čísla. Reálne čísla. Reálne čísla, racionálne čísla a iracionálne čísla Reálne čísla

Čísla - typy, pojmy a operácie, prirodzené a iné typy čísel.

Číslo je základný pojem matematiky, ktorý slúži na určovanie kvantitatívnych charakteristík, číslovanie, porovnávanie predmetov a ich častí. Na čísla sa dajú použiť rôzne aritmetické operácie: sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie, umocňovanie a iné.

Čísla zapojené do operácie sa nazývajú operandy. V závislosti od vykonanej akcie dostávajú rôzne mená. Vo všeobecnosti môže byť prevádzková schéma znázornená takto:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

V operácii delenia sa prvý operand nazýva deliteľný (toto je názov deleného čísla). Druhý (čím sa delí) je deliteľ a výsledkom je kvocient (ukazuje, koľkokrát je deliteľ väčší ako deliteľ).

Typy čísel

Do operácie delenia môžu byť zapojené rôzne čísla. Výsledok delenia môže byť celý alebo zlomkový. V matematike existujú tieto typy čísel:

Prirodzené čísla sú čísla používané na počítanie. Medzi nimi vyniká podmnožina prvočísel, ktorá má iba dvoch deliteľov: jedného a seba. Všetky ostatné, okrem 1, sa nazývajú zložené a majú viac ako dvoch deliteľov (príklady prvočísel: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19 atď.);
Celé čísla sú množinou záporných, kladných a nulových čísel. Pri delení jedného celého čísla druhým môže byť kvocient celý alebo reálny (zlomok). Medzi nimi môžeme rozlíšiť podmnožinu dokonalých čísel - rovnajúcu sa súčtu všetkých ich deliteľov (vrátane 1), okrem seba samého. Starí Gréci poznali iba štyri dokonalé čísla. Postupnosť dokonalých čísel: 6, 28, 496, 8128, 33550336 ... Doteraz nie je známe ani jedno nepárne dokonalé číslo;
Racionálne - reprezentovateľné ako zlomok a / b, kde a je čitateľ a b je menovateľ (podiel takýchto čísel sa zvyčajne nevypočítava);
Skutočné (skutočné) - obsahujúce celé číslo a zlomkové časti. Sada obsahuje racionálne a iracionálne čísla (reprezentované ako neperiodický nekonečný desatinný zlomok). Podiel takýchto čísel je spravidla skutočnou hodnotou.

S vykonávaním počtovej operácie – delenia sa spája viacero zvláštností. Na dosiahnutie správneho výsledku je dôležité im porozumieť:

Nemôžete deliť nulou (v matematike táto operácia nedáva zmysel);
Celočíselné delenie je operácia, v dôsledku ktorej sa vypočíta iba celá časť (v tomto prípade sa zlomková časť zahodí);
Výpočet zvyšku celočíselného delenia vám umožňuje získať celé číslo zostávajúce po dokončení operácie (napríklad pri delení 17 2 je celá časť 8, zvyšok je 1).

Koncept skutočného čísla: Reálne číslo- (skutočné číslo), akékoľvek nezáporné alebo záporné číslo alebo nula. Pomocou reálnych čísel sú vyjadrené merania každej fyzikálnej veličiny.

Reálny, alebo Reálne číslo vznikol z potreby merať geometrické a fyzikálne veličiny sveta. Okrem toho vykonávať operácie extrakcie koreňov, výpočet logaritmu, riešenie algebraických rovníc atď.

Prirodzené čísla vznikli rozvojom počítania a racionálne čísla s potrebou ovládať časti celku, potom reálne čísla (reálne) slúžia na meranie spojitých veličín. Rozšírenie zásoby čísel, o ktorých sa uvažuje, teda viedlo k množine reálnych čísel, ktorá sa okrem racionálnych čísel skladá z ďalších prvkov, tzv. iracionálne čísla.

Veľa reálnych čísel(označené R) sú množiny racionálnych a iracionálnych čísel dohromady.

Reálne čísla sa delia oracionálny a iracionálny.

Množina reálnych čísel označuje a často sa nazýva materiál alebo číselný rad... Reálne čísla sa skladajú z jednoduchých objektov: celý a racionálne čísla.

Číslo, ktoré možno zapísať ako pomer, kdem je celé číslo a n- prirodzené číslo, jeracionálne číslo.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť ľahko reprezentované ako konečný zlomok alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Príklad,

Nekonečné desatinné číslo, je to desatinný zlomok s nekonečným počtom číslic za desatinnou čiarkou.

Čísla, ktoré nemožno znázorniť, sú iracionálne čísla.

Príklad:

Akékoľvek iracionálne číslo možno ľahko znázorniť ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

Príklad,

Vytvárajú sa racionálne a iracionálne čísla súbor reálnych čísel. Všetky reálne čísla zodpovedajú jednému bodu súradnicovej priamky, ktorá je tzv číselný rad.

Pre číselné množiny sa používa nasledujúci zápis:

N- množina prirodzených čísel;
Z- množina celých čísel;
Q- množina racionálnych čísel;
R- súbor reálnych čísel.

Teória nekonečných desatinných zlomkov.

Reálne číslo je definované ako nekonečné desatinné miesto, t.j.:

± a 0, a 1 a 2 ... a n ...

kde ± je jeden zo symbolov + alebo -, znamienko čísla,

0 - kladné celé číslo,

a 1, a 2, ... a n, ... je postupnosť desatinných miest, t.j. prvky číselnej množiny {0,1,…9}.

Nekonečný desatinný zlomok možno vysvetliť ako číslo, ktoré sa nachádza na číselnej osi medzi racionálnymi bodmi, ako sú:

± a 0, a 1 a 2 ... a n a ± (a 0, a 1 a 2… a n +10 −n) pre všetkých n = 0,1,2, ...

Porovnávanie reálnych čísel ako nekonečných desatinných zlomkov prebieha bit po bite. Napríklad Predpokladajme, že sú dané 2 kladné čísla:

α = + a 0, a 1 a 2 ... a n ...

β = + b 0, b 1 b 2… b n…

Ak 0 0, potom α<β ; ak a 0 > b 0 potom α>β ... Kedy a 0 = b 0 prejdeme k porovnaniu ďalšej kategórie. Atď. Kedy α≠β , potom sa po konečnom počte krokov objaví prvá číslica n také že a n ≠ b n... Ak a n n, potom α<β ; ak a n> b n potom α>β .

Ale zároveň je nudné venovať pozornosť skutočnosti, že číslo a 0, a 1 a 2… a n (9) = a 0, a 1 a 2… a n +10 −n. Ak je teda záznam jedného z porovnávaných čísel, počínajúc od určitého miesta, periodický desatinný zlomok, ktorý má v období 9, potom ho treba nahradiť ekvivalentným záznamom s nulou v období.

Aritmetické operácie s nekonečnými desatinnými zlomkami sú nepretržitým pokračovaním zodpovedajúcich operácií s racionálnymi číslami. Napríklad, súčet reálnych čísel α a β je skutočné číslo α+β ktorý spĺňa nasledujúce podmienky:

∀ a', a'', b', b''∈ Q (a ′⩽ α ⩽ a "")∧ (b ′⩽ β ⩽ b""⇒ (a + b⩽ α + β ⩽ a " + b ")

Operácia násobenia nekonečných desatinných zlomkov je definovaná podobne.

Obrázok 3 Organizačná schéma

Organizačná schéma sa pridáva pomocou tlačidla Pridať schému alebo organizačnú schému, pôvodný test sa nahradí v jeho blokoch, po čom sa celý objekt vertikálne skomprimuje.

1.1 Program WordArt

Program je určený na zadávanie umeleckých nápisov do dokumentu, ich úpravu, umiestnenie do textu atď.

Vloženie objektu sa vykonáva takto:

kliknite ľavým tlačidlom myši na kľúč Pridať objektSlovočl, vyberte typ nápisu, stlačte kláves OK;

v okne, ktoré sa zobrazí Zmeniť textSlovné umenie nastavte typ, veľkosť a štýl písma (tučné, kurzíva), zadajte text a stlačte kláves OK.

objaví sa panel Slovné umenie, ktorý má tvar (obr. 4):

Obrázok 4 Panel s nástrojmi Slovné umenie

Panel obsahuje tlačidlá: Pridať objektSlovné umenie, Zmeniť text ..., ZbierkaSlovné umenie, Formát objektuSlovné umenie(farby a čiary, veľkosť, poloha na obrazovke, obal, kresba, nápis), Ponuka Text-Shape(formy nápisov) .Vertikálny text atď.

Veľkosť textu je možné zmeniť pomocou bielych kruhov v obryse výberu. Presúvanie textu sa vykonáva pomocou myši a musíte ho chytiť za stred alebo za čiaru obrysu výberu. Otáčanie objektu sa vykonáva pomocou zelených kruhov, sklon nápisu -

so žltými diamantmi. Farbu a ďalšie parametre objektu je možné zmeniť pomocou tlačidla Formát objektuSlovné umenie alebo z hlavného panela maľovanie, pomocou ktorého môžete dodatočne nastaviť efekty tieňovania a trojrozmernosti .

Napríklad názov novín „Znamya“ po zadaní a nastavení pomocou programu WordArt môže vyzerať takto (obr. 5):

Príklad 3

Obrázok 5 Nápis "Banner"

2 Vývoj nástenného oznámenia

Jeho vývoj využíva textové polia, ktoré sa vytvárajú pomocou tlačidla Nápis. Nápis je rám, "záplata", ktorá sa aplikuje na dokument a môže obsahovať ľubovoľné údaje - text, tabuľku, obrázky a iné objekty. Takýto inzerát sa zvyčajne skladá z obrázku, textu inzerátu, názvu organizácie a hárkov „odtrhávacích čísel“. Všetky reklamné prvky sa zadávajú do ich textových polí č. 1-# 5:

Príklad 4: Postupnosť akcií (možná) pri vytváraní nástennej reklamy pomocou textových polí:

Pomocou tlačidla Nápis panely nástrojov Maľovanie vytvorte textové pole č. 1, ktoré zodpovedá veľkosti reklamy.

Na jedálnom lístku Formátovať vybrať položku Hranice a tienenie a vytvorte orámovanie okolo textového poľa č. 1 – toto sú rozmerové orámovanie reklamy. Rám môže byť dvojitý, tučný, bodkovaný atď.

V ľavom hornom rohu poľa č. 1 vytvorte pole č. 2 (bez orámovania).

na ktorom bude umiestnený názov organizácie.

Na paneli Kresliť vyberte položku Pridať objekt WordArt.

Na obrazovke sa zobrazí okno WordArt, vyberte reliéfny text a kliknite na tlačidlo OK. Do poľa Zadajte text zadajte názov organizácie „študent“. Nastavte typ písma na Arial, veľkosť 18, štýl - tučné, kurzíva, kliknite na OK. Názov organizácie sa objaví v textovom poli # 2, zakrivený do oblúka, roztiahnite ho vertikálne.

Vytvorte textové pole č. 3, ktoré sa zmestí do oblúka slova „študent“. Umiestnite obrázok do zakriveného textu. K tomu v menu Vložiť vybrať položku Kreslenie obrázkov, v otvorenom dialógovom okne v zozname súborov vyberte vhodný obrázok a kliknite na tlačidlo OK... Vložený obrázok je obklopený rámom s bielymi štvorčekmi. Ak sa veľkosť obrázka nezhoduje s poľom č. 3, je možné ho zmenšiť posúvaním týchto políčok myšou, pričom je obrázok orezaný. Ak ho chcete proporcionálne zmenšiť, musíte na obrázok kliknúť myšou, zobrazí sa rám s čiernymi štvorcami, pomocou ktorých môžete upraviť veľkosť obrázka bez orezania.

Vytvorte textové pole číslo 4 a napíšte doň text inzerátu "Abstrakty, semestrálne práce, diplomové práce: TLAČ, DIZAJN". Vyberte a naformátujte text tak, aby sa zmestil do poľa 4, pomocou písma Arial Narrow, veľkosť 16, tučné, od pozície na šírku, farby tmavo červená, tmavo modrá a automatická farba (čierna).

Vytvorte textové pole č. 5 na riadku, kde sa bude nachádzať prvý odtrhnutý telefón zľava. Pridajte k nemu WordArt s efektom vertikálneho textu, zadajte telefónne číslo.

Skopírujte textové pole č. 5 s telefónnym číslom pomocou myši a súčasne držte stlačený kláves Ctrl toľkokrát, koľkokrát sa zmestí na šírku textového poľa č. 1. Môžete použiť schránku, t.j. vyberte objekt, skopírujte ho do schránky pomocou príkazu Upraviť \ Kopírovať alebo tlačidlom Kopírovať na paneli Štandardné, potom umiestnite kurzor na miesto vloženia a vykonajte príkaz Upraviť \ Vložiť alebo tlačidlom Vložiť, no pri vkladaní sa budú kópie prekrývať a bude ich treba dodatočne posúvať v rade ručne.

Zoskupenie všetkých objektov za účelom ich neskoršieho použitia ako jedného objektu, napríklad pri kopírovaní. Ak tak neurobíte, skopíruje sa každý objekt (obrázok, telefónna skratka, meno ...) samostatne. Zoskupovanie objektov je možné vykonať dvoma spôsobmi:

Pri držaní klávesu Shift kliknite na každý z objektov, takže budú vybraté všetky súčasne. Potom

rozbaľte panel s nástrojmi Maľovanie a stlačte tlačidlo D prasknutie... Okolo objektov sa objaví spoločný rám (stanú sa jedným objektom);

stlač tlačidlo Výber objektu na paneli Maľovanie a roztiahnite mriežku okolo všetkých reklamných objektov, všetky sa vyberú súčasne a stlačte tlačidlo Skupina... V prípade potreby je možné objekty rozčleniť pomocou tlačidla Zrušiť zoskupenie.

Myš s kľúčom Ctrl alebo prostredníctvom schránky, ako je uvedené v odseku 9.

Teraz je možné stránku s reklamami vytlačiť a rozrezať

na hárok A4 sa zmestí 8 reklám tejto veľkosti.

Príkazom uložte prijatú nástennú reklamu (obr. 6) na disketu Súbor \ Uložiť ako….

Je potrebné poznamenať, že obrázky a textové polia môžu byť prekryté na sebe vo viacerých vrstvách v rôznom poradí, ako aj umiestnené nad alebo za hlavnou úrovňou - textom. Na tento účel slúži 6 príkazov panela nástrojov Kresliť \ Objednať.

O objekty vytvorené vo WordArt je možné ďalej upravovať. Ak to chcete urobiť, stačí kliknúť myšou na objekt, otvorí sa ponuka WordArt a v nej zmeniť textový efekt, písmo atď.

Ak chcete vložiť objekt do textu, musíte vybrať objekt a v ponuke Formátovať, príkaz Hranice a tienenie, v okne Formát objektu

v záložke pozícia vybrať

požadované zalomenie textu.

Obrázok 6 Nástenné oznámenie

f Formátovať objekt a vyplniť okolo rámu? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Pre Obr. 6 sa uskutočňuje prúdenie "pozdĺž obrysu".

Uvažovaná postupnosť akcií na vytvorenie nástennej reklamy nie je jediná a optimálna. Poskytuje však skúsenosti s používaním WordArt.

Veľa reálnych čísel(označené R) sú množiny racionálnych a iracionálnych čísel dohromady.

Reálne čísla sa delia oracionálny a iracionálny.

Množina reálnych čísel označuje a často sa nazýva materiál alebo číselný rad... Reálne čísla sa skladajú z jednoduchých objektov: celý a racionálne čísla.

Číslo, ktoré možno zapísať ako pomer, kdem je celé číslo a n- prirodzené číslo, jeracionálne číslo.

Akékoľvek racionálne číslo môže byť ľahko reprezentované ako konečný zlomok alebo nekonečný periodický desatinný zlomok.

Príklad,

Nekonečné desatinné číslo, je to desatinný zlomok s nekonečným počtom číslic za desatinnou čiarkou.

Čísla, ktoré nemožno znázorniť, sú iracionálne čísla.

Príklad:

Akékoľvek iracionálne číslo možno ľahko znázorniť ako nekonečný neperiodický desatinný zlomok.

Príklad,

Vytvárajú sa racionálne a iracionálne čísla súbor reálnych čísel. Všetky reálne čísla zodpovedajú jednému bodu súradnicovej priamky, ktorá je tzv číselný rad.

Pre číselné množiny sa používa nasledujúci zápis:

N- množina prirodzených čísel;
Z- množina celých čísel;
Q- množina racionálnych čísel;
R- súbor reálnych čísel.

Teória nekonečných desatinných zlomkov.

Reálne číslo je definované ako nekonečné desatinné miesto, t.j.:

± a 0, a 1 a 2 ... a n ...

kde ± je jeden zo symbolov + alebo -, znamienko čísla,

0 - kladné celé číslo,

a 1, a 2, ... a n, ... je postupnosť desatinných miest, t.j. prvky číselnej množiny {0,1,…9}.

Nekonečný desatinný zlomok možno vysvetliť ako číslo, ktoré sa nachádza na číselnej osi medzi racionálnymi bodmi, ako sú:

± a 0, a 1 a 2 ... a n a ± (a 0, a 1 a 2… a n +10 −n) pre všetkých n = 0,1,2, ...

Porovnávanie reálnych čísel ako nekonečných desatinných zlomkov prebieha bit po bite. Napríklad Predpokladajme, že sú dané 2 kladné čísla:

α = + a 0, a 1 a 2 ... a n ...

β = + b 0, b 1 b 2… b n…

∀ a', a'', b', b''∈ Q (a ′⩽ α ⩽ a "")∧ (b ′⩽ β ⩽ b""⇒ (a + b⩽ α + β ⩽ a " + b ")

Operácia násobenia nekonečných desatinných zlomkov je definovaná podobne.

Celé čísla

Čísla používané pri počítaní sa nazývajú prirodzené čísla. Napríklad $ 1,2,3 atď. Prirodzené čísla tvoria množinu prirodzených čísel, ktoré označujú $ N $ Tento zápis pochádza z latinského slova naturalis- prirodzené.

Opačné čísla

Definícia 1

Ak sa dve čísla líšia iba znamienkami, nazývajú sa v matematike opačné čísla.

Napríklad čísla $ 5 $ a $ -5 $ sú opačné čísla, pretože líšia sa len znakmi.

Poznámka 1

Pre akékoľvek číslo existuje opačné číslo a navyše iba jedno.

Poznámka 2

Číslo nula je opakom samého seba.

Celé čísla

Definícia 2

celýčísla sú prirodzené, opačné čísla a nula.

Množina celých čísel zahŕňa mnoho prirodzených a ich opak.

Označte celé čísla $ Z. $

Zlomkové čísla

Čísla ako $ \ frac (m) (n) $ sa nazývajú zlomky alebo zlomkové čísla. Zlomkové čísla možno písať aj v desiatkovom zápise, t.j. ako desatinné zlomky.

Napríklad: $ \ \ frac (3) (5) $, 0,08 $ atď.

Rovnako ako celé čísla, aj zlomkové čísla môžu byť kladné alebo záporné.

Racionálne čísla

Definícia 3

Racionálne čísla sa nazýva množina čísel obsahujúcich množinu celých a zlomkových čísel.

Akékoľvek racionálne číslo, celé aj zlomkové, môže byť reprezentované ako zlomok $ \ frac (a) (b) $, kde $ a $ je celé číslo a $ b $ je prirodzené číslo.

To isté racionálne číslo teda možno zapísať rôznymi spôsobmi.

Napríklad,

Preto je jasné, že každé racionálne číslo môže byť reprezentované vo forme konečného desatinného zlomku alebo nekonečného desatinného periodického zlomku.

Množinu racionálnych čísel označujeme $ Q $.

V dôsledku vykonania akejkoľvek aritmetickej operácie na racionálnych číslach bude výslednou odpoveďou racionálne číslo. To sa dá ľahko dokázať, pretože pri sčítaní, odčítaní, násobení a delení obyčajných zlomkov dostanete obyčajný zlomok

Iracionálne čísla

Počas štúdia kurzu matematiky sa často musíte zaoberať číslami, ktoré nie sú racionálne.

Napríklad, aby ste sa uistili, že existuje množina neracionálnych čísel, vyriešte rovnicu $ x ^ 2 = 6 $ Koreňmi tejto rovnice budú čísla $ \ surd 6 $ a - $ \ surd 6 $. Tieto čísla nebudú racionálne.

Taktiež pri hľadaní uhlopriečky štvorca so stranou $ 3 $ použijeme Pytagorovu vetu a zistíme, že uhlopriečka sa bude rovnať $ \ surd 18 $. Toto číslo tiež nie je racionálne.

Takéto čísla sa nazývajú iracionálny.

Iracionálne číslo sa teda nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok.

Jedným z najbežnejších iracionálnych čísel je číslo $ \ pi $

Pri vykonávaní aritmetických operácií s iracionálnymi číslami môže byť výsledok racionálny aj iracionálny.

Dokážme to na príklade hľadania súčinu iracionálnych čísel. Poďme nájsť:

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) $

$ \ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) $

rozhodnutie

$ \ \ sqrt (6) \ cdot \ sqrt (6) = 6 $

$ \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (3) = \ sqrt (6) $

Tento príklad ukazuje, že výsledkom môže byť racionálne aj iracionálne číslo.

Ak sa racionálne a iracionálne čísla zúčastňujú aritmetických operácií súčasne, výsledkom bude iracionálne číslo (samozrejme okrem násobenia $ 0 $).

Reálne čísla

Množina reálnych čísel je množina obsahujúca množinu racionálnych a iracionálnych čísel.

Množina reálnych čísel $ R $ je označená. Množinu reálnych čísel možno symbolicky označiť $ (-?; +?).

Už sme povedali, že iracionálne číslo sa nazýva nekonečný desatinný neperiodický zlomok a každé racionálne číslo môže byť reprezentované ako konečný desatinný zlomok alebo nekonečný desatinný periodický zlomok, preto každý konečný a nekonečný desatinný zlomok bude skutočným číslom.

Pri vykonávaní algebraických akcií budú splnené nasledujúce pravidlá

pri násobení a delení kladných čísel bude výsledné číslo kladné
pri násobení a delení záporných čísel bude výsledné číslo kladné
pri násobení a delení záporných a kladných čísel bude výsledné číslo záporné

Aj reálne čísla sa dajú navzájom porovnávať.