Beşgen, beş açısı olan geometrik bir şekildir. Ayrıca geometri açısından beşgen kategorisi, kenarlarının konumuna bakılmaksızın bu özelliğe sahip tüm çokgenleri içerir.
Bir beşgenin açılarının toplamı
Bir beşgen aslında bir çokgendir, dolayısıyla açılarının toplamını hesaplamak için, herhangi bir sayıda açıya sahip bir çokgenle ilgili olarak belirtilen toplamı hesaplamak için benimsenen formülü kullanabilirsiniz. Yukarıda bir çokgenin açılarının toplamı şu eşitlikle ele alınır: açıların toplamı = (n - 2) * 180°; burada n, istenen çokgendeki açıların sayısıdır.Böylece, şu durumda Hakkında konuşuyoruz tam olarak o ise bu formülde n'nin değeri 5'e eşit olacaktır. Böylece verilen n değerini formülde yerine koyarsak beşgenin açılarının toplamının 540° olacağı ortaya çıkar. Bununla birlikte, bu formülün belirli bir beşgenle ilgili olarak uygulanmasının bir takım kısıtlamalarla ilişkili olduğu unutulmamalıdır.
Beşgen türleri
Gerçek şu ki, bu geometrik şekillerin diğer türlerinde olduğu gibi belirtilen formülün ancak dışbükey çokgen denilen şeyden bahsediyorsak uygulanabileceğidir. Bu da, tatmin edici bir geometrik şekildir. sonraki koşul: Bütün noktaları iki bitişik köşe arasından geçen çizginin bir tarafındadır.Bu nedenle, açıların toplamı belirtilen değerden farklı olacak bir beşgen kategorisi vardır. Örneğin, dışbükey olmayan bir beşgen için seçeneklerden biri şudur: geometrik şekil Yıldız şekilli. Bir yıldız beşgen, normal bir beşgenin, yani bir beşgenin tüm köşegen kümesi kullanılarak da elde edilebilir: bu durumda, ortaya çıkan geometrik şekle bir pentagram adı verilecektir. eşit açılar. Bu durumda belirtilen açıların toplamı 180° olacaktır.
İlk yol- iletki kullanarak bu tarafta S.
Düz bir çizgi çizin ve üzerine AB = S koyun; Bu çizgiyi yarıçap olarak alıyoruz ve bu yarıçapı A ve B noktalarından gelen yayları tanımlamak için kullanıyoruz: daha sonra, bir iletki kullanarak, bu noktalarda, kenarları C ve D noktalarındaki yaylarla kesişecek 108°'lik açılar oluşturuyoruz; Yarıçapı AB = 5 olan bu noktalardan, E noktasında kesişen ve L, C, E, D, B noktalarını düz çizgilerle birleştiren yayları tanımlıyoruz.
Ortaya çıkan beşgen- çok rağbette.
İkinci yol. Yarıçapı r olan bir daire çizelim. A noktasından, bir pusula kullanarak, daireyi B ve C noktalarında kesinceye kadar AM yarıçaplı bir yay çizin. B ve C'yi yatay ekseni E noktasında kesen bir çizgiyle birleştiriyoruz.
Sonra E noktasından kesişecek bir yay çiziyoruz yatay çizgi Son olarak F noktasından, daireyi H ve K noktalarında kesecek bir yay tanımlarız. FO = FH = FK mesafesini daire boyunca beş kez çizerek ve bölme noktalarını çizgilerle birleştirerek, düzenli bir daire elde ederiz. Pentagon.
Üçüncü yol. Bu daireye düzgün bir beşgen yazın. AB ve MC'ye birbirine dik iki çap çiziyoruz. AO yarıçapını E noktasına ikiye bölün. E noktasından, merkezden olduğu gibi, EM yarıçaplı bir dairenin yayı çiziyoruz ve onunla F noktasında AB çapını işaretliyoruz. MF segmenti, istenen normal beşgenin kenarına eşittir. MF'ye eşit bir pusula çözümü kullanarak N 1, P 1, Q 1, K 1 seriflerini oluşturuyoruz ve bunları düz çizgilerle birleştiriyoruz.
Şekilde bu kenar boyunca bir altıgen yapılmıştır.
A ve B noktalarından yarıçap olarak AB = 5 düz çizgisi, C'de kesişen yayları tanımlarız; bu noktadan itibaren aynı yarıçapta A B kenarına 6 kez çökelecek bir daire tanımlıyoruz.
Altıgen ADEFGB- çok rağbette.
"Yenileme sırasında odaların tasarlanması"
N.P. Krasnov
Boyamanın temeli duvarların, tavanların ve diğer yapıların tamamen boyalı yüzeyleridir; boyama yüksek kaliteli yapıştırıcı kullanılarak yapılır ve yağlı boyalar, düzeltme veya yiv açma için yapılmıştır. Bitirme taslağını geliştirmeye başlarken, usta tüm kompozisyonu ev ortamında açıkça hayal etmeli ve yaratıcı niyeti açıkça anlamalıdır. Ancak bu temel koşul karşılanırsa doğru bir şekilde yapılabilir...
Yapılan işin ölçümü, özel olarak belirtilen durumlar haricinde, kabartma ve eksi işlenmemiş alanlar dikkate alınarak fiilen işlenmiş yüzeyin alanına göre gerçekleştirilir. Gerçekte işlenmiş yüzeyleri belirlemek için boyama işleri Tablolarda verilen dönüşüm faktörlerini kullanmalısınız. A. Ahşap pencere cihazları (ölçüm, çerçevelerin dış çevresi boyunca açıklıkların alanına göre yapılır) Cihazların adı ...
Bazı resim çalışmalarını gerçekleştirmek için çizim yapabilmeniz gerektiğini zaten söylemiştik. Ve çizme yeteneği, geometrik şekillerin oluşturulmasına ilişkin kuralların bilinmesini gerektirir. Kağıt üzerindeki eskizler üçgenler, çapraz çubuklar, taşıma ve pergel kullanılarak çizilir ve duvar ve tavan düzleminde ağırlık, cetvel, ahşap pergel ve kordon kullanılarak yapılar yapılır. Aynı zamanda gerekli...
Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü, bir beşgenin kesişen beş çizgiyle sınırlandığını ve beş çizginin beş oluşturduğunu belirtir. iç köşeler ve benzer şekle sahip herhangi bir nesne. Belirli bir çokgen aynı kenarlara ve açılara sahipse, buna düzgün (beşgen) denir.
Normal beşgenin ilginç yanı nedir?
Amerika Birleşik Devletleri Savunma Bakanlığı'nın tanınmış binası bu formda inşa edildi. Üç boyutlu normal çokyüzlülerden yalnızca dodekahedronun beşgen şekilli yüzleri vardır. Ve doğada, yüzleri normal bir beşgene benzeyen kristaller kesinlikle yoktur. Ayrıca bu şekil, alanı döşemek için kullanılamayan, minimum sayıda açıya sahip bir çokgendir. Sadece bir beşgen kenar sayısıyla aynı sayıda köşegen sayısına sahiptir. Katılıyorum, bu ilginç!
Temel özellikler ve formüller
Rastgele bir normal çokgen için formüller kullanarak tümünü belirleyebilirsiniz. gerekli parametreler Pentagon'un sahip olduğu.
- Merkez açısı α = 360 / n = 360/5 =72°.
- İç açı β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Buna göre iç açıların toplamı 540°'dir.
- Köşegenin kenara oranı (1+√5)/2 yani (yaklaşık 1,618) olur.
- Düzenli bir beşgenin kenar uzunluğu, hangi parametrenin zaten bilindiğine bağlı olarak üç formülden biri kullanılarak hesaplanabilir:
- etrafında bir daire tanımlanmışsa ve yarıçapı R biliniyorsa, o zaman a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
- yarıçapı r olan bir dairenin düzgün bir beşgen içine yazılması durumunda, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
- yarıçap yerine D köşegeninin değeri biliniyorsa, kenar şu şekilde belirlenir: a ≈ D/1,618.
- Düzenli bir beşgenin alanı yine bildiğimiz parametreye bağlı olarak belirlenir:
- yazılı veya çevrelenmiş bir daire varsa, iki formülden biri kullanılır:
S = (n*a*r)/2 = 2,5*a*r veya S = (n*R2 *sin α)/2 ≈ 2,3776*R2;
- Alan ayrıca yalnızca a tarafının uzunluğunun bilinmesiyle de belirlenebilir:
S = (5*a 2 *tg54°)/4 ≈ 1,7205* a 2 .
Düzenli beşgen: yapı
Bu geometrik şekil farklı şekillerde oluşturulabilir. Örneğin, onu belirli bir yarıçapa sahip bir daireye yerleştirin veya belirli bir kenarı temel alarak oluşturun. Eylemlerin sırası Öklid'in Elementleri'nde yaklaşık MÖ 300'de anlatılmıştır. Her durumda bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacımız olacak. Belirli bir daireyi kullanarak bir inşaat yöntemini düşünelim.
1. İsteğe bağlı bir yarıçap seçin ve merkezini O noktasıyla işaretleyerek bir daire çizin.
2. Daire doğrusunda beşgenimizin köşelerinden biri olacak bir nokta seçin. Bu A noktası olsun. O ve A noktalarını düz bir çizgiyle birleştirin.
3. O noktasından OA çizgisine dik bir çizgi çizin. Bu düz çizginin daire çizgisiyle kesişimini B noktası olarak belirleyin.
4. O ve B noktalarının ortasında C noktasını oluşturun.
5. Şimdi merkezi C noktasında olacak ve A noktasından geçecek bir daire çizin. OB çizgisiyle kesiştiği yer (ilk dairenin içinde olacak) D noktası olacaktır.
6. D'den geçen, merkezi A'da olacak bir daire oluşturun. Orijinal daire ile kesiştiği yerler E ve F noktaları ile işaretlenmelidir.
7. Şimdi merkezi E'de olacak bir daire çizin. Bu, A'dan geçecek şekilde yapılmalıdır. Orijinal daireyle diğer kesişimi işaretlenmelidir.
8. Son olarak, merkezi F noktasında olan A'dan geçen bir daire çizin. Orijinal dairenin diğer kesişimini H noktasıyla etiketleyin.
9. Şimdi geriye kalan tek şey A, E, G, H, F köşelerini birleştirmektir. Normal beşgenimiz hazır olacak!
Pisagorcuların dünyayı sayısal uyum yasalarına göre organize edilmiş olarak gördüklerini daha önce yazmıştık. Müzikteki uyum algısının sayılar arasındaki belirli ilişkilerle ilişkili olduğunu bulmuşlardır (bkz. Pisagor Armonisi); ancak görsel uyumun aynı zamanda farklı bölümler arasındaki belirli ilişkilerle de ilişkili olduğu ortaya çıktı. Bu bağlamda en ünlüsü, bir parçayı iki eşit olmayan parçaya bölme yöntemi olan altın orandır; bu yöntemde tüm parça, büyük parçanın küçük parçayla ilişkisi olduğu gibi, büyük parçayla da ilişkilidir:
Heykeltıraş Polykleitos, orantılı bir insan vücudunu tasvir etmek için bir kanon (kural) fikrini geliştirdi ve kanonunu, kısaca "Canon" olarak adlandırılan "Doriphorus" ("Mızrakçı") heykelinde açıkça somutlaştırdı. Heykelin oranlarında altın oran fazlasıyla mevcut. Örneğin göbeğin heykeli böldüğü alt ve üst kısımların yüksekliklerinin oranı altın orana eşittir; boyun tabanı da üst kısmı altın oranla böler; dizler alt kısmı altın oranla vb. böler.
Rönesans döneminde bilim adamları ve sanatçılar altın orana yeni bir ilgi duymaya başladılar. İtalyan matematikçi Luca Pacioli “İlahi Oran” adlı kitabını ona adadı. Ve arkadaşı, büyük Leonardo da Vinci, "altın oran" teriminin sahibidir (kadim insanlar buna genellikle "bir parçanın aşırı ve ortalama orana bölünmesi" adını verirlerdi). " altın Oran” Raphael, Michelangelo, Dürer'in eserlerinde sıklıkla bulunur.
Evrenin temelindeki sayısal uyum hakkındaki Pisagor fikirlerine yabancı olmayan Johannes Kepler, geometrinin iki hazinesi olduğunu söyledi: Pisagor teoremi ve altın oran; birincisi bir ölçü altınla, ikincisi ise değerli bir taşla karşılaştırılabilir.
Örneğin insan gözünün farklı en boy oranlarına sahip dikdörtgenler arasında bu oranın altın orana eşit olanı tercih ettiği deneysel olarak kanıtlanmıştır. Kağıt tabakaları, çikolatalar, kredi kartları vb. genellikle bu tür dikdörtgenler şeklinde yapılır.
Belirli bir AB parçasını altın orana göre bölmek için, dik olanı uçlarından birinden, örneğin B noktasından geri getirmeniz, üzerine BD = AB /2 parçasını koymanız, AD parçasını çizmeniz, koymanız gerekir. üzerinde DE = AB /2 doğru parçası ve son olarak AB doğru parçası üzerinde AC = AE olacak şekilde bir C noktası işaretleyin. C noktası AB parçasını altın oranla bölecektir.
Hadi kanıtlayalım. Pisagor teoremine göre (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2 veya
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2 ve BD = DE = AB /2 ve AE = AC olduğundan, o zaman
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
dolayısıyla AC 2 = AB (AB – AC).
AB – AC = BC olduğundan
AC 2 = AB ∙ BC, buradan
Yukarıdaki yapı altın oranın sayısal değerini bulmamızı sağlar. AB segmentinin tamamının segmente oranına eşittir.
Böylece altın oran sayıyla ifade edilir. 
Bu sayı yaklaşık 1.618'dir. Genellikle Phidias sayısı olarak adlandırılır ve Yunanca Φ harfiyle gösterilir:
| Φ = |
Bu sayıya bazen Phidias'ın küçük sayısı da denir (ve o zaman Φ olur) Büyük bir sayı Phidias) ve φ ile gösterilir. Yaklaşık olarak 0,618'e eşittir. Altın oran ifade ediliyor irrasyonel sayı. Bu, irrasyonellikten kaynaklanır (eğer altın oran rasyonel olsaydı, o zaman = 2Φ – 1 sayısı da rasyonel olurdu) ve irrasyonellik, irrasyonelliğe benzer bir şekilde kanıtlanabilir. Buna ek olarak, Φ'nin irrasyonelliğini şunu kullanarak göstermek oldukça basittir: Öklid algoritmasının geometrik bir çizimi. Kenarları altın oranla ilişkili olan a 1 × a 2 dikdörtgenimiz olsun. Küçük kenarı büyük kenarın üzerine koyarak bir kare elde ederiz ve kalan dikdörtgen orijinal dikdörtgene benzer olacaktır: Aynı işlemi ona uygulayarak tekrar orijinaline benzer bir kare ve dikdörtgen elde edeceğiz, vb. ( İlginç bir şekilde, birinci, üçüncü, beşinci ve benzeri dikdörtgenlerin, ikinci, dördüncü, altıncı vb. gibi ortak bir köşegenleri vardır; bu iki köşegen, tüm dikdörtgenlere ait olan bir noktada dik açıyla kesişir).
Bu algoritma hiçbir zaman sona ermediği için a 1 ve a 2 bölütlerinin ortak ölçüsü yoktur. Kepler, altın oranın sürekli kendini yeniden ürettiğini söyledi. Canlı doğada, parçaları yaklaşık olarak bütüne benzeyen bu tür organizmaların yapısında bulunur - örneğin kabuklarda, sürgünlerdeki yaprakların düzeninde vb.
 |
|
Pirinç. 5. Lavabo |
Son olarak altın oran düzgün bir beşgen oluşturmamızı sağlar. (Düzgün üçgen ve dörtgenleri yardım almadan nasıl yapacağınızı biliyorsunuz değil mi? Çevrelerine daireler çizip kenarlarını ikiye bölerek 2 n ve köşeleri 3 ∙ 2 n olan düzgün çokgenler oluşturmak hiç de zor değil). Düzgün bir beşgenin kenarlarını bitişik kenarların uzantılarıyla kesişme noktalarına kadar uzatırsanız, güzel bir beş köşeli yıldız elde edersiniz. Bu, özellikle Pisagorcular arasında popüler olan eski bir mistik semboldür: buna "pentagram" veya "pentalfa" denir, yani kelimenin tam anlamıyla "beş harf" veya "beş alfa" - beşin birleşimi olarak görülüyordu harfler “alfa” (A) . Pentagram, sağlığın - bir insandaki uyumun - sembolü olarak kabul edildi ve Pisagorcular arasında bir kimlik işareti olarak hizmet etti. (Örneğin, yabancı bir ülkede Pisagorculardan biri ölüm döşeğinde yatarken ve ölene kadar kendisine bakan adama ödeyecek parası olmadığında, evinin kapısına bir pentagram çizilmesini emretti. Birkaç yıllar sonra başka bir Pisagorcu bu işareti gördü ve sahibi cömert bir ödül aldı). Pentagramdaki çeşitli çizgilerin altın orana göre birbirini böldüğü ortaya çıktı. Aslında ACD ve ABE üçgenleri benzerdir, AB : AC = AE : AD. Ancak AD = BC ve AE = AC, dolayısıyla AB: AC = AC: BC. Yıldızın dış konturunun 10 bölümünden herhangi birinin, küçük bir iç beşgen oluşturan 5 bölümden herhangi biriyle altın oranla ilişkili olduğu ortaya çıktı.
Bu arada, aynı ACD ve ABE üçgenlerinin benzerliğinden ACD üçgeninin ikizkenar olduğu ve CD = AD olduğu sonucu çıkar. Bu, normal bir beşgenin köşegeninin, yine altın oranla kendi kenarına bağlı olduğu anlamına gelir. Düzenli bir beşgenin beş köşegeninin tümü, tüm ilişkilerin tekrarlandığı başka bir beşgen oluşturur.
Kenarı a 1 olan normal bir beşgen oluşturmanız gerekiyorsa, o zaman altın orandaki a 1 parçasını a 2 ve a 3 parçalarına bölmeniz, ardından kenarları a 1, a 1 ve (a 1) olan bir ikizkenar üçgen oluşturmanız gerekir. + a 2). A 1 uzunluğundaki iki parça istenen beşgenin iki kenarını oluşturacaktır ve a 1 + a 2 = a 1 /Φ uzunluğundaki bir parça onun köşegenidir. Başka üçgenler oluşturarak beşgenin geri kalan köşelerini bulmak zor değildir.
Orta Çağ'da pentagram Venüs'ün sembolü olarak hizmet ediyordu: bu gezegen Dünya'ya beş noktadan yaklaşarak bir beşgen oluşturuyordu.
Kenarları tabana altın oranda bağlı olan ikizkenar üçgenin (örneğin, iki köşegen ve düzgün bir beşgenin kenarından oluşan bir üçgen) ilginç bir özelliği daha vardır: tabandaki açılarının açıortayları tabanın kendisine eşittir .
Böyle bir üçgen genellikle çeşitli kompozisyonlarda bulunur. Sanat Eserleri– örneğin, Leonardo da Vinci'nin ünlü “La Gioconda”sında.
Çokgen- kapalı bir kesik çizgiyle sınırlanan bir düzlem üzerinde geometrik bir şekil; herhangi bir A 1, A 2, ..., An n noktasını alıp her birini bir sonrakine ve sonuncusunu da ilkine düz çizgi parçalarıyla bağlarsak elde edilen bir çizgi.
İki tür çokgen vardır: dışbükey ve dışbükey olmayan. Dışbükey çokgenlere daha yakından bakacağız. Çokgen denir dışbükey, eğer çokgenin hiçbir kenarı süresiz olarak uzatılmazsa, çokgeni iki parçaya böler. Dışbükey çokgenler düzenli ve düzensizdir ancak biz düzenli olanları ele alacağız. Dışbükey Poligon isminde doğru, eğer tüm kenarlar eşitse ve tüm açılar eşitse. Düzgün bir çokgenin merkezi, tüm köşelerinden ve tüm kenarlarından eşit uzaklıkta olan bir noktadır.
Düzgün bir çokgenin merkez açısı, bir kenarın merkezinden görülebildiği açıdır. Düzenli bir çokgenin özellikleri:
1) Bir dairenin içine düzgün bir çokgen yazılır ve bu dairelerin merkezleri çakışacak şekilde dairenin etrafında çevrelenir;
2) Düzenli bir çokgenin merkezi, yazılı ve çevreli dairelerin merkezleriyle çakışır;
3) Sağ taraf N-gon yarıçapla ilgilidir R sınırlı daire formülü;
4) Çevreler doğru N-gonlar çevrelenmiş dairelerin yarıçapları olarak ilişkilidir.
5) Bir düzgün n-genin köşegenleri, açılarını eşit parçalara böler.
Düzenli beşgen
Normal beşgen olan beşgene daha yakından bakalım.
Temel ilişkiler: bir beşgenin tepe noktasındaki açı 108°'dir, dış köşe- 72°. Bir beşgenin kenarı, yazılı ve çevrelenmiş dairenin yarıçapları cinsinden ifade edilir:
Düzenli bir beşgen inşa edelim. Bunu çevrelenmiş bir daire kullanarak yapmak kolaydır. Merkezinden başlayarak, tepe noktası dairenin merkezinde olacak şekilde, 72°'ye eşit açıları sırayla çizmek gerekir. Köşelerin kenarları daireyi beş noktada kesişecek, bunları seri halinde bağlayacak, düzenli bir beşgen elde edeceğiz. Şimdi bu beşgendeki tüm köşegenleri çizelim. Düzenli yıldız şeklinde bir beşgen oluştururlar, yani. ünlü pentagram. Pentagramların kesişen kenarlarının yine düzenli bir beşgen oluşturması ilginçtir; burada köşegenlerin kesişimi bize yeni bir pentagram verir ve bu sonsuza kadar devam eder (bkz. Şekil 6).
Bir pentagram, normal dışbükey olmayan bir beşgendir, aynı zamanda düzenli bir yıldız şeklinde beşgen veya normal bir beşgen yıldızdır. Birçok çiçek, deniz yıldızı ve kestane, virüs vb. beş köşeli yıldız şeklindedir. Pentagramın ilk sözü M.Ö. Antik Yunan. Yunancadan tercüme edilen pentagram, kelimenin tam anlamıyla beş çizgi anlamına gelir. Pentagram, Pisagor okulunun (MÖ 580-500) ayırt edici özelliğiydi. Bu güzel çokgenin birçok mistik özelliğe sahip olduğuna inanıyorlardı. Pentagrama karşı saygılı bir tutum, Pisagorlulardan çok şey ödünç alan ortaçağ mistiklerinin de karakteristik özelliğiydi. Orta Çağ'da pentagramın Şeytan'dan korunmanın bir işareti olduğuna inanılıyordu.
