1.4 Analýza metód štúdia nelineárnych systémov

1. Nejednoznačná nelineárna charakteristika

2. Systém s reléovou charakteristikou

3.Nelinearita typu relé

Absolútna stabilita procesu

Približné metódy na štúdium nelineárnych systémov automatického riadenia

Kritérium stability Popova V.M.

(rumunský vedec)

Toto je frekvenčná metóda na štúdium stability NL ACS s jednoznačnou nelinearitou, ktorá spĺňa podmienku

Uvažuje sa o stabilite rovnovážnej polohy

Dostatočné podmienky absolútna stabilita Takéto systémy sformuloval V. M. Popov.

1. Zavádza sa prenosová funkcia

Predpokladá sa, že
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému (kontrolovanému ktorýmkoľvek z kritérií stability).

2. Frekvenčná odozva je nájdená
.

3. Je skonštruovaná modifikovaná frekvenčná odozva
,

ktorý je určený vzťahom

Re
= Re
,

Im
= .

4.Skonštruované na komplexnej rovine
.

Popovovo kritérium:

Ak cez bod
na skutočnej osi je možné nakresliť priamku tak, že modifikovaný AFC
ležal na jednej strane tejto priamky, potom uzavreté NL samohybné delo bude absolútne stabilný.

Príklad. Absolútnu stabilitu samohybných zbraní NL preskúmajte pomocou blokovej schémy z obr. 1, ak

Od všetkého v charakteristickej rovnici 2. rádu je väčšia ako nula, teda
- je asymptoticky stabilný, a preto je splnená podmienka (1) Popovovho kritéria stability.

Re
= Re
=

Im
=Im
=

Budujeme AFFC
.

Asymptotická stabilita pre špeciálnu formu

nelineárne charakteristiky

Stav pokoja bude absolútne stabilný, ak

1.
zodpovedá asymptoticky stabilnému systému.

r=0 . Toto je špeciálny prípad charakteristiky diskutovanej vyššie.

Dostatočná podmienka pre absolútnu stabilitu - namiesto stavu (2)

1.
- asymptoticky stabilný.

2.Im

Uvažujme teraz stabilitu nie stabilizačných systémov (nominálny režim - pokojový stav), ale prípad, keď je nominálny režim charakterizovaný vstupným signálom
a výstupný signál
, to sú obmedzený nepretržitý funkcie času.

Budeme predpokladať, že nelineárny prvok má tvar
, Kde
je spojitá jednohodnotová funkcia, ktorá spĺňa podmienku

tie. rýchlosť zmeny nelineárnej charakteristiky je obmedzená. Toto je pomerne prísna podmienka.

V tomto prípade zabezpečiť absolútnu stabilitu obmedzeného procesu
,
stačí splnenie podmienok6

1.
- bol asymptoticky stabilný.

2.
.

V špeciálnom prípade, keď r=0

alebo

Teória spojená s vývojom Popovových myšlienok ešte nie je úplná, sú tu možné nové, silnejšie výsledky. Súhrn takýchto doterajších výsledkov je dostupný v Naumovovej knihe „Nelineárne automatické riadiace systémy“.

Metóda harmonickej rovnováhy

Pri štúdiu NL ACS môžete niekedy pozorovať výskyt periodických zmien výstupnej hodnoty y(t) aj v prípadoch, keď
Ak sa pri štúdiu samohybných zbraní obmedzíme na lineárne model s konštantnými koeficientmi, potom k uvedenému javu (prirodzené oscilácie) môže dôjsť len vtedy, ak v charakteristickej rovnici existujú čisto imaginárne korene
.

S týmto vysvetlením však malá zmena parametrov systému „posunie“ koreň z pomyselnej osi doľava alebo doprava a prirodzené kmity buď utlmia, alebo rozkývajú. V praxi v nelineárnych systémoch pretrvávajú periodické oscilácie výstupného signálu s malými zmenami parametrov systému.

Tento druh netlmených oscilácií sa vysvetľuje nelineárnou povahou systému. Nazývajú sa samooscilácie.

Zvážte metódu harmonická rovnováha, ktorý umožňuje určiť prítomnosť alebo neprítomnosť vlastných oscilácií na základe vzájomného toku fázovo-frekvenčnej odozvy lineárnej časti a charakteristík nelineárneho prvku.

Uvažujme systém s jednou slučkou, v ktorom je identifikovaný nelineárny prvok

(1)

a lineárna časť s prenosovou funkciou
.

Predpokladaný:

1.
zodpovedá stabilnému systému,

2. nelineárna charakteristika
- nepárny symetrický, t.j.

3.vstup signálu
, t.j. Ide o stabilizačný systém.

Budeme hľadať výstupný signál y(t) ako

, (2)

Kde - amplitúda vlastných oscilácií,

- frekvencia vlastných oscilácií.

A je potrebné určiť.

Sínusová hypotéza y(t) vyzerá svojvoľne. Budú však dané ďalšie podmienky, za ktorých sa táto hypotéza stane prirodzenou.

Pretože
,(3)

Nechajme signál
postupne cez nelineárny prvok a lineárnu časť a nájsť rovnice, z ktorých bude možné určiť amplitúdu a frekvenciu samooscilácie v samohybných delách NL.

Návod
cez lineárny prvok

Pretože
- periodická funkcia, potom signál
na výstupe nelineárneho element bude tiež periodickou funkciou, ale odlišnou od sínusoidy.

Rozsah
Rozsah

Ako je známe, akákoľvek periodická funkcia môže byť reprezentovaná Fourierovým radom:

(4)

Predpokladáme, že voľný člen vo vzorci (4) sa rovná nule. To sa uskutoční napríklad vtedy, keď charakteristika nelineárneho prvku spĺňa podmienku

, teda ide o nepárnu funkciu.

Tu sú Fourierove koeficienty A sú určené:

(5)

Transformujme (4) vynásobením a delením každého člena na pravej strane
(6)

Pripomeňme si to

(8)

Teda pri prejazde signálom
cez nelineárny prvok je na výstupe nelineárneho prvku signál
obsahuje veľa harmonických, ktoré sú násobkom . (pozri obrázok vyššie).

Priechod signálu
cez lineárnu časť

Z teórie lineárnych systémov vieme, že ak je vstup lineárnej väzby s prenosovou funkciou
, zodpovedajúci stabilnému systému, aplikujte harmonický signál v ustálenom stave, na výstupe tohto spoja bude signál;

Tu
- modul frekvenčnej odozvy
v bode ,

argument
.

Pomocou týchto vzťahov môžeme zapísať výrazy pre
, pričom cez lineárnu časť prejdeme oddelene všetky zložky radu (8) a potom sčítame výsledné výrazy pre

Vzhľadom na lineárnosť systému je takýto postup legálny.

Dostávame, za predpokladu
:

Výsledný výraz (9) pre
má pomerne zložitú štruktúru. Jeho používanie sa dá výrazne zjednodušiť filtrovať hypotézu.

Štúdiom frekvenčných charakteristík typických elementárnych jednotiek sme videli, že ich frekvenčná odozva má tendenciu k nule

Hypotéza filtra je taká, že frekvenčná odozva na pravej strane (9) klesá so zvyšujúcou sa frekvenciou tak rýchlo, že v (9) môže byť braný do úvahy iba prvý člen, čo zodpovedá k=1 a zostávajúce termíny považujú za zanedbateľné. Inými slovami, hypotéza filtra je hypotéza, že lineárna časť ACS prakticky neumožňuje prechod vysokofrekvenčných oscilácií. Preto je vzorec (9) (a toto je aproximácia metódy) zjednodušený takto:

Pri uzavretí systému za predpokladu filtračnej hypotézy teda získame harmonickú rovnováhu (odtiaľ názov metódy - metóda harmonickej rovnováhy)

Pozrime sa, ako používať metóda harmonická rovnováha určiť amplitúdu A a frekvenciu samooscilácie.

Predstavme si koncept ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho prvku:

(11)

Ak
(a to sa vyskytuje pri jednoznačných symetrických nelineárnych charakteristikách), potom

(12)

Charakteristická rovnica uzavretého ACS (obr. 1) má tvar:

alebo frekvenčná odozva

(13)

(14)

Predstavme si

Potom sa rovnica (14) prepíše:

=
(17)

Rovnosť (14) alebo (17) je základom grafovo-analytickej metódy na určenie parametrov vlastných oscilácií A A .

Charakteristika fázovej odozvy lineárnej časti je konštruovaná na komplexnej rovine

a charakteristiky nelineárneho prvku

Ak sa krivky pretínajú, potom v ACS existujú vlastné oscilácie.

Frekvencia vlastných oscilácií v bode priesečníka kriviek pozdĺž
, a amplitúda je podľa
.

Pozrime sa bližšie na vybranú oblasť

Poznáme amplitúdu a frekvenciu bodov, ktoré sú najbližšie k priesečníku kriviek. Amplitúdu a frekvenciu v priesečníku je možné určiť napríklad rozdelením segmentu na polovicu.

Metóda harmonickej linearizácie

Toto je veľmi efektívna približná metóda na určenie periodických kmitov v NL ACS.

Pre aplikáciu metódy harmonickej linearizácie nelinearity je potrebné splniť požiadavku: lineárna časť musí mať filtračné vlastnosti, t.j. nemal by prepúšťať vysoké frekvencie.

V praxi je táto požiadavka zvyčajne splnená.

Nech existuje nelineárny prvok

(1)

Nechaj
(2)

Potom
(3)

Rozšírme (1) na Fourierov rad:

Pripomeňme si, že nelineárna funkcia F(X) , rozšírený do Fourierovho radu, má tvar:

,
,

Potom bude Fourierov rad pre našu nelinearitu vyzerať takto:

++vyššie harmonické (4)

Dajme konštantnú zložku

Z rovnice (2):

Z rovnice (3):

Potom je možné rovnicu (4) prepísať:

V rovnici (5) zanedbávame vysoké frekvencie a toto je aproximácia metódy.

Teda nelineárny prvok at
je nahradený linearizovaným výrazom (5), ktorý, keď je splnená hypotéza filtra lineárnej časti, nadobúda tvar:

(6)

Tento postup sa nazýva harmonická linearizácia.

Odds
A
pri konštantný a A . V dynamickom režime, keď sa menia A A , koeficienty
A
zmení sa. Toto je rozdiel medzi harmonickou linearizáciou a konvenčnou linearizáciou. (Pri konvenčnej linearizácii koeficient linearizovanej rovnice TO závisí od bodu linearizácie). Závislosť koeficientov linearizácie na A A umožňuje aplikovať metódy na štúdium lineárnych systémov na NL ACS (6) a analyzovať vlastnosti NL ACS, ktoré nie je možné zistiť konvenčnou linearizáciou.

Koeficienty harmonickej linearizácie

niektoré typické nelinearity

Charakteristika relé

2. Charakteristika relé s mŕtvou zónou

,
Amplitúda oscilácie

3. Charakteristika relé s hysteréznou slučkou

,
,

4. Charakteristika relé s mŕtvou zónou a hysteréznou slučkou

Teraz zvážte uzavretý systém.

Môžeme zaviesť koncept prenosovej funkcie nelineárneho prvku

Potom charakteristická rovnica uzavretého ACS:

alebo

Keď v uzavretom systéme vzniknú prirodzené netlmené oscilácie konštantnej amplitúdy a frekvencie, koeficienty harmonickej linearizácie sa stanú konštantnými a automatický riadiaci systém sa stane lineárnym. A v lineárnom systéme prítomnosť periodických netlmených oscilácií naznačuje prítomnosť čisto imaginárnych koreňov.

Teda určiť periodické riešenia musia byť dosadené do charakteristickej rovnice
. Tu - aktuálna frekvencia a - frekvencia vlastných oscilácií.

Neznáme v tejto rovnici sú A .

Izolujme skutočnú a imaginárnu časť tejto rovnice.

Uveďme si označenie frekvencie a amplitúdy požadovaného periodického riešenia:
,
.

Dostaneme dve rovnice s dvoma neznámymi.

Vyriešením týchto rovníc zistíme A - amplitúda a frekvencia periodických riešení v NL ACS.

Pomocou týchto rovníc môžete určiť nielen A , ale aj vybudovať závislosť A , napríklad zo zisku ACS TO.

Potom, zvažovať TO premenné, píšeme:

Premýšľal TO, nájdeme A , t.j.
A

Dá sa vybrať TO takže

1. to by nestačilo

2. bolo by to neškodné pre samohybné zbrane,

3. nenastali by žiadne samooscilácie.

Pomocou rovnakých rovníc je možné v rovine dvoch parametrov (napr. T A TO) zostrojte čiary rovnakých hodnôt amplitúdy a frekvencie vlastných oscilácií. Pre túto rovnicu prepíšeme:

Určenie číselných hodnôt , dostaneme
A

Z týchto grafov si môžete vybrať T A TO.

Stanovenie stability riešení v nelineárnych systémoch automatického riadenia

Vlastné oscilácie v NL ACS musia zodpovedať stabilným periodickým riešeniam. Preto po zistení amplitúdy a frekvencie periodické riešenia, je potrebné skúmať ich stabilitu.

Uvažujme o približnej metóde štúdia stability periodických riešení v NL ACS pomocou Michajlovho hodografu.

Nech NL samohybné delá

,
.
- získané metódou harmonickej linearizácie.

Charakteristická rovnica uzavretého systému

Zapíšme si rovnicu charakteristickej krivky (Michajlov hodograf), za ktorú do nej dosadíme
.

- aktuálna hodnota frekvencie pozdĺž Michajlovho hodografu,

- frekvencia harmonickej linearizácie (vlastné oscilácie).

Potom za každú danú vec trvalé A Michajlovova krivka bude mať rovnaký tvar ako pre bežné lineárne systémy.

Pre periodické riešenia zodpovedajúce A , Michajlovov hodograf prejde počiatkom súradníc (keďže systém je na hranici stability).

Na určenie stability periodických riešení uvádzame prírastok

Ak pri
Michajlovova krivka zaujme polohu 1 a kedy

- poloha 2, potom je periodické riešenie stabilné.

Ak pri
krivka zaujme polohu 2 a kedy
- poloha 1, potom je periodické riešenie nestabilné.

2.7.3.1. Exaktné metódy na štúdium nelineárnych systémov

1. Priama Lyapunovova metóda. Vychádza z Ljapunovovej vety o stabilite nelineárnych systémov. Ako výskumný aparát sa používa Ljapunovova funkcia, ktorá je znamienkovo definitnou funkciou súradníc systému, ktorá má aj znamienkovo definitnú deriváciu v čase. Aplikácia metódy je limitovaná jej zložitosťou.

2. Popovova metóda (rumunský vedec) je jednoduchšia, ale vhodná len pre niektoré špeciálne prípady.

3. Metóda založená na lineárnej aproximácii po častiach. Charakteristiky jednotlivých nelineárnych väzieb sú rozdelené do niekoľkých lineárnych úsekov, v rámci ktorých sa problém ukáže ako lineárny a dá sa celkom jednoducho vyriešiť.

Metódu je možné použiť, ak je počet úsekov, na ktoré je nelineárna charakteristika rozdelená, malý (reléové charakteristiky). S veľkým počtom oblastí je to ťažké. Riešenie je možné len s pomocou počítača.

4. Metóda fázového priestoru. Umožňuje študovať systémy s nelinearitami ľubovoľného typu, ako aj s niekoľkými nelinearitami. Súčasne sa vo fázovom priestore vytvára takzvaný fázový portrét procesov prebiehajúcich v nelineárnom systéme. Podľa vzhľadu fázového portrétu je možné posúdiť stabilitu, možnosť samooscilácií a presnosť v ustálenom stave. Rozmer fázového priestoru sa však rovná rádu diferenciálnej rovnice nelineárneho systému. Aplikácia pre systémy vyššie ako druhého rádu je prakticky nemožná.

5. Na analýzu náhodných procesov môžete použiť matematický aparát teórie Markovových náhodných procesov. Zložitosť metódy a schopnosť riešiť Fokker-Planckovu rovnicu, ktorá sa pri analýze vyžaduje len pre rovnice prvého a v niektorých prípadoch aj druhého rádu, však obmedzuje jej použitie.

Aj keď presné metódy na analýzu nelineárnych systémov umožňujú získať presné a správne výsledky, sú veľmi zložité, čo obmedzuje ich praktické použitie. Tieto metódy sú dôležité z čisto vedeckého, kognitívneho, výskumného hľadiska, a preto ich možno zaradiť medzi čisto akademické metódy, ktorých praktická aplikácia na reálne zložité systémy nedáva zmysel.

2.7.3.2. Približné metódy na štúdium nelineárnych systémov

Zložitosť a obmedzenia praktickej aplikácie exaktných metód na analýzu nelineárnych systémov viedli k potrebe vyvinúť približné a jednoduchšie metódy na štúdium týchto systémov. Približné metódy umožňujú v mnohých praktických prípadoch celkom jednoducho získať transparentné a ľahko viditeľné výsledky analýzy nelineárnych systémov. Približné metódy zahŕňajú:

1. Metóda harmonickej linearizácie, založená na nahradení nelineárneho prvku jeho lineárnym ekvivalentom, a ekvivalencia sa dosiahne pre určitý pohyb systému, ktorý je blízky harmonickému. To umožňuje celkom jednoducho preskúmať možnosť výskytu samokmitov v riadiacom systéme. Metódu je však možné použiť aj na štúdium prechodných procesov nelineárnych systémov.

2. Metóda štatistickej linearizácie je tiež založená na nahradení nelineárneho prvku jeho lineárnym ekvivalentom, ale keď sa systém pohybuje pod vplyvom náhodných porúch. Metóda umožňuje relatívne jednoducho študovať správanie sa nelineárneho systému pri náhodných vplyvoch a nájsť niektoré jeho štatistické charakteristiky.

Metóda harmonickej linearizácie

Aplikujme na nelineárne systémy opísané diferenciálnou rovnicou ľubovoľného rádu. Uvažujme to len vo vzťahu k výpočtu vlastných kmitov v automatickom riadiacom systéme. Rozdeľme riadiaci systém na lineárnu a nelineárnu časť (obr. 7.2) s prenosovými funkciami, resp.

Pre lineárny odkaz:

Nelineárne prepojenie môže mať nelineárne závislosti formulára:

atď. Obmedzme sa na závislosti formy:

Ryža. 7.2. Smerom k metóde harmonickej linearizácie

Položme si problém štúdia vlastných oscilácií v tomto nelineárnom systéme. Presne povedané, vlastné oscilácie budú nesínusové, budeme však predpokladať, že pre premennú X majú blízko k harmonickej funkcii. To je odôvodnené skutočnosťou, že lineárna časť (7.1) je spravidla dolnopriepustný filter (LPF). Preto lineárna časť oneskorí vyššie harmonické obsiahnuté v premennej r. Tento predpoklad sa nazýva hypotéza filtra. V opačnom prípade, ak je lineárnou časťou hornopriepustný filter (HPF), metóda harmonickej linearizácie môže poskytnúť chybné výsledky.

Nech Nahradením do (7.2) rozšírime (7.2) na Fourierov rad:

Predpokladajme, že v požadovaných kmitoch nie je konštantná zložka, t.j.

Táto podmienka je splnená vždy, keď je nelineárna charakteristika symetrická vzhľadom na počiatok súradníc a na nelineárne prepojenie nepôsobí žiadny vonkajší vplyv.

Tak sme to akceptovali.

V písomnej expanzii urobíme náhradu a zahodíme všetky vyššie harmonické série, keďže sú odfiltrované. Potom pre nelineárne prepojenie získame približný vzorec

kde a sú koeficienty harmonickej linearizácie určené pomocou vzorcov rozšírenia Fourierovej série:

Nelineárna rovnica (7.2) je teda nahradená približnou rovnicou pre prvú harmonickú (7.3), podobnou lineárnej rovnici. Jeho zvláštnosťou je, že koeficienty rovnice závisia od požadovanej amplitúdy vlastných oscilácií. Vo všeobecnom prípade, pri zložitejšej závislosti (7.2), budú tieto koeficienty závisieť od amplitúdy aj frekvencie.

Vykonaná operácia nahradenia nelineárnej rovnice približnou lineárnou rovnicou sa nazýva harmonická linearizácia a koeficienty (7.4), (7.5) sa nazývajú koeficienty harmonického prenosu nelineárneho spojenia.

Z (7.3) vyplýva, že pre uvažovaný systém je prenosová funkcia nelineárneho spojenia:

Ak vezmeme do úvahy (7.1) a (7.3), získame prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou:

a charakteristická rovnica uzavretého systému:

Dosadením do (7.6) nájdeme frekvenčnú prenosovú funkciu systému s otvorenou slučkou:

Nezávisí od [pozri (7,8)].

Modul ekvivalentnej prenosovej funkcie nelineárneho spojenia je určený vzorcom:

a rovná sa pomeru amplitúdy prvej harmonickej na jej výstupe k amplitúde vstupnej hodnoty. Argument funkcie frekvenčného prenosu nelineárneho spojenia sa rovná:

Dá sa ukázať, že pre nelineárne spojenia s jednoznačnými a symetrickými vzhľadom na pôvod súradníc charakteristiky, ktoré nemajú hysterézne slučky, sú teda čisto reálne a

Často sa používa inverzná funkcia ekvivalentnej prenosovej funkcie nelineárneho spojenia:

nazývaná ekvivalentná impedancia nelineárneho spojenia. Jeho použitie je vhodné pri výpočte vlastných oscilácií pomocou Nyquistovho kritéria. Ako príklad použitia metódy harmonickej linearizácie uvažujme reléovú charakteristiku trojpolohového relé bez hysteréznej slučky (obr. 7.3). Ako je možné vidieť z obr. 7.3 je statická charakteristika symetrická vzhľadom na počiatok súradníc, teda . Preto je potrebné nájsť koeficient iba pomocou vzorca (7.4). Aby sme to dosiahli, aplikujeme na vstup väzby sínusovú funkciu a zostrojíme y(t) (obr. 7.4).

Ryža. 7.3. Statická charakteristika trojpolohovej

relé bez hysteréznej slučky

Ako je možné vidieť z obr. 7.4, s

Fázový uhol zodpovedajúci x 1 = b sa rovná arcsin (b/a) (obr. 7.4).

Berúc do úvahy symetriu integrandu a v súlade s (7.4), máme:

Pretože , potom máme konečne:

Podobným spôsobom je možné vykonať harmonickú linearizáciu iných nelineárnych väzieb. Výsledky linearizácie sú uvedené v , .

Ako je uvedené vyššie, metóda harmonickej linearizácie je vhodná na analýzu možnosti výskytu režimu vlastnej oscilácie v nelineárnom systéme a na určenie jeho parametrov. Na výpočet vlastných oscilácií sa používajú rôzne kritériá stability. Najjednoduchším a najzrejmejším spôsobom je použiť Nyquistovo kritérium. Nyquistovo kritérium je vhodné použiť najmä v prípade, že existuje nelineárna závislosť tvaru a ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho spojenia závisí len od amplitúdy vstupného signálu.

Ryža. 7.4. Príklad linearizácie reléovej charakteristiky

Podmienky pre vznik samokmitov: objavenie sa dvojice čisto imaginárnych koreňov v roztoku (7.7) a všetky ostatné korene ležia v ľavej polrovine (spojenie s bodom –1,j0).

Dajme rovnítko (7,7) mínus jedna:

Na vyriešenie (7.12) nastavíme rôzne hodnoty a zostrojíme AFC. Pri a = A AFC prejde bodom (-1,j0), čo zodpovedá absencii stabilizačných rezerv.

Frekvencia a zodpovedá frekvencii a amplitúde požadovaného harmonického kmitania: (obr. 7.5).

Podobným spôsobom je možné nájsť periodické riešenie pre nelineárne závislosti akéhokoľvek typu, čo vedie najmä k tomu, že ekvivalentná prenosová funkcia nelineárneho prvku závisí nielen od amplitúdy, ale aj od frekvencie. Ak sa obmedzíme na uvažovanie o nelineárnej závislosti formy , potom sa proces hľadania periodického režimu môže zjednodušiť.

Ryža. 7.5. Podmienka pre výskyt samooscilácií

Napíšme rovnicu (7.12) v tvare:

Pozri (7.11). (7,13)

Vzťah (7.13) sa dá jednoducho vyriešiť graficky. Na tento účel je potrebné samostatne zostrojiť AFC a inverznú AFC branú s opačným znamienkom. Priesečník dvoch AFC určuje riešenie (7.13). Frekvencia periodického režimu zistíme podľa frekvenčných značiek na grafe a amplitúdu podľa značiek amplitúdy na grafe (obr. 7.6).

Nájdený periodický režim však zodpovedá samoosciláciám len vtedy, keď je stabilný v tom zmysle, že tento režim môže v systéme existovať neobmedzene dlhý čas. Stabilita periodického režimu môže byť určená nasledovne.

Predpokladajme, že lineárna časť systému v otvorenom stave je stabilná alebo neutrálna. Dajme amplitúde A nejaký kladný prírastok A. Potom sa zvýši, teda bude klesať. V dôsledku toho klesá, a preto sa ešte viac vzďaľuje od bodu (-1,j0). A klesá a bude mať tendenciu k 0. Podobne, ak A dostane záporný prírastok - A. Potom sa zníži, preto sa zvýši, zvýši sa, a preto sa zvýši amplitúda, pretože AFC sa priblíži k bodu (-1,j0) (zníženie marže stability).

Ryža. 7.6. Podmienka vzniku samokmitov pri nelineárnom

závislosti typu

V dôsledku toho každá náhodná odchýlka A zmení systém takým spôsobom, že amplitúda obnoví svoju hodnotu. To zodpovedá stabilite periodického režimu, ktorý zodpovedá vlastným osciláciám.

Kritérium stability pre periodický režim tu vychádza zo skutočnosti, že časť krivky zodpovedajúca menším amplitúdam je pokrytá AFC lineárnej časti systému, čo zodpovedá prítomnosti jedného priesečníka charakteristiky s záporná časť osi reálnych hodnôt (pozri obr. 7.6).

Keď AFC systému s otvorenou slučkou prekročí zápornú časť osi reálnych hodnôt dvakrát, je možné, aby AFC prešiel bodom (-1,j0) pre dve hodnoty a (obr. 7.7).

Dva priesečníky zodpovedajú dvom možným periodickým riešeniam s parametrami a . Podobne ako to bolo urobené vyššie, môžete sa uistiť, že prvý bod zodpovedá nestabilnému režimu periodických oscilácií a druhý stabilnému režimu, t.j. vlastné oscilácie (obr. 7.8).

V zložitejších prípadoch, keď je povedzme nestabilný, je možné určiť stabilitu výsledného periodického režimu zvážením umiestnenia AFC systému s otvorenou slučkou. Spoločné tu zostáva, že na dosiahnutie stability periodického režimu je potrebné, aby kladné zvýšenie amplitúdy viedlo ku konvergentným procesom v systéme a záporné k divergentným.

Pri absencii možných periodických režimov blízkych harmonickej v systéme, čo je odhalené vyššie uvedeným výpočtom, existuje veľa rôznych možností pre správanie systému. Avšak v systémoch, ktorých lineárna časť má vlastnosť potláčať vyššie harmonické, najmä v takých systémoch, kde pre niektoré parametre existuje periodické riešenie, ale pre iné nie, existuje dôvod domnievať sa, že pri absencii periodického riešenia systém bude byť stabilný vzhľadom na rovnovážny stav. V tomto prípade možno stabilitu rovnovážneho stavu posúdiť požiadavkou, že keď je lineárna časť v otvorenom stave stabilná alebo neutrálna, jej AFC neprekrýva hodograf.

Metóda štatistickej linearizácie nelineárnych charakteristík

Na vyhodnotenie štatistických charakteristík nelineárnych systémov môžete použiť metódu štatistickej linearizácie založenú na nahradení nelineárnej charakteristiky lineárnou, ktorá je v určitom zmysle štatistiky ekvivalentná pôvodnej nelineárnej charakteristike.

Nahradenie nelineárnej transformácie lineárnou je približné a môže byť spravodlivé len v niektorých ohľadoch. Preto pojem štatistickej ekvivalencie, na základe ktorého sa takáto náhrada robí, nie je jednoznačný a je možné formulovať rôzne kritériá pre štatistickú ekvivalenciu nelineárnej a lineárnej transformácie, ktorá ju nahrádza.

V prípade, že nelineárna závislosť tvaru (7.2) bez zotrvačnosti je podrobená linearizácii, zvyčajne sa uplatňujú tieto kritériá štatistickej ekvivalencie:

Prvý vyžaduje rovnosť matematických očakávaní a rozptylov procesov a , kde je výstupná hodnota ekvivalentného linearizovaného spojenia a je výstupná hodnota nelineárneho spojenia;

Druhý vyžaduje minimalizáciu strednej štvorce rozdielu medzi procesmi na výstupe nelineárnych a linearizovaných prvkov.

Uvažujme o linearizácii pre prípad použitia prvého kritéria. Nahraďte nelineárnu závislosť (7.2) lineárnou charakteristikou (7.14), ktorá má rovnaké matematické očakávania a rozptyl ako tie, ktoré sú k dispozícii na výstupe nelineárnej väzby s charakteristikou (7.2). Pre tento účel uvádzame (7.14) v tvare: , kde je centrovaná náhodná funkcia.

Podľa zvoleného kritéria musia koeficienty a spĺňať nasledujúce vzťahy:

Z (7.15) vyplýva, že štatistická ekvivalencia nastáva, ak

Okrem toho sa znamienko musí zhodovať so znamienkom derivácie nelineárnej charakteristiky F( X).

Veličiny sa nazývajú štatistické koeficienty linearizácie. Na ich výpočet potrebujete poznať signál na výstupe nelineárneho spojenia:

kde je hustota pravdepodobnosti rozdelenia náhodného signálu na vstupe nelineárneho spojenia.

Pre druhé kritérium sa štatistické koeficienty linearizácie volia tak, aby sa zabezpečilo minimum stredného štvorcového rozdielu medzi procesmi na výstupe nelineárneho a linearizovaného spojenia, t.j. zabezpečiť rovnosť

Koeficienty štatistickej linearizácie, ako vyplýva z (7.16), (7.17) a (7.18), závisia nielen od charakteristík nelineárneho spojenia, ale aj od distribučného zákona signálu na jeho vstupe. V mnohých praktických prípadoch možno predpokladať, že distribučný zákon tejto náhodnej premennej je Gaussovský (normálny), opísaný výrazom

Vysvetľuje to skutočnosť, že nelineárne spojenia v riadiacich systémoch sú zapojené do série s lineárnymi inerciálnymi prvkami, ktorých distribučné zákony sú výstupné signály blízke gaussovskej pre akékoľvek distribučné zákony ich vstupných signálov. Čím je sústava inerciálnejšia, tým je distribučný zákon výstupného signálu bližšie ku gaussovskej, t.j. inerciálne zariadenia systému vedú k obnoveniu Gaussovho rozdelenia, narušeného nelineárnymi väzbami. Okrem toho zmeny v distribučnom zákone v širokom malom rozsahu ovplyvňujú koeficienty štatistickej linearizácie. Preto sa predpokladá, že signály na vstupe nelineárnych prvkov sú distribuované podľa Gaussovho zákona.

V tomto prípade koeficienty a závisia iba od signálu na vstupe nelineárneho spojenia, preto pre typické nelineárne charakteristiky môžu byť koeficienty a koeficienty vypočítané vopred, čo výrazne zjednodušuje výpočty systémov pomocou metódy štatistickej linearizácie. Pre zákon normálneho rozdelenia a typické nelineárne väzby pri výpočte nelineárnych systémov môžete použiť údaje uvedené v.

Aplikácia metódy štatistickej linearizácie na analýzu

stacionárne režimy a zlyhanie sledovania

Schopnosť nahradiť charakteristiky nelineárnych väzieb lineárnymi závislosťami umožňuje použitie metód vyvinutých pre lineárne systémy pri analýze nelineárnych systémov. Aplikujme metódu štatistickej linearizácie na analýzu stacionárnych režimov v systéme znázornenom na obr. 7,9,

kde F(e) je statická charakteristika nelineárneho prvku (diskriminátora);

W(p) – prenosová funkcia lineárnej časti systému.

Úlohou analýzy je posúdiť vplyv charakteristík diskriminátora na presnosť systému a určiť podmienky, za ktorých je normálna prevádzka systému narušená a sledovanie zlyhá.

Pri analýze presnosti činnosti vzhľadom na nenáhodnú zložku signálu g(t) je nelineárny prvok F(e) podľa metódy štatistickej linearizácie nahradený lineárnou väzbou s koeficientom prenosu . Dynamická chyba, ako je uvedené vyššie, sa nachádza podľa vzorca:

Príklad nájdenia a , ako aj určenie podmienky zlyhania sledovania je uvedený v.

Samotestovacie otázky

1. Vymenujte približné metódy analýzy nelineárnych systémov.

2. Čo je podstatou metódy harmonickej linearizácie?

3. Čo je podstatou metódy štatistickej linearizácie?

4. Pre ktoré nelineárne spojenia platí q¢ (a) = 0?

5. Aké kritériá štatistickej ekvivalencie poznáte?

Presne povedané, lineárne systémy v prírode neexistujú, všetky reálne systémy sú nelineárne. Rôzne senzory, detektory, diskriminátory, zosilňovače, analógovo-digitálne a digitálno-analógové prevodníky, riadiace zariadenia a akčné členy majú nelineárne charakteristiky.

Neexistuje žiadna všeobecná teória na analýzu nelineárnych systémov. Vedci vyvinuli rôzne metódy na analýzu nelineárnych systémov, ktoré umožňujú riešiť problémy analýzy za určitých podmienok a obmedzení.

Charakterizujme najbežnejšie metódy analýzy nelineárnych systémov.

Metóda fázovej roviny. Táto metóda sa nazýva aj metóda fázových portrétov alebo fázových priestorov. Táto metóda vám umožňuje vizuálne analyzovať pomocou grafických konštrukcií správanie nelineárnych systémov popísaných nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami nie vyššieho ako druhého (tretieho) rádu.

Metóda lineárnej aproximácie po častiach. Táto metóda využíva po častiach lineárnu aproximáciu charakteristiky nelineárneho prvku, analyzuje systém ako lineárny pre rôzne hodnoty signálu a potom spojí výsledky analýzy dohromady. Metóda sa vyznačuje vysokou náročnosťou analýzy a nízkou presnosťou výsledkov, najmä v miestach „zosieťovania“.

Metóda harmonickej linearizácie. Táto metóda sa používa v prípadoch, keď je za nelineárnym prvkom pripojený lineárny dolnopriepustný filter a vstupný efekt je harmonický.

Metóda štatistickej linearizácie. Táto metóda sa používa v prípadoch, keď ako vstupný signál pôsobí stacionárny náhodný proces. Pri tejto metóde je skutočný nelineárny prvok nahradený lineárnym prvkom, ktorého výstupné matematické očakávanie a rozptyl procesu sú rovnaké ako výstup skutočného nelineárneho prvku. Metódy na určenie parametrov ekvivalentného lineárneho prvku môžu byť odlišné.

Metóda Markovovho procesu. Táto metóda sa používa pre nestacionárne náhodné vstupné signály, ale analytické riešenie možno nájsť len pre systémy nie vyššie ako druhého rádu.

Metóda počítačovej simulácie. Táto metóda tvrdí, že je univerzálna, nemá žiadne zásadné obmedzenia týkajúce sa povahy nelinearity a poriadku systému. V súčasnosti je to najbežnejšia metóda analýzy nelineárnych systémov, jedinou nevýhodou metódy je absencia akýchkoľvek analytických výsledkov analýzy (vo forme vzorcov).

Charakteristika znázornená na obrázku 1.5b je trojpolohové relé, v ktorom je dodatočná poloha spôsobená necitlivosťou. Rovnica takejto charakteristiky

x von		x v	< a ,

x von	B siqn(xin)	x v	>a.

Charakteristika znázornená na obrázku 1.5c je dvojpolohové relé s hysterézou. Nazýva sa aj „relé s pamäťou“. „Pamätá si“ svoj predchádzajúci stav a v rámci vstupu x< a сохраняет это своё значение. Уравне-

definícia takejto charakteristiky

xout = b siqn(x − a)	xin > 0,
xout = b siqn(x + a)
xout = b siqn(x + a)	x v< 0 ,

x von = + b	xin > − a ;	x&in< 0,
x von = − b	xin< a;	xin > 0,

Charakteristika znázornená na obrázku 1.5 d je trojpolohové relé s hysterézou, v ktorom je dodatočná poloha kvôli mŕtvej zóne. Rovnica takejto charakteristiky

Z vyššie uvedených rovníc je zrejmé, že pri absencii hysteréznej slučky výstupná činnosť relé závisí iba od hodnoty xin alebo xout = f (xin).

V prítomnosti hysteréznej slučky hodnota x out závisí aj od derivácie vzhľadom na x in alebo x out = f (x in ,x & in), kde x & in charakterizuje prítomnosť „pamäte“ v relé.

[ siqn(x − a2

) + siqn(x + a1)]

[ siqn(x + a2

) + siqn(x − а1 )]

Na riešenie problémov analýzy a syntézy nelineárneho systému je potrebné najskôr zostrojiť jeho matematický model, ktorý charakterizuje spojenie medzi výstupnými signálmi systému a signálmi odrážajúcimi vplyvy aplikované na systém. Výsledkom je, že získame nelineárnu diferenciálnu rovnicu vysokého rádu, niekedy s množstvom logických vzťahov. Moderná počítačová technológia umožňuje riešiť akékoľvek nelineárne rovnice a bude potrebné vyriešiť neuveriteľne veľké množstvo týchto nelineárnych diferenciálnych rovníc. Potom vyberte ten najlepší. No zároveň si človek nemôže byť istý, že zvolené riešenie je skutočne optimálne a nevie sa, ako zvolené riešenie zlepšiť. Preto jeden z problémov teórie riadenia je nasledujúci.

Tvorba metód návrhu riadiaceho systému, ktoré umožňujú určiť najlepšiu štruktúru a optimálne pomery parametrov systému.

Na dokončenie tejto úlohy potrebujete nasledujúce metódy výpočtu, ktoré

umožňujú pomerne jednoduchou formou určiť matematické súvislosti medzi parametrami nelineárneho systému a dynamickými indikátormi procesu riadenia.

leniya. A to bez nájdenia riešenia nelineárnej diferenciálnej rovnice. Na vyriešenie problému sú nelineárne charakteristiky reálnych prvkov systému nahradené niektorými idealizovanými približnými charakteristikami. Výpočet nelineárnych systémov pomocou takýchto charakteristík dáva približné výsledky, ale hlavné je, že získané závislosti umožňujú dať do súvislosti štruktúru a parametre systému s jeho dynamickými vlastnosťami.

V najjednoduchších prípadoch a hlavne pre nelineárny systém druhého rádu sa používa metóda fázovej cesty, ktorý vám umožňuje názorne ukázať dynamiku pohybu nelineárneho systému pre rôzne typy nelineárneho prepojenia s prihliadnutím na počiatočné podmienky. Pri tejto metóde je však ťažké brať do úvahy rôzne vonkajšie vplyvy.

Používa sa pre systém vysokého poriadku metóda harmonickej linearizácie. Pri konvenčnej linearizácii sa nelineárna charakteristika považuje za lineárnu a stráca niektoré vlastnosti. Pri harmonickej linearizácii sú zachované špecifické vlastnosti nelineárneho spojenia. Ale táto metóda je približná. Používa sa pri splnení viacerých podmienok, ktoré sa ukážu pri výpočte nelineárneho systému pomocou tejto metódy. Dôležitou vlastnosťou tejto metódy je, že priamo spája parametre systému s dynamickými ukazovateľmi regulačného procesu.

Na určenie štatistickej chyby regulácie pri náhodných vplyvoch použite metóda štatistickej linearizácie. Podstatou tejto metódy je, že nelineárny prvok je nahradený ekvivalentným lineárnym prvkom, ktorý rovnako ako nelineárny prvok transformuje prvé dva štatistické momenty náhodnej funkcie: matematické očakávanie (priemerná hodnota) a disperziu ( alebo štandardná odchýlka). Existujú aj iné metódy analýzy nelineárnych systémov. Napríklad, metóda malých parametrov vo forme B.V. Bulgakov. Asymptotická metóda N.M. Krylov a N.N. Bogolyubova analyzovať proces v čase blízko periodického riešenia. Grafoanalytické Metóda umožňuje redukovať nelineárny problém na lineárny. Metóda harmonickej rovnováhy, ktorý používal L.S. Goldfarbovi za analýzu stability nelineárnych systémov pomocou Nyquistovho kritéria. Graficko-analytické metódy, medzi ktorými je najrozšírenejšia metóda D.A. Baškirovej. Z rôznych výskumných metód bude táto učebnica zvažovať: metódu fázových trajektórií, metódu bodových transformácií, metódu harmonickej linearizácie E.P. Popov, graficko-analytická metóda L.S. Goldfarb, kritérium absolútnej stability podľa V.M. Popov, metóda štatistickej linearizácie.

kapitola7

Analýza nelineárnych systémov

Riadiaci systém pozostáva z jednotlivých funkčných prvkov, na matematický popis ktorých sa používajú štandardné elementárne väzby (pozri časť 1.4). Medzi typickými elementárnymi článkami je jeden zotrvačný (výstužný) článok. Statická charakteristika takéhoto prepojenia spájajúceho vstup X a deň voľna r množstvá, lineárne: r=Kx. Reálne funkčné prvky riadiaceho systému majú nelineárnu statickú charakteristiku r=f(X). Typ nelineárnej závislosti f(∙) sa môže meniť:

Funkcie s premenlivým sklonom (funkcie s efektom „sýtosti“, goniometrické funkcie atď.);

Po častiach lineárne funkcie;

Reléové funkcie.

Najčastejšie je potrebné brať do úvahy nelineárnosť statickej charakteristiky citlivého prvku riadiaceho systému, t.j. nelineárnosť diskriminačnej charakteristiky. Zvyčajne sa snažia zabezpečiť činnosť riadiaceho systému v lineárnom úseku diskriminačnej charakteristiky (ak to typ funkcie umožňuje f(∙)) a použite lineárny model r=Kx. Niekedy to nie je možné dosiahnuť z dôvodu veľkých hodnôt dynamických a fluktuačných zložiek chyby riadiaceho systému alebo z dôvodu tzv. výraznej nelinearity funkcie. f(∙), ktoré sú vlastné napríklad funkciám relé. Potom je potrebné vykonať rozbor riadiaceho systému s prihliadnutím na väzby, ktoré majú nelineárnu statickú charakteristiku, t.j. analyzovať nelineárny systém.

7.1. Vlastnosti nelineárnych systémov

Procesy v nelineárnych systémoch sú oveľa rozmanitejšie ako procesy v lineárnych systémoch. Všimnime si niektoré vlastnosti nelineárnych systémov a procesov v nich.

1. Neplatí princíp superpozície: reakcia nelineárneho systému sa nerovná súčtu reakcií na jednotlivé vplyvy. Napríklad nezávislý výpočet dynamických a fluktuačných zložiek chyby sledovania, vykonaný pre lineárne systémy (pozri časť 3), je nemožný pre nelineárne systémy.

2. Vlastnosť komutatívnosti nie je použiteľná pre štruktúrny diagram nelineárneho systému (lineárne a nelineárne väzby nemožno zamieňať).

3. V nelineárnych systémoch sa menia podmienky stability a samotný pojem stability. Správanie sa nelineárnych systémov z hľadiska ich stability závisí od vplyvu a počiatočných podmienok. Okrem toho je v nelineárnom systéme možný nový typ procesu v ustálenom stave - samooscilácie s konštantnou amplitúdou a frekvenciou. Takéto samooscilácie, v závislosti od ich amplitúdy a frekvencie, nemusia narušiť výkon nelineárneho riadiaceho systému. Preto sa nelineárne systémy už nerozdeľujú na dve triedy (stabilná a nestabilná), ako lineárne systémy, ale delia sa na väčší počet tried.

Pre nelineárne systémy ruský matematik A.M. Ljapunov v roku 1892 zaviedol pojmy stability „v malom“ a „vo veľkom“: systém je stabilný „v malom“, ak s určitou (dostatočne malou) odchýlkou od bodu stabilnej rovnováhy zostáva v danom stave. (obmedzená) oblasť ε a systém je stabilne „veľký“, ak zostane v oblasti ε pre akúkoľvek odchýlku od stabilného rovnovážneho bodu. Všimnite si, že oblasť ε môže byť nastavená podľa potreby v blízkosti stabilného bodu rovnováhy, preto platí to, čo je uvedené v ods. 2 zostáva definícia stability lineárnych systémov v platnosti a je ekvivalentná definícii asymptotickej stability podľa Ljapunova. Predtým zvažované kritériá stability pre lineárne systémy pre skutočné nelineárne systémy by sa zároveň mali vnímať ako kritériá stability „v malom“.

4. V nelineárnych systémoch sa prechodné procesy kvalitatívne menia. Napríklad v prípade funkcie f(∙) s premenlivým sklonom v nelineárnom systéme 1. rádu je prechodný proces opísaný exponenciálou s meniacim sa parametrom T.

5. Obmedzená apertúra diskriminačnej charakteristiky nelineárneho systému je príčinou zlyhania sledovania (systém je stabilný „v malom“). V tomto prípade je potrebné vyhľadať signál a uviesť systém do režimu sledovania (koncept vyhľadávacieho a sledovacieho merača je uvedený v časti 1.1). V synchronizačných systémoch s periodickou rozlišovacou charakteristikou sú možné skoky vo výstupnej hodnote.

Prítomnosť uvažovaných vlastností nelineárnych systémov vedie k potrebe použiť špeciálne metódy na analýzu takýchto systémov. Do úvahy sa berú nasledovné:

Metóda založená na riešení nelineárnej diferenciálnej rovnice a umožňujúca najmä určenie chyby v ustálenom stave, ako aj zachytávanie a udržiavanie pásiem nelineárneho PLL systému;

Metódy harmonickej a štatistickej linearizácie, vhodné na analýzu systémov s výrazne nelineárnym prvkom;

Metódy analýzy a optimalizácie nelineárnych systémov založené na výsledkoch teórie Markovových procesov.

7.2. Analýza regulárnych procesov v nelineárnom PLL systéme