Tässä 11. luokan esityksessä tarkastelemme kehon tilavuuden käsitettä, ruumiin tilavuuden ominaisuuksia ja ratkaisemme useita ongelmia.
Aiemmin opiskelijat tutustuivat geometristen muotojen pinta-alan laskemiseen. Pinta-ala on muodon koko, joka on samalla tasolla.
Jos luku ei ole yhdessä tasossa, vaan avaruudessa, sitten puhumme sen koosta, siirrymme äänenvoimakkuuden käsitteeseen. Kolmannen dian esityksessä kuvataan kolmiulotteisia kappaleita, joiden muoto ja tilavuus on erilainen: amfora, tynnyri, ämpäri. Kirjoittaja esittelee kuutiosenttimetrin käsitteen - katso seuraava kuva: 1 cm suoralla viivalla, 1 neliösenttimetri pinta-alayksikkönä ja 1 kuutiosenttimetri ruumiin tilavuusyksikkönä näytetään. Yhdelle kuutiosenttimetrille on ominaista kolme runkokokoa: pituus, leveys ja korkeus, mikä näkyy selvästi kuvassa.
1) Samojen kappaleiden tilavuudet ovat samat.
2) Jos runko koostuu useista kappaleista, sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden tilavuuksien summa. Kuvassa on kuva, joka koostuu kahdesta luvusta F ja Q. Tämän jälkeen tämän kuvan tilavuus voidaan kirjoittaa muodossa V \u003d V F + V Q.
3) Jos yksi kappale sisältää toisen, ensimmäisen ruumiin tilavuus ei ole pienempi kuin toisen ruumiin tilavuus. Kuvassa on kuutio, jonka sivu \u003d 1 cm. Kuution sisällä on kuutio, jonka sivu on 1 / 5cm. Ensimmäisen kuution tilavuus on V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3. Sisäisen kuution tilavuus on V 1 \u003d (1/5) 3 \u003d 1/125 cm 3.
Saimme, että 1 cm 3\u003e 1/125 cm 3, ts. V\u003e V 1.
Kiinnitä huomiota seuraavalle dialle: seurauksena kuution, jonka reuna on 1 / n, tilavuus on 1 / n 3. Todiste tästä lausunnosta annetaan. Oletetaan, että kuutio, jonka sivu on \u003d 1 cm, annetaan ja kuutio on ensimmäisen kuution sisällä, jonka sivu on 1 \u003d 1 / n cm, ensimmäisen kuution tilavuus on V \u003d a 3 \u003d 1 cm 3. Kuution sisätilojen tilavuus on V 1 \u003d (1 / n ) 3 \u003d 1 / n 3 cm 3. Q.E.D.
Sovelletaan kappaleiden tilavuuksien ominaisuuksia käytännössä ongelmien ratkaisemisessa.
Tehtävä 1. Annetaan runko, joka koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta putkesta, päällekkäin (katso kuva). Näiden suuntaissärmiöiden leveys, pituus ja korkeus tunnetaan: a c, b c, h c ja a 3, b 3, h 3. On tarpeen löytää koko kehon tilavuus. Määritä ensimmäisen suuntaissärmiön tilavuus V c \u003d a cxbcxhc \u003d 36. Laske analogisesti ensimmäisen suuntaissärmiön tilavuus V 3 \u003d a 3 xb 3 xh 3 \u003d 3. Koko rungon tilavuus löydetään käyttämällä kappaleiden tilavuuksien toista ominaisuutta: V \u003d V c + V 3 \u003d 39 ...
Tehtävä 2. Kuvassa on tiili, jonka mitat ovat tiedossa: pituus 250, leveys 120, korkeus 65. Kun otetaan huomioon aukon mitat 2200 x 120 x 700. On tarpeen määrittää, kuinka monta tiiliä mahtuu tähän aukkoon. Selvitä yhden tiilin tilavuus V 1 \u003d a 1 x b 1 x h 1. Etsi aukon tilavuus samanlaisella kaavalla V 2 \u003d a 2 x b 2 x h 2. Sitten V 2 / V 1 merkitsee aukkoon sopivien tiilien lukumäärän. Huomaa - emme ehkä löydä tiilen ja aukon tilavuutta erikseen, koska tällainen tehtävä ei ole sen arvoinen, mutta laske heti tiilien lukumäärä V 2 / V 1.
Opettaja voi käyttää tätä esitystä oppitunnilla, ja opiskelijat voivat myös laatia sen itsenäisesti.
Rungon tilavuudet
Koonnut: Yuminova Olesya Viktorovna, matematiikanopettaja Krasnojarskin maatalousopistossa
Oppitunnin tavoitteet:
Esittele kappaleiden tilavuuden käsite, sen ominaisuudet, tilavuuden mittayksiköt. Toista opiskelijoiden kanssa kaavat, joilla etsitään suuntaissärmiön, kuution tilavuus. Opastetaan opiskelijat suoran prisman, pyramidin, sylinterin ja kartion tilavuuteen visuaalisten ja havainnollistavien näkökohtien johdosta.
Aivan kuten kaikki taiteet vetoavat kohti musiikkia, kaikki tieteet vetoavat kohti matematiikkaa. D. Santayana
Geometria on taiteellinen päättely vääristä piirustuksista. Poya D.
Alue Monikulmion pinta-ala on sen tason tason positiivinen arvo, jonka monikulmio vie.
Tilavuus Rungon tilavuus on geometrisen kappaleen viemän tilan osan positiivinen arvo.
Pinta-alan ominaisuudet: 1. Yhtä monikulmioilla on samat alueet
Tilavuusominaisuudet: 1. Samoilla kappaleilla on sama tilavuus
F1
F2
F1
F2
2. Jos monikulmio koostuu useista polygoneista, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden polygonien pinta-alojen summa. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4
2. Jos kappale koostuu useista kappaleista, sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden tilavuuksien summa. VF \u003d VF1 + VF2
Pinta-ala pinta-alayksikköä varten otetaan neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha jne.
Tilavuus Tilavuuden mittayksikköä varten otetaan kuutio, jonka reuna on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö. Kuutiota, jonka reuna on 1 cm, kutsutaan kuutiosenttimetriksi ja sitä kutsutaan cm3: ksi. Samoin määritetään 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 jne.
1
1
1
1
1
Pinta-ala Yhtä pinta-ala on geometrisia muotoja, joilla on samat alueet
Tilavuus Yhtä pinta-alat ovat kappaleita, joiden tilavuudet ovat samat
VF \u003d VF1
F2
F1
F2
F1
SF \u003d SF1
Stereometriassa otetaan huomioon polyhedronien ja vallankumouskappaleiden tilavuudet.
Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus:
a-pituus b-leveys c- korkeus V \u003d a.b.c Sb \u003d a.b V \u003d Sb.H
Kuution tilavuus:
V \u003d a3 V \u003d Sb.H
Sbn \u003d a2
Suora prisman tilavuus:
V \u003d Sb.H
Vparal \u003d Sb.H Sb. \u003d 2.SABC Tilavuuksien ominaisuudella Vparal \u003d 2.SABC.H V prismat \u003d (V rinnakkainen): 2 V prismat \u003d (2.SABС. H): 2
Pyramidin tilavuus:
Pyramidit 2 ja 3 - SC- yhteiset, tr CC1B1 \u003d tr CBB1 Y 1 ja 3 pyramidit - CS- yhteiset, tr SAB \u003d tr BB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 V prismat \u003d 3 V pyramidit V pyramidit \u003d 1 V prismat 3 V pyramidit \u003d 1 Sbn H 3
Viimeistellään pyramidi ABCS prismaan saakka. Valmistunut prisma koostuu kolmesta pyramidista - SABC, SCC1B1, SCBB1
Sylinterin tilavuus:
Selite: R - kantasäde H - korkeus L - generaattori L \u003d H V - sylinterin tilavuus
V \u003d PR2H - tilavuus V \u003d Sb.H Sbn \u003d PR2
Kartio:
SELITYS: R - perussäde L - kartion generaattori H - korkeus V - tilavuus V \u003d 1ПR2Н 3 - tilavuus
Se on kiinnostavaa:
Geologiassa on käsite "tuuletin". Tämä on eräänlaista helpotusta, joka muodostuu vuoristojoiden kuljettamien klastisten kivien kasautumisesta juuren tasangolle tai tasaisemmalle laaksolle.
Biologiassa on käsite "kasvava kartio". Tämä on kasvien verson ja juuren kärki, joka koostuu kasvatuskudoksen soluista.
"Käpyjä" tarkoitetaan syvän haarojen alaluokkaan kuuluvien merilevien perhettä. Kartion purenta on erittäin vaarallinen. Kuolemantapauksia on raportoitu.
Fysiikassa kohdataan "kiinteän kulman" käsite. Se on kapeneva kulma, joka on leikattu palloksi.
Testaa tietosi:
Määritä äänenvoimakkuuden käsite. Muotoile kehon tilavuuden perusominaisuudet. Mitkä ovat kappaleiden tilavuuden mittayksiköt? Mikä on tilavuuden mittauskaava - suorakulmainen yhdensuuntainen; - kuution tilavuus - suoran prisman määrä; - pyramidin tilavuus - sylinterin tilavuus ja kartion tilavuus. Muuttuuko sylinterin tilavuus, jos sen pohjan säde kaksinkertaistuu ja korkeutta pienennetään neljällä? V \u003d ПR2H V \u003d П (2R) 2. H \u003d П4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Kahden saman korkeuden pyramidin pohjat ovat nelikulmioita, joiden sivut ovat vastaavasti. Ovatko näiden pyramidien tilavuudet samat? Mistä ruumiista koostuu runko, joka on saatu pyörittämällä tasakylkistä trapetsia suuremman pohjan ympärillä?
Kotitehtävät:
Opi kaavoja kappaleiden määrille, määritelmille. Nro 648 (a, c), nro 685, nro 666 (a, c)
Läpäistyn materiaalin vahvistaminen:
Tehtävä nro 1 Kolme messinkikuutiota, joiden reunat ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm, sulatetaan yhdeksi kuutioksi. Mikä reuna tässä kuutiossa on? + + \u003d
Dia 2
Oppitunnin tavoitteet:
Esittele kappaleiden tilavuuden käsite, sen ominaisuudet, tilavuuden mittayksiköt. Toista opiskelijoiden kanssa kaavat, joilla etsitään suuntaissärmiön, kuution tilavuus. Opastetaan opiskelijat suoran prisman, pyramidin, sylinterin ja kartion tilavuuteen visuaalisten ja havainnollistavien näkökohtien johdosta.
Dia 3
Aivan kuten kaikki taiteet vetoavat kohti musiikkia, kaikki tieteet vetoavat kohti matematiikkaa. D. Santayana
Dia 4
Geometria on taiteellinen päättely vääristä piirustuksista. Poya D.
Dia 5
Alue Monikulmion pinta-ala on sen tason tason positiivinen arvo, jonka monikulmio vie. Tilavuus Rungon tilavuus on geometrisen kappaleen viemän tilan osan positiivinen arvo.
Dia 6
Pinta-alojen ominaisuudet: 1. Yhtäläisillä polygoneilla on samat alueet Tilavuuksien ominaisuudet: 1. Yhtäläisillä kappaleilla on samat tilavuudet F1 F2 F1 F2
Dia 7
2. Jos monikulmio koostuu useista polygoneista, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden polygonien pinta-alojen summa. SF \u003d SF1 + SF2 + SF3 + SF4 2. Jos kappale koostuu useammasta kappaleesta, sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden tilavuuksien summa. VF \u003d VF1 + VF2 F2 F3 F1 F4
Dia 8
Pinta-ala pinta-alayksikköä varten otetaan neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö. 1 km2, 1 m2, 1 dm2, 1 cm2, 1 mm2, 1 a, 1 ha jne. Tilavuus Tilavuuden mittayksikköä varten otetaan kuutio, jonka reuna on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö. Kuutiota, jonka reuna on 1 cm, kutsutaan kuutiosenttimetriksi ja sitä kutsutaan cm3: ksi. Samoin määritetään 1 m3, 1 dm3, 1 cm3, 1 mm3 jne. 1 1 1 1 1
Dia 9
Pinta-ala Yhtäläiset alueet ovat geometrisia kuvioita, joilla on samat alueet Tilavuus Yhtä suuret alueet ovat kappaleita, joiden tilavuudet ovat yhtä suuret kuin VF \u003d VF1 F2 F1 F2 F1 SF \u003d SF1
Dia 10
Stereometriassa otetaan huomioon polyhedronien ja vallankumouskappaleiden tilavuudet.
Dia 11
Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus:
a-pituus b-leveys c- korkeus V \u003d a.b.c Sbase \u003d a.b V \u003d Sbase H a c c
Dia 12
Kuution tilavuus:
V \u003d a3 V \u003d Sb.Ha ja a a Sbn \u003d a2
Dia 13
Suora prisman tilavuus:
V \u003d Sb.H Vparal \u003d Sbn.H Sbase \u003d 2.SABC Tilavuuksien ominaisuudella Vparal \u003d 2.SABC.H V prismat \u003d (V rinnakkainen): 2 V prismat \u003d (2.SABС. H): 2
Dia 14
Pyramidin tilavuus:
Pyramideilla 2 ja 3 on SC- yhteinen, trCC1B1 \u003d trCBB1 Y 1 ja 3 pyramidia - CS- yhteinen, trSAB \u003d trBB1S V1 \u003d V2 \u003d V3 Vprismat \u003d 3 V pyramidit Vpyramidit \u003d 1 V prismat 3 Vpyramidit \u003d 1 basaalinen H 3 pyramidi ABCS ennen prismaa. Valmistunut prisma koostuu 3 pyramidista - SABC, SCC1B1, SCBB1
Dia 15
Sylinterin tilavuus:
Selite: R- kantasäde H- korkeus L - generaattori L \u003d H V - sylinterin tilavuus V \u003d PR2H - tilavuus V \u003d Sbase H Sbase \u003d PR2 L
Dia 16
Kartio:
SELITYS: R - perussäde L - kartion generaattori H - korkeus V - tilavuus V \u003d 1ПR2Н 3 - tilavuus
Dia 18
Testaa tietosi:
Määritä äänenvoimakkuuden käsite. Muotoile kehon tilavuuden perusominaisuudet. Mitkä ovat kappaleiden tilavuuden mittayksiköt? Mikä on tilavuuden mittauskaava - suorakulmainen yhdensuuntainen; - kuution tilavuus - suoran prisman määrä; - pyramidin tilavuus - sylinterin tilavuus ja kartion tilavuus. Muuttuuko sylinterin tilavuus, jos sen pohjan säde kaksinkertaistuu ja korkeutta pienennetään neljällä? V \u003d ПR2HV \u003d П (2R) 2. H \u003d П4R2. H \u003d PR2. H 4 4 Kahden saman korkeuden pyramidin pohjat ovat nelikulmioita, joiden sivut ovat vastaavasti. Ovatko näiden pyramidien tilavuudet samat? Mistä ruumiista koostuu runko, joka on saatu pyörittämällä tasakylkistä trapetsia suuremman pohjan ympärillä?
Dia 19
Kotitehtävät:
Opi kaavoja kappaleiden määrille, määritelmille. Nro 648 (a, c), nro 685, nro 666 (a, c)
Dia 20
Läpäistyn materiaalin vahvistaminen:
Tehtävä nro 1 Kolme messinkikuutiota, joiden reunat ovat 3 cm, 4 cm ja 5 cm, sulatetaan yhdeksi kuutioksi. Mikä reuna tässä kuutiossa on? + + \u003d a1 a2 a3?
Dia 21
Ratkaisu: VF \u003d VF1 + VF2 + VF3 VF1 \u003d 33 \u003d 27 (cm3) VF2 \u003d 43 \u003d 64 (cm3) VF3 \u003d 53 \u003d 125 (cm3) VF \u003d 27 + 64 + 125 \u003d 216 (cm3) VF \u003d а3 а3 \u003d 216 (cm3) a \u003d 6 (cm) Vastaus: Kuution reuna on 6 cm.
MÄÄRÄN KÄSITE
MÄÄRÄN KÄSITE
S on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
V on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
1. Yhtä suurilla paloilla on samat alueet.
2. Jos luku koostuu useista luvuista, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden kuvien pinta-alojen summa.
3. Alueen mittayksikkönä otetaan yleensä neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö.
MÄÄRÄN KÄSITE
Kaksi kehoa kutsutaan yhtä suuriksi, jos ne voidaan asettaa päällekkäin
S on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
V on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
1. Yhtä suurilla paloilla on samat alueet.
Samoilla kappaleilla on sama tilavuus.
2. Jos luku koostuu useista luvuista, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden kuvien pinta-alojen summa.
3. Alueen mittayksikkönä otetaan yleensä neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö.
MÄÄRÄN KÄSITE
Koko kehon tilavuus muodostuu sen muodostavien kappaleiden tilavuudesta.
S on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
V on positiivinen arvo, jonka numeerisella arvolla on seuraavat ominaisuudet:
1. Yhtä suurilla paloilla on samat alueet.
Samoilla kappaleilla on sama tilavuus.
2. Jos luku koostuu useista luvuista, sen pinta-ala on yhtä suuri kuin näiden kuvien pinta-alojen summa.
Jos kappale koostuu useista kappaleista, sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden kappaleiden tilavuuksien summa.
3. Alueen mittayksikkönä otetaan yleensä neliö, jonka sivu on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö.
Tilavuuden mittayksikkönä otetaan yleensä kuutio, jonka reuna on yhtä suuri kuin segmenttien mittayksikkö.
MÄÄRÄN KÄSITE
Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus
Lause: Suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden tulo. a, b, c - suorakulmaisen suuntaissärmän mittaukset. V \u003d abc Seuraus 1: suorakulmaisen suuntaissärmiön tilavuus on yhtä suuri kuin alustan pinta-alan ja korkeuden tulo. V \u003d abc \u003d Sh.
Seuraus 2.
Suoran prisman tilavuus, jonka pohja on suorakulmainen kolmio, on yhtä suuri kuin korkeuden tulo. V \u003d SABCh.
Kirjallisuus:
Geometria 10-11: Oppikirja. oppilaitoksille / L.S. Atanasyan et ai., Enlightenment 2003 Geometrian tutkimus 10 - 11 luokassa: Menetelmä. Suosituksia oppikirjaan / S.M.Sahakyan, V.F. Butuzov, Education, 2001
Suoritettu:
E.A.Pakhomova matematiikan opettaja MOU SOSH s. Taiga
