Joseph Louis Lagrange syntyi Torinossa (Italia) italialais-ranskalaiseen perheeseen. Hän opiskeli ja opetti sitten tykistökoulussa. Vuonna 1759 23-vuotias Lagrange valittiin Eulerin suosituksesta Berliinin tiedeakatemian jäseneksi. Vuonna 1766 hänestä tuli jo sen presidentti. Frederick II kutsui Lagrangen Berliiniin. Frederick II:n kuoleman jälkeen vuonna 1786 Lagrange muutti Pariisiin. Vuodesta 1722 hän oli Pariisin tiedeakatemian jäsen, vuonna 1795 hänet nimitettiin pituusastetoimiston jäseneksi ja hän osallistui aktiivisesti metrisen mittajärjestelmän luomiseen. Lagrangen tieteellisen tutkimuksen kirjo oli poikkeuksellisen laaja. Ne on omistettu mekaniikalle, geometrialle, matemaattiselle analyysille, algebralle, lukuteorialle ja teoreettiselle tähtitiedelle. Lagrangen tutkimuksen pääsuunta oli mekaniikan erilaisten ilmiöiden esittäminen yhdestä näkökulmasta. Hän johti yhtälön, joka kuvaa minkä tahansa järjestelmän käyttäytymistä voimien vaikutuksen alaisena. Tähtitieteen alalla Lagrange teki paljon ratkaistakseen vakauden ongelman Aurinkokunta; osoitti joitain vakaan liikkeen erikoistapauksia, erityisesti pienille kappaleille, jotka sijaitsevat niin sanotuissa kolmiomaisissa libraatiopisteissä.

Lagrangen menetelmä─ se on menetelmä ehdollisen optimointitehtävän ratkaisemiseksi, jossa implisiittisiksi funktioiksi kirjoitetut rajoitteet yhdistetään tavoitefunktioon uuden yhtälön muodossa ns. Lagrangian.

Harkitse erityistapausta yhteinen tehtävä epälineaarinen ohjelmointi:

Epälineaarinen yhtälöjärjestelmä on annettu (1):

(1) gi (x1, x2,…, xn) = bi (i = 1..m),

Etsi funktion pienin (tai suurin) arvo (2)

(2) f (x1, x2, ..., xn),

jos muuttujille ei ole ei-negatiivisia ehtoja ja f (x1, x2,…, xn) ja gi (x1, x2,…, xn) ovat jatkuvia funktioita osittaisten derivaattiensa kanssa.

Ratkaisun löytämiseksi tähän ongelmaan voidaan soveltaa seuraavaa menetelmää: 1. Ota käyttöön joukko muuttujia λ1, λ2,…, λm, joita kutsutaan Lagrange-kertoimiksi, muodostaen Lagrange-funktion (3).

(3) F (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) = f (x1, x2,…, xn) + λi.

2. Etsi Lagrange-funktion osittaiset derivaatat muuttujien xi ja λi suhteen ja rinnasta ne nollaan.

3. Yhtälöjärjestelmää ratkaisemalla löydetään pisteet, joissa tehtävän tavoitefunktiolla voi olla ääriarvo.

4. Etsi pisteistä, jotka epäilyttävät ei-ääripäätä, ne, joissa ääriarvo saavutetaan, ja laske funktion arvot näissä kohdissa .

4. Vertaa funktion f saatuja arvoja ja valitse paras.

Tuotantosuunnitelman mukaan yrityksen tulee valmistaa 180 tuotetta. Nämä tuotteet voidaan valmistaa kahdessa kappaleessa teknisiä menetelmiä... Valmistettaessa x1 tuotteita menetelmällä I kustannukset ovat 4 * x1 + x1 ^ 2 ruplaa ja x2 tuotteiden valmistuksessa menetelmällä II ne ovat 8 * x2 + x2 ^ 2 ruplaa. Määritä, kuinka monta tuotetta kukin menetelmä tulisi tehdä, jotta tuotteen valmistuksen kokonaiskustannukset ovat minimaaliset.

Ratkaisu: Tehtävän matemaattinen muotoilu koostuu kahden muuttujan funktion pienimmän arvon määrittämisestä:

f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2, jos x1 + x2 = 180.

Muodostetaan Lagrange-funktio:

F (x1, x2, λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).

Lasketaan sen osittaiset derivaatat suhteessa x1, x2, λ ja rinnastetaan ne 0:aan:

Siirrä λ kahden ensimmäisen yhtälön oikealle puolelle ja tasaa niiden vasen puoli, saamme 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2 tai x1 - x2 = 2.

Ratkaisemalla viimeinen yhtälö yhtälön x1 + x2 = 180 kanssa, saadaan x1 = 91, x2 = 89, eli saadaan ratkaisu, joka täyttää ehdot:

Etsitään tavoitefunktion f arvo näille muuttujien arvoille:

F (x1, x2) = 17278

Tämä kohta on epäilyttävä ääripäälle. Toisia osittaisia derivaattoja käyttämällä voidaan osoittaa, että pisteessä (91.89) funktiolla f on minimi.

Pistettä M kutsutaan jonkin joukon G sisäpuolelle, jos se kuuluu tähän joukkoon jonkin lähialueensa kanssa. Pistettä N kutsutaan joukon G rajapisteeksi, jos jossakin sen täydessä ympäristössä on pisteitä, jotka kuuluvat sekä G:lle että eivät kuulu siihen.

Joukon G kaikkien rajapisteiden joukkoa kutsutaan G:n rajaksi.

Joukkoa G kutsutaan alueeksi, jos kaikki sen pisteet ovat sisäisiä (avoin joukko). Joukkoa G, jossa on raja Г, kutsutaan suljetuksi alueeksi. Aluetta kutsutaan rajatuksi, jos se on kokonaan riittävän suuren säteen sisällä.

Pienin ja korkein arvo funktioita tietyllä alueella kutsutaan tämän alueen funktion absoluuttisiksi ääriarvoiksi.

Weierstrassin lause: funktio, joka on jatkuva rajoitetulla ja suljetulla alueella, saavuttaa minimi- ja maksimiarvonsa tällä alueella.

Seuraus. Funktion absoluuttinen ääriarvo tietyllä alueella saavutetaan joko tähän alueeseen kuuluvan funktion kriittisessä pisteessä tai klo. Jotta voidaan löytää funktion suurimmat ja pienimmät arvot suljetulla alueella G, on tarpeen löytää kaikki sen kriittiset pisteet tällä alueella, laske funktion arvot näissä pisteissä (mukaan lukien rajapisteet) ja vertaamalla saatuja lukuja, valitse niistä suurin ja pienin.

Esimerkki 4.1. Etsi funktion absoluuttinen ääriarvo (suurimmat ja pienimmät arvot)
kolmioalueella D, jossa on kärjet
,
,
(kuva 1).

;
,

eli piste O (0, 0) on kriittinen piste, joka kuuluu alueelle D. z (0,0) = 0.

Rajaa tutkimassa:

a) OA: y = 0
z (x, 0) = 0; z (0, 0) = 0; z (1, 0) = 0,

b) OB: x = 0
z (0, y) = 0; z (0, 0) = 0; z (0, 2) = 0,

c) AB:;
,

Esimerkki 4.2. Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella, jota rajoittavat koordinaattiakselit ja suora viiva
.

1) Etsi kriittiset pisteet, jotka sijaitsevat alueella:

,
,

Tutkitaan rajaa. Koska raja koostuu Ox-akselin segmentistä OA, Oy-akselin segmentistä OB ja jaosta AB, sitten määritetään funktion z suurimmat ja pienimmät arvot kussakin näistä segmenteistä.

, z (0, 2) = - 3, z (0, 0) = 5, z (0, 4) = 5.

M3 (5/3,7/3), z (5/3, 7/3) = -10/3.

Valitse kaikista löydetyistä arvoista z naib = z (4, 0) = 13; z naim = z (1, 2) = -4.

5. Ehdollinen ääripää. Lagrangen kerroinmenetelmä

Tarkastellaan useiden muuttujien funktioille ominaista ongelmaa, kun sen ääripäätä ei etsitä koko määritelmäalueen yli, vaan tietyn ehdon täyttävästä joukosta.

Anna toiminnon
, argumentit ja jotka täyttävät ehdon
kutsutaan rajoitusyhtälöksi.

Kohta
kutsutaan ehdollisen maksimin (minimi) pisteeksi, jos tämän pisteen lähialue on sellainen, että kaikille pisteille
tältä naapurustolta, joka täyttää edellytykset
, eriarvoisuutta
tai
.

Kuvassa 2 on esitetty ehdollisen maksimin piste
... Ilmeisesti se ei ole funktion ehdottoman ääripään piste
(Kuvassa 2 tämä on pointti
).

Yksinkertaisin tapa löytää kahden muuttujan funktion ehdollinen ääriarvo on pelkistää ongelma yhden muuttujan funktion ääripään löytämiseksi. Oletetaan rajoitusyhtälö
onnistui ratkaisemaan suhteessa johonkin muuttujasta, esimerkiksi express poikki :
... Kun tuloksena oleva lauseke korvataan kahden muuttujan funktiolla, saadaan

nuo. yhden muuttujan funktio. Sen ääripää on funktion ehdollinen ääripää
.

Esimerkki 5.1. Etsi funktion maksimi- ja minimipisteet
kunnossa
.

Ratkaisu. Ilmaistaan yhtälöstä
muuttuja muuttujan kautta ja korvaa tuloksena oleva lauseke
toimintoon ... Saamme
tai
... Tällä toiminnolla on ainutlaatuinen minimiarvo
... Vastaava funktion arvo
... Täten,
- ehdollisen ääripään piste (minimi).

Tarkastetussa esimerkissä rajoitusyhtälö
osoittautui lineaariseksi, joten se oli helppo ratkaista yhden muuttujan suhteen. Monimutkaisemmissa tapauksissa tätä ei kuitenkaan voida tehdä.

Ehdollisen ääripään löytämiseksi yleisessä tapauksessa käytetään Lagrangen kerroinmenetelmää. Tarkastellaan kolmen muuttujan funktiota. Tätä funktiota kutsutaan Lagrange-funktioksi ja Onko Lagrangen kerroin. Seuraava lause pitää paikkansa.

Lause. Jos kohta
on funktion ehdollisen ääripään piste
kunnossa
, silloin on arvoa niin että pointti
on funktion ääripiste
.

Siten löytää funktion ehdollinen ääripää
kunnossa
sinun on löydettävä ratkaisu järjestelmään

NS Viimeinen näistä yhtälöistä on yhtäpitävä rajoitusyhtälön kanssa. Järjestelmän kaksi ensimmäistä yhtälöä voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon, ts. ehdollisen ääripään kohdassa funktioiden gradientit
ja
kollineaarinen. Kuvassa Kuva 3 esittää Lagrangen ehtojen geometrisen merkityksen. Linja
katkoviiva, tasainen viiva
toimintoja
kiinteä. Kuvasta tästä seuraa, että ehdollisen ääripään kohdassa funktion tasoviiva
koskettaa linjaa
.

Esimerkki 5.2. Etsi funktion ääripisteet
kunnossa
käyttämällä Lagrangen kerroinmenetelmää.

Ratkaisu. Muodostamme Lagrange-funktion. Kun sen osittaiset derivaatat nollaan lasketaan, saadaan yhtälöjärjestelmä:

Hänen ainoa ratkaisunsa. Siten vain piste (3; 1) voi olla ehdollinen ääripiste. On helppo varmistaa, että tässä vaiheessa toiminto
on ehdollinen minimi. Siinä tapauksessa, että muuttujia on enemmän kuin kaksi, voidaan harkita myös useita rajoitusyhtälöitä. Vastaavasti tässä tapauksessa on useita Lagrange-kertoimia.

Ehdollisen ääripään löytämisen ongelmaa käytetään sellaisten taloudellisten ongelmien ratkaisemiseen, kuten optimaalisen resurssien allokoinnin löytäminen, optimaalisen arvopaperisalkun valinta jne.

Lyhyt teoria

Lagrangen kerroinmenetelmä on klassinen menetelmä matemaattisten ohjelmointiongelmien ratkaisemiseen (erityisesti konveksi ohjelmointi). Valitettavasti kanssa käytännön sovellus menetelmä voi kohdata merkittäviä laskennallisia vaikeuksia, jotka rajoittavat sen käyttöaluetta. Tarkastelemme tässä Lagrangen menetelmää lähinnä siksi, että se on laitteisto, jota käytetään aktiivisesti perustelemaan erilaisia nykyaikaisia ja käytännössä laajalti käytettyjä numeerisia menetelmiä. Mitä tulee Lagrange-funktioon ja Lagrange-kertoimiin, niillä on itsenäinen ja erittäin tärkeä rooli paitsi matemaattisen ohjelmoinnin teoriassa ja sovelluksissa.

Harkitse klassista optimointiongelmaa:

Tämän ongelman rajoitusten joukossa ei ole epäyhtälöjä, ei ole ehtoja muuttujien epänegatiivisuudelle, niiden diskreettisyydelle ja funktioille, ja ne ovat jatkuvia ja niillä on vähintään toisen asteen osittaiset derivaatat.

Klassinen lähestymistapa ongelman ratkaisemiseen antaa yhtälöjärjestelmän ( tarvittavat ehdot), jonka on täytettävä piste, joka toimittaa rajoitukset täyttävän pistejoukon funktiolle paikallisen ääripisteen (konveksissa ohjelmointiongelmassa löydetty piste on myös globaali ääripiste).

Oletetaan, että pisteessä funktiolla (1) on paikallinen ehdollinen ääripää ja matriisin arvo on yhtä suuri kuin. Sitten tarvittavat ehdot kirjoitetaan muodossa:

on Lagrange-toiminto; - Lagrange-kertoimet.

On myös riittävät ehdot, joilla yhtälöjärjestelmän (3) ratkaisu määrittää funktion ääripisteen. Tämä kysymys on ratkaistu Lagrangen funktion toisen differentiaalin merkin tutkimuksen perusteella. Riittävät olosuhteet ovat kuitenkin lähinnä teoreettisia.

Voimme osoittaa seuraavan tehtävän (1), (2) ratkaisujärjestyksen Lagrangen kertoimien menetelmällä:

1) muodostaa Lagrange-funktion (4);

2) löytää Lagrange-funktion osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen ja yhtälö

nolla. Siten saadaan järjestelmä (3, koostuu yhtälöistä. Ratkaise tuloksena oleva järjestelmä (jos se osoittautuu mahdolliseksi!) Ja siten löydä kaikki Lagrange-funktion kiinteät pisteet;

3) valitse kiinteistä pisteistä, jotka on otettu ilman koordinaatteja, pisteet, joissa funktiolla on ehdolliset paikalliset ääripisteet rajoitusten (2) läsnä ollessa. Tämä valinta tehdään esimerkiksi käyttämällä riittävät olosuhteet paikalliselle ääripäälle. Tutkimus yksinkertaistuu usein, jos käytät tiettyjä ongelman ehtoja.

Esimerkki ongelman ratkaisemisesta

Tehtävä

Yritys valmistaa kahdenlaisia tavaroita määrinä ja. Hyödyllinen kustannusfunktio määräytyy suhdeluvun mukaan. Näiden tavaroiden hinnat markkinoilla ovat samat ja vastaavasti.

Määritä, millä tuotantomäärillä saavutetaan suurin voitto ja mikä se on, jos kokonaiskustannukset eivät ylitä

Onko sinulla vaikeuksia ymmärtää ratkaisun edistymistä? Sivustolla on palvelu Ongelmien ratkaiseminen menetelmillä optimaaliset ratkaisut tilauksesta

Ongelman ratkaisu

Ongelman taloudellinen ja matemaattinen malli

Voittofunktio:

Kustannusrajoitukset:

Saamme seuraavan taloudellisen ja matemaattisen mallin:

Lisäksi ongelman merkityksessä

Lagrangen kerroinmenetelmä

Muodostetaan Lagrange-funktio:

Etsi ensimmäisen asteen osittaiset derivaatat:

Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälöjärjestelmä:

Siitä lähtien

Suurin voitto:

Vastaus

Siksi yksiköitä on vapautettava. 1. tyypin ja yksikön tavarat. 2. tyypin tavarat. Tässä tapauksessa voitto on suurin ja on 270.
Esitetään esimerkki toisen asteen konveksin ohjelmoinnin ongelman ratkaisemisesta graafisella menetelmällä.

Lineaarisen ongelman ratkaiseminen graafisella menetelmällä
Tarkastellaan graafista menetelmää lineaarisen ohjelmointiongelman (LPP) ratkaisemiseksi kahdella muuttujalla. Ongelman esimerkki osoittaa Yksityiskohtainen kuvaus piirustuksen rakentaminen ja ratkaisun löytäminen.

Wilsonin varastonhallintamalli
Ongelman ratkaisun esimerkin avulla tarkastellaan varastonhallinnan perusmallia (Wilsonin malli). Mallin parametrit lasketaan seuraavasti optimaalinen koko tilauserät, vuotuiset varastointikustannukset, toimitusvälit ja tilauspiste.

Suoran kustannussuhteen matriisi ja tulo-lähtömatriisi
Ongelman ratkaisun esimerkissä tarkastellaan Leontievin sektorienvälistä mallia. Välittömien materiaalikustannusten kertoimien matriisin, matriisin "panos-tuotos", kertoimien matriisin laskenta välilliset kustannukset, loppukulutuksen ja bruttotuotannon vektorit.

Opetusohjelma

Kaikille hyvää päivää... Tässä artikkelissa haluan näyttää yhden graafisista menetelmistä matemaattisten mallien rakentamiseksi dynaamisille järjestelmille, joka on ns. Bond-kaavio("Bond" - linkit, "kaavio" - kaavio). Venäläisestä kirjallisuudesta löysin kuvauksia tästä menetelmästä vain Tomskin ammattikorkeakoulun oppikirjasta A.V. Voronin "MEKATRONIISTEN JÄRJESTELMIEN MALLINNUS" 2008 Esitä myös klassinen menetelmä toisen tyyppisen Lagrange-yhtälön kautta.

Lagrangen menetelmä

En kuvaile teoriaa, näytän laskelmien vaiheet ja muutamalla kommentilla. Henkilökohtaisesti minusta on helpompi oppia esimerkeistä kuin lukea teoriaa 10 kertaa. Kuten minusta näytti, venäläisessä kirjallisuudessa tämän menetelmän ja jopa matematiikan tai fysiikan selitys yleensä on hyvin täynnä monimutkaisia kaavoja, mikä vaatii näin ollen vakavaa matemaattista taustaa. Lagrange-menetelmää opiskellessani (opiskelen Torinon ammattikorkeakoulussa Italiassa) opiskelin venäläistä kirjallisuutta vertaillakseni laskentamenetelmiä, ja tämän menetelmän ratkaisun etenemistä oli vaikea seurata. Jopa muistaen mallinnuskurssit "Kharkovskyssa Ilmailuinstituutti”, Tällaisten menetelmien johtopäätös oli erittäin hankala, eikä kukaan vaivautunut yrittämään ymmärtää tätä asiaa. Tämän päätin kirjoittaa, käsikirjan matemaattisten mallien rakentamiseen Lagrangen mukaan, koska kävi ilmi, että se ei ollut ollenkaan vaikeaa, riittää, että osataan laskea aikaderivaatat ja osittaiset derivaatat. Monimutkaisempiin malleihin lisätään rotaatiomatriiseja, mutta ne eivät myöskään ole monimutkaisia.

Mallinnusmenetelmien ominaisuudet:

Newton-Euler: dynaamiseen tasapainoon perustuvat vektoriyhtälöt pakottaa ja hetkiä
Lagrange: skalaariyhtälöt, jotka perustuvat kineettisiin ja potentiaalisiin tilafunktioihin energia (energiat)
Bond Earl: nykyiseen perustuva menetelmä tehoa järjestelmän elementtien välillä

Aloitetaan yksinkertainen esimerkki... Paino jousella ja vaimentimella. Unohdamme painovoiman.

Kuva 1... Paino jousella ja vaimentimella

Ensinnäkin nimeämme:

alkuperäinen koordinaattijärjestelmä(NSK) tai kiinteä sk R0 (i0, j0, k0)... Missä? Voit työntää sormeasi taivaalle, mutta vetämällä aivojen hermosolujen kärkeä ideana on asettaa NSC M1-kehon liikelinjalle.
koordinaattijärjestelmät jokaiselle keholle, jolla on massa(meillä on M1 R1 (i1, j1, k1)), suunta voi olla mielivaltainen, mutta miksi vaikeuttaa elämäämme, laitamme sen pienellä erolla NSC: hen
yleistetyt koordinaatit q_i(vähimmäismäärä muuttujia, joilla liikettä voidaan kuvata), tässä esimerkissä yksi yleistetty koordinaatti, liike vain pitkin j-akselia

Kuva 2... Määritämme koordinaattijärjestelmät ja yleiskoordinaatit

Kuva 3... Rungon asento ja nopeus M1

Sitten löydämme pellin kineettiset (C) ja potentiaaliset (P) energiat sekä dissipatiivisen funktion (D) kaavoilla:

Kuva 4. Täydellinen kaava kineettinen energia

Esimerkissämme ei ole kiertoa, toinen komponentti on 0.

Kuva 5... Kineettisen, potentiaalisen energian ja dissipatiivisen funktion laskenta

Lagrangen yhtälöllä on seuraava muoto:

Kuva 6... Lagrangen yhtälö ja Lagrangen

Delta W_i se on virtuaalista työtä käytettyjen voimien ja momenttien avulla. Etsitään se:

Kuva 7... Virtuaalityön laskeminen

Missä delta q_1 virtuaalista liikettä.

Korvaamme kaiken Lagrangen yhtälöön:

Kuva 8... Tuloksena massamalli jousella ja vaimentimella

Tähän Lagrangen menetelmä päättyi. Kuten näette, se ei ole niin vaikeaa, mutta se on silti hyvin yksinkertainen esimerkki, jolle todennäköisesti Newton-Euler-menetelmä olisi vielä yksinkertaisempi. Monimutkaisemmissa järjestelmissä, joissa on useita kappaleita, joita kierretään suhteessa toisiinsa eri kulmissa, Lagrange-menetelmä on helpompi.

Bond-graafin menetelmä

Näytän heti tältä, miltä malli näyttää sidoskaaviossa esimerkissä jousen ja vaimentimen massalla:

Kuva 9... Bond-graafin massat jousella ja vaimentimella

Tässä sinun on kerrottava pieni teoria, joka riittää rakentamaan yksinkertaisia malleja... Jos jotakuta kiinnostaa, voit lukea kirjan ( Bond Graph -metodologia) tai ( Voronin A.V. Mekatronisten järjestelmien mallintaminen: opetusohjelma... - Tomsk: Tomskin ammattikorkeakoulun kustantamo, 2008).

Määritelkäämme se ensin monimutkaiset järjestelmät koostuu useista verkkotunnuksista. Esimerkiksi sähkömoottori koostuu sähköisistä ja mekaanisista osista tai alueista.

Bond-kaavio perustuu voimanvaihtoon näiden alueiden, alijärjestelmien välillä. Huomaa, että voimanvaihto, missä tahansa muodossa, määräytyy aina kahdella muuttujalla ( muuttuva teho), jonka avulla voimme tutkia eri osajärjestelmien vuorovaikutusta osana dynaamista järjestelmää (ks. taulukko).

Kuten taulukosta näkyy, tehoilmaisu on lähes sama kaikkialla. Yhteenvetona, Tehoa- Tämä työ " virtaus - f" päällä " vaivaa - e».

Yritys(eng. vaivaa) sähköalueella tämä on jännite (e), mekaanisella alueella voima (F) tai momentti (T) ja hydrauliikassa paine (p).

Virtaus(eng. virtaus) sähköalueella se on virta (i), mekaanisella alueella se on nopeus (v) tai kulmanopeus (omega), hydrauliikassa se on nesteen virtaus tai virtausnopeus (Q).

Ottamalla nämä nimitykset, saamme voiman ilmaisun:

Kuva 10... Tehokaava tehomuuttujina

Sidosgraafikielessä kahden tehoa vaihtavan alijärjestelmän välinen yhteys on esitetty sidoksella (eng. joukkovelkakirjalaina). Siksi tätä menetelmää kutsutaan bond-graafi tai r raf-yhteydet, yhdistetty graafi... Harkitse lohkokaavio kytkennät mallissa, jossa on sähkömoottori (tämä ei ole vielä sidoskaavio):

Kuva 11... Estä verkkotunnusten välisen tehovirran diaramma

Jos meillä on jännitelähde, se tuottaa vastaavasti jännitteen ja antaa sen moottorille purkamista varten (siksi nuoli on suunnattu moottoriin), käämin resistanssista riippuen virta ilmestyy Ohmin lain mukaan (suunnattu moottorista lähteeseen). Vastaavasti yksi muuttuja on syöte alijärjestelmään, ja toisen täytyy olla tie ulos alajärjestelmästä. Tässä jännite ( vaivaa) - tulo, virta ( virtaus) - lähtö.

Jos käytät nykyistä lähdettä, miten kaavio muuttuu? Oikein. Virta ohjataan moottoriin ja jännite lähteeseen. Sitten nykyinen ( virtaus) - tulojännite ( vaivaa) - lähtö.

Harkitse esimerkkiä mekaniikasta. Massaan vaikuttava voima.

Kuva 12... Massaan kohdistettu voima

Lohkokaavio tulee olemaan seuraava:

Kuva 13... Lohkokaavio

Tässä esimerkissä vahvuus ( vaivaa) Onko massan syötemuuttuja. (massaan kohdistettu voima)
Newtonin toisen lain mukaan:

Massa kohtaa nopeuden:

Tässä esimerkissä, jos yksi muuttuja ( pakottaa - vaivaa) on Sisäänkäynti mekaaniseen alueeseen, sitten toiseen tehomuuttujaan ( nopeus - virtaus) - muuttuu automaattisesti tie ulos.

Sen erottamiseksi, missä tulo ja missä lähtö on, käytetään pystysuoraa viivaa elementtien välisen nuolen lopussa (yhteys), tätä viivaa kutsutaan ns. merkki kausaalisuudesta tai syy-yhteys (syy-seuraus). Osoittautuu, että kohdistettu voima on syy ja nopeus on seuraus. Tämä merkki on erittäin tärkeä oikea rakenne järjestelmän malli, koska kausaalisuus on seurausta fyysisestä käyttäytymisestä ja kahden alajärjestelmän voimien vaihdosta, siksi kausaalisuuden merkin sijainnin valinta ei voi olla mielivaltainen.

Kuva 14... Kausaalinen merkintä

Tämä pystysuora viiva näyttää, mikä osajärjestelmä vastaanottaa vaivan ( vaivaa) ja sen seurauksena tuottaa virran ( virtaus). Esimerkissä massalla se on seuraava:

Kuva 14... Massaan vaikuttavan voiman syy-yhteys

Nuolesta käy selvästi ilmi, että messun sisäänkäynnillä - pakottaa ja lähtö on nopeus... Tämä tehdään, jotta kaaviota ei sotketa nuolilla ja mallin rakennetta ei systematisoida.

Seuraava tärkeä pointti. Yleistynyt impulssi(liikkeen määrä) ja liikkuva(energiamuuttujat).

Taulukko teho- ja energiamuuttujista eri aloilla

Yllä oleva taulukko esittelee kaksi muuta fyysistä suuretta, joita käytetään sidosgraafi-menetelmässä. Niitä kutsutaan yleistynyt impulssi (R) ja yleistetty liike (q) tai energiamuuttujia, ja ne voidaan saada integroimalla tehomuuttujat ajan mittaan:

Kuva 15... Tehon ja energiamuuttujien välinen suhde

Sähköalalla :

Faradayn lain perusteella Jännite johtimen päissä on yhtä suuri kuin tämän johtimen läpi kulkevan magneettivuon derivaatta.

A Nykyinen vahvuus - fyysinen määrä, joka on sama kuin jonkin ajan t aikana kulkeneen varauksen Q suhde poikittaisleikkaus kapellimestari tämän ajanjakson arvoon.

Mekaaninen toimialue:

Newtonin 2 laista, Pakottaa- impulssin aikaderivaata

Ja vastaavasti, nopeus- siirtymän aikaderivaata:

Tehdään yhteenveto:

Peruselementit

Dynaamisten järjestelmien kaikki elementit voidaan jakaa kaksi- ja nelinapaisiin komponentteihin.
Harkitse bipolaariset komponentit:

Lähteet
Lähteitä tulee sekä vaivaa että virtaa. Analogia sähköalalla: ponnistelun lähde – jännitelähde, virran lähde – nykyinen lähde... Lähteiden syy-merkkien pitäisi olla juuri sellaisia.

Kuva 16... Syy-yhteydet ja lähteiden nimeäminen

R-komponentti - dissipatiivinen elementti

Komponentti I - inertiaelementti

Komponentti C - kapasitiivinen elementti

Kuten kuvista näkyy, erilaisia elementtejä yksi tyyppi R, C, I kuvataan samoilla yhtälöillä. Ero on VAIN sähkökapasiteetissa, sinun on vain muistettava!

Quadrupoli komponentit:

Harkitse kahta komponenttia, muuntajaa ja gyratsia.

Bond-graph-menetelmän viimeiset tärkeät komponentit ovat yhteydet. Solmuja on kahden tyyppisiä:

Tämä täydentää komponentit.

Tärkeimmät vaiheet syy-suhteiden laskemiseksi sidoskaavion rakentamisen jälkeen:

Anna syy-yhteydet kaikille lähteet
Käy läpi kaikki solmut ja kirjaa syy-suhteet pisteen 1 jälkeen
varten komponentit I määrittää syötteen syy-yhteys (ponnistus sisältyy tähän komponenttiin), for komponentit C määritä tulosten syy-yhteys (ponnistus tulee tästä komponentista)
Toista vaihe 2
Anna syy-yhteydet komponentit R

Tähän päättyy teorian minikurssi. Meillä on nyt kaikki mitä tarvitsemme mallien rakentamiseen.
Ratkaistaan pari esimerkkiä. Aloitetaan sähköpiiristä, on parempi ymmärtää sidoskaavion rakentamisen analogia.

Esimerkki 1

Aloitetaan sidoskaavion rakentaminen jännitelähteestä. Kirjoita vain Se ja laita nuoli.

Näet, että kaikki on yksinkertaista! Katsotaan pidemmälle, R ja L on kytketty sarjaan, mikä tarkoittaa, että niissä kulkee sama virta, jos puhutaan tehomuuttujista - sama virtaus. Millä solmulla on sama virtaus? Oikea vastaus on 1-solmu. Yhdistämme lähteen, vastuksen (komponentti - R) ja induktanssin (komponentti - I) 1-solmuun.

Seuraavaksi meillä on kapasitanssi ja vastus rinnakkain, mikä tarkoittaa, että niillä on sama jännite tai voima. 0-solmu tekee työn enemmän kuin mikään muu. Kytkemme kapasitanssin (komponentti C) ja resistanssin (komponentti R) 0-solmuun.

Yhdistämme myös solmut 1 ja 0 toisiinsa. Nuolien suunta valitaan mielivaltaisesti, suhteen suunta vaikuttaa vain yhtälöiden etumerkkiin.

Tuloksena on seuraava linkkikaavio:

Nyt sinun on kirjattava syy-yhteydet. Noudatetaan niiden kiinnitysjärjestystä koskevia ohjeita, aloitetaan lähteestä.

Meillä on jännitteen (ponnistuksen) lähde, sellaisella lähteellä on vain yksi syy-vaihtoehto - tulos. Laitoimme sen.
Sitten on komponentti I, katso mitä suositellaan. Me laitamme
Jätimme 1-solmun. On
0-solmulla on oltava yksi tulo ja kaikki lähdön syysuhteet. Meillä on toistaiseksi yksi vapaapäivä. Etsimme komponentteja C tai I. Löytyi. Me laitamme
Laitamme sen, mitä on jäljellä

Siinä kaikki. Bond-graafi on rakennettu. Hurraa, toverit!

Ainoa asia, joka on jäljellä, on kirjoittaa yhtälöt, jotka kuvaavat järjestelmäämme. Tätä varten luodaan taulukko, jossa on 3 saraketta. Ensimmäinen sisältää kaikki järjestelmän komponentit, toinen sisältää tulomuuttujan jokaiselle elementille ja kolmas sisältää lähtömuuttujan samalle komponentille. Olemme jo määrittäneet sisään- ja ulostulon syy-yhteyden perusteella. Ei siis pitäisi olla ongelmia.

Numeroimme jokaisen yhteyden tasojen tallentamisen helpottamiseksi. Kunkin elementin yhtälöt on otettu komponenttien C, R, I luettelosta.

Kun taulukko on laadittu, määritämme tilamuuttujat, tässä esimerkissä ne ovat 2, p3 ja q5. Seuraavaksi sinun on kirjoitettava muistiin tilayhtälöt:

Siinä kaikki malli on valmis.

Esimerkki 2. Haluan välittömästi pahoitella kuvan laatua, pääasia, että voit lukea

Ratkaistaan vielä yksi esimerkki mekaanisesta järjestelmästä, sama, jonka ratkaisimme Lagrangen menetelmällä. Näytän ratkaisun kommentoimatta. Katsotaanpa, mikä näistä menetelmistä on yksinkertaisempi, helpompi.

Matbalissa koottiin molemmat mattomallit samoilla parametreilla, jotka saatiin Lagrange-menetelmällä ja bond-graafilla. Tulos alla: Lisää tarroja

KANSSA Lagrangen menetelmän ydin on pelkistää ehdollisen ääripään ongelma ehdottoman ääripään ongelman ratkaisemiseksi. Harkitse epälineaarista ohjelmointimallia:

(5.2)

missä
- tunnetut toiminnot,

a
- annetut kertoimet.

Huomaa, että tässä tehtävän muotoilussa rajoitukset ovat yhtäläisyyksiä; muuttujien ei-negatiivisuudelle ei ole ehtoa. Lisäksi oletetaan, että funktiot
ovat jatkuvia ensimmäisten osittaisten johdannaisten kanssa.

Muunnamme ehdot (5.2) siten, että yhtälöjen vasemmalla tai oikealla puolella on nolla:

(5.3)

Muodostetaan Lagrange-funktio. Se sisältää tavoitefunktion (5.1) ja rajoitusten oikeat puolet (5.3) kertoimilla otettuna.
... Lagrange-kertoimia on niin monta kuin ongelmassa on rajoitteita.

Funktion (5.4) ääripisteet ovat alkuperäisen ongelman ääripisteitä ja päinvastoin: optimaalinen tehtäväsuunnitelma (5.1) - (5.2) on Lagrange-funktion globaali ääripiste.

Tosiaan, ratkaisu löytyy
tehtävästä (5.1) - (5.2), niin ehdot (5.3) täyttyvät. Korvaa suunnitelma
funktioon (5.4) ja tarkista yhtälön (5.5) oikeellisuus.

Siten alkuperäisen ongelman optimaalisen suunnitelman löytämiseksi on tarpeen tutkia Lagrangen funktiota ääripäälle. Funktiolla on ääriarvot kohdissa, joissa sen osittaiset derivaatat ovat yhtä suuret nolla... Tällaisia pisteitä kutsutaan paikallaan.

Määritellään funktion (5.4) osittaiset derivaatat.

Tasauksen jälkeen nolla johdannaisia, saamme järjestelmän m + n yhtälöt kanssa m + n tuntematon

,(5.6)

Yleisessä tapauksessa järjestelmässä (5.6) - (5.7) on useita ratkaisuja, jotka sisältävät kaikki Lagrange-funktion maksimit ja minimit. Globaalin maksimin tai minimin korostamiseksi tavoitefunktion arvot lasketaan kaikista löydetyistä pisteistä. Suurin näistä arvoista on globaali maksimi ja pienin globaali minimi. Joissakin tapauksissa se osoittautuu mahdolliseksi käyttää riittävät ehdot tiukkaan ääripään jatkuvat toiminnot (katso tehtävä 5.2 alla):

anna toiminnon
jatkuva ja kahdesti differentioituva jossakin paikallaan olevan pisteensä lähellä (nuo.
)). Sitten:

a ) jos
, (5.8)

sitten Onko funktion tiukka maksimipiste
;

b) jos
, (5.9)

sitten Onko funktion tiukka minimipiste
;

G ) jos
,

silloin kysymys ääripään olemassaolosta jää avoimeksi.

Lisäksi jotkin järjestelmän (5.6) - (5.7) ratkaisut voivat olla negatiivisia. Mikä on ristiriidassa muuttujien taloudellisen merkityksen kanssa. Tässä tapauksessa sinun tulee harkita mahdollisuutta korvata negatiiviset arvot nollalla.

Lagrange-kertoimien taloudellinen merkitys. Optimaalinen kertoimen arvo
näyttää kuinka paljon kriteerin arvo muuttuu Z kun resurssia lisätään tai vähennetään j yhdellä yksiköllä, koska

Lagrangen menetelmää voidaan soveltaa myös silloin, kun rajoitteet ovat epätasa-arvoja. Eli funktion ääripään löytäminen
olosuhteissa

suorittaa useissa vaiheissa:

1. Määritä tavoitefunktion stationaariset pisteet, joille ne ratkaisevat yhtälöjärjestelmän

2. Valitse kiinteistä pisteistä ne, joiden koordinaatit täyttävät ehdot

3. Lagrangen menetelmää käytetään ratkaisemaan ongelma tasa-arvorajoitteilla (5.1) - (5.2).

4. Tutki globaalin maksimin toisessa ja kolmannessa vaiheessa löydettyjä pisteitä: vertaa tavoitefunktion arvoja näissä kohdissa - suurin arvo vastaa optimaalista suunnitelmaa.

Tehtävä 5.1 Ratkaistaan ensimmäisessä osassa tarkasteltu tehtävä 1.3 Lagrangen menetelmällä. Vesivarojen optimaalinen jakautuminen kuvataan matemaattisella mallilla

Muodostetaan Lagrange-funktio

Etsitään tämän funktion ehdoton maksimi. Tätä varten laskemme osittaiset derivaatat ja vertaamme ne nollaan

Siten olemme saaneet muotoisen lineaariyhtälöjärjestelmän

Ratkaisu yhtälöjärjestelmään edustaa optimaalista suunnitelmaa vesivarojen jakautumiselle kastetuille alueille.

, .

Määrät
mitattuna sadoissa tuhansissa kuutiometreissä.
- nettotulon määrä sataatuhatta kuutiometriä kasteluvettä kohden. Siksi kasteluveden 1 m 3:n rajahinta on yhtä suuri
den. yksiköitä

Kastelun nettotulon enimmäismäärä on

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391.02 (rahayksikköä)

Tehtävä 5.2 Ratkaise epälineaarinen ohjelmointitehtävä

Esitämme rajoituksen muodossa:

Muodostetaan Lagrange-funktio ja määritellään sen osittaiset derivaatat

Lagrange-funktion stationääripisteiden määrittämiseksi sen osittaiset derivaatat tulisi rinnastaa nollaan. Tuloksena saamme yhtälöjärjestelmän

Ensimmäisestä yhtälöstä se seuraa

. (5.10)

Ilmaisu korvaa toisessa yhtälössä

josta seuraa kaksi ratkaisua :

ja
. (5.11)

Korvaamalla nämä ratkaisut kolmanteen yhtälöön, saamme

,
.

Lagrangen kertoimen ja tuntemattoman arvot laskemme lausekkeiden (5.10) - (5.11) avulla:

,
,
,
.

Saimme siis kaksi ääripistettä:

;
.

Selvittääksemme ovatko nämä pisteet maksimi- vai minimipisteitä, käytämme tiukan ääripään (5.8) - (5.9) riittäviä ehtoja. Esilauseke varten , joka saadaan matemaattisen mallin rajoituksesta, korvaamme tavoitefunktiossa