라플라스의 국소 및 적분 정리

이 기사는 다음과 같은 수업의 자연스러운 연속입니다. 독립 테스트, 우리가 만난 곳 베르누이의 공식그리고 일했다 전형적인 예이 주제에 대해. 라플라스의 국소 및 적분 정리(Moivre-Laplace)는 충분히 많은 수의 독립적인 테스트에 적용할 수 있다는 차이점을 제외하고 유사한 문제를 해결합니다. "로컬", "적분", "정리"라는 단어를 얼버무릴 필요가 없습니다. 자료는 Laplace가 나폴레옹의 곱슬 머리를 두드리는 것과 동일한 방식으로 쉽게 마스터됩니다. 따라서 복잡하고 예비적인 설명 없이 즉시 데모 예제를 고려해 보겠습니다.

동전은 400번 던져집니다. 앞면이 200번 나올 확률을 구하세요.

에 의해 특징여기에 적용해야지 베르누이의 공식 . 이 글자의 의미를 기억해 봅시다.

는 독립적인 시행에서 무작위 이벤트정확히 한 번만 올 것입니다.
– 이항계수;
– 각 시행에서 사건이 발생할 확률;

우리의 임무와 관련하여:
- 총 시험 횟수
– 머리가 떨어져야 하는 던지기 횟수;

따라서 400번의 동전 던지기 결과 앞면이 정확히 200번 나올 확률은 다음과 같습니다. ...그만, 다음에 무엇을 해야 할까요? 마이크로 계산기(적어도 내 것)는 400도에 대처하지 못하고 항복했습니다. 계승. 하지만 제품을 통해 뭔가를 계산하고 싶지는 않았습니다 =) 사용합시다 표준 엑셀 기능, 몬스터를 처리하는 데 성공했습니다.

나는받은 내용에주의를 기울이고 싶습니다. 정확한의미와 그러한 해결책이 이상적인 것 같습니다. 첫눈에. 다음은 몇 가지 설득력 있는 반론입니다.

- 첫째, 소프트웨어가까이 있지 않을 수도 있습니다.
– 둘째, 솔루션이 비표준처럼 보일 것입니다. (상당한 확률로 마음을 바꿔야 할 것입니다);

그러므로 독자 여러분, 가까운 장래에 우리는 다음을 기대합니다.

국소 라플라스 정리

각 시행에서 무작위 사건이 발생할 확률이 일정하면 각 시행에서 사건이 정확히 한 번 발생할 확률은 대략 다음과 같습니다.
, 어디 .

또한 가 클수록 계산된 확률은 얻은 정확한 값에 더 가까워집니다. (적어도 가정적으로는)베르누이의 공식에 따르면 권장되는 최소 테스트 수는 약 50-100개입니다. 그렇지 않으면 결과가 진실과 다를 수 있습니다. 또한 로컬 라플라스 정리는 확률이 0.5에 가까울수록 더 잘 작동하고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 0이나 1에 가까운 값에 대해 심각한 오류가 발생합니다. 그렇기 때문에 또 다른 기준은 효과적인 사용방식 불평등이다 () .

따라서 예를 들어 이면 50번의 테스트에 대한 라플라스 정리의 적용이 정당화됩니다. 그러나 만약 그리고 , 그러면 또한 근사치 (정확한 값으로)나쁠 것이다.

이유와 특수 기능에 대해 우리는 수업 시간에 이것에 대해 이야기할 것입니다 정규 확률 분포, 그러나 지금은 문제의 형식적인 계산 측면이 필요합니다. 특히, 중요한 사실~이다 동등이 기능: .

발행해 드립니다 공식적인 관계우리의 예를 들면:

문제 1

동전은 400번 던져집니다. 앞면이 정확히 나올 확률을 구하세요.

a) 200회
b) 225번.

어디서부터 시작해야 할까요? 해결책? 먼저, 알려진 수량을 우리 눈앞에 적어 보겠습니다.

– 독립적인 테스트의 총 횟수
– 각 던질 때 앞면이 나올 확률;
- 착륙 머리의 확률.

a) 400번의 연속 던지기에서 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 찾아봅시다. 테스트 횟수가 많기 때문에 Laplace의 국소 정리를 사용합니다. , 어디 .

첫 번째 단계에서는 인수에 필요한 값을 계산합니다.

다음으로 해당 함수 값을 찾습니다. 이는 여러 가지 방법으로 수행할 수 있습니다. 우선, 직접 계산은 다음과 같이 제안합니다.

반올림은 일반적으로 소수점 4자리까지 수행됩니다.

직접 계산의 단점은 모든 마이크로 계산기가 지수를 소화할 수 있는 것은 아니며 계산이 특별히 즐겁지 않고 시간이 걸린다는 것입니다. 왜 그렇게 많은 고통을 받는가? 사용 터버 계산기 (포인트 4)즉시 가치를 얻으세요!

또한, 기능 값 테이블, 특히 확률론에 관한 거의 모든 책에 나오는 내용입니다. 교과서 V.E. 그무르만. 아직 다운로드하지 않았다면 다운로드하세요. 거기에는 유용한 것들이 많이 있습니다 ;-) 그리고 테이블 사용법을 꼭 배우세요(지금 당장!)– 적합한 컴퓨팅 장비가 항상 준비되어 있지 않을 수도 있습니다!

~에 마지막 스테이지공식을 적용하다 :
- 400번의 동전 던지기에서 앞면이 정확히 200번 나올 확률.

보시다시피, 얻은 결과는 다음에서 계산한 정확한 값에 매우 가깝습니다. 베르누이의 공식.

b) 일련의 400번 시행에서 앞면이 정확히 한 번 나타날 확률을 구하십시오. 우리는 라플라스의 국소정리(Laplace's local theorem)를 사용합니다. 하나, 둘, 셋 - 그러면 끝입니다.

– 원하는 확률.

답변:

많은 사람들이 짐작했듯이 다음 예는 출산에 관한 것입니다. 이것은 당신을위한 것입니다. 독립적인 결정:)

문제 2

아들을 가질 확률은 0.52이다. 100명의 신생아 중에 정확히 a) 40명의 남자아이, b) 50명의 남자아이, c) 30명의 여자아이가 있을 확률을 구하세요.

결과를 소수점 이하 4자리로 반올림합니다.

...여기서 "독립 테스트"라는 문구가 흥미로워 보입니다. =) 그런데, 실제 통계적 확률세계 여러 지역에서 남아의 출생률은 0.51에서 0.52 사이입니다.

수업이 끝나면 작업의 대략적인 예입니다.

모든 사람들은 숫자가 아주 작은 것으로 판명되었으며 이것이 오해의 소지가 있어서는 안 됩니다. 결국 우리는 개별 확률에 대해 이야기하고 있습니다. 현지의값 (따라서 정리의 이름). 그리고 그러한 가치는 많이 있으며, 비유적으로 말하면 그 확률은 "모든 사람에게 충분해야 합니다." 사실, 많은 이벤트가 있을 것입니다. 거의 불가능한.

동전의 예를 사용하여 위의 내용을 설명하겠습니다. 일련의 400번의 시행에서 앞면은 이론적으로 0에서 400번까지 떨어질 수 있으며 이러한 이벤트는 전체 그룹:

그러나 이러한 값의 대부분은 아주 작은 값입니다. 예를 들어 머리가 250번 나타날 확률은 이미 천만 분의 1입니다. 다음과 같은 값에 대해 재치있게 침묵을 지키자 =)

반면에, 적당한 결과를 과소평가해서는 안 됩니다. 만약 그것이 단지 약 이라면, 착륙 머리의 확률은, 예를 들어, 220에서 250배, 매우 눈에 띄게 될 것입니다.

이제 생각해 봅시다: 이 확률을 어떻게 계산할 것인가? 세지 마세요 양립할 수 없는 사건의 확률 덧셈 정리양:

이 값은 훨씬 간단합니다 결합하다. 아시다시피 무언가를 결합하는 것을 완성:

라플라스의 적분 정리

각 시행에서 무작위 사건이 발생할 확률이 일정하면 확률은 다음과 같습니다. 재판에서 그 사건이 일어날 것이라고 더도 말고 더도 말고 (부터 ~ 시간 포함), 대략 다음과 같습니다:

이 경우에는 물론 테스트 횟수도 충분히 커야 하며 확률이 너무 작거나 높아서는 안 됩니다. (약)그렇지 않으면 근사치는 중요하지 않거나 나쁠 것입니다.

함수가 호출됩니다. 라플라스 함수, 그 값은 다시 표준 표에 요약되어 있습니다 ( 그것을 찾아서 일하는 법을 배우십시오 !!). 적분은 결합할 수 없기 때문에 마이크로 계산기는 여기서 도움이 되지 않습니다. 그러나 Excel에는 해당 기능이 있습니다. 포인트 5 디자인 레이아웃.

실제로 가장 일반적인 다음 값:
- 노트에 복사하세요.
에서 시작하여 , 또는 더 엄격하게 작성하면 다음과 같이 가정할 수 있습니다.

또한, 라플라스 함수 이상한: , 이 속성은 우리가 이미 지친 작업에서 적극적으로 활용됩니다.

문제 3

사수가 목표물에 명중할 확률은 0.7이다. 100발의 사격으로 목표물이 65회에서 80회까지 명중할 확률을 구하십시오.

가장 현실적인 예를 선택했습니다. 그렇지 않으면 여기에서 범인이 수천 발의 총알을 발사하는 몇 가지 작업을 찾았습니다 =)

해결책: 이 문제에서 우리가 이야기하고 있는 것은 반복된 독립적 테스트, 그 수는 상당히 많습니다. 조건에 따라 표적이 65회 이상, 80회 이하로 명중할 확률을 구해야 하는데, 이는 라플라스의 적분 정리를 사용해야 함을 의미합니다.

편의상 열의 원본 데이터를 다시 작성해 보겠습니다.
– 총 샷;
– 최소 히트 수;
– 최대 히트 수;
– 각 샷으로 목표물을 맞출 확률;
- 각 샷의 실패 확률.

따라서 라플라스의 정리는 좋은 근사치를 제공할 것입니다.

인수 값을 계산해 보겠습니다.

작품이 뿌리부터 완전히 추출될 필요는 없다는 사실에 주목하고 싶다. (문제 작성자는 숫자를 "조정"하는 것을 좋아하므로)– 의심의 여지 없이 근을 추출하고 결과를 반올림합니다. 나는 소수점 4자리를 남기는 데 익숙하다. 그러나 결과 값은 일반적으로 소수점 이하 2자리로 반올림됩니다. 이 전통은 기능 값 테이블, 여기서 인수는 정확히 다음 형식으로 표시됩니다.

위의 표를 사용하거나 terver의 디자인 레이아웃 (포인트 5).
서면 의견으로 다음 문구를 넣는 것이 좋습니다. 해당 테이블을 사용하여 함수 값을 찾습니다.:

– 100발의 사격으로 목표물이 65~80회 명중할 확률입니다.

홀수 함수를 꼭 활용해보세요!혹시 모르니 자세히 적어보겠습니다.

사실은 기능 값 테이블긍정적인 "X"만 포함되어 있으며 우리는 작업 중입니다. (적어도 "전설"에 따르면)테이블과 함께!

답변:

결과는 대부분 소수점 이하 4자리로 반올림됩니다. (다시 표 형식에 따라).

스스로 해결하려면:

문제 4

건물에는 2500개의 램프가 있으며 저녁에 각각이 켜질 확률은 0.5입니다. 저녁에 최소 1250개에서 최대 1275개의 램프가 켜질 확률을 구하십시오.

수업이 끝나면 최종 디자인의 대략적인 샘플.

고려 중인 작업은 다음과 같이 "비개인적인" 형태로 발생하는 경우가 매우 많습니다.

0.5의 확률로 무작위 사건이 발생할 수 있는 실험이 수행되었습니다. 실험은 변경되지 않은 조건에서 2500회 반복됩니다. 2500번의 실험에서 사건이 1250번에서 1275번 발생할 확률을 구하십시오.

그리고 비슷한 공식이 지붕을 통해 나오고 있습니다. 작업의 진부한 성격으로 인해 그들은 종종 상태를 숨기려고 시도합니다. 이것은 어떻게든 솔루션을 다양화하고 복잡하게 만들 수 있는 "유일한 기회"입니다.

문제 5

이 연구소에는 1000명의 학생들이 공부하고 있습니다. 식당 좌석은 105석입니다. 각 학생은 쉬는 시간에 식당에 0.1의 확률로 간다. 일반적인 수업일에 다음과 같은 일이 발생할 확률은 얼마입니까?

a) 식당은 2/3 이하로 꽉 찼습니다.
b) 모든 사람을 수용할 좌석이 충분하지 않습니다.

"정규 수업일"이라는 중요한 조항에 주목하고 싶습니다. 이는 상황이 상대적으로 변하지 않도록 보장합니다. 공휴일 이후에는 학원에 오는 학생 수가 현저히 줄어들 수 있으며, “Day”에는 열린 문“배고픈 대표단이 도착할 것입니다 =) 즉, “비정상적인” 날에는 확률이 눈에 띄게 다를 것입니다.

해결책: 우리는 Laplace의 적분 정리를 사용합니다.

이 작업에서는 다음을 수행합니다.
– 해당 연구소의 총 학생 수;
– 학생이 긴 방학 동안 구내식당에 갈 확률;
– 반대 사건의 확률.

a) 전체 좌석 수의 2/3를 차지하는 좌석 수를 계산해 보겠습니다.

정규 수업일에 구내식당이 3분의 2 이하로 차 있을 확률을 찾아봅시다. 무슨 뜻이에요? 즉, 큰 휴식 시간에는 0명에서 70명까지 올 것이라는 뜻이다. 사람이 안오거나 소수의 학생만 온다는 사실~ 이벤트도 있어요 사실상 불가능그러나 라플라스의 적분 정리를 적용할 목적에서는 이러한 확률을 여전히 고려해야 합니다. 따라서:

해당 인수를 계산해 보겠습니다.

결과적으로:

– 정규 수업일에 구내식당이 2/3 이하로 차 있을 확률.

알림 : 라플라스 함수가 ​​와 같다고 간주되는 경우.

그래도 군중을 기쁘게합니다 =)

나) 이벤트 “모두가 앉을 자리가 부족해요”큰 휴식 시간 동안 106명에서 1000명까지 점심 식사를 위해 식당에 올 것이라는 점입니다 (가장 중요한 것은 잘 압축하는 것입니다 =)).높은 참석률은 믿을 수 없을 만큼 분명하지만, 그럼에도 불구하고: .

우리는 인수를 계산합니다.

따라서 모든 사람이 앉을 수 있는 좌석이 충분하지 않을 확률은 다음과 같습니다.

답변:

이제 하나에 집중해보자 중요한 뉘앙스 방법: 계산을 수행할 때 단일 세그먼트, 그러면 모든 것이 "클라우드 없음"입니다. 고려된 템플릿에 따라 결정합니다. 그러나 우리가 고려한다면 전체 이벤트 그룹표시되어야 한다 어느 정도의 정확성. 방금 논의한 문제의 예를 사용하여 이 점을 설명하겠습니다. "be" 지점에서 우리는 모든 사람을 위한 좌석이 충분하지 않을 가능성을 발견했습니다. 다음으로 동일한 구성표를 사용하여 다음을 계산합니다.
– 충분한 장소가 있을 확률.

이러한 사건 이후 반대이면 확률의 합은 1과 같아야 합니다.

무슨 일이야? – 여기서는 모든 것이 논리적인 것 같습니다. 요점은 라플라스 함수가 마디 없는, 그러나 우리는 고려하지 않았습니다 간격 105에서 106까지. 여기서 0.0338 조각이 사라졌습니다. 그렇기 때문에 동일한 표준 공식을 사용하여다음과 같이 계산해야 합니다.

글쎄, 아니면 더 간단합니다:

질문이 생깁니다: 우리가 처음으로 발견하면 어떻게 될까요? 그런 다음 다른 버전의 솔루션이 있습니다.

그런데 어떻게 이런 일이 있을 수 있지?! – 두 가지 방법은 서로 다른 답변을 제공합니다! 간단합니다. 라플라스의 적분 정리는 다음과 같은 방법입니다. 닫다계산이므로 두 가지 방법 모두 허용됩니다.

보다 정확한 계산을 위해서는 다음을 사용해야 합니다. 베르누이의 공식예를 들어 Excel 함수 이노미스트. 결과적으로 그 응용우리는 다음을 얻습니다:

그리고 저는 이 미묘함에 주목한 사이트 방문자 중 한 명에게 감사를 표합니다. 전체 이벤트 그룹에 대한 연구가 실제로 거의 발견되지 않기 때문에 그것은 제 시야에서 벗어났습니다. 관심 있는 사람들은 익숙해질 수 있습니다.

지역정리무아브르-라플라스(1730 무아브르와 라플라스)

$A$ 사건의 발생 확률 $p$가 일정하고 $p\ne 0$ 및 $p\ne 1$인 경우 $P_n (k)$ 확률은 $A$ 사건이 $k$ 나타날 확률입니다. $n $ 테스트의 횟수는 $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot 함수의 값과 거의 같습니다($n$가 클수록 더 정확함). \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ 바르피 (x)$

$x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $ 함수의 값을 포함하는 테이블이 있습니다.

따라서 \begin(방정식) \label ( eq2 ) P_n (k)\about \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,where\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \end(방정식)

함수 $\varphi (x)=\varphi (( -x ))$는 짝수입니다.

예. 각 시행에서 이 사건이 발생할 확률이 $p=0.2$인 경우 사건 $A$가 400번의 시행에서 정확히 80번 발생할 확률을 구하십시오.

해결책. $p=0.2$이면 $q=1-p=1-0.2=0.8$입니다.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\대략 \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\,where\,x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(array) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\대략 \frac ( 0.3989 ) ( 20\cdot 0.4 ) =\frac ( 0.3989 ) ( 8 ) =0.0498 \\ \end(배열) $

무아브르-라플라스 적분 정리

각 시행에서 $A$ 사건이 발생할 확률 P는 일정하고 $p\ne 0$ 및 $p\ne 1$이면 $A$ 사건이 발생할 확률 $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ $n$ 시행에서 $k_ ( 1 ) $부터 최대 $k_ ( 2 ) $ 번까지 발생합니다. 이는 $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\about \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

여기서 $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) , x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $, 여기서

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -테이블에서 발견

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-odd

이상한 기능. 표의 값은 $x=5$, $x>5,\Phi(x)=0.5$에 대한 값입니다.

예. 검사 과정에서 제품의 10%가 거부되는 것으로 알려져 있습니다. 625개의 제품이 대조 대상으로 선정되었습니다. 선택된 제품 중에 최소 550개에서 최대 575개의 표준 제품이 있을 확률은 얼마입니까?

해결책. 불량률이 10%라면 표준품은 90%입니다. 그러면 조건에 따라 $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$가 됩니다. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. 우리는 $ \begin(array) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\about \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) )- \Phi ( ( \frac ( 550-562.5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0.9\cdot 0.1 ) )) \about \Phi (1.67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1.67)=0.9052 \\ \ 끝(배열) $

베르누이의 공식이 충분히 크면 번거로운 계산이 생성됩니다. 따라서 이러한 경우 로컬 라플라스 정리가 사용됩니다.

정리(로컬 라플라스 정리). 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우 확률은 다음과 같습니다.
사건 A가 n번의 독립적 시행에서 정확히 k번 나타날 것이라는 사실은 함수의 값과 거의 같습니다.

,

.

함수 값이 위치한 테이블이 있습니다
, 양수 값의 경우 x.

기능은 다음과 같습니다.
심지어

따라서 사건 A가 n번의 시행에서 나타날 확률은 정확히 k배이고 대략 다음과 같습니다.

, 어디
.

예.실험밭에 1500개의 씨앗을 뿌렸습니다. 벼가 싹이 날 확률이 0.9일 때 묘목이 1200개의 씨앗을 생산할 확률을 구하십시오.

해결책.

라플라스의 적분 정리

9회 독립 시행에서 사건 A가 최소 k1회, 최대 k2회 나타날 확률은 라플라스 적분 정리를 사용하여 계산됩니다.

정리(라플라스의 적분 정리). 각 시행에서 사건 a가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우, n번의 시행에서 사건 A가 적어도 k 1번 나타날 확률은 k 2번 이하로 나타날 확률은 다음과 거의 같습니다. 특정 적분의 값:

.

기능
라플라스 적분 함수라고 불리는 이 함수는 홀수이며 그 값은 양수 값 x에 대한 표에서 찾을 수 있습니다.

예.실험실에서는 발아율이 90%인 종자 배치에서 600개의 종자를 파종했는데, 발아한 종자는 520개 이상 570개 이하였습니다.

해결책.

포아송의 공식

n개의 독립 시행을 수행하면 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률은 일정하고 p와 같습니다. 이미 말했듯이, 독립 시행에서 사건 A가 발생할 확률은 베르누이 공식을 사용하여 정확히 k번 찾을 수 있습니다. n이 충분히 크면 라플라스의 국소 정리가 사용됩니다. 그러나 이 공식은 각 시행에서 사건이 발생할 확률이 작거나 1에 가까운 경우에는 부적합합니다. 그리고 p=0 또는 p=1인 경우에는 전혀 적용할 수 없습니다. 이러한 경우에는 포아송의 정리(Poisson's theorem)를 사용하십시오.

정리(푸아송의 정리). 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0 또는 1에 가까우며 시행 횟수가 충분히 큰 경우, n개의 독립 시행에서 사건 A가 정확히 k번 나타날 확률은 다음 식으로 구합니다. 공식:

.

예.원고는 수천 페이지에 달하는 타자기 텍스트이며 수천 개의 오타가 포함되어 있습니다. 무작위로 가져온 페이지에 적어도 하나의 오타가 있을 확률을 구하십시오.

해결책.

질문을 위한 자가 테스트

사건 확률에 대한 고전적인 정의를 공식화합니다.

확률의 덧셈과 곱셈에 대한 상태 정리.

전체 이벤트 그룹을 정의합니다.

총 확률의 공식을 적어보세요.

베이즈의 공식을 적어보세요.

베르누이의 공식을 적어보세요.

포아송의 공식을 적어보세요.

로컬 라플라스 공식을 적어보세요.

라플라스의 적분 공식을 적어보세요.

Topic 13. 확률변수와 수치적 특성

문학: ,,,,,.

확률 이론의 주요 개념 중 하나는 확률 변수의 개념입니다. 이는 경우에 따라 그 값을 취하는 가변 수량의 일반적인 이름입니다. 확률변수에는 이산형과 연속형의 두 가지 유형이 있습니다. 무작위 변수는 일반적으로 X,Y,Z로 표시됩니다.

유한하거나 셀 수 있는 수의 값만 취할 수 있는 확률 변수 X를 연속형(이산형)이라고 합니다. 이산 확률 변수 X는 가능한 모든 값 x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (수는 유한 또는 무한일 수 있음) 및 해당 확률 p 1 , p 2 , p인 경우 정의됩니다. 3, ... p는 n으로 주어진다.

이산 확률 변수 X의 분포 법칙은 일반적으로 다음 표에 나와 있습니다.

첫 번째 줄은 가능한 값으로 구성됩니다. 무작위 변수 X, 두 번째 줄은 이러한 값의 확률을 보여줍니다. 랜덤 변수 X가 모든 값을 취하는 확률의 합은 1과 같습니다.

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

이산확률변수 X의 분포법칙은 그래픽으로 표현될 수 있습니다. 이를 위해 직교 좌표계에서 점 M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) 직선 세그먼트로 연결합니다. 결과 그림을 확률 변수 X의 분포 다각형이라고 합니다.

예.이산 값 X는 다음 분포 법칙에 의해 제공됩니다.

a) 수학적 기대 M(X), b) 분산 D(X), c) 표준 편차 σ를 계산해야 합니다.

해결책 . a) 이산 확률 변수 X의 수학적 기대 M(X)는 확률 변수의 모든 가능한 값과 이러한 가능한 값의 해당 확률의 쌍별 곱의 합입니다. 이산 확률 변수 X가 표 (1)을 사용하여 지정되면 수학적 기대치 M(X)는 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+xn ∙p n. (2)

수학적 기대값 M(X)는 확률 변수 X의 평균값이라고도 합니다. (2)를 적용하면 다음을 얻습니다.

M(X)=48·0.2+53·0.4+57·0.3 +61·0.1=54.

b) M(X)가 확률 변수 X의 수학적 기대값인 경우 차이 X-M(X)는 다음과 같이 호출됩니다. 편차평균값에서 무작위 변수 X를 구합니다. 이 차이는 랜덤 변수의 산란을 특징으로 합니다.

변화이산 확률 변수 X의 (산란)은 수학적 기대값에서 확률 변수의 제곱 편차에 대한 수학적 기대값(평균값)입니다. 따라서 정의에 따르면 다음과 같습니다.

D(X)=M2 . (삼)

제곱 편차의 가능한 모든 값을 계산해 봅시다.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

분산 D(X)를 계산하기 위해 편차 제곱의 분포 법칙을 도출한 후 공식 (2)를 적용합니다.

D(X)= 36·0.2+1·0.4+9·0.3 +49·0.1=15.2.

분산을 계산하는 데 다음 속성이 자주 사용된다는 점에 유의해야 합니다. 분산 D(X)는 확률 변수 X의 제곱에 대한 수학적 기대값과 수학적 기대값의 제곱 간의 차이와 같습니다.

D(X)-M(X2)- 2. (4)

공식 (4)를 사용하여 분산을 계산하기 위해 랜덤 변수 X 2의 분포 법칙을 작성합니다.

이제 수학적 기대값 M(X 2)을 찾아보겠습니다.

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

(4)를 적용하면 다음을 얻습니다.

D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.

보시다시피, 우리는 같은 결과를 얻었습니다.

c) 분산 차원은 확률 변수 차원의 제곱과 같습니다. 따라서 평균값을 중심으로 확률 변수의 가능한 값의 분산을 특성화하려면 분산의 제곱근의 산술 값과 동일한 값을 고려하는 것이 더 편리합니다.
. 이 값을 확률변수 X의 표준편차라고 하며 σ로 표시합니다. 따라서

σ=
. (5)

(5)를 적용하면 다음과 같습니다. σ=
.

예.확률변수 X는 정규법칙에 따라 분포됩니다. 수학적 기대 M(X)=5; 분산D(X)=0.64. 테스트 결과 X가 구간 (4;7)의 값을 취할 확률을 구합니다.

해결책확률 변수 X가 미분 함수 f(x)로 지정되면 X가 구간 (α, β)에 속하는 값을 취할 확률은 다음 공식으로 계산되는 것으로 알려져 있습니다.

. (1)

값 X가 정규 법칙에 따라 분포되면 미분 함수는 다음과 같습니다.

,

어디 ㅏ=M(X) 및 σ=
. 이 경우 (1)로부터 다음을 얻습니다.

. (2)

식 (2)는 라플라스 함수를 사용하여 변환될 수 있습니다.

대체를 해보자. 허락하다
. 그 다음에
또는 dx=σ∙ dt.

따라서
, 여기서 t 1 과 t 2 는 변수 t에 해당하는 한계입니다.

σ로 줄이면 다음과 같습니다.

입력된 대체 항목에서
그 뒤를 따른다
그리고
.

따라서,

(3)

문제의 조건에 따르면 다음과 같습니다. a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. 이 데이터를 (3)으로 대체하면 다음을 얻습니다.

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.

예.표준에서 제조된 부품 길이의 편차는 정규 법칙에 따라 분포되는 확률 변수로 간주됩니다. 표준 길이(수학적 기대값) a=40cm, 표준 편차 σ=0.4cm 표준에서 길이의 편차가 절대값으로 0.6cm를 넘지 않을 확률을 구합니다.

해결책.X가 부품의 길이인 경우 문제의 조건에 따라 이 값은 a=40이고 δ=0.6인 구간(a-δ,a+δ) 내에 있어야 합니다.

α= a-δ 및 β= a+δ를 식(3)에 대입하면,

. (4)

사용 가능한 데이터를 (4)로 대체하면 다음을 얻습니다.

따라서 제조된 부품의 길이가 39.4~40.6cm 범위에 있을 확률은 0.8664입니다.

예.공장에서 생산되는 부품의 직경은 정규법칙에 따라 분포되는 확률변수입니다. 표준 직경 길이 a=2.5 cm, 표준편차 σ=0.01. 확률이 0.9973인 사건을 신뢰할 수 있는 것으로 간주하는 경우 이 부품의 직경 길이를 실제로 어떤 한계 내에서 보장할 수 있습니까?

해결책.문제의 조건에 따르면 다음과 같습니다.

a=2.5; σ=0.01; .

공식 (4)를 적용하면 다음과 같은 평등을 얻습니다.

또는
.

표 2에서 Laplace 함수는 x=3에서 이 값을 갖는다는 것을 알 수 있습니다. 따라서,
; 여기서 σ=0.03입니다.

이러한 방식으로 직경 길이가 2.47~2.53cm 사이에서 변하는 것을 보장할 수 있습니다.

라플라스의 적분 정리

정리. 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우, n번의 독립적 시행에서 사건 A가 발생할 확률 m은 a에서 b까지의 범위에 있습니다(포함). , 충분한 큰 숫자테스트 n은 대략 다음과 같습니다.

라플라스의 적분식과 무아브르-라플라스의 국소식은 정확할수록 N값이 0.5에 가까울수록 피그리고 큐. 이 공식을 사용하여 계산하면 조건이 충족되면 사소한 오류가 발생합니다. npq≥ 20(조건 충족이 허용 가능한 것으로 간주될 수 있음) npq > 10.

함수 Ф( 엑스) 표로 작성되었습니다 (부록 2 참조). 이 테이블을 사용하려면 함수 Ф(의 속성을 알아야 합니다. 엑스):

1. 함수 Ф( 엑스) – 이상함, 즉 에프(- 엑스) = – Ф( 엑스).

2. 함수 Ф( 엑스) – 단조롭게 증가하고 x → + Ф( 엑스) → 0.5 (실질적으로 우리는 이미 엑스≥ 5F( 엑스) ≈ 0,5).

예제 3.4.예제 3.3의 조건을 사용하여 300명에서 360명(포함)의 학생이 첫 번째 시험에 성공적으로 합격할 확률을 계산하십시오.

해결책. 라플라스의 적분 정리( npq≥ 20). 우리는 다음을 계산합니다:

= –2,5; = 5,0;

피 400 (300 ≤ 중≤ 360) = Ф(5.0) – Ф(–2.5).

함수 Ф(의 속성을 고려하면 엑스) 그리고 해당 값 표를 사용하여 다음을 찾습니다. Ф(5,0) = 0.5; Ф(–2.5) = – Ф(2.5) = – 0.4938.

우리는 얻는다 피 400 (300 ≤ 중 ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

라플라스의 적분 정리의 결과를 적어 보겠습니다.

결과 1. 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우 n개의 독립 시행이 충분히 큰 경우 사건 A가 발생할 수 m이 곱 np와 다를 확률 ε 이하 > 0

.

(3.8)

예제 3.5.예제 3.3의 조건 하에서 280명에서 360명의 학생이 첫 번째 확률 이론 시험에 성공적으로 합격할 확률을 구하십시오.

해결책. 확률 계산 아르 자형 400 (280 ≤ 중≤ 360)은 기본에 대한 이전 예와 유사할 수 있습니다. 적분 공식라플라스. 그러나 간격 280과 360의 경계가 값에 대해 대칭이라는 것을 알면 이 작업을 수행하는 것이 더 쉽습니다. n.p.=320. 그러면 결론 1에 기초하여 우리는 다음을 얻습니다.

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≒ 2 0.5 ≒ 1,

저것들. 280~360명의 학생들이 첫 번째 시험에 성공적으로 합격할 것이 거의 확실합니다. ←

결과 2. 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우 n개의 독립 시행이 충분히 큰 경우 사건 A의 빈도 m/n이 α에서 범위에 있을 확률은 다음과 같습니다. β(포함)는 다음과 같습니다.

,

(3.9)

어디

, .

(3.10)

예제 3.6.통계에 따르면 신생아의 평균 87%가 50세까지 산다. 신생아 1000명 중 50년까지 생존하는 비율(빈도)이 0.9에서 0.95 범위에 있을 확률을 구합니다.

해결책. 신생아가 50세까지 살 확률은 아르 자형= 0.87. 왜냐하면 N= 1000은 크다(즉, 조건 npq= 1000·0.87·0.13 = 113.1 ≥ 20 만족), 그러면 라플라스 적분 정리의 추론 2를 사용합니다. 우리는 찾는다:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

결과 3. 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 일정하고 0과 1이 아닌 경우 n개의 독립 시행이 충분히 큰 경우 사건 A의 빈도 m/n이 확률 p와 다음과 같이 다를 확률은 다음과 같습니다. 이하Δ > 0 (절대값으로) 같음

.

(3.11)

예제 3.7.이전 문제의 조건에 따라, 1000명의 신생아 중 50년까지 생존하는 비율(빈도)이 이 사건의 확률과 0.04(절대값) 이하로 다를 확률을 구하십시오.

해결책. 라플라스 적분 정리의 추론 3을 사용하여 다음을 찾습니다.

= 2에프(3.76) = 2·0.4999 = 0.9998.

불평등은 불평등과 동일하므로 이 결과는 신생아 1000명 중 83~91%가 50세까지 살 것이라는 것이 거의 확실하다는 것을 의미합니다. ◄

이전에 우리는 독립 시행에 대해 다음 숫자의 확률을 확립했습니다. 중이벤트 발생 ㅏ V N테스트는 Bernoulli의 공식을 사용하여 구합니다. 만약에 N가 크면 라플라스의 점근 공식을 사용합니다. 그러나 이 공식은 사건의 확률이 작은 경우에는 부적합합니다( 아르 자형≤ 0.1). 이 경우 ( N엄청난, 아르 자형조금) 포아송의 정리를 적용

포아송의 공식

정리. 각 시행에서 사건 A가 발생할 확률 p가 0이 되는 경향이 있는 경우(p → 0) 시행 횟수 n을 무제한으로 증가시키면(n→ ), 곱 np는 상수 λ(np → λ)가 되는 경향이 있으며, 사건 A가 n에서 m번 나타날 확률 Pn(m)은 다음과 같습니다. 독립적인 시행은 극한 평등을 만족합니다.