표시가 종종 사용되어 삼각형 간의 관계에 대한 질문에 더 빠른 솔루션을 제공합니다. 다음과 같은 세 가지 징후가 있습니다.
1. 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각이 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 각각 같으면 그 삼각형은 같습니다.
2. 한 삼각형의 변과 그것에 인접한 각이 다른 삼각형의 변과 그것에 인접한 각과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다.
3. 한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 각각 같으면 그러한 삼각형은 같습니다.
삼각형이라고 한다 이등변두 변이 같은 경우. 이 같은 변을 측면이라고 하고 세 번째 변을 삼각형의 밑변이라고 합니다.
이등변 삼각형에는 다음과 같은 여러 속성이 있습니다.
이등변 삼각형에서 밑변에 그려진 중앙값은 이등분선과 높이입니다.
삼각형의 몇 가지 속성에 주목합시다.
1. 삼각형의 각의 합은 180º입니다.
이 속성은 모든 삼각형에서 최소한 두 개의 각이 예각임을 의미합니다.
2. 두 변의 중점을 연결하는 삼각형의 중간 선은 세 번째 변과 평행하고 그 절반과 같습니다.
3. 모든 삼각형에서 각 변은 다른 두 변의 합보다 작습니다.
직각 삼각형의 경우 피타고라스 정리가 참입니다. 빗변의 제곱은 다리의 제곱의 합과 같습니다.
- 사각형
사각형 4개의 점과 이들을 연결하는 4개의 연속적인 선분으로 구성된 도형이라고 하며, 이 점 중 3개도 하나의 직선 위에 놓이지 않아야 하며, 이들을 연결하는 선분은 교차하지 않아야 합니다. 이 점을 사변형의 꼭짓점이라고 하고, 두 점을 연결하는 선분을 변이라고 합니다.
모든 사각형은 평면을 내부와 외부의 두 부분으로 나눕니다. 사변형과 그 내부 영역으로 이루어진 모양을 사변형(또는 평평한 사변형)이라고도 합니다.
사변형의 꼭짓점은 한 변의 끝인 경우 인접이라고 합니다. 인접하지 않은 정점을 반대 정점이라고 합니다. 사변형의 반대쪽 꼭짓점을 연결하는 선분을 대각선.
한 꼭짓점에서 나가는 사변형의 변을 인접면이라고 합니다. 공통 끝이 없는 면을 반대 면이라고 합니다. 사변형 ABCD에서 꼭짓점 A와 B는 반대이고 변 AB와 BC는 인접하고 BC와 AD는 반대입니다. 세그먼트 AC 및 BD는 주어진 사각형의 대각선입니다.
사각형은 볼록하고 볼록하지 않습니다. 따라서 사각형 ABCD는 볼록하고 사각형 KPMT는 볼록하지 않습니다. 볼록 사각형 중에서 평행 사변형과 사다리꼴이 구별됩니다.
평행사변형은 마주보는 변이 평행한 사변형입니다.
ABCD를 평행사변형이라고 하자. 꼭짓점 B에서 선 AD로 수직 BE를 떨어뜨리자. 그런 다음 세그먼트 BE를 변 BC와 AD에 해당하는 평행 사변형의 높이라고합니다. 부분
미디엄 
CM - 변 CD와 AB에 해당하는 평행 사변형의 높이.
평행 사변형의 인식을 단순화하기 위해 다음 기능이 고려됩니다. 사변형의 대각선이 교차하고 교차점이 절반이면 이 사변형은 평행 사변형입니다.
정의에 포함되지 않은 평행 사변형의 여러 속성은 정리의 형태로 공식화되고 증명됩니다. 그 중:
1. 평행 사변형의 대각선이 교차하고 교차점이 절반입니다.
2. 평행사변형에서 마주보는 변과 마주보는 각은 같다.
이제 사다리꼴의 정의와 그 주요 속성을 살펴보겠습니다.
사다리꼴마주보는 두 변만 평행한 사각형이라고 합니다.
이 평행한 변을 사다리꼴의 밑변이라고 합니다. 다른 두 면을 측벽이라고 합니다.
변의 중점을 연결하는 선분을 사다리꼴의 정중선이라고 합니다.
사다리꼴의 중간 선에는 속성이 있습니다. 밑변과 평행하고 그 절반의 합과 같습니다.
많은 평행사변형 중에서 직사각형과 마름모가 구별됩니다.
직사각형모든 각이 직선인 평행사변형이라고 합니다.
이 정의에 따라 직사각형의 대각선이 동일함을 증명할 수 있습니다.
마름모모든면이 동일한 평행 사변형이라고합니다.
이 정의를 사용하여 마름모의 대각선이 직각으로 교차하고 각의 이등분선임을 증명할 수 있습니다.
사각형은 사각형 집합에서 선택됩니다.
정사각형은 모든 변이 같은 직사각형입니다.
정사각형의 변이 같으므로 마름모이기도 합니다. 따라서 정사각형은 직사각형과 마름모의 속성을 가지고 있습니다.
- 다각형
삼각형과 사각형의 개념을 일반화하면 다각형의 개념입니다. 그것은 파선의 개념을 통해 정의됩니다.
파선 А₁А₂А₃ ... Аn은 점 А₁, А₂, А₃, ..., Аn과 이들을 연결하는 선분 А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn으로 구성된 그림입니다. 점 А₁, А₂, А₃, ..., Аn을 폴리라인의 꼭짓점이라고 하고 세그먼트 А₁А₂, А₂А₃, ..., Аn-₁Аn을 링크라고 합니다.
파선에 자체 교차점이 없으면 단순이라고 합니다. 끝이 일치하면 닫힘이라고합니다. 그림에 표시된 파선은 다음과 같이 말할 수 있습니다. b) - 단순 폐쇄; c) - 단순하지 않은 닫힌 폴리라인.
A B C)
파선의 길이는 링크 길이의 합입니다.
파선의 길이는 끝을 연결하는 세그먼트의 길이보다 작지 않은 것으로 알려져 있습니다.
다각형인접한 링크가 하나의 직선에 있지 않으면 단순 폐쇄 파선이 호출됩니다.
폴리라인의 꼭짓점을 폴리곤의 꼭짓점이라고 하고, 그 링크를 변이라고 합니다. 인접하지 않은 정점을 연결하는 선분을 대각선이라고 합니다.
모든 다각형은 평면을 두 부분으로 나눕니다. 그 중 하나는 내부 영역이라고하고 다른 하나는 다각형 (또는 평평한 다각형)의 외부 영역입니다.
볼록한 다각형과 볼록하지 않은 다각형을 구별합니다.
볼록 다각형은 모든 변이 있고 모든 각도가 같으면 정다각형이라고 합니다.
정삼각형은 정삼각형, 정사각형은 정사각형입니다.
주어진 꼭짓점에서 볼록 다각형의 각도는 이 꼭짓점에서 수렴하는 변에 의해 형성된 각도입니다.
볼록 n각형의 각의 합은 180º(n - 2)인 것으로 알려져 있습니다.
기하학에서 볼록 및 비 볼록 다각형 외에도 다각형 그림도 고려됩니다.
다각형 도형은 유한한 다각형 집합의 합집합입니다.
A B C)
다각형 모양을 구성하는 다각형에는 공통 내부 점이 없을 수 있으며 공통 내부 점이 있을 수 있습니다.
다각형 도형 F는 다각형 도형의 합집합이며 도형 자체에 공통 내부 점이 없는 경우 다각형 도형으로 구성된다고 합니다. 예를 들어, 그림 a)와 c)에 나타난 다각형에 대해 두 개의 다각형으로 구성되거나 두 개의 다각형으로 분할된다고 말할 수 있습니다.
- 원과 원
둘레로주어진 점에서 같은 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성된 도형이라고 합니다. 센터.
원의 한 점을 중심으로 연결하는 모든 선분을 원의 반지름이라고 합니다. 반지름원의 임의의 점에서 중심까지의 거리라고도 합니다.
원의 두 점을 연결하는 선분을 현... 중심을 지나는 현을 화음이라고 한다. 지름.
원은 주어진 점에서 주어진 점보다 크지 않은 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성된 그림입니다. 이 점을 원의 중심이라고 하고 이 거리를 원의 반지름이라고 합니다.
원의 경계는 중심과 반지름이 같은 원입니다.
원과 원의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.
선과 원이 한 점의 공통점이 있으면 접한다고 합니다. 이러한 직선을 접선이라고 하고, 직선과 원의 공통점을 접선점이라고 합니다. 직선이 원에 닿으면 접선점에 그려진 반지름에 수직임을 증명합니다. 그 반대도 마찬가지입니다(그림 A).
원의 중심각은 중심에 꼭지점이 있는 평평한 각입니다. 평평한 각 내부에 위치한 원의 일부를 이 중심각에 해당하는 원호라고 합니다(그림 B).
꼭지점이 원 위에 있고 측면이 교차하는 각도를이 원에 내접한다고합니다 (그림 C).
원에 내접한 각은 다음과 같은 속성을 갖습니다. 해당 중심각의 절반과 같습니다. 특히 지름을 기준으로 한 모서리가 직선입니다.
삼각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원을 삼각형에 외접한 원이라고 합니다.
삼각형 주위의 원을 설명하려면 중심을 찾아야 합니다. 그것을 찾는 규칙은 다음 정리에 의해 정당화됩니다.
삼각형에 외접하는 원의 중심은 이 변의 중점을 통해 그린 변에 수직인 교차점입니다(그림 A).
원이 모든면에 닿으면 삼각형에 내접이라고합니다.
이러한 원의 중심을 찾는 규칙은 다음 정리에 의해 정당화됩니다.
삼각형에 내접하는 원의 중심은 이등분선의 교점입니다(그림 B)
따라서 수직선과 이등분선은 각각 한 점에서 교차합니다. 기하학에서 삼각형의 중선은 한 점에서 교차한다는 것이 입증되었습니다. 이 점을 삼각형의 무게중심이라고 하고, 높이의 교차점을 직교중심이라고 합니다.
따라서 모든 삼각형에는 무게 중심, 내접 원과 외접 원의 중심, 직교 중심의 네 가지 주목할만한 점이 있습니다.
원은 모든 정다각형을 중심으로 설명할 수 있고, 원은 모든 정다각형에 내접할 수 있으며 외접원과 내접원의 중심이 일치합니다.
