Sayılar. Gerçek sayılar. Gerçek sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar Gerçek sayılar yazımı

Sayılar - türleri, kavramları ve işlemleri, doğal ve diğer sayı türleri.

Sayı, nesnelerin ve parçalarının nicel özelliklerini, numaralandırmasını, karşılaştırmasını belirlemeye hizmet eden temel bir matematik kavramıdır. Sayılara çeşitli aritmetik işlemler uygulanabilir: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, üs alma ve diğerleri.

İşlemde yer alan sayılara işlenenler denir. Yapılan işleme bağlı olarak farklı isimler alırlar. Genel olarak, operasyon şeması aşağıdaki gibi temsil edilebilir:<операнд1> <знак операции> <операнд2> = <результат>.

Bölme işleminde ilk işlenene bölünebilir denir (bu bölünen sayının adıdır). İkincisi (bölündüğü) bölendir ve sonuç bölümdür (temettü bölenden kaç kez daha büyük olduğunu gösterir).

Sayı türleri

Bölme işleminde farklı sayılar yer alabilir. Bölme sonucu tam veya kesirli olabilir. Matematikte aşağıdaki sayı türleri vardır:

• Doğal sayılar saymak için kullanılan sayılardır. Bunlar arasında, yalnızca iki böleni olan bir asal sayı alt kümesi göze çarpar: bir ve kendisi. 1 hariç diğerleri bileşik olarak adlandırılır ve ikiden fazla bölene sahiptir (asal sayılara örnekler: 2, 5, 7, 11, 13, 17, 19, vb.);
• Tam sayılar, negatif, pozitif ve sıfır sayılar kümesidir. Bir tamsayıyı diğerine bölerken, bölüm tam veya gerçek (kesirli) olabilir. Bunlar arasında, kendisi hariç tüm bölenlerinin (1 dahil) toplamına eşit olan mükemmel sayıların bir alt kümesini ayırt edebiliriz. Eski Yunanlılar sadece dört mükemmel sayıyı biliyorlardı. Mükemmel sayıların dizisi: 6, 28, 496, 8128, 33550336 ... Şimdiye kadar bilinen tek bir tek mükemmel sayı yok;
• Rasyonel - a / b kesri olarak gösterilebilir, burada a pay ve b paydadır (bu tür sayıların bölümü genellikle hesaplanmaz);
• Gerçek (gerçek) - tamsayı ve kesirli kısımlar içerir. Küme, rasyonel ve irrasyonel sayıları içerir (periyodik olmayan sonsuz ondalık kesir olarak temsil edilir). Kural olarak, bu tür sayıların bölümü gerçek bir değerdir.

Bir aritmetik işlemin gerçekleştirilmesiyle ilgili birkaç özellik vardır - bölme. Doğru sonucu elde etmek için onları anlamak önemlidir:

• Sıfıra bölemezsiniz (matematikte bu işlem mantıklı değildir);
• Tamsayı bölümü, yalnızca tamsayı kısmın hesaplandığı bir işlemdir (bu durumda kesirli kısım atılır);
• Bir tamsayı bölmesinin kalanını hesaplamak, sonuç olarak işlem tamamlandıktan sonra kalan tamsayıyı elde etmenizi sağlar (örneğin, 17'yi 2'ye bölerken tamsayı kısmı 8, kalan 1'dir).

Gerçek sayı kavramı: gerçek Numara- (gerçek sayı), negatif veya negatif olmayan herhangi bir sayı veya sıfır. Gerçek sayılar yardımıyla her bir fiziksel niceliğin ölçüleri ifade edilir.

Gerçek, veya gerçek Numara dünyanın geometrik ve fiziksel niceliklerini ölçme ihtiyacından doğmuştur. Ayrıca kök çıkarma, logaritma hesaplama, cebirsel denklemleri çözme vb. işlemleri gerçekleştirmek.

Saymanın gelişmesiyle doğal sayılar ve bir bütünün parçalarını kontrol etme ihtiyacı ile rasyonel sayılar, daha sonra sürekli nicelikleri ölçmek için gerçek sayılar (gerçek) kullanılır. Böylece, dikkate alınan sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, adı verilen diğer öğelerden oluşan bir gerçek sayılar kümesine yol açmıştır. irrasyonel sayılar.

Çok sayıda gerçek sayı(ile gösterilir r) rasyonel ve irrasyonel sayıların bir araya getirilmiş kümeleridir.

Gerçek sayılar bölünürakılcı ve mantıksız.

Gerçek sayılar kümesi belirtir ve genellikle denir malzeme veya sayı doğrusu... Gerçek sayılar basit nesnelerden oluşur: tüm ve rasyonel sayılar.

Oran olarak yazılabilen bir sayı, buradam bir tamsayıdır ve n- doğal sayı,rasyonel sayı.

Herhangi bir rasyonel sayı, kolayca sonlu bir kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Örnek,

sonsuz ondalık, ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir ondalık kesirdir.

Temsil edilemeyen sayılar irrasyonel sayılar.

Örnek:

Herhangi bir irrasyonel sayı, periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesir olarak kolayca temsil edilebilir.

Örnek,

Rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturur gerçek sayılar kümesi. Tüm gerçek sayılar, koordinat çizgisinin bir noktasına karşılık gelir. sayı doğrusu.

Sayısal kümeler için aşağıdaki gösterim kullanılır:

• n- bir dizi doğal sayı;
• Z- bir tamsayı kümesi;
• Q- bir dizi rasyonel sayı;
• r- bir dizi gerçek sayı.

Sonsuz ondalık kesirler teorisi.

Gerçek bir sayı olarak tanımlanır sonsuz ondalık, yani:

± a 0, a 1 a 2 ... bir n ...

burada ± + veya - sembollerinden biridir, bir sayının işaretidir,

0 - pozitif tam sayı,

a 1, a 2, ... a n, ... bir ondalık basamak dizisidir, yani. sayısal kümenin elemanları {0,1,…9}.

Sonsuz bir ondalık kesir, aşağıdaki gibi rasyonel noktalar arasındaki sayı doğrusunda bulunan bir sayı olarak açıklanabilir:

± a 0, a 1 a 2 ... bir n ve ± (a 0, 1 a 2… bir n +10 −n) hepsi için n = 0,1,2, ...

Gerçek sayıların sonsuz ondalık kesirler olarak karşılaştırılması, azar azar gerçekleşir. Örneğin, 2 pozitif sayı verildiğini varsayalım:

α = + a 0, a 1 a 2 ... bir n ...

β = + b 0, b 1 b 2… b n…

Eğer 0 0, sonra α<β ; Eğer a 0> b 0 sonra α>β ... Ne zaman 0 = b 0 bir sonraki kategorinin karşılaştırmasına geçiyoruz. Vesaire. Ne zaman α≠β , daha sonra sonlu sayıda adımdan sonra ilk rakamla karşılaşılacaktır nöyle ki bir n ≠ bn... Eğer bir n n, sonra α<β ; Eğer bir n> bn sonra α>β .

Ancak aynı zamanda, sayının çok olduğu gerçeğine dikkat etmek sıkıcıdır. a 0, a 1 a 2… bir n (9) = bir 0, bir 1 a 2… bir n +10 −n. Bu nedenle, belirli bir yerden başlayarak karşılaştırılan sayılardan birinin kaydı, periyot içinde 9 olan periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyotta sıfır olan eşdeğer bir kayıtla değiştirilmelidir.

Sonsuz ondalık kesirli aritmetik işlemler, rasyonel sayılarla karşılık gelen işlemlerin sürekli bir devamıdır. Örneğin, gerçek sayıların toplamı α ve β gerçek bir sayıdır α+β aşağıdaki koşulları karşılayan:

∀ a ′, a ′ ′, b ′, b ′ ′∈ Q (bir ′⩽ α ⩽ a ' ')∧ (B '⩽ β ⩽ B ' ')⇒ (a + b⩽ α + β ⩽ bir ′ ′ + b ′ ′)

Sonsuz ondalık kesirleri çarpma işlemi de benzer şekilde tanımlanır.

Şekil 3 Organizasyon şeması

Organizasyon şeması, Bir şema veya organizasyon şeması ekle düğmesi kullanılarak eklenir, orijinal test bloklarında değiştirilir, ardından tüm nesne dikey olarak sıkıştırılır.

1.1 WordArt programı

Program, sanatsal yazıları bir belgeye girmek, düzenlemek, metne yerleştirmek vb. için tasarlanmıştır.

Bir nesnenin eklenmesi şu şekilde yapılır:

bir tuşa sol tıklama yapmak Nesne EkleKelimeSanat, yazı tipini seçin, tuşuna basın TAMAM;

görünen pencerede Metni değiştirKelime sanatı yazı tipi türünü, boyutunu ve stilini (kalın, italik) ayarlayın, metni girin ve tuşuna basın Tamam.

bir panel görünecek Kelime sanatı, forma sahip olmak (Şekil 4):

Şekil 4 Araç Çubuğu Kelime sanatı

Panelde düğmeler bulunur: Nesne EkleKelime sanatı, Metni değiştir ..., KoleksiyonKelime sanatı, Nesne formatıKelime sanatı(renkler ve çizgiler, boyut, ekrandaki konum, sarma, çizim, yazı), Menü Metin Şekli(yazıt biçimleri) .Dikey metin ve benzeri.

Metin, seçim anahattındaki beyaz daireler kullanılarak yeniden boyutlandırılabilir. Metni taşımak fare ile yapılır ve metni ortasından veya seçim çerçevesinin satırından tutmanız gerekir. Nesnenin dönüşü, yazıtın eğimi olan yeşil daireler kullanılarak gerçekleştirilir -

sarı elmaslarla. Buton kullanılarak nesnenin rengi ve diğer parametreleri değiştirilebilir nesne biçimiKelime sanatı veya ana panelden Tablo, ek olarak gölgeleme ve üç boyutluluğun etkilerini ayarlayabileceğiniz .

Örneğin, WordArt programını kullanarak girdikten ve kurduktan sonra "Znamya" gazetesinin adı şöyle görünebilir (Şekil 5):

Örnek 3

Şekil 5 "Banner" yazısı

2 Bir duvar duyurusunun geliştirilmesi

Geliştirme kullanımları metin alanları, düğmesi kullanılarak oluşturulan Yazıt. Yazıt, bir çerçeve, bir belgeye uygulanan ve herhangi bir veriyi (metin, tablo, resim ve diğer nesneler) içerebilen bir "yama"dır. Böyle bir reklam genellikle bir resim, reklam metni, kuruluşun adı ve "ayırma numaraları" sayfalarından oluşur. Tüm reklam öğeleri, # 1-# 5 numaralı metin alanlarına girilir:

Örnek 4: Metin alanlarını kullanarak bir duvar reklamı oluştururken yapılacak işlemlerin sırası (mümkün):

düğmeyi kullanma yazıt araç çubukları Tablo reklamın boyutuyla eşleşen 1 numaralı bir metin kutusu oluşturun.

Menüde BiçimÖğeyi seçin Kenarlıklar ve gölgeleme ve 1 numaralı metin kutusunun etrafında bir kenarlık oluşturun - bunlar reklamın boyutlu kenarlıklarıdır. Çerçeve çift, kalın, noktalı vb. olabilir.

1 numaralı alanın sol üst köşesinde, 2 numaralı alanı (kenarlıksız) oluşturun.

hangi organizasyonun adını yerleştirecek.

Çiz panelinde WordArt Ekle'yi seçin.

Ekranda WordArt penceresi görünecek, kabartmalı metni seçin, Tamam'a tıklayın. Metin girin alanına, "öğrenci" kuruluşunun adını yazın. Yazı tipi türünü Arial, boyut 18, stil - kalın, italik olarak ayarlayın, Tamam'ı tıklayın. Kuruluşun adı, bir yayda kavisli 2 numaralı metin kutusunda görünecektir, dikey olarak uzatın.

"Öğrenci" kelimesinin yayına uyan metin kutusu # 3 oluşturun. Resmi kavisli metnin içine yerleştirin. Bunun için menüde SokmakÖğeyi seçin Resim çizme, açılan iletişim kutusunda, dosyalar listesinde uygun bir resim seçin ve düğmesine tıklayın Tamam... Eklenen resim beyaz kareli bir çerçeveyle çevrilidir. Resmin boyutu 3 numaralı alanla eşleşmiyorsa, resim kırpılırken bu kareler fare ile hareket ettirilerek küçültülebilir. Orantılı olarak küçültmek için, resmin üzerine fareyle tıklamanız gerekir, resmin boyutunu kırpmadan ayarlayabileceğiniz siyah kareli bir çerçeve görünecektir.

4 numaralı bir metin kutusu oluşturun ve içine "Özetler, dönem ödevleri, tezler: BASKI, TASARIM" reklam metnini yazın. Arial Narrow yazı tipi, boyut 16, kalın, genişliğe göre konum, renkler koyu kırmızı, koyu mavi ve otomatik renk (siyah) kullanarak metni alan 4'e sığacak şekilde seçin ve biçimlendirin.

Soldan ilk yırtma telefonun yerleştirileceği satırda # 5 metin kutusu oluşturun. Dikey metin efektine sahip bir WordArt ekleyin, bir telefon numarası girin.

5 numaralı metin kutusunu telefon numarasıyla birlikte fareyi kullanarak, 1 numaralı metin kutusuna genişliğine sığacak kadar çok kez Ctrl tuşunu basılı tutarak kopyalayın. Panoyu kullanabilirsiniz, yani. bir nesne seçin, komutla panoya kopyalayın Düzenle \ Kopyala veya düğme ile kopyala panelde Standart, ardından imleci ekleme noktasına getirin ve komutu yürütün Düzenle \ Yapıştır veya düğme ile Sokmak, ancak yapıştırırken, kopyalar üst üste gelecek ve ayrıca manuel olarak bir satırda taşınmaları gerekecek.

Daha sonra örneğin kopyalama sırasında tek bir nesne olarak kullanmak üzere tüm nesneleri gruplama. Bu yapılmazsa, her nesne (resim, telefon kısayolu, ad ...) ayrı ayrı kopyalanacaktır. Nesneleri gruplama iki şekilde yapılabilir:

tuşu basılı tutarken Vardiya, nesnelerin her birine tıklayın, böylece hepsi aynı anda seçilecektir. Sonra

araç çubuğunu genişlet Tablo ve D düğmesine basın yırtılma... Nesnelerin etrafında ortak bir çerçeve belirecektir (tek bir nesne haline gelecektir);

düğmesine basın nesne seçimi panelde Tablo ve ızgarayı tüm reklam nesnelerinin etrafına uzatın, hepsi aynı anda seçilir ve düğmesine basın Grup... Gerekirse, nesneler düğmesi kullanılarak gruplandırılabilir Grubu çöz.

Anahtarlı fare Ctrl veya 9. maddede belirtildiği gibi pano aracılığıyla.

Artık reklamların olduğu sayfa yazdırılabilir ve kesilebilir

bir A4 kağıda bu boyutta 8 reklam sığabilir.

Komutu kullanarak alınan duvar reklamını (şekil 6) bir diskete kaydedin. Dosya \ Farklı Kaydet….

Resimlerin ve metin alanlarının farklı bir sırayla birkaç katmanda üst üste bindirilebileceği ve ayrıca ana seviyenin - metnin üstüne veya arkasına yerleştirilebileceğine dikkat edilmelidir. Bu amaçla araç çubuğunun 6 komutu kullanılır. Beraberlik \ Sipariş.

Ö WordArt'ta oluşturulan nesneler daha fazla düzenlenebilir. Bunu yapmak için, nesnenin üzerine fareyi tıklamanız yeterlidir, WordArt menüsü açılır ve içindeki metin efektini, yazı tipini vb. değiştirir.

Metne bir nesne eklemek için nesneyi seçmeniz ve menüde Biçim, emretmek Kenarlıklar ve gölgeleme, pencerede nesne biçimi

sekmede Konum Seçme

istenen metin sarma.

Şekil 6 Duvar Anonsu

f Nesneyi biçimlendirin ve çerçevenin etrafını doldurun? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Şekil için. 6, "kontur boyunca" akış gerçekleştirilir.

Bir duvar reklamı oluşturmak için düşünülen eylem dizisi, tek ve en uygun olanı değildir. Ancak, WordArt kullanma deneyimi sağlar.

Gerçek sayı kavramı: gerçek Numara- (gerçek sayı), negatif veya negatif olmayan herhangi bir sayı veya sıfır. Gerçek sayılar yardımıyla her bir fiziksel niceliğin ölçüleri ifade edilir.

Gerçek, veya gerçek Numara dünyanın geometrik ve fiziksel niceliklerini ölçme ihtiyacından doğmuştur. Ayrıca kök çıkarma, logaritma hesaplama, cebirsel denklemleri çözme vb. işlemleri gerçekleştirmek.

Saymanın gelişmesiyle doğal sayılar ve bir bütünün parçalarını kontrol etme ihtiyacı ile rasyonel sayılar, daha sonra sürekli nicelikleri ölçmek için gerçek sayılar (gerçek) kullanılır. Böylece, dikkate alınan sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, adı verilen diğer öğelerden oluşan bir gerçek sayılar kümesine yol açmıştır. irrasyonel sayılar.

Çok sayıda gerçek sayı(ile gösterilir r) rasyonel ve irrasyonel sayıların bir araya getirilmiş kümeleridir.

Gerçek sayılar bölünürakılcı ve mantıksız.

Gerçek sayılar kümesi belirtir ve genellikle denir malzeme veya sayı doğrusu... Gerçek sayılar basit nesnelerden oluşur: tüm ve rasyonel sayılar.

Oran olarak yazılabilen bir sayı, buradam bir tamsayıdır ve n- doğal sayı,rasyonel sayı.

Herhangi bir rasyonel sayı, kolayca sonlu bir kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Örnek,

sonsuz ondalık, ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamak içeren bir ondalık kesirdir.

Temsil edilemeyen sayılar irrasyonel sayılar.

Örnek:

Herhangi bir irrasyonel sayı, periyodik olmayan sonsuz bir ondalık kesir olarak kolayca temsil edilebilir.

Örnek,

Rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturur gerçek sayılar kümesi. Tüm gerçek sayılar, koordinat çizgisinin bir noktasına karşılık gelir. sayı doğrusu.

Sayısal kümeler için aşağıdaki gösterim kullanılır:

• n- bir dizi doğal sayı;
• Z- bir tamsayı kümesi;
• Q- bir dizi rasyonel sayı;
• r- bir dizi gerçek sayı.

Sonsuz ondalık kesirler teorisi.

Gerçek bir sayı olarak tanımlanır sonsuz ondalık, yani:

± a 0, a 1 a 2 ... bir n ...

burada ± + veya - sembollerinden biridir, bir sayının işaretidir,

0 - pozitif tam sayı,

a 1, a 2, ... a n, ... bir ondalık basamak dizisidir, yani. sayısal kümenin elemanları {0,1,…9}.

Sonsuz bir ondalık kesir, aşağıdaki gibi rasyonel noktalar arasındaki sayı doğrusunda bulunan bir sayı olarak açıklanabilir:

± a 0, a 1 a 2 ... bir n ve ± (a 0, 1 a 2… bir n +10 −n) hepsi için n = 0,1,2, ...

Gerçek sayıların sonsuz ondalık kesirler olarak karşılaştırılması, azar azar gerçekleşir. Örneğin, 2 pozitif sayı verildiğini varsayalım:

α = + a 0, a 1 a 2 ... bir n ...

β = + b 0, b 1 b 2… b n…

Eğer 0 0, sonra α<β ; Eğer a 0> b 0 sonra α>β ... Ne zaman 0 = b 0 bir sonraki kategorinin karşılaştırmasına geçiyoruz. Vesaire. Ne zaman α≠β , daha sonra sonlu sayıda adımdan sonra ilk rakamla karşılaşılacaktır nöyle ki bir n ≠ bn... Eğer bir n n, sonra α<β ; Eğer bir n> bn sonra α>β .

Ancak aynı zamanda, sayının çok olduğu gerçeğine dikkat etmek sıkıcıdır. a 0, a 1 a 2… bir n (9) = bir 0, bir 1 a 2… bir n +10 −n. Bu nedenle, belirli bir yerden başlayarak karşılaştırılan sayılardan birinin kaydı, periyot içinde 9 olan periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyotta sıfır olan eşdeğer bir kayıtla değiştirilmelidir.

Sonsuz ondalık kesirli aritmetik işlemler, rasyonel sayılarla karşılık gelen işlemlerin sürekli bir devamıdır. Örneğin, gerçek sayıların toplamı α ve β gerçek bir sayıdır α+β aşağıdaki koşulları karşılayan:

∀ a ′, a ′ ′, b ′, b ′ ′∈ Q (bir ′⩽ α ⩽ a ' ')∧ (B '⩽ β ⩽ B ' ')⇒ (a + b⩽ α + β ⩽ bir ′ ′ + b ′ ′)

Sonsuz ondalık kesirleri çarpma işlemi de benzer şekilde tanımlanır.

tamsayılar

Saymada kullanılan sayılara doğal sayılar denir. Örneğin, 1,2,3 ABD doları vb. Doğal sayılar, $ N $ ifade eden doğal sayılar kümesini oluşturur. Bu gösterim Latince kelimeden gelir. doğal doğal.

Zıt sayılar

tanım 1

İki sayı yalnızca işaretlerde farklıysa, matematikte denir. zıt sayılar.

Örneğin, $ 5 $ ve $ -5 $ sayıları zıt sayılardır, çünkü sadece işaretlerde farklılık gösterir.

Açıklama 1

Herhangi bir sayı için zıt bir sayı ve dahası sadece bir tane vardır.

Açıklama 2

Sıfır sayısı kendisinin tam tersidir.

Bütün sayılar

tanım 2

Tüm sayılar doğal, zıt sayılar ve sıfırdır.

Tamsayılar kümesi birçok doğal ve onların zıtlarını içerir.

Tamsayıları belirtin $ Z. $

kesirli sayılar

$ \ frac (m) (n) $ gibi sayılara kesir veya kesirli sayılar denir. Kesirli sayılar ondalık gösterimde de yazılabilir, yani. ondalık kesirler olarak.

Örneğin: $ \ \ frac (3) (5) $, $ 0.08 $, vb.

Tıpkı tamsayılar gibi, kesirli sayılar da pozitif veya negatif olabilir.

Rasyonel sayılar

tanım 3

Rasyonel sayılar tamsayılar ve kesirli sayılar kümesi içeren sayılar kümesine denir.

Hem tamsayı hem de kesirli herhangi bir rasyonel sayı, $ \ frac (a) (b) $ kesri olarak temsil edilebilir; burada $ a $ bir tam sayıdır ve $ b $ bir doğal sayıdır.

Böylece aynı rasyonel sayı farklı şekillerde yazılabilir.

Örneğin,

Dolayısıyla, herhangi bir rasyonel sayının sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir ondalık periyodik kesir biçiminde temsil edilebileceği açıktır.

Rasyonel sayılar kümesi $ Q $ ile gösterilir.

Rasyonel sayılar üzerinde herhangi bir aritmetik işlem yapılması sonucunda ortaya çıkan cevap bir rasyonel sayı olacaktır. Sıradan kesirleri toplarken, çıkarırken, çarparken ve bölerken sıradan bir kesir elde ettiğiniz için bunu kanıtlamak kolaydır.

İrrasyonel sayılar

Bir matematik dersi çalışırken, çoğu zaman rasyonel olmayan sayılarla uğraşmak zorunda kalırsınız.

Örneğin, rasyonel olmayan bir sayı kümesi olduğundan emin olmak için $ x ^ 2 = 6 $ denklemini çözün.Bu denklemin kökleri $ \ surd 6 $ ve - $ \ surd 6 $ sayıları olacaktır. Bu sayılar rasyonel olmayacaktır.

Ayrıca bir kenarı 3 $ olan bir karenin köşegenini bulurken Pisagor teoremini uyguluyoruz ve köşegeninin $\sürd 18 $'a eşit olacağını elde ediyoruz. Bu sayı da rasyonel değildir.

Böyle sayılar denir mantıksız.

Bu nedenle, irrasyonel bir sayı, sonsuz bir ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırılır.

En yaygın irrasyonel sayılardan biri $ \ pi $ sayısıdır.

İrrasyonel sayılarla aritmetik işlemler yaparken sonuç hem rasyonel hem de irrasyonel olabilir.

Bunu irrasyonel sayıların çarpımını bulma örneğiyle kanıtlayalım. Bulalım:

$ \ \ kare (6) \ cdot \ kare (6) $

$ \ \ kare (2) \ cdot \ kare (3) $

Karar

$ \ \ kare (6) \ cdot \ kare (6) = 6 $

$ \ kare (2) \ cdot \ kare (3) = \ kare (6) $

Bu örnek sonucun hem rasyonel hem de irrasyonel bir sayı olabileceğini göstermektedir.

Rasyonel ve irrasyonel sayılar aynı anda aritmetik işlemlere katılırsa, sonuç irrasyonel bir sayı olacaktır (elbette $ 0 $ ile çarpma hariç).

Gerçek sayılar

Gerçek sayılar kümesi, bir dizi rasyonel ve irrasyonel sayı içeren bir kümedir.

Gerçek sayılar kümesi $ R $ ile gösterilir. Gerçek sayılar kümesi sembolik olarak $ (-?; +?) olarak gösterilebilir.

Daha önce irrasyonel bir sayının sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırıldığını ve herhangi bir rasyonel sayının sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir ondalık periyodik kesir olarak temsil edilebileceğini söylemiştik, bu nedenle herhangi bir sonlu ve sonsuz ondalık kesir gerçek bir sayı olacaktır.

Cebirsel işlemler yapılırken aşağıdaki kurallar yerine getirilecektir.

1. pozitif sayıları çarparken ve bölerken elde edilen sayı pozitif olacaktır.
2. Negatif sayıları çarparken ve bölerken elde edilen sayı pozitif olacaktır.
3. Negatif ve pozitif sayıları çarparken ve bölerken elde edilen sayı negatif olacaktır.

Ayrıca gerçek sayılar birbirleriyle karşılaştırılabilir.