Trigonometrijske jednadžbe nisu najlakša tema. Bolno, oni su raznoliki.) Na primjer, sljedeće:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
itd...
Ali ova (i sva druga) trigonometrijska čudovišta imaju dvije zajedničke i obavezne karakteristike. Prvo - nećete vjerovati - u jednadžbama postoje trigonometrijske funkcije.) Drugo: svi izrazi sa x su pronađeni unutar ovih istih funkcija. I samo tamo! Ako se x pojavi bilo gdje vani, na primjer, sin2x + 3x = 3, ovo će već biti jednačina mješovitog tipa. Takve jednačine zahtijevaju individualni pristup. Nećemo ih ovdje razmatrati.
Ni u ovoj lekciji nećemo rješavati zle jednačine.) Ovdje ćemo se pozabaviti najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Zašto? Da, jer rešenje bilo koji trigonometrijske jednadžbe imaju dva stupnja. U prvoj fazi, jednačina zla se svodi na jednostavnu pomoću različitih transformacija. Na drugom je riješena ova najjednostavnija jednačina. Nema drugog načina.
Dakle, ako imate problema u drugoj fazi, prva faza nema mnogo smisla.)
Kako izgledaju elementarne trigonometrijske jednadžbe?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Evo a označava bilo koji broj. Bilo ko.
Usput, unutar funkcije možda ne postoji čisti x, već neka vrsta izraza, kao što je:
cos (3x + π / 3) = 1/2
itd. Ovo komplikuje život, ali ne utiče na metodu rešavanja trigonometrijske jednačine.
Kako riješiti trigonometrijske jednačine?
Trigonometrijske jednadžbe se mogu riješiti na dva načina. Prvi način: korištenje logike i trigonometrijskog kruga. Ovdje ćemo razmotriti ovaj put. Drugi način - korištenje memorije i formula - bit će riječi u sljedećoj lekciji.
Prvi način je jasan, pouzdan i teško ga je zaboraviti.) Dobar je za rješavanje trigonometrijskih jednačina, nejednačina i svih vrsta lukavih nestandardnih primjera. Logika je jača od pamćenja!)
Rješavanje jednadžbi pomoću trigonometrijskog kruga.
Uključujemo elementarnu logiku i mogućnost korištenja trigonometrijskog kruga. Ne znam kako!? Međutim... Teško ti je u trigonometriji...) Ali nema veze. Pogledajte lekcije "Trigonometrijski krug ...... Šta je to?" i "Broj uglova na trigonometrijskom krugu". Tamo je sve jednostavno. Za razliku od tutorijala...)
Oh, znaš!? Pa čak i savladao "Praktični rad s trigonometrijskim krugom"!? Čestitam. Ova tema će vam biti bliska i razumljiva.) Ono što posebno raduje, trigonometrijskom krugu nije važno koju jednačinu rješavate. Sinus, kosinus, tangent, kotangens - sve mu je jedno. Postoji samo jedan princip rješenja.
Dakle, uzimamo bilo koju elementarnu trigonometrijsku jednačinu. barem ovo:
cosx = 0,5
Moramo pronaći X. U ljudskom smislu, treba vam naći ugao (x) čiji je kosinus 0,5.
Kako smo ranije koristili krug? Nacrtali smo ugao na njemu. U stepenima ili radijanima. I to odmah viđeno trigonometrijske funkcije ovog ugla. Sada uradimo suprotno. Nacrtajmo na krug kosinus jednak 0,5 i to odmah vidi injekcija. Ostaje samo da zapišete odgovor.) Da, da!
Nacrtajte krug i označite kosinus od 0,5. Na kosinusnoj osi, naravno. Volim ovo:
Sada nacrtajmo ugao koji nam daje ovaj kosinus. Pomerite kursor miša preko crteža (ili dodirnite sliku na tabletu) i vidi baš ovaj kutak NS.
Koliki je ugao kosinus 0,5?
x = π / 3
cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5
Neko će se skeptično nasmejati, da... Kažu, da li je vredelo krug, kad je već sve jasno... Možete se, naravno, smejati...) Ali činjenica je da je ovo pogrešan odgovor. Ili bolje rečeno, nedovoljno. Stručnjaci za krug razumiju da ovdje još uvijek postoji čitava gomila uglova, koji također daju kosinus jednak 0,5.
Ako okrenete pokretnu stranu OA puni okret, tačka A će se vratiti u prvobitni položaj. Sa istim kosinusom jednakim 0,5. One. ugao će se promijeniti 360 ° ili 2π radijana, i kosinus nije. Novi ugao 60 ° + 360 ° = 420 ° takođe će biti rešenje naše jednačine, jer
Možete namotati beskonačan broj takvih punih zavoja... I svi ovi novi uglovi bit će rješenja naše trigonometrijske jednačine. I svi oni moraju nekako biti zapisani kao odgovor. Sve. Inače, odluka se ne računa, da...)
Matematika zna kako to učiniti na jednostavan i elegantan način. U jednom kratkom odgovoru napišite beskonačan set rješenja. Ovako to izgleda za našu jednačinu:
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Ja ću dešifrovati. Još piši smisleno ugodnije nego glupo crtati neka misteriozna slova, zar ne?)
π / 3 - Ovo je isti kutak kao i mi vidio na krugu i identifikovan prema kosinusnoj tabeli.
2π je jedna potpuna revolucija u radijanima.
n je broj punih, tj. cijeli revolucije. To je jasno n može biti 0, ± 1, ± 2, ± 3 ... i tako dalje. Kao što ukazuje kratka napomena:
n ∈ Z
n pripada ( ∈ ) na skup cijelih brojeva ( Z ). Usput, umjesto pisma n slova se mogu koristiti k, m, t itd.
Ovaj unos znači da možete uzeti bilo koju cjelinu n ... Najmanje -3, najmanje 0, najmanje +55. Šta želiš. Ako uključite taj broj u odgovor, dobit ćete određeni ugao koji će definitivno riješiti našu oštru jednadžbu.)
Ili, drugim riječima, x = π / 3 je jedini korijen beskonačnog skupa. Da biste dobili sve ostale korijene, dovoljno je dodati bilo koji broj punih okretaja na π / 3 ( n ) u radijanima. One. 2π n radian.
Sve? br. Namerno rastežem zadovoljstvo. Da ga bolje zapamtimo.) Dobili smo samo dio odgovora na našu jednačinu. Napisat ću ovaj prvi dio rješenja na sljedeći način:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - ne jedan korijen, to je čitav niz korijena, napisanih u kratkom obliku.
Ali postoje i uglovi koji takođe daju kosinus od 0,5!
Vratimo se našoj slici koja je služila za zapis odgovora. tu je ona:
Pređite mišem preko slike i vidi drugi kutak koji takođe daje kosinus od 0,5.Šta mislite čemu je to jednako? Trouglovi su isti... Da! To je jednako uglu NS vraća se samo u negativnom smjeru. Ovo je ugao -NS. Ali već smo shvatili x. π / 3 ili 60 °. Stoga sa sigurnošću možemo napisati:
x 2 = - π / 3
Pa, i, naravno, dodajte sve uglove koji se dobiju punim okretima:
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
To je to.) U trigonometrijskom krugu, mi vidio(ko razume, naravno)) sve uglovi koji daju kosinus jednak 0,5. I zapisali su ove uglove u kratkom matematičkom obliku. Odgovor je proizveo dvije beskonačne serije korijena:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je tačan odgovor.
nada, opšti princip rješavanja trigonometrijskih jednačina korištenje kruga je jasno. Na kružnici označimo kosinus (sinus, tangent, kotangens) iz date jednačine, nacrtamo odgovarajuće uglove i zapišemo odgovor. Naravno, morate shvatiti kakvi smo mi uglovi vidio na krugu. Ponekad to nije tako očigledno. Pa, rekao sam da je ovdje potrebna logika.)
Na primjer, analizirajmo još jednu trigonometrijsku jednačinu:
Imajte na umu da broj 0,5 nije jedini mogući broj u jednadžbi!) Samo mi je zgodnije da ga zapišem od korijena i razlomaka.
Radimo po opštem principu. Nacrtajte krug, označite (na osi sinusa, naravno!) 0,5. Crtamo odjednom sve uglove koji odgovaraju ovom sinusu. Hajde da dobijemo sledeću sliku:
Prvo se pozabavite uglom NS u prvoj četvrtini. Prisjećamo se tablice sinusa i određujemo vrijednost ovog ugla. To je jednostavna stvar:
x = π / 6
Pamtimo pune okrete i mirne savjesti zapisujemo prvu seriju odgovora:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Pola gotovo. Ali sada moramo da definišemo drugi ugao... Ovo je lukavije nego u kosinusima, da... Ali logika će nas spasiti! Kako odrediti drugi ugao kroz x? Yes Easy! Trokuti na slici su isti, a crveni ugao NS jednaka uglu NS ... Samo se broji od ugla π u negativnom smjeru. Dakle, ona je crvena.) A za odgovor nam je potreban ugao, tačno izmeren, od pozitivne OX poluose, tj. iz ugla od 0 stepeni.
Pređite kursorom preko slike i pogledajte sve. Uklonio sam prvi ugao da ne bih komplikovao sliku. Ugao koji nas zanima (nacrtan zelenom bojom) bit će jednak:
π - x
X mi to znamo π / 6 ... Dakle, drugi ugao će biti:
π - π / 6 = 5π / 6
Ponovo se prisjećamo dodavanja punih okretaja i zapisujemo drugu seriju odgovora:
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
To je sve. Potpuni odgovor se sastoji od dvije serije korijena:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Jednačine s tangentom i kotangensom mogu se lako riješiti korištenjem istog općeg principa za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ako, naravno, znate nacrtati tangentu i kotangens na trigonometrijskom krugu.
U gornjim primjerima koristio sam tablicu vrijednosti sinusa i kosinusa: 0,5. One. jedno od onih značenja koje učenik zna mora. Sada proširimo naše mogućnosti na sve druge vrednosti. Odluči, pa odluči!)
Dakle, recimo da moramo riješiti ovu trigonometrijsku jednačinu:
Ne postoji takva vrijednost kosinusa u kratkim tabelama. Hladnokrvno ignorišemo ovu strašnu činjenicu. Nacrtajte krug, označite 2/3 na osi kosinusa i nacrtajte odgovarajuće uglove. Dobili smo ovu sliku.
Hajde da to shvatimo, za početak, sa uglom u prvoj četvrtini. Da sam znao čemu je X jednako, odmah bi zapisali odgovor! Ne znamo... Neuspjeh!? Miran! Matematika ne napušta svoje u nevolji! Ona je smislila arkosinuse za ovaj slučaj. Ne znam? Uzalud. Saznajte, mnogo je lakše nego što mislite. Ispod ovog linka nema nijedne škakljive zagonetke o "inverznim trigonometrijskim funkcijama"... Ovo je suvišno u ovoj temi.
Ako znate, dovoljno je da kažete sebi: "X je ugao čiji je kosinus 2/3". I odmah, čisto po definiciji arkosinusa, možete napisati:
Prisjećamo se dodatnih okreta i mirno zapisujemo prvu seriju korijena naše trigonometrijske jednadžbe:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Druga serija korijena se također gotovo automatski snima za drugi ugao. Sve je isto, samo će x (arccos 2/3) biti sa minusom:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
I to je sve! Ovo je tačan odgovor. Čak i lakše nego sa tabličnim vrijednostima. Ne morate ništa pamtiti.) Usput, najpažljiviji će primijetiti da je ova slika sa rješenjem kroz inverzni kosinus u suštini, ne razlikuje se od slike za jednačinu cosx = 0,5.
Upravo! Opšti princip je opšti! Posebno sam nacrtao dvije skoro identične slike. Krug nam pokazuje ugao NS svojim kosinusom. Tabela je kosinus, ili ne - krug ne zna. Koliki je ovo ugao, π / 3, ili kakav inverzni kosinus - to je na nama.
Sa sinusom, ista pjesma. Na primjer:
Ponovo nacrtajte krug, označite sinus jednak 1/3, nacrtajte uglove. Slika izgleda ovako:
Opet, slika je skoro ista kao i za jednačinu sinx = 0,5. Opet, počnite od ugla u prvoj četvrtini. Koliko je x ako mu je sinus 1/3? Nema problema!
Dakle, prvi paket korijena je spreman:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Bavimo se drugim uglom. U primjeru sa vrijednošću tablice od 0,5, to je bilo:
π - x
I ovdje će biti potpuno isto! Samo je x različit, arcsin 1/3. Pa šta!? Možete sigurno zapisati drugi paket korijena:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ovo je apsolutno tačan odgovor. Iako ne izgleda baš poznato. Ali je razumljivo, nadam se.)
Ovako se trigonometrijske jednadžbe rješavaju pomoću kružnice. Ovaj put je jasan i razumljiv. On je taj koji štedi u trigonometrijskim jednadžbama sa odabirom korijena u datom intervalu, u trigonometrijskim nejednačinama - one se uglavnom rješavaju gotovo uvijek u krug. Ukratko, u svim zadacima koji su nešto teži od standardnih.
Hajde da svoje znanje primenimo u praksi?)
Riješite trigonometrijske jednadžbe:
U početku je jednostavnije, odmah iz ove lekcije.
Sada teže.
Savjet: Ovdje morate razmisliti o krugu. Lično.)
A sada su spolja nepretenciozni ... Nazivaju se i posebnim slučajevima.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Nagoveštaj: ovdje treba u krugu odgonetnuti gdje su dvije serije odgovora, a gdje je jedan... I kako, umjesto dva niza odgovora, napisati jedan. Da, tako da se ni jedan korijen beskonačnog broja ne izgubi!)
Pa, sasvim jednostavne):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Nagoveštaj: ovde treba da znate šta je arksinus, arcsinus? Šta je arc tangenta, arc kotangens? Najjednostavnije definicije. Ali ne morate pamtiti nijednu vrijednost tablice!)
Odgovori su, naravno, nered):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nije sve u redu? Dešava se. Pročitajte lekciju ponovo. Samo zamišljeno(postoji tako zastarjela riječ...) I slijedite linkove. Glavne veze se odnose na krug. Bez toga, u trigonometriji - kao prelazak puta sa povezom na očima. Ponekad uspe.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno testiranje validacije. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci u prostoru
Softversko okruženje "1C: Matematički dizajner 6.1"
Šta ćemo proučavati:
1. Šta su trigonometrijske jednačine?
3. Dvije glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.
Šta su trigonometrijske jednačine?
Ljudi, već smo proučavali arksinus, arkkosinus, arktangens i arc kotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.
Trigonometrijske jednadžbe - jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod znakom trigonometrijske funkcije.
Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:
1) Ako je |a | ≤ 1, onda jednačina cos (x) = a ima rješenje:
X = ± arccos (a) + 2πk
2) Ako |a|≤ 1, tada jednačina sin (x) = a ima rješenje:
3) Ako |a | > 1, tada jednadžba sin (x) = a i cos (x) = a nemaju rješenja 4) Jednačina tan (x) = a ima rješenje: x = arctan (a) + πk
5) Jednačina ctg (x) = a ima rješenje: x = arcctg (a) + πk
Za sve formule k je cijeli broj
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T (kx + m) = a, T- bilo koja trigonometrijska funkcija.
Primjer.Riješite jednačine: a) sin (3x) = √3 / 2
Rješenje:
A) Označavamo 3x = t, a zatim prepisujemo našu jednačinu u obliku:
Rješenje ove jednačine će biti: t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.
Iz tablice vrijednosti dobijamo: t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.
Vratimo se na našu varijablu: 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,
Tada je x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3
Odgovor: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, gdje je n cijeli broj. (-1) ^ n - minus jedan na n-ti stepen.
Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.
Riješite jednačine: a) cos (x / 5) = 1 b) tg (3x- π / 3) = √3Rješenje:
A) Ovaj put ćemo odmah preći direktno na izračunavanje korijena jednadžbe:
X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Tada je x / 5 = πk => x = 5πk
Odgovor: x = 5πk, gdje je k cijeli broj.
B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π / 3 = arktan (√3) + πk. Znamo da je: arktan (√3) = π / 3
3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3
Odgovor: x = 2π / 9 + πk / 3, gdje je k cijeli broj.
Riješite jednadžbe: cos (4x) = √2 / 2. I pronađite sve korijene u segmentu.
Rješenje:
Rešimo našu jednačinu u opštem obliku: 4x = ± arccos (√2 / 2) + 2πk
4x = ± π / 4 + 2πk;
X = ± π / 16 + πk / 2;
Sada da vidimo koji će korijeni pasti na naš segment. Kod k Pri k = 0, x = π / 16, ušli smo u dati segment.
Sa k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, ponovo su pogodili.
Za k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliki k sigurno nećemo ni pogoditi.
Odgovor: x = π / 16, x = 9π / 16
Postoje dvije glavne metode rješenja.
Razmotrili smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, ali postoje i složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo neke primjere.Rešimo jednačinu:
Rješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo metodu uvođenja nove varijable, označimo: t = tg (x).
Kao rezultat zamjene, dobijamo: t 2 + 2t -1 = 0
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t = -1 i t = 1/3
Tada je tg (x) = - 1 i tg (x) = 1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednačinu, pronađite njene korijene.
X = arktan (-1) + πk = -π / 4 + πk; x = arktan (1/3) + πk.
Odgovor: x = -π / 4 + πk; x = arktan (1/3) + πk.
Primjer rješavanja jednadžbe
Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0
Rješenje:
Koristimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1
Naša jednačina će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Uvesti zamjenu t = cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t = 2 i t = -1 / 2
Tada je cos (x) = 2 i cos (x) = - 1/2.
Jer kosinus ne može imati vrijednosti veće od jedan, tada cos (x) = 2 nema korijena.
Za cos (x) = - 1/2: x = ± arccos (-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk
Odgovor: x = ± 2π / 3 + 2πk
Homogene trigonometrijske jednadžbe.
Definicija: Jednačine oblika a sin (x) + b cos (x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednačine prvog stepena.Jednačine oblika
homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena.
Da bismo riješili homogenu trigonometrijsku jednačinu prvog stepena, podijelimo je sa cos (x): 
Nemoguće je podijeliti kosinusom ako je jednako nuli, uvjerimo se da nije:
Neka je cos (x) = 0, zatim asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobili smo kontradikciju, tako da možemo sigurno podijeliti sa nulom.
Riješite jednačinu:
Primjer: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0
Rješenje:
Izvucite zajednički faktor: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0
Zatim moramo riješiti dvije jednačine:
Cos (x) = 0 i cos (x) + sin (x) = 0
Cos (x) = 0 za x = π / 2 + πk;
Razmotrite jednačinu cos (x) + sin (x) = 0 Podijelite našu jednačinu sa cos (x):
1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = arktan (-1) + πk = -π / 4 + πk
Odgovor: x = π / 2 + πk i x = -π / 4 + πk
Kako riješiti homogene trigonometrijske jednačine drugog stepena?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!
1. Pogledajte čemu je jednak koeficijent a, ako je a = 0 onda će naša jednadžba dobiti oblik cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), primjer rješavanja kojeg je na prethodnom slajdu
2. Ako je a ≠ 0, tada trebate podijeliti obje strane jednadžbe sa kosinusom na kvadrat, dobićemo:
Mijenjamo varijablu t = tg (x) i dobijamo jednačinu:
Riješi primjer br: 3
Riješite jednačinu:Rješenje:
Podijelite obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom: 
Promijenite varijablu t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Pronađite korijene kvadratne jednadžbe: t = -3 i t = 1
Tada: tg (x) = - 3 => x = arktan (-3) + πk = -arctg (3) + πk
Tg (x) = 1 => x = π / 4 + πk
Odgovor: x = -arctg (3) + πk i x = π / 4 + πk
Riješi primjer br: 4
Riješite jednačinu:Rješenje:
Hajde da transformišemo naš izraz:
U stanju smo riješiti takve jednačine: x = - π / 4 + 2πk i x = 5π / 4 + 2πk
Odgovor: x = - π / 4 + 2πk i x = 5π / 4 + 2πk
Riješi primjer br.: 5
Riješite jednačinu:Rješenje:
Hajde da transformišemo naš izraz:
Uvodimo zamjenu tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0
Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t = -2 i t = 1/2
Tada dobijamo: tg (2x) = - 2 i tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + πk => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2
2x = arktan (1/2) + πk => x = arktan (1/2) / 2 + πk / 2
Odgovor: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 i x = arktan (1/2) / 2 + πk / 2
Zadaci za samostalno rješenje.
1) Riješite jednačinuA) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) tg (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7
2) Riješite jednačine: sin (3x) = √3 / 2. I pronađite sve korijene na segmentu [π / 2; π].
3) Riješite jednačinu: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0
4) Riješite jednačinu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0
5) Riješite jednačinu: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0
6) Riješite jednačinu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)
Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju određene osobe ili kontaktiranje s njom.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada ostavite zahtjev na web stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo nam omogućavaju da vas kontaktiramo i prijavimo jedinstvene ponude, promocije i druge događaje i nadolazeće događaje.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavještenja i poruka.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom promotivnom događaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje tim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, nalogom suda, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno iz sigurnosnih, provođenja zakona ili drugih društveno važnih razloga.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo odgovarajućoj trećoj strani – pravnom sljedbeniku.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše lične podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštovanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo bili sigurni da su Vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima donosimo pravila o povjerljivosti i sigurnosti, te striktno pratimo provođenje mjera povjerljivosti.
Odnosi između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa - su postavljeni trigonometrijske formule... A budući da postoji mnogo veza između trigonometrijskih funkcija, to objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog ugla, druge - funkcije višestrukog ugla, druge - omogućavaju snižavanje stepena, četvrte - da izrazite sve funkcije kroz tangentu pola ugla, itd.
U ovom članku ćemo navesti redom sve osnovne trigonometrijske formule, koje su dovoljne za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i upotrebe, grupiraćemo ih po namjeni i unijeti u tabele.
Navigacija po stranici.
Osnovni trigonometrijski identiteti
Osnovni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa jednog ugla. One slijede iz definicija sinusa, kosinusa, tangente i kotangensa, kao i koncepta jedinične kružnice. Oni vam omogućavaju da izrazite jednu trigonometrijsku funkciju u terminima bilo koje druge.
Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene pogledajte članak.
Cast formule
Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomjeranja za dati ugao. Ove trigonometrijske formule omogućavaju vam da od rada sa proizvoljnim uglovima pređete na rad sa uglovima od nule do 90 stepeni.
Obrazloženje ovih formula, mnemotehničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučavati u članku.
Formule sabiranja
Trigonometrijske formule sabiranja pokazuju kako se trigonometrijske funkcije zbira ili razlike dvaju uglova izražavaju u terminima trigonometrijskih funkcija ovih uglova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.
Formule za duplo, trostruko, itd. kutak
Formule za duplo, trostruko, itd. ugao (koji se naziva i formule višestrukog ugla) pokazuju kako su trigonometrijske funkcije dvostruke, trostruke, itd. uglovi () su izraženi u terminima trigonometrijskih funkcija jednog ugla. Njihovo izvođenje se zasniva na formulama sabiranja.
Detaljnije informacije prikupljene su u članku o formuli za duplo, trostruko itd. kutak.
Formule poluugla
Formule poluugla pokazuju kako se trigonometrijske funkcije poluugla izražavaju kosinusom cjelobrojnog ugla. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostrukog ugla.
Njihov zaključak i primjere primjene možete pronaći u članku.
Formule za smanjenje stepena
Trigonometrijske formule za redukciju stepena dizajnirani su da olakšaju prijelaz sa prirodnih stupnjeva trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse u prvom stepenu, ali više uglova. Drugim riječima, omogućavaju vam da snizite stupnjeve trigonometrijskih funkcija na prvi.
Formule zbira i razlike za trigonometrijske funkcije
glavna destinacija formule za zbir i razliku trigonometrijskih funkcija je ići na proizvod funkcija, što je vrlo korisno kada se pojednostavljuju trigonometrijski izrazi. Ove formule se također široko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednačina, jer vam omogućavaju da faktorizujete zbir i razliku sinusa i kosinusa.
Formule za proizvod sinusa, kosinusa i sinus po kosinus
Prijelaz sa umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku vrši se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa po kosinus.
Univerzalna trigonometrijska supstitucija
Pregled osnovnih formula trigonometrije zaključujemo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije u terminima tangenta poluugla. Ova zamjena je imenovana univerzalna trigonometrijska supstitucija... Njegova pogodnost leži u činjenici da se sve trigonometrijske funkcije izražavaju u terminima tangente poluugla racionalno bez korijena.
Bibliografija.
- algebra: Udžbenik. za 9 cl. srijeda škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Obrazovanje, 1990.- 272 str.: ilustr.- ISBN 5-09-002727-7
- Bašmakov M.I. Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. srijeda shk. - 3. izd. - M.: Obrazovanje, 1993.-- 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra i početak analize: Udžbenik. za 10-11 cl. opšte obrazovanje. institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str.: ilustr. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Udžbenik. priručnik - M .; Više. shk., 1984.-351 str., ilustr.
Autorska prava cleverstudents
Sva prava zadržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodne pismene dozvole vlasnika autorskih prava.
Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe obično se rješavaju formulama. Da vas podsjetim da se sljedeće trigonometrijske jednadžbe nazivaju najjednostavnijim:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je ugao koji treba pronaći,
a - bilo koji broj.
A evo i formula pomoću kojih možete odmah zapisati rješenja ovih jednostavnih jednadžbi.
za sinus:
za kosinus:
h = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
za tangentu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
za kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je teorijski dio rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Štaviše, sve!) Baš ništa. Međutim, broj grešaka na ovoj temi je jednostavno van skale. Pogotovo ako primjer malo odstupa od predloška. Zašto?
Da, jer mnogi ljudi zapisuju ova pisma, uopšte ne shvatajući njihovo značenje! Oprezno zapisuje, bez obzira kako se nešto dogodi...) S tim se mora riješiti. Trigonometrija za ljude, ili ljudi za trigonometriju ipak!?)
Hoćemo li to shvatiti?
Jedan ugao će biti jednak arccos a, sekunda: -arccos a.
I uvijek će tako funkcionirati. Za bilo koje a.
Ako mi ne vjerujete, postavite pokazivač miša preko slike ili dodirnite sliku na tabletu.) Promijenio sam broj a na neke negativne. U svakom slučaju, imamo jedan ugao arccos a, sekunda: -arccos a.
Stoga se odgovor uvijek može napisati u obliku dvije serije korijena:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
h 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Kombiniramo ove dvije serije u jednu:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
I svi slučajevi. Dobio sam opću formulu za rješavanje najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s kosinusom.
Ako shvatite da ovo nije neka supernaučna mudrost, već samo skraćeni zapis dvije serije odgovora, ti i zadatak "C" bit ćete na ramenu. Sa nejednakostima, sa izborom korijena iz datog intervala... Tamo se odgovor sa plus/minus ne kotrlja. A ako se prema odgovoru odnosite na poslovni način, i podijelite ga na dva odvojena odgovora, sve je odlučeno.) Zapravo, to je razlog zašto razumijemo. Šta, kako i gde.
U najjednostavnijoj trigonometrijskoj jednadžbi
sinx = a
takođe se dobijaju dve serije korena. Uvijek je. I ove dvije serije mogu se snimiti jedan red. Samo će ova linija biti lukavija:
h = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ali suština ostaje ista. Matematičari su jednostavno konstruisali formulu da naprave jedan umesto dva zapisa niza korena. I to je to!
Hajde da proverimo matematičare? A onda se nikad ne zna...)
U prethodnoj lekciji detaljno je analizirano rješenje (bez ikakvih formula) trigonometrijske jednadžbe sa sinusom:
Odgovor je proizveo dvije serije korijena:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Ako istu jednačinu riješimo pomoću formule, dobićemo odgovor:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Zapravo, ovo je nedovršen odgovor.) Učenik to mora znati arcsin 0,5 = π / 6. Potpun odgovor bi bio:
x = (-1) n π / 6+ π n, n ∈ Z
Ovo postavlja zanimljivo pitanje. Odgovorite putem x 1; x 2 (to je pravi odgovor!) i kroz usamljene NS (a ovo je tačan odgovor!) - ista stvar, ili ne? Sad ćemo saznati.)
Zamjena kao odgovor sa x 1 značenje n = 0; 1; 2; i tako dalje, računamo, dobijamo niz korijena:
x 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 itd.
Uz istu zamjenu u odgovoru sa x 2 , dobijamo:
x 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 itd.
Sada zamjenjujemo vrijednosti n (0; 1; 2; 3; 4 ...) u opštu formulu za usamljenog NS ... Odnosno, podižemo minus jedan na nulu, zatim na prvi, drugi, itd. I, naravno, zamjenjujemo 0 u drugom članu; 1; 2 3; 4 itd. I računamo. Dobijamo seriju:
x = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 itd.
To je sve što možete vidjeti.) Opšta formula nam daje potpuno isti rezultati, kao dva odgovora odvojeno. Samo odjednom, po redu. Matematičari se nisu prevarili.)
Formule za rješavanje trigonometrijskih jednačina s tangentom i kotangensom također se mogu provjeriti. Ali nećemo.) Oni su tako jednostavni.
Namjerno sam opisao svu ovu zamjenu i provjeru. Ovdje je važno razumjeti jednu jednostavnu stvar: postoje formule za rješavanje elementarnih trigonometrijskih jednačina, samo kratak zapis odgovora. Za ovu kratkoću, morao sam ubaciti plus/minus u kosinusno rješenje i (-1) n u rješenje sinusa.
Ovi umetci se ni na koji način ne mešaju u zadatke u kojima samo treba da zapišete odgovor na elementarnu jednačinu. Ali ako trebate riješiti nejednakost, ili onda trebate učiniti nešto s odgovorom: odabrati korijene na intervalu, provjeriti ODZ, itd., ovi umetci mogu lako uznemiriti osobu.
I šta da radim? Da, ili zapišite odgovor u dvije serije, ili riješite jednadžbu/nejednačinu duž trigonometrijskog kruga. Tada ti umetci nestaju i život postaje lakši.)
Možete rezimirati.
Postoje gotove formule odgovora za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Četiri komada. Dobre su za trenutno snimanje rješenja jednačine. Na primjer, trebate riješiti jednadžbe:
sinx = 0,3
Lako: h = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nema problema: h = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Lako: x = arktan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3.7
jedan ostao: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ako ti, blistajući znanjem, odmah napišeš odgovor:
x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
onda već blistaš, ovo ... ono ... iz lokve.) Tačan odgovor: nema rješenja. Da li razumete zašto? Pročitajte šta je arkosinus. Osim toga, ako su tablične vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta, kotangensa na desnoj strani originalne jednadžbe, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 itd. - odgovor kroz lukove će biti nedovršen. Lukovi se moraju prevesti u radijane.
A ako naiđete na nejednakost kao
onda je odgovor:
h πn, n ∈ Z
postoji rijetka glupost, da ...) Ovdje je potrebno odlučiti se za trigonometrijski krug. Šta ćemo raditi u relevantnoj temi.
Za one koji su herojski pročitali ove redove. Jednostavno ne mogu a da ne cijenim tvoje titanske napore. Ti si bonus.)
Bonus:
Kada pišu formule u alarmantnom borbenom okruženju, čak se i akademski okorjeli štreberi često zbune oko toga gdje πn, I gdje 2π n. Evo jednostavnog trika. U od svega formule vredne πn. Osim jedine formule s inverznim kosinusom. Stoji tamo 2πn. Dva pien. Ključna riječ - dva. Ista formula sadrži dva potpišite na početku. Plus i minus. tu i tamo - dva.
Dakle, ako ste napisali dva znak ispred inverznog kosinusa, lakše je zapamtiti šta će biti kraj dva pien. A dešava se čak i suprotno. Preskoči muški znak ± , dođe do kraja, piše kako treba dva pien, i doći će k sebi. Ispred nečega dva sign! Osoba će se vratiti na početak, ali će ispraviti grešku! Volim ovo.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Trenutno testiranje validacije. Učenje - sa interesovanjem!)
možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
