실제로 나누지 않고도 주어진 숫자를 다른 숫자로 나누는지 여부를 쉽게 알아낼 수 있는 표시가 있습니다.
2로 나누어 떨어지는 수를 이라고 합니다. 조차... 숫자 0은 또한 짝수를 나타냅니다. 다른 모든 숫자는 이상한:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - 짝수,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...은 홀수입니다.
분할 기준
2로 나누기... 숫자는 마지막 숫자가 짝수인 경우 2로 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 4376은 마지막 숫자(6)가 짝수이므로 2로 나눌 수 있습니다.
3으로 나누기... 자릿수의 합이 3으로 나누어 떨어지는 숫자만 3으로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 숫자 10815는 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15로 나눌 수 있기 때문에 숫자 10815는 3으로 나눌 수 있습니다. 삼.
4로 나누기... 숫자는 마지막 두 자리가 0이거나 4로 나눌 수 있는 숫자를 형성하는 경우 4로 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 244500은 두 개의 0으로 끝나므로 4로 나눌 수 있습니다. 숫자 14708과 7524는 이 숫자의 마지막 두 자리(08과 24)가 4로 나누어 떨어지기 때문에 4로 나눌 수 있습니다.
5로 나누기... 0 또는 5로 끝나는 숫자는 5로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 숫자 320은 마지막 숫자가 0이므로 5로 나눌 수 있습니다.
6으로 나누기... 숫자가 2와 3 모두로 나누어 떨어지면 6으로 나눌 수 있습니다. 예를 들어 912는 2와 3으로 나눌 수 있으므로 6으로 나눌 수 있습니다.
8의 배수... 8은 마지막 세 자리가 0인 숫자를 나누거나 8로 나눌 수 있는 숫자를 형성합니다. 예를 들어, 숫자 27000은 세 개의 0으로 끝나기 때문에 8로 나눌 수 있습니다. 숫자 63128은 마지막 세 자리가 8로 나누어 떨어지는 숫자(128)를 형성하기 때문에 8로 나눌 수 있습니다.
9의 배수... 숫자의 합이 9로 나누어 떨어지는 숫자만 해당됩니다. 예를 들어 숫자 2637은 숫자 2 + 6 + 3 + 7 = 18의 합이 9로 나눌 수 있기 때문에 9로 나눌 수 있습니다.
10, 100, 1000 등으로 나눌 수 있습니다. 0 1개, 0 2개, 0 3개 등으로 끝나는 숫자는 10, 100, 1000 등으로 나눕니다. 예를 들어 3800은 10과 100으로 나눌 수 있습니다.
6학년 수학은 나눗셈과 나눗셈 기준에 대한 연구로 시작합니다. 종종 다음과 같은 숫자로 나눌 수 있는 기호로 제한됩니다.
- 에 2 : 마지막 숫자는 0, 2, 4, 6 또는 8이어야 합니다.
- 에 3 : 숫자의 자릿수의 합은 3의 배수여야 합니다.
- 에 4 : 마지막 두 자리 숫자는 4의 배수여야 합니다.
- 에 5 : 마지막 숫자는 0 또는 5여야 합니다.
- 에 6 : 숫자는 2와 3의 배수여야 합니다.
- 나눗셈 7 종종 간과됩니다.
- 나눌 수 있는 기준에 대해서는 거의 동일하게 언급되지 않습니다. 8 , 2와 4로 나누어 떨어지는 기호와 유사하지만 숫자가 8로 나누어 떨어지려면 세 자리 끝이 8로 나누어 떨어지는 것이 필요하고 충분합니다.
- 나눗셈 9 모두가 알고 있습니다. 숫자의 자릿수의 합은 9의 배수여야 합니다. 그러나 그렇다고 수비학자가 사용하는 날짜가 있는 모든 종류의 속임수에 대한 내성이 생기는 것은 아닙니다.
- 나눗셈 10 아마도 가장 간단할 것입니다. 숫자는 0으로 끝나야 합니다.
- 때때로 6학년 학생들은 11 ... 짝수 자리의 숫자를 더하고 홀수 자리의 숫자를 결과에서 빼야합니다. 결과가 11의 배수이면 숫자 자체도 11의 배수입니다.
우리는 번호를 받습니다. 우리는 그것을 각각 3자리 블록으로 나누고(가장 왼쪽 블록은 1자리 또는 2자리를 포함할 수 있음) 이 블록을 교대로 더하거나 뺍니다.
결과가 7, 13(또는 11)으로 나눌 수 있는 경우 숫자 자체는 7, 13(또는 11)으로 나눌 수 있습니다.
이 방법은 7x11x13 = 1001이라는 사실에 기반한 여러 수학적 트릭뿐 아니라 나눗셈 자체 없이는 나눌 수 없는 문제도 해결할 수 없는 3자리 숫자를 어떻게 처리할까요?
보편적인 나눗셈 기준을 사용하여 숫자가 7 및 기타 "불편한" 숫자로 나눌 수 있는지 여부를 결정하기 위한 비교적 간단한 알고리즘을 구성하는 것이 가능합니다.
7가지 기준으로 개선된 나눗셈
숫자가 7로 나누어 떨어지는지 확인하려면 숫자에서 마지막 숫자를 버리고 결과 결과에서 이 숫자를 두 번 빼야 합니다. 결과가 7의 배수이면 숫자 자체도 7의 배수입니다.
예 1:
238은 7의 배수인가요?
23-8-8 = 7. 따라서 숫자 238은 7로 나눌 수 있습니다.
실제로 238 = 34x7
이 작업은 여러 번 수행할 수 있습니다.
예 2:
65835는 7의 배수인가요?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63은 7로 나눌 수 있습니다.
즉, 65835는 7의 배수입니다.
보편적 인 나누기 기준에 따라 4와 8로 나누기 기준을 향상시킬 수 있습니다.
4가지 기준으로 개선된 나눗셈
십의 수에 1을 더한 수의 절반이 짝수이면 그 수를 4로 나눕니다.
실시예 3
52는 4의 배수인가요?
5 + 2/2 = 6, 숫자는 짝수이며, 이는 숫자가 4의 배수임을 의미합니다.
실시예 4
134는 4의 배수인가요?
3 + 4/2 = 5, 숫자는 홀수이므로 134는 4로 나누어 떨어지지 않습니다.
8개 기준으로 개선된 나눗셈
백의 수의 두 배인 십의 수와 1의 수의 절반을 더하고 결과가 4로 나누어 떨어지면 그 수 자체도 8로 나누어집니다.
실시예 5
512는 8의 배수인가요?
5 * 2 + 1 + 2/2 = 12, 숫자는 4의 배수이므로 512는 8의 배수입니다.
실시예 6
1984는 8의 배수인가요?
9 * 2 + 8 + 4/2 = 28, 숫자는 4의 배수이며, 이는 1984가 8의 배수임을 의미합니다.
12의 배수- 이것은 3과 4에 의한 구분 기호의 결합입니다. 상호 소수 p와 q의 곱인 모든 n에 대해 동일한 작업이 수행됩니다. 숫자가 n으로 나누어지려면(이는 pq의 곱과 같으므로 GCD(p, q) = 1이 됨) p와 q로 동시에 나눌 수 있어야 합니다.
그러나 조심하십시오! 복합 나눗셈 기준이 작동하려면 숫자의 인수가 상호 소수여야 합니다. 2와 4로 나누어 떨어지는 수는 8로 나누어 떨어지는 수라는 것은 두말할 나위가 없습니다.
13개 기준으로 개선된 나눗셈
숫자가 13으로 나누어 떨어지는지 확인하려면 숫자에서 마지막 숫자를 빼서 결과 결과에 네 번 더해야 합니다. 결과가 13의 배수이면 숫자 자체도 13의 배수입니다.
실시예 7
65835는 8의 배수인가요?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43
숫자 43은 13의 배수가 아니므로 65835는 13의 배수가 아닙니다.
실시예 8
715는 13의 배수인가요?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13은 13의 배수이므로 715는 13의 배수입니다.
14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28의 배수그리고 소수의 거듭제곱이 아닌 다른 합성 숫자는 12의 배수 기준과 유사합니다. 우리는 이 숫자의 공소수 인수로 나눗셈을 확인합니다.
- 14:2 및 7의 경우
- 15:3 및 5;
- 18:2 및 9;
- 21:3 및 7;
- 20의 경우: 4와 5로(또는 마지막 숫자는 0이어야 하고 끝에서 두 번째 숫자는 짝수여야 함);
- 24:3 및 8;
- 26의 경우: 2 및 13;
- 28:4 및 7의 경우.
숫자의 4자리 끝자리가 16으로 나누어 떨어지는지 확인하는 대신 10의 10배, 400배,
천의 수를 8배로 하고 결과가 16의 배수인지 확인합니다.
실시예 9
1984는 16의 배수인가요?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30은 16으로 나누어 떨어지지 않으므로 1984도 16으로 나누어 떨어지지 않습니다.
실시예 10
1526은 16의 배수인가요?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48은 16의 배수가 아니므로 1526은 16의 배수입니다.
나눗셈 기준을 17로 개선했습니다.
숫자가 17로 나누어 떨어지는지 확인하려면 숫자에서 마지막 숫자를 버리고 결과에서 이 숫자를 다섯 번 빼야 합니다. 결과가 13의 배수이면 숫자 자체도 13의 배수입니다.
실시예 11
59772는 17로 나누어떨어질까요?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0은 17의 배수이므로 59772는 17의 배수입니다.
실시예 12
4913은 17의 배수인가요?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17은 17의 배수이므로 4913은 17의 배수입니다.
19 기준으로 개선된 나눗셈.
숫자가 19의 배수인지 확인하려면 마지막 숫자를 버리고 남은 숫자에 마지막 숫자를 두 배로 더해야 합니다.
실시예 13
9044는 19로 나누어떨어질까요?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19는 19의 배수이므로 9044는 19의 배수입니다.
분할 기준을 23으로 개선했습니다.
숫자가 23의 배수인지 확인하려면 마지막 숫자를 버리고 남은 숫자에 7배 늘린 마지막 숫자를 더해야 합니다.
실시예 14
208012는 23으로 나누어떨어질까요?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
실제로 253은 23이라는 것을 이미 알 수 있습니다.
간단한 작업을 생각해 봅시다.한 농장에서는 아침에 846개가 수확되었습니다. 닭고기 달걀... 농장은 일반적이었고 9 가족이 그것을 지원했습니다. 모든 계란은 그들 사이에 동등하게 나누어져야 합니다. 나눗셈을 하지 않고 846이 나머지 없이 9로 나누어 떨어지는지 확인하는 방법.
먼저 주어진 숫자를 숫자로 확장해 보겠습니다. 숫자 846은 8백, 4 십 및 6 단위로 나뉩니다.
수백 가지를 처리하기 시작합시다. 9개의 바구니에 달걀 100개를 놓으면 달걀이 하나 더 남게 됩니다. 즉, 100개의 계란에서 1개의 계란이 있습니다. 따라서 800개의 전체가 있으므로 8개의 계란이 남게 됩니다.
이제 수십 가지를 처리해 보겠습니다. 9개의 바구니에 10개의 달걀을 놓으면 10개 중 1개의 추가 달걀도 남게 됩니다. 우리 수에는 수십 개가 있으므로 4 개의 알이 남습니다.
단위 범주에 있던 6 개의 계란, 우리는 결코 9 개의 바구니에 정렬 할 수 없으므로 남아있을 것입니다.
이제 남은 계란을 모두 넣어봅시다. 백에서 8, 십에서 4, 단위에서 6, 총 8 + 4 + 6 = 18개의 알. 18개의 알을 9개의 바구니에 놓을 수 있으며 남은 알은 없을 것입니다. 따라서 846개의 달걀을 9개의 바구니에 고르게 퍼뜨릴 수 있습니다. 이것은 숫자 846을 나머지 없이 9로 나눌 수 있음을 의미합니다.
9의 배수
이제 숫자를 9로 나눌 수 있는 기준을 공식화할 수 있습니다.
- 숫자의 자릿수의 합이 9로 균등하게 나누어지면 숫자 자체는 9로 나눌 수 있습니다. 숫자의 자릿수의 합이 나머지 없이 9로 나누어 떨어지지 않으면 숫자 자체는 나눌 수 없습니다 나머지 없이 9까지.
여기 몇 가지 예가 있어요.
숫자 76 005는 나머지 없이 9로 나눌 수 있습니다. 그 이유는 구성 숫자의 합인 7 + 6 + 0 + 0 + 5 = 18은 나머지 없이 9로 나눌 수 있기 때문입니다.
숫자 51 734는 나머지가 없으면 9로 나눌 수 없습니다. 그 구성 자리 숫자의 합인 5 + 1 + 7 + 3 + 4 = 20은 나머지가 없으면 9로 나눌 수 없기 때문입니다.
3으로 나누기
비슷한 방식으로 숫자를 3으로 나눌 수 있는 기준을 얻습니다.
100을 3으로 나누면 1이 남습니다. 10을 3으로 나누면 1도 남습니다. 우리는 9와 함께 상황의 사본을 얻습니다.
- 어떤 숫자의 자릿수의 합이 나머지 없이 3으로 나누어 떨어지면 그 숫자 자체도 3으로 나뉩니다. 숫자의 자릿수의 합이 나머지 없이 3으로 나누어 떨어지지 않으면 숫자 자체는 나머지 없이 3으로 나누어떨어진다.
숫자 76 005는 나머지 없이 3으로 나눌 수 있습니다. 구성 숫자의 합인 7 + 6 + 0 + 0 + 5 = 18은 나머지 없이 3으로 나눌 수 있기 때문입니다.
숫자 51 734는 나머지 없이 3으로 나눌 수 없습니다. 5 + 1 + 7 + 3 + 4 = 20이라는 숫자의 합은 나머지가 없으면 3으로 나눌 수 없기 때문입니다.
"3으로 나누기"라는 주제를 고려하기 시작합시다. 우리는 기준의 공식화로 시작하여 정리의 증명을 제시합니다. 그런 다음 3개의 숫자로 나눌 수 있는 주요 접근 방식을 고려할 것입니다. 이 섹션에서는 3으로 나눌 수 있는 기준을 사용하여 주요 유형의 문제에 대한 솔루션 분석을 제공합니다.
3으로 나누기, 예
3으로 나눌 수 있는 기준은 간단히 공식화됩니다. 정수는 구성 자릿수의 합이 3으로 나눌 수 있는 경우 나머지 없이 3으로 나눌 수 있습니다. 정수의 일부인 모든 숫자의 총 값이 3으로 나누어지지 않으면 원래 숫자 자체는 3으로 나눌 수 없습니다. 덧셈을 사용하여 정수에 포함된 모든 숫자의 합을 얻을 수 있습니다. 자연수.
이제 3으로 나눌 수 있는 기준을 적용하는 예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
42는 3의 배수인가요?
해결책
이 질문에 답하려면 숫자를 구성하는 모든 숫자를 더하십시오 - 42: 4 + 2 = 6.
답변:나눗셈 기준에 따르면 원래 숫자에 포함된 자릿수의 합은 3으로 나눌 수 있으므로 원래 숫자 자체도 3으로 나눌 수 있습니다.
숫자 0이 3으로 나눌 수 있는지 여부에 대한 질문에 답하려면 0을 임의의 정수로 나눌 수 있는 나눗셈 속성이 필요합니다. 0은 3으로 나눌 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.
3의 기준으로 여러 번 나눌 필요가 있는 솔루션에 대한 문제가 있습니다.
실시예 2
번호를 보여 907 444 812 3으로 나누어집니다.
해결책
원래 숫자의 레코드를 구성하는 모든 숫자의 합을 구해 봅시다. 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . 이제 39가 3으로 나누어 떨어지는지 확인해야 합니다. 다시 한 번 이 숫자를 구성하는 숫자를 추가합니다. 3 + 9 = 12 ... 최종 답을 얻으려면 숫자를 다시 추가해야 합니다. 1 + 2 = 3 ... 숫자 3은 3으로 나누어집니다.
답변:원래 번호 907 444 812 또한 3으로 나눌 수 있습니다.
실시예 3
3으로 나누어 떨어지는 수는? − 543 205 ?
해결책
원래 숫자를 구성하는 숫자의 합을 계산해 보겠습니다. 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 .
이제 결과 숫자의 자릿수 합계를 계산해 보겠습니다. 1 + 9 = 10 .
최종 답을 얻기 위해 하나 더 추가한 결과를 찾아봅시다. 1 + 0 = 1
.
답변: 1은 3으로 나누어 떨어지지 않습니다. 즉, 원래 숫자도 3으로 나누어 떨어지지 않습니다.
주어진 숫자가 나머지 없이 3으로 나누어 떨어지는지 확인하기 위해 이 숫자를 3으로 나눌 수 있습니다. 숫자를 나누면 − 543 205 위의 예에서 3만큼 열에 있으면 대답에서 정수를 얻지 못할 것입니다. 이것은 또한 다음을 의미합니다 − 543 205 나머지 없이 3으로 나누어 떨어지지 않습니다.
3으로 나눌 수 있다는 증명
여기서 우리는 숫자를 숫자로 분해하고 10, 100 등을 곱하는 규칙과 같은 기술이 필요합니다. 증명을 수행하기 위해 형식의 숫자 표현을 얻어야 합니다. , 어디 n, n - 1, ..., 0- 숫자 레코드에서 왼쪽에서 오른쪽으로 위치한 숫자입니다.
다음은 특정 번호를 사용하는 예입니다. 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 210 + 8.
10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1,000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 등 일련의 등식을 기록합니다.
이제 앞에서 주어진 평등에서 10, 100 및 1000 대신 이러한 평등을 대체해 보겠습니다. a = an · 10 n + an n - 1 · 10 n - 1 +… + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0.
이것이 우리가 평등에 도달한 방법입니다.
a = an · 10 n + ... + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = an n · 33. ... ... ... 3 · 3 + 1 +… + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0
이제 결과 평등을 다음과 같이 다시 작성하기 위해 덧셈 속성과 자연수 곱셈 속성을 적용합니다.
에이 = 엔 33. ... ... 3 3 + 1 +. ... ... + + 2 33 3 + 1 + 1 3 3 + 1 + 0 = = 33 33. ... ... 3 엔 + 엔 +. ... ... + + 333 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 33 33. ... ... 3 엔 +. ... ... + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + n +. ... ... + a 2 + a 1 + a 0 = = 33 33. ... ... 3 · an +… + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n +. ... ... + 에이 2 + 에이 1 + 에이 0
n +를 표현합니다. ... ... + a 2 + a 1 + a 0은 원래 숫자 a의 자릿수의 합입니다. 새로운 짧은 표기법을 소개하겠습니다. NS... 우리는 다음을 얻습니다. A = a n +. ... ... + 2 + 1 + 0.
이 경우 숫자 a = 33의 표현입니다. ... ... 3 엔 +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 + A는 3으로 나눌 수 있는 기준을 증명하는 데 사용하기에 편리한 형식을 취합니다.
정의 1
이제 다음과 같은 나눗셈의 속성을 기억해 봅시다.
- 정수가 정수로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건
B는 숫자 a의 계수를 숫자 b의 계수로 나눈 조건입니다. - 평등하다면 에이 = s + t하나를 제외한 모든 구성원은 어떤 정수 b로 나눌 수 있고, 이 한 항은 b로 나눌 수 있습니다.
3으로 나눌 수 있는 증명의 토대를 마련했습니다. 이제 우리는 이 기준을 정리의 형태로 공식화하고 증명할 것입니다.
정리 1
정수가 3으로 나눌 수 있다고 주장하려면 숫자 a의 표기법을 구성하는 자릿수의 합이 3으로 나눌 수 있어야 합니다.
증거 1
값을 취하면 에이 = 0, 그러면 정리가 명확해집니다.
0이 아닌 숫자를 취하면 숫자의 계수는 자연수가 됩니다. 이를 통해 다음과 같은 등식을 작성할 수 있습니다.
ㄱ = 33. ... ... 3 엔 +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1 + A, 여기서 A = an n +. ... ... + a 2 + a 1 + a 0 - 숫자 a의 자릿수 합.
정수의 합과 곱은 정수이므로,
33. ... ... 3 엔 +. ... ... + 33 · a 2 + 3 · a 1은 정수이므로 나눗셈의 정의에 따라 곱은 3 · 33입니다. ... ... 3 엔 +. ... ... + 33 a 2 + 3 a 1은 다음으로 나눌 수 있습니다. 3
어떠한 것도 0, 1, ..., 엔.
숫자의 자릿수의 합인 경우 NS로 나눈 3 , 그건, NS로 나눈 3 , 그러면 정리 앞에 표시된 나눌 수 있는 속성으로 인해 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 3 , 그 후, NS로 나눈 3 ... 이것이 충분성이 증명되는 방법입니다.
만약에 NS로 나눈 3
, 그러면 a는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 3
, 그런 다음 동일한 나눌 수 있는 속성으로 인해 수
NS로 나눈 3
, 즉, 숫자의 자릿수의 합 NS로 나눈 3
... 이것이 필요성이 증명된 방법입니다.
로 나눌 수 있는 다른 경우 3
정수는 이 변수의 값이 주어지면 변수를 포함하는 일부 표현식의 값으로 지정할 수 있습니다. 따라서 일부 자연 n의 경우 표현식 4 n + 3 n - 1의 값은 자연수입니다. 이 경우 직접 분할 3 어떤 숫자가 3 ... 나눗셈 기준 적용 3 또한 어려울 수 있습니다. 이러한 작업의 예를 살펴보고 해결 방법을 분석해 보겠습니다.
이러한 문제를 해결하기 위해 몇 가지 접근 방식을 적용할 수 있습니다. 그 중 하나의 본질은 다음과 같습니다.
- 우리는 원래 표현을 여러 요인의 산물로 나타냅니다.
- 요인 중 하나 이상을 다음으로 나눌 수 있는지 알아보십시오. 3 ;
- 나눌 수 있는 속성에 기초하여, 우리는 전체 작업이 다음과 같이 나눌 수 있다는 결론을 내립니다. 3 .
해결 과정에서 종종 뉴턴 이항 공식을 사용해야 합니다.
실시예 4
표현식 4 n + 3 n - 1은 다음으로 나눌 수 있습니까? 3 어떤 자연과도 N?
해결책
우리는 평등 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4를 씁니다. Newton 이항식의 Newton 이항식을 적용합니다.
4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +.. + + C nn - 2 3 2 1 n - 2 + C nn - 1 3 1 n - 1 + C nn 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +. ... ... + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 +. ... ... + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3
이제 꺼내보자 3 대괄호 외부: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 +. ... ... + C n n - 2 3 + 2 n - 1. 결과 제품에는 요인이 포함되어 있습니다. 3 , 자연수 n에 대한 괄호 안의 표현식 값은 자연수이다. 이를 통해 결과 제품과 원래 표현 4 n + 3 n - 1이 다음과 같이 나눌 수 있다고 주장할 수 있습니다. 3 .
답변:예.
우리는 또한 수학적 귀납법을 적용할 수 있습니다.
실시예 5
수학적 귀납법을 사용하여 모든 자연
n 식 n n 2 + 5의 값은 다음으로 나뉩니다. 3
.
해결책
다음에서 표현식 n n 2 + 5의 값을 찾습니다. n = 1: 1 1 2 + 5 = 6. 6으로 나뉩니다 3 .
이제 식 n n 2 + 5의 값이 다음과 같다고 가정합니다. n = k로 나눈 3 ... 사실, 우리는 식 k k 2 + 5로 작업해야 하며, 이는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 3 .
k k 2 + 5가 다음과 같이 나눌 수 있다는 점을 고려하면 3 , 우리는 식 n n 2 + 5의 값이 n = k + 1로 나눈 3 , 즉, k + 1 k + 1 2 + 5가 다음과 같이 나눌 수 있음을 보여줍니다. 3 .
변환을 수행해 보겠습니다.
k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2
식 k(k 2 + 5)는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 3 식 3 k 2 + k + 2는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 3 , 그래서 그들의 합은 3 .
그래서 우리는 표현 n(n 2 + 5)의 값이 다음과 같이 나눌 수 있음을 증명했습니다. 3 모든 자연 n에 대해.
이제 다음과 같이 나눌 수 있음을 증명하는 접근 방식을 분석해 보겠습니다. 3 , 다음 작업 알고리즘을 기반으로 합니다.
- n = 3m, n = 3m + 1에서 변수 n이 있는 이 표현식의 값을 보여줍니다. n = 3m + 2, 어디 미디엄- 다음으로 나눌 수 있는 임의의 정수 3 ;
- 우리는 표현이 다음으로 나눌 수 있다는 결론을 내립니다. 3 임의의 정수 n에 대해
사소한 세부 사항으로 주의를 분산시키지 않기 위해 이 알고리즘을 이전 예제의 솔루션에 적용합니다.
실시예 6
n(n 2 + 5)은 다음과 같이 나눌 수 있음을 보여줍니다. 3 모든 자연 n에 대해.
해결책
그런 척 하자 n = 3m... 그런 다음: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. 우리가 받은 제품에는 승수가 포함되어 있습니다. 3 따라서 작업 자체는 다음으로 나뉩니다. 3 .
그런 척 하자 n = 3m + 1... 그 다음에:
n n 2 + 5 = 3m 3m 2 + 5 = (3m + 1) 9m 2 + 6m + 6 = = 3m + 1 3 (2m 2 + 2m + 2)
우리가 받은 조각은 3 .
n = 3m + 2라고 가정합니다. 그 다음에:
n n 2 + 5 = 3m + 1 3m + 2 2 + 5 = 3m + 2 9m 2 + 12m + 9 = = 3m + 2 3 3m 2 + 4m + 3
이 부분은 또한 다음과 같이 나뉩니다. 3 .
답변:이것이 우리가 표현식 n n 2 + 5가 다음과 같이 나눌 수 있음을 증명한 방법입니다. 3 모든 자연 n에 대해.
실시예 7
로 나누어져 있습니까? 3 일부 자연 n에 대한 표현식 10 3 n + 10 2 n + 1의 값.
해결책
그런 척 하자 n = 1... 우리는 다음을 얻습니다:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104
그런 척 하자 n = 2... 우리는 다음을 얻습니다:
10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001
따라서 우리는 모든 자연 n에 대해 3으로 나눌 수 있는 숫자를 얻을 것이라고 결론을 내릴 수 있습니다. 이것은 임의의 자연수 n에 대해 10 3 n + 10 2 n + 1을 3으로 나눌 수 있음을 의미합니다.
답변:예
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