Joseph Louis Lagrange는 이탈리아 토리노에서 이탈리아계 프랑스인 가정에서 태어났습니다. 그는 포병학교에서 공부하고 가르쳤습니다. 1759년 오일러의 추천으로 23세의 라그랑주는 베를린 과학 아카데미의 회원으로 선출되었습니다. 1766년에 그는 이미 회장이 되었습니다. Frederick II는 Lagrange를 베를린으로 초대했습니다. 1786년 프리드리히 2세가 사망한 후 라그랑주는 파리로 이주했습니다. 1722년부터 그는 파리 과학 아카데미의 회원이 되었고, 1795년에는 경도국의 회원으로 임명되었으며, 미터법의 창설에 적극적으로 참여했습니다. 원 과학적 연구라그랑주는 비정상적으로 넓었습니다. 그들은 역학, 기하학, 수학적 분석, 대수학, 정수론 및 이론 천문학에 전념하고 있습니다. 라그랑주 연구의 주요 방향은 통일된 관점에서 역학의 다양한 현상을 제시하는 것이었습니다. 그는 힘의 영향을 받는 모든 시스템의 동작을 설명하는 방정식을 도출했습니다. 천문학 분야에서 라그랑주는 안정성 문제를 해결하기 위해 많은 노력을 기울였습니다. 태양계; 특히 소위 삼각형 진동 지점에 위치한 작은 몸체의 경우 안정적인 운동의 특별한 사례를 입증했습니다.

라그랑주 방법─는 암시적 함수로 작성된 제약조건을 새로운 방정식의 형태로 목적함수와 결합하여 제약된 최적화 문제를 해결하는 방법입니다. 라그랑지안.

고려해 봅시다 특별한 경우 일반적인 작업비선형 프로그래밍:

비선형 방정식 시스템이 주어지면 (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi(i=1..m),

함수의 가장 작은(또는 가장 큰) 값 찾기 (2)

(2) f(x1,x2,…,xn),

변수가 음수가 아닌 조건이 없고 f(x1,x2,…,xn) 및 gi(x1,x2,…,xn)이 편도함수와 함께 연속인 함수인 경우.

이 문제에 대한 해결책을 찾으려면 다음 방법을 적용할 수 있습니다. 1. 라그랑주 승수라고 불리는 변수 λ1, λ2,…, λm 세트를 입력하고 라그랑주 함수(3)를 구성합니다.

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. 변수 xi 및 λi에 대한 라그랑주 함수의 편도함수를 구하고 이를 0으로 동일시합니다.

3. 방정식 시스템을 풀면서 문제의 목적 함수가 극값을 가질 수 있는 점을 찾습니다.

4. 극값이 아닌 의심스러운 점 중에서 극값에 도달한 점을 찾아 이 점에서의 함수값을 계산합니다. .

4. 함수 f에서 얻은 값을 비교하고 가장 좋은 것을 선택합니다.

생산 계획에 따르면 회사는 180개의 제품을 생산해야 합니다. 이 제품은 2가지로 만들 수 있어요 기술적 방법. 방법 I을 사용하여 x1 제품을 생산할 때 비용은 4*x1+x1^2 루블이고, 방법 II를 사용하여 x2 제품을 생산할 때 비용은 8*x2+x2^2 루블입니다. 총 생산 비용이 최소화되도록 각 방법을 사용하여 생산해야 하는 제품 수를 결정합니다.

해결책: 문제의 수학적 공식화는 두 변수의 함수 중 가장 작은 값을 결정하는 것으로 구성됩니다.

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, x1 +x2 = 180인 경우.

라그랑주 함수를 구성해 보겠습니다.

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

x1, x2, λ에 대한 편도함수를 계산하고 이를 0과 동일시해 보겠습니다.

λ를 처음 두 방정식의 오른쪽으로 이동하고 왼쪽을 동일시하면 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 또는 x1 − x2 = 2가 됩니다.

방정식 x1 + x2 = 180과 함께 마지막 방정식을 풀면 x1 = 91, x2 = 89, 즉 조건을 충족하는 해를 얻었습니다.

다음 변수 값에 대한 목적 함수 f의 값을 찾아 보겠습니다.

F(x1, x2) = 17278

이 지점은 극단적인 지점이라 의심스럽습니다. 2차 편도함수를 사용하여 점 (91.89)에서 함수 f가 최소값을 갖는다는 것을 보여줄 수 있습니다.

점 M이 이웃의 일부와 함께 이 집합에 속하면 특정 집합 G의 내부라고 합니다. N의 완전한 이웃에 G에 속하고 속하지 않는 점이 모두 있는 경우 점 N을 집합 G의 경계점이라고 합니다.

집합 G의 모든 경계점의 집합을 G의 경계라고 합니다.

집합 G의 모든 점이 내부(개방 집합)인 경우 영역이라고 합니다. 연관된 경계 Г가 있는 집합 G를 닫힌 영역이라고 합니다. 충분히 큰 반경의 원 내에 완전히 포함된 경우 영역을 경계라고 합니다.

최소 및 가장 높은 가치주어진 영역의 함수를 이 영역의 함수의 절대 극값이라고 합니다.

Weierstrass의 정리: 경계가 있고 닫힌 영역에서 연속적인 함수는 이 영역에서 최소값과 최대값에 도달합니다.

결과. 주어진 영역에서 함수의 절대 극값은 이 영역에 속하는 함수의 임계점 또는 닫힌 영역 G에서 함수의 최대값과 최소값을 찾으려면 다음을 찾아야 합니다. 이 영역의 모든 임계점에서 이 지점(경계 지점 포함)의 함수 값을 계산하고 얻은 숫자를 비교하여 가장 큰 것과 가장 작은 것을 선택합니다.

예제 4.1.함수의 절대 극값 찾기(가장 큰 값과 가장 작은 값)
정점이 있는 삼각형 영역 D에서
,
,
(그림 1).

;
,

즉, 점 O(0,0)은 영역 D에 속하는 임계점입니다. z(0,0)=0입니다.

국경을 탐험해 봅시다:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

c) AB: ;
,

예제 4.2.좌표축과 직선으로 둘러싸인 닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값을 구합니다.
.

1) 해당 지역에 있는 임계점을 찾습니다.

,
,

국경을 탐험해보자. 왜냐하면 경계는 Ox 축의 세그먼트 OA, Oy 축의 세그먼트 OB 및 세그먼트 AB로 구성되며, 각 세그먼트에서 함수 z의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정합니다.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

찾은 모든 값 중에서 z max =z(4, 0)=13;을 선택합니다. z naim =z(1, 2)=–4.

5. 조건부 극값. 라그랑주 승수법

정의의 전체 영역이 아니라 특정 조건을 만족하는 집합에 대해 극한값을 구하는 경우 여러 변수의 함수에 특정한 문제를 고려해 보겠습니다.

기능을 생각해 보자
, 인수 그리고 조건을 만족하는 것
, 결합 방정식이라고 합니다.

점
모든 점에 대해 이 점의 이웃이 있는 경우 조건부 최대(최소) 점이라고 합니다.
조건을 만족하는 이 동네 출신
, 불평등은 유지됩니다
또는
.

그림 2는 조건부 최대점을 보여줍니다.
. 물론 함수의 무조건적 극점은 아니다.
(그림 2에서 이것이 요점이다.
).

두 변수 함수의 조건부 극값을 찾는 가장 간단한 방법은 문제를 하나의 변수 함수의 극값을 찾는 것으로 줄이는 것입니다. 연결방정식을 가정해보자
예를 들어 다음과 같이 변수 중 하나와 관련하여 해결했습니다. ~을 통해 :
. 결과 표현식을 두 변수의 함수로 대체하면 다음을 얻습니다.

저것들. 하나의 변수의 기능. 그 극값은 함수의 조건부 극값이 됩니다.
.

예제 5.1.함수의 최대점과 최소점 찾기
~을 고려하면
.

해결책. 방정식으로 표현해보자
변하기 쉬운 변수를 통해 결과 표현식을 대체하십시오.
함수로 . 우리는 얻는다
또는
. 이 함수는 다음과 같은 고유한 최소값을 갖습니다.
. 해당 기능 값
. 따라서,
– 조건부 극한점(최소).

고려된 예에서 결합 방정식은
선형으로 판명되었으므로 변수 중 하나와 관련하여 쉽게 해결되었습니다. 그러나 더 복잡한 경우에는 이 작업을 수행할 수 없습니다.

일반적인 경우의 조건부 극값을 구하기 위해서는 라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)을 사용합니다. 세 가지 변수의 함수를 고려하십시오. 이 함수를 라그랑주 함수라고 하며, – 라그랑주 승수. 다음 정리는 참입니다.

정리.요점이라면
함수의 조건부 극점입니다
~을 고려하면
, 그러면 값이 있습니다 그런 점
함수의 극점이다
.

따라서 함수의 조건부 극값을 찾으려면
~을 고려하면
시스템에 대한 해결책을 찾아야 한다

피 이들 방정식의 마지막은 결합 방정식과 일치합니다. 시스템의 처음 두 방정식은 다음과 같은 형식으로 다시 작성할 수 있습니다. 조건부 극점에서 함수 기울기
그리고
동일선상. 그림에서. 그림 3은 라그랑주 조건의 기하학적 의미를 보여줍니다. 선
점선, 레벨 라인
기능
단단한. 그림에서. 조건부 극한점에서 기능 수준 선
선에 닿는다
.

예제 5.2. 함수의 극점 찾기
~을 고려하면
, 라그랑주 승수 방법을 사용합니다.

해결책. 라그랑주 함수를 구성합니다. 편미분을 0으로 동일화하면 방정식 시스템을 얻습니다.

그녀의 유일한 해결책. 따라서 조건부 극점은 점 (3; 1)만 될 수 있습니다. 이 시점에서 함수가 작동하는지 확인하는 것은 쉽습니다.
조건부 최소값이 있습니다. 변수의 개수가 2개 이상이면 여러 가지 결합방정식을 고려할 수 있습니다. 따라서 이 경우에는 여러 개의 라그랑주 승수가 있을 것입니다.

조건부 극값을 찾는 문제는 최적의 자원 할당 찾기, 최적의 증권 포트폴리오 선택 등과 같은 경제적 문제를 해결하는 데 사용됩니다.

간략한 이론

라그랑주 승수 방법은 수학적 프로그래밍 문제(특히 볼록 문제)를 해결하는 고전적인 방법입니다. 불행하게도 언제 실용적인 응용 프로그램이 방법은 상당한 계산상의 어려움에 직면하여 사용 범위가 좁아질 수 있습니다. 여기서 라그랑주 방법을 고려하는 이유는 실무에서 널리 사용되는 다양한 현대 수치해석 방법을 실증하기 위해 적극적으로 사용되는 장치이기 때문이다. 라그랑주 함수와 라그랑주 승수는 수학적 프로그래밍뿐만 아니라 이론 및 응용에서도 독립적이고 매우 중요한 역할을 합니다.

고전적인 최적화 문제를 고려해보세요:

이 문제의 제한 사항 중에는 불평등이 없으며 변수의 비음성, 이산성에 대한 조건이 없으며 함수는 연속적이며 적어도 2차 부분 도함수를 갖습니다.

문제를 해결하기 위한 고전적인 접근 방식은 방정식 시스템을 제공합니다( 필요한 조건), 이는 제한 사항을 충족하는 점 집합에 대한 국소 극점을 사용하여 함수를 제공하는 점에 의해 충족되어야 합니다(볼록 프로그래밍 문제의 경우 발견된 점은 전역 극점이기도 함).

한 점 함수(1)에 국소 조건부 극값이 있고 행렬의 순위가 와 같다고 가정해 보겠습니다. 그러면 필요한 조건이 다음 형식으로 작성됩니다.

라그랑주 함수가 있습니다. – 라그랑주 승수.

또한 방정식 (3) 시스템의 해가 함수의 극점을 결정하는 데 충분한 조건이 있습니다. 이 문제는 라그랑주 함수의 2차 미분 부호에 대한 연구를 바탕으로 해결되었습니다. 그러나 충분조건은 주로 이론적 관심의 대상이다.

라그랑주 승수 방법을 사용하여 문제 (1), (2)를 해결하기 위해 다음 절차를 지정할 수 있습니다.

1) 라그랑주 함수(4)를 구성합니다.

2) 모든 변수에 대해 라그랑주 함수의 편도함수를 찾아 동일시합니다.

영. 따라서 방정식으로 구성된 시스템 (3)이 얻어지며 결과 시스템을 풀고 (이것이 가능하다면!) 라그랑주 함수의 모든 고정점을 찾습니다.

3) 좌표 없이 찍은 정지점에서 제한이 있는 경우 함수가 조건부 국소 극값을 갖는 점을 선택합니다(2). 예를 들어, 이러한 선택은 국소 극값에 대한 충분 조건을 사용하여 이루어집니다. 문제의 특정 조건을 사용하면 연구가 단순화되는 경우가 많습니다.

문제 해결의 예

작업

회사는 수량과 수량에 따라 두 가지 유형의 상품을 생산합니다. 유용한 비용 함수는 관계에 의해 결정됩니다. 시장에서 이러한 상품의 가격은 동일합니다.

달성되는 출력량 결정 최대 이익그리고 총 비용이 초과하지 않는다면 그것은 얼마입니까?

결정의 진행 상황을 이해하는 데 어려움이 있습니까? 웹사이트는 주문에 대한 최적의 솔루션 방법을 사용하여 문제를 해결하는 서비스를 제공합니다.

문제의 해결

문제의 경제적, 수학적 모델

이익함수:

비용 제한:

우리는 다음과 같은 경제 및 수학적 모델을 얻습니다.

또한, 업무의 의미에 따라

라그랑주 승수법

라그랑주 함수를 구성해 보겠습니다.

우리는 1차 편도함수를 찾습니다:

연립방정식을 만들고 풀어보겠습니다.

그때부터

최대 이익:

답변

따라서 음식을 방출해야합니다. 첫 번째 유형 및 단위의 상품. 두 번째 유형의 상품. 이 경우 이익은 최대가 되며 금액은 270입니다.
그래픽 방법을 사용하여 2차 볼록 계획법 문제를 해결하는 예가 제공됩니다.

그래픽 방법으로 선형 문제 해결
두 개의 변수를 사용하여 선형 프로그래밍 문제(LPP)를 해결하기 위한 그래픽 방법이 고려됩니다. 작업의 예가 제공됩니다. 상세 설명도면을 작성하고 해결책을 찾는 것입니다.

윌슨의 재고 관리 모델
문제 해결 사례를 이용하여 재고 관리의 기본 모델(Wilson 모델)을 고찰한다. 다음 모델 지표가 계산되었습니다. 최적의 크기주문 수량, 연간 보유 비용, 배송 간격 및 주문 지점.

직접 비용 비율 매트릭스 및 입출력 매트릭스
문제 해결의 예를 사용하여 Leontiev의 부문 간 모델을 고려합니다. 직접 재료비의 계수 행렬, 입출력 행렬 및 계수 행렬의 계산이 표시됩니다. 간접 비용, 최종 소비 및 총 생산량의 벡터.

지도 시간

모든 사람 안녕하세요. 이 기사에서 나는 동적 시스템에 대한 수학적 모델을 구성하는 그래픽 방법 중 하나를 보여주고 싶습니다. 채권 그래프(“결합” - 연결, “그래프” - 그래프). 러시아 문학에서는 A.V. Tomsk Polytechnic University의 교과서에서만 이 방법에 대한 설명을 찾았습니다. Voronin “MODELING OF MECHATRONIC SYSTEMS” 2008 또한 제2종 라그랑주 방정식을 통해 고전적인 방법을 보여줍니다.

라그랑주 방법

이론을 설명하지는 않고 몇 가지 설명과 함께 계산 단계를 보여 드리겠습니다. 개인적으로는 이론을 10번 읽는 것보다 예를 통해 배우는 것이 더 쉽습니다. 러시아 문학에서 이 방법에 대한 설명, 그리고 일반적으로 수학과 물리학 전반에 대한 설명은 복잡한 공식이 매우 풍부하므로 심각한 수학적 배경이 필요한 것 같습니다. 라그랑주법(이탈리아 토리노 폴리테크닉 대학에서 공부)을 공부하면서 계산법을 비교하기 위해 러시아 문헌을 공부했는데, 이 방법을 푸는 과정을 따라가기가 어려웠습니다. Kharkov의 모델링 과정을 기억하는 것조차 항공 연구소", 그러한 방법의 도출은 매우 번거롭고 아무도 이 문제를 이해하려고 노력하지 않았습니다. 이것이 제가 Lagrange에 따라 수학적 모델을 구성하기 위한 매뉴얼을 작성하기로 결정한 것입니다. 전혀 어렵지 않은 것으로 밝혀졌으며 시간 및 편도함수에 대한 도함수를 계산하는 방법을 아는 것만으로도 충분합니다. 더 복잡한 모델의 경우 회전 행렬도 추가되지만 그 안에도 복잡한 것은 없습니다.

모델링 방법의 특징:

뉴턴-오일러: 동적 평형에 기초한 벡터 방정식 힘그리고 순간들
라그랑주: 운동 및 전위와 관련된 상태 함수를 기반으로 한 스칼라 방정식 에너지
채권 수: 흐름 기반 방법 힘시스템 요소 간

시작해보자 간단한 예. 스프링과 댐퍼가 포함된 질량. 우리는 중력을 무시합니다.

그림 1. 스프링과 댐퍼가 포함된 질량

우선, 우리는 다음을 지정합니다.

초기 좌표계(NSK) 또는 고정 sk R0(i0,j0,k0). 어디? 손가락으로 하늘을 가리킬 수도 있지만 뇌의 뉴런 끝을 비틀어 NSC를 M1 몸체의 운동 선에 배치하는 아이디어가 전달됩니다.
질량이 있는 각 몸체의 좌표계(M1이 있어요. R1(i1,j1,k1)), 방향은 임의적일 수 있지만 왜 인생을 복잡하게 만드는지 NSC와 최소한의 차이로 설정하십시오.
일반화된 좌표 q_i(움직임을 설명할 수 있는 변수의 최소 수), 이 예에는 일반화된 좌표가 하나 있고 j축을 따라서만 움직입니다.

그림 2. 좌표계를 내려놓고 일반화된 좌표를

그림 3. 몸체 M1의 위치와 속도

그런 다음 다음 공식을 사용하여 댐퍼의 운동 에너지(C) 및 위치 에너지(P)와 소산 함수(D)를 찾습니다.

그림 4. 완전한 공식운동 에너지

이 예에서는 회전이 없으며 두 번째 구성 요소는 0입니다.

그림 5. 운동에너지, 위치에너지, 소산함수 계산

라그랑주 방정식의 형식은 다음과 같습니다.

그림 6. 라그랑주 방정식과 라그랑지안

델타 W_i이는 적용된 힘과 모멘트에 의해 수행되는 가상 작업입니다. 그녀를 찾아보자:

그림 7. 가상 작업 계산

어디 델타 q_1가상의 움직임.

모든 것을 라그랑주 방정식으로 대체합니다.

그림 8. 스프링과 댐퍼가 포함된 결과 질량 모델

이것이 라그랑주의 방법이 끝난 곳입니다. 보시다시피 그렇게 복잡하지는 않지만 여전히 매우 간단한 예이므로 Newton-Euler 방법이 훨씬 더 간단할 가능성이 높습니다. 서로 다른 각도로 서로에 대해 회전하는 여러 몸체가 있는 보다 복잡한 시스템의 경우 라그랑주 방법이 더 쉬울 것입니다.

채권 그래프 방법

질량, 스프링 및 댐퍼가 포함된 예를 들어 본드 그래프에서 모델이 어떻게 보이는지 즉시 보여 드리겠습니다.

그림 9. 스프링과 댐퍼가 있는 결합 그래프 질량

여기서 당신은 구축하기에 충분할 약간의 이론을 말해야 할 것입니다 간단한 모델. 누구든지 관심이 있다면 책을 읽어보세요( 채권 그래프 방법론) 또는 ( 보로닌 A.V. 메카트로닉 시스템 모델링: 지도 시간. – 톰스크: 톰스크 폴리테크닉 대학 출판사, 2008).

먼저 그것을 결정하자 복잡한 시스템여러 도메인으로 구성됩니다. 예를 들어, 전기 모터는 전기 및 기계 부품 또는 도메인으로 구성됩니다.

채권 그래프이러한 도메인, 하위 시스템 간의 전력 교환을 기반으로 합니다. 어떤 형태로든 전력 교환은 항상 두 가지 변수( 가변 전력) 이를 통해 동적 시스템 내에서 다양한 하위 시스템의 상호 작용을 연구할 수 있습니다(표 참조).

표에서 볼 수 있듯이 권력의 표현은 어디에서나 거의 동일합니다. 요약하자면, 힘- 이 일 " 흐름 - f" 에 " 노력 - 전자».

노력(영어) 노력) 전기 영역에서는 전압(e)이고, 기계 영역에서는 힘(F) 또는 토크(T)이며, 유압에서는 압력(p)입니다.

흐름(영어) 흐름) 전기 영역에서는 전류(i)이고, 기계 영역에서는 속도(v) 또는 각속도(오메가)이며, 유압에서는 유체의 흐름 또는 유속(Q)입니다.

이러한 표기법을 사용하면 검정력에 대한 표현을 얻을 수 있습니다.

그림 10. 검정력 변수를 통한 검정력 공식

채권 그래프 언어에서 전력을 교환하는 두 하위 시스템 간의 연결은 채권으로 표시됩니다. 노예). 이것이 바로 이 방법이 호출되는 이유입니다. 채권 그래프또는 g raf-연결, 연결된 그래프. 고려해 봅시다 블록 다이어그램전기 모터가 있는 모델의 연결(아직 결합 그래프가 아님):

그림 11. 도메인 간 전력 흐름의 블록 다이어그램

전압 소스가 있는 경우 그에 따라 전압을 생성하여 권선을 위해 모터로 전송합니다(이것이 화살표가 모터를 향하는 이유입니다). 권선의 저항에 따라 전류가 옴의 법칙에 따라 나타납니다. 모터에서 소스까지). 따라서 하나의 변수는 하위 시스템에 대한 입력이고 두 번째 변수는 다음과 같아야 합니다. 출구하위 시스템에서. 여기서 전압( 노력) – 입력, 전류( 흐름) - 출구.

전류 소스를 사용하면 다이어그램이 어떻게 변경됩니까? 오른쪽. 전류는 모터로 향하고 전압은 소스로 향합니다. 그런 다음 현재 ( 흐름) - 입력, 전압 ( 노력) - 출구.

역학의 예를 살펴보겠습니다. 질량에 작용하는 힘.

그림 12. 질량에 가해지는 힘

블록 다이어그램은 다음과 같습니다.

그림 13. 블록 다이어그램

이 예에서는 강도( 노력) – 질량에 대한 입력 변수입니다. (질량에 가해지는 힘)
뉴턴의 제2법칙에 따르면:

대중은 빠르게 반응합니다.

이 예에서 하나의 변수( 힘 - 노력) 이다 입구기계적 영역으로 들어간 다음 또 다른 전력 변수( 속도 - 흐름) – 자동으로 출구.

입력이 어디에 있고 출력이 어디에 있는지 구별하기 위해 요소 사이의 화살표(연결) 끝에 수직선을 사용합니다. 인과관계의 표시 또는 원인 (인과관계). 알고 보니 적용된 힘이 원인이고 속도가 결과입니다. 이 표시는 매우 중요합니다. 올바른 건축인과관계는 두 하위 시스템의 물리적 행동과 힘의 교환의 결과이기 때문에 시스템 모델의 인과관계 기호 위치 선택은 자의적일 수 없습니다.

그림 14. 인과관계의 지정

이 수직선은 어떤 하위 시스템이 힘( 노력) 결과적으로 흐름( 흐름). 질량이 있는 예에서는 다음과 같습니다.

그림 14. 질량에 작용하는 힘의 인과관계

질량에 대한 입력은 다음과 같습니다. 힘이고 출력은 다음과 같습니다. 속도. 이는 화살표로 다이어그램을 복잡하게 만들지 않고 모델 구성을 체계화하기 위해 수행됩니다.

다음 중요한 점. 일반화된 충동(이동량) 및 움직이는(에너지 변수).

다양한 영역의 전력 및 에너지 변수 표

위의 표에서는 본드 그래프 방법에 사용되는 두 가지 추가 물리량을 소개합니다. 그들은 호출됩니다 일반화된 충동 (아르 자형) 그리고 일반화된 움직임 (큐) 또는 에너지 변수이며 시간에 따른 전력 변수를 통합하여 얻을 수 있습니다.

그림 15. 전력과 에너지 변수의 관계

전기 분야에서는 :

패러데이의 법칙에 기초하여, 전압도체 끝의 는 이 도체를 통과하는 자속의 미분과 같습니다.

ㅏ 현재 강도 - 물리량, 일정 시간 t를 통과하는 전하량 Q의 비율과 같습니다. 교차 구역지휘자, 이 기간의 가치.

기계적 영역:

뉴턴의 제2법칙으로부터, 힘– 임펄스의 시간 미분

그리고 이에 상응하여, 속도- 변위의 시간 미분:

요약해보자:

기본 요소

동적 시스템의 모든 요소는 2극 구성 요소와 4극 구성 요소로 나눌 수 있습니다.
고려해 봅시다 양극성 구성 요소:

출처
노력과 흐름의 원천이 있습니다. 전기 분야에서의 비유: 노력의 원천 – 전압 소스, 스트림 소스 – 현재 소스. 소스에 대한 인과 징후는 이렇습니다.

그림 16. 인과 관계 및 출처 지정

성분 R – 소산 요소

구성 요소 I – 관성 요소

성분 C - 용량성 소자

수치에서 알 수 있듯이, 다른 요소하나 R,C,I형동일한 방정식으로 설명됩니다. 전기 용량에만 차이가 있으므로 기억하면 됩니다!

사중극자 구성 요소:

변압기와 자이레이터라는 두 가지 구성 요소를 살펴보겠습니다.

본드 그래프 방법의 마지막 중요한 구성 요소는 연결입니다. 노드에는 두 가지 유형이 있습니다.

구성품이 바로 그것입니다.

채권 그래프를 구성한 후 인과관계를 설정하는 주요 단계는 다음과 같습니다.

모든 사람에게 인과관계를 제공하라 출처
모든 노드를 살펴보고 1번 항목 이후 인과관계를 적으세요.
을 위한 구성 요소 I입력 인과관계를 할당합니다(이 구성요소에는 노력이 포함됩니다). 구성 요소 C출력 인과관계 할당(이 구성요소에서 노력이 나옵니다)
포인트 2를 반복하세요.
인과관계를 삽입하세요. R 구성요소

이것으로 이론에 대한 미니 코스를 마칩니다. 이제 모델을 구축하는 데 필요한 모든 것이 준비되었습니다.
몇 가지 예를 해결해 보겠습니다. 시작해보자 전기 회로, 채권 그래프를 구성하는 비유를 이해하는 것이 좋습니다.

실시예 1

전압 소스를 사용하여 본드 그래프를 작성해 보겠습니다. 그냥 Se라고 쓰고 화살표만 넣으면 됩니다.

보세요, 모든 것이 간단합니다! 더 자세히 살펴 보겠습니다. R과 L은 직렬로 연결되어 있습니다. 즉, 전력 변수로 말하면 동일한 전류가 흐르고 있음을 의미합니다. 어떤 노드가 동일한 흐름을 가지고 있나요? 정답은 1노드 입니다. 소스, 저항(구성요소 - R) 및 인덕턴스(구성요소 - I)를 1-노드에 연결합니다.

다음으로, 정전 용량과 저항이 병렬로 연결되어 있습니다. 이는 동일한 전압이나 힘을 가짐을 의미합니다. 0-노드는 다른 어떤 것과도 달리 적합합니다. 커패시턴스(C 성분)와 저항(R 성분)을 0 노드에 연결합니다.

또한 노드 1과 0을 서로 연결합니다. 화살표 방향은 임의로 선택되며 연결 방향은 방정식의 부호에만 영향을 미칩니다.

다음과 같은 연결 그래프가 표시됩니다.

이제 인과관계를 확립해야 합니다. 배치 순서에 대한 지침에 따라 소스부터 시작해 보겠습니다.

우리는 전압 소스(노력)를 가지고 있으며, 이러한 소스에는 인과 관계의 한 가지 변형인 출력만 있습니다. 입혀보자.
다음에는 구성 요소 I이 있는데, 그들이 무엇을 추천하는지 살펴보겠습니다. 우리는 넣어
우리는 그것을 1노드용으로 내려놓았습니다. 먹다
0-노드에는 하나의 입력과 모든 출력 인과 연결이 있어야 합니다. 우리는 지금 하루 쉬는 시간을 갖고 있습니다. 우리는 구성 요소 C 또는 I를 찾고 있습니다. 찾았습니다. 우리는 넣어
남은 것을 나열해보자

그게 다야. 채권 그래프가 구축됩니다. 만세, 동지들!

남은 것은 우리 시스템을 설명하는 방정식을 작성하는 것뿐입니다. 이렇게 하려면 3개의 열이 있는 테이블을 만듭니다. 첫 번째에는 시스템의 모든 구성요소가 포함되고, 두 번째에는 각 요소에 대한 입력 변수가 포함되며, 세 번째에는 동일한 구성요소에 대한 출력 변수가 포함됩니다. 우리는 이미 인과관계에 따른 입력과 출력을 정의했습니다. 따라서 아무런 문제가 있어서는 안 됩니다.

레벨을 쉽게 기록할 수 있도록 각 연결에 번호를 매깁니다. 구성 요소 C, R, I 목록에서 각 요소에 대한 방정식을 사용합니다.

테이블을 컴파일한 후 상태 변수를 정의합니다. 이 예에는 p3과 q5라는 두 가지 변수가 있습니다. 다음으로 상태 방정식을 적어야 합니다.

이제 모델이 준비되었습니다.

예 2. 사진 품질에 대해 즉시 사과하고 싶습니다. 가장 중요한 것은 읽을 수 있다는 것입니다.

또 다른 예를 풀어보겠습니다. 기계 시스템, 라그랑주 방법을 사용하여 해결한 것과 동일합니다. 댓글 없이 해결책을 보여드리겠습니다. 이 중 어떤 방법이 더 간단하고 쉬운지 확인해 보겠습니다.

Matbala에서는 Lagrange 방법과 결합 그래프를 통해 얻은 동일한 매개변수를 가진 두 수학적 모델이 모두 컴파일되었습니다. 결과는 아래와 같습니다. 태그 추가

와 함께라그랑주 방법의 본질은 조건부 극값 문제를 무조건 극값 문제로 줄이는 것입니다. 비선형 프로그래밍 모델을 고려해보세요.

(5.2)

어디
– 알려진 기능,

ㅏ
– 주어진 계수.

이 문제 공식화에서 제약 조건은 등식으로 지정되며 변수가 음수가 아니어야 한다는 조건은 없습니다. 또한, 우리는 다음과 같은 기능을 믿습니다.
1차 편도함수와 연속입니다.

조건(5.2)을 변환하여 등식의 왼쪽 또는 오른쪽에 다음이 있도록 합시다. 영:

(5.3)

라그랑주 함수를 구성해 봅시다. 여기에는 각각 계수와 함께 취해진 목적 함수(5.1)와 제약 조건의 우변(5.3)이 포함됩니다.
. 문제에 제약 조건이 있는 만큼 많은 라그랑주 계수가 있습니다.

함수의 극점(5.4)은 원래 문제의 극점이고 그 반대도 마찬가지입니다. 문제의 최적 계획(5.1)-(5.2)은 라그랑주 함수의 전역 극점입니다.

실제로 해결책을 찾자
문제 (5.1)-(5.2)이면 조건 (5.3)이 충족됩니다. 계획을 바꾸자
함수(5.4)로 변환하고 동등성(5.5)의 유효성을 확인합니다.

따라서 원래 문제에 대한 최적의 계획을 찾기 위해서는 극값에 대한 라그랑주 함수를 검토할 필요가 있다. 함수는 부분 도함수가 동일한 지점에서 극단값을 갖습니다. 영. 그러한 점을 호출합니다. 변화 없는.

함수(5.4)의 편도함수를 정의해 보겠습니다.

균등화 후 영파생 상품 우리는 시스템을 얻습니다 m+n방정식 m+n알려지지 않은

,(5.6)

일반적인 경우 시스템 (5.6)-(5.7)에는 라그랑주 함수의 모든 최대값과 최소값을 포함하는 여러 솔루션이 있습니다. 전역 최대값 또는 최소값을 강조하기 위해 발견된 모든 지점에서 목적 함수의 값이 계산됩니다. 이 값 중 가장 큰 값은 전역 최대값이 되고 가장 작은 값은 전역 최소값이 됩니다. 어떤 경우에는 사용이 가능합니다. 엄격한 극한값을 위한 충분 조건연속 함수(아래 문제 5.2 참조):

함수를 보자
연속적이고 고정점 근처에서 두 번 미분 가능합니다. (저것들.
)). 그 다음에: