Neka funkcija bude definirana parametarski:
(1)
gdje je neka varijabla koja se zove parametar. I neka funkcije i imaju derivate na nekoj vrijednosti varijable. Štaviše, funkcija također ima inverznu funkciju u nekom susjedstvu tačke. Tada funkcija (1) ima derivaciju u tački, koja je, u parametarskom obliku, određena formulama:
(2)

Ovdje i su derivati funkcija i u odnosu na varijablu (parametar). Često se pišu na sljedeći način:
;
.

Tada se sistem (2) može zapisati na sljedeći način:

Dokaz

Po uslovu, funkcija ima inverznu funkciju. Označimo ga kao
.
Tada se originalna funkcija može predstaviti kao složena funkcija:
.
Nađimo njegovu derivaciju koristeći pravila za razlikovanje kompleksnih i inverznih funkcija:
.

Pravilo je dokazano.

Dokaz na drugi način

Nađimo izvod na drugi način, na osnovu definicije derivacije funkcije u tački:
.
Hajde da uvedemo notaciju:
.
Tada prethodna formula poprima oblik:
.

Koristićemo činjenicu da funkcija ima inverznu funkciju u blizini tačke.
Hajde da uvedemo notaciju:
; ;
; .
Podijelite brojilac i imenilac razlomka sa:
.
U , . Onda
.

Pravilo je dokazano.

Derivati višeg reda

Za pronalaženje derivata viših redova potrebno je više puta izvršiti diferencijaciju. Pretpostavimo da trebamo pronaći izvod drugog reda parametarski definirane funkcije sljedećeg oblika:
(1)

Koristeći formulu (2) nalazimo prvu derivaciju, koja je također određena parametarski:
(2)

Označimo prvi izvod promenljivom:
.
Zatim, da biste pronašli drugi izvod funkcije u odnosu na varijablu, morate pronaći prvi izvod funkcije u odnosu na varijablu. Ovisnost varijable od varijable je također parametarski specificirana:
(3)
Upoređujući (3) sa formulama (1) i (2), nalazimo:

Sada izrazimo rezultat u terminima funkcija i. Da bismo to učinili, zamjenjujemo i primjenjujemo formulu za derivaciju razlomka:
.
Onda
.

Odavde dobijamo drugi izvod funkcije u odnosu na promenljivu:

Takođe je parametarski. Imajte na umu da se prvi red može napisati i ovako:
.

Nastavljajući proces, možete dobiti derivate funkcije varijable trećeg i višeg reda.

Imajte na umu da je moguće izostaviti notaciju za izvod. Može se napisati ovako:
;
.

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije definirane parametarski:

Rješenje

Pronađite derivate i u odnosu na.
Iz tabele derivata nalazimo:
;
.
Primjenjujemo:

.
Evo.

.
Evo.

Željeni derivat:
.

Odgovori

Primjer 2

Pronađite derivaciju funkcije izraženu u terminima parametra:

Rješenje

Proširimo zagrade koristeći formule za funkcije snage i korijene:
.

Pronađite derivat:

.

Pronađite izvod. Da bismo to učinili, uvodimo varijablu i primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.

.

Pronađite željenu derivaciju:
.

Odgovori

Primjer 3

Pronađite izvode drugog i trećeg reda funkcije parametarski date u primjeru 1:

Rješenje

U primjeru 1 pronašli smo izvod prvog reda:

Hajde da uvedemo notaciju. Tada je funkcija derivirana u odnosu na. Definiše se parametarski:

Da bismo pronašli drugi izvod u odnosu na, moramo pronaći prvi izvod u odnosu na.

Razlikovati po.
.
Pronašli smo izvod u odnosu na primjer 1:
.
Izvod drugog reda u odnosu na jednak je derivatu prvog reda s obzirom na:
.

Dakle, pronašli smo izvod drugog reda u parametarskom obliku:

Sada nalazimo izvod trećeg reda. Hajde da uvedemo notaciju. Zatim moramo pronaći izvod funkcije prvog reda, koji je zadan parametarski:

Pronađite izvod u odnosu na. Da bismo to učinili, prepisujemo ga u ekvivalentnom obliku:
.
Od
.

Izvod trećeg reda u odnosu na jednak je derivatu prvog reda u odnosu na:
.

Komentar

Možete izostaviti varijable i, koje su izvedene iz i, respektivno. Onda to možete napisati ovako:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Odgovori

U parametarskom predstavljanju, izvod drugog reda ima sljedeći oblik:

Derivat trećeg reda.

Do sada su razmatrane jednačine pravih na ravni, koje direktno povezuju trenutne koordinate tačaka ovih pravih. Međutim, često se koristi drugi način definiranja linije, u kojem se trenutne koordinate smatraju funkcijama treće varijable.

Neka su date dvije funkcije varijable

uzeti u obzir za iste vrijednosti t. Tada bilo koja od ovih vrijednosti t odgovara određenoj vrijednosti i određenoj vrijednosti y, i, prema tome, određenoj tački. Kada varijabla t prolazi kroz sve vrijednosti iz domene funkcija (73), tačka opisuje neku pravu C u ravni. Jednačine (73) se nazivaju parametarske jednačine ove linije, a varijabla parametar.

Pretpostavimo da funkcija ima inverznu funkciju. Zamjenom ove funkcije u drugu od jednadžbi (73) dobijamo jednačinu

izražavajući y kao funkciju

Složimo se da je ova funkcija data parametarski jednadžbama (73). Prijelaz sa ovih jednadžbi na jednačinu (74) naziva se isključenje parametara. Kada se razmatraju parametarski definirane funkcije, isključivanje parametra ne samo da nije potrebno, već i nije uvijek praktično moguće.

U mnogim slučajevima je mnogo zgodnije pitati različita značenja zatim izračunajte odgovarajuće vrijednosti argumenta i funkcije y koristeći formule (73).

Pogledajmo neke primjere.

Primjer 1. Neka je proizvoljna tačka kružnice sa centrom u početku i poluprečnikom R. Dekartovske koordinate x i y ove tačke izražene su u terminima njenog polarnog radijusa i polarnog ugla, koje ovde označavamo sa t, na sledeći način ( vidi poglavlje I, § 3, str. 3):

Jednačine (75) se nazivaju parametarske jednačine kruga. Parametar u njima je polarni ugao, koji varira od 0 do.

Ako se jednačine (75) kvadriraju član po član i dodaju, onda će na osnovu identičnosti parametar biti eliminisan i dobiće se jednačina kružnice u kartezijanskom koordinatnom sistemu, koja određuje dve elementarne funkcije:

Svaka od ovih funkcija je parametarski specificirana jednadžbama (75), ali su rasponi varijacije parametara za ove funkcije različiti. Za prvu; graf ove funkcije je gornji polukrug. Za drugu funkciju, njen graf je donji polukrug.

Primjer 2. Razmotrimo istovremeno elipsu

i kružnicu sa centrom u početku i poluprečniku a (Sl. 138).

Svakoj tački M elipse pridružujemo tačku N kružnice koja ima istu apscisu kao tačka M, i nalazi se s njom na jednoj strani ose Ox. Položaj tačke N, a time i tačke M, potpuno je određen polarnim uglom tačke t. U ovom slučaju za njihovu zajedničku apscisu dobijamo sledeći izraz: x = a. Pronalazimo ordinatu u tački M iz jednačine elipse:

Znak je odabran jer ordinata u tački M i ordinata tačke N moraju imati iste predznake.

Tako se za elipsu dobijaju sljedeće parametarske jednačine:

Ovdje se parametar t kreće od 0 do.

Primer 3. Razmotrimo kružnicu sa centrom u tački a) i poluprečnika a, koja očigledno dodiruje osu apscise u početku (Sl. 139). Pretpostavimo da se ovaj krug kotrlja bez klizanja duž ose apscise. Tada tačka M kružnice, koja se u početnom trenutku poklopila sa ishodištem, opisuje pravu zvanu cikloida.

Izvedemo parametarske jednadžbe cikloide, uzimajući kao parametar t ugao MCW rotacije kruga pri pomicanju njegove fiksne tačke iz položaja O u položaj M. Tada za koordinate i y tačke M dobijamo sljedeći izrazi:

Zbog činjenice da se krug kotrlja duž ose bez klizanja, dužina OB segmenta jednaka je dužini BM luka. Pošto je dužina luka BM jednaka proizvodu poluprečnika a i centralnog ugla t, onda. Zbog toga . Ali shodno tome,

Ove jednačine su parametarske jednačine cikloide. Kada se parametar t promijeni sa 0 na, krug će napraviti jedan potpuni okret. Tačka M će opisati jedan luk cikloide.

Eliminacija parametra t ovdje dovodi do glomaznih izraza i praktično je nepraktična.

Parametrijska definicija linija se posebno često koristi u mehanici, gdje vrijeme igra ulogu parametra.

Primjer 4. Odredimo putanju projektila ispaljenog iz topa početnom brzinom pod uglom a prema horizontu. Otpor zraka i veličina projektila s obzirom na to materijalna tačka, zanemarujemo.

Odaberimo koordinatni sistem. Za ishodište koordinata uzet ćemo tačku polaska projektila iz njuške. Os Ox usmjeravamo vodoravno, a osovinu Oy okomito, postavljajući ih u istoj ravnini s cevom pištolja. Da nije bilo gravitacije, projektil bi se kretao pravolinijski stvarajući ugao a sa osom Ox i u trenutku t bi prešao putanju. Koordinate projektila u trenutku t bile bi respektivno jednake:. Zbog gravitacije, projektil bi se do ovog trenutka trebao vertikalno spustiti za vrijednost. Stoga su u stvarnosti, u trenutku t, koordinate projektila određene formulama:

Ove jednačine su konstante. Kada se t promijeni, promijenit će se i koordinate u tački putanje projektila. Jednačine su parametarske jednačine putanje projektila, u kojima je parametar vrijeme

Izražavanje iz prve jednačine i zamjena u

druga jednačina, dobijamo jednačinu putanje projektila u obliku Ovo je jednačina parabole.

Nemojte se naprezati, u ovom odlomku je također sve prilično jednostavno. Opću formulu možete napisati parametarski datu funkciju, ali, da bi bilo jasno, odmah ću napisati konkretan primjer... U parametarskom obliku, funkcija je data sa dvije jednačine:. Često se jednačine ne pišu pod vitičastim zagradama, već uzastopno:,.

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Razmotrite, na primjer, vrijednost i zamijenite je u obje jednačine: ... Ili ljudski: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Na koordinatnoj ravni može se označiti tačka i ta tačka će odgovarati vrednosti parametra. Slično, možete pronaći tačku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "normalne" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije, također se poštuju sva prava: možete nacrtati graf, pronaći izvode i tako dalje. Usput, ako postoji potreba za iscrtavanjem grafa parametarski određene funkcije, preuzmite moj geometrijski program na stranici Matematičke formule i tablice.

U najjednostavnijim slučajevima, moguće je eksplicitno predstaviti funkciju. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: - i zamijeni ga u drugu jednačinu: ... Rezultat je obična kubična funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne funkcionira. Ali to nije važno, jer pronaći derivat parametarska funkcija postoji formula:

Pronađite derivat "igre s obzirom na te varijablu":

Sva pravila diferencijacije i tabela izvedenica važe, naravno, i za pismo, tako da, nema novina u procesu pronalaženja derivata... Samo mentalno zamijenite sve x u tabeli sa slovom te.

Pronađite izvod "x u odnosu na te varijablu":

Sada ostaje samo da nađene derivate zamijenimo u našu formulu:

Spreman. Izvod, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Što se tiče oznaka, u formuli, umjesto pisanja, može se jednostavno napisati bez indeksa, jer je ovo "uobičajena" izvedenica "po x". Ali u literaturi uvijek postoji varijanta, tako da neću odstupiti od standarda.

Primjer 6

Koristimo formulu

V ovaj slučaj:

ovako:

Karakteristika pronalaženja derivacije parametarske funkcije je činjenica da na svakom koraku, korisno je pojednostaviti rezultat što je više moguće... Dakle, u razmatranom primjeru, kada sam ga pronašao, proširio sam zagrade ispod korijena (iako to nisam mogao). Velike su šanse da će se, kada se unese u formulu, mnoge stvari dobro smanjiti. Iako, naravno, ima primjera sa nespretnim odgovorima.

Primjer 7

Pronađite izvod parametarski definirane funkcije

Ovo je primjer za nezavisna odluka.

Clanak Najjednostavniji tipične zadatke sa derivatom razmatrali smo primjere u kojima je bilo potrebno pronaći drugi izvod funkcije. Za parametarski zadanu funkciju možete pronaći i drugi izvod, a on se nalazi po sljedećoj formuli:. Sasvim je očigledno da se za pronalaženje drugog izvoda prvo mora pronaći prvi izvod.

Primjer 8

Naći prvi i drugi izvod funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvi izvod.
Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Zamjene pronađenih derivata u formuli. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu:

Primijetio sam da se u problemu pronalaženja derivacije parametarske funkcije, prilično često, radi pojednostavljenja, mora koristiti trigonometrijske formule ... Zapamtite ih ili držite pri ruci i ne propustite priliku da pojednostavite svaki srednji rezultat i odgovore. Zašto? Sada moramo uzeti derivaciju od, a ovo je očito bolje od pronalaženja derivacije od.

Nađimo drugi izvod.
Koristimo formulu:.

Pogledajmo našu formulu. Imenilac je već pronađen u prethodnom koraku. Ostaje pronaći brojilac - izvod prvog izvoda u odnosu na varijablu "te":

Ostaje koristiti formulu:

Za konsolidaciju materijala, predlažem još nekoliko primjera za samostalno rješenje.

Primjer 9

Primjer 10

Pronađite i za funkciju definiranu parametarski

Želim vam uspjeh!

Nadam se da je ova lekcija bila korisna, a sada možete lako pronaći derivate iz funkcija koje su specificirane implicitno i iz parametarskih funkcija.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje:

ovako:

Derivat implicitne funkcije.
Derivat parametarski zadane funkcije

U ovom članku ćemo razmotriti još dva tipična zadatka koja se često nalaze kontrolni radovi u višoj matematici. Za uspješno savladavanje gradiva potrebno je biti u stanju pronaći derivate barem na srednjem nivou. Možete naučiti kako pronaći derivate od nule u dvije osnovne lekcije i Derivat kompleksne funkcije... Ako je sve u redu sa vještinama diferencijacije, onda idemo.

Derivat implicitne funkcije

Ili, ukratko, derivat implicitne funkcije. Šta je implicitna funkcija? Prisjetimo se prvo same definicije funkcije jedne varijable:

Jedna varijabla funkcija To je pravilo prema kojem jedna i samo jedna vrijednost funkcije odgovara svakoj vrijednosti nezavisne varijable.

Varijabla se poziva nezavisna varijabla ili argument.
Varijabla se poziva zavisna varijabla ili funkcija .

Do sada smo gledali funkcije definirane u eksplicitno formu. Šta to znači? Hajde da organizujemo debrifing koristeći konkretne primere.

Razmotrite funkciju

Vidimo da na lijevoj strani imamo usamljenu "igru", a na desnoj - samo "x"... Odnosno, funkcija eksplicitno izraženo u terminima nezavisne varijable.

Razmotrite još jednu funkciju:

Ovdje su varijable također "pomiješane". Štaviše nemoguće na bilo koji način izraziti "igru" samo kroz "x". Koje su to metode? Prenošenje pojmova iz jednog dijela u drugi s promjenom predznaka, stavljanje van zagrada, bacanje množitelja prema pravilu proporcije, itd. Prepišite jednakost i pokušajte "igru" izraziti u eksplicitnom obliku:. Možete satima vrtiti i okretati jednačinu, ali ne možete.

Dozvolite mi da vas predstavim: - primjer implicitna funkcija.

U toku matematičke analize dokazano je da je implicitna funkcija postoji(ali ne uvijek), ima graf (baš kao "normalna" funkcija). Implicitna funkcija ima isto postoji prvi izvod, drugi izvod itd. Kako kažu, poštuju se sva prava seksualnih manjina.

I u ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivaciju implicitne funkcije. Nije tako teško! Sva pravila diferencijacije, tablica izvoda elementarnih funkcija ostaju na snazi. Razlika je u jednom neobičnom trenutku, koji ćemo sada razmotriti.

Da, i reći ću vam dobru vijest - zadaci o kojima se govori u nastavku se izvode prema prilično teškom i jasnom algoritmu bez kamena ispred tri staze.

Primjer 1

1) U prvoj fazi stavljamo završnu obradu na oba dijela:

2) Koristimo pravila linearnosti derivacije (prva dva pravila lekcije Kako da pronađem derivat? Primjeri rješenja):

3) Direktna diferencijacija.
Kako razlikovati i savršeno razumljivo. Šta raditi tamo gdje su "igre" ispod poteza?

- samo nečuveno, derivacija funkcije je jednaka njenom izvodu: .

Kako razlikovati
Evo nas složena funkcija... Zašto? Čini se da ispod sinusa postoji samo jedno slovo "igrek". Ali, činjenica je da postoji samo jedno slovo "igra" - SAMA JE FUNKCIJA(vidi definiciju na početku lekcije). Dakle, sinus je vanjska funkcija, unutrašnja funkcija. Koristimo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije :

Proizvod razlikujemo prema uobičajenom pravilu :

Imajte na umu da je - također složena funkcija, svaka "igra sa zvonima i zviždaljkama" je složena funkcija:

Dizajn samog rješenja trebao bi izgledati otprilike ovako:

Ako postoje zagrade, onda ih otvaramo:

4) Na lijevoj strani skupljamo pojmove u kojima postoji "igra" sa prostim brojem. Na desnu stranu - prebacite sve ostalo:

5) Na lijevoj strani vadimo izvod iz zagrada:

6) I prema pravilu proporcije ove zagrade ispuštamo u nazivnik desne strane:

Izvod je pronađen. Spreman.

Zanimljivo je napomenuti da možete implicitno prepisati bilo koju funkciju. Na primjer, funkcija može se prepisati ovako: ... I razlikovati ga prema upravo razmatranom algoritmu. Zapravo, izrazi "implicitna funkcija" i "implicitna funkcija" razlikuju se u jednoj semantičkoj nijansi. Izraz "implicitno definirana funkcija" je općenitiji i ispravniji, - ova funkcija je postavljena implicitno, ali ovdje možete izraziti "igru" i predstaviti funkciju u eksplicitnom obliku. Izraz "implicitna funkcija" shvata se kao "klasična" implicitna funkcija, kada se "igra" ne može izraziti.

Drugo rješenje

Pažnja! Drugu metodu možete pronaći samo ako znate kako pouzdano pronaći parcijalni derivati... Početnici u računici i lutkama, molim nemojte čitati i preskočiti ovaj pasus, inače će glava biti potpuni nered.

Nađimo derivaciju implicitne funkcije na drugi način.

Sve pojmove prenosimo na lijevu stranu:

I razmotrite funkciju dvije varijable:

Tada se naš izvod može naći po formuli
Nađimo parcijalne derivate:

ovako:

Drugo rješenje vam omogućava da provjerite. Ali je nepoželjno formulisati ih čistom verzijom zadatka, budući da se parcijalne izvode savladavaju kasnije, a student koji proučava temu "Izvod funkcije jedne varijable" izgleda ne poznaje parcijalne izvode.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 2

Pronađite izvod implicitne funkcije

Stavili smo završnu obradu na oba dijela:

Koristimo pravila linearnosti:

Pronađite derivate:

Proširi sve zagrade:

Sve pojmove sa prenosimo na lijevu stranu, ostale - na desnu:

Konačan odgovor:

Primjer 3

Pronađite izvod implicitne funkcije

Kompletno rješenje i uzorak dizajna na kraju lekcije.

Nije neuobičajeno da se razlomci pojavljuju nakon diferencijacije. U takvim slučajevima morate se riješiti razlomaka. Pogledajmo još dva primjera.

Primjer 4

Pronađite izvod implicitne funkcije

Oba dijela zatvaramo potezima i koristimo pravilo linearnosti:

Razlikujte koristeći pravilo za diferenciranje složene funkcije i pravilo diferencijacije privatnog :

Proširite zagrade:

Sada se trebamo riješiti razlomka. To se može učiniti kasnije, ali je racionalnije to učiniti odmah. Imenilac razlomka je. Pomnožite na . Detaljno, to će izgledati ovako:

Ponekad se nakon diferencijacije pojavljuju 2-3 frakcije. Da imamo još jedan razlomak, na primjer, tada bi se operacija morala ponoviti - množiti svaki pojam svakog dijela on

Na lijevoj strani stavljamo iz zagrade:

Konačan odgovor:

Primjer 5

Pronađite izvod implicitne funkcije

Ovo je primjer rješenja uradi sam. Jedina stvar u njemu, prije nego što se riješite razlomka, prvo će se morati riješiti trokatne strukture samog razlomka. Kompletno rješenje i odgovor na kraju tutorijala.

Derivat parametarski zadane funkcije

Nemojte se naprezati, u ovom odlomku je takođe sve prilično jednostavno. Možete napisati opću formulu za parametarski definiranu funkciju, ali da bi to bilo jasno, odmah ću napisati konkretan primjer. U parametarskom obliku, funkcija je data sa dvije jednačine:. Često se jednačine ne pišu pod vitičastim zagradama, već uzastopno:,.

Varijabla se naziva parametar i može uzeti vrijednosti od "minus beskonačnost" do "plus beskonačnost". Razmotrite, na primjer, vrijednost i zamijenite je u obje jednačine: ... Ili ljudski: "ako je x jednako četiri, onda je y jednako jedan." Na koordinatnoj ravni može se označiti tačka i ta tačka će odgovarati vrednosti parametra. Slično, možete pronaći tačku za bilo koju vrijednost parametra "te". Što se tiče "normalne" funkcije, za američke Indijance parametarski definirane funkcije, također se poštuju sva prava: možete nacrtati graf, pronaći izvode i tako dalje. Usput, ako postoji potreba da se nacrta graf parametarski zadane funkcije, možete koristiti moj program.

U najjednostavnijim slučajevima, moguće je eksplicitno predstaviti funkciju. Izrazimo parametar iz prve jednadžbe: - i zamijeni ga u drugu jednačinu: ... Rezultat je obična kubična funkcija.

U "težim" slučajevima ovaj trik ne funkcionira. Ali to nije važno, jer da biste pronašli derivaciju parametarske funkcije, postoji formula:

Pronađite derivat "igre s obzirom na te varijablu":

Sva pravila diferencijacije i tabela izvedenica važe, naravno, i za pismo, tako da, nema novina u procesu pronalaženja derivata... Samo mentalno zamijenite sve x u tabeli sa slovom te.

Pronađite izvod "x u odnosu na te varijablu":

Sada ostaje samo da nađene derivate zamijenimo u našu formulu:

Spreman. Izvod, kao i sama funkcija, također ovisi o parametru.

Primjer 6

Koristimo formulu

U ovom slučaju:

ovako:

Primjer 7

Pronađite izvod parametarski definirane funkcije

Ovo je primjer rješenja uradi sam.

Clanak Najjednostavniji uobičajeni problemi s derivatom razmatrali smo primjere u kojima je bilo potrebno pronaći drugi izvod funkcije. Za parametarski zadanu funkciju možete pronaći i drugi izvod, a on se nalazi po sljedećoj formuli:. Sasvim je očigledno da se za pronalaženje drugog izvoda prvo mora pronaći prvi izvod.

Primjer 8

Naći prvi i drugi izvod funkcije zadane parametarski

Prvo, pronađimo prvi izvod.
Koristimo formulu

U ovom slučaju:

Pronađene derivate zamjenjujemo u formulu. Radi pojednostavljenja koristimo trigonometrijsku formulu:

Razmotrimo definiciju linije na ravni, u kojoj su varijable x, y funkcije treće varijable t (koja se naziva parametar):

Za svaku vrijednost t iz određenog intervala odgovaraju određenim vrijednostima x i y, i, dakle, određena tačka M (x, y) ravni. Kada t prolazi kroz sve vrijednosti iz navedenog intervala, zatim kroz tačku M (x, y) opisuje neku liniju L... Jednačine (2.2) se nazivaju parametarske jednačine prave L.

Ako funkcija x = φ (t) ima inverzni t = F (x), tada zamjenom ovog izraza u jednačinu y = g (t) dobijamo y = g (F (x)), što određuje y kao funkcija x... U ovom slučaju kažemo da jednačine (2.2) definiraju funkciju y parametarski.

Primjer 1. Neka bude M (x, y)- proizvoljna tačka kružnice poluprečnika R i sa središtem na ishodištu. Neka bude t- ugao između ose Ox i radijus OM(vidi sliku 2.3). Onda x, y izraženo kroz t:

Jednačine (2.3) su parametarske jednačine kružnice. Parametar t isključujemo iz jednačina (2.3). Da bismo to učinili, kvadriramo svaku od jednadžbi i saberemo, dobijemo: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) ili x 2 + y 2 = R 2 - jednadžba kružnice u Dekartov koordinatni sistem. Definira dvije funkcije: Svaka od ovih funkcija je data parametarskim jednadžbama (2.3), ali za prvu funkciju i za drugu.

Primjer 2... Parametrijske jednačine

definirati elipsu sa poluosama a, b(sl. 2.4). Eliminacija parametra iz jednačina t, dobijamo kanonsku jednačinu elipse:

Primjer 3... Cikloida je prava opisana točkom koja leži na kružnici, ako se ova kružnica kotrlja bez klizanja duž prave linije (slika 2.5). Hajde da uvedemo parametarske jednačine cikloide. Neka je radijus kruga koji se kotrlja a, tačka M opisujući cikloidu, na početku kretanja poklapa se sa ishodištem koordinata.

Odredite koordinate x, y bodova M nakon što se krug okrene pod ugao t
(sl. 2.5), t = RMCB... Dužina luka MB jednaka dužini segmenta OB, budući da se krug kotrlja bez klizanja, dakle

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a (t - sint),

y = AM = CB - CD = a - acost = a (1 - trošak).

Dakle, dobijene su parametarske jednadžbe cikloide:

Prilikom promjene parametra t od 0 do 2π krug rotira za jedan okret, dok je tačka M opisuje jedan luk cikloide. Jednačine (2.5) definiraju y kao funkcija x... Iako je funkcija x = a (t - sint) ima inverznu funkciju, ali nije izražena u terminima elementarnih funkcija, dakle funkcije y = f (x) nije izraženo u terminima elementarnih funkcija.

Razmotrimo diferencijaciju funkcije definirane parametarski jednadžbama (2.2). Funkcija x = φ (t) na nekom intervalu od t ima inverznu funkciju t = F (x), onda y = g (F (x))... Neka bude x = φ (t), y = g (t) imaju derivate, i x "t ≠ 0... Prema pravilu diferencijacije složene funkcije y "x = y" t × t "x. Na osnovu pravila diferencijacije inverzne funkcije, dakle:

Rezultirajuća formula (2.6) omogućava pronalaženje izvoda za funkciju datu parametarski.

Primjer 4. Neka funkcija y zavisno od x, je dato parametarski:

Rješenje. .
Primjer 5. Find Slope k tangenta na cikloidu u tački M 0 koja odgovara vrijednosti parametra.
Rješenje. Iz jednadžbi cikloide: y "t = asint, x" t = a (1 - trošak), dakle

Nagib tangente u tački M 0 jednaka vrijednosti na t 0 = π / 4:

DIFERENCIJALNA FUNKCIJA

Neka funkcija u točki x 0 ima derivat. A-prioritet:
dakle, svojstvima granice (odjeljak 1.8), gdje je a- beskonačno mali u Δx → 0... Odavde

Δy = f "(x0) Δx + α × Δx. (2.7)

Kako je Δx → 0, drugi član u jednakosti (2.7) je infinitezimalni višeg reda, u poređenju sa , dakle, Δy i f "(x 0) × Δx su ekvivalentni, infinitezimalni (za f" (x 0) ≠ 0).

Dakle, prirast funkcije Δy sastoji se od dva člana, od kojih je prvi f "(x 0) × Δx glavni dio prirast Δy, linearan u odnosu na Δx (za f "(x 0) ≠ 0).

Diferencijal funkcije f (x) u tački x 0 naziva se glavnim dijelom prirasta funkcije i označava se: dy ili df (x 0)... dakle,

df (x0) = f "(x0) × Δx. (2.8)

Primjer 1. Pronađite diferencijal funkcije dy i prirast funkcije Δy za funkciju y = x 2 na:
1) proizvoljan x i Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Rješenje

1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Ako je x 0 = 20, Δx = 0,1, tada je Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Jednakost (2.7) pišemo u obliku:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Prirast Δy se razlikuje od diferencijala dy beskonačno malog višeg reda, u poređenju sa Δx, stoga se u aproksimativnim proračunima koristi približna jednakost Δy ≈ dy ako je Δx dovoljno mali.

Uzimajući u obzir da je Δy = f (x 0 + Δx) - f (x 0), dobijamo približnu formulu:

f (x 0 + Δx) ≈ f (x 0) + dy. (2.10)

Primjer 2... Izračunajte približno.

Rješenje. Uzmite u obzir:

Koristeći formulu (2.10), dobijamo:

Dakle, ≈ 2.025.

Razmotrite geometrijsko značenje diferencijala df (x 0)(sl. 2.6).

Nacrtajte tangentu u tački M 0 (x0, f (x 0)) na graf funkcije y = f (x), neka je φ ugao između tangente KM0 i ose Ox, tada je f"(x 0 ) = tgφ Iz ΔM0NP:
PN = tgφ × Δx = f "(x 0) × Δx = df (x 0). Ali PN je prirast ordinate tangente kako se x mijenja od x 0 do x 0 + Δx.

Dakle, diferencijal funkcije f (x) u tački x 0 jednak je inkrementu ordinate tangente.

Pronađite diferencijal funkcije
y = x. Pošto je (x) "= 1, onda je dx = 1 × Δx = Δx. Pretpostavljamo da je diferencijal nezavisne varijable x jednak njenom inkrementu, tj. dx = Δx.

Ako je x proizvoljan broj, onda iz jednakosti (2.8) dobijamo df (x) = f "(x) dx, odakle .
Dakle, derivacija za funkciju y = f (x) jednaka je omjeru njenog diferencijala i diferencijala argumenta.

Razmotrimo svojstva diferencijala funkcije.

Ako su u (x), v (x) diferencijabilne funkcije, tada su važeće sljedeće formule:

Da bi se dokazale ove formule, koriste se derivacijske formule za funkciju sume, proizvoda i kvocijenta. Dokažimo, na primjer, formulu (2.12):

d (u × v) = (u × v) "Δx = (u × v" + u "× v) Δx = u × v" Δx + u "Δx × v = u × dv + v × du.

Razmotrimo diferencijal kompozitne funkcije: y = f (x), x = φ (t), tj. y = f (φ (t)).

Tada je dy = y "t dt, ali y" t = y "x × x" t, tako da je dy = y "x x" t dt. Razmatrati,

da je x "t = dx, dobijamo dy = y" x dx = f "(x) dx.

Dakle, diferencijal kompozitne funkcije y = f (x), gdje je x = φ (t), ima oblik dy = f "(x) dx, isto kao u slučaju kada je x nezavisna varijabla. Ovo svojstvo se zove invarijantnost oblika, diferencijal a.