2.1. 라플라스 함수(확률 적분)형식은 다음과 같습니다.
라플라스 함수의 그래프는 그림 5에 나와 있습니다.
기능 에프(엑스) 표로 작성되었습니다 (부록의 표 1 참조). 이 테이블을 사용하려면 알아야 할 사항 라플라스 함수의 속성:
1) 기능 Ф( 엑스) 이상한: 에프(-엑스)= -에프(엑스).
2) 기능 에프(엑스) 단조롭게 증가합니다.
3) 에프(0)=0.
4) 에프(+¥ )=0,5; 에프(-¥ )=-0.5. 실제로 x³5에 대해 함수는 다음과 같다고 가정할 수 있습니다. 에프(엑스)=0.5; x £ -5 함수의 경우 에프(엑스)=-0,5.
2.2. 라플라스 함수에는 다른 형태도 있습니다:
그리고 
이러한 형태와는 대조적으로, 기능은 에프(엑스)를 표준 또는 정규화된 라플라스 함수라고 합니다. 이는 다른 형태의 관계와 연결됩니다.
 |
예 2.연속확률변수 엑스매개변수가 있는 정규 분포 법칙이 있습니다. 중=3, 에스=4. 테스트 결과 확률 변수가 다음과 같은 확률을 구합니다. 엑스: a) 간격 (2; 6)에 포함된 값을 사용합니다. b) 2보다 작은 값을 취합니다. c) 10보다 큰 값을 취합니다. d) 2를 초과하지 않는 범위 내에서 수학적 기대치로부터 벗어나십시오. 문제에 대한 해결책을 그래픽으로 설명하십시오.
해결책. a) 정규확률변수가 나올 확률 엑스지정된 간격( a,b), 어디 ㅏ=2 및 비=6, 같음:
라플라스 함수 값 에프엑스(F(x))다음을 고려하여 부록에 주어진 표에 따라 결정됩니다. 에프(–엑스)= –에프(엑스).
b) 정규확률변수가 나올 확률 엑스다음과 같은 2보다 작은 값을 취합니다.
c) 정규확률변수가 나올 확률 엑스다음과 같이 10보다 큰 값을 취합니다.
d) 정규확률변수가 나올 확률 엑스 디=2, 같음:
와 함께 기하학적 점관점에서 볼 때 계산된 확률은 정규 곡선 아래 음영 영역과 수치적으로 동일합니다(그림 6 참조).
 |
|||
 |
|
쌀. 6. 정규곡선 무작위 변수 엑스~N(3;4)
예시 3.샤프트 직경은 체계적인(동일 부호) 오류 없이 측정됩니다. 무작위 측정 오류는 표준 편차가 10mm인 정규 분포를 따릅니다. 절대값이 15mm를 초과하지 않는 오차로 측정이 이루어질 확률을 구하십시오.
해결책.무작위 오류에 대한 수학적 기대값은 0입니다. 중 엑스수학적 기대치에서 다음보다 작은 양만큼 벗어날 것입니다. 디=15, 다음과 같음:
실시예 4. 기계는 공을 생산합니다. 편차가 있는 경우 공은 유효한 것으로 간주됩니다. 엑스설계 크기의 볼 직경의 절대값은 0.7mm 미만입니다. 확률변수가 있다고 가정하면 엑스표준편차가 0.4mm인 정규분포를 이용하여 생산된 100개의 공 중에서 적합한 공의 평균 개수를 구하십시오.
해결책.임의의 값 엑스- 설계 크기에서 볼 직경의 편차. 편차의 수학적 기대값은 0입니다. 즉, 중(엑스)=중=0. 그러면 정규확률변수가 나올 확률은 엑스수학적 기대치에서 다음보다 작은 양만큼 벗어날 것입니다. 디=0.7, 동일:
따라서 100개 중 약 92개의 공이 적합할 것입니다.
실시예 5.규칙 "3" 증명 에스».
해결책.정규확률변수가 나올 확률 엑스수학적 기대치에서 다음보다 작은 양만큼 벗어날 것입니다. d= 3에스, 동일하다:
실시예 6.임의의 값 엑스수학적 기대를 갖는 정규 분포 중=10. 적중 확률 엑스(10, 20) 구간에서는 0.3과 같습니다. 타격 확률은 얼마나 되나요? 엑스(0, 10) 간격에 있나요?
해결책.정규곡선은 직선을 중심으로 대칭이다 엑스=중=10이므로 정규 곡선의 위쪽과 간격 (0, 10) 및 (10, 20)의 아래쪽 경계가 서로 같습니다. 면적은 수치상으로 적중 확률과 동일하기 때문에 엑스그럼 적당한 간격으로.
라플라스의 국소 및 적분 정리
이 기사는 다음과 같은 수업의 자연스러운 연속입니다. 독립 테스트, 우리가 만난 곳 베르누이의 공식그리고 일했다 전형적인 예이 주제에 대해. 라플라스의 국소 및 적분 정리(Moivre-Laplace)는 충분히 많은 수의 독립적인 테스트에 적용할 수 있다는 차이점을 제외하고 유사한 문제를 해결합니다. "로컬", "적분", "정리"라는 단어를 얼버무릴 필요가 없습니다. 자료는 Laplace가 나폴레옹의 곱슬 머리를 두드리는 것과 동일한 방식으로 쉽게 마스터됩니다. 따라서 복잡하고 예비적인 설명 없이 즉시 데모 예제를 고려해 보겠습니다.
동전은 400번 던져집니다. 앞면이 200번 나올 확률을 구하세요.
에 의해 특징여기에 적용해야지 베르누이의 공식 
. 이 글자의 의미를 기억해 봅시다.
는 독립적인 시행에서 무작위 이벤트정확히 한 번만 올 것입니다.
– 이항계수;
– 각 시행에서 사건이 발생할 확률;
우리의 임무와 관련하여:
- 총 시험 횟수
– 머리가 떨어져야 하는 던지기 횟수;
따라서 400번의 동전 던지기 결과 앞면이 정확히 200번 나올 확률은 다음과 같습니다. ...그만, 다음에 무엇을 해야 할까요? 마이크로 계산기(적어도 내 것)는 400도에 대처하지 못하고 항복했습니다. 계승. 하지만 제품을 통해 뭔가를 계산하고 싶지는 않았습니다 =) 사용합시다 표준 엑셀 기능, 몬스터를 처리하는 데 성공했습니다.
나는받은 내용에주의를 기울이고 싶습니다. 정확한의미와 그러한 해결책이 이상적인 것 같습니다. 첫눈에. 다음은 몇 가지 설득력 있는 반론입니다.
- 첫째, 소프트웨어가까이 있지 않을 수도 있습니다.
– 둘째, 솔루션이 비표준처럼 보일 것입니다. (상당한 확률로 마음을 바꿔야 할 것입니다);
그러므로 독자 여러분, 가까운 장래에 우리는 다음을 기대합니다.
국소 라플라스 정리
각 시행에서 무작위 사건이 발생할 확률이 일정하면 각 시행에서 사건이 정확히 한 번 발생할 확률은 대략 다음과 같습니다. 
, 어디 .
또한 가 클수록 계산된 확률은 얻은 정확한 값에 더 가까워집니다. (적어도 가정적으로는)베르누이의 공식에 따르면 권장되는 최소 테스트 수는 약 50-100개입니다. 그렇지 않으면 결과가 진실과 다를 수 있습니다. 또한 로컬 라플라스 정리는 확률이 0.5에 가까울수록 더 잘 작동하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 0이나 1에 가까운 값에 대해 심각한 오류가 발생합니다. 그렇기 때문에 또 다른 기준은 효과적인 사용방식 
불평등이다 ()
.
따라서 예를 들어 이면 50번의 테스트에 대한 라플라스 정리의 적용이 정당화됩니다. 그러나 만약 그리고 , 그러면 또한 근사치 (정확한 값으로)나쁠 것이다.
이유와 특수 기능에 대해 
우리는 수업 시간에 이것에 대해 이야기할 것입니다 정규 확률 분포, 그러나 지금은 문제의 형식적인 계산 측면이 필요합니다. 특히, 중요한 사실~이다 동등이 기능: 
.
발행해 드립니다 공식적인 관계우리의 예를 들면:
문제 1
동전은 400번 던져집니다. 앞면이 정확히 나올 확률을 구하세요.
a) 200회
b) 225번.
어디서부터 시작해야 할까요? 해결책? 먼저, 알려진 수량을 우리 눈앞에 적어 보겠습니다.
– 독립적인 테스트의 총 횟수
– 각 던질 때 앞면이 나올 확률;
- 착륙 머리의 확률.
a) 400번의 연속 던지기에서 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 찾아봅시다. 우리가 사용하는 테스트 수가 많기 때문에 지역정리라플라스: 
, 어디 
.
첫 번째 단계에서는 인수에 필요한 값을 계산합니다.
다음으로 해당 함수 값을 찾습니다. 이는 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 우선, 직접 계산은 다음과 같이 제안합니다.
반올림은 일반적으로 소수점 4자리까지 수행됩니다.
직접 계산의 단점은 모든 마이크로 계산기가 지수를 소화할 수 있는 것은 아니며 계산이 특별히 즐겁지 않고 시간이 걸린다는 것입니다. 왜 그렇게 많은 고통을 받는가? 사용 터버 계산기 (포인트 4)즉시 가치를 얻으십시오!
또한, 기능 값 테이블, 특히 확률론에 관한 거의 모든 책에 나오는 내용입니다. 교과서 V.E. 그무르만. 아직 다운로드하지 않았다면 다운로드하세요. 거기에는 유용한 것들이 많이 있습니다 ;-) 그리고 테이블 사용법을 꼭 배우세요(지금 당장!)– 적합한 컴퓨팅 장비가 항상 준비되어 있지 않을 수도 있습니다!
~에 마지막 스테이지공식을 적용하다 
:
- 400번의 동전 던지기에서 앞면이 정확히 200번 나올 확률.
보시다시피, 얻은 결과는 다음에서 계산한 정확한 값에 매우 가깝습니다. 베르누이의 공식.
b) 일련의 400번 시행에서 앞면이 정확히 한 번 나타날 확률을 구하십시오. 우리는 라플라스의 국소정리(Laplace's local theorem)를 사용합니다. 하나, 둘, 셋 - 그러면 끝입니다.
– 원하는 확률.
답변:
많은 사람들이 짐작했듯이 다음 예는 출산에 관한 것입니다. 이것은 당신을위한 것입니다. 독립적인 결정:)
문제 2
아들을 가질 확률은 0.52이다. 100명의 신생아 중에 정확히 a) 40명의 남자아이, b) 50명의 남자아이, c) 30명의 여자아이가 있을 확률을 구하십시오.
결과를 소수점 이하 4자리로 반올림합니다.
...여기서 "독립 테스트"라는 문구가 흥미로워 보입니다. =) 그런데, 실제 통계적 확률세계 여러 지역에서 남아의 출생률은 0.51에서 0.52 사이입니다.
수업이 끝나면 작업의 대략적인 예입니다.
모든 사람들은 숫자가 아주 작은 것으로 판명되었으며 이것이 오해의 소지가 있어서는 안 됩니다. 결국 우리는 개별 확률에 대해 이야기하고 있습니다. 현지의값 (따라서 정리의 이름). 그리고 그러한 가치는 많이 있으며, 비유적으로 말하면 그 확률은 "모든 사람에게 충분해야 합니다." 사실, 많은 이벤트가 있을 것입니다. 거의 불가능한.
동전의 예를 사용하여 위의 내용을 설명하겠습니다. 일련의 400번의 시행에서 앞면은 이론적으로 0에서 400번까지 떨어질 수 있으며 이러한 이벤트는 전체 그룹:
그러나 이러한 값의 대부분은 아주 작은 값입니다. 예를 들어 머리가 250번 나타날 확률은 이미 천만 분의 1입니다. 다음과 같은 값에 대해 
재치있게 침묵을 지키자 =)
반면에, 적당한 결과를 과소평가해서는 안 됩니다. 만약 그것이 단지 약 이라면, 착륙 머리의 확률은, 예를 들어, 220에서 250배, 매우 눈에 띄게 될 것입니다.
이제 생각해 봅시다: 이 확률을 어떻게 계산할 것인가? 세지 마세요 양립할 수 없는 사건의 확률 덧셈 정리양:
이 값은 훨씬 간단합니다 결합하다. 아시다시피 무언가를 결합하는 것을 완성:
라플라스의 적분 정리
각 시행에서 무작위 사건이 발생할 확률이 일정하면 확률은 다음과 같습니다. 
재판에서 그 사건이 일어날 것이라고 더도 말고 더도 말고 (부터 ~ 시간 포함), 대략 다음과 같습니다:
이 경우에는 물론 테스트 횟수도 충분히 커야 하며 확률이 너무 작거나 높아서는 안 됩니다. (약)그렇지 않으면 근사치는 중요하지 않거나 나쁠 것입니다.
함수가 호출됩니다. 라플라스 함수, 그 값은 다시 표준 표에 요약되어 있습니다 ( 그것을 찾아서 일하는 법을 배우십시오 !!). 적분은 결합할 수 없기 때문에 마이크로 계산기는 여기서 도움이 되지 않습니다. 그러나 Excel에는 해당 기능이 있습니다. 포인트 5 디자인 레이아웃.
실제로 가장 일반적인 다음 값:
- 노트에 복사하세요.
에서 시작하여 , 또는 더 엄격하게 작성하면 다음과 같이 가정할 수 있습니다. 
또한, 라플라스 함수 이상한: 
, 이 속성은 우리가 이미 지친 작업에서 적극적으로 활용됩니다.
문제 3
사수가 목표물에 명중할 확률은 0.7이다. 100발의 사격으로 목표물이 65회에서 80회까지 명중할 확률을 구하십시오.
가장 현실적인 예를 선택했습니다. 그렇지 않으면 여기에서 범인이 수천 발의 총알을 발사하는 몇 가지 작업을 찾았습니다 =)
해결책: 이 문제에서 우리가 이야기하고 있는 것은 반복된 독립적 테스트, 그 수는 상당히 많습니다. 조건에 따라 표적이 65회 이상, 80회 이하로 명중할 확률을 구해야 하는데, 이는 라플라스의 적분 정리를 사용해야 함을 의미합니다.
편의상 열의 원본 데이터를 다시 작성해 보겠습니다.
– 총 샷;
– 최소 히트 수;
– 최대 히트 수;
– 각 샷으로 목표물을 맞출 확률;
- 각 샷의 실패 확률.
따라서 라플라스의 정리는 좋은 근사치를 제공할 것입니다.
인수 값을 계산해 보겠습니다. 
작품이 뿌리부터 완전히 추출될 필요는 없다는 사실에 주목하고 싶다. (문제 작성자는 숫자를 "조정"하는 것을 좋아하므로)– 의심의 여지 없이 근을 추출하고 결과를 반올림합니다. 나는 소수점 4자리를 남기는 데 익숙하다. 그러나 결과 값은 일반적으로 소수점 이하 2자리로 반올림됩니다. 이 전통은 기능 값 테이블, 여기서 인수는 정확히 다음 형식으로 표시됩니다.
위의 표를 사용하거나 terver의 디자인 레이아웃 (포인트 5).
서면 의견으로 다음 문구를 넣는 것이 좋습니다. 해당 테이블을 사용하여 함수 값을 찾습니다.:
– 100발의 사격으로 목표물이 65~80회 명중할 확률입니다.
홀수 함수를 꼭 활용해보세요!혹시 모르니 자세히 적어보겠습니다.
사실은 기능 값 테이블긍정적인 "X"만 포함되어 있으며 우리는 작업 중입니다. (적어도 "전설"에 따르면)테이블과 함께!
답변:
결과는 대부분 소수점 이하 4자리로 반올림됩니다. (다시 표 형식에 따라).
스스로 해결하려면:
문제 4
건물에는 2500개의 램프가 있으며 저녁에 각각이 켜질 확률은 0.5입니다. 저녁에 최소 1250개에서 최대 1275개의 램프가 켜질 확률을 구하십시오.
수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 샘플.
고려 중인 작업은 다음과 같이 "비개인적인" 형태로 발생하는 경우가 매우 많습니다.
0.5의 확률로 무작위 사건이 발생할 수 있는 실험이 수행되었습니다. 실험은 변경되지 않은 조건에서 2500회 반복됩니다. 2500번의 실험에서 사건이 1250번에서 1275번 발생할 확률을 구하십시오.
그리고 비슷한 공식이 지붕을 통해 나오고 있습니다. 작업의 진부한 성격으로 인해 그들은 종종 상태를 숨기려고 시도합니다. 이것은 어떻게든 솔루션을 다양화하고 복잡하게 만들 수 있는 "유일한 기회"입니다.
문제 5
이 연구소에는 1000명의 학생들이 공부하고 있습니다. 식당 좌석은 105석입니다. 각 학생은 쉬는 시간에 식당에 0.1의 확률로 간다. 일반적인 수업일에 다음과 같은 일이 발생할 확률은 얼마입니까?
a) 식당은 2/3 이하로 꽉 찼습니다.
b) 모든 사람을 수용할 좌석이 충분하지 않습니다.
"정규 수업일"이라는 중요한 조항에 주목하고 싶습니다. 이는 상황이 상대적으로 변하지 않도록 보장합니다. 공휴일 이후에는 학원에 오는 학생 수가 현저히 줄어들 수 있으며, “Day”에는 열린 문“배고픈 대표단이 도착할 것입니다 =) 즉, “비정상적인” 날에는 확률이 눈에 띄게 다를 것입니다.
해결책: 우리는 Laplace의 적분 정리를 사용합니다.
이 작업에서는 다음을 수행합니다.
– 해당 연구소의 총 학생 수;
– 학생이 긴 방학 동안 구내식당에 갈 확률;
– 반대 사건의 확률.
a) 전체 좌석 수의 2/3를 차지하는 좌석 수를 계산해 보겠습니다.
정규 수업일에 구내식당이 3분의 2 이하로 차 있을 확률을 찾아봅시다. 무슨 뜻이에요? 즉, 큰 휴식 시간에는 0명에서 70명까지 올 것이라는 뜻이다. 사람이 안오거나 소수의 학생만 온다는 사실~ 이벤트도 있어요 사실상 불가능그러나 라플라스의 적분 정리를 적용할 목적에서는 이러한 확률을 여전히 고려해야 합니다. 따라서: 
해당 인수를 계산해 보겠습니다. 
결과적으로:
– 정규 수업일에 구내식당이 2/3 이하로 차 있을 확률.
알림 : 라플라스 함수가 와 같다고 간주되는 경우.
그래도 군중을 기쁘게합니다 =)
나) 이벤트 “모두가 앉을 자리가 부족해요”큰 휴식 시간 동안 106명에서 1000명까지 점심 식사를 위해 식당에 올 것이라는 점입니다 (가장 중요한 것은 잘 압축하는 것입니다 =)).높은 참석률은 믿을 수 없을 만큼 분명하지만, 그럼에도 불구하고: 
.
우리는 인수를 계산합니다. 
따라서 모든 사람이 앉을 수 있는 좌석이 충분하지 않을 확률은 다음과 같습니다.
답변:
이제 하나에 집중해보자 중요한 뉘앙스
방법: 계산을 수행할 때 단일 세그먼트, 그러면 모든 것이 "클라우드 없음"입니다. 고려된 템플릿에 따라 결정합니다. 그러나 우리가 고려한다면 전체 이벤트 그룹표시되어야 한다 어느 정도의 정확성. 방금 논의한 문제의 예를 사용하여 이 점을 설명하겠습니다. "be" 지점에서 우리는 모든 사람을 위한 좌석이 충분하지 않을 가능성을 발견했습니다. 다음으로 동일한 구성표를 사용하여 다음을 계산합니다.
– 충분한 장소가 있을 확률.
이러한 사건 이후 반대이면 확률의 합은 1과 같아야 합니다.
무슨 일이야? – 여기서는 모든 것이 논리적인 것 같습니다. 요점은 라플라스 함수가 마디 없는, 그러나 우리는 고려하지 않았습니다 간격 105에서 106까지. 여기서 0.0338 조각이 사라졌습니다. 그렇기 때문에 동일한 표준 공식을 사용하여다음과 같이 계산해야 합니다.
글쎄, 아니면 더 간단합니다:
질문이 생깁니다: 우리가 처음으로 발견하면 어떻게 될까요? 그런 다음 다른 버전의 솔루션이 있습니다.
그런데 어떻게 이런 일이 있을 수 있지?! – 두 가지 방법은 서로 다른 답변을 제공합니다! 간단합니다. 라플라스의 적분 정리는 다음과 같은 방법입니다. 닫다계산이므로 두 가지 방법 모두 허용됩니다.
보다 정확한 계산을 위해서는 다음을 사용해야 합니다. 베르누이의 공식예를 들어 Excel 함수 이노미스트. 결과적으로 그 응용우리는 다음을 얻습니다:
그리고 저는 이 미묘함에 주목한 사이트 방문자 중 한 명에게 감사를 표합니다. 전체 이벤트 그룹에 대한 연구가 실제로 거의 발견되지 않기 때문에 그것은 제 시야에서 벗어났습니다. 관심 있는 사람들은 익숙해질 수 있습니다.
베이즈 공식
이벤트 B 1, B 2,…, B n은 호환되지 않으며 완전한 그룹을 형성합니다. P(B1)+ P(B2)+… + P(Bn)=1. 그리고 사건 A는 사건 B 1,B 2,…,B n 중 하나가 나타날 때만 발생한다고 가정합니다. 그런 다음 사건 A의 확률은 총 확률 공식을 사용하여 구됩니다.
사건 A가 이미 발생했다고 가정합니다. 그런 다음 베이즈 공식을 사용하여 가설 B 1, B 2,…, Bn의 확률을 과대평가할 수 있습니다.
베르누이의 공식
사건 A가 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있는 n개의 독립적인 시행을 수행한다고 가정합니다. 사건 A의 발생(비발생) 확률은 p(q=1-p)와 같습니다.
n번의 독립 시행에서 사건 A가 정확히 한 번(어떤 순서에 따라) 발생할 확률은 베르누이 공식을 사용하여 구합니다.
n번의 독립적 시행에서 사건이 발생할 확률은 다음과 같습니다.
ㅏ). Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k-1)배보다 작습니다.
비). 두 번 이상 P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
V). 적어도 Pn(k)+Pn(k+1)+…+Pn(n)의 배.
G). Pn(0)+Pn(1)+…+Pn(k)의 k배 이하입니다.
라플라스의 지역 및 적분 정리.
n이 충분히 클 때 이 정리를 사용합니다.
국소 라플라스 정리
n번의 독립적 시행에서 사건이 정확히 'k'번 발생할 확률은 대략 다음과 같습니다.
기능 테이블 양수 값(x)는 Gmurman의 문제집 부록 1, pp. 324-325에 나와 있습니다.
()가 짝수이므로 음수 값(x)에 대해서도 동일한 표를 사용합니다.
라플라스의 적분 정리.
n번의 독립적 시행에서 사건이 최소 'k'번 발생할 확률은 대략 다음과 같습니다.
라플라스 함수
양수 값에 대한 함수 표는 부록 2, 326-327 페이지의 Gmurman 문제 책에 나와 있습니다. 5보다 큰 값의 경우 Ф(х)=0.5로 설정합니다.
라플라스 함수는 홀수 Ф(-х)=-Ф(х)이므로 음수 값(x)의 경우 동일한 테이블을 사용하고 빼기 기호가 있는 함수 값만 사용합니다.
이산확률변수의 확률분포 법칙
이항분배법.
이산형- 가능한 값은 개별 격리 숫자이며 이 변수는 특정 확률로 사용되는 무작위 변수입니다. 즉, 이산확률변수의 가능한 값에 번호를 매길 수 있습니다.
이산 확률 변수의 가능한 값 수는 유한하거나 무한할 수 있습니다.
이산 확률 변수는 대문자 X로 표시되고 가능한 값은 소문자 x1, x2, x3...으로 표시됩니다.
예를 들어.
X는 주사위에 굴린 포인트 수입니다. X는 6개의 가능한 값을 취합니다: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6, 확률 p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. .p6 =1/6.
이산확률변수의 분포 법칙가능한 값과 해당 확률의 목록을 지정하십시오.
분배법칙은 다음과 같이 주어질 수 있습니다.
1. 테이블 형태.
2. 분석적으로 - 공식 형태.
3. 그래픽적으로. 이 경우에는 직사각형 시스템 XOR 좌표, 점 M1(x1,р1), М2(x2,р2), ... Мn(хn,рn)이 구성됩니다. 이 점들은 직선 세그먼트로 연결됩니다. 결과 그림이 호출됩니다. 분포 다각형.
이산 확률 변수(x)의 분포 법칙을 작성하려면 가능한 모든 값을 나열하고 해당 확률을 찾아야 합니다.
Bernoulli 공식을 사용하여 해당 확률을 구하면 이러한 분포 법칙을 이항이라고 합니다.
예 번호 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
이산확률변수의 수치.
기대, 분산 및 표준 편차.
이산확률변수의 평균값의 특징은 수학적 기대이다.
수학적 기대이산 확률 변수는 가능한 모든 값과 확률의 곱의 합입니다. 저것들. 분포 법칙이 주어지면 수학적 기대값은 다음과 같습니다.
이산확률변수의 가능한 값의 개수가 무한하다면,
더욱이 등식의 오른쪽에 있는 급수는 절대적으로 수렴하며 모든 확률 pi의 합은 1과 같습니다.
수학적 기대의 속성.
1. M(C)=C, C=상수.
2. M(Cx)=CM(x)
3. M(x1+x2+…+xn)=M(x1)+M(x2)+…+M(xn)
4. M(x1*x2*…*xn)=M(x1)*M(x2)*…*M(xn).
5. 이항 분포 법칙의 경우 수학적 기대값은 다음 공식으로 구합니다.
수학적 기대치를 중심으로 확률변수의 가능한 값이 분산되는 특성은 분산과 표준편차입니다.
변화이산 확률 변수(x)는 제곱 편차의 수학적 기대치라고 합니다. D(x)=M(x-M(x)) 2.
D(x) = M(x 2) - (M(x)) 2 공식을 사용하여 분산을 계산하는 것이 편리합니다.
분산의 특성.
1. D(S)=0, C=상수.
2. D(Cx)=C2D(x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. 이항분배법칙의 분산
평균 제곱편차 무작위 변수가 호출됩니다. 제곱근분산에서.
예. 191, 193, 194, 209, d/z.
연속 확률 변수(RCV) 확률의 누적 분포 함수(CDF)입니다. 마디 없는- 유한 또는 무한 간격의 모든 값을 취할 수 있는 수량입니다. NSV에는 여러 가지 가능한 값이 있으며 번호를 다시 매길 수 없습니다.
예를 들어.
발사체가 발사되었을 때 이동하는 거리를 NSV라고 합니다.
IFR은 함수 F(x)라고 하며, 각 값 x에 대해 NSV X가 값 X를 취할 확률을 결정합니다.<х, т.е. F(x)=Р(X 종종 IFR 대신 FR이라고 말합니다. 기하학적으로 평등 F(x)=P(X IF의 속성. 1. IF 값은 간격에 속합니다. 에프엑스(F(x)). 2. IF는 비감소 함수입니다. 즉, x2>x1. 결과 1. NSV X가 구간 (a; b)에 포함된 값을 취할 확률은 이 구간에서 적분 함수의 증분과 같습니다. 아빠 결과 2. NSV X가 하나의 특정 값(예: x1=0)을 취할 확률은 0과 같습니다. P(x=x1)=0. 3. NSV X의 가능한 모든 값이 (a;c)에 속하면 x에서 F(x)=0입니다.<а, и F(x)=1 при х>V. 결과 3. 다음 극한 관계가 유효합니다. 연속 확률 변수(RNV)의 확률에 대한 미분 분포 함수(DDF)(확률 밀도). DF 에프(x) NSV의 확률 분포 IFR의 1차 파생이라고 합니다.: 흔히 PDR 대신 확률밀도(PD)를 사용합니다. 정의로부터 DF F(x)를 알면 DF f(x)를 찾을 수 있습니다. 그러나 역변환도 수행됩니다. 즉, DF f(x)를 알면 DF F(x)를 찾을 수 있습니다. NSV X가 (a;b)에 속하는 값을 취할 확률은 다음과 같습니다. ㅏ). IF가 주어지면 결과 1. 비). DF가 지정된 경우 DF의 속성. 1. DF - 부정적이지 않음, 즉 . 2. () 내 DF의 부적절한 적분은 1과 같습니다. 즉 . 추론 1. NSV X의 가능한 모든 값이 (a;c)에 속한다면. 예. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z. NSV의 수치적 특성. 1. 전체 OX 축에 속하는 가능한 값인 NSV X의 수학적 기대치(ME)는 다음 공식에 의해 결정됩니다. NSV X의 가능한 모든 값이 (a;c)에 속하면 MO는 다음 공식에 의해 결정됩니다. 불연속 수량에 대해 표시된 모든 MO 특성은 연속 수량에도 보존됩니다. 2. 전체 OX 축에 속하는 가능한 값인 NSV X의 분산은 다음 공식에 의해 결정됩니다. NSV X의 가능한 모든 값이 (a;c)에 속하면 분산은 다음 공식에 의해 결정됩니다. 불연속 수량에 대해 지정된 모든 분산 특성은 연속 수량에 대해서도 유지됩니다. 3. NSV X의 표준 편차는 개별 수량과 동일한 방식으로 결정됩니다. 예. 276, 279, X, d/z. 연산 미적분학(OC). OR은 함수의 미분 및 통합 작업을 더 간단한 작업, 즉 이러한 함수의 소위 이미지 인수에 의한 곱셈 및 나눗셈으로 축소할 수 있는 방법입니다. OI를 사용하면 많은 문제를 더 쉽게 해결할 수 있습니다. 특히 LDE를 상수 계수 및 그러한 방정식의 시스템과 통합하여 선형 대수적 방정식으로 줄이는 문제입니다. 원본과 이미지. 라플라스가 변신합니다. f(t)-원본; F(p)-이미지. 전이 f(t)F(p)는 다음과 같습니다. 라플라스 변환. 함수 f(t)의 라플라스 변환은 복소 변수에 따라 F(p)라고 하며 다음 공식으로 정의됩니다. 이 적분을 라플라스 적분이라고 합니다. 이 부적절한 적분의 수렴을 위해서는 구간 f(t)가 구간 연속이고 일부 상수에 대해 M>0이며 부등식을 만족한다고 가정하는 것으로 충분합니다. 이러한 성질을 갖는 함수 f(t)를 다음과 같이 부른다. 원래의, 원본에서 이미지로의 전환을 호출합니다. 라플라스 변환. 라플라스 변환의 속성. 공식 (2)를 사용하여 이미지를 직접 결정하는 것은 일반적으로 어렵고 라플라스 변환의 속성을 사용하면 상당히 용이해질 수 있습니다. F(p)와 G(p)를 각각 원본 f(t)와 g(t)의 이미지로 둡니다. 그러면 다음과 같은 속성-관계가 유지됩니다. 1. С*f(t)С*F(p), С=const - 동질성 속성. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - 가산성 속성. 3. f(t)F(p-) - 변위 정리. 원본의 n차 파생물을 이미지로 전환합니다(원본 차별화 정리). 라플라스 함수는 비기본 함수이며 미분 방정식 이론과 확률 이론 및 통계에서 자주 사용됩니다. 라플라스 함수를 사용하면 응용 및 이론 응용 분야의 다양한 문제를 해결할 수 있으므로 특정 지식과 교육이 필요합니다. 라플라스 함수는 종종 미분 방정식을 푸는 데 사용되며 확률 적분이라고도 합니다. 이 기능이 Excel에서 어떻게 사용되는지, 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다. Excel의 확률 적분 또는 Laplace 함수는 "=NORMSDIST(z)" 구문을 갖는 "NORMSDIST" 연산자에 해당합니다. 최신 버전의 프로그램에서는 연산자 이름도 "NORM.ST.DIST"입니다. 약간 수정된 구문 “=NORM.ST.DIST(z; 적분).
이론을 정리했습니다. 연습을 계속해 봅시다. Excel에서 Laplace 함수를 사용하는 방법을 살펴보겠습니다. 1. 셀에 값을 쓰고 다음 셀에 함수를 삽입합니다. 2. “=NORM.ST.DIST(B4;1)” 함수를 수동으로 작성해 보겠습니다. 3. 또는 함수 삽입 마법사를 사용합니다. "정적" 범주로 이동하여 "전체 알파벳순 목록"을 표시합니다. 4. 나타나는 함수 인수 창에서 초기값을 지정합니다. 원래 셀은 "Z" 변수를 담당하고 "Integral"에 "1"을 삽입합니다. 우리 함수는 누적 분포 함수를 반환합니다. 5. "NORM.ST.DIST" 함수에 대한 표준 정규 적분 분포의 기성 솔루션을 얻습니다. 하지만 그것이 전부는 아닙니다. 우리의 목표는 라플라스 함수 또는 확률 적분을 찾는 것이었으므로 몇 가지 단계를 더 수행해 보겠습니다. 6. 라플라스 함수는 결과 함수의 값에서 "0.5"를 빼야 함을 의미합니다. 함수에 필요한 작업을 추가합니다. “Enter”를 누르고 최종 솔루션을 얻습니다. 원하는 값이 정확하고 빠르게 검색됩니다. Excel에서는 모든 셀 값, 셀 범위 또는 셀 참조에 대해 이 함수를 쉽게 계산합니다. "NORM.ST.DIST" 함수는 확률 적분 또는 라플라스 함수라고도 불리는 검색을 위한 표준 연산자입니다.
수학, 미분 방정식 이론, 통계 및 확률 이론에서 사용되는 가장 유명한 비초등 함수 중 하나는 라플라스 함수입니다. 문제를 해결하려면 상당한 준비가 필요합니다. Excel 도구를 사용하여 이 지표를 계산하는 방법을 알아 보겠습니다. 라플라스 함수는 폭넓게 적용되고 이론적으로 적용됩니다. 예를 들어, 미분 방정식을 푸는 데 자주 사용됩니다. 이 용어에는 확률 적분이라는 또 다른 동등한 이름이 있습니다. 어떤 경우에는 솔루션의 기초가 값 테이블의 구성입니다. Excel에서는 연산자를 사용하여 이 문제를 해결합니다. NORM.ST.DIST.. 그 이름은 "정규 표준 분포"라는 용어의 약어입니다. 주요 작업은 표준 정규 누적 분포를 선택한 셀에 반환하는 것입니다. 이 연산자는 표준 Excel 함수의 통계 범주에 속합니다. Excel 2007 및 이전 버전의 프로그램에서는 이 연산자를 호출했습니다. NORMSDIST. 호환성상의 이유로 최신 버전의 애플리케이션에서는 유지됩니다. 그러나 여전히 그들은 더 발전된 아날로그의 사용을 권장합니다. NORM.ST.DIST.. 연산자 구문 NORM.ST.DIST.다음과 같이: NORM.ST.DIST(z;적분) 레거시 연산자 NORMSDIST다음과 같이 작성됩니다. NORMSDIST(z) 보시다시피 기존 주장의 새 버전에서는 "지"인수가 추가됨 "완전한". 각 인수가 필수라는 점에 유의해야 합니다. 논쟁 "지"분포가 구성되는 숫자 값을 나타냅니다. 논쟁 "완전한"표현을 가질 수 있는 부울 값을 나타냅니다. "진실" ("1")또는 "거짓말하다" («0»)
. 첫 번째 경우에는 지정된 셀에 누적 분포 함수가 반환되고, 두 번째 경우에는 가중치 분포 함수가 반환됩니다. 변수에 필요한 계산을 수행하려면 다음 공식을 사용하십시오. NORM.ST.DIST(z;적분(1))-0.5 이제 구체적인 예를 사용하여 연산자의 사용법을 살펴보겠습니다. NORM.ST.DIST.특정 문제를 해결하기 위해.
"Z" 인수는 분포의 숫자 값을 담당합니다. "적분" 인수는 두 가지 값, 즉 "1" - 적분 분포 함수, "0" - 가중치 분포 함수를 반환합니다.
NORM.ST.DIST 연산자
문제의 해결
