11. sınıf için bu sunumda, vücut hacmi kavramını, vücut hacimlerinin özelliklerini ele alacağız ve çeşitli problemleri çözeceğiz.
Önceden, öğrencilere geometrik şekillerin alanını hesaplama tanıtıldı. Alan, aynı düzlemdeki bir şeklin boyutudur.
Rakam tek bir düzlemde değil uzayda yatıyorsa, boyutundan bahsedersek, hacim kavramına dönüyoruz. Üçüncü slayttaki sunumda, çeşitli şekil ve hacimlerde üç boyutlu gövdeler gösterilmektedir: amfora, namlu, kova. Yazar, bir santimetre küp kavramını tanıtıyor - aşağıdaki şekle bakın: düz bir çizgide 1 cm, alan birimi olarak 1 santimetre kare ve vücut hacmi birimi olarak 1 santimetre küp gösterilir. 1 santimetreküp üç vücut boyutu ile karakterize edilir: şekilde açıkça gösterilen uzunluk, genişlik ve yükseklik.
1) Eşit kurumların hacimleri eşittir.
2) Gövde birkaç gövdeden oluşuyorsa, hacmi bu gövdelerin hacimlerinin toplamına eşittir. Şekilde F ve Q olmak üzere iki şekilden oluşan bir şekil gösterilmektedir. O halde bu şeklin hacmi V \u003d V F + V Q olarak yazılabilir.
3) Bir cisim başka bir cisim içeriyorsa, o zaman birinci cismin hacmi ikincinin hacminden az değildir. Şekilde a \u003d 1cm kenarı olan bir küp gösterilmektedir. Küpün içinde 1/5 cm kenarlı bir küp var. İlk küpün hacmi V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3'tür. İçerideki küpün hacmi V 1 \u003d (1/5) 3 \u003d 1/125 cm 3'tür.
1 cm 3\u003e 1/125 cm 3 elde ettik, yani V\u003e V 1.
Bir sonraki slaytta gösterilen sonuca dikkat edin: 1 / n kenarlı bir küpün hacmi 1 / n 3'tür. Bu ifadenin bir kanıtı verilmiştir. A \u003d 1 cm kenarı olan bir küp verildiğini ve birinci küpün içinde 1 \u003d 1 / n cm kenarı olan bir küp olduğunu varsayalım. Birinci küpün hacmi V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3. İçerideki küpün hacmi V 1 \u003d (1 / n ) 3 \u003d 1 / n 3 cm 3. Q.E.D.
Problemleri çözerken beden hacimlerinin özelliklerini pratikte uygulayalım.
Problem 1. Biri diğerinin üzerinde olan iki paralel yüzden oluşan bir gövde verildiğinde (şekle bakınız). Bu paralel yüzlerin genişliği, uzunluğu ve yüksekliği bilinmektedir: a c, b c, h c ve a 3, b 3, h 3. Tüm vücudun hacmini bulmak gerekir. Paralel yüzlü ilk V c \u003d a cxbcxhc \u003d 36'nın hacmini bulun. Benzetme yaparak, ilk paralel yüzlü V 3 \u003d a 3 xb 3 xh 3 \u003d 3'ün hacmini hesaplayın. Tüm vücudun hacmi, vücut hacimlerinin ikinci özelliği kullanılarak bulunur: V \u003d V c + V 3 \u003d 39 ...
Problem 2. Şekil boyutları bilinen bir tuğlayı göstermektedir: uzunluk 250, genişlik 120, yükseklik 65. Açıklığın boyutları göz önüne alındığında 2200 x 120 x 700. Bu açıklığa kaç tuğlanın sığacağını belirlemek gerekir. Bir tuğlanın hacmini bulun V 1 \u003d a 1 x b 1 x h 1. Benzer bir formül V 2 \u003d a 2 x b 2 x h 2 ile açıklığın hacmini bulalım. Ardından V 2 / V 1, açıklığa uyan tuğla sayısını gösterecektir. Not - tuğlanın hacmini ve açıklığı ayrı ayrı bulamayabiliriz, çünkü böyle bir görev buna değmez, ancak hemen V 2 / V 1 tuğla sayısını hesaplayın.
Bu sunum derste öğretmen tarafından kullanılabilir ve öğrenciler tarafından bağımsız olarak da çalışılabilir.
Vücut hacimleri
Derleyen: Yuminova Olesya Viktorovna, matematik öğretmeni, Krasnoyarsk Agrarian College
Dersin Hedefleri:
Cisimlerin hacmi kavramını, özelliklerini, hacim ölçü birimlerini tanıtın. Öğrencilerle paralel yüzlü bir küpün hacmini bulmak için formülleri tekrarlayın. Öğrencileri görsel ve açıklayıcı düşüncelerle yönlendirilen düz bir prizma, piramit, silindir ve koni hacimleri hakkında bilgilendirmek.
Tüm sanatların müziğe yönelmesi gibi, tüm bilimler matematiğe yöneliyor. D. Santayana
Geometri, yanlış çizimler üzerinde doğru akıl yürütme sanatıdır. Poya D.
Alan Bir çokgenin alanı, düzlemin çokgenin kapladığı kısmının pozitif değeridir.
Hacim Bir cismin hacmi, geometrik bir cismin kapladığı alan kısmının pozitif değeridir.
Alan özellikleri: 1. Eşit çokgenlerin eşit alanları vardır
Hacim özellikleri: 1. Eşit gövdeler eşit hacimlere sahiptir
F1
F2
F1
F2
2. Bir çokgen birkaç çokgenden oluşuyorsa, alanı bu çokgenlerin alanlarının toplamına eşittir. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4
2. Bir cisim birkaç cisimden oluşuyorsa, hacmi bu cisimlerin hacimlerinin toplamına eşittir. VF \u003d VF1 + VF2
Alan Alanların ölçü birimi için, tarafı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir kare alınır. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha, vb.
Hacim Hacim ölçü birimi için, kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir küp alıyoruz. 1 cm kenarı olan bir küp santimetre küp olarak adlandırılır ve cm3 olarak adlandırılır. Benzer şekilde 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 vb. Belirlenir.
1
1
1
1
1
Alan Eşit alan, eşit alana sahip geometrik şekillerdir
Hacim Eşit alan gövdeleri, hacimleri eşit olan gövdelerdir
VF \u003d VF1
F2
F1
F2
F1
SF \u003d SF1
Stereometride, çokyüzlü hacimleri ve devrim cisimlerinin hacimleri dikkate alınır.
Dikdörtgen paralel yüzlü hacim:
a-uzunluk b-genişlik c- yükseklik V \u003d a.b.c Sb \u003d a.b V \u003d Sb.H
Küp hacmi:
V \u003d a3 V \u003d Sb.H
Sbn \u003d a2
Düz prizma hacmi:
V \u003d Sb.H
Vparal \u003d Sb.H Sb. \u003d 2. SABC Hacimlerin özelliğine göre Vparal \u003d 2. SABC.H V prizmalar \u003d (V paralel): 2 V prizmalar \u003d (2. SABC. H): 2
Piramit hacmi:
Piramitler 2 ve 3 - SC- ortak, tr CC1B1 \u003d tr CBB1 Y 1 ve 3 piramitler- CS- ortak, tr SAB \u003d tr BB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 V prizmalar \u003d 3 V piramitler V piramitler \u003d 1 V prizmalar 3 V piramitler \u003d 1 Sbn H 3
ABCS piramidini prizmaya bitirelim. Tamamlanan prizma 3 piramitten oluşacaktır - SABC, SCC1B1, SCBB1
Silindir hacmi:
Açıklamalar: R - taban yarıçapı H - yükseklik L - generatrix L \u003d H V - silindir hacmi
V \u003d PR2H - hacim V \u003d Sb.H Sbn \u003d PR2
Koni:
AÇIKLAMA: R - taban yarıçapı L - koni oluşturucu H - yükseklik V - hacim V \u003d 1PR2Н 3 - hacim
Bu ilginç:
Jeolojide "fan" kavramı vardır. Dağ nehirlerinin eteğindeki ovaya veya daha düz geniş bir vadiye taşıdığı kırıntılı kayaların birikmesiyle oluşan bir kabartma şeklidir.
Biyolojide "büyüme konisi" kavramı vardır. Bu, eğitim dokusunun hücrelerinden oluşan bitkilerin sürgün ve köklerinin ucu.
"Koniler", safra dallarının alt sınıfından bir deniz yumuşakçaları ailesini ifade eder. Koni ısırığı çok tehlikelidir. Ölümler rapor edildi.
Fizikte "katı açı" kavramı ile karşılaşılır. Bir top şeklinde kesilmiş konik bir açıdır.
Bilgini test et:
Hacim kavramını formüle edin. Vücut hacimlerinin temel özelliklerini formüle edin. Gövde hacmi için ölçü birimleri nelerdir? Hacmi ölçmenin formülü nedir - dikdörtgen bir paralel yüzlü; - küpün hacmi; - düz prizmanın hacmi; - piramidin hacmi; - silindirin hacmi ve koninin hacmi. Tabanının yarıçapı iki katına çıkarsa ve yüksekliği dört azaltılırsa, silindirin hacmi değişir mi? V \u003d ПR2H V \u003d П (2R) 2 .H \u003d П4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Eş yüksekliğe sahip iki piramidin tabanları, karşılık gelen eşit kenarlara sahip dörtgenlerdir. Bu piramitlerin hacimleri eşit mi? Daha büyük bir taban etrafında ikizkenar yamuk döndürülerek elde edilen bir cisim hangi cisimlerden oluşur?
Ev ödevi:
Gövde hacimleri için formülleri, tanımları öğrenin. No. 648 (a, c), No. 685, No. 666 (a, c)
Geçirilen malzemenin güçlendirilmesi:
Problem No. 1 3 cm, 4 cm ve 5 cm kenarlı üç pirinç küp eritilerek bir küp haline getirilir. Bu küpün hangi kenarı var? + + \u003d
Slayt 2
Dersin Hedefleri:
Cisimlerin hacmi kavramını, özelliklerini, hacim ölçü birimlerini tanıtın. Öğrencilerle paralel yüzlü bir küpün hacmini bulmak için formülleri tekrarlayın. Öğrencileri görsel ve açıklayıcı düşüncelerle yönlendirilen düz bir prizma, piramit, silindir ve koni hacimleri hakkında bilgilendirmek.
3. Slayt
Tıpkı tüm sanatların müziğe yönelmesi gibi, tüm bilimler matematiğe yönelir. D. Santayana
Slayt 4
Geometri, yanlış çizimler üzerinde doğru akıl yürütme sanatıdır. Poya D.
Slayt 5
Alan Bir çokgenin alanı, düzlemin çokgenin kapladığı kısmının pozitif değeridir. Hacim Bir cismin hacmi, geometrik bir cismin kapladığı alan kısmının pozitif değeridir.
Slayt 6
Alanların özellikleri: 1. Eşit çokgenler eşit alanlara sahiptir Hacimlerin özellikleri: 1. Eşit cisimler eşit hacimlere sahiptir F1 F2 F1 F2
7. Slayt
2. Bir çokgen birkaç çokgenden oluşuyorsa, alanı bu çokgenlerin alanlarının toplamına eşittir. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4 2. Bir cisim birkaç cisimden oluşuyorsa, hacmi bu cisimlerin hacimlerinin toplamına eşittir. VF \u003d VF1 + VF2 F2 F3 F1 F4
Slayt 8
Alan Alanların ölçü birimi için, kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir kare alınır. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha, vb. Hacim Hacim ölçü birimi için, kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir küp alıyoruz. 1 cm kenarı olan bir küp santimetre küp olarak adlandırılır ve cm3 olarak adlandırılır. Benzer şekilde 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 vb. Belirlenir. 1 1 1 1 1
Slayt 9
Alan Eşit alanlar, eşit alanlara sahip geometrik şekillerdir Hacim Eşit alanlar, hacimleri VF \u003d VF1 F2 F1 F2 F1 SF \u003d SF1'e eşit olan gövdelerdir
Slayt 10
Stereometride, çok yüzlü hacimler ve devrim gövdelerinin hacimleri dikkate alınır.
11. Slayt
Dikdörtgen bir paralel yüzeyin hacmi:
a-uzunluk b-genişlik c- yükseklik V \u003d a.b.c Sbase \u003d a.b V \u003d Sbase H a c c
Slayt 12
Küp hacmi:
V \u003d a3 V \u003d Sb.H a ve a Sbn \u003d a2
Slayt 13
Düz prizma hacmi:
V \u003d Sb.H Vparal \u003d Sbn.H Sbase \u003d 2. SABC Hacimlerin özelliğine göre Vparal \u003d 2. SABC.H V prizmalar \u003d (V paralel): 2 V prizmalar \u003d (2.SABС. H): 2
Slayt 14
Piramit hacmi:
2. ve 3. piramitlerin ortak SC-, trCC1B1 \u003d trCBB1 Y 1 ve 3 piramitleri- CS- ortak, trSAB \u003d trBB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 Vprisms \u003d 3 V piramitler V piramitler \u003d 1 V prizmalar 3 Vpiramitler \u003d 1 Sbasic H 3 prizmadan önce ABCS piramidi. Tamamlanan prizma 3 piramitten oluşacaktır - SABC, SCC1B1, SCBB1
Slayt 15
Silindir hacmi:
Açıklamalar: R- taban yarıçapı H- yükseklik L - generatrix L \u003d H V - silindir hacmi V \u003d PR2H - hacim V \u003d Sbase H Sbase \u003d PR2 L
Slayt 16
Koni:
AÇIKLAMA: R - taban yarıçapı L - koni oluşturucu H - yükseklik V - hacim V \u003d 1PR2Н 3 - hacim
Slayt 18
Bilgini test et:
Hacim kavramını formüle edin. Vücut hacimlerinin temel özelliklerini formüle edin. Gövde hacmi için ölçü birimleri nelerdir? Hacmi ölçmenin formülü nedir - dikdörtgen bir paralel yüzlü; - küpün hacmi; - düz prizmanın hacmi; - piramidin hacmi; - silindirin hacmi ve koninin hacmi. Tabanının yarıçapı iki katına çıkarsa ve yüksekliği dört azaltılırsa bir silindirin hacmi değişir mi? V \u003d ПR2HV \u003d П (2R) 2 .H \u003d П4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Eş yüksekliğe sahip iki piramidin tabanları, karşılık gelen eşit kenarlara sahip dörtgenlerdir. Bu piramitlerin hacimleri eşit mi? Daha büyük bir taban etrafında ikizkenar yamuk döndürülerek elde edilen bir cisim hangi cisimlerden oluşur?
Slayt 19
Ev ödevi:
Gövde hacimleri için formülleri, tanımları öğrenin. No. 648 (a, c), No. 685, No. 666 (a, c)
Slayt 20
Geçirilen malzemenin güçlendirilmesi:
Problem No. 1 3 cm, 4 cm ve 5 cm kenarlı üç pirinç küp eritilerek bir küp haline getirilir. Bu küpün hangi kenarı var? + + \u003d a1 a2 a3?
21. Slayt
Çözüm: VF \u003d VF1 + VF2 + VF3 VF1 \u003d 33 \u003d 27 (cm3) VF2 \u003d 43 \u003d 64 (cm3) VF3 \u003d 53 \u003d 125 (cm3) VF \u003d 27 + 64 + 125 \u003d 216 (cm3) VF \u003d а3 а3 \u003d 216 (cm3) a \u003d 6 (cm) Cevap: küpün kenarı 6 cm.
HACİM KAVRAMI
HACİM KAVRAMI
S, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
V, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
1. Eşit parçalar eşit alana sahiptir.
2. Bir şekil birkaç figürden oluşuyorsa, alanı bu figürlerin alanlarının toplamına eşittir.
3. Bir alan ölçü birimi olarak, genellikle bir kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir kare alınır.
HACİM KAVRAMI
Üst üste bindirilebilirlerse iki cisim eşit olarak adlandırılır
S, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
V, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
1. Eşit parçalar eşit alana sahiptir.
Eşit cisimler eşit hacimlere sahiptir.
2. Bir şekil birkaç figürden oluşuyorsa, alanı bu figürlerin alanlarının toplamına eşittir.
3. Bir alan ölçü birimi olarak, genellikle bir kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir kare alınır.
HACİM KAVRAMI
Tüm gövdenin hacmi, kurucu organlarının hacimlerinden oluşur.
S, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
V, sayısal değeri aşağıdaki özelliklere sahip olan pozitif bir değerdir:
1. Eşit parçalar eşit alana sahiptir.
Eşit cisimler eşit hacimlere sahiptir.
2. Bir şekil birkaç figürden oluşuyorsa, alanı bu figürlerin alanlarının toplamına eşittir.
Bir cisim birkaç cisimden oluşuyorsa, hacmi bu cisimlerin hacimlerinin toplamına eşittir.
3. Bir alan ölçü birimi olarak, genellikle bir kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir kare alınır.
Hacim ölçü birimi olarak, genellikle kenarı segmentlerin ölçü birimine eşit olan bir küp alınır.
HACİM KAVRAMI
Dikdörtgen paralel yüzlü hacim
Teorem: Dikdörtgen bir paralel borunun hacmi, üç boyutunun çarpımına eşittir. a, b, c - dikdörtgen paralel yüzlü ölçümler. V \u003d abc Sonuç 1: Dikdörtgensel bir paralel yüzeyin hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir. V \u003d abc \u003d Sh.
Sonuç 2.
Tabanı dik açılı bir üçgen olan düz bir prizmanın hacmi, taban alanının ürününün yüksekliğine eşittir. V \u003d SABCh.
Edebiyat:
Geometri 10 - 11: Ders Kitabı. eğitim kurumları için / L.S. Atanasyan ve diğerleri, Enlightenment 2003 10-11 sınıflarda geometri çalışması: Yöntem. Ders kitabı için öneriler / S.M. Sahakyan, V.F. Butuzov, Eğitim, 2001
Gerçekleştirildi:
E.A. Pakhomova matematik öğretmeni MOU SOSH s. Tayga
