Ako riešiť rovnice s kosínusmi. Trigonometrické rovnice - vzorce, riešenia, príklady. Redukcia na homogénnu rovnicu

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a ukladáme vaše informácie. Prečítajte si naše pravidlá ochrany osobných údajov a v prípade akýchkoľvek otázok nás kontaktujte.

Zhromažďovanie a použitie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo na jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás môžete požiadať, aby ste poskytli svoje osobné informácie.

Ďalej uvádzame niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a toho, ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné informácie zhromažďujeme:

• Keď na webe necháte žiadosť, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a hlásiť jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Vaše osobné údaje môžeme občas použiť na zasielanie dôležitých oznámení a správ.
• Môžeme tiež použiť osobné informácie na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne prieskumy, aby sme zlepšili poskytované služby a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaží alebo podobných propagačných akcií, môžeme informácie, ktoré poskytnete, použiť na správu týchto programov.

Sprístupnenie informácií tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• Ak je to potrebné - v súlade so zákonom, súdnym príkazom, súdnym konaním a / alebo na základe verejných otázok alebo žiadostí vládnych orgánov na území Ruskej federácie - zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je nevyhnutné alebo vhodné z bezpečnostných, policajných a iných dôvodov.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromaždíme, preniesť na príslušnú tretiu stranu - právneho nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame preventívne opatrenia - vrátane administratívnych, technických a fyzických - na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, odcudzením a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, pozmeňovaním a zničením.

Rešpektujte svoje súkromie na úrovni spoločnosti

Aby sme sa ubezpečili, že vaše osobné informácie sú v bezpečí, prinášame našim zamestnancom pravidlá dôvernosti a bezpečnosti a dôsledne sledujeme implementáciu opatrení dôvernosti.

Veľa matematické úlohy, najmä tých, ktoré sa vyskytnú pred 10. ročníkom, je jasne definované poradie vykonaných krokov, ktoré povedú k cieľu. Medzi takéto problémy patria napríklad lineárne a kvadratické rovnice, lineárne a kvadratické nerovnosti, zlomkové rovnice a rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické. Princíp úspešného riešenia každého zo spomenutých problémov je nasledovný: je potrebné ustanoviť, aký typ problému sa má vyriešiť, pamätať na nevyhnutnú postupnosť krokov, ktoré povedú k požadovanému výsledku, t.j. odpovedzte a postupujte podľa týchto krokov.

Je zrejmé, že úspech alebo neúspech pri riešení konkrétneho problému závisí hlavne od toho, ako správne sa určí typ rovnice, ktorá sa má vyriešiť, ako správne sa reprodukuje postupnosť všetkých etáp jeho riešenia. Samozrejme, je potrebné mať zručnosti na vykonávanie rovnakých transformácií a výpočtov.

Iná situácia je trigonometrické rovnice. Zistiť, že rovnica je trigonometrická, nie je vôbec ťažké. Problémy nastávajú pri určovaní postupnosti krokov, ktoré by viedli k správnej odpovedi.

Vzhľad rovnice môže byť niekedy ťažké určiť jej typ. A bez znalosti typu rovnice je takmer nemožné zvoliť tú správnu z niekoľkých desiatok trigonometrických vzorcov.

Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, musíte vyskúšať:

1. uviesť všetky funkcie obsiahnuté v rovnici do „rovnakých uhlov“;
2. uviesť rovnicu na "rovnaké funkcie";
3. faktor ľavú stranu rovnice atď.

Zvážte základné metódy riešenia trigonometrických rovníc.

I. Redukcia na najjednoduchšie trigonometrické rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Vyjadrite trigonometrickú funkciu v zmysle známych komponentov.

Krok 2. Vyhľadajte argument funkcie podľa vzorcov:

cos x \u003d a; x \u003d ± arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tg x \u003d a; x \u003d arktán a + πn, n Є Z.

ctg x \u003d a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Nájsť neznámu premennú.

Príklad.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Rozhodnutie.

1) cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n Є Z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

Odpoveď: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n Є Z.

II. Variabilná náhrada

Schéma riešenia

Krok 1. Prineste rovnicu do algebraického tvaru vzhľadom na jednu z trigonometrických funkcií.

Krok 2. Výslednú funkciu označíme premennou t (ak je to potrebné, zavedieme obmedzenia t).

Krok 3. Zapíšte a vyriešte výslednú algebraickú rovnicu.

Krok 4. Vykonajte spätnú výmenu.

Krok 5. Vyriešte najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu.

Príklad.

2 kosy 2 (x / 2) - 5 sín (x / 2) - 5 \u003d 0.

Rozhodnutie.

1) 2 (1 - hriech 2 (x / 2)) - 5 sín (x / 2) - 5 \u003d 0;

2sin 2 (x / 2) + 5sin (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Nech sin (x / 2) \u003d t, kde | t | ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 alebo e \u003d -3/2, nespĺňa podmienku | t | ≤ 1.

4) hriech (x / 2) \u003d 1.

5) x / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n Є Z;

x \u003d π + 4πn, n Є Z.

Odpoveď: x \u003d π + 4πn, n Є Z.

III. Metóda redukcie rovníc

Schéma riešenia

Krok 1. Nahraďte túto rovnicu lineárnou pomocou vzorcov redukcie stupňov:

hriech 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 (1 + cos 2x);

tg 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte pomocou metód I a II.

Príklad.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Rozhodnutie.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x \u003d 5/4;

3/2 cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n Є Z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

Odpoveď: x \u003d ± π / 6 + πn, n Є Z.

IV. Homogénne rovnice

Schéma riešenia

Krok 1. Prineste túto rovnicu do formulára

a) a sin x + b cos x \u003d 0 (homogénna rovnica prvého stupňa)

alebo na myseľ

b) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x \u003d 0 (homogénna rovnica druhého stupňa).

Krok 2. Vydeľte obe strany rovnice

a) cos x \u003c0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získajte rovnicu pre tg x:

a) a tg x + b \u003d 0;

b) a tg 2 x + b arktán x + c \u003d 0.

Krok 3. Rovnicu vyriešte známymi metódami.

Príklad.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 \u003d 0.

Rozhodnutie.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x - 4 \u003d 0.

3) Nech tg x \u003d t, potom

t2 + 3t - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 alebo t \u003d -4, takže

tg x \u003d 1 alebo tg x \u003d -4.

Z prvej rovnice x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; z druhej rovnice x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metóda transformácie rovnice pomocou trigonometrických vzorcov

Schéma riešenia

Krok 1. Pomocou všetkých druhov trigonometrických vzorcov preneste túto rovnicu na rovnicu vyriešenú metódami I, II, III, IV.

Krok 2. Výslednú rovnicu riešte známymi metódami.

Príklad.

hriech x + hriech 2x + hriech 3x \u003d 0.

Rozhodnutie.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x \u003d 0;

2sin 2x cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 alebo 2cos x + 1 \u003d 0;

Z prvej rovnice 2x \u003d π / 2 + πn, n Є Z; z druhej rovnice cos x \u003d -1/2.

Máme x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; z druhej rovnice x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k Є Z.

Výsledkom je, že x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k Є Z.

Zručnosti a zručnosti pri riešení trigonometrických rovníc sú veľmi dôležité, ich rozvoj si vyžaduje značné úsilie, tak zo strany študenta, ako aj zo strany učiteľa.

S riešením trigonometrických rovníc súvisí veľa problémov stereometrie, fyziky atď. Proces riešenia týchto problémov obsahuje mnoho vedomostí a zručností, ktoré sú získané pri štúdiu prvkov trigonometrie.

Trigonometrické rovnice zaujímajú dôležité miesto v procese výučby matematiky a rozvoja osobnosti všeobecne.

Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť trigonometrické rovnice?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Trigonometrické rovnice .

Najjednoduchšie trigonometrické rovnice .

Metódy riešenia trigonometrických rovníc.

Trigonometrické rovnice. Rovnica obsahujúca neznáme pod volá sa znak trigonometrickej funkcie trigonometrický.

Najjednoduchšie trigonometrické rovnice.

Metódy riešenia trigonometrických rovníc. Riešenie trigonometrickej rovnice pozostáva z dvoch etáp: transformácia rovnice aby to bolo najjednoduchšie pohľad (pozri vyššie) a rozhodnutie získané najjednoduchšie trigonometrická rovnica.Je ich sedem základné metódy riešenia trigonometrických rovníc.

1. Algebraická metóda. Táto metóda je nám dobre známa z algebry

(variabilná substitúcia a substitučná metóda).

2. Faktoring. Túto metódu zvážime na príkladoch.

PRI me R 1. Vyriešte rovnicu:hriech x + cos x = 1 .

Riešenie. Posuňte všetky výrazy rovnice doľava:

Hriech x + cos x – 1 = 0 ,

Výraz transformujeme a faktorizujeme

Ľavá strana rovnice:

PRI me R 2. Vyriešte rovnicu:cos 2 x + hriech X Cos X = 1.

RIEŠENIE cos 2 x + hriech x Cos x– hriech 2 x - pretože 2 x = 0 ,

Hriech x Cos x– hriech 2 x = 0 ,

Hriech x (Cos x– hriech X ) = 0 ,

PRI me R 3. Vyriešte rovnicu:cos 2 x- pretože 8 x + cos 6 x = 1.

RIEŠENIE cos 2 x+ cos 6 x \u003d 1 + cos 8 x,

2 cos 4 x cos 2 x \u003d 2 cos ² 4 x ,

Pretože 4 x · (cos 2 x - pretože 4 x) = 0 ,

Pretože 4 x 2 hriech 3 x Hriech x = 0 ,

jeden). cos 4 x \u003d 0, 2). hriech 3 x \u003d 0, 3). hriech x = 0 ,

3.

Prinášam homogénna rovnica. Rovnica zavolal homogénny z príbuzný hriecha cos , ak všetci členov rovnakého stupňa, pokiaľ ide o hriech a cosrovnaký uhol... Na vyriešenie homogénnej rovnice potrebujete: a) presunúť všetkých svojich členov na ľavú stranu; b) vylúčiť zo zátvoriek všetky bežné faktory; v) vyrovnajte všetky faktory a zátvorky na nulu; r) zátvorky sa rovnajú nule homogénna rovnica menšieho stupňa, ktorú by sme mali vydeliť cos (alebo hriech) v seniorskom odbore; d) vyriešiť výslednú algebraickú rovnicu vzhľadom na opálenie . PRÍKLAD Vyriešiť rovnicu: 3hriech 2 x + 4 hriechy xCos x + 5 cos 2 x = 2. RIEŠENIE. 3sin 2 x + 4 hriechy x Cos x + 5 cos 2 X \u003d 2vstup 2 x + 2cos 2 x , Hriech 2 x + 4 hriechy x Cos x + 3 cos 2 X = 0 , Tan 2 x + 4 opálenie x + 3 = 0 , odtiaľ r 2 + 4r +3 = 0 , Korene tejto rovnice sú:r 1 = - 1, r 2 \u003d - 3, teda 1) opálenie x \u003d –1, 2) opálenie x = –3,

4. Presuňte sa do polovice rohu. Uvažujme o tejto metóde s príkladom:

PRÍKLAD Vyriešiť rovnicu: 3hriech x - 5 cos x = 7.

RIEŠENIE.6 hriech ( x/ 2) cos ( x/ 2) - 5 cos ² ( x/ 2) + 5 hriechov ² ( x/ 2) =

7 hriechov ² ( x/ 2) + 7 cos ² ( x/ 2) ,

2 sin² ( x/ 2) - 6 hriechov ( x / 2) cos ( x/ 2) + 12 cos ² ( x/ 2) = 0 ,

tan ² ( x/ 2) - 3 opálenie ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Zavedenie pomocného uhla. Zvážte rovnicu tvaru:

a hriech x + b cos x = c ,

Kde a, b, c - koeficienty;x - neznámy.

Teraz majú koeficienty rovnice vlastnosti sínus a kosínus, menovite: modul (absolútna hodnota) každého z nich

Koncepcia riešenia trigonometrických rovníc.

• Ak chcete vyriešiť trigonometrickú rovnicu, preveďte ju na jednu alebo viac základných trigonometrických rovníc. Riešenie trigonometrickej rovnice nakoniec vedie k riešeniu štyroch základných trigonometrických rovníc.

Riešenie základných trigonometrických rovníc.

• Existujú 4 typy základných trigonometrických rovníc:
• sin x \u003d a; cos x \u003d a
• tg x \u003d a; ctg x \u003d a
• Riešenie základných trigonometrických rovníc zahŕňa pohľad na rôzne polohy x na jednotkovej kružnici a použitie konverznej tabuľky (alebo kalkulačky).
• Príklad 1. sin x \u003d 0,866. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) získate odpoveď: x \u003d π / 3. Kruh jednotiek dáva ďalšiu odpoveď: 2π / 3. Pamätajte: všetky trigonometrické funkcie sú periodické, to znamená, že ich hodnoty sa opakujú. Napríklad periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Preto je odpoveď napísaná takto:
• x1 \u003d π / 3 + 2πn; x2 \u003d 2π / 3 + 2πn.
• Príklad 2.cos x \u003d -1/2. Pomocou prevodnej tabuľky (alebo kalkulačky) získate odpoveď: x \u003d 2π / 3. Kruh jednotiek dáva ďalšiu odpoveď: -2π / 3.
• x1 \u003d 2π / 3 + 2π; x2 \u003d -2π / 3 + 2π.
• Príklad 3.tg (x - π / 4) \u003d 0.
• Odpoveď: x \u003d π / 4 + πn.
• Príklad 4. ctg 2x \u003d 1,732.
• Odpoveď: x \u003d π / 12 + πn.

Transformácie používané na riešenie trigonometrických rovníc.

• Na transformáciu trigonometrických rovníc sa používajú algebraické transformácie (faktorizácia, redukcia homogénnych výrazov atď.) A trigonometrické identity.
• Príklad 5. Pomocou trigonometrických identít sa rovnica sin x + sin 2x + sin 3x \u003d 0 transformuje na rovnicu 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) \u003d 0. Preto je potrebné vyriešiť nasledujúce základné trigonometrické rovnice: cos x \u003d 0; hriech (3x / 2) \u003d 0; cos (x / 2) \u003d 0.

• Nájdenie uhlov zo známych hodnôt funkcií.

  • Predtým, ako sa naučíte metódy na riešenie trigonometrických rovníc, musíte sa naučiť, ako nájsť uhly zo známych hodnôt funkcií. To je možné vykonať pomocou konverznej tabuľky alebo kalkulačky.
  • Príklad: cos x \u003d 0,732. Kalkulačka dá odpoveď x \u003d 42,95 stupňov. Jednotková kružnica poskytne ďalšie uhly, ktorých kosínus je tiež 0,732.

• Roztok odložte nabok na kruh kruhu.

  • Riešenia trigonometrickej rovnice môžete odložiť na jednotkovej kružnici. Riešenia trigonometrickej rovnice na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného mnohouholníka.
  • Príklad: Riešenia x \u003d π / 3 + πn / 2 na jednotkovej kružnici sú vrcholy štvorca.
  • Príklad: Riešenia x \u003d π / 4 + πn / 3 na jednotkovej kružnici predstavujú vrcholy pravidelného šesťuholníka.

• Metódy riešenia trigonometrických rovníc.

  • Ak daná trig rovnica obsahuje iba jednu trigovú funkciu, riešte túto rovnicu ako základnú trig rovnicu. Ak daná rovnica obsahuje dve alebo viac trigonometrických funkcií, potom existujú 2 metódy riešenia takejto rovnice (v závislosti od možnosti jej transformácie).
    • Metóda 1.
  • Preveďte túto rovnicu na rovnicu v tvare: f (x) * g (x) * h (x) \u003d 0, kde f (x), g (x), h (x) sú základné trigonometrické rovnice.
  • Príklad 6.2cos x + sin 2x \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Rozhodnutie. Pomocou vzorca s dvojitým uhlom sin 2x \u003d 2 * sin x * cos x nahraďte sin 2x.
  • 2cos x + 2 * sin x * cos x \u003d 2cos x * (sin x + 1) \u003d 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos x \u003d 0 a (sin x + 1) \u003d 0.
  • Príklad 7. cos x + cos 2x + cos 3x \u003d 0. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu v tvare: cos 2x (2cos x + 1) \u003d 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos 2x \u003d 0 a (2cos x + 1) \u003d 0.
  • Príklad 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
  • Riešenie: Pomocou trigonometrických identít transformujte túto rovnicu na rovnicu v tvare: -cos 2x * (2sin x + 1) \u003d 0. Teraz vyriešte dve základné trigonometrické rovnice: cos 2x \u003d 0 a (2sin x + 1) \u003d 0 .
    • Metóda 2.
  • Preveďte danú trigonometrickú rovnicu na rovnicu obsahujúcu iba jednu trigonometrickú funkciu. Potom nahraďte túto trigonometrickú funkciu nejakou neznámou, napríklad t (sin x \u003d t; cos x \u003d t; cos 2x \u003d t, tg x \u003d t; tg (x / 2) \u003d t atď.).
  • Príklad 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x \u003d 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Rozhodnutie. V tejto rovnici nahraďte (cos ^ 2 x) výrazom (1 - sin ^ 2 x) (identitou). Transformovaná rovnica je:
  • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 \u003d 0. Nahraďte sin x za t. Rovnica teraz vyzerá takto: 5t ^ 2 - 4t - 9 \u003d 0. Toto je kvadratická rovnica s dvoma koreňmi: t1 \u003d -1 a t2 \u003d 9/5. Druhý koreň t2 nespĺňa rozsah hodnôt funkcie (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Príklad 10. tg x + 2 tg ^ 2 x \u003d ctg x + 2
  • Rozhodnutie. Nahraďte tg x t. Prepíšte pôvodnú rovnicu takto: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) \u003d 0. Teraz nájdite t a potom nájdite x pre t \u003d tg x.

Najjednoduchšie trigonometrické rovnice sa zvyčajne riešia pomocou vzorcov. Pripomínam, že nasledujúce trigonometrické rovnice sa nazývajú najjednoduchšie:

sinx \u003d a

cosx \u003d a

tgx \u003d a

ctgx \u003d a

x je uhol, ktorý sa má nájsť,
a - akékoľvek číslo.

A tu sú vzorce, pomocou ktorých môžete okamžite zapísať riešenia týchto najjednoduchších rovníc.

Pre sínus:

Pre kosínus:

х \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Pre dotyčnicu:

x \u003d arktán a + π n, n ∈ Z

Pre kotangens:

x \u003d arcctg a + π n, n ∈ Z

Toto je vlastne teoretická časť riešenia najjednoduchších trigonometrických rovníc. Navyše všetko!) Vôbec nič. Počet chýb v tejto téme je však jednoducho mimo rozsahu. Najmä ak sa príklad mierne odchyľuje od šablóny. Prečo?

Áno, pretože veľa ľudí si píše tieto listy, vôbec nerozumieť ich významu!S opatrnosťou si zapisuje, bez ohľadu na to, ako sa niečo stane ...) Toto je potrebné vyriešiť. Trigonometria pre ľudí alebo koniec koncov ľudia pre trigonometriu??)

Zistíme to?

Jeden uhol sa bude rovnať arccos a, druhý: -arccos a.

A takto to bude fungovať vždy. Pre akékoľvek a.

Ak mi neveríte, umiestnite kurzor myši na obrázok alebo klepnite na obrázok v tablete.) Zmenil som číslo a na nejaké negatívne. Každopádne, máme jeden roh arccos a, druhý: -arccos a.

Preto môže byť odpoveď vždy napísaná vo forme dvoch sérií koreňov:

x 1 \u003d arccos a + 2π n, n ∈ Z

х 2 \u003d - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Kombinujeme tieto dve série do jednej:

x \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

A to je všetko. Získajte všeobecný vzorec na riešenie najjednoduchšej trigonometrickej rovnice s kosínusom.

Ak pochopíte, že nejde o nejaký druh super-vedeckej múdrosti, ale iba skrátený zápis dvoch sérií odpovedí, vy a úloha „C“ budete na pleci. S nerovnosťami, s výberom koreňov z daného intervalu ... Tam sa odpoveď s plus / mínus nekotúľa. A ak s odpoveďou založíte obchodne a rozdelíte ju na dve samostatné odpovede, o všetkom je rozhodnuté.) V skutočnosti to je dôvod, prečo tomu rozumieme. Čo, ako a kde.

V najjednoduchšej trigonometrickej rovnici

sinx \u003d a

tiež sa získajú dve série koreňov. Je vždy. A tieto dve série je možné tiež zaznamenať jedna čiara. Len tento riadok bude prefíkanejší:

х \u003d (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Podstata však zostáva rovnaká. Matematici jednoducho skonštruovali vzorec tak, aby namiesto dvoch záznamov série koreňov vytvoril jeden. A je to!

Poďme skontrolovať matematikov? A potom nikdy nevieš ...)

V predchádzajúcej lekcii bolo podrobne analyzované riešenie (bez akýchkoľvek vzorcov) trigonometrickej rovnice so sínusom:

Odpoveď priniesla dve série koreňov:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z

Ak rovnakú rovnicu vyriešime pomocou vzorca, dostaneme odpoveď:

x \u003d (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

V skutočnosti ide o nedokončenú odpoveď.) Študent to musí vedieť arcsin 0,5 \u003d π / 6.Úplná odpoveď by bola:

x \u003d (-1) n π / 6 + π n, n ∈ Z

To vyvoláva zaujímavú otázku. Odpovedať cez x 1; x 2 (to je správna odpoveď!) a skrz osamelých x (a toto je správna odpoveď!) - to isté, alebo nie? Dozvieme sa to teraz.)

Náhradník v reakcii s x 1 význam n \u003d 0; jeden; 2; a tak ďalej, počítame, dostaneme sériu koreňov:

x 1 \u003d π / 6; 13π / 6; 25π / 6 atď.

S rovnakou substitúciou v odpovedi s x 2 , dostaneme:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 atď.

Teraz nahradíme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4 ...) do všeobecného vzorca pre osamelého x ... To znamená, že zdvihneme mínus jeden na nulu, potom na prvý, druhý atď. A samozrejme, v druhom termíne dosadíme 0; jeden; 2 3; 4 atď. A počítame. Dostávame sériu:

x \u003d n / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 atď.

To je všetko, čo vidíte.) Všeobecný vzorec nám dáva úplne rovnaké výsledky, ako dve odpovede zvlášť. Iba všetky naraz, v poriadku. Matematici sa nenechali oklamať.)

Skontrolovať sa dajú aj vzorce na riešenie trigonometrických rovníc s dotyčnicou a kotangensom. Ale nebudeme.) Sú také jednoduché.

Celú túto zámenu a overenie som opísal zámerne. Je dôležité pochopiť jednu jednoduchú vec: existujú vzorce na riešenie elementárnych trigonometrických rovníc, len kratky zaznam odpovedi. Pre túto stručnosť som musel vložiť plus / mínus do kosínového roztoku a (-1) n do sínusového roztoku.

Tieto vložky nijako nezasahujú do úloh, pri ktorých stačí zapísať odpoveď na elementárnu rovnicu. Ale ak potrebujete vyriešiť nerovnosť, alebo potom musíte niečo urobiť s odpoveďou: vyberte korene v intervale, skontrolujte ODZ atď., Tieto vložky môžu človeka ľahko znepokojiť.

A čo robiť? Áno, buď si odpíš odpoveď do dvoch sérií, alebo vyrieš rovnicu / nerovnosť pozdĺž trigonometrického kruhu. Potom tieto vložky zmiznú a život sa uľahčí.)

Môžete zhrnúť.

Existujú hotové vzorce odpovedí na riešenie najjednoduchších trigonometrických rovníc. Štyri kusy. Sú dobré na okamžité zaznamenanie riešenia do rovnice. Napríklad musíte vyriešiť rovnice:

sinx \u003d 0,3

Ľahko: х \u003d (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx \u003d 0,2

Žiaden problém: х \u003d ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx \u003d 1,2

Ľahko: x \u003d arktán 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx \u003d 3,7

Jeden zostal: x \u003d arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x \u003d 1,8

Ak vy, žiariaci vedomosťami, okamžite napíšte odpoveď:

x \u003d ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

potom už svietiš, toto ... toto ... z kaluže.) Správna odpoveď: žiadne riešenia. Rozumieš prečo? Prečítajte si, čo je to arkkozín. Okrem toho, ak sú tabuľkové hodnoty sínus, kosínus, tangens, kotangens na pravej strane pôvodnej rovnice, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 atď. - odpoveď cez oblúky bude nedokončená. Oblúky musia byť preložené do radiánov.

A ak narazíte na nerovnosť ako

potom je odpoveď:

х πn, n ∈ Z

je tu ojedinelý nezmysel, to áno ...) Tu je potrebné rozhodnúť o trigonometrickom kruhu. Čo urobíme v príslušnej téme.

Pre tých, ktorí hrdinsky čítali až do týchto riadkov. Len si nemôžem pomôcť a vážim si tvoje titanické úsilie. Máte bonus.)

Bonus:

Pri písaní vzorcov v alarmujúcom bojovom prostredí sa aj akademicky otužilci často mýlia, kde πn, A kde 2π n. Tu je jednoduchý trik. V zo všetkých vzorce v hodnote πn. Až na jediný vzorec s inverzným kosínusom. Stojí to tam 2πn. Dva pien. Kľúčové slovo - dva. Rovnaký vzorec obsahuje dva podpísať na začiatku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.

Takže ak si napísal dva znamenie pred inverzným kosínom, je ľahšie si zapamätať, aký bude koniec dva pien. A stáva sa aj naopak. Preskočiť znamenie človeka ± , sa dostane na koniec, napíše to správne dva pien, a príde si na svoje. Pred niečím dva podpísať! Osoba sa vráti na začiatok, ale chybu napraví! Páči sa ti to.)

Ak sa vám páči táto stránka ...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si nacvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité testovanie platnosti. Učenie - so záujmom!)

môžete sa oboznámiť s funkciami a deriváciami.