이산 확률 변수는 법으로 설정됩니다. 확률변수의 분포 법칙

확률 이론의 적용에서 실험의 양적 특성은 가장 중요합니다. 정량화할 수 있고 경우에 따라 실험의 결과로 취할 수 있는 양 다른 의미이라고 랜덤 변수.

확률 변수의 예:

1. 주사위를 10번 던졌을 때 짝수점에서 빠진 횟수.

2. 연속발사를 하는 사수가 표적을 명중한 횟수.

3. 폭발하는 포탄의 파편 수.

위의 각 예에서 확률 변수는 고립된 값, 즉 자연수 시리즈를 사용하여 번호를 매길 수 있는 값만 취할 수 있습니다.

이러한 확률 변수는 가능한 값이 별도의 격리된 숫자이며 이 수량은 특정 확률로 사용됩니다. 이산.

이산 확률 변수의 가능한 값의 수는 유한하거나 무한할 수 있습니다(가산 가능).

유통법이산 확률 변수를 가능한 값과 해당 확률의 목록이라고 합니다. 이산 확률 변수의 분포 법칙은 분석 및 그래픽(확률 분포의 다각형) 테이블 형식(일련의 확률 분포)으로 지정할 수 있습니다.

이런 저런 실험을 할 때 연구된 값을 "평균적으로" 평가할 필요가 있게 됩니다. 확률변수의 평균값의 역할은 다음과 같은 수치적 특성에 의해 수행됩니다. 수학적 기대,공식에 의해 결정되는

어디 NS 1 , NS 2 ,.. , NS N- 확률 변수의 값 NS, NS NS 1 ,NS 2 , ... , NS N- 이 값의 확률(참고 NS 1 + NS 2 +…+ NS N = 1).

예시. 목표물이 발사됩니다(그림 11).

I를 치는 것은 3점, II - 2점, III - 1점을 제공합니다. 한 명의 사수가 한 번에 쓰러진 점수의 수는 다음 형식의 분포 법칙을 따릅니다.

저격수의 기술을 비교하려면 녹아웃 된 포인트의 평균 값, 즉 수학적 기대 미디엄(NS) 그리고 미디엄(와이):

미디엄(NS) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

미디엄(와이) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

두 번째 사수는 평균적으로 약간 더 높은 점수를 줍니다. 반복적으로 발사하면 최상의 결과를 얻을 수 있습니다.

수학적 기대치의 속성을 살펴보겠습니다.

1. 상수 값의 수학적 기대치는 가장 일정한 값과 같습니다.

미디엄(씨) = C.

2. 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대치는 다음 항의 수학적 기대치의 합과 같습니다.

남 =(NS 1 + NS 2 +…+ NS N)= 미디엄(NS 1)+ 미디엄(NS 2)+…+ 미디엄(NS N).

3. 상호 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대치는 요인의 수학적 기대치의 곱과 같습니다.

미디엄(NS 1 NS 2 … NS N) = 미디엄(NS 1)미디엄(NS 2)… 미디엄(NS N).

4. 이항 분포의 수학적 부정은 시행 횟수와 한 시행에서 사건이 발생할 확률의 곱과 같습니다(작업 4.6).

미디엄(NS) = 홍보.

확률 변수 "평균"이 수학적 기대치에서 어떻게 벗어나는지 평가합니다. 확률 이론에서 확률 변수 값의 확산을 특성화하기 위해 분산 개념이 사용됩니다.

분산랜덤 변수 NS편차의 제곱에 대한 수학적 기대값이라고 합니다.

NS(NS) = 미디엄[(NS - 미디엄(NS)) 2 ].

분산은 확률 변수의 분산에 대한 수치적 특성입니다. 확률 변수의 분산이 작을수록 가능한 값이 수학적 기대 근처에 더 조밀하게 위치한다는 정의에서 알 수 있습니다. 즉, 더 나은 가치확률 변수는 수학적 기대치를 특징으로 합니다.

분산은 공식에 의해 계산될 수 있다는 정의에서 따릅니다.

다른 공식을 사용하여 분산을 계산하는 것이 편리합니다.

NS(NS) = 미디엄(NS 2) - (미디엄(NS)) 2 .

분산에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

1. 상수의 분산이 0입니다.

NS(씨) = 0.

2. 제곱하여 분산 기호에서 상수 인수를 제거할 수 있습니다.

NS(CX) = 씨 2 NS(NS).

3. 독립 확률 변수 합계의 분산은 항의 분산 합계와 같습니다.

NS(NS 1 + NS 2 + NS 3 +…+ NS N)= NS(NS 1)+ NS(NS 2)+…+ NS(NS N)

4. 이항 분포의 분산은 시행 횟수와 한 시행에서 사건의 발생 및 비발생 확률의 곱과 같습니다.

NS(NS) = npq.

확률 이론에서는 확률 변수 분산의 제곱근과 같은 수치적 특성이 자주 사용됩니다. 이 수치적 특성을 표준편차라고 하며 기호로 표시됩니다.

확률 변수의 평균값에서 편차의 대략적인 크기를 특성화하고 확률 변수와 동일한 차원을 갖습니다.

4.1. 저격수는 목표물에 세 발을 발사합니다. 각 샷으로 목표물을 명중할 확률은 0.3입니다.

히트 수의 일련의 분포를 구성합니다.

해결책... 적중 횟수는 이산 확률 변수입니다. NS... 모든 가치에 NS N 랜덤 변수 NS일정한 확률이 있다 NS N .

이산 확률 변수의 분포 법칙 이 경우당신은 물을 수 있습니다 가까운 유통.

이 작업에서 NS 0, 1, 2, 3 값을 취합니다. 베르누이 공식

확률 변수의 가능한 값의 확률을 찾으십시오.

NS 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

NS 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

NS 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

NS 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

랜덤 변수의 값 정렬 NS오름차순으로 분포 시리즈를 얻습니다.

NS N

합계를 참고하십시오

확률변수가 확률을 의미한다. NS최소한 하나의 가능한 값을 취하며 이 이벤트는 신뢰할 수 있으므로

4.2 항아리에는 1부터 4까지의 숫자가 적힌 공 4개가 들어 있습니다. 공 2개가 꺼집니다. 임의 값 NS- 공의 수의 합. 확률 변수의 분포 계열 구성 NS.

해결책.확률 변수의 값 NS 3, 4, 5, 6, 7입니다. 해당 확률을 찾으십시오. 랜덤 변수 값 3 NS선택된 공 중 하나가 1이고 다른 하나가 2인 경우에만 사용할 수 있습니다. 테스트의 가능한 모든 결과의 수는 4(가능한 공 쌍의 수)의 2의 조합 수와 같습니다. .

고전적인 확률 공식에 따르면, 우리는

비슷하게,

NS(NS= 4) =NS(NS= 6) =NS(NS= 7) = 1/6.

5의 합은 1 + 4 및 2 + 3의 두 가지 경우에 나타날 수 있으므로

NS다음과 같이 보입니다.

분포 함수 찾기 NS(NS) 확률 변수 NS그녀의 일정을 짜십시오. 계산 NS그것의 수학적 기대와 분산.

해결책... 확률 변수의 분포 법칙은 분포 함수로 주어질 수 있습니다.

NS(NS) = 피(NS NS).

분포 기능 NS(NS) 전체 숫자 축에 정의된 비감소, 왼쪽 연속 함수인 반면

NS (- )= 0,NS (+ )= 1.

이산 확률 변수의 경우 이 함수는 다음 공식으로 표현됩니다.

따라서 이 경우

분포 함수 플롯 NS(NS)는 계단식 선(그림 12)

	NS(NS)

기대값미디엄(NS)는 값의 가중 산술 평균입니다. NS 1 , NS 2 ,……NS N랜덤 변수 NS저울에 ρ 1, ρ 2, …… , ρ N 확률변수의 평균값이라고 합니다. NS... 공식에 따르면

미디엄(NS)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 + … + x N ρ N

미디엄(NS) = 3 0.14 + 5 0.2 + 7 0.49 + 11 0.17 = 6.72.

분산랜덤 변수 값의 평균값에서 분산 정도를 특성화하고 다음과 같이 표시됩니다. NS(NS):

NS(NS)= 엠[(흠(NS)) 2 ]= 엠(NS 2) –[미디엄(NS)] 2 .

이산 확률 변수의 경우 분산은 다음 형식을 갖습니다.

또는 공식으로 계산할 수 있습니다.

문제의 수치 데이터를 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

미디엄(NS 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

NS(NS) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. 두 개의 주사위가 동시에 두 번 굴립니다. 이산 확률 변수의 이항 분포 법칙 작성 NS- 두 개의 주사위에서 총점이 짝수인 경우의 수.

해결책... 랜덤 이벤트를 고려하여 소개합니다.

NS= (한 번 던진 두 개의 주사위에서 총 짝수가 떨어졌습니다).

확률의 고전적인 정의를 사용하여 다음을 찾습니다.

NS(NS)= ,

어디 N - 테스트의 가능한 결과의 수는 규칙에 의해 발견됩니다.

곱셈:

N = 6∙6 =36,

미디엄 - 유리한 이벤트의 수 NS결과 - 평등

미디엄= 3∙6=18.

따라서 한 번의 시도에서 성공할 확률은

ρ = 피(NS)= 1/2.

문제는 Bernoulli 테스트 방식을 사용하여 해결됩니다. 여기서 한 가지 테스트는 두 개의 주사위를 한 번 던지는 것입니다. 이러한 테스트의 수 N = 2. 랜덤 변수 NS확률로 0, 1, 2 값을 취합니다.

NS 2 (0) =,NS 2 (1) =∙,NS 2 (2) =

확률 변수의 원하는 이항 분포 NS분포 시리즈로 나타낼 수 있습니다.

NS N
ρ N

4.5 ... 6개의 배치에 4개의 표준 부품이 있습니다. 세 부분이 무작위로 선택되었습니다. 이산 확률 변수의 확률 분포를 작성하십시오. NS- 선택된 부품 중 표준 부품의 수와 수학적 기대치를 찾습니다.

해결책.확률 변수의 값 NS숫자 0,1,2,3입니다. 그것은 분명하다 NS(NS= 0) = 0, 비표준 부품이 두 개뿐이기 때문입니다.

NS(NS=1) =
=1/5,

NS(X = 2) =
= 3/5,

NS(NS=3) =
= 1/5.

확률변수의 분포 법칙 NS분포 시리즈의 형태로 표현:

NS N
ρ N

기대값

미디엄(NS)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 ... 이산 확률 변수의 수학적 기대치를 증명하십시오. NS- 이벤트 발생 횟수 NS V N각각의 이벤트 발생 확률이 다음과 같은 독립적인 테스트 ρ - 하나의 테스트에서 이벤트가 발생할 확률에 의한 테스트 수의 곱과 같습니다. 즉, 이항 분포의 수학적 기대치를 증명합니다.

미디엄(NS) =N . ρ ,

그리고 편차

NS(NS) =NP .

해결책.임의 값 NS 0, 1, 2 ..., N... 개연성 NS(NS= k)는 베르누이 공식에 의해 구합니다.

NS(NS= k) = NS N(k) = ρ NS (1-ρ ) N- NS

확률 변수의 분포 계열 NS다음과 같이 보입니다.

NS N
ρ N	NS N	ρq N- 1	ρq N- 2		ρ N

어디 NS= 1- ρ .

수학적 기대에 대한 표현식은 다음과 같습니다.

미디엄(NS)=ρq N - 1 +2 ρ 2 NS N - 2 +…+.N ρ N

하나의 테스트의 경우, 즉, n =확률 변수의 경우 1 NS 1 - 이벤트 발생 횟수 NS- 분포 시리즈의 형식은 다음과 같습니다.

NS N
ρ N

미디엄(NS 1)= 0 ∙ q + 1 ∙ NS = NS

NS(NS 1) = NS – NS 2 = NS(1- NS) = pq.

만약에 NS k - 이벤트 발생 횟수 NS다음 테스트에서 NS(NS NS)= ρ 그리고

X = X 1 + X 2 +…. + X N .

이것으로부터 우리는 얻는다

미디엄(NS)= 엠(NS 1 )+ 엠(NS 2)+ … + 엠(NS N)= nρ,

NS(NS)= 디(NS 1)+ 디(NS 2)+ ... + 디(NS N)= npq.

4.7. 품질 관리 부서는 표준화를 위해 제품을 검사합니다. 항목이 표준일 확률은 0.9입니다. 각 배치에는 5개의 제품이 포함되어 있습니다. 이산 확률 변수의 수학적 기대값 찾기 NS- 4개의 표준 제품과 동일한 로트의 수 - 50개의 로트를 확인하는 경우.

해결책... 무작위로 선택된 각 배치에 4개의 표준 품목이 있을 확률은 일정합니다. 우리는 그것을 표시합니다 ρ 그런 다음 확률 변수의 수학적 기대 NS같음 미디엄(NS)= 50∙ρ.

확률 찾기 ρ 베르누이 공식에 의해:

ρ = P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

미디엄(NS)= 50∙0,32=16.

4.8 ... 주사위 3개를 던집니다. 떨어진 점의 합에 대한 수학적 기대치를 구합니다.

해결책.확률 변수의 분포를 찾을 수 있습니다. NS- 탈락 포인트의 합과 그 수학적 기대치. 그러나 이 길은 너무 복잡하다. 확률 변수를 나타내는 다른 트릭을 사용하는 것이 더 쉽습니다. NS, 계산하려는 수학적 기대치를 계산하기 더 쉬운 여러 간단한 확률 변수의 합으로 나타냅니다. 확률변수라면 NS NS떨어진 포인트의 수입니다. NS- 뼈( NS= 1, 2, 3), 다음 점의 합 NS형태로 표현

X = X 1 + X 2 + X 3 .

초기 확률 변수의 수학적 기대치를 계산하려면 수학적 기대값의 속성만 사용하면 됩니다.

미디엄(NS 1 + X 2 + X 3 )= 엠(NS 1 )+ 엠(NS 2)+ 엠(NS 3 ).

그것은 분명하다

NS(NS NS = 케이)= 1/6, 에게= 1, 2, 3, 4, 5, 6, NS= 1, 2, 3.

따라서 확률 변수의 수학적 기대치는 NS NS형태가 있다

미디엄(NS NS) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

미디엄(NS) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. 다음과 같은 경우 테스트 중 작동에 실패한 장치의 수에 대한 수학적 기대치를 결정합니다.

a) 모든 장치의 고장 확률은 동일합니다. NS, 테스트된 장치의 수는 N;

b) 실패 확률 NS – th 장치는 다음과 같습니다. NS NS , NS= 1, 2, … , N.

해결책.확률 변수를 보자 NS실패한 장치의 수는 다음과 같습니다.

X = X 1 + X 2 + ... + X N ,

NS NS =

그것은 분명하다

NS(NS NS = 1)= NS NS , NS(NS NS = 0)= 1– NS NS ,나는 = 1, 2, … ,N.

미디엄(NS NS)= 1∙NS NS + 0∙(1-NS NS)= 피 NS ,

미디엄(NS)= 엠(NS 1)+ 엠(NS 2)+ ... + 남(NS N)= 피 1 + 피 2 + ... + 피 N .

"a"의 경우 장치의 고장 확률이 동일합니다.

NS NS = 피,나는 = 1, 2, … ,N.

미디엄(NS)= NP.

이 답은 확률 변수가 NS모수( N, NS).

4.10. 두 개의 주사위를 동시에 두 번 던집니다. 이산 확률 변수의 이항 분포 법칙 작성 NS -두 개의 주사위에서 짝수 점에서 떨어지는 수.

해결책. 하자

NS= (첫 번째 주사위의 짝수),

B =(두 번째 주사위에서 짝수의 출현).

한 번에 두 주사위 모두 짝수에서 떨어지는 것은 제품으로 표현됩니다. 에이.그 다음에

NS (AB) = NS(NS)∙NS(V) =
.

두 개의 주사위를 두 번째 던진 결과는 첫 번째 주사위에 의존하지 않으므로 베르누이 공식을 다음과 같이 적용할 수 있습니다.

N = 2,피 = 1/4, NS = 1- 피 = 3/4.

임의 값 NS 0, 1, 2 값을 취할 수 있습니다 , 베르누이 공식으로 찾을 확률:

NS(X = 0)= 피 2 (0) = NS 2 = 9/16,

NS(X = 1)= 피 2 (1)= C ,NS∙NS = 6/16,

NS(X = 2)= 피 2 (2)= C , NS 2 = 1/16.

확률 변수의 분포 계열 NS:

4.11. 이 장치는 동일한 시간 내에 각 요소의 고장 확률이 매우 낮은 다수의 독립적으로 작동하는 요소로 구성됩니다. NS... 시간 경과에 따른 평균 실패 횟수 찾기 NS이 시간 동안 하나 이상의 요소가 실패할 확률이 0.98인 경우 요소입니다.

해결책. 기간 동안 거절한 사람 수 NS요소 - 확률 변수 NS, 푸아송의 법칙에 따라 분포하는 것은 요소의 수가 많기 때문에 요소가 독립적으로 작동하고 각 요소의 실패 확률이 낮습니다. 이벤트의 평균 발생 횟수 N테스트 같음

미디엄(NS) = NP.

실패 확률이 높기 때문에 에게에서 항목 N공식으로 표현

NS N (에게)
,

어디서  = NP, 그러면 시간 내에 단일 요소가 실패하지 않을 확률 NS 우리는 케이 = 0:

NS N (0)= 전자 -  .

따라서 반대 사건의 확률은 시간에 있습니다. NS 적어도 하나의 요소가 실패합니다 - 1과 같습니다. - 전자 - . 문제 설명에 따르면 이 확률은 0.98입니다. 방정식에서

1 - 이자형 -  = 0,98,

이자형 -  = 1 – 0,98 = 0,02,

여기에서  = -ln 0,02  4.

그래서 시간이 지나면서 NS장치는 평균 4개 요소에서 실패합니다.

4.12 ... 주사위는 2가 나올 때까지 굴립니다. 평균 던진 횟수를 찾으십시오.

해결책... 랜덤 변수를 소개합니다. NS- 관심 이벤트가 발생할 때까지 수행해야 하는 테스트 수. 그럴 가능성 NS= 1은 주사위를 한 번 던질 때 "2"가 나올 확률과 같습니다. 즉,

NS(X = 1) = 1/6.

이벤트 NS= 2는 첫 번째 테스트에서 "2"가 빠지지 않았지만 두 번째 테스트에서는 빠졌음을 의미합니다. 이벤트 확률 NS= 2 우리는 독립 사건의 확률을 곱하는 규칙으로 찾습니다.

NS(X = 2) = (5/6)∙(1/6)

비슷하게,

NS(X = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, NS(X = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

등. 일련의 확률 분포를 얻습니다.


					(5/6) NS ∙1/6

평균 던지기(테스트) 수는 수학적 기대치입니다.

미디엄(NS) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + 에게 (5/6) 에게 -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + 에게 (5/6) 에게 -1 + …)

급수의 합을 구해보자:

에게NS 에게 -1 = (NS 에게) NS 
.

따라서,

미디엄(NS) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

따라서 "2"가 나올 때까지 평균 6개의 주사위를 굴려야 합니다.

4.13. 동일한 이벤트 발생 확률로 독립적인 테스트가 수행됩니다. NS모든 재판에서. 사건이 일어날 확률 구하기 NS세 번의 독립 시행에서 사건 발생 횟수의 분산이 0.63인 경우 .

해결책.세 번의 시행에서 사건의 발생 횟수는 임의의 값입니다. NS이항법칙에 따라 분포한다. 독립적인 시행에서 사건의 발생 횟수의 분산(각 시행에서 사건의 발생 확률이 동일함)은 사건의 발생 확률과 발생하지 않을 확률에 의한 시행 횟수의 곱과 같습니다( 작업 4.6)

NS(NS) = npq.

조건별 N = 3, NS(NS) = 0.63, 그래서 당신은 NS방정식에서 찾기

0,63 = 3∙NS(1-NS),

두 가지 솔루션이 있는 NS 1 = 0.7 및 NS 2 = 0,3.

NS; 의미 NS(5); 확률 변수 NS세그먼트에서 값을 가져옵니다. 분포 다각형을 구성합니다.

이산 확률 변수의 분포 함수 F(x)는 알려져 있습니다. NS:

확률 변수의 분포 법칙 설정 NS테이블 형태로.

확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같습니다. NS:

NS	–28	–20	–12	–4
NS	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

상점에 전체 제품 범위에 대한 품질 인증서가 있을 확률은 0.7입니다. 위원회는 다음에서 인증서의 가용성을 확인했습니다. 네 가게구역. 유통 법칙을 작성하고 검사 중에 품질 인증서가 발견되지 않은 상점 수의 수학적 기대치와 분산을 계산하십시오.

350개의 동일한 상자 배치에서 전구의 평균 연소 시간을 결정하기 위해 각 상자에서 하나의 전구를 테스트용으로 가져갔습니다. 선택한 전기 램프의 평균 연소 지속 시간이 평균이 다음과 같은 것으로 알려진 경우 절대값으로 전체 배치의 평균 연소 지속 시간과 7시간 미만 차이가 날 확률을 아래에서 추정합니다. 표준 편차각 상자에 전구를 태우는 시간은 9시간 미만입니다.

전화 교환기에서 0.002의 확률로 잘못된 연결이 발생합니다. 500개의 연결 중에서 발생할 확률을 구하십시오.

확률 변수의 분포 함수 찾기 NS... 함수의 그래프를 작성하고. 랜덤 변수의 평균, 분산, 최빈값 및 중앙값 계산 NS.

자동 기계는 롤러를 만듭니다. 직경은 평균값이 10mm인 정규 분포 확률 변수로 간주됩니다. 0.99의 확률로 직경이 9.7mm에서 10.3mm 사이인 경우 표준 편차는 얼마입니까?

샘플 A: 6 9 7 6 4 4

샘플 B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

옵션 17.

35개 부품 중 7개는 비표준 부품입니다. 무작위로 취한 두 부분이 표준이 될 확률을 구하십시오.

주사위 3개를 던집니다. 떨어진 모서리의 점의 합이 9의 배수일 확률을 구합니다.

"ADVENTURE"라는 단어는 카드로 구성되며 각 카드에는 한 글자가 쓰여 있습니다. 카드는 섞이고 돌아오지 않고 한 번에 하나씩 제거됩니다. 출현 순서대로 빼낸 글자가 단어를 형성할 확률을 구하십시오: a) 모험; b) 포로.

항아리에는 6개의 검은색 공과 5개의 흰색 공이 들어 있습니다. 무작위로 5개의 공을 뽑습니다. 그 중 다음이 있을 확률을 찾으십시오.

2개의 흰색 공;
2개 미만의 흰색 공;
적어도 하나의 검은 공.

NS한 테스트에서 0.4와 같습니다. 다음 사건의 확률을 찾으십시오.

이벤트 NS 7개의 독립적인 챌린지 시리즈에 3번 등장
이벤트 NS 400개의 챌린지 시리즈에서 최소 220번에서 최대 235번까지 등장합니다.

공장은 5,000개의 고품질 제품을 기지로 보냈습니다. 운송 중인 각 품목의 손상 확률은 0.002입니다. 도중에 3개 이상의 항목이 손상되지 않을 확률을 찾으십시오.

첫 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 공 9개가 들어 있고 두 번째 항아리에는 흰색 공 7개와 검은색 공 3개가 들어 있습니다. 첫 번째 항아리에서 3개의 공을 무작위로 가져오고 두 번째 항아리에서 4개를 가져옵니다. 꺼낸 모든 볼이 같은 색일 확률을 찾으십시오.

확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같습니다. NS:

수학적 기대치와 분산을 계산합니다.

상자에는 연필 10개가 들어 있습니다. 4개의 연필을 무작위로 꺼냅니다. 임의 값 NS- 선택한 파란색 연필의 수. 분포의 법칙, 2차 및 3차의 초기 및 중심 모멘트를 찾으십시오.

학과 기술적 통제 475개의 제품에 결함이 있는지 확인합니다. 제품에 결함이 있을 확률은 0.05입니다. 0.95의 확률로 검사한 제품 중 불량품의 개수가 끝나는 경계를 찾으십시오.

전화 교환기에서 0.003의 확률로 잘못된 연결이 발생합니다. 1000개의 연결 중 발생할 확률을 찾으십시오.

적어도 4개의 잘못된 연결;
두 개 이상의 잘못된 연결.

확률 변수는 분포 밀도 함수로 제공됩니다.

확률 변수의 분포 함수 찾기 NS... 함수의 그래프를 작성하고. 확률 변수 X의 수학적 기대치, 분산, 최빈값 및 중앙값을 계산합니다.

확률 변수는 분포 함수로 제공됩니다.

샘플별 NS다음 작업을 해결하십시오.

변형 시리즈를 구성하십시오.

· 표본 평균;

· 표본 분산;

패션과 중앙값;

샘플 A: 0 0 2 2 1 4

변형 시리즈의 수치적 특성 계산:

· 표본 평균;

· 표본 분산;

· 표준 표본 편차;

· 패션과 중앙값;

샘플 B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

옵션 18.

10개 중 복권 2명이 이기고 있다. 무작위로 뽑은 5장의 티켓 중 하나가 이길 확률을 구하십시오.

주사위 3개를 던집니다. 드랍 포인트의 합계가 15보다 클 확률을 구하십시오.

"PERIMETER"라는 단어는 카드로 구성되며 각 카드에는 한 글자가 쓰여 있습니다. 카드는 섞이고 돌아오지 않고 한 번에 하나씩 제거됩니다. 제거된 문자가 단어를 형성할 확률을 찾으십시오. a) 둘레; b) 미터.

항아리에는 5개의 검은색 공과 7개의 흰색 공이 들어 있습니다. 무작위로 5개의 공을 뽑습니다. 그들 사이에 다음이 있을 확률을 찾으십시오.

4개의 흰색 공;
2개 미만의 흰색 공;
적어도 하나의 검은 공.

사건이 일어날 확률 NS한 테스트에서 0.55입니다. 다음 사건의 확률을 찾으십시오.

이벤트 NS 5개의 챌린지 시리즈에서 3번 등장합니다.
이벤트 NS 300개의 챌린지 시리즈에서 최소 130번에서 최대 200번까지 등장합니다.

통조림의 단단함을 깨뜨릴 확률은 0.0005입니다. 2000개의 캔 중 2개가 꽉 조이지 않을 확률을 구하십시오.

첫 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 공 8개가 들어 있고 두 번째 항아리에는 흰색 공 7개와 검은색 공 4개가 들어 있습니다. 첫 번째 항아리에서 무작위로 2개의 공을 꺼내고 두 번째 항아리에서 무작위로 3개의 공을 꺼냅니다. 꺼낸 공이 모두 같은 색일 확률을 구하십시오.

조립을 위해 도착한 부품 중 첫 번째 기계에서 0.1%, 두 번째에서 0.2%, 세 번째에서 0.25%, 네 번째에서 0.5%가 불량입니다. 기계의 생산성은 4:3:2:1에 비례합니다. 무작위로 가져온 부품은 표준으로 판명되었습니다. 부품이 첫 번째 기계에서 만들어졌을 확률을 구하십시오.

확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같습니다. NS:

수학적 기대치와 분산을 계산합니다.

전기 기사는 3개의 전구를 가지고 있으며 각 전구에는 0.1의 확률로 결함이 있습니다. 전구가 소켓에 나사로 고정되고 전류가 켜집니다. 전류가 켜지면 결함이 있는 전구가 즉시 꺼지고 다른 전구로 교체됩니다. 테스트한 전구 수의 분포 법칙, 수학적 기대치 및 분산을 찾으십시오.

목표물을 명중할 확률은 900발의 독립발사당 0.3입니다. Chebyshev의 부등식을 사용하여 목표물이 최소 240번, 300번 이하로 명중될 확률을 추정하십시오.

전화 교환기에서 0.002의 확률로 잘못된 연결이 발생합니다. 800개의 연결 중 발생할 확률을 구하십시오.

적어도 3개의 잘못된 연결;
네 개 이상의 잘못된 연결.

확률 변수는 분포 밀도 함수로 제공됩니다.

확률 변수 X의 분포 함수를 찾습니다. 함수 및의 그래프를 구성합니다. 랜덤 변수의 평균, 분산, 최빈값 및 중앙값 계산 NS.

확률 변수는 분포 함수로 제공됩니다.

샘플별 NS다음 작업을 해결하십시오.

변형 시리즈를 구성하십시오.
상대 및 누적 빈도를 계산합니다.
조립 경험적 함수분포 및 그래프 작성;
변형 시리즈의 수치적 특성 계산:

· 표본 평균;

· 표본 분산;

· 표준 표본 편차;

· 패션과 중앙값;

샘플 A: 4 7 6 3 3 4

샘플 B의 경우 다음 작업을 해결합니다.

그룹화된 변형 시리즈를 구성합니다.
히스토그램 및 주파수 다각형을 구축합니다.
변형 시리즈의 수치적 특성 계산:

· 표본 평균;

· 표본 분산;

· 표준 표본 편차;

· 패션과 중앙값;

샘플 B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

옵션 19.

1. 16명의 여성과 5명의 남성이 현장에서 일합니다. 인원수에 따라 무작위로 3명을 선발하였다. 선택된 사람들이 모두 남자일 확률을 구하십시오.

2. 동전 4개를 던집니다. "문장"이 두 개의 동전에만 나타날 확률을 찾으십시오.

3. "PSYCHOLOGY"라는 단어는 카드로 구성되며 각 카드에는 한 글자가 쓰여 있습니다. 카드는 섞이고 돌아오지 않고 한 번에 하나씩 제거됩니다. 제거된 문자가 단어를 형성할 확률을 찾으십시오. a) 심리학; b) 직원.

4. 항아리에는 6개의 검은색 공과 7개의 흰색 공이 들어 있습니다. 무작위로 5개의 공을 뽑습니다. 그 중 다음이 있을 확률을 찾으십시오.

NS. 3개의 흰색 공;

NS. 3개 미만의 흰색 공;

씨. 적어도 하나의 흰색 공.

5. 사건의 가능성 NS한 테스트에서 0.5입니다. 다음 사건의 확률을 찾으십시오.

NS. 이벤트 NS 5개의 독립적인 챌린지 시리즈에서 3번 등장

NS. 이벤트 NS 50개의 챌린지 시리즈에서 최소 30번에서 최대 40번까지 등장합니다.

6. 0.8 근무 시간 이내에 드라이브가 켜진 동일한 모드에서 서로 독립적으로 작동하는 동일한 전력의 기계 100대가 있습니다. 임의의 순간에 70~86대의 기계가 켜질 확률은 얼마입니까?

7. 첫 번째 항아리에는 흰색 공 4개와 검은색 공 7개가 있고, 두 번째 항아리에는 흰색 공 8개와 검은색 공 3개가 있습니다. 첫 번째 항아리에서 4개의 공을 무작위로 꺼내고 두 번째 항아리에서 1개의 공을 꺼냅니다. 꺼낸 공 중 검은 공이 4개만 있을 확률을 구하십시오.

8. 3개 브랜드의 자동차가 매일 자동차 대리점에 대량으로 배송됩니다. "Moskvich" - 40%; 좋아요 - 20%; 볼가 - 모든 수입차의 40%. Moskvich 자동차 중 0.5 %에는 도난 방지 장치가 있으며 Oka는 0.01 %, Volga는 0.1 %입니다. 검사를 위해 가져온 자동차에 도난 방지 장치가 있을 확률을 구하십시오.

9. 세그먼트에서 숫자와 무작위로 선택되었습니다. 이 숫자가 부등식을 만족할 확률을 찾으십시오.

10. 확률 변수의 분포 법칙은 다음과 같습니다. NS:

NS
NS	0,1	0,2	0,3	0,4

확률 변수의 분포 함수 찾기 NS; 의미 NS(2); 확률 변수 NS간격에서 값을 가져옵니다. 분포 다각형을 구성합니다.

알려진 바와 같이, 랜덤 변수 경우에 따라 특정 값을 취할 수 있는 변수가 호출됩니다. 랜덤 변수는 대문자로 지정됩니다. 라틴 알파벳(X, Y, Z) 및 해당 값은 해당 소문자(x, y, z)로 되어 있습니다. 랜덤 변수는 불연속(이산)과 연속으로 나뉩니다.

이산 확률 변수 0이 아닌 특정 확률로 유한하거나 무한한(가산 가능한) 값 집합만 취하는 랜덤 변수입니다.

이산 확률 변수의 분포 법칙 확률 변수의 값을 해당 확률과 연결하는 함수가 호출됩니다. 분배법칙은 다음 중 한 가지 방법으로 지정할 수 있습니다.

1 . 분포 법칙은 다음 표로 나타낼 수 있습니다.

여기서 λ> 0, k = 0, 1, 2,…

V)사용하여 분포 함수 F(x) , 이는 x의 각 값에 대해 확률 변수 X가 x보다 작은 값을 취할 확률을 결정합니다. F(x) = P(X< x).

함수 F(x)의 속성

3 . 분포 법칙을 그래픽으로 설정할 수 있습니다. - 폴리곤(폴리곤) 분포(작업 3 참조).

일부 문제를 해결하기 위해 분배 법칙을 알 필요는 없습니다. 어떤 경우에는 가장 많이 반영하는 하나 이상의 숫자를 아는 것으로 충분합니다. 중요한 기능유통법. 랜덤 변수의 "평균값"을 의미하는 숫자일 수도 있고, 랜덤 변수의 평균값과의 평균 편차를 나타내는 숫자일 수도 있습니다. 이러한 종류의 숫자를 확률변수의 수치적 특성이라고 합니다.

이산 확률 변수의 기본 수치적 특성 :

수학적 기대치 (평균) 이산 확률 변수 M(X) = Σ x i p i.
이항 분포의 경우 M(X) = np, 푸아송 분포의 경우 M(X) = λ
분산 이산 확률 변수 D(X) = M 2또는 D(X) = M(X 2) - 2... 차이 X – M(X)을 수학적 기대치에서 확률 변수의 편차라고 합니다.
이항 분포 D(X) = npq의 경우 포아송 분포 D(X) = λ
표준 편차 (표준 편차) σ(X) = √D(X).

"이산 확률 변수의 분포 법칙"주제에 대한 문제 해결의 예

목적 1.

1000 복권이 발행되었습니다. 그 중 5 명은 500 루블, 10 - 100 루블, 20 - 50 루블, 50 - 10 루블을 얻습니다. 확률 변수 X의 확률 분포 법칙 - 티켓당 보수를 결정합니다.

해결책. 문제의 조건에 따라 확률 변수 X의 다음 값이 가능합니다: 0, 10, 50, 100, 500.

당첨되지 않은 티켓의 수는 1000 - (5 + 10 + 20 + 50) = 915이고 P(X = 0) = 915/1000 = 0.915입니다.

유사하게, 우리는 다른 모든 확률을 찾습니다: P (X = 0) = 50/1000 = 0.05, P (X = 50) = 20/1000 = 0.02, P (X = 100) = 10/1000 = 0.01 , P (X = 500) = 5/1000 = 0.005. 결과 법칙을 테이블 형식으로 나타냅니다.

값 X의 수학적 기대치를 구해 봅시다. M (X) = 1 * 1/6 + 2 * 1/6 + 3 * 1/6 + 4 * 1/6 + 5 * 1/6 + 6 * 1/6 = (1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21/6 = 3.5

목적 3.

이 장치는 3개의 독립적으로 작동하는 요소로 구성됩니다. 한 실험에서 각 요소의 실패 확률은 0.1입니다. 한 실험에서 실패한 요소의 수에 대한 분포 법칙을 작성하고 분포 다각형을 만듭니다. 분포 함수 F(x)를 찾고 그래프를 플로팅합니다. 이산 확률 변수의 수학적 기대치, 분산 및 표준 편차를 찾습니다.

해결책. 1. 이산 확률 변수 X =(한 실험에서 실패한 요소의 수)에는 다음과 같은 가능한 값이 있습니다. 두 요소 실패) 및 x 4 = 3(세 요소 실패).

요소의 실패는 서로 독립적이며 각 요소의 실패 확률은 서로 동일하므로 적용 가능 베르누이 공식 ... 조건에 따라 n = 3, p = 0.1, q = 1-p = 0.9라는 것을 고려하여 값의 확률을 결정합니다.
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3 * 0.1 * 0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 P 2 q 3-2 = 3 * 0.1 2 * 0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0.1 3 = 0.001;
확인: ∑p i = 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.

따라서 X에 대한 구하는 이항 분포 법칙의 형식은 다음과 같습니다.

가로축에는 가능한 x i 값을, 세로축에는 해당 확률 p i를 표시합니다. 점 M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001)를 만들어 봅시다. 이 점들을 선분으로 연결하여 원하는 분포 다각형을 얻습니다.

3. 분포 함수 F(x) = P(X

x ≤ 0의 경우 F(x) = P(X<0) = 0;
0을 위해< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1에 대한< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2인분< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x> 3의 경우 F(x) = 1이 됩니다. 이벤트가 유효합니다.

기능 그래프 F(x)

4. 이항 분포 X의 경우:
- 수학적 기대치 M(X) = np = 3 * 0.1 = 0.3;
- 분산 D(X) = npq = 3 * 0.1 * 0.9 = 0.27;
- 표준편차 σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

교육 기관 "벨로루시 국가

농업 아카데미"

고등수학과

체계적인 지침

통신 교육 회계 부서 (NISPO) 학생들의 "무작위 변수"주제 연구

고르키, 2013

랜덤 변수

이산 및 연속 확률 변수

확률 이론의 기본 개념 중 하나는 랜덤 변수 . 임의의 값 테스트 결과 가능한 값 집합 중에서 하나만 취하는 값이라고 하며 어떤 값인지 미리 알 수 없습니다.

랜덤 변수는 불연속적이고 연속적인 . 이산 확률 변수(DSV) 서로 격리된 유한한 수의 값을 취할 수 있는 확률 변수라고 합니다. 이 수량의 가능한 값을 다시 계산할 수 있는지 여부. 연속 확률 변수(NCV) 가능한 모든 값이 숫자 라인의 특정 간격을 완전히 채우는 확률 변수입니다.

랜덤 변수는 라틴 알파벳 X, Y, Z 등의 대문자로 지정됩니다. 확률 변수의 가능한 값은 해당 소문자로 지정됩니다.

녹음
확률 변수가 NS 5와 같은 값을 취하고 0.28 "과 같습니다.

실시예 1 ... 주사위는 한 번 던집니다. 이 경우 포인트 수를 나타내는 1에서 6까지의 숫자가 나타날 수 있습니다. 우리는 확률 변수를 나타냅니다 NS= (떨어진 포인트 수). 테스트 결과 이 확률 변수는 1, 2, 3, 4, 5 또는 6의 6가지 값 중 하나만 사용할 수 있습니다. 따라서 확률 변수는 NS DSV가 있습니다.

실시예 2 ... 돌을 던지면 일정 거리를 날아간다. 우리는 확률 변수를 나타냅니다 NS= (돌의 비행 거리). 이 랜덤 변수는 특정 간격의 값을 하나만 사용할 수 있습니다. 따라서 확률변수 NS NSV가 있습니다.

이산 확률 변수의 분포 법칙

이산 확률 변수는 취할 수 있는 값과 이러한 값이 받아들여지는 확률로 특징지어집니다. 이산 확률 변수의 가능한 값과 해당 확률 간의 대응을 호출합니다. 이산 확률 변수의 분포 법칙 .

가능한 모든 값을 알고 있는 경우
랜덤 변수 NS및 확률
이러한 값이 나타나면 DSV의 분포 법칙이 NS알려져 있으며 다음과 같은 표 형식으로 작성할 수 있습니다.

점을 직교 좌표계로 표시하면 DSV의 분포 법칙을 그래픽으로 나타낼 수 있습니다.
,
, …,
직선 세그먼트로 연결합니다. 결과 모양을 분포 다각형이라고 합니다.

실시예 3 ... 청소할 곡물에는 잡초가 10% 포함되어 있습니다. 4개의 곡물이 무작위로 선택됩니다. 우리는 확률 변수를 나타냅니다 NS= (선택된 4개 중 잡초의 수). DSV 분포 법칙 구축 NS및 분포 다각형.

해결책 ... 예의 조건에 따라. 그 다음에:

DSV X의 분포 법칙을 테이블 형식으로 작성하고 분포 다각형을 구성해 보겠습니다.

이산 확률 변수의 수학적 기대

이산 확률 변수의 가장 중요한 속성은 특성으로 설명됩니다. 이러한 특성 중 하나는 기대값 랜덤 변수.

DSV의 분포 법칙을 알자 NS:

수학적 기대치 DSV NS해당 확률에 의한 이 수량의 각 값의 곱의 합입니다.
.

확률 변수의 수학적 기대치는 모든 값의 산술 평균과 거의 같습니다. 따라서 실제 문제에서 이 확률 변수의 평균 값은 종종 수학적 기대값으로 사용됩니다.

예시 8 ... 저격수는 0.1, 0.45, 0.3 및 0.15의 확률로 4, 8, 9 및 10점을 기절시킵니다. 샷당 포인트 수의 수학적 기대치를 찾으십시오.

해결책 ... 우리는 확률 변수를 나타냅니다 NS= (녹아웃된 포인트 수). 그 다음에 . 따라서 한 번의 슛으로 녹아웃 된 포인트 수의 예상 평균 값은 8.2이고 10 샷 - 82입니다.

주요 속성 수학적 기대치는 다음과 같습니다.

, 어디
,
.

, 어디 NS그리고 와이- 독립 확률 변수.

차이점
~라고 불리는 편차 랜덤 변수 NS그것의 수학적 기대에서. 이 차이는 확률 변수이며 수학적 기대치는 0입니다.
.

이산 확률 변수의 산포

확률 변수를 특성화하기 위해 수학적 기대치 외에도 다음과 같이 사용됩니다. 분산 , 수학적 기대치에 대한 확률 변수 값의 산란(확산)을 추정할 수 있습니다. 동일한 수학적 기대치를 가진 두 개의 동종 확률 변수를 비교할 때 "최상의" 값은 더 작은 확산을 갖는 값입니다. 변동이 적습니다.

분산 랜덤 변수 NS확률 변수의 수학적 기대치에서 편차의 제곱에 대한 수학적 기대치입니다.

실제 문제에서는 등가 공식을 사용하여 분산을 계산합니다.

분산의 주요 속성은 다음과 같습니다.