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método de Lagrange─ es un método para resolver un problema de optimización condicional en el que las restricciones, escritas como funciones implícitas, se combinan con una función objetivo en forma de una nueva ecuación llamada Lagrangiano.
Considere un caso especial Tarea común programación no lineal:
Se da un sistema de ecuaciones no lineales (1):
(1) gi (x1, x2,…, xn) = bi (i = 1..m),
Encuentra el valor más pequeño (o más grande) de la función (2)
(2) f (x1, x2, ..., xn),
si no hay condiciones de no negatividad para las variables y f (x1, x2,…, xn) y gi (x1, x2,…, xn) son funciones continuas junto con sus derivadas parciales.
Para encontrar una solución a este problema se puede aplicar el siguiente método: 1. Introducir un conjunto de variables λ1, λ2,…, λm, denominadas multiplicadores de Lagrange, forman la función de Lagrange (3)
(3) F (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) = f (x1, x2,…, xn) + λi.
2. Hallar las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a las variables xi y λi e igualarlas a cero.
3. Resolviendo el sistema de ecuaciones, se encuentran los puntos en los que la función objetivo del problema puede tener un extremo.
4. Entre los puntos sospechosos de no extremo, uno encuentra aquellos en los que se alcanza el extremo, y calcula los valores de la función en estos puntos. .
4. Compara los valores obtenidos de la función f y elige el mejor.
Según el plan de producción, la empresa necesita fabricar 180 productos. Estos productos se pueden fabricar en dos metodos tecnologicos... En la producción de x1 productos por el método I, los costos son 4 * x1 + x1 ^ 2 rublos, y en la fabricación de x2 productos por el método II, son 8 * x2 + x2 ^ 2 rublos. Determine cuántos artículos se deben fabricar con cada uno de los métodos para que el costo total de fabricación del producto sea mínimo.
Solución: La formulación matemática del problema consiste en determinar el valor mínimo de una función de dos variables:
f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2, siempre que x1 + x2 = 180.
Compongamos la función de Lagrange:
F (x1, x2, λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).
Calculemos sus derivadas parciales con respecto a x1, x2, λ e igualémoslas a 0:
Mueva λ a los lados derechos de las dos primeras ecuaciones e iguale sus lados izquierdos, obtenemos 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2, o x1 - x2 = 2.
Resolviendo la última ecuación junto con la ecuación x1 + x2 = 180, encontramos x1 = 91, x2 = 89, es decir, obtuvimos una solución que satisface las condiciones:
Busquemos el valor de la función objetivo f para estos valores de las variables:
F (x1, x2) = 17278
Este punto es sospechoso de un extremum. Usando las segundas derivadas parciales, se puede mostrar que en el punto (91.89) la función f tiene un mínimo.
Un punto M se llama interior de algún conjunto G si pertenece a este conjunto junto con alguno de sus vecinos. Un punto N se llama punto límite de un conjunto G si en cualquiera de sus vecindades completas hay puntos que pertenecen a G y que no pertenecen a él.
El conjunto de todos los puntos límite del conjunto G se denomina límite de G.
Un conjunto G se llamará región si todos sus puntos son internos (conjunto abierto). Un conjunto G con un límite adjunto Г se llama región cerrada. Un área se llama acotada si está completamente contenida dentro de un círculo de radio suficientemente grande.
El más pequeño y valor más alto funciones en un área dada se llaman los extremos absolutos de una función en esta área.
Teorema de Weierstrass: una función que es continua en un área acotada y cerrada alcanza sus valores mínimo y máximo en este área.
Consecuencia. El extremo absoluto de una función en una región dada se alcanza en un punto crítico de una función perteneciente a esta región, o en Para encontrar los valores mayor y menor de una función en una región cerrada G, es necesario encontrar todos sus puntos críticos en esta región, calcule los valores de la función en estos puntos (incluidos los puntos límite) y, comparando los números obtenidos, elija el mayor y el menor de ellos.
Ejemplo 4.1. Encuentra el extremo absoluto de una función (valores mayor y menor) 
en una región triangular D con vértices 
,
,
(Figura 1).
;
,
es decir, el punto O (0, 0) es un punto crítico perteneciente a la región D. z (0,0) = 0.
Explorando la frontera:
a) AO: y = 0 
;z (x, 0) = 0; z (0, 0) = 0; z (1, 0) = 0,
b) BO: x = 0 
z (0, y) = 0; z (0, 0) = 0; z (0, 2) = 0,
taxi:; 
,
Ejemplo 4.2. Encuentra los valores mayor y menor de una función en un área cerrada delimitada por los ejes de coordenadas y una línea recta 
.
1) Encuentre los puntos críticos que se encuentran en el área:
,
,
.
Exploremos la frontera. Porque la frontera consta de un segmento OA del eje Ox, un segmento OB del eje Oy y un segmento AB, luego determinamos los valores mayor y menor de la función z en cada uno de estos segmentos.
, z (0, 2) = - 3, z (0, 0) = 5, z (0, 4) = 5.
M 3 (5/3,7/3), z (5/3, 7/3) = - 10/3.
Entre todos los valores encontrados, elija z naib = z (4, 0) = 13; z naim = z (1, 2) = - 4.
5. Condicional extremo. Método del multiplicador de Lagrange
Considere un problema específico de funciones de varias variables, cuando su extremo no se busca en todo el dominio de definición, sino en un conjunto que satisface una cierta condición.
Deja que la función 
, argumentos 
y 
que satisfacen la condición 
llamada ecuación de restricción.
Punto 
se llama punto del máximo (mínimo) condicional si existe una vecindad de este punto tal que para todos los puntos 
de este barrio satisfaciendo la condición 
, la desigualdad 
o 
.
La Figura 2 muestra el punto del máximo condicional 
... Obviamente, no es el punto de extremo incondicional de la función 
(en la Fig. 2 este es el punto 
).
La forma más sencilla de encontrar el extremo condicional de una función de dos variables es reducir el problema a encontrar el extremo de una función de una variable. Supongamos que la ecuación de restricción 
logró resolver en relación con una de las variables, por ejemplo, express 
a través de 
:
... Sustituyendo la expresión resultante en una función de dos variables, obtenemos
aquellos. función de una variable. Su extremo será el extremo condicional de la función 
.
Ejemplo 5.1. Encuentra los puntos máximos y mínimos de una función. 
previsto 
.
Solución. Expresemos a partir de la ecuación 
variable 
a través de una variable 
y sustituimos la expresión resultante 
en función 
... Obtenemos 
o 
... Esta función tiene un mínimo único en 
... El valor de la función correspondiente 
... De este modo, 
- el punto del extremo condicional (mínimo).
En el ejemplo considerado, la ecuación de restricción 
resultó ser lineal, por lo que se resolvió fácilmente con respecto a una de las variables. Sin embargo, en casos más complejos, esto no se puede hacer.
Para encontrar el extremo condicional en el caso general, se utiliza el método del multiplicador de Lagrange. Considere una función de tres variables. Esta función se llama función de Lagrange y 
es el multiplicador de Lagrange. El siguiente teorema es verdadero.
Teorema. si el punto 
es el punto del extremo condicional de la función 
previsto 
, entonces hay un valor 
tal que el punto 
es el punto extremo de la función 
.
Por lo tanto, para encontrar el extremo condicional de la función 
previsto 
usted necesita encontrar una solución para el sistema
PAGS 
La última de estas ecuaciones coincide con la ecuación de restricción. Las dos primeras ecuaciones del sistema se pueden reescribir como, es decir, en el punto del extremo condicional, los gradientes de las funciones 
y 
colineal En la Fig. 3 muestra el significado geométrico de las condiciones de Lagrange. Línea 
línea punteada y nivelada 
funciones 
sólido. De la fig. se sigue que en el punto del extremo condicional la línea de nivel de la función 
toca la línea 
.
Ejemplo 5.2.
Encontrar los puntos extremos de una función 
previsto 
utilizando el método del multiplicador de Lagrange.
Solución. Componemos la función de Lagrange. Igualando sus derivadas parciales a cero, obtenemos un sistema de ecuaciones:
Su única solución. Así, sólo el punto (3; 1) puede ser un punto extremo condicional. Es fácil comprobar que en este punto la función 
tiene un mínimo condicional. En el caso de que el número de variables sea superior a dos, también se pueden considerar varias ecuaciones de restricción. En consecuencia, en este caso, habrá varios multiplicadores de Lagrange.
El problema de encontrar un extremo condicional se usa para resolver problemas económicos como encontrar la asignación óptima de recursos, elegir la cartera óptima de valores, etc.
Breve teoría
El método del multiplicador de Lagrange es un método clásico para resolver problemas de programación matemática (en particular, programación convexa). Desafortunadamente, con aplicación práctica el método puede encontrar importantes dificultades computacionales que reducen el área de su uso. Estamos considerando aquí el método de Lagrange principalmente porque es un aparato que se usa activamente para corroborar varios métodos numéricos modernos que se usan ampliamente en la práctica. En cuanto a la función de Lagrange y los multiplicadores de Lagrange, juegan un papel independiente y extremadamente importante en la teoría y las aplicaciones no solo de la programación matemática.
Considere un problema de optimización clásico:
Entre las restricciones de este problema no existen desigualdades, no existen condiciones para la no negatividad de las variables, su discreción y las funciones y son continuas y tienen derivadas parciales de al menos segundo orden.
El enfoque clásico para resolver el problema da un sistema de ecuaciones ( las condiciones necesarias), que debe ser satisfecho por un punto que entregue un extremo local a la función en el conjunto de puntos que satisfacen las restricciones (para un problema de programación convexo, el punto encontrado también será un punto extremo global).
Supongamos que en un punto la función (1) tiene un extremo condicional local y el rango de la matriz es igual a. Entonces las condiciones necesarias se escribirán en la forma:
hay una función de Lagrange; - Multiplicadores de Lagrange.
También existen condiciones suficientes bajo las cuales la solución del sistema de ecuaciones (3) determina el punto extremo de la función. Esta cuestión se resuelve a partir de un estudio del signo de la segunda diferencial de la función de Lagrange. Sin embargo, las condiciones suficientes son principalmente de interés teórico.
Podemos indicar el siguiente orden de resolución del problema (1), (2) por el método de los multiplicadores de Lagrange:
1) componer la función de Lagrange (4);
2) encontrar las derivadas parciales de la función de Lagrange con respecto a todas las variables e igualarlas
cero. De esta manera, se obtendrá el sistema (3), que consta de ecuaciones, resuelva el sistema resultante (¡si resulta posible!) y encuentre así todos los puntos estacionarios de la función de Lagrange;
3) a partir de puntos estacionarios tomados sin coordenadas, seleccione puntos en los que la función tenga extremos locales condicionales en presencia de restricciones (2). Esta elección se realiza, por ejemplo, utilizando condiciones suficientes para un extremo local. La investigación a menudo se simplifica si utiliza condiciones específicas del problema.
Un ejemplo de resolución del problema.
La tarea
La empresa produce dos tipos de bienes en cantidades y. La función de costo útil está determinada por la relación. Los precios de estos bienes en el mercado son iguales y correspondientemente.
Determinar a qué volúmenes de producción se logra máximo beneficio y a qué es igual si los costos totales no exceden
¿Tiene dificultad para entender el progreso de la solución? El sitio cuenta con un servicio de Resolución de problemas por métodos de soluciones óptimas a pedido.
La solución del problema
Modelo económico y matemático del problema
función de beneficio:
Restricciones de costo:
Obtenemos el siguiente modelo económico y matemático:
Además, en el sentido del problema
Método del multiplicador de Lagrange
Compongamos la función de Lagrange:
Encuentre las derivadas parciales de primer orden:
Compongamos y resolvamos el sistema de ecuaciones:
Desde entonces
Beneficio máximo:
Respuesta
Por lo tanto, es necesario liberar unidades. mercancías del 1er tipo y unidad. mercancías del segundo tipo. En este caso, la ganancia será máxima y ascenderá a 270.
Se presenta un ejemplo de resolución del problema de programación convexa cuadrática por un método gráfico.
Resolver un problema lineal por un método gráfico
Se considera un método gráfico para resolver un problema de programación lineal (LPP) con dos variables. El ejemplo del problema muestra Descripción detallada construir un dibujo y encontrar una solución.
Modelo de gestión de inventario de Wilson
Usando el ejemplo de resolver el problema, se considera el modelo básico de gestión de inventario (modelo de Wilson). Los parámetros del modelo se calculan como tamaño óptimo lotes de pedidos, costos anuales de almacenamiento, intervalo de entrega y punto de colocación del pedido.
Matriz de Relación de Costos Directos y Matriz de Insumo-Producto
En el ejemplo de resolución del problema, se considera el modelo intersectorial de Leontiev. El cálculo de la matriz de coeficientes de costos directos de materiales, la matriz "insumo-producto", la matriz de coeficientes costos indirectos, vectores de consumo final y producción bruta.
- Tutorial
A todos Buenos días... En este artículo quiero mostrar uno de los métodos gráficos para construir modelos matemáticos para sistemas dinámicos, el cual se llama Gráfico de bonos("Bond" - enlaces, "graph" - gráfico). En la literatura rusa, encontré descripciones de este método solo en el Libro de texto de la Universidad Politécnica de Tomsk, A.V. Voronin "MODELIZACIÓN DE SISTEMAS MECATRÓNICOS" 2008 Mostrar también el método clásico a través de la ecuación de Lagrange de segunda especie.
método de Lagrange
No describiré la teoría, mostraré las etapas de los cálculos y con algunos comentarios. Personalmente, me resulta más fácil aprender de los ejemplos que leer la teoría 10 veces. Como me pareció, en la literatura rusa, la explicación de este método, y de hecho las matemáticas o la física en general, está muy llena de fórmulas complejas, lo que en consecuencia requiere una formación matemática seria. Mientras estudiaba el método de Lagrange (estudié en la Universidad Politécnica de Turín, Italia), estudié la literatura rusa para comparar los métodos de cálculo, y me resultó difícil seguir el progreso de la solución de este método. Incluso recordando los cursos de modelaje en "Kharkovsky Instituto de Aviación”, La conclusión de tales métodos fue muy engorrosa, y nadie se molestó en tratar de entender este problema. Esto fue lo que decidí escribir, un manual para construir modelos matemáticos según Lagrange, como resultó no fue nada difícil, basta con saber calcular derivadas temporales y derivadas parciales. Para modelos más complejos, se agregan matrices de rotación, pero tampoco son complicadas.Características de los métodos de modelado:
- Newton-Euler: ecuaciones vectoriales basadas en el equilibrio dinámico fuerza y momentos
- Lagrange: ecuaciones escalares basadas en funciones de estado asociadas con cinética y potencial energía (energías)
- Conde de enlace: método basado en corriente energía entre elementos del sistema
Empecemos con ejemplo sencillo... Peso con muelle y amortiguador. Despreciamos la gravedad.
Figura 1... Peso con resorte y amortiguador
En primer lugar, designamos:
- sistema de coordenadas inicial(NSK) o sk fijo R0 (i0, j0, k0)... ¿Donde? Puedes apuntar con el dedo al cielo, pero tirando de las puntas de las neuronas en el cerebro, la idea es poner el NSC en la línea de movimiento del cuerpo M1.
- sistemas de coordenadas para cada cuerpo con masa(tenemos M1 R1 (i1, j1, k1)), la orientación puede ser arbitraria, pero para qué complicarnos la vida, lo ponemos con mínima diferencia del NSC
- coordenadas generalizadas q_i(el número mínimo de variables por las que se puede describir el movimiento), en este ejemplo, una coordenada generalizada, movimiento solo a lo largo del eje j
Figura 2... Asignamos sistemas de coordenadas y coordenadas generalizadas
Fig. 3... Posición y velocidad del cuerpo M1
Luego encontramos las energías cinética (C) y potencial (P) y la función disipativa (D) para el amortiguador mediante las fórmulas:
higo 4. fórmula completa energía cinética
En nuestro ejemplo, no hay rotación, el segundo componente es 0.
higo 5... Cálculo de energía cinética, potencial y función disipativa
La ecuación de Lagrange tiene la siguiente forma:
higo 6... Ecuación de Lagrange y Lagrangiana
Delta W_i es un trabajo virtual realizado por fuerzas y momentos aplicados. Encontrémoslo:
figura 7... Cálculo del trabajo virtual
Donde delta q_1 movimiento virtual.
Sustituimos todo en la ecuación de Lagrange:
higo 8... El modelo de masa resultante con un resorte y un amortiguador.
Aquí es donde terminó el método de Lagrange. Como ves, no es tan difícil, pero no deja de ser un ejemplo muy sencillo, para el que muy probablemente el método de Newton-Euler sería incluso más sencillo. Para sistemas más complejos, donde habrá varios cuerpos girados entre sí en diferentes ángulos, el método de Lagrange será más fácil.
Método del gráfico de bonos
Inmediatamente mostraré cómo se ve el modelo en el gráfico de enlace para un ejemplo con una masa de un resorte y un amortiguador:
higo 9... Masas de gráfico de enlace con resorte y amortiguador
Aquí hay que contar un poco de teoría, que es suficiente para construir modelos simples... Si alguien está interesado, puede leer el libro ( Metodología del gráfico de bonos) o ( Voronin A.V. Modelado de sistemas mecatrónicos: tutorial... - Tomsk: Editorial de la Universidad Politécnica de Tomsk, 2008).
Primero definamos que sistemas complejos constan de múltiples dominios. Por ejemplo, un motor eléctrico se compone de partes o dominios eléctricos y mecánicos.
Gráfico de bonos basado en el intercambio de poder entre estos dominios, subsistemas. Tenga en cuenta que el intercambio de poder, de cualquier forma, siempre está determinado por dos variables ( poder variable) con cuya ayuda podemos estudiar la interacción de varios subsistemas como parte de un sistema dinámico (ver tabla).
Como puede ver en la tabla, la expresión de poder es casi la misma en todas partes. En resumen, Energía- Este trabajo " flujo - f" sobre el " esfuerzo - e».
Un esfuerzo(ing. esfuerzo) en el dominio eléctrico, es el voltaje (e), en el dominio mecánico, la fuerza (F) o momento (T), y en el hidráulico, la presión (p).
Fluir(ing. fluir) en el dominio eléctrico es la corriente (i), en el dominio mecánico es la velocidad (v) o velocidad angular (omega), en hidráulica es el caudal de fluido o caudal (Q).
Tomando estas designaciones, obtenemos una expresión para la potencia:
higo 10... Fórmula de potencia en términos de variables de potencia
En el lenguaje de gráficos de enlaces, la conexión entre dos subsistemas que intercambian energía se representa mediante un enlace (ing. vínculo). Es por eso que este método se llama enlace-grafo o r raf-conexiones, gráfico conectado... Considerar diagrama de bloques conexiones en un modelo con un motor eléctrico (esto no es un gráfico de enlace todavía):
higo 11... Bloque diarama de flujo de poder entre dominios
Si tenemos una fuente de voltaje, entonces, en consecuencia, genera voltaje y se lo da al motor para que se desenrolle (por lo tanto, la flecha se dirige hacia el motor), dependiendo de la resistencia del devanado, aparece una corriente según la ley de Ohm (dirigida del motor a la fuente). En consecuencia, una variable es una entrada al subsistema, y la segunda debe ser salida del subsistema. Aquí el voltaje ( esfuerzo) - corriente de entrada ( fluir) - Salida.
Si usa una fuente de corriente, ¿cómo cambiará el diagrama? Correcto. La corriente se dirigirá al motor y el voltaje a la fuente. Entonces la corriente ( fluir) - voltaje de entrada ( esfuerzo) - Salida.
Considere un ejemplo en mecánica. Fuerza actuando sobre la masa.
higo 12... Fuerza aplicada a la masa
El diagrama de bloques será el siguiente:
figura 13... Diagrama de bloques
En este ejemplo, Fuerza ( esfuerzo) Es la variable de entrada para la masa. (Fuerza aplicada a la masa)
Según la segunda ley de Newton:
La masa se encuentra con la velocidad:
En este ejemplo, si una variable ( energía - esfuerzo) es un Entrada en un dominio mecánico, luego otra variable de potencia ( velocidad - fluir) - se convierte automáticamente salida.
Para distinguir dónde está la entrada y dónde está la salida, se utiliza una línea vertical al final de la flecha (conexión) entre los elementos, esta línea se llama signo de causalidad
o causalidad
(causalidad). Resulta que la fuerza aplicada es la causa y la velocidad es el efecto. Este signo es muy importante para construcción correcta modelo del sistema, ya que la causalidad es consecuencia del comportamiento físico y del intercambio de potencias de dos subsistemas, por lo tanto, la elección de la ubicación del signo de causalidad no puede ser arbitraria.
figura 14... Notación causal
Esta línea vertical muestra qué subsistema recibe el esfuerzo ( esfuerzo) y, como consecuencia, producir una corriente ( fluir). En el ejemplo con masa será así:
figura 14... Relación causal para la fuerza que actúa sobre la masa.
Está claro por la flecha que en la entrada de la misa: energía y la salida es velocidad... Esto se hace para no saturar el diagrama con flechas y sistematizar la construcción del modelo.
próximo punto importante. Impulso generalizado(cantidad de movimiento) y Moviente(variables de energía).
Tabla de variables de potencia y energía en diferentes dominios
La tabla anterior presenta dos cantidades físicas adicionales utilizadas en el método del gráfico de enlaces. Ellos se llaman impulso generalizado (R) y movimiento generalizado (q) o variables de energía, y se pueden obtener integrando las variables de potencia en el tiempo:
figura 15... Relación entre potencia y variables energéticas
En el dominio eléctrico :
Basado en la ley de Faraday, Voltaje en los extremos de un conductor es igual a la derivada del flujo magnético a través de este conductor.
A Fuerza actual - cantidad física, igual a la relación de la cantidad de carga Q que ha pasado durante algún tiempo t a través de sección transversal conductor, al valor de este período de tiempo.
Dominio mecánico:
De las 2 leyes de Newton, Energía- derivada temporal del impulso
Y correspondientemente, velocidad- derivada temporal del desplazamiento:
vamos a resumir:
Elementos basicos
Todos los elementos en los sistemas dinámicos se pueden dividir en componentes bipolares y tetrapolares.Considerar componentes bipolares:
Fuentes de
Las fuentes provienen tanto del esfuerzo como del flujo. Una analogía en el dominio eléctrico: fuente de esfuerzo – Fuente de voltaje, fuente de corriente – fuente actual... Los signos causales de las fuentes deberían ser así.
figura 16... Relaciones causales y designación de fuentes
componente R
- elemento disipativo 
Componente I
- elemento de inercia 
Componente C
- elemento capacitivo 
Como se puede ver en las imágenes, diferentes elementos una tipo R, C, I ser descrita por las mismas ecuaciones. SÓLO hay una diferencia en la capacidad eléctrica, ¡solo debe recordar!
Componentes cuadripolares:
Considere dos componentes, un transformador y un girador.
Los últimos componentes importantes en el método del gráfico de enlaces son las conexiones. Hay dos tipos de nodos:
Esto completa los componentes.
Los pasos principales para establecer relaciones causales después de construir un gráfico de enlace:
- Dar vínculos causales a todo el mundo fuentes
- Ir a través de todos los nodos y establecer relaciones causales después del punto 1
- Para componentes yo asignar una relación causal de entrada (el esfuerzo está incluido en este componente), por componentes C asignar la causalidad de salida (el esfuerzo sale de este componente)
- Repita el paso 2
- Proporcionar vínculos causales para componentes R
Resolvamos un par de ejemplos. Comencemos con un circuito eléctrico, es mejor entender la analogía de construir un gráfico de enlace.
Ejemplo 1
Comencemos a construir un gráfico de enlace a partir de una fuente de voltaje. Solo escribe Se y pon una flecha.
Ya ves que todo es simple! Miramos más allá, R y L están conectados en serie, lo que significa que fluye la misma corriente en ellos, si hablamos de variables de potencia, el mismo flujo. ¿Qué nodo tiene el mismo flujo? La respuesta correcta es 1 nodo. Conectamos la fuente, la resistencia (componente - R) y la inductancia (componente - I) al 1 nodo.
A continuación, tenemos la capacitancia y la resistencia en paralelo, lo que significa que tienen el mismo voltaje o esfuerzo. Un nodo 0 hará el trabajo como ningún otro. Conectamos la capacitancia (componente C) y la resistencia (componente R) al nodo 0.
También conectamos los nodos 1 y 0 entre sí. La dirección de las flechas se elige arbitrariamente, la dirección de la relación afecta solo al signo en las ecuaciones.
El resultado es el siguiente gráfico de enlace:
Ahora necesita establecer vínculos causales. Siguiendo las instrucciones para la secuencia de su colocación, comencemos con la fuente.
- Tenemos una fuente de tensión (esfuerzo), dicha fuente tiene solo una opción de causalidad: la salida. Lo ponemos.
- Luego está el componente I, ver lo que se recomienda. Nosotros ponemos
- Dejamos para 1 nodo. Hay
- Un nodo 0 debe tener una entrada y todas las relaciones causales de salida. Tenemos un día libre hasta ahora. Estamos buscando los componentes C o I. Encontrados. Nosotros ponemos
- Dejamos lo que queda
Eso es todo. Se construye el gráfico de bonos. ¡Hurra, camaradas!
Lo único que queda por hacer es escribir las ecuaciones que describen nuestro sistema. Para hacer esto, vamos a crear una tabla con 3 columnas. El primero contendrá todos los componentes del sistema, el segundo contendrá una variable de entrada para cada elemento y el tercero contendrá una variable de salida para el mismo componente. Ya hemos definido la entrada y salida por causalidad. Así que no debería haber ningún problema.
Numeraremos cada conexión para facilitar el registro de los niveles. Las ecuaciones para cada elemento se toman de la lista de componentes C, R, I.
Habiendo compilado una tabla, definimos las variables de estado, en este ejemplo son 2, p3 y q5. A continuación, debe escribir las ecuaciones de estado:
Eso es todo el modelo está listo.
Ejemplo 2. Inmediatamente quiero disculparme por la calidad de la foto, lo principal es que se puede leer
Resolvamos un ejemplo más para un sistema mecánico, el mismo que resolvimos por el método de Lagrange. Mostraré la solución sin comentarios. Veamos cuál de estos métodos es más simple, más fácil.
En el matbal se compilaron ambos modelos de tapetes con los mismos parámetros obtenidos por el método de Lagrange y bond-graph. Resultado a continuación: agregar etiquetas
CON La esencia del método de Lagrange es reducir el problema de un extremo condicional a resolver el problema de un extremo incondicional. Considere un modelo de programación no lineal:
(5.2)
donde 
- funciones conocidas,
a 
- coeficientes dados.
Nótese que en esta formulación del problema las restricciones están dadas por igualdades, no hay condición para la no negatividad de las variables. Además, supongamos que las funciones 
son continuas con sus primeras derivadas parciales.
Transformamos las condiciones (5.2) de tal manera que en el lado izquierdo o derecho de las igualdades hay cero:
(5.3)
Compongamos la función de Lagrange. Incluye la función objetivo (5.1) y los lados derechos de las restricciones (5.3), tomados respectivamente con los coeficientes 
... Habrá tantos coeficientes de Lagrange como restricciones haya en el problema.
Los puntos extremos de la función (5.4) son puntos extremos del problema original y viceversa: el plan óptimo del problema (5.1) - (5.2) es el punto extremo global de la función de Lagrange.
De hecho, que se encuentre la solución. 
del problema (5.1) - (5.2), entonces se cumplen las condiciones (5.3). Sustituye el plano 
en función (5.4) y verificar la validez de la igualdad (5.5).
Así, para encontrar el plan óptimo del problema original, es necesario investigar la función de Lagrange para extremum. La función tiene valores extremos en los puntos donde sus derivadas parciales son iguales cero... Tales puntos se llaman estacionario.
Definamos las derivadas parciales de la función (5.4)
,
.
Después de igualar cero derivadas, obtenemos el sistema metro + norte ecuaciones con metro + norte desconocido
,
(5.6)
En el caso general, el sistema (5.6) - (5.7) tendrá varias soluciones, que incluirán todos los máximos y mínimos de la función de Lagrange. Para resaltar el máximo o mínimo global, los valores de la función objetivo se calculan en todos los puntos encontrados. El mayor de estos valores será el máximo global y el menor será el mínimo global. En algunos casos, resulta posible utilizar condiciones suficientes para un extremum estricto funciones continuas (ver problema 5.2 a continuación):
deja que la función 
continua y dos veces diferenciable en alguna vecindad de su punto estacionario 
(aquellos. 
)). Entonces:
a
) Si 
,
(5.8)
entonces 
Es el punto de máximo estricto de la función 
;
B)
Si 
,
(5.9)
entonces 
Es el punto de mínimo estricto de la función 
;
GRAMO
) Si 
,
entonces queda abierta la cuestión de la presencia de un extremum.
Además, algunas soluciones del sistema (5.6) - (5.7) pueden ser negativas. Lo cual es inconsistente con el significado económico de las variables. En este caso, debe considerar la posibilidad de reemplazar los valores negativos con cero unos.
Significado económico de los multiplicadores de Lagrange. Valor multiplicador óptimo 
muestra cuánto cambiará el valor del criterio Z
al aumentar o disminuir el recurso j por una unidad, ya que
El método de Lagrange también se puede aplicar cuando las restricciones son desigualdades. Entonces, hallando el extremo de la función 
bajo condiciones
,
actuar en varias etapas:
1. Determinar los puntos estacionarios de la función objetivo, para lo cual resuelven el sistema de ecuaciones
.
2. De los puntos estacionarios seleccione aquellos cuyas coordenadas satisfagan las condiciones
3. El método de Lagrange se utiliza para resolver el problema con restricciones de igualdad (5.1) - (5.2).
4. Explore los puntos encontrados en la segunda y tercera etapa para el máximo global: compare los valores de la función objetivo en estos puntos: el valor más alto corresponde al plan óptimo.
Tarea 5.1 Resolvamos el problema 1.3, considerado en la primera sección, por el método de Lagrange. La distribución óptima de los recursos hídricos se describe mediante un modelo matemático
.
Compongamos la función de Lagrange
Encontremos el máximo incondicional de esta función. Para ello, calculamos las derivadas parciales y las igualamos a cero
,
Así, hemos obtenido un sistema de ecuaciones lineales de la forma
La solución al sistema de ecuaciones representa el plan óptimo para la distribución de los recursos hídricos sobre las áreas irrigadas.
,
.
Las cantidades 
medida en cientos de miles de metros cúbicos. 
- el importe de la renta neta por cien mil metros cúbicos de agua de riego. Por tanto, el precio marginal de 1 m 3 de agua de riego es igual a 
guarida. unidades
El ingreso neto adicional máximo por riego será
160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =
172391.02 (unidades monetarias)
Tarea 5.2 Resolver un problema de programación no lineal
Representamos la restricción en la forma:
.
Compongamos la función de Lagrange y definamos sus derivadas parciales
.
Para determinar los puntos estacionarios de la función de Lagrange, sus derivadas parciales deben igualarse a cero. Como resultado, obtenemos el sistema de ecuaciones
.
De la primera ecuación se sigue
. (5.10)
Expresión 
sustituir en la segunda ecuacion
,
de donde se siguen dos soluciones para 
:
y 
. (5.11)
Sustituyendo estas soluciones en la tercera ecuación, obtenemos
, 
.
Los valores del multiplicador de Lagrange y la incógnita 
calculamos por las expresiones (5.10) - (5.11):
, 
,
,
.
Así, tenemos dos puntos extremos:
; 
.
Para saber si estos puntos son puntos máximos o mínimos, usamos las condiciones suficientes para un extremo estricto (5.8) - (5.9). Pre-expresión para 
, obtenido de la restricción del modelo matemático, sustituimos en la función objetivo 
,
. (5.12)
Para verificar las condiciones de un extremo estricto, se debe determinar el signo de la segunda derivada de la función (5.11) en los puntos extremos que encontramos 
y 
.
, 
;
.
De este modo, (·) 
es el punto mínimo del problema original ( 
), a (·) 
- el punto máximo.
plan óptimo:
, 
,
,
.
