Logaritmisen epäyhtälöiden yksityiskohtainen ratkaisu. Yksinkertaisimpien logaritmien epäyhtälöiden ratkaiseminen

Yllä oleva päättely on yksinkertainen, mutta se yksinkertaistaa huomattavasti logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisua.

Esimerkki 4.

loki x (x 2 -3)<0

Ratkaisu:

Esimerkki 5.

log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤ log 2 x (x 2 + x)

Ratkaisu:

Vastaus... (0; 0,5) U.

Esimerkki 6.

Tämän epäyhtälön ratkaisemiseksi kirjoitamme nimittäjän sijasta (x-1-1) (x-1) ja osoittajan sijaan tulon (x-1) (x-3-9 + x). ).

Vastaus : (3;6)

Esimerkki 7.

Esimerkki 8.

2.3. Epätyypillinen vaihto.

Esimerkki 1.

Esimerkki 2.

Esimerkki 3.

Esimerkki 4.

Esimerkki 5.

Esimerkki 6.

Esimerkki 7.

log 4 (3 x -1) log 0,25

Tehdään substituutio y = 3 x -1; silloin tämä epätasa-arvo saa muodon

Log 4 log 0,25
.

Koska log 0,25 = -log 4 = - (log 4 y -log 4 16) = 2-log 4 y, kirjoita sitten viimeinen epäyhtälö muotoon 2log 4 y -log 4 2 y ≤.

Teemme muutoksen t = log 4 y ja saamme epäyhtälön t 2 -2t + ≥0, jonka ratkaisu on välit - .

Siten y:n arvojen löytämiseksi meillä on joukko kaksi yksinkertaisinta epäyhtälöä
Ratkaisu tähän joukkoon on intervallit 0<у≤2 и 8≤у<+.

Siksi alkuperäinen epäyhtälö vastaa kahden eksponentiaalisen epäyhtälön kokoelmaa,
eli aggregaatteja

Tämän joukon ensimmäisen epäyhtälön ratkaisu on väli 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+... Siten alkuperäinen epäyhtälö pätee kaikille x:n arvoille väliltä 0<х≤1 и 2≤х<+.

Esimerkki 8.

Ratkaisu:

Epätasa-arvo vastaa järjestelmää

Ratkaisu toiselle epäyhtälölle, joka määrittää DHS:n, ​​on näiden joukko x,

mille x > 0.

Ensimmäisen epätasa-arvon ratkaisemiseksi teemme korvauksen

Sitten saamme epätasa-arvon

tai

Viimeisen epäyhtälön ratkaisujoukko löydetään menetelmällä

intervallit: -1< t < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, saamme

tai

Monet niistä x jotka tyydyttävät viimeisen epätasa-arvon

kuuluu ODZ:lle ( x> 0), on siis ratkaisu järjestelmään

ja siksi alkuperäinen eriarvoisuus.

Vastaus:

2.4. Tehtävät ansoilla.

Esimerkki 1.

.

Ratkaisu. ODZ-epäyhtälöt ovat kaikki x, jotka täyttävät ehdon 0 ... Siksi kaikki x väliltä 0

Esimerkki 2.

log 2 (2 x + 1-x 2)> log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.... ? Tosiasia on, että toinen numero on selvästi suurempi kuin

Johtopäätös

Erilaisten koulutuslähteiden runsaudesta ei ollut helppoa löytää erityisiä menetelmiä C3-ongelmien ratkaisemiseksi. Työn aikana pääsin tutkimaan epästandardeja menetelmiä monimutkaisten logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Näitä ovat: ekvivalentit siirtymät ja yleistetty intervallimenetelmä, rationalisointimenetelmä , ei-standardi vaihto , tehtäviä ansojen kanssa ODZ:llä. Nämä menetelmät puuttuvat koulun opetussuunnitelmasta.

Ratkaisin eri menetelmiä käyttäen 27 kokeessa ehdotettua epäyhtälöä osassa C, eli C3. Nämä menetelmien eriarvoisuudet ratkaisujen kanssa muodostivat pohjan kokoelmalle "Logaritmiset C3 epäyhtälöt ratkaisujen kanssa", josta tuli työni projektituote. Projektin alussa esittämäni hypoteesi vahvistui: C3-tehtävät voidaan ratkaista tehokkaasti tietäen nämä menetelmät.

Lisäksi löysin mielenkiintoisia faktoja logaritmeista. Minusta oli mielenkiintoista tehdä se. Suunnittelutuotteeni ovat hyödyllisiä sekä opiskelijoille että opettajille.

Johtopäätökset:

Siten hankkeen asetettu tavoite on saavutettu, ongelma on ratkaistu. Ja sain täydellisimmän ja monipuolisimman kokemuksen projektitoiminnasta kaikissa työn vaiheissa. Projektityöskentelyn aikana pääasiallinen kehitysvaikutukseni oli henkiseen osaamiseen, loogiseen henkiseen toimintaan liittyvään toimintaan, luovan osaamisen kehittämiseen, oma-aloitteisuuteen, vastuullisuuteen, sinnikkyyteen, aktiivisuuteen.

Takuu onnistumisesta luotaessa tutkimusprojektia Minusta on tullut: merkittävä koulukokemus, kyky poimia tietoa eri lähteistä, tarkistaa sen luotettavuus, luokitella tärkeysjärjestykseen.

Matematiikan suoran aineosaamisen lisäksi hän laajensi käytännön taitojaan tietojenkäsittelytieteen alalla, sai uutta tietoa ja kokemusta psykologian alalta, solmi kontakteja luokkatovereihinsa ja oppi yhteistyöhön aikuisten kanssa. Hankkeen toiminnan aikana kehitettiin organisatorisia, älyllisiä ja kommunikatiivisia yleissivistäviä taitoja ja kykyjä.

Kirjallisuus

1. Koryanov A. G., Prokofev A. A. Epäyhtälöjärjestelmät yhdellä muuttujalla (tyypilliset tehtävät C3).

2. Malkova A. G. Valmistautuminen matematiikan tenttiin.

3. Samarova SS Logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu.

4. Matematiikka. Kokoelma koulutusteoksia, toimittanut A.L. Semjonova ja I.V. Jaštšenko. -M .: MTsNMO, 2009 .-- 72 s. -

Johdanto

Logaritmit keksittiin nopeuttamaan ja yksinkertaistamaan laskelmia. Ajatus logaritmista, toisin sanoen ajatus lukujen ilmaisemisesta saman kantaluvun potenssina, kuuluu Mikhail Shtifelille. Mutta Stiefelin aikaan matematiikka ei ollut niin kehittynyt ja logaritmin idea ei löytänyt kehitystään. Skotlantilainen tiedemies John Napier (1550-1617) ja sveitsiläinen Jobst Burgi (1552-1632) keksivät myöhemmin logaritmit samanaikaisesti ja toisistaan ​​riippumatta. Napier julkaisi työnsä ensimmäisenä vuonna 1614. otsikolla "Hämmästyttävän logaritmien taulukon kuvaus" Napierin logaritmien teoria annettiin melko täydellisenä, logaritmien laskentamenetelmä annettiin yksinkertaisin, joten Napierin panos logaritmien keksimiseen oli suurempi kuin Burghin. Burghi työskenteli pöydillä samaan aikaan kuin Napier, mutta pitkä aika piti ne salassa ja julkaisi vasta vuonna 1620. Napier hallitsi logaritmin idean noin vuonna 1594. vaikka taulukot julkaistiin 20 vuoden kuluttua. Aluksi hän kutsui logaritmejaan "keinotekoisiksi luvuiksi" ja vasta sitten ehdotti, että näitä "keinotekoisia lukuja" kutsuttaisiin yhdellä sanalla "logaritmi", joka käännetään kreikasta "liittyvät numerot" edistymiseen. Ensimmäiset venäjänkieliset taulukot julkaistiin vuonna 1703. upean 1700-luvun opettajan osallistuessa. L.F Magnitsky. Logaritmien teorian kehittämisessä pietarilaisen akateemikon Leonard Eulerin teoksilla oli suuri merkitys. Hän oli ensimmäinen, joka piti logaritmia potenssiin nostamisen käänteisenä, hän otti käyttöön termit "logaritmin kanta" ja "mantissa". Briggs laati logaritmitaulukot, joiden kanta on 10. Desimaalitaulukot ovat kätevämpiä käytännön käyttöön, niiden teoria on yksinkertaisempi kuin Napierin logaritmit... Siksi desimaalilogaritmeja kutsutaan joskus brigs-logaritmeiksi. Termin "ominaisuus" loi Briggs.

Noina kaukaisina aikoina, kun viisaat alkoivat ajatella tasa-arvoja, jotka sisälsivät tuntemattomia määriä, ei luultavasti vielä ollut kolikoita tai lompakkoa. Mutta toisaalta, siellä oli kasoja, samoin kuin ruukkuja, koreja, jotka sopisivat täydellisesti kätkö-varaston rooliin, sisältäen tuntemattoman määrän esineitä. Mesopotamian, Intian, Kiinan ja Kreikan muinaisissa matemaattisissa ongelmissa tuntemattomat määrät ilmaisivat riikinkukkojen lukumäärän puutarhassa, härkien lukumäärää laumassa, omaisuutta jaettaessa huomioon otettujen asioiden kokonaisuutta. Kirjanoppineet, laskentatieteeseen hyvin koulutetut virkamiehet ja salaiseen tietoon vihkiytyneet papit selviytyivät varsin hyvin tällaisista tehtävistä.

Meille tulleet lähteet todistavat, että muinaisilla tiedemiehillä oli joitain yleisiä menetelmiä ratkaista ongelmia tuntemattomilla määrillä. Yksikään papyrus tai yksittäinen savitabletti ei kuitenkaan sisällä kuvausta näistä tekniikoista. Kirjoittajat vain satunnaisesti lisäsivät numeerisiin laskelmiinsa niukkoja kommentteja, kuten: "Katso!", "Tee tämä!", "Löysit sen oikein." Tässä mielessä poikkeus on kreikkalaisen matemaatikon Diophantus Aleksandrialaisen (III vuosisadan) "aritmetiikka" - kokoelma yhtälöiden laatimiseen liittyviä ongelmia ja niiden ratkaisujen systemaattinen esittely.

Ensimmäinen laajalti tunnettu opas ongelmien ratkaisemiseen oli kuitenkin 800-luvun bagdaditutkijan työ. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Sana "al-jabr" tämän tutkielman arabiankielisestä nimestä - "Kitab al-jerber wal-muqabala" ("Restauroinnin ja opposition kirja") - muuttui ajan myötä tunnetuksi sanaksi "algebra", ja al- Khwarizmin työ itsessään toimi lähtökohtana yhtälöiden ratkaisemisen tieteen muodostumisessa.

Logaritmiset yhtälöt ja epäyhtälöt

1. Logaritmiset yhtälöt

Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman logaritmin merkin alla tai sen pohjassa, kutsutaan logaritmiksi yhtälöksi.

Yksinkertaisin logaritminen yhtälö on muodon yhtälö

Hirsi a x = b . (1)

Lausunto 1. Jos a > 0, a≠ 1, yhtälö (1) mille tahansa reaaliarvolle b on ainoa ratkaisu x = a b .

Esimerkki 1. Ratkaise yhtälöt:

a) loki 2 x= 3, b) log 3 x= -1, c)

Ratkaisu. Väitettä 1 käyttämällä saamme a) x= 2 3 tai x= 8; b) x= 3 -1 tai x= 1/3; c)

Tässä ovat logaritmin tärkeimmät ominaisuudet.

P1. Logaritmisen perusidentiteetti:

missä a > 0, a≠ 1 ja b > 0.

P2. Positiivisten tekijöiden tulon logaritmi on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden logaritmien summa:

Hirsi a N 1 · N 2 = loki a N 1 + loki a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Kommentti. Jos N 1 · N 2> 0, niin ominaisuus P2 saa muodon

Hirsi a N 1 · N 2 = loki a |N 1 | + loki a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

P3. Kahden positiivisen luvun osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan logaritmien välinen ero

Kommentti. Jos

P4. Positiivisen luvun potenssin logaritmi on yhtä suuri kuin eksponentin tulo tämän luvun logaritmilla:

Hirsi a N k = k Hirsi a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Kommentti. Jos k- tasaluku ( k = 2s), sitten

Hirsi a N 2s = 2s Hirsi a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Toiseen kantaan siirtymisen kaava:

varsinkin jos N = b, saamme

Ominaisuuksien P4 ja P5 avulla on helppo saada seuraavat ominaisuudet

ja jos kohdassa (5) c- tasaluku ( c = 2n), tapahtuu

Luettelemme myös logaritmisen funktion pääominaisuudet f (x) = loki a x :

1. Logaritmisen funktion määritelmäalue on joukko positiivisia lukuja.

2. Logaritmisen funktion arvoalue on joukko reaalilukuja.

3. Milloin a> 1 logaritminen funktio on tiukasti kasvava (0< x 1 < x 2 loki a x 1 < loga x 2) ja 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 loki a x 1> loki a x 2).

4.loki a 1 = 0 ja log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Jos a> 1, niin logaritminen funktio on negatiivinen x(0; 1) ja on positiivinen x(1; + ∞), ja jos 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0; 1) ja on negatiivinen x (1;+∞).

6. Jos a> 1, niin logaritminen funktio on kupera ylöspäin, ja jos a(0; 1) - kupera alaspäin.

Ratkaisussa käytetään seuraavia lauseita (katso esimerkiksi). logaritmiset yhtälöt.

Luuletko, että tenttiin on vielä aikaa ja ehdit valmistautua? Ehkä näin on. Mutta joka tapauksessa, mitä aikaisemmin opiskelija aloittaa harjoittelun, sitä menestyksekkäämmin hän läpäisee kokeet. Tänään päätimme omistaa artikkelin logaritmisille epäyhtälöille. Tämä on yksi tehtävistä, mikä tarkoittaa mahdollisuutta saada lisäpiste.

Tiedätkö jo mikä logaritmi on? Toivomme todella niin. Mutta vaikka sinulla ei olisi vastausta tähän kysymykseen, se ei ole ongelma. On erittäin helppo ymmärtää, mikä logaritmi on.

Miksi juuri 4? Sinun on nostettava luku 3 sellaiseen potenssiin saadaksesi 81. Kun ymmärrät periaatteen, voit siirtyä monimutkaisempiin laskelmiin.

Ylitit eriarvoisuudet muutama vuosi sitten. Ja siitä lähtien niitä on kohdattu jatkuvasti matematiikassa. Jos sinulla on ongelmia eriarvoisuuksien ratkaisemisessa, katso vastaava luku.
Nyt kun olemme oppineet tuntemaan käsitteet erikseen, siirrytään tarkastelemaan niitä yleisesti.

Yksinkertaisin logaritminen epäyhtälö.

Yksinkertaisimmat logaritmiset epäyhtälöt eivät rajoitu tähän esimerkkiin, niitä on kolme lisää, vain eri etumerkeillä. Miksi tätä tarvitaan? Ymmärtää paremmin, kuinka epäyhtälö ratkaistaan ​​logaritmeilla. Annamme nyt sopivamman esimerkin, se on edelleen melko yksinkertainen, jätämme monimutkaiset logaritmiset epäyhtälöt myöhempään.

Kuinka ratkaista tämä? Kaikki alkaa ODZ:stä. Siitä kannattaa tietää enemmän, jos haluaa aina helposti ratkaista epätasa-arvon.

Mikä on ODU? ODV logaritmisille epäyhtälöille

Lyhenne tarkoittaa voimassa olevien arvojen aluetta. Tenttitehtävissä tämä sanamuoto tulee usein esiin. ODZ on hyödyllinen sinulle paitsi logaritmisen epäyhtälöiden tapauksessa.

Katsokaa vielä kerran yllä olevaa esimerkkiä. Käsittelemme DHS:n sen perusteella, jotta ymmärrät periaatteen, eikä logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisu herätä kysymyksiä. Logaritmin määritelmästä seuraa, että 2x + 4 on oltava suurempi kuin nolla. Meidän tapauksessamme tämä tarkoittaa seuraavaa.

Tämän luvun on määritelmän mukaan oltava positiivinen. Ratkaise yllä oleva epäyhtälö. Tämä voidaan tehdä jopa suullisesti, tässä on selvää, että X ei voi olla pienempi kuin 2. Ratkaisu epäyhtälöön on sallittujen arvojen alueen määrittely.
Siirrytään nyt yksinkertaisimman logaritmisen epäyhtälön ratkaisemiseen.

Hylkäämme itse logaritmit epäyhtälön molemmilta puolilta. Mitä meille jää tämän seurauksena? Yksinkertainen eriarvoisuus.

Sen ratkaiseminen ei ole vaikeaa. X:n on oltava suurempi kuin -0,5. Nyt yhdistämme kaksi saatua arvoa järjestelmään. Täten,

Tämä on tarkastellun logaritmisen epäyhtälön sallittujen arvojen alue.

Miksi ylipäätään tarvitset ODZ:ta? Tämä on tilaisuus karsia pois vääriä ja mahdottomia vastauksia. Jos vastaus ei ole hyväksyttävien arvojen alueella, vastauksessa ei yksinkertaisesti ole järkeä. Tämä on syytä muistaa pitkään, koska kokeessa on usein tarpeen etsiä ODZ: tä, eikä se koske vain logaritmisia epäyhtälöitä.

Algoritmi logaritmisen epäyhtälön ratkaisemiseksi

Ratkaisu koostuu useista vaiheista. Ensin sinun on löydettävä kelvollisten arvojen alue. ODZ:ssä on kaksi arvoa, keskustelimme tästä edellä. Seuraavaksi sinun on ratkaistava itse epätasa-arvo. Ratkaisumenetelmät ovat seuraavat:

• kertoimen korvausmenetelmä;
• hajoaminen;
• rationalisointimenetelmä.

Tilanteesta riippuen sinun tulee käyttää jotakin yllä olevista menetelmistä. Siirrytään suoraan ratkaisuun. Paljastamme suosituimman menetelmän, joka sopii USE-tehtävien ratkaisemiseen lähes kaikissa tapauksissa. Seuraavaksi tarkastellaan hajoamismenetelmää. Se voi auttaa, jos törmäät erityisen hankalaan eriarvoisuuteen. Joten algoritmi logaritmisen epäyhtälön ratkaisemiseksi.

Ratkaisuesimerkkejä :

Emme ole ottaneet tällaista epätasa-arvoa turhaan! Kiinnitä huomiota pohjaan. Muista: jos se on suurempi kuin yksi, merkki pysyy samana, kun hyväksyttävien arvojen alue löytyy; muussa tapauksessa epäyhtälömerkki on vaihdettava.

Tuloksena saamme epätasa-arvon:

Nyt tuomme vasemman puolen yhtälön muotoon, joka on yhtä suuri kuin nolla. Merkin "vähemmän" sijaan laitamme "yhtä", ratkaise yhtälö. Siten löydämme ODZ:n. Toivomme, että tähän saadaan ratkaisu yksinkertainen yhtälö sinulla ei ole ongelmaa. Vastaukset ovat -4 ja -2. Ei siinä kaikki. Sinun on näytettävä nämä pisteet kaaviossa, sijoita "+" ja "-". Mitä tälle pitää tehdä? Korvaa lausekkeen numerot intervalleista. Jos arvot ovat positiivisia, laitamme sinne "+".

Vastaus: x ei voi olla suurempi kuin -4 ja pienempi kuin -2.

Löysimme kelvollisten arvojen alueen vain vasemmalle puolelle, nyt meidän on löydettävä kelvollisten arvojen alue oikealle puolelle. Tämä on paljon helpompaa. Vastaus: -2. Leikkaamme molemmat saadut alueet.

Ja vasta nyt alamme puuttua itse eriarvoisuuteen.

Yksinkertaistetaan sitä mahdollisimman paljon, jotta se on helpompi ratkaista.

Käytä välitysmenetelmää uudelleen liuoksessa. Jätetään laskelmat pois, hänen kanssaan kaikki on jo selvää edellisestä esimerkistä. Vastaus.

Mutta tämä menetelmä sopii, jos logaritmisella epäyhtälöllä on sama perusta.

Logaritmisen yhtälön ja epäyhtälöiden ratkaisu eri syistä edellyttää alustavan vähentämisen yhteen kantaan. Noudata sitten yllä olevaa menetelmää. Mutta niitä on enemmän vaikea tapaus... Harkitse yhtä eniten monimutkaiset lajit logaritmiset epäyhtälöt.

Muuttuvan kantalogaritmiset epäyhtälöt

Kuinka ratkaista epätasa-arvo tällaisilla ominaisuuksilla? Kyllä, ja sellaisia ​​löytyy kokeesta. Eriarvoisuuksien ratkaiseminen seuraavalla tavalla on hyödyllistä myös sinulle koulutusprosessi... Selvitetään se yksityiskohtaisesti... Hylätään teoria, siirrytään suoraan käytäntöön. Logaritmisen epäyhtälön ratkaisemiseksi riittää, että esimerkki luetaan kerran.

Esitetyn muodon logaritmisen epäyhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen pelkistää oikea puoli logaritmiin, jolla on sama kanta. Periaate muistuttaa vastaavia siirtymiä. Tämän seurauksena eriarvoisuus näyttää tältä.

Itse asiassa on vielä luotava epäyhtälöjärjestelmä ilman logaritmeja. Rationalisointimenetelmällä siirrytään vastaavaan epäyhtälöjärjestelmään. Ymmärrät itse säännön, kun korvaat sopivat arvot ja seuraat niiden muutoksia. Järjestelmässä on seuraavat epätasa-arvot.

Kun käytät rationalisointimenetelmää epäyhtälöiden ratkaisemisessa, sinun on muistettava seuraava: kannasta on vähennettävä yksi, x vähennetään logaritmin määritelmän mukaan epäyhtälön molemmilta puolilta (oikea vasemmalta), kaksi lauseketta kerrotaan ja asetetaan alkuperäisen merkin alle suhteessa nollaan.

Lisäratkaisu suoritetaan intervallimenetelmällä, kaikki on yksinkertaista täällä. On tärkeää, että ymmärrät ratkaisumenetelmien erot, niin kaikki alkaa sujua helposti.

Logaritmisissa epäyhtälöissä on monia vivahteita. Yksinkertaisimmat niistä ovat riittävän helppoja ratkaista. Kuinka varmistaa, että voit ratkaista jokaisen niistä ilman ongelmia? Olet jo saanut kaikki vastaukset tässä artikkelissa. Nyt sinulla on pitkä harjoitus edessäsi. Harjoittele johdonmukaisesti erilaisten ongelmien ratkaisemista kokeessa, niin saat korkeimman pistemäärän. Onnea vaikeassa yrityksessäsi!

Kaikista logaritmisista epäyhtälöistä tutkitaan erikseen epäyhtälöitä, joilla on muuttuva kanta. Ne ratkaistaan ​​erityisellä kaavalla, jota jostain syystä harvoin kerrotaan koulussa:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

"∨"-valintaruudun sijaan voit laittaa minkä tahansa epäyhtälömerkin: enemmän tai vähemmän. Pääasia on, että molemmissa epäyhtälöissä merkit ovat samat.

Joten pääsemme eroon logaritmeista ja pelkistämme ongelman rationaaliseksi epätasa-arvoksi. Jälkimmäinen on paljon helpompi ratkaista, mutta logaritmeja pudotettaessa voi ilmaantua tarpeettomia juuria. Niiden katkaisemiseksi riittää, että löydetään hyväksyttävien arvojen alue. Jos olet unohtanut logaritmin ODZ:n, suosittelen sen toistamista - katso "Mikä on logaritmi".

Kaikki sallittujen arvojen alueeseen liittyvä on kirjoitettava ja ratkaistava erikseen:

f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.

Nämä neljä eriarvoisuutta muodostavat järjestelmän, ja ne on täytettävä samanaikaisesti. Kun kelvollisten arvojen alue löytyy, jää ylittää se ratkaisun kanssa rationaalinen eriarvoisuus- ja vastaus on valmis.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Aluksi kirjoitetaan logaritmin ODZ:

Kaksi ensimmäistä epäyhtälöä täyttyvät automaattisesti, ja viimeinen on kuvattava. Koska luvun neliö on nolla silloin ja vain jos itse luku on nolla, meillä on:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Osoittautuu, että logaritmin ODZ on kaikki luvut paitsi nolla: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Nyt ratkaisemme pääepätasa-arvon:

Suoritamme siirtymisen logaritmisesta epäyhtälöstä rationaaliseen. Alkuperäisessä epäyhtälössä on "vähemmän"-merkki, mikä tarkoittaa, että tuloksena olevan eriarvoisuuden tulee olla myös "vähemmän"-merkillä. Meillä on:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Tämän lausekkeen nollat: x = 3; x = -3; x = 0. Lisäksi x = 0 on toisen kerrannaisarvon juuri, mikä tarkoittaa, että sen läpi kulkiessaan funktion etumerkki ei muutu. Meillä on:

Saamme x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Tämä joukko sisältyy kokonaan logaritmin ODZ:hen, mikä tarkoittaa, että tämä on vastaus.

Logaritmisen epäyhtälöiden muuntaminen

Usein alkuperäinen epäyhtälö poikkeaa yllä olevasta. Se on helppo korjata logaritmien kanssa työskentelyn standardisääntöjen mukaisesti - katso "Logaritmien perusominaisuudet". Nimittäin:

1. Mikä tahansa luku voidaan esittää logaritmina tietyllä kantalla;
2. Saman kantavuuden logaritmien summa ja ero voidaan korvata yhdellä logaritmilla.

Haluaisin myös muistuttaa hyväksyttävien arvojen vaihteluvälistä. Koska alkuperäinen epäyhtälö voi sisältää useita logaritmeja, jokaiselle niistä on löydettävä ODV. Täten, yleinen kaava logaritmisen epäyhtälöiden ratkaisut ovat seuraavat:

1. Etsi jokaisen epäyhtälöön sisältyvän logaritmin ODV;
2. Pienennä epäyhtälö standardiin logaritmien yhteen- ja vähennyskaavojen mukaisesti;
3. Ratkaise tuloksena oleva epäyhtälö yllä olevan kaavion mukaisesti.

Tehtävä. Ratkaise epäyhtälö:

Etsitään ensimmäisen logaritmin määritelmäalue (ODZ):

Ratkaisemme intervallimenetelmällä. Etsi osoittajan nollat:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Sitten - nimittäjän nollat:

x - 1 = 0;
x = 1.

Merkitsemme nollat ​​ja merkit koordinaattinuoleen:

Saamme x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). ODV:n toinen logaritmi on sama. Jos et usko, voit tarkistaa sen. Nyt muunnamme toisen logaritmin siten, että pohjassa on kaksi:

Kuten näet, kolmoset tyvessä ja logaritmin edessä ovat supistuneet. Vastaanotettu kaksi logaritmia samalla kantavalla. Lisäämme ne:

loki 2 (x - 1) 2< 2;
loki 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Vastaanotettu vakiologaritminen epäyhtälö. Logaritmeista päästään eroon kaavan avulla. Koska alkuperäinen epäyhtälö sisältää pienempi kuin -merkin, tuloksena olevan rationaalisen lausekkeen tulee myös olla pienempi kuin nolla. Meillä on:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (-1; 3).

Meillä on kaksi settiä:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
2. Vastausehdokas: x ∈ (−1; 3).

On vielä ylitettävä nämä joukot - saamme todellisen vastauksen:

Olemme kiinnostuneita joukkojen leikkauspisteestä, joten valitse molempiin nuoliin täytetyt intervallit. Saamme x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - kaikki pisteet on pisteytetty.