- 09.10.2014
Kuvassa näkyvä esivahvistin on tarkoitettu käytettäväksi 4 eri äänilähteen kanssa, kuten mikrofoni, CD-soitin, radionauhuri jne. Samalla esivahvistimessa on yksi tulo, joka voi muuttaa herkkyyttä arvosta 50 mV - 500 mV. vahvistimen lähtöjännite on 1000mV. Yhdistämällä eri signaalilähteitä kytkintä SA1 vaihdettaessa saamme aina ...
- 20.09.2014
Virtalähde on suunniteltu kuormitukselle, jonka teho on 15 ... 20 W. Lähde on valmistettu yksitkaavion mukaan. Transistoriin on koottu autogeneraattori, joka toimii taajuudella 20 ... 40 kHz. Taajuutta säädetään kondensaattorilla C5. Elementit VD5, VD6 ja C6 muodostavat automaattisen generaattorin käynnistyspiirin. Sisään toisiopiiri siltatasasuuntaajan jälkeen mikropiirissä on tavanomainen lineaarinen stabilisaattori, jonka avulla voit ...
- 28.09.2014
Kuvassa on K174XA11-mikropiirin generaattori, jonka taajuutta ohjataan jännitteellä. Kun kapasitanssi C1 muuttuu 560:sta 4700pF:iin, saadaan laaja taajuusalue, kun taas taajuutta säädetään muuttamalla vastusta R4. Esimerkiksi kirjoittaja sai selville, että kun C1 = 560pF, generaattorin taajuutta voidaan muuttaa R4:llä 600 Hz:stä 200 kHz:iin, ...
- 03.10.2014
Yksikkö on suunniteltu antamaan virtaa tehokkaalle ULF:lle, se on suunniteltu ± 27 V:n lähtöjännitteelle ja niin edelleen, jopa 3 A:n kuormitukselle kummassakin varressa. Virtalähde on kaksinapainen, valmistettu täydellisistä komposiittitransistoreista KT825-KT827. Stabilisaattorin molemmat varret on valmistettu saman piirin mukaan, mutta toisessa varressa (ei esitetty) kondensaattoreiden napaisuutta muutetaan ja toisen transistoreja käytetään ...
Taito laskea tilakuvioiden tilavuus on tärkeää ratkaistaessa useita käytännön geometrian ongelmia. Yksi yleisimmistä muodoista on pyramidi. Tässä artikkelissa tarkastelemme sekä täydellisiä että katkaistuja pyramideja.
Pyramidi kolmiulotteisena hahmona
Kaikki tietävät Egyptin pyramideista, joten heillä on hyvä käsitys siitä, mistä hahmosta keskustellaan. Egyptiläiset kivirakenteet ovat kuitenkin vain erikoistapaus valtavasta pyramidien luokasta.
Tarkastelun kohteena oleva geometrinen objekti on yleisessä tapauksessa monikulmio kanta, jonka kukin kärkipiste on kytketty johonkin avaruuden pisteeseen, joka ei kuulu kannan tasoon. Tämä määritelmä johtaa kuvioon, joka koostuu yhdestä n-kulmiosta ja n kolmiosta.
Mikä tahansa pyramidi koostuu n + 1 pinnasta, 2 * n reunasta ja n + 1 pisteestä. Koska tarkasteltava kuvio on täydellinen monitahoinen, merkittyjen elementtien lukumäärät noudattavat Eulerin yhtäläisyyttä:
2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.
Pohjalla oleva monikulmio antaa pyramidille nimen, esimerkiksi kolmion muotoinen, viisikulmainen ja niin edelleen. Sarja pyramideja eri syistä näkyy alla olevassa kuvassa.
Pistettä, jossa kuvion n kolmiota on yhdistetty, kutsutaan pyramidin huipuksi. Jos kohtisuora lasketaan siitä pohjaan ja se leikkaa sen geometrisessa keskustassa, niin tällaista kuvaa kutsutaan suoraksi. Jos tämä ehto ei täyty, tapahtuu kalteva pyramidi.
Suoraa kuviota, jonka pohjan muodostaa tasasivuinen (konformaalinen) n-kulmio, kutsutaan säännölliseksi.
Pyramidin tilavuuden kaava
Pyramidin tilavuuden laskemiseksi käytämme integraalilaskua. Tätä varten jaamme kuvion pohjan suuntaisilla leikkaustasoilla äärettömään määrään ohuita kerroksia. Alla olevassa kuvassa on nelikulmainen pyramidi, jonka korkeus on h ja sivupituus L, johon nelikulmio on merkitty ohut kerros-osio.
Kunkin tällaisen kerroksen pinta-ala voidaan laskea kaavalla:
A (z) = A 0 * (h-z) 2/h 2.
Tässä A 0 on peruspinta-ala, z on pystykoordinaatin arvo. Voidaan nähdä, että jos z = 0, niin kaava antaa arvon A 0.
Saadaksesi kaavan pyramidin tilavuudelle, sinun tulee laskea integraali koko kuvan korkeudelta, eli:
V = ∫ h 0 (A (z) * dz).
Korvaamalla riippuvuuden A (z) ja laskemalla antiderivaata, päästään lauseeseen:
V = -A 0 * (h-z) 3 / (3 * h 2) | h 0 = 1/3 * A 0 * h.
Saimme pyramidin tilavuuden kaavan. V:n arvon löytämiseksi riittää, kun kerrot luvun korkeuden pohjan pinta-alalla ja jaat sitten tuloksen kolmella.
Huomaa, että tuloksena oleva lauseke pätee mielivaltaisen tyyppisen pyramidin tilavuuden laskemiseen. Eli se voi olla vinossa ja sen kanta voi olla mielivaltainen n-kulmio.
ja sen tilavuus
Yllä olevassa kappaleessa saatu tilavuuden yleinen kaava voidaan selventää pyramidin tapauksessa, jossa on säännöllinen kanta. Tällaisen pohjan pinta-ala lasketaan seuraavalla kaavalla:
A 0 = n/4 * L 2 * ctg (pi/n).
Tässä L on säännöllisen monikulmion sivun pituus, jossa on n kärkeä. Pi-symboli on pi.
Korvaamalla lausekkeen A 0 yleiskaavaan, saadaan tilavuus oikea pyramidi:
V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).
Esimerkiksi kolmiopyramidille tämä kaava johtaa seuraavaan lausekkeeseen:
V 3 = 3/12 * P 2 * h * ctg (60 o) = √3 / 12 * P 2 * h.
Tavallisen nelikulmaisen pyramidin tilavuuskaava on seuraavanlainen:
V 4 = 4/12 * P 2 * h * ctg (45 o) = 1/3 * P 2 * h.
Säännöllisten pyramidien tilavuuksien määrittäminen edellyttää niiden pohjan sivun ja kuvion korkeuden tuntemista.
Katkaistu pyramidi
Oletetaan, että otimme mielivaltaisen pyramidin ja leikkaamme siitä pois osan sivupinnasta, joka sisältää kärjen. Jäljellä olevaa muotoa kutsutaan katkaistuksi pyramidiksi. Se koostuu jo kahdesta n-kulmaisesta kannasta ja n:stä puolisuunnikkaasta, jotka yhdistävät ne. Jos leikkaustaso oli yhdensuuntainen kuvion pohjan kanssa, muodostuu katkaistu pyramidi, jolla on samansuuntaiset samanlaiset kantat. Toisin sanoen toisen sivujen pituudet saadaan kertomalla toisen sivun pituudet jollain kertoimella k.
Yllä oleva kuva esittää katkaistua säännöllistä. On havaittavissa, että sen yläpohja, kuten alemmankin, muodostuu säännöllisestä kuusikulmiosta.
Kaava, joka voidaan johtaa käyttämällä samanlaista integraalilaskua, on:
V = 1/3 * h * (A 0 + A 1 + √ (A 0 * A 1)).
Missä A 0 ja A 1 ovat alemman (suuri) ja ylemmän (pienen) emäksen alueita, vastaavasti. Muuttuja h tarkoittaa katkaistun pyramidin korkeutta.
Cheopsin pyramidin tilavuus
On utelias ratkaista ongelma, joka koskee sellaisen tilavuuden määrittämistä, jonka Egyptin suurin pyramidi sisältää sisällään.
Vuonna 1984 brittiläiset egyptiologit Mark Lehner ja Jon Goodman määrittelivät Cheops-pyramidin tarkat mitat. Sen alkuperäinen korkeus oli 146,50 metriä (tällä hetkellä noin 137 metriä). Rakenteen kunkin neljän sivun keskipituus oli 230 363 metriä. Pyramidin pohja korkean tarkkuuden on neliö.
Käytämme yllä olevia lukuja tämän kivijättiläisen tilavuuden määrittämiseen. Koska pyramidi on säännöllinen nelikulmainen, kaava pätee sille:
Korvaamme numerot, saamme:
V 4 = 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.
Cheops-pyramidin tilavuus on lähes 2,6 miljoonaa m 3. Vertailun vuoksi huomaamme, että olympia-altaan tilavuus on 2,5 tuhatta m 3. Eli koko Cheops-pyramidin täyttämiseksi tarvitaan yli 1000 tällaista allasta!
Monitahoista, jonka yksi pinta on monikulmio ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki, kutsutaan pyramidiksi.
Näitä pyramidin muodostavia kolmioita kutsutaan sivupinnat ja jäljellä oleva monikulmio on perusta pyramidit.
Pyramidin juurella on geometrinen kuvio- n-gon. Tässä tapauksessa pyramidia kutsutaan myös n-puolinen.
Kutsutaan kolmiomaista pyramidia, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri.
Pyramidin reunoja, jotka eivät kuulu pohjaan, kutsutaan lateraalinen ja heidän yhteinen kohta- Tämä on kärkipiste pyramidit. Pyramidin muita reunoja kutsutaan yleisesti nimellä perustan puolueet.
Pyramidi on ns oikea, jos sen pohjassa on säännöllinen monikulmio ja kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret.
Etäisyyttä pyramidin huipulta pohjan tasoon kutsutaan korkeus pyramidit. Voimme sanoa, että pyramidin korkeus on pohjaan nähden kohtisuorassa oleva segmentti, jonka päät ovat pyramidin huipulla ja pohjan tasolla.
Kaikille pyramideille pätevät seuraavat kaavat:
1) S täysi = S puoli + S pää, missä
S täysi - pyramidin kokonaispinta-ala;
S-puoli - sivupinta-ala, ts. pyramidin kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa;
S main - pyramidin pohjan pinta-ala.
2) V = 1/3 S perus-N, missä
V on pyramidin tilavuus;
H on pyramidin korkeus.
varten oikea pyramidi tapahtuu:
S-puoli = 1/2 P pääh, missä
P main - pyramidin pohjan kehä;
h - apoteemin pituus, eli pyramidin huipulta pudonneen sivupinnan korkeuden pituus.
Pyramidin osa, joka on suljettu kahden tason - pohjan tason ja sekanttitason - väliin, joka on piirretty yhdensuuntaisesti pohjan kanssa, on ns. katkaistu pyramidi.
Pyramidin kantaa ja pyramidin poikkileikkausta yhdensuuntaisen tason mukaan kutsutaan perusteita katkaistu pyramidi. Muut kasvot ovat nimeltään lateraalinen... Pohjien tasojen välistä etäisyyttä kutsutaan korkeus katkaistu pyramidi. Kylkiluita, jotka eivät kuulu pohjaan, kutsutaan lateraalinen.
Myös katkaistun pyramidin pohja samanlaisia n-goneja... Jos katkaistun pyramidin kantat ovat säännöllisiä monikulmioita ja kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, niin tällainen katkaistu pyramidi on ns. oikea.
varten mielivaltainen katkaistu pyramidi seuraavat kaavat pätevät:
1) S täysi = S-puoli + S 1 + S 2, missä
S täysi - kokonaispinta-ala;
S-puoli - sivupinta-ala, ts. katkaistun pyramidin kaikkien sivupintojen pinta-alojen summa, jotka ovat puolisuunnikkaita;
S 1, S 2 - emästen pinta-ala;
2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) H, missä
V on katkaistun pyramidin tilavuus;
H on katkaistun pyramidin korkeus.
varten oikea katkaistu pyramidi meillä on myös:
S-puoli = 1/2 (P 1 + P 2) h, missä
P 1, P 2 - pohjakehät;
h - apoteemi (sivupinnan korkeus, joka on puolisuunnikkaan muotoinen).
Tarkastellaan useita tehtäviä katkaistulle pyramidille.
Tavoite 1.
Kolmiomaisessa katkaistussa pyramidissa, jonka korkeus on 10, yhden kannan sivut ovat 27, 29 ja 52. Määritä katkaistun pyramidin tilavuus, jos toisen jalan ympärysmitta on 72.
Ratkaisu.
Tarkastellaan katkaistua pyramidia ABCA 1 B 1 C 1 kuvassa Kuvio 1.
1. Katkaistun pyramidin tilavuus löytyy kaavasta
V = 1 / 3H (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)), jossa S 1 on yhden emäksen pinta-ala, voidaan löytää Heronin kaavalla
S = √ (p (p - a) (p - b) (p - c)),
siitä asti kun tehtävässä on annettu kolmion kolmen sivun pituudet.
Meillä on: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.
S 1 = √ (54 (54 - 27) (54 - 29) (54 - 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.
2. Pyramidi on katkaistu, mikä tarkoittaa, että samanlaiset monikulmiot sijaitsevat tyvillä. Meidän tapauksessamme kolmio ABC on samanlainen kuin kolmio A 1 B 1 C 1. Lisäksi samankaltaisuuskerroin löytyy tarkasteltavien kolmioiden kehän suhteena, ja niiden pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskertoimen neliö. Meillä on siis:
S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2/72 2 = 9/4. Näin ollen S 2 = 4S 1/9 = 4 · 270/9 = 120.
Joten V = 1/3 10 (270 + 120 + √ (270 120)) = 1900.
Vastaus: 1900.
Tavoite 2.
Kolmionmuotoisessa katkaistussa pyramidissa yläpohjan sivun läpi piirretään taso, joka on yhdensuuntainen vastakkaisen sivureunan kanssa. Millä suhteella katkaistun pyramidin tilavuus jaettiin, jos kantajen vastaavat sivut ovat 1:2?
Ratkaisu.
Tarkastellaan ABCA 1 B 1 C 1 - katkaistua pyramidia, joka näkyy kuvassa riisi. 2.
Koska kantojen sivut liittyvät suhteessa 1:2, kantakohtien pinta-alat ovat suhteessa 1:4 (ABC-kolmio on samanlainen kuin kolmio A1 B 1 C 1).
Sitten katkaistun pyramidin tilavuus on:
V = 1 / 3h (S 1 + S 2 + √ (S 1 S 2)) = 1 / 3 h (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 h S 2, missä S 2 on ylempi pohja, h on korkeus.
Mutta prisman ADEA 1 B 1 C 1 tilavuus on V 1 = S 2 h ja siksi
V 2 = V - V 1 = 7/3 h S 2 - h S 2 = 4/3 h S 2.
Joten V 2: V 1 = 3: 4.
Vastaus: 3:4.
Tavoite 3.
Säännöllisen suorakaiteen muotoisen katkaistun pyramidin pohjien sivut ovat 2 ja 1 ja korkeus 3. Pyramidin diagonaalien leikkauspisteen kautta, joka on yhdensuuntainen pyramidin kannan kanssa, piirretään taso, joka jakaa pyramidin kahteen osaan. Etsi kunkin tilavuus.
Ratkaisu.
Tarkastellaan katkaistua pyramidia ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 kuvassa riisi. 3.
Merkitään O 1 O 2 = x, sitten OO₂ = O 1 O - O 1 O 2 = 3 - x.
Tarkastellaan kolmiota B 1 O 2 D 1 ja kolmiota B 2 D:
kulma B 1 O 2 D 1 yhtä suuri kuin kulma VO 2 D pystysuorana;
kulma BDO 2 on yhtä suuri kuin kulma D 1 B 1 O 2 ja kulma O 2 BD on yhtä suuri kuin kulma B 1 D 1 O 2 risteyksessä kohdassa B 1 D 1 || BD ja sekantit B₁D ja BD1, vastaavasti.
Siksi kolmio B 1 O 2 D 1 on samanlainen kuin kolmio BO 2 D ja sivujen suhde tapahtuu:
B1D 1 / BD = O 1 O 2 / OO 2 tai 1/2 = x / (x - 3), josta x = 1.
Tarkastellaan kolmiota B 1 D 1 B ja kolmiota LO 2 B: kulma B on yhteinen, ja myös B 1 D 1 || LM, joten kolmio B 1 D 1 B on samanlainen kuin kolmio LO 2 B, josta B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, ts.
LO 2 = 2/3 B 1 D 1, LN = 4/3 B 1 D 1.
Sitten S KLMN = 16/9 S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.
Joten V 1 = 1/3 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.
V 2 = 1/3 1 (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.
Vastaus: 152/27; 37/27.
blogisivustolla, kopioimalla materiaali kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.
Pyramidi. Katkaistu pyramidi
Pyramidi kutsutaan monitahoiseksi, jonka yksi pinta on monikulmio ( pohja ), ja kaikki muut pinnat ovat kolmioita, joilla on yhteinen kärki ( sivupinnat ) (kuva 15). Pyramidi on ns oikea , jos sen kanta on säännöllinen monikulmio ja pyramidin huippu on projisoitu pohjan keskelle (kuva 16). Kutsutaan kolmiopyramidi, jonka kaikki reunat ovat yhtä suuret tetraedri .
Sivujousi pyramidi on sivupinnan se puoli, joka ei kuulu pohjaan Korkeus Pyramidiksi kutsutaan etäisyyttä sen huipulta pohjan tasoon. Säännöllisen pyramidin kaikki sivureunat ovat keskenään yhtä suuret, kaikki sivureunat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Ylhäältä vedetyn säännöllisen pyramidin sivupinnan korkeudeksi kutsutaan apoteemi . Diagonaalinen leikkaus pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.
Sivuttaispinta-ala Pyramidia kutsutaan kaikkien sivupintojen pinta-alojen summaksi. Koko pinta-ala kutsutaan kaikkien sivupintojen ja pohjan pinta-alojen summaksi.
Lauseet
1. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä vinossa pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu projisoidaan pohjan ympärille piirretyn ympyrän keskelle.
2. Jos pyramidissa kaikki sivureunat ovat yhtä pitkiä, niin pyramidin huippu heijastuu pohjan ympärille rajatun ympyrän keskelle.
3. Jos pyramidissa kaikki pinnat ovat yhtä kallistettuina pohjan tasoon nähden, niin pyramidin huippu heijastuu pohjaan piirretyn ympyrän keskelle.
Mielivaltaisen pyramidin tilavuuden laskemiseksi seuraava kaava on oikea:
missä V- tilavuus;
S pää- peruspinta-ala;
H- pyramidin korkeus.
Oikean pyramidin kaavat ovat oikein:
missä p- pohjakehä;
h a- apoteemi;
H- korkeus;
S täynnä
S puoli
S pää- peruspinta-ala;
V- oikean pyramidin tilavuus.
Katkaistu pyramidi jota kutsutaan pyramidin osaksi, joka on jalan ja pyramidin pohjan suuntaisen leikkaustason välissä (kuva 17). Tavallinen katkaistu pyramidi kutsutaan säännöllisen pyramidin osaksi, joka on pyramidin kannan ja pyramidin pohjan suuntaisen kulmatason välissä.
Säätiöt katkaistut pyramidit - samanlaiset monikulmiot. Sivukasvot - puolisuunnikkaan muotoinen. Korkeus katkaistu pyramidi on kantansa välinen etäisyys. Diagonaalinen katkaistua pyramidia kutsutaan segmentiksi, joka yhdistää sen kärjet, jotka eivät ole samalla pinnalla. Diagonaalinen leikkaus katkaistun pyramidin leikkausta kutsutaan tasoksi, joka kulkee kahden sivureunan läpi, jotka eivät kuulu yhteen pintaan.
Katkaistulle pyramidille ovat voimassa seuraavat kaavat:
(4)
missä S 1 , S 2 - ylä- ja alapohjan alueet;
S täynnä- kokonaispinta-ala;
S puoli- sivuttainen pinta-ala;
H- korkeus;
V- katkaistun pyramidin tilavuus.
Oikealle katkaistulle pyramidille kaava on oikea:
missä p 1 , p 2 - pohjan kehät;
h a- säännöllisen katkaistun pyramidin apoteemi.
Esimerkki 1. Oikeassa kolmion muotoinen pyramidi dihedraalinen kulma pohjassa on 60º. Etsi sivureunan kaltevuuskulman tangentti pohjan tasoon nähden.
Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 18).
 |
Pyramidi on oikea, joten pohjassa tasasivuinen kolmio ja kaikki sivupinnat ovat yhtäläisiä tasakylkisiä kolmioita. Dihedraalinen kulma pohjassa on pyramidin sivupinnan kaltevuuskulma pohjan tasoon nähden. Lineaarinen kulma on kulma a kahden kohtisuoran välillä: ja ts. Pyramidin huippu projisoidaan kolmion keskelle (ympyrän keskipiste ja kolmioon piirretty ympyrä ABC). Sivuttaisen rivan kaltevuuskulma (esim SB) Onko itse reunan ja sen pohjan tasoon projektion välinen kulma. Kylkiluun SB tämä kulma on kulma SBD... Tangentin löytämiseksi sinun on tunnettava jalat NIIN ja OB... Olkoon segmentin pituus BD on yhtä suuri kuin 3 a... Piste O-osio BD on jaettu osiin: ja Mistä löydämme NIIN: 
Meiltä löydät: 
Vastaus:
Esimerkki 2. Laske säännöllisen katkaistun nelikulmaisen pyramidin tilavuus, jos sen kantat ovat cm ja cm ja korkeus on 4 cm.
Ratkaisu. Katkaistun pyramidin tilavuuden selvittämiseksi käytämme kaavaa (4). Pohjien pinta-alan löytämiseksi sinun on löydettävä perusneliöiden sivut, kun tiedät niiden lävistäjät. Pohjien sivut ovat vastaavasti 2 cm ja 8 cm. Joten kantojen pinta-alat ja Kun kaikki tiedot on korvattu kaavassa, laskemme katkaistun pyramidin tilavuuden:
Vastaus: 112 cm 3.
Esimerkki 3. Etsi säännöllisen kolmion muotoisen katkaistun pyramidin sivupinnan pinta-ala, jonka pohjien sivut ovat 10 cm ja 4 cm ja pyramidin korkeus on 2 cm.
Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 19).
Tämän pyramidin sivupinta on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen. Puolisuunnikkaan alueen laskemiseksi sinun on tiedettävä pohja ja korkeus. Pohjat on annettu kunnon mukaan, vain korkeus on tuntematon. Löydämme sen mistä A 1 E kohtisuorassa pisteestä A 1 alemman alustan tasossa, A 1 D- kohtisuoraan alkaen A 1 päälle KUTEN. A 1 E= 2 cm, koska tämä on pyramidin korkeus. Löytää DE tehdään lisäpiirustus, joka esittää ylhäältä katsottuna (kuva 20). Kohta O- ylemmän ja alemman alustan keskipisteiden projektio. koska (katso kuva 20) ja Toisaalta OK Onko piirretyn ympyrän säde ja 
OM- piirretyn ympyrän säde:
MK = DE.
Pythagoraan lauseen mukaan alkaen
Kasvojen sivualue: 
Vastaus:
Esimerkki 4. Pyramidin juurella on tasakylkinen puolisuunnikkaan muotoinen puolisuunnikas, jonka kantat a ja b (a> b). Jokainen sivureuna muodostaa kulman pyramidin pohjan tason kanssa, joka on yhtä suuri kuin j... Etsi pyramidin kokonaispinta-ala.
Ratkaisu. Tehdään piirustus (kuva 21). Pyramidin kokonaispinta-ala SABCD yhtä suuri kuin puolisuunnikkaan pinta-alojen ja pinta-alan summa ABCD.
Käytetään väitettä, että jos pyramidin kaikki pinnat ovat yhtä kallistuneet kannan tasoon nähden, niin huippu heijastetaan kantaan piirretyn ympyrän keskipisteeseen. Kohta O- kärkiprojektio S pyramidin juurella. Kolmio SOD on kolmion ortogonaalinen projektio CSD pohjan tasossa. Tasokuvan ortogonaalisen projektion alueen lauseella saamme:
Samalla tavalla se tarkoittaa 
Siten tehtävä rajoittui puolisuunnikkaan alueen löytämiseen ABCD... Piirrä puolisuunnikkaan muotoinen ABCD erikseen (kuva 22). Kohta O- puolisuunnikkaan piirretyn ympyrän keskipiste.
Koska ympyrä voidaan kirjoittaa puolisuunnikkaan Pythagoraan lauseen mukaan joko From, meillä on
- Tämä on monitahoinen, jonka muodostaa pyramidin pohja ja sen suuntainen osa. Voimme sanoa, että katkaistu pyramidi on pyramidi, jonka yläosa on katkaistu. Tällä muodolla on monia ainutlaatuisia ominaisuuksia:
- Pyramidin sivupinnat ovat puolisuunnikkaan muotoisia;
- Säännöllisen katkaistun pyramidin poikittaiset kylkiluut, jotka ovat yhtä pitkiä ja kallistuneet alustaan samassa kulmassa;
- Pohjat ovat kuin monikulmiot;
- Tavallisessa katkaistussa pyramidissa pinnat ovat identtisiä tasakylkisiä puolisuunnikkaita, joiden pinta-ala on yhtä suuri. Ne on myös kallistettu alustaan samassa kulmassa.
Katkaistun pyramidin sivupinta-alan kaava on sen sivujen pinta-alojen summa: 
Koska katkaistun pyramidin sivut ovat puolisuunnikkaan muotoisia, sinun on käytettävä kaavaa parametrien laskemiseen puolisuunnikkaan alue... Oikean katkaistun pyramidin saamiseksi voit käyttää erilaista pinta-alakaavaa. Koska sen kaikki sivut, pinnat ja kulmat pohjassa ovat yhtä suuret, voit käyttää pohjan ja apoteemin kehyksiä ja myös päätellä pohjan kulman kautta olevan alueen.
Jos säännöllisen katkaistun pyramidin olosuhteiden mukaan on annettu apoteemi (sivusivun korkeus) ja pohjan sivujen pituudet, niin pinta-ala voidaan laskea summan puolitulon kautta. tukikohtien ja apoteemin kehät:
Katsotaanpa esimerkkiä katkaistun pyramidin sivupinta-alan laskemisesta.
Säännöllinen viisikulmainen pyramidi on annettu. Apothem l= 5 cm, kasvojen pituus suuressa pohjassa on a= 6 cm, ja reuna pienemmässä pohjassa b= 4 cm. Laske katkaistun pyramidin pinta-ala.
Ensin löydetään pohjan kehät. Koska meille on annettu viisikulmainen pyramidi, ymmärrämme, että kannat ovat viisikulmioita. Tämä tarkoittaa, että kuvio, jossa on viisi identtistä sivua, on tyvillä. Etsi suuremman pohjan ympärysmitta:
Samalla tavalla löydämme pienemmän pohjan kehän:
Nyt voimme laskea oikean katkaistun pyramidin alueen. Korvaamme tiedot kaavaan:
Näin ollen laskemme säännöllisen katkaistun pyramidin alueen kehän ja apoteemin läpi.
Toinen tapa laskea säännöllisen pyramidin sivupinta-ala on kaava pohjan kulmien läpi ja juuri näiden tukien alueen läpi.
Katsotaanpa laskentaesimerkkiä. Muista, että tämä kaava koskee vain tavallista katkaistua pyramidia.
Anna se oikea nelikulmainen pyramidi... Alapohjan reuna on a = 6 cm ja yläpohjan reuna on b = 4 cm. Dihedraalinen kulma pohjassa on β = 60 °. Etsi säännöllisen katkaistun pyramidin sivupinta-ala.
Ensin lasketaan tukien pinta-ala. Koska pyramidi on oikea, kaikki kannan pinnat ovat keskenään yhtä suuret. Ottaen huomioon, että pohjassa on nelikulmio, ymmärrämme, että se on laskettava neliön alue... Se on leveyden ja pituuden tulo, mutta nämä arvot ovat samat neliöitynä. Etsi suuremman pohjan pinta-ala: 
Nyt käytämme löydettyjä arvoja sivupinta-alan laskemiseen. 
Tietäen muutaman yksinkertaisen kaavan, laskemme helposti katkaistun pyramidin sivusuunnikkaan pinta-alan eri arvojen avulla.
