Joseph Louis Lagrange sa narodil v Turíne (Taliansko) v taliansko-francúzskej rodine. Študoval a potom učil na delostreleckej škole. V roku 1759 bol na odporúčanie Eulera 23-ročný Lagrange zvolený za člena Berlínskej akadémie vied. V roku 1766 sa už stal jej prezidentom. Fridrich II pozval Lagrangea do Berlína. Po smrti Fridricha II v roku 1786 sa Lagrange presťahoval do Paríža. Od roku 1722 bol členom Parížskej akadémie vied, v roku 1795 bol vymenovaný za člena Úradu pre zemepisné dĺžky a aktívne sa podieľal na tvorbe metrického systému mier. Rozsah Lagrangeovho vedeckého výskumu bol nezvyčajne široký. Venujú sa mechanike, geometrii, matematickej analýze, algebre, teórii čísel a teoretickej astronómii. Hlavným smerom Lagrangeovho výskumu bola prezentácia rôznych javov v mechanike z jedného uhla pohľadu. Odvodil rovnicu, ktorá popisuje správanie akýchkoľvek systémov pod vplyvom síl. V oblasti astronómie urobil Lagrange veľa pre vyriešenie problému stability Slnečná sústava; preukázali niektoré špeciálne prípady stabilného pohybu, najmä pre malé telesá nachádzajúce sa v takzvaných trojuholníkových libračných bodoch.

Lagrangeova metóda─ ide o metódu riešenia problému podmienenej optimalizácie, v ktorej sú obmedzenia zapísané ako implicitné funkcie kombinované s objektívnou funkciou vo forme novej rovnice tzv. Lagrangian.

Zvážte špeciálny prípad spoločná úloha nelineárne programovanie:

Je daný systém nelineárnych rovníc (1):

(1) gi (x1, x2,…, xn) = bi (i = 1..m),

Nájdite najmenšiu (alebo najväčšiu) hodnotu funkcie (2)

(2) f (x1, x2, ..., xn),

ak pre premenné neexistujú žiadne podmienky nezápornosti a f (x1, x2,…, xn) a gi (x1, x2,…, xn) sú funkcie, ktoré sú spojité spolu s ich parciálnymi deriváciami.

Na nájdenie riešenia tohto problému je možné použiť nasledujúcu metódu: 1. Zaveďte množinu premenných λ1, λ2,…, λm, nazývanú Lagrangeove multiplikátory, z Lagrangeovej funkcie (3)

(3) F (x1, x2,…, xn, λ1, λ2,…, λm) = f (x1, x2,…, xn) + λi.

2. Nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na premenné xi a λi a prirovnajte ich k nule.

3. Pri riešení sústavy rovníc sa nájdu body, v ktorých môže mať účelová funkcia úlohy extrém.

4. Medzi bodmi podozrivými z neextrémneho nájdite tie, v ktorých je extrém dosiahnutý, a vypočítajte hodnoty funkcie v týchto bodoch .

4. Porovnajte získané hodnoty funkcie f a vyberte tú najlepšiu.

Podľa výrobného plánu potrebuje podnik vyrobiť 180 produktov. Tieto produkty môžu byť vyrobené v dvoch technologických metód... Pri výrobe produktov x1 metódou I sú náklady 4 * x1 + x1 ^ 2 rubľov a pri výrobe produktov x2 metódou II sú to 8 * x2 + x2 ^ 2 ruble. Určte, koľko položiek by sa mala vyrobiť každá z metód, aby celkové náklady na výrobu produktu boli minimálne.

Riešenie: Matematická formulácia úlohy spočíva v určení najmenšej hodnoty funkcie dvoch premenných:

f = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2, za predpokladu, že x1 + x2 = 180.

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

F (x1, x2, λ) = 4 * x1 + x1 ^ 2 + 8 * x2 + x2 ^ 2 + λ * (180-x1-x2).

Vypočítajme jeho parciálne derivácie vzhľadom na x1, x2, λ a prirovnajme ich k 0:

Presuňte λ na pravú stranu prvých dvoch rovníc a prirovnajte ich ľavé strany, dostaneme 4 + 2 * x1 = 8 + 2 * x2, alebo x1 - x2 = 2.

Vyriešením poslednej rovnice spolu s rovnicou x1 + x2 = 180 nájdeme x1 = 91, x2 = 89, to znamená, že dostaneme riešenie, ktoré spĺňa podmienky:

Nájdite hodnotu účelovej funkcie f pre tieto hodnoty premenných:

F (x1, x2) = 17278

Tento bod je pre extrém podozrivý. Pomocou druhej parciálnej derivácie môžeme ukázať, že v bode (91.89) má funkcia f minimum.

Bod M sa pre nejakú množinu G nazýva vnútorný, ak patrí do tejto množiny spolu s nejakým jej okolím. Bod N sa nazýva hraničný bod pre množinu G, ak v niektorom z jeho úplných susedstiev existujú body patriace do G, ako aj body, ktoré do nej nepatria.

Súbor všetkých hraničných bodov množiny G sa nazýva hranica G.

Množina G sa bude nazývať oblasťou, ak sú všetky jej body vnútorné (otvorená množina). Množina G s pripojenou hranicou Г sa nazýva uzavretá oblasť. Oblasť sa nazýva ohraničená, ak je celá obsiahnutá v kruhu s dostatočne veľkým polomerom.

Najmenší a najvyššia hodnota funkcie v danej oblasti sa nazývajú absolútne extrémy funkcie v tejto oblasti.

Weierstrassova veta: funkcia, ktorá je spojitá v ohraničenej a uzavretej oblasti, dosahuje v tejto oblasti svoje minimálne a maximálne hodnoty.

Dôsledok. Absolútny extrém funkcie v danej oblasti sa dosiahne buď v kritickom bode funkcie patriacej do tejto oblasti, alebo na Na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt funkcie v uzavretej oblasti G je potrebné nájsť všetky jej kritické body v tejto oblasti, vypočítajte hodnoty funkcie v týchto bodoch (vrátane hraničných bodov) a porovnaním získaných čísel vyberte najväčšie a najmenšie z nich.

Príklad 4.1. Nájdite absolútny extrém funkcie (najväčšie a najmenšie hodnoty)
v trojuholníkovej oblasti D s vrcholmi
,
,
(obr. 1).

;
,

to znamená, že bod O (0, 0) je kritický bod patriaci do oblasti D. z (0,0) = 0.

Prieskum hranice:

a) OA: y = 0
z (x, 0) = 0; z(0,0) = 0; z (1, 0) = 0,

b) OB: x = 0
z(0, y) = 0; z(0,0) = 0; z (0, 2) = 0,

taxík:;
,

Príklad 4.2. Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie v uzavretej oblasti ohraničenej súradnicovými osami a priamkou
.

1) Nájdite kritické body ležiace v oblasti:

,
,

Poďme preskúmať hranicu. Pretože hranica pozostáva zo segmentu OA osi Ox, segmentu OB osi Oy a segmentu AB, potom určíme najväčšie a najmenšie hodnoty funkcie z na každom z týchto segmentov.

z (0, 2) = -3, z (0, 0) = 5, z (0, 4) = 5.

M3 (5/3,7/3), z (5/3, 7/3) = -10/3.

Spomedzi všetkých nájdených hodnôt vyberte z naib = z (4, 0) = 13; z naim = z (1, 2) = - 4.

5. Podmienený extrém. Lagrangeova multiplikačná metóda

Uvažujme o špecifickom probléme funkcií viacerých premenných, ktorého extrém sa nehľadá v celej oblasti definície, ale na množine spĺňajúcej určitú podmienku.

Nechajte funkciu
, argumenty a ktoré spĺňajú podmienku
nazývaná obmedzujúca rovnica.

Bod
sa nazýva bod podmieneného maxima (minima), ak existuje okolie tohto bodu také, že pre všetky body
z tejto štvrte spĺňajúcej podmienku
, nerovnosť
alebo
.

Obrázok 2 ukazuje bod podmieneného maxima
... Je zrejmé, že to nie je bod bezpodmienečného extrému funkcie
(na obr. 2 ide o tento bod
).

Najjednoduchší spôsob, ako nájsť podmienený extrém funkcie dvoch premenných, je zredukovať problém na nájdenie extrému funkcie jednej premennej. Predpokladajme rovnicu obmedzenia
podarilo vyriešiť relatívne k jednej z premenných, napríklad express naprieč :
... Dosadením výsledného výrazu do funkcie dvoch premenných dostaneme

tie. funkcia jednej premennej. Jeho extrém bude podmieneným extrémom funkcie
.

Príklad 5.1. Nájdite maximálny a minimálny bod funkcie
za podmienky
.

Riešenie. Vyjadrime sa z rovnice
premenlivý cez premennú a nahradiť výsledný výraz
do funkcie ... Dostaneme
alebo
... Táto funkcia má jedinečné minimum pri
... Hodnota zodpovedajúcej funkcie
... teda
- bod podmienečného extrému (minimum).

V uvažovanom príklade obmedzujúca rovnica
sa ukázalo byť lineárne, takže bolo ľahko vyriešené vzhľadom na jednu z premenných. V zložitejších prípadoch to však nie je možné.

Na nájdenie podmieneného extrému vo všeobecnom prípade sa používa metóda Lagrangeovho multiplikátora. Zvážte funkciu troch premenných. Táto funkcia sa nazýva Lagrangeova funkcia a Je Lagrangeovým multiplikátorom. Nasledujúca veta je pravdivá.

Veta. Ak bod
je bodom podmieneného extrému funkcie
za podmienky
, potom je tu hodnota taký, že bod
je extrémnym bodom funkcie
.

Teda nájsť podmienený extrém funkcie
za podmienky
musíte nájsť riešenie systému

NS Posledná z týchto rovníc sa zhoduje s rovnicou obmedzenia. Prvé dve rovnice sústavy možno prepísať ako, t.j. v bode podmieneného extrému, gradienty funkcií
a
kolineárne. Na obr. 3 znázorňuje geometrický význam Lagrangeových podmienok. Linka
bodkovaná, rovná čiara
funkcie
pevný. Z obr. z toho vyplýva, že v bode podmieneného extrému úrovňová čiara funkcie
dotýka čiary
.

Príklad 5.2. Nájdite extrémne body funkcie
za podmienky
pomocou Lagrangeovej multiplikačnej metódy.

Riešenie. Zostavíme Lagrangeovu funkciu. Prirovnaním jeho parciálnych derivácií k nule dostaneme sústavu rovníc:

Jej jediné riešenie. Teda iba bod (3; 1) môže byť podmieneným extrémnym bodom. Je ľahké overiť, že v tomto bode funguje
má podmienené minimum. V prípade, že počet premenných je väčší ako dve, možno zvážiť aj niekoľko obmedzujúcich rovníc. Preto v tomto prípade bude existovať niekoľko Lagrangeových multiplikátorov.

Problém hľadania podmieneného extrému sa využíva pri riešení takých ekonomických problémov, ako je hľadanie optimálnej alokácie zdrojov, výber optimálneho portfólia cenných papierov atď.

Stručná teória

Metóda Lagrangeovho multiplikátora je klasická metóda na riešenie problémov matematického programovania (najmä konvexného programovania). Bohužiaľ, s praktické uplatnenie metóda môže naraziť na značné výpočtové ťažkosti, ktoré zužujú oblasť jej použitia. O Lagrangeovej metóde tu uvažujeme najmä preto, že ide o aparát aktívne používaný na zdôvodnenie rôznych moderných numerických metód, ktoré sú v praxi široko používané. Čo sa týka Lagrangeovej funkcie a Lagrangeových multiplikátorov, zohrávajú samostatnú a mimoriadne dôležitú úlohu v teórii a aplikáciách nielen matematického programovania.

Zvážte klasický problém s optimalizáciou:

Medzi obmedzeniami tohto problému nie sú žiadne nerovnosti, neexistujú podmienky pre nezápornosť premenných, ich diskrétnosť a funkcie a sú spojité a majú parciálne derivácie aspoň druhého rádu.

Klasický prístup k riešeniu problému dáva systém rovníc ( potrebné podmienky), ktorý musí byť splnený bodom, ktorý dodáva lokálny extrém do funkcie na množine bodov spĺňajúcich obmedzenia (pre konvexný programovací problém bude nájdený bod aj globálnym extrémom).

Predpokladajme, že v bode má funkcia (1) lokálny podmienený extrém a poradie matice sa rovná. Potom budú potrebné podmienky napísané vo forme:

existuje Lagrangeova funkcia; - Lagrangeove multiplikátory.

Existujú aj dostatočné podmienky, za ktorých riešenie sústavy rovníc (3) určuje extrémny bod funkcie. Táto otázka je vyriešená na základe štúdie znamienka druhého diferenciálu Lagrangeovej funkcie. Dostatočné podmienky sú však predovšetkým teoretické.

Metódou Lagrangeových multiplikátorov môžeme naznačiť nasledovné poradie riešenia úlohy (1), (2):

1) zostavte Lagrangeovu funkciu (4);

2) nájdite parciálne derivácie Lagrangeovej funkcie vzhľadom na všetky premenné a porovnajte ich

nula. Takto získame sústavu (3) pozostávajúcu z rovníc.. Vyriešte výslednú sústavu (ak sa ukáže, že je to možné!) A tak nájdite všetky stacionárne body Lagrangeovej funkcie;

3) zo stacionárnych bodov bez súradníc vyberte body, v ktorých má funkcia podmienené lokálne extrémy za prítomnosti obmedzení (2). Tento výber sa robí napríklad použitím dostatočných podmienok pre lokálny extrém. Výskum sa často zjednoduší, ak použijete špecifické podmienky problému.

Príklad riešenia problému

Úloha

Spoločnosť vyrába dva druhy tovaru v množstvách a. Funkcia užitočných nákladov je určená pomerom. Ceny týchto tovarov na trhu sú rovnaké a zodpovedajúce.

Určte, pri akých objemoch produkcie sa dosahuje maximálny zisk a čo sa rovná, ak celkové náklady nepresiahnu

Máte problém pochopiť postup riešenia? Stránka má službu Riešenie problémov metódami optimálnych riešení na objednávku

Riešenie problému

Ekonomický a matematický model problému

Zisková funkcia:

Obmedzenia nákladov:

Získame nasledujúci ekonomický a matematický model:

Navyše v zmysle problému

Lagrangeova multiplikačná metóda

Zostavme Lagrangeovu funkciu:

Nájdite parciálne derivácie 1. rádu:

Poďme zostaviť a vyriešiť sústavu rovníc:

Odvtedy

Maximálny zisk:

Odpoveď

Preto je potrebné uvoľniť jednotky. tovar 1. druhu a jednotky. tovar 2. druhu. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude 270.
Uvádza sa príklad riešenia problému kvadratického konvexného programovania grafickou metódou.

Riešenie lineárnej úlohy grafickou metódou
Uvažuje sa o grafickej metóde riešenia úlohy lineárneho programovania (LPP) s dvoma premennými. Príklad problému ukazuje Detailný popis zostavenie výkresu a nájdenie riešenia.

Wilsonov model riadenia zásob
Na príklade riešenia problému sa uvažuje o základnom modeli riadenia zásob (Wilsonov model). Parametre modelu sú vypočítané ako optimálna veľkosťšarže objednávok, ročné skladovacie náklady, interval dodania a zadanie objednávky.

Matica priamych nákladov a vstupno-výstupná matica
Na príklade riešenia problému sa uvažuje medzisektorový model Leontieva. Výpočet matice koeficientov priamych materiálových nákladov, matice "vstup-výstup", matice koeficientov nepriame náklady, vektory konečnej spotreby a hrubej produkcie.

Návod

Všetkým dobrý deň... V tomto článku chcem ukázať jednu z grafických metód konštrukcie matematických modelov pre dynamické systémy, ktorá je tzv. Bondový graf("Bond" - odkazy, "graf" - graf). V ruskej literatúre som našiel popisy tejto metódy len v Učebnici Tomskej polytechnickej univerzity, A.V. Voronin "MODELOVANIE MECHATRONICKÝCH SYSTÉMOV" 2008 Ukážte aj klasickú metódu prostredníctvom Lagrangeovej rovnice druhého druhu.

Lagrangeova metóda

Nebudem popisovať teóriu, ukážem fázy výpočtov a s pár komentármi. Osobne sa mi zdá jednoduchšie učiť sa z príkladov ako 10x čítať teóriu. Zdalo sa mi, že v ruskej literatúre je vysvetlenie tejto metódy a vôbec matematiky či fyziky všeobecne veľmi plné zložitých vzorcov, čo si preto vyžaduje seriózne matematické zázemie. Pri štúdiu Lagrangeovej metódy (študujem na Turínskej polytechnickej univerzite, Taliansko) som študoval ruskú literatúru, aby som porovnal výpočtové metódy a bolo pre mňa ťažké sledovať priebeh riešenia tejto metódy. Dokonca aj pri spomienke na kurzy modelovania na „Charkovskom“. Letecký inštitút“ Záver takýchto metód bol veľmi ťažkopádny a nikto sa neobťažoval snažiť sa pochopiť tento problém. Toto som sa rozhodol napísať, návod na zostavovanie matematických modelov podľa Lagrangea, keďže sa ukázalo, že to nie je vôbec ťažké, stačí vedieť vypočítať derivácie času a parciálne derivácie. Pre zložitejšie modely sú pridané rotačné matice, ktoré však tiež nie sú zložité.

Vlastnosti metód modelovania:

Newton-Euler: vektorové rovnice založené na dynamickej rovnováhe sila a momenty
Lagrange: skalárne rovnice založené na stavových funkciách spojených s kinetickou a potenciálnou energia (energie)
Bond Earl: aktuálna metóda moc medzi prvkami systému

Začnime s jednoduchý príklad... Hmotnosť s pružinou a tlmičom. Zanedbávame gravitáciu.

Obr... Hmotnosť s pružinou a tlmičom

V prvom rade označujeme:

počiatočný súradnicový systém(NSK) alebo pevná sk R0 (i0, j0, k0)... Kde? Môžete vystrčiť prst do neba, ale potiahnutím za špičky neurónov v mozgu je cieľom umiestniť NSC na líniu pohybu tela M1.
súradnicové systémy pre každé teleso s hmotnosťou(máme M1 R1 (i1, j1, k1)), orientácia môže byť ľubovoľná, ale načo si komplikovať život, kladieme to s minimálnym rozdielom od NSC
zovšeobecnené súradnice q_i(minimálny počet premenných, ktorými možno pohyb opísať), v tomto príklade jedna zovšeobecnená súradnica, pohyb iba pozdĺž osi j

Obr... Priraďujeme súradnicové systémy a zovšeobecnené súradnice

Obr... Poloha a rýchlosť tela M1

Potom nájdeme kinetickú (C) a potenciálnu (P) energiu a disipatívnu funkciu (D) pre tlmič podľa vzorcov:

Obr. Kompletný vzorec Kinetická energia

V našom príklade neexistuje rotácia, druhá zložka je 0.

Obr... Výpočet kinetickej, potenciálnej energie a disipatívnej funkcie

Lagrangeova rovnica má nasledujúci tvar:

Obr... Lagrangeova rovnica a Lagrangeova rovnica

Delta W_i je to virtuálna práca vykonávaná aplikovanými silami a momentmi. Poďme to nájsť:

Obr. 7... Výpočet virtuálnej práce

Kde delta q_1 virtuálny pohyb.

Všetko dosadíme do Lagrangeovej rovnice:

Obr. 8... Výsledný hromadný model s pružinou a tlmičom

Tu sa Lagrangeova metóda skončila. Ako vidíte, nie je to také ťažké, ale stále je to veľmi jednoduchý príklad, pre ktorý by bola s najväčšou pravdepodobnosťou ešte jednoduchšia Newton-Eulerova metóda. Pre zložitejšie systémy, kde bude niekoľko telies natočených voči sebe pod rôznymi uhlami, bude Lagrangeova metóda jednoduchšia.

Metóda väzbového grafu

Okamžite ukážem, ako model vyzerá vo väzbovom grafe na príklade s hmotnosťou pružiny a tlmiča:

Obr. 9... Bond-graph hmoty s pružinou a tlmičom

Tu musíte povedať malú teóriu, ktorá stačí na zostavenie jednoduché modely... Ak má niekto záujem, môže si knihu prečítať ( Metodológia dlhopisového grafu) alebo ( Voronin A.V. Modelovanie mechatronických systémov: tutoriál... - Tomsk: Vydavateľstvo Tomskej polytechnickej univerzity, 2008).

Najprv to definujme komplexné systémy pozostávajú z viacerých domén. Napríklad elektrický motor sa skladá z elektrických a mechanických častí alebo domén.

Bondový graf na základe výmeny sily medzi týmito doménami, subsystémami. Všimnite si, že výmena moci v akejkoľvek forme je vždy určená dvoma premennými ( premenlivý výkon), pomocou ktorej môžeme študovať interakciu rôznych podsystémov ako súčasti dynamického systému (pozri tabuľku).

Ako vidíte z tabuľky, výkonový prejav je všade takmer rovnaký. v súhrne Moc- Táto práca " tok - f"zapnuté" úsilie - e».

Námaha(angl. úsilie) v elektrickej oblasti je to napätie (e), v mechanickej oblasti sila (F) alebo moment (T) a v hydraulike tlak (p).

Prietok(angl. prúdiť) v elektrickej oblasti je to prúd (i), v mechanickej oblasti rýchlosť (v) alebo uhlová rýchlosť (omega), v hydraulike prietok alebo prietok tekutiny (Q).

Ak vezmeme do úvahy tieto označenia, dostaneme výraz pre silu:

Obr. 10... Výkonový vzorec z hľadiska premenných výkonu

V jazyku bond-graph je spojenie medzi dvoma subsystémami, ktoré si vymieňajú moc, reprezentované väzbou (angl. väzba). Preto sa táto metóda nazýva dlhopisový graf alebo r raf-spojenia, súvislý graf... Zvážte Bloková schéma zapojenia v modeli s elektromotorom (toto ešte nie je bond-graf):

Obr... Bloková diarama toku energie medzi doménami

Ak máme zdroj napätia, potom generuje napätie a dáva ho motoru na odvíjanie (preto šípka smeruje k motoru), v závislosti od odporu vinutia sa objavuje prúd podľa Ohmovho zákona (nasmerovaný od motora k zdroju). Jedna premenná je teda vstupom do subsystému a druhá musí byť východ zo subsystému. Tu je napätie ( úsilie) - vstup, prúd ( prúdiť) - výkon.

Ak použijete zdroj prúdu, ako sa zmení diagram? Správny. Prúd bude smerovať do motora a napätie do zdroja. Potom prúd ( prúdiť) - vstupné napätie ( úsilie) - výkon.

Zvážte príklad z mechaniky. Sila pôsobiaca na hmotu.

Obr... Sila pôsobiaca na hmotu

Blokový diagram bude vyzerať takto:

Obr... Bloková schéma

V tomto príklade Sila ( úsilie) Je vstupná premenná pre hmotnosť. (Sila aplikovaná na hmotu)
Podľa druhého Newtonovho zákona:

Hmotnosť sa stretáva s rýchlosťou:

V tomto príklade, ak jedna premenná ( sila - úsilie) je vchod do mechanickej domény, potom do ďalšej premennej výkonu ( rýchlosť - prúdiť) - automaticky sa stáva východ.

Na rozlíšenie, kde je vstup a kde výstup, sa na konci šípky (spojenie) medzi prvkami používa zvislá čiara, táto čiara je tzv. znak kauzality alebo príčinná súvislosť (kauzalita). Ukazuje sa, že aplikovaná sila je príčinou a rýchlosť je dôsledkom. Toto znamenie je veľmi dôležité pre správna konštrukcia model systému, keďže kauzalita je dôsledkom fyzického správania a výmeny síl dvoch subsystémov, preto nemôže byť výber umiestnenia znaku kauzality ľubovoľný.

Obr... Kauzálny zápis

Táto zvislá čiara ukazuje, ktorý podsystém vynakladá úsilie ( úsilie) a v dôsledku toho vytvoriť prúd ( prúdiť). V príklade s hmotnosťou to bude takto:

Obr... Príčinný vzťah pre silu pôsobiacu na hmotu

Zo šípky je zrejmé, že pri vstupe na omšu - sila a výstupom je rýchlosť... Deje sa tak, aby nedošlo k preplneniu diagramu šípkami a systematizácii konštrukcie modelu.

Ďalšie dôležitý bod. Generalizovaný impulz(množstvo pohybu) a sťahovanie(energetické premenné).

Tabuľka výkonových a energetických premenných v rôznych doménach

Vyššie uvedená tabuľka uvádza dve ďalšie fyzikálne veličiny používané v metóde väzbového grafu. Volajú sa generalizovaný impulz (R) a generalizovaný pohyb (q) alebo energetické premenné a možno ich získať integráciou premenných výkonu v čase:

Obr... Vzťah medzi premennými výkonu a energie

V elektrickej oblasti :

Na základe Faradayovho zákona Napätie na koncoch vodiča sa rovná derivácii magnetického toku cez tento vodič.

A Súčasná sila - fyzikálne množstvo rovnajúci sa podielu množstva náboja Q, ktorý prešiel za určitý čas t priečny rez vodiča, na hodnotu tohto časového úseku.

Mechanická doména:

Z 2 Newtonových zákonov, sila- časová derivácia impulzu

A zodpovedajúcim spôsobom, rýchlosť- časová derivácia posunu:

Poďme si to zhrnúť:

Základné prvky

Všetky prvky v dynamických systémoch možno rozdeliť na dvojpólové a štvorpólové komponenty.
Zvážte bipolárne komponenty:

Zdroje
Zdroje prichádzajú s úsilím aj prúdom. Analógia v elektrickej oblasti: zdroj úsilia – zdroj napätia, zdroj prúdu – aktuálny zdroj... Príčinné znaky pre zdroje by mali byť presne také.

Obr... Príčinné vzťahy a označenie zdrojov

R zložka - disipačný prvok

Komponent I - zotrvačný prvok

Komponent C - kapacitný prvok

Ako môžete vidieť z obrázkov, rôzne prvky jeden typ R, C, I byť opísané rovnakými rovnicami. Rozdiel je LEN v elektrickej kapacite, len si treba pamätať!

Štvorpólové komponenty:

Zvážte dva komponenty transformátor a gyrátor.

Poslednými dôležitými komponentmi v metóde bond-graph sú spojenia. Existujú dva typy uzlov:

Tým sú komponenty hotové.

Hlavné kroky na stanovenie kauzálnych vzťahov po vytvorení väzbového grafu:

Dajte každému príčinné súvislosti zdrojov
Prejdite všetky uzly a za bodom 1 uveďte kauzálne vzťahy
Pre komponenty I priradiť vstupný kauzálny vzťah (úsilie je zahrnuté v tomto komponente), za zložky C priraďte výstupnú kauzalitu (úsilie vychádza z tohto komponentu)
Opakujte krok 2
Poskytnite príčinné súvislosti pre komponenty R

Týmto sa minikurz teórie uzatvára. Teraz máme všetko, čo potrebujeme na zostavenie našich modelov.
Poďme vyriešiť pár príkladov. Začnime s elektrickým obvodom, je lepšie pochopiť analógiu zostavenia väzbového grafu.

Príklad 1

Začnime vytvárať väzbový graf zo zdroja napätia. Stačí napísať Se a dať šípku.

Vidíte, že všetko je jednoduché! Pozrieme sa ďalej, R a L sú zapojené do série, čo znamená, že v nich tečie rovnaký prúd, ak hovoríme o výkonových premenných - rovnaký tok. Ktorý uzol má rovnaký prietok? Správna odpoveď je 1-uzol. Do 1-uzla pripojíme zdroj, odpor (zložka - R) a indukčnosť (zložka - I).

Ďalej máme kapacitu a odpor paralelne, čo znamená, že majú rovnaké napätie alebo námahu. 0-uzol urobí prácu ako žiadny iný. K nulovému uzlu pripojíme kapacitu (zložka C) a odpor (zložka R).

Tiež spájame uzly 1 a 0 navzájom. Smer šípok je zvolený ľubovoľne, smer vzťahu ovplyvňuje iba znamienko v rovniciach.

Výsledkom je nasledujúci graf prepojenia:

Teraz musíte uviesť príčinné súvislosti. Podľa pokynov na postupnosť ich pripevnenia začnime so zdrojom.

Máme zdroj napätia (úsilie), takýto zdroj má len jednu možnosť kauzality – výstup. Dali sme to.
Potom je tu komponent I, pozrite sa, čo sa odporúča. Dali sme
Dali sme dole pre 1-uzol. existuje
0-uzol musí mať jeden vstup a všetky výstupné kauzálne vzťahy. Zatiaľ máme jeden deň voľna. Hľadáme komponenty C alebo I. Nájdené. Dali sme
Odložíme to, čo zostalo

To je všetko. Bond-graf je zostavený. Hurá, súdruhovia!

Zostáva už len napísať rovnice, ktoré popisujú náš systém. Aby sme to urobili, vytvorte tabuľku s 3 stĺpcami. Prvý bude obsahovať všetky komponenty systému, druhý bude obsahovať vstupnú premennú pre každý prvok a tretí bude obsahovať výstupnú premennú pre ten istý komponent. Vstup a výstup sme už definovali kauzalitou. Takže by nemali byť žiadne problémy.

Každé spojenie očíslujeme pre pohodlie zaznamenávania úrovní. Rovnice pre každý prvok sú prevzaté zo zoznamu komponentov C, R, I.

Po zostavení tabuľky definujeme stavové premenné, v tomto príklade sú to 2, p3 a q5. Ďalej si musíte zapísať stavové rovnice:

To je všetko, čo je model pripravený.

Príklad 2. Okamžite sa chcem ospravedlniť za kvalitu fotografie, hlavné je, že môžete čítať

Vyriešme ešte jeden príklad pre mechanický systém, ten istý, ktorý sme riešili Lagrangeovou metódou. Riešenie ukážem bez komentára. Pozrime sa, ktorá z týchto metód je jednoduchšia, jednoduchšia.

V matbale boli zostavené oba modely rohoží s rovnakými parametrami, získané Lagrangeovou metódou a bond-grafom. Výsledok nižšie: Pridať štítky

S Podstatou Lagrangeovej metódy je zredukovať problém pre podmienený extrém na vyriešenie problému nepodmieneného extrému. Zvážte model nelineárneho programovania:

(5.2)

kde
- známe funkcie,

a
- dané koeficienty.

Všimnite si, že v tejto formulácii úlohy sú obmedzenia dané rovnosťami, nie je tam žiadna podmienka pre nezápornosť premenných. Okrem toho predpokladáme, že funkcie
sú spojité so svojimi prvými parciálnymi deriváciami.

Podmienky (5.2) transformujeme tak, že na ľavej alebo pravej strane rovnosti je nula:

(5.3)

Zostavme Lagrangeovu funkciu. Zahŕňa účelovú funkciu (5.1) a pravú stranu obmedzení (5.3), v uvedenom poradí s koeficientmi
... Bude toľko Lagrangeových koeficientov, koľko bude obmedzení v probléme.

Extrémne body funkcie (5.4) sú extrémnymi bodmi pôvodného problému a naopak: optimálny plán problému (5.1) - (5.2) je globálny extrémny bod Lagrangeovej funkcie.

Naozaj, nech sa nájde riešenie
problému (5.1) - (5.2), potom sú splnené podmienky (5.3). Nahraďte plán
do funkcie (5.4) a overte platnosť rovnosti (5.5).

Aby sme teda našli optimálny plán pôvodného problému, je potrebné preskúmať Lagrangeovu funkciu pre extrém. Funkcia má extrémne hodnoty v bodoch, kde sú jej parciálne derivácie rovnaké nula... Takéto body sa nazývajú stacionárne.

Definujme parciálne derivácie funkcie (5.4)

Po zrovnoprávnení nula deriváty, dostaneme systém m + n rovnice s m + n neznámy

,(5.6)

Vo všeobecnom prípade bude mať systém (5.6) - (5.7) niekoľko riešení, ktoré budú zahŕňať všetky maximá a minimá Lagrangeovej funkcie. Aby sa zvýraznilo globálne maximum alebo minimum, hodnoty cieľovej funkcie sa vypočítajú vo všetkých nájdených bodoch. Najväčšia z týchto hodnôt bude globálne maximum a najmenšia bude globálne minimum. V niektorých prípadoch sa ukazuje, že je možné použiť dostatočné podmienky pre prísny extrém spojité funkcie (pozri problém 5.2 nižšie):

nechajte funkciu
spojitý a dvakrát diferencovateľný v niektorom okolí svojho stacionárneho bodu (tie.
)). potom:

a ) ak
, (5.8)

potom Je to bod prísneho maxima funkcie
;

b) ak
, (5.9)

potom Je to bod prísneho minima funkcie
;

G ) ak
,

potom otázka prítomnosti extrému zostáva otvorená.

Navyše, niektoré riešenia sústavy (5.6) - (5.7) môžu byť záporné. Čo je v rozpore s ekonomickým významom premenných. V tomto prípade by ste mali zvážiť možnosť nahradenia záporných hodnôt nulovými.

Ekonomický význam Lagrangeových multiplikátorov. Optimálna hodnota multiplikátora
ukazuje, ako veľmi sa zmení hodnota kritéria Z pri zvyšovaní alebo znižovaní zdroja j o jednu jednotku, od r

Lagrangeovu metódu možno použiť aj vtedy, keď sú obmedzenia nerovnosťami. Takže nájdenie extrému funkcie
za podmienok

vykonať v niekoľkých fázach:

1. Určte stacionárne body účelovej funkcie, pre ktoré riešia sústavu rovníc

2. Zo stacionárnych bodov vyberte tie, ktorých súradnice spĺňajú podmienky

3. Na vyriešenie problému s obmedzeniami rovnosti (5.1) - (5.2) sa používa Lagrangeova metóda.

4. Preskúmajte body nájdené v druhej a tretej fáze pre globálne maximum: porovnajte hodnoty cieľovej funkcie v týchto bodoch - najvyššia hodnota zodpovedá optimálnemu plánu.

Úloha 5.1 Vyriešme problém 1.3, uvažovaný v prvej časti, Lagrangeovou metódou. Optimálne rozloženie vodných zdrojov popisuje matematický model

Zostavme Lagrangeovu funkciu

Poďme nájsť bezpodmienečné maximum tejto funkcie. Aby sme to dosiahli, vypočítame parciálne derivácie a prirovnáme ich k nule

Takto sme získali sústavu lineárnych rovníc tvaru

Riešenie sústavy rovníc predstavuje optimálny plán rozmiestnenia vodných zdrojov na zavlažovaných plochách.

, .

Množstvá
merané v stovkách tisíc metrov kubických.
- výška čistého príjmu na stotisíc kubických metrov závlahovej vody. Preto je hraničná cena 1 m 3 závlahovej vody rovná
Brloh. Jednotky

Maximálny dodatočný čistý príjem zo zavlažovania bude

160 12,26 2 + 7600 12,26-130 8,55 2 + 5900 8,55-10 16,19 2 + 4000 16,19 =

172391,02 (peňažné jednotky)

Úloha 5.2 Vyriešte problém nelineárneho programovania

Obmedzenie predstavujeme vo forme:

Zostavme Lagrangeovu funkciu a definujme jej parciálne derivácie

Na určenie stacionárnych bodov Lagrangeovej funkcie by sa jej parciálne derivácie mali rovnať nule. Výsledkom je, že dostaneme sústavu rovníc

Z prvej rovnice to vyplýva

. (5.10)

Výraz nahradiť v druhej rovnici

z čoho vyplývajú dve riešenia :

a
. (5.11)

Dosadením týchto riešení do tretej rovnice dostaneme

,
.

Hodnoty Lagrangeovho multiplikátora a neznáma vypočítame podľa výrazov (5.10) - (5.11):

,
,
,
.

Získali sme teda dva extrémne body:

;
.

Aby sme zistili, či sú tieto body maximálne alebo minimálne, používame dostatočné podmienky pre prísny extrém (5.8) - (5.9). Predvýraz pre , získané z obmedzenia matematického modelu, dosadíme v účelovej funkcii