Destul de des, părinții se confruntă cu sarcina de a-și învăța copilul să numere. Poate părea că nu este nimic dificil în acest sens, dar pentru un copil mic poate fi uneori foarte greu să învețe să numere. Copiii, de regulă, tind să-și amintească doar ceea ce este interesant pentru ei, așa că adulții trebuie să încerce mai întâi să intereseze copilul, apoi procesul de dobândire a noilor cunoștințe va fi mult mai ușor.
Dacă prezinți aritmetica ca pe o activitate uscată, plictisitoare, va fi dificil să-ți interesezi copilul în ea
Vârsta optimă pentru a începe să înveți un copil să numere
Cel mai bun moment pentru a începe să-i înveți pe copii să numere este atunci când creierul lor se dezvoltă activ. Acest lucru apare de obicei înainte de vârsta de 6-7 ani. Este important ca părinții să înceapă să dezvolte abilitățile de numărare ale copilului lor chiar înainte de a intra la școală.
Copiii de la o vârstă fragedă, de îndată ce încep să vorbească, manifestă interes pentru numărare. Părinții trebuie să mențină acest interes cu ajutorul unor jocuri educative speciale.
Reguli de bază pentru predarea numărării
Acest articol vorbește despre modalități tipice de a vă rezolva problemele, dar fiecare caz este unic! Dacă doriți să aflați de la mine cum să vă rezolvați problema, adresați-vă întrebarea. Este rapid și gratuit!
Dacă doriți să vă învățați copilul să numere, trebuie să respectați următoarele reguli de predare de bază:
- Cantitatea de informații pe care o primește un copil. Exercițiile trebuie efectuate de trei ori pe zi, durata fiecăruia dintre ele nu trebuie să depășească 10 minute. În acest fel, copilul nu se va sătura de abundența de informații, iar interesul pentru noile cunoștințe nu va dispărea.
- Nu repetați materialul acoperit în fiecare zi. Este mai bine să-l amintiți numai în cazurile în care cunoștințele acumulate sunt necesare pentru a rezolva sarcini mai dificile.
- Nu-i oferi copilului tău sarcini prea dificile. Nu trebuie să-ți certați copilul dacă nu reușește să obțină rezultatul dorit. Poate că îi este de fapt dificil să facă față sarcinii. Selectați sarcini pentru copilul dvs. pe care le poate rezolva.
- Consolidarea cunoștințelor dobândite în Viata de zi cu zi. Mai des, lucrează cu copilul tău pentru a număra tot ce este în jur: mașini, păsări pe un copac, numărul de farfurii de pe masă, autobuze pe șosea etc.
- Urmați ordinea pașilor. Potrivit psihologilor, procesul de dobândire a noilor cunoștințe la un copil constă din trei etape: etapa de adaptare, etapa de înțelegere a informațiilor primite și memorarea materialului.
Cel mai important lucru este să nu grăbiți copilul. Ai răbdare, comunică mai des cu bebelușul tău, compară obiecte când vorbești, vorbește despre numere, oferă sprijin și ajutor în dobândirea cunoștințelor.
Îți poți învăța copilul să conteze pe o plimbare, unde dai peste remarcabile articole interesante Metode de predare pentru bebeluși
Pentru a învăța un copil aritmetica mentală corectă, trebuie să utilizați următoarele metode:
- Degete. Această metodă este una dintre cele mai populare în rândul părinților. Esența sa constă în numărarea degetelor. Metoda ajută la dezvoltarea memoriei vizuale a copilului, a abilităților motorii ale mâinii și, de asemenea, promovează învățarea rapidă a numărării obiectelor.
- Material pentru numărare. Ideal pentru a-ți învăța copilul să numere exemple. Ca materiale sunt potrivite jucăriile obișnuite sau anumite seturi educaționale. Atunci când alegeți un astfel de set, acordați preferință celor mai strălucitoare și mai colorate, asigurați-vă că sunt fabricate din materiale ecologice și sigure.
- Cărți educative pentru copii (recomandăm lectura:). În prezent există o gamă largă de produse disponibile în magazine. cărți interesante pentru dezvoltarea unui copil preșcolar. Încercați să alegeți tutorial, scris simplu și într-un limbaj clar pentru bebelusul tau, pentru ca in absenta ta sa invete in continuare sa numere obiecte.
Asigurați-vă că creierul copilului dumneavoastră nu se supraîncărcă în timpul activităților. Prea multe informații pot obosi un copil și nu vor aduce rezultatul dorit. La începutul orelor, învață-l să numere exemple până la 10, să nu petreacă mai mult de 10-15 minute pentru asta, în viitor poți lucra cu copilul tău până la 30 de minute. În timpul fiecărei lecții noi, revizuiți materialul abordat anterior.
Învățați să numărați până la 10
Poți începe să-ți înveți copilul cum să numere până la 10 încă de la vârsta de doi sau trei ani. În primul rând, trebuie să învețe să numere până la 5, apoi până la 10. La această vârstă, copiii știu deja că au două picioare și asta înseamnă că trebuie să pună două șosete. La 3-4 ani, îi poți oferi copilului tău sarcini mai complexe. Cel mai important lucru este că copilul începe să înțeleagă sensul cuvintelor „la fel”, „mai mult”, „mai puțin”. Îl poți aduce exemple simple: „Masha avea trei mandarine, iar Katya două. Care fată are mai multe fructe și care fată are mai puține?”
Pentru a fi mai ușor pentru copilul tău să stăpânească numărarea până la 10, invită-l să-și numere degetele. Dă-i copilului sarcina de a adăuga 2+1, lasă-l să ridice un deget pe mâna stângă și două pe dreapta, apoi numără numărul total de degete ridicate.
Aceleași manipulări pot fi efectuate pentru ca bebelușul să învețe să scadă: copilul îndoaie mai multe degete și apoi numără numărul celor care rămân în poziția ridicată. La fel se poate face cu diverse obiecte: creioane, pixuri etc.
Învățați să numărați până la 20
Când copilul tău învață să numere până la 10, treci la a învăța să numere până la 20. Mașinile de pe străzi sunt un material bun pentru numărare. Pe cale de a grădiniţă Puteți sugera să numărați numărul lor? Când copilul tău a stăpânit bine lecția, încearcă să numeri mașinile în ordine inversă.
Un copil poate găsi destul de dificil să adauge numere de la 1 la 20, așa că lecțiile ar trebui să fie desfășurate cu un accent jucăuș. De exemplu, puteți spune: opt a decis să-și adauge trei. Ea a luat mai întâi un doi dintr-un trei și s-a transformat într-un zece. Trei au devenit unul. Cât va fi dacă opt adaugă trei la sine?
Creierul bebelușului tău are nevoie de exerciții zilnice. Dacă un copil începe să practice aritmetica mentală de la o vârstă fragedă, el va avea abilități mentale bine dezvoltate.
Antrenamentul aritmetic mental
Când copilul dumneavoastră împlinește 5 ani, încercați să-l înțărcați de la utilizarea materialelor de numărare, inclusiv degetele. Lasă-l să învețe aritmetica mentala. Dacă la început acest lucru l-a ajutat foarte mult, atunci în viitor va interfera doar cu procesul de dobândire a noilor cunoștințe.
După cinci ani, copiii trebuie învățați să adună și să scadă numere până la 10 pe o mașină automată, adică. Trebuie să vă asigurați că copilul își amintește rezultatele calculelor. Pentru atingerea acestor obiective, folosirea lanțurilor matematice ajută bine. Nu uitați că procesul de dobândire a cunoștințelor trebuie să mențină o natură ludică. Pentru un număr mare există tehnici separate.
Învață să numere în clasa I
Căci fiecare copil vine punct important in viata - merge in clasa I. Acesta este momentul în care se formează baza tuturor cunoștințelor despre viitor. În clasa întâi, activitatea unui copil se schimbă, dar capacitatea de a învăța totul prin jocuri nu dispare. Copilul își asumă rolul de elev și își dezvoltă abilități de autoorganizare. El trebuie să stăpânească abilitățile de a-și planifica munca, de a-și monitoriza și de a evalua acțiunile, de a comunica cu colegii și profesorul.
Elevii de clasa întâi acordă multă atenție munca orală. Pentru a-i învăța pe elevii de clasa întâi aritmetica mentală și pentru a consolida cunoștințele dobândite anterior, profesorii folosesc câteva metode cu o întorsătură jucăușă:
- Metoda cubului lui Zaitsev. Este o metodă de joc foarte comună, al cărei scop este de a învăța rapid să numere. Copiii dobândesc cunoștințe cu mare interes folosind cuburi. Esența metodei este folosirea mai multor tabele, cu ajutorul cărora copiii învață să adună și să scadă numere din cap mult mai ușor și mai rapid. Aceasta metoda poate fi folosit și de părinți în timpul activităților de dezvoltare cu copilul lor în interior vârsta preșcolară. Setul de cuburi lui Zaitsev include un material didactic și un CD cu cântece, ceea ce face ca procesul de dobândire a noilor cunoștințe să fie foarte interesant și simplu.
- metoda Glen Doman. Această metodă implică copiii să învețe să numere folosind cartonașe speciale cu puncte pe ele. Metoda vă permite să dezvoltați memoria vizuală a bebelușului și capacitatea de a număra numărul de obiecte.
Cadrele didactice pot folosi și alte metode de predare a matematicii în practica lor, așa că este recomandabil ca părinții să clarifice în prealabil modul în care se va desfășura procesul de învățare la școală. Pentru a obține rezultate bune, experții vă sfătuiesc să nu utilizați metode diferiteînvățarea – poate nu în cel mai bun mod posibil afectează copilul.
Tehnica Doman poate fi folosită și pentru vârstă fragedă, dar în timpul pregătirii pentru școală este deosebit de eficient Învață să numere în clasa a II-a
Următorul test important pentru copil este intrarea în clasa a doua. Unii profesori urmează doar programa școlară și nu acordă atenția cuvenită procesului de învățare al elevilor lor. Se pare că copilul pare să știe să adună și să scadă, dar în același timp este incapabil să înțeleagă de ce un număr se transformă în altul.
În matematică, este foarte important să urmărești succesiunea acțiunilor și să-ți antrenezi în mod regulat memoria. Numai în acest caz copilul va putea număra cu încredere numerele din două cifre în capul său.
Dacă părinții se confruntă cu problema performanței slabe a copilului lor la școală, profesorii sfătuiesc să lucreze cu el mai mult acasă. Exemple de antrenament acasă:
- Adaugă numere din două cifre 30+34 în capul tău. Îți poți invita copilul să împartă 34 în 30 și 4. Acest lucru îi va fi mai ușor pentru copil să efectueze adunarea. Antrenează-ți memoria vizuală cât mai des posibil în timpul îndeplinirii sarcinilor de zi cu zi.
- Efectuați adăugarea 40+35. Unii copii le este mult mai ușor să facă adaosuri reversul. Pentru a face acest lucru, trebuie să rotunjiți numărul mai mic la cel mai apropiat zece: 40+40. Apoi pur și simplu scădeți partea suplimentară: 80-5=75.
- Exersați să adăugați și să scădeți exemple simple în minte. De exemplu: 2+3 sau 2+2. Apoi începeți să complicați problemele: 3+7=10, 10-2=8, 10-8=2. Dacă copilul se pricepe să decidă sarcini simple, atunci sarcinile cu numere din două și trei cifre nu vor fi dificile pentru el.
- Daca copilul tau are o imaginatie bogata, il poti invita sa numere in mintea lui obiecte sau animale. Fiecare bebeluș este individual, așa că părinții trebuie să aleagă cea mai potrivită metodă de predare în funcție de caracteristicile sale.
Numărarea mentală va fi mai ușor de stăpânit pentru un copil care este un visător, care va înlocui numerele plictisitoare cu animale sau jucării. Nu credeți că rezultatul dorit va fi atins rapid, aveți răbdare. Pentru un copil nu este atât de ușor să învețe să numere pe cât ar părea la prima vedere.
În era calculatoarelor și caselor de marcat, este din ce în ce mai puțin probabil să numărăm în capul nostru. Ne bazăm complet pe tehnologia computerizată, deși poate eșua sau pur și simplu nu este la îndemână la momentul potrivit. Fără să știm noi înșine, ne pierdem abilitățile de numărare rapidă și precisă și uneori realizăm foarte târziu că acesta este punctul nostru slab. Cu toate acestea, capacitatea de a număra rapid în capul cuiva este un avantaj și o demnitate incontestabile pentru cei care posedă o astfel de abilitate. O persoană care operează cu ușurință cu numere nu va fi niciodată înșelată în calcule. Dar, cel mai important, capacitatea de a calcula îl va menține constant în formă și își va dezvolta abilitățile mentale, ceea ce este deosebit de important pentru copii și tineri în perioada de învățare.
Cum să înveți să numeri rapid în capul tău
Orice abilitate este cel mai ușor de dezvoltat și consolidat în copilărie. Puteți preda numărarea, la fel ca și cititul, de la un an și jumătate până la doi ani. Particularitățile unei vârste fragede sunt că la început copilul va acumula cunoștințe pasive - va ști, va înțelege, dar, datorită vocabularului său nesemnificativ, va vorbi puțin. Până la vârsta de 5 ani, un copil poate învăța să efectueze cele mai simple operații în mintea lui - adunarea și scăderea în termen de 20. Dacă la 2-3,5 ani se folosesc metode vizuale pentru a preda numărarea, atunci mai târziu copilul poate opera doar cu numere. , fara intarire cu material vizual.
Cum mai devreme acasă iar la grădiniță îl învață pe copil să numere, cu atât este mai mare șansa ca procesul de operare cu valori numerice mai mari și toate operațiile matematice, inclusiv înmulțirea și împărțirea, să meargă mai repede și să fie mai ușor pentru copil.
Când predați copiii sub 4 ani, este mai bine să folosiți materiale vizuale. Trebuie să numeri tot ce poți. Mici stoluri de păsări, pisici care se lasă la soare, motocicliști care răcnesc pe lângă tine, mașini de pompieri strălucitoare care se grăbesc să lupte împotriva unui incendiu - tot ceea ce atrage atenția poate fi numărat. În același timp cu abilitățile de numărare, copilul își va dezvolta abilitățile de atenție și observație. Treptat, faceți sarcinile mai dificile. Dimineața, în drum spre grădiniță, ai văzut două pisici, iar în drum spre casă încă trei. Spune-i copilului tău: „Ei bine, sunt atâtea pisici în curtea noastră! Câte pisici am văzut astăzi?” Lăudați-vă copilul pentru observația și acuratețea lui, deoarece acestea sunt calități care îi vor fi foarte utile în viață.
ÎN școală primară copilul trebuie să facă complet liber și rapid orice calcule în anumite curiculumul scolar limite. Pentru a învăța să numeri rapid, trebuie să te antrenezi constant. Prin urmare, sarcina părinților este să încurajeze constant copilul să numere și să facă această activitate interesantă pentru copil. Cu cât îți antrenezi bebelușul mai des să numere, cu atât îi va fi mai ușor să facă calcule rapide și precise în capul lui.
Cum să înveți să numeri rapid ca adult
Dacă un copil a fost învăţat încă din copilărie numărare rapidă, cu timpul va învăța să opereze cu valori mari fără efort deosebit. Dar dacă un student sau o persoană de vârstă mai înaintată decide să stăpânească abilitățile de numărare rapidă, atunci va trebui să folosească o tehnică simplă, a cărei stăpânire, cu o anumită persistență, va aduce cu siguranță rezultate pozitive.
Ca orice antrenament, trebuie să începi puțin. Dacă știi perfect tabelele înmulțirii, e bine. Dacă ați uitat sau nu ați știut niciodată, utilizați această metodă de numărare. De exemplu, trebuie să aflați cât este 9 înmulțit cu 7. Scriem exemplul în acest fel:
1 3
------- = 63
9 x 7
Am primit răspunsul 63 prin calcule simple. Și anume. După ce ați notat exemplul 9x7, trageți o linie dreaptă peste el și deasupra fiecărui număr scriem cât lipsește la 10. Deasupra 9 scriem 1, deasupra 7 scriem 3. Prima cifră a răspunsului va fi diferența dintre numerele liniei de jos și ale liniei de sus în diagonală. 9-3= 6, 7-1=6 – puteți lua orice pereche pentru calcul – răspunsul va fi întotdeauna același. Deci, am calculat că prima cifră a răspunsului va fi 6. Acum calculăm a doua cifră. Pentru a face acest lucru, înmulțiți numerele de pe linia de sus 1x3=3. Exemplul nostru este rezolvat: 9x7=63.
Valorile numerice mai mari sunt calculate ușor diferit. De exemplu, trebuie să aflați cât este 12x14.
2 4
---------- = 160+8=168
12 x 14
Pe linia de jos scriem exemplul 12x14. Pe linia de sus scriem cât de mult sunt aceste numere mai mari decât 10. Obținem 2 și 4. Adunăm numerele în diagonală. Obținem 12+4=16, 14+2=16. Avem 16 zeci, pentru că numerele noastre inițiale sunt mai mult de zece. Prin urmare, înmulțim 16 cu 10. 16x10=160. Tot ce rămâne este să înmulțiți numerele de sus 2x4 = 8 și să adăugați cifra rezultată la răspuns.
Astfel de metode de calcul sunt dificile abia la început. Prin urmare, puteți începe cu cele mai simple exemple, complicând treptat sarcinile. Dar pentru a învăța să numărați în cap, trebuie să renunțați complet la utilizarea notelor și să efectuați toate calculele numai în cap.
De asemenea, copiii pot fi predați folosind metode similare, dar numai în cazurile în care fac față pe deplin programului școlar. În caz contrar, s-ar putea să nu obții rezultate în calcule rapide, dar vei dăuna dobândirii cunoștințelor școlare.
După ce stăpâniți manipularea numerelor din două cifre, în viitor puteți stăpâni calculul numerelor cu mai multe cifre - sute și mii.
Recent, o nouă metodă de dezvoltare a inteligenței în țara noastră a început să câștige popularitate în Rusia. În loc de secțiunile obișnuite de șah, părinții își trimit copiii la școli de aritmetică mentală. Cum sunt învățați copiii să numere în cap, cât costă astfel de cursuri și ce spun experții despre ei - în materialul „AiF-Volgograd”.
Ce este aritmetica mentală?
Aritmetica mentală este o tehnică de dezvoltare japoneză abilități intelectuale copil folosind calcule pe abacus special „soroban”, care uneori este numit „abac”.
„Când efectuează acțiuni cu numere în mintea lor, copiii își imaginează aceste abac și într-o fracțiune de secundă adună, scad, înmulțesc și împart mental orice numere - chiar și trei cifre, chiar și șase cifre,” spune Natalya Chaplieva, profesoara clubului Volga, unde copiii sunt învățați folosind această metodă.
Potrivit ei, atunci când copiii abia învață toate aceste acțiuni, ei numără numerele direct pe soroban, pipăind oasele. Apoi trec treptat de la numărare la o „hartă mentală” - o imagine care îi înfățișează. În această etapă de învățare, ei încetează să mai atingă abacul și încep să-și imagineze în mintea lor cum mișcă oasele pe el. Apoi, copiii nu mai folosesc harta mentală și încep să vizualizeze complet sorobanul pentru ei înșiși.
Abacus soroban. Foto: AiF/ Evgenii Strokan
„Recrutăm copii de la 4 la 12 ani în grupuri. La această vârstă, creierul este cel mai plastic; copilul absoarbe informații precum un burete și, prin urmare, stăpânește cu ușurință metodele de învățare. Este mult mai dificil pentru un adult să învețe calculul mental”, spune Ekaterina Grigorieva, profesoara clubului de aritmetică mentală.
Cât costã?
Abacul are un cadru dreptunghiular care conține 23-31 de spițe, fiecare având 5 oase înșirate pe ele, separate printr-o bară transversală. Deasupra ei se află un domino, care denotă „cinci”, iar dedesubt sunt 4 piese de domino, care denotă unul.
Trebuie să mutați oasele cu doar două degete - degetul mare și degetul arătător. Numărarea sorobanului începe de la primul ac de tricotat din dreapta. Înseamnă unități. Acul de tricotat din stânga acestuia este de zeci, următorul este de sute etc.
Soroban in magazine obisnuite nu este de vanzare. Puteți cumpăra astfel de conturi de pe Internet. În funcție de numărul de ace de tricotat și de material, prețul sorobanului poate varia de la 170 la 1.000 de ruble.
În prima etapă, copiii lucrează cu abacul. Foto: AiF/ Evgenii Strokan
Dacă nu doriți deloc să cheltuiți bani pe facturi, puteți descărca o aplicație gratuită pentru telefon - un simulator online care simulează un abac.
Cursurile de aritmetică mentală pentru copii din Volgograd costă aproximativ 500-600 de ruble pe oră. Puteți cumpăra un abonament pentru 8 clase pentru 4.000 de ruble și 16 clase pentru 7.200 de ruble. Cursurile se tin de 2 ori pe saptamana. Abac, hărți mentaleȘcoala Volga oferă copiilor caiete gratuit, iar elevii le pot lua acasă. La finalul cursului, copilul poate păstra sorobanul ca suvenir.
Copiii trebuie să învețe calculul mental timp de aproximativ 1-2 ani, în funcție de abilitățile lor.
Teme pentru elevi. Foto: AiF/ Evgenii Strokan
Dacă nu aveți bani pentru cursuri la o școală specială, atunci puteți încerca să căutați lecții video pe YouTube. Adevărat, unele dintre ele sunt postate pe site de organizații care oferă lecții pentru bani în scopul autopromovării. Videoclipurile lor sunt foarte scurte - 3 minute. Cu ajutorul lor poți învăța elementele de bază ale aritmeticii mentale, dar nimic mai mult.
Ce spun experții despre asta?
Profesorii care desfășoară cursuri de aritmetică mentală sunt încrezători că instruirea merită banii cheltuiți pentru el.
„Aritmetica mentală dezvoltă bine imaginația, creativitatea, gândirea, memoria, motricitatea fină, atenția și perseverența copilului. Cursurile au ca scop să se asigure că copilul dezvoltă ambele emisfere în același timp, ceea ce este foarte important, deoarece pregătirea tradițională a unui copil pentru școală dezvoltă doar emisfera dreaptă a creierului”, consideră profesoara Natalya Chaplieva.
Psihologul Natalya Oreshkina consideră că în cazul copiilor de 4-5 ani, orele de aritmetică mentală vor fi eficiente doar dacă se desfășoară într-un mod ludic.
„Copiii de această vârstă au, în general, dificultăți de concentrare pentru o astfel de perioadă, cu excepția cazului despre care vorbim nu despre vizionarea unui desen animat, spune expertul. - Dar dacă lecția este structurată într-un mod ludic, dacă copiii exersează abacul și colorează ceva, atunci vor învăța cunoștințe în timp ce se află în mediul lor natural - într-un joc. În plus, nu ar trebui să fie dificil pentru copii, nu trebuie să depășească nivel admisibilîncărcături. De exemplu, pentru copiii de 4 ani, cursurile nu trebuie să dureze mai mult de 30 de minute. Pot spune că aritmetica mentală pentru copii este foarte interesantă. Dar dacă un copil rămâne în urmă cu semenii săi într-un fel, atunci astfel de activități vor fi prea dificile pentru el. Dacă un copil nu are o resursă internă pentru activități, atunci va fi o pierdere de timp, efort și bani.”
Oamenii folosesc rar cunoștințele dobândite în lecțiile de algebră și geometrie în viață. Cea mai valoroasă și necesară abilitate asociată cu matematica este abilitatea de a face matematică mentală rapid, așa că merită să vă dați seama cum să o învățați. În viața de zi cu zi, acest lucru vă permite să numărați rapid schimbarea, să calculați timpul etc.
Cel mai bine este să-l dezvolți încă din copilărie, când creierul absoarbe informații mult mai repede. Sunt cateva tehnici eficiente care sunt folosite de multe persoane.
Cum să înveți să numeri foarte repede în capul tău?
Pentru a realiza rezultate bune, este necesar să se desfășoare cursuri regulate. După atingerea anumitor obiective, merită să complicați sarcina. Mare importanță au abilități umane, adică capacitatea de a reține mai multe lucruri în memorie simultan și de a concentra atenția. Oamenii cu o minte matematică pot obține cel mai mult. Pentru a învăța rapid să numărați, trebuie să cunoașteți bine tabla înmulțirii.
Cele mai populare metode de calcul:
- Să ne dăm seama cum să numărăm rapid numerele din două cifre în cap dacă trebuie să înmulțiți cu 11. Pentru a înțelege tehnica, luați în considerare un exemplu: 13 înmulțit cu 11. Sarcina este ca între numerele 1 și 3 trebuie să le introduceți. suma, adică 4. Ca urmare, rezultă că 13x11=143. Când suma cifrelor dă un număr din două cifre, de exemplu, dacă înmulțiți 69 cu 11, apoi 6+9=15, atunci trebuie doar să introduceți a doua cifră, adică 5, și să adăugați 1 la prima cifră a multiplicatorului. Rezultatul este 69x11=759. Există o altă modalitate de a înmulți un număr cu 11. Mai întâi, înmulțiți cu 10, apoi adăugați numărul inițial. De exemplu, 14x11=14x10+14=154.
- Un alt mod de a număra rapid în capul tău numere mari, funcționează pentru înmulțirea cu 5. Această regulă este potrivită pentru orice număr care trebuie mai întâi împărțit la 2. Dacă rezultatul este un număr întreg, atunci trebuie să adăugați un zero la sfârșit. De exemplu, pentru a afla cât va fi înmulțit 504 cu 5. Pentru a face acest lucru, 504/2 = 252 și adăugați la sfârșit 0. Rezultatul este 504x5 = 2520. Dacă, la împărțirea unui număr, rezultatul nu este un întreg, atunci trebuie pur și simplu să eliminați virgula rezultată. De exemplu, pentru a afla cât de mult este înmulțit 173 cu 5, aveți nevoie de 173/2 = 86,5, apoi eliminați pur și simplu virgula și se dovedește că 173x5 = 865.
- Să învățăm cum să numărăm rapid numerele din două cifre din cap prin adăugarea. Mai întâi trebuie să adăugați zeci și apoi unități. Pentru a obține rezultatul final, trebuie să adăugați primele două rezultate. De exemplu, să ne dăm seama cât este 13+78. Prima acțiune: 10+70=80, iar a doua: 3+8=11. Rezultatul final va fi: 80+11=91. Această metodă poate fi folosită atunci când trebuie să scădeți altul dintr-un număr.
Încă unul subiect real– cum să calculezi rapid procentele în capul tău. Din nou, pentru o mai bună înțelegere, să ne uităm la un exemplu despre cum să găsiți 15% dintr-un număr. În primul rând, ar trebui să determinați 10%, adică împărțiți la 10 și adăugați jumătate din rezultat -5%. Să găsim 15% din 460: 
pentru a găsi 10%, împărțiți numărul la 10, obțineți 46. Următorul pas este să găsiți jumătate: 46/2=23. Ca rezultat, 46+23=69, care este 15% din 460.
Există o altă metodă de calcul a dobânzii. De exemplu, dacă trebuie să determinați cât va fi 6% din 400. În primul rând, ar trebui să aflați 6% din 100 și va fi 6. Pentru a afla 6% din 400, atunci aveți nevoie de 6x4 = 24.
Dacă trebuie să găsiți 6% din 50, atunci ar trebui să utilizați următorul algoritm: 6% din 100 este 6, iar pentru 50, este jumătate, adică 6/2 = 3. Ca rezultat, se dovedește că 6% din 50 este 3.
Dacă numărul de la care trebuie să găsiți un procent este mai mic de 100, atunci ar trebui să mutați pur și simplu virgula la stânga. De exemplu, pentru a găsi 6% din 35. Mai întâi, găsiți 6% din 350 și va fi 21. Valoarea a 6% pentru 35 este 2,1.
Îmbunătățirea abilităților de calcul ale elevilor la lecțiile de matematică folosind tehnici de numărare „rapidă”.
Kudinova I.K., profesor de matematică
Școala Gimnazială MKOU Limanovskaya
districtul municipal Paninsky
Regiunea Voronej
„Ați observat vreodată cum oamenii cu o capacitate naturală de a număra sunt receptivi, s-ar putea spune, la toate știința? Chiar și toți cei care întârzie să gândească, dacă o învață și o practică, atunci chiar dacă nu beneficiază de el, devin totuși mai receptivi decât erau înainte.”
Platon
Cea mai importantă sarcină a educației este formarea universalității activități educaționale, oferind școlarilor capacitatea de a învăța, capacitatea de autodezvoltare și autoperfecționare. Calitatea dobândirii cunoștințelor este determinată de diversitatea și natura tipurilor de acțiuni universale. Formarea capacității și pregătirea elevilor de a implementa activități de învățare universală face posibilă creșterea eficienței procesului de învățare. Toate tipurile de activități educaționale universale sunt luate în considerare în contextul conținutului disciplinelor educaționale specifice.
Un rol important în formarea activităților educaționale universale îl joacă învățarea elevilor abilități de calcul rațional.Nimeni nu se îndoiește că dezvoltarea abilităților de calcule și transformări raționale, precum și dezvoltarea abilităților de rezolvare a unor probleme simple „în minte” - element esential pregătirea matematică a elevilor. ÎNNu este nevoie să dovedești importanța și necesitatea unor astfel de exerciții. Semnificația lor este mare în formarea abilităților de calcul și îmbunătățirea cunoștințelor de numerotare și în dezvoltarea calitati personale copil. Crearea unui sistem specific de consolidare și repetare a materialului studiat oferă studenților posibilitatea de a stăpâni cunoștințele la nivelul deprinderii automate.
Cunoașterea metodelor simplificate de calcul mental rămâne necesară chiar și cu mecanizarea completă a tuturor proceselor de calcul care necesită multă muncă. Calculele mentale fac posibilă nu numai efectuarea rapidă a calculelor mentale, ci și monitorizarea, evaluarea, găsirea și corectarea erorilor. În plus, stăpânirea abilităților de calcul dezvoltă memoria și îi ajută pe școlari să stăpânească pe deplin disciplinele de fizică și matematică.
Este evident că tehnicile de numărare rațională sunt element necesar cultura informatică în viața fiecărei persoane, în primul rând, din cauza semnificației sale practice, iar studenții au nevoie de ea în aproape fiecare lecție.
Cultura computațională este fundamentul pentru studiul matematicii și altele disciplinele academice, deoarece pe lângă faptul că calculele activează memoria și atenția, ajută la organizarea rațională a activităților și influențează semnificativ dezvoltarea umană.
În viața de zi cu zi, în sălile de clasă, când fiecare minut este valoros, este foarte important să efectuați rapid și rațional calcule orale și scrise, fără a greși și fără a utiliza instrumente de calcul suplimentare.
Analiza rezultatelor examenelor din clasele a 9-a și a 11-a arată că studenții fac cel mai mare număr de greșeli la finalizarea sarcinilor de calcul. Adesea, chiar și studenții foarte motivați își pierd abilitățile de aritmetică mentală în momentul în care ajung la evaluarea finală. Ei calculează prost și irațional, apelând tot mai mult la ajutorul calculatoarelor tehnice. Sarcina principală a profesorului este nu numai de a menține abilitățile de calcul, ci și de a preda utilizarea tehnicilor de calcul mental non-standard, care ar reduce semnificativ timpul petrecut pentru o sarcină.
Sa luam in considerare exemple concrete diverse tehnici pentru calcule raționale rapide.
MODALITĂRI DIFERITE DE Adunarea și scăderea
PLUS
Regula de bază pentru a face adaos în capul tău este:
Pentru a adăuga 9 la un număr, adăugați 10 și scădeți 1; pentru a adăuga 8, adăugați 10 și scădeți 2; a aduna 7, a aduna 10 și a scădea 3 etc. De exemplu:
56+8=56+10-2=64;
65+9=65+10-1=74.
ADĂUGAREA NUMERELOR DIN DOUĂ CIFRE ÎN MINTE
Dacă cifra unităților din numărul adăugat este mai mare de 5, atunci numărul trebuie rotunjit în sus, iar apoi eroarea de rotunjire trebuie scăzută din suma rezultată. Dacă numărul de unități este mai mic, atunci adunăm mai întâi zeci și apoi unități. De exemplu:
34+48=34+50-2=82;
27+31=27+30+1=58.
ADĂUGAREA NUMERELOR DIN TREI CIFRE
Adăugăm de la stânga la dreapta, adică mai întâi sute, apoi zeci și apoi unii. De exemplu:
359+523= 300+500+50+20+9+3=882;
456+298=400+200+50+90+6+8=754.
SCĂDERE
Pentru a scădea două numere din cap, trebuie să rotunjiți subtrahendul și apoi să ajustați răspunsul pe care îl obțineți.
56-9=56-10+1=47;
436-87=436-100+13=349.
Înmulțirea numerelor din mai multe cifre cu 9
1. Măriți numărul zecilor cu 1 și scădeți-l din multiplicand
2. Atribuim rezultatului adunarea cifrei unităților multiplicandului la 10
Exemplu:
576 9 = 5184 379 9 = 3411
576 - (57 + 1) = 576 - 58 = 518 . 379 - (37 + 1) = 341 .
Înmulțiți cu 99
1. Dintr-un număr, scădeți numărul sutelor sale, mărite cu 1
2. Aflați complementul numărului format din ultimele două cifre până la 100
3. Atribuiți adaosul rezultatului anterior
Exemplu:
27 99 = 2673 (sute - 0) 134 99 = 13266
27 - 1 = 26 134 - 2 = 132 (sute - 1 + 1)
100 - 27 = 73 66
Înmulțirea oricărui număr cu 999
1. Din ceea ce se înmulțește, scădeți numărul de mii mărit cu 1
2. Găsiți complementul la 1000
23 999 = 22977 (mii - 0 + 1 = 1)
23 - 1 = 22
1000 - 23 = 977
124 999 = 123876 (mii - 0 + 1 = 1)
124 - 1 = 123
1000 - 124 = 876
1324 · 999 = 1322676 (mii - 1 + 1 = 2)
1324 - 2 = 1322
1000 - 324 = 676
Înmulțiți cu 11, 22, 33, …99
Pentru a înmulți un număr de două cifre, suma cifrelor sale nu depășește 10, cu 11, trebuie să mutați cifrele acestui număr și să puneți suma acestor cifre între ele:
72 ×11= 7 (7+2) 2 = 792;
35 ×11 = 3 (3+5) 5 = 385.
Pentru a înmulți 11 cu un număr din două cifre, a cărui suma cifrelor este 10 sau mai mare de 10, trebuie să depărtați mental cifrele acestui număr, să puneți suma acestor cifre între ele și apoi să adăugați una la prima cifră și lăsați a doua și ultima (a treia) neschimbate:
94 ×11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = (9+1) 34 = 1034;
59×11 = 5 (5+9) 9 = 5 (14) 9 = (5+1) 49 = 649.
Pentru a înmulți un număr din două cifre cu 22, 33...99, ultimul număr trebuie reprezentat ca produsul unui număr cu o singură cifră (de la 1 la 9) cu 11, adică.
44= 4 × 11; 55 = 5×11 etc.
Apoi înmulțiți produsul primelor numere cu 11.
48 × 22 =48 × 2 × (22:2) = 96 × 11 =1056;
24 × 22 = 24 × 2 × 11 = 48 × 11 = 528;
23 × 33 = 23 × 3 × 11 = 69 × 11 = 759;
18 × 44 = 18 × 4 × 11 = 72 × 11 = 792;
16 × 55 = 16 × 5 × 11 = 80 × 11 = 880;
16 × 66 = 16 × 6 × 11 = 96 × 11 = 1056;
14 × 77 = 14 × 7 × 11 = 98 × 11 = 1078;
12 × 88 = 12 × 8 × 11 = 96 × 11 = 1056;
8 × 99 = 8 × 9 × 11 = 72 × 11 = 792.
În plus, puteți aplica legea de a crește simultan un factor de un număr egal de ori și de a micșora altul.
Înmulțirea cu un număr care se termină cu 5
Pentru a înmulți un număr par din două cifre cu un număr care se termină cu 5, aplicați următoarea regulă:dacă unul dintre factori este mărit de mai multe ori, iar celălalt este redus cu aceeași cantitate, produsul nu se va modifica.
44 × 5 = (44:2) × 5 × 2 = 22 × 10 = 220;
28 × 15 = (28:2) × 15 × 2 = 14 × 30 = 420;
32 × 25 = (32:2) × 25 × 2 = 16 × 50 = 800;
26 × 35 = (26:2) × 35 × 2 = 13 × 70 = 910;
36 × 45 = (36:2) × 45 × 2 = 18 × 90 = 1625;
34 × 55 = (34:2) × 55 × 2 = 17 × 110 = 1870;
18 × 65 = (18:2) × 65 × 2 = 9 × 130 = 1170;
12 × 75 = (12:2) × 75 × 2 = 6 × 150 = 900;
14 × 85 = (14:2) × 85 × 2 = 7 × 170 = 1190;
12 × 95 = (12:2) × 95 × 2 = 6 × 190 = 1140.
Când înmulțiți cu 65, 75, 85, 95, numerele ar trebui să fie mici, în al doilea zece. În caz contrar, calculele vor deveni mai complicate.
Înmulțirea și împărțirea cu 25, 50, 75, 125, 250, 500
Pentru a învăța verbal să înmulțiți și să împărțiți cu 25 și 75, trebuie să cunoașteți bine semnul de divizibilitate și tabla înmulțirii cu 4.
Divizibile cu 4 sunt acele și numai acele numere ale căror ultime două cifre exprimă un număr divizibil cu 4.
De exemplu:
124 e divizibil cu 4, deoarece 24 e divizibil cu 4;
1716 e divizibil cu 4, deoarece 16 e divizibil cu 4;
1800 e divizibil cu 4 deoarece 00 e divizibil cu 4
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 25, trebuie să împărțiți acest număr la 4 și să îl înmulțiți cu 100.
Exemple:
484 × 25 = (484:4) × 25 × 4 = 121 × 100 = 12100
124 × 25 = 124: 4 × 100 = 3100
Regulă. Pentru a împărți un număr la 25, trebuie să împărțiți acest număr la 100 și să îl înmulțiți cu 4.
Exemple:
12100: 25 = 12100: 100 × 4 = 484
31100: 25 = 31100:100 × 4 = 1244
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 75, trebuie să împărțiți acest număr la 4 și să înmulțiți cu 300.
Exemple:
32 × 75 = (32:4) × 75 × 4 = 8 × 300 = 2400
48 × 75 = 48: 4 × 300 = 3600
Regulă. Pentru a împărți un număr la 75, trebuie să împărțiți acest număr la 300 și să îl înmulțiți cu 4.
Exemple:
2400: 75 = 2400: 300 × 4 = 32
3600: 75 = 3600: 300 × 4 = 48
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 50, trebuie să împărțiți acest număr la 2 și să îl înmulțiți cu 100.
Exemple:
432×50 = 432:2×50×2 = 216×100 = 21600
848 × 50 = 848: 2 × 100 = 42400
Regulă. Pentru a împărți un număr la 50, trebuie să împărțiți acel număr la 100 și să îl înmulțiți cu 2.
Exemple:
21600: 50 = 21600: 100 × 2 = 432
42400: 50 = 42400: 100 × 2 = 848
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 500, trebuie să împărțiți acest număr la 2 și să îl înmulțiți cu 1000.
Exemple:
428 × 500 = (428:2) × 500 × 2 = 214 × 1000 = 214000
2436 × 500 = 2436: 2 × 1000 = 1218000
Regulă. Pentru a împărți un număr la 500, trebuie să împărțiți acel număr la 1000 și să îl înmulțiți cu 2.
Exemple:
214000: 500 = 214000: 1000 × 2 = 428
1218000: 500 = 1218000: 1000 × 2 = 2436
Înainte de a învăța cum să înmulțiți și să împărțiți cu 125, trebuie să cunoașteți bine tabla înmulțirii cu 8 și testul de divizibilitate cu 8.
Semn. Acele și numai acele numere ale căror ultime trei cifre exprimă un număr divizibil cu 8 sunt divizibile cu 8.
Exemple:
3168 e divizibil cu 8, deoarece 168 e divizibil cu 8;
5248 e divizibil cu 8 deoarece 248 e divizibil cu 8;
12328 e divizibil cu 8, deoarece 324 e divizibil cu 8.
Pentru a afla dacă un număr din trei cifre care se termină cu numerele 2, 4, 6. 8. este divizibil cu 8, trebuie să adăugați jumătate din cifrele celor zecilor. Dacă rezultatul este divizibil cu 8, atunci numărul inițial este divizibil cu 8.
Exemple:
632: 8, deoarece i.e. 64:8;
712:8, deoarece i.e. 72:8;
304:8, deoarece i.e. 32:8;
376: 8, deoarece i.e. 40:8;
208:8, deoarece i.e. 24:8.
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 125, trebuie să împărțiți acest număr la 8 și să înmulțiți cu 1000. Pentru a împărți un număr cu 125, trebuie să împărțiți acest număr la 1000 și să înmulțiți
la 8.
Exemple:
32 × 125 = (32:8) × 125 × 8 = 4 × 1000 = 4000;
72 × 125 = 72: 8 × 1000 = 9000;
4000: 125 = 4000: 1000 × 8 = 32;
9000: 125 = 9000: 1000 × 8 = 72.
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 250, trebuie să împărțiți acest număr la 4 și să îl înmulțiți cu 1000.
Exemple:
36 × 250 = (36:4) × 250 × 4 = 9 × 1000 = 9000;
44 × 250 = 44: 4 × 1000 = 11000.
Regulă. Pentru a împărți un număr la 250, trebuie să împărțiți acest număr la 1000 și să îl înmulțiți cu 4.
Exemple:
9000: 250 = 9000: 1000 × 4 = 36;
11000: 250 = 11000: 1000 ×4 = 44
Înmulțirea și împărțirea cu 37
Înainte de a învăța cum să înmulțiți și să împărțiți verbal cu 37, trebuie să aveți o bună cunoaștere a tabelului înmulțirii cu trei și a semnului divizibilității cu trei, care este studiat în cursul școlar.
Regulă. Pentru a înmulți un număr cu 37, trebuie să împărțiți acest număr la 3 și să înmulțiți cu 111.
Exemple:
24 × 37 = (24:3) × 37 × 3 = 8 × 111 = 888;
27 × 37 = (27:3) × 111 = 999.
Regulă. Pentru a împărți un număr la 37, trebuie să împărțiți acest număr la 111 și să îl înmulțiți cu 3
Exemple:
999:37 = 999:111 × 3 = 27;
888:37 = 888:111 × 3 = 24.
Înmulțiți cu 111
După ce ați învățat să înmulțiți cu 11, este ușor să înmulțiți cu 111, 1111 etc. un număr a cărui sumă de cifre este mai mică de 10.
Exemple:
24 × 111 = 2 (2+4) (2+4) 4 = 2664;
36 ×111 = 3 (3+6) (3+6) 6 = 3996;
17 × 1111 = 1 (1+7) (1+7) (1+7) 7 = 18887.
Concluzie. Pentru a înmulți un număr cu 11, 111 etc., trebuie să mutați mental cifrele acestui număr în doi, trei, etc., să adăugați numerele și să le scrieți între cifrele răspândite.
Înmulțirea a două numere adiacente
Exemple:
| 1) 12 ×13 = ? 1 × 1 = 1 1 × (2+3) = 5 2 × 3 = 6 2) 23 × 24 = ? 2 × 2 = 4 2 × (3+4) = 14 3 × 4 = 12 3) 32 × 33 = ? 3 × 3 = 9 3 × (2+3) = 15 2 × 3 = 6 1056 4) 75 × 76 = ? 7 × 7 = 49 7 × (5+6) = 77 5 × 6 = 30 5700 | Examinare: × 12 Examinare: × 23 Examinare: × 32 1056 Examinare: × 75 525_ 5700 |
Concluzie. Când înmulțiți două numere adiacente, trebuie să înmulțiți mai întâi cifrele zecilor, apoi să înmulțiți cifra zecilor cu suma cifrelor unilor și, în final, trebuie să înmulțiți cifrele celor uni. Să obținem răspunsul (vezi exemple)
Înmulțirea unei perechi de numere ale căror cifre ale zecilor sunt aceleași și suma cifrelor lor este 10
Exemplu:
24 × 26 = (24 - 4) × (26 + 4) + 4 × 6 = 20 × 30 + 24 = 624.
Rotunjim numerele 24 și 26 la zeci pentru a obține numărul de sute și adăugăm produsul unităților la numărul de sute.
18 × 12 = 2 × 1 celulă. + 8 × 2 = 200 + 16 = 216;
16 × 14 = 2 × 1 × 100 + 6 × 4 = 200 + 24 = 224;
23 × 27 = 2 × 3 × 100 + 3 × 7 = 621;
34 × 36 = 3 × 4 celule. + 4 × 6 = 1224;
71 × 79 = 7 × 8 celule. + 1 × 9 = 5609;
82 × 88 = 8 × 9 celule. + 2 × 8 = 7216.
Poate fi rezolvată oral sau mai mult exemple complexe:
108 × 102 = 10 × 11 celule. + 8 × 2 = 11016;
204 × 206 = 20 × 21 celule. +4 × 6 = 42024;
802 × 808 = 80 × 81 celule. +2 × 8 = 648016.
Examinare:
× 802
6416
6416__
648016
Înmulțirea numerelor din două cifre în care suma cifrelor zecilor este 10 și cifrele unilor sunt aceleași.
Regulă. La înmulțirea numerelor din două cifre. pentru care suma cifrelor zecilor este 10, iar cifrele unilor sunt aceleași, trebuie să înmulțiți cifrele zecilor. și adunăm cifra unităților, obținem numărul de sute și adăugăm produsul unităților la numărul de sute.
Exemple:
72 × 32 = (7 × 3 + 2) celule. + 2 × 2 = 2304;
64 × 44 = (6 × 4 + 4) × 100 + 4 × 4 = 2816;
53 × 53 = (5 × 5 +3) × 100 + 3 × 3 = 2809;
18 × 98 = (1 × 9 + 8) × 100 + 8 × 8 = 1764;
24 × 84 = (2 × 8 + 4) ×100+ 4 × 4 = 2016;
63 × 43 = (6 × 4 +3) × 100 +3 × 3 = 2709;
35 × 75 = (3 × 7 + 5) × 100 +5 × 5 = 2625.
Înmulțirea numerelor care se termină cu 1
Regulă. Când înmulțiți numerele care se termină cu 1, trebuie mai întâi să înmulțiți cifrele zecilor și să scrieți suma cifrelor zecilor de sub acest număr în dreapta produsului rezultat, apoi să înmulțiți 1 cu 1 și să îl scrieți și mai în dreapta. Adăugând-o într-o coloană, obținem răspunsul.
Exemple:
| 1) 81 × 31 = ? 8 × 3 = 24 8 + 3 = 11 1 × 1 = 1 2511 81 × 31 = 2511 | 2) 21 × 31 = ? 2 × 3 = 6 2 +3 = 5 1 × 1 = 1 21 × 31 = 651 | 3) 91 × 71 = ? 9 × 7 = 63 9 + 7 = 16 1 × 1 = 1 6461 91 × 71 = 6461 |
Înmulțirea numerelor din două cifre cu 101, a numerelor din trei cifre cu 1001
Regulă. Pentru a înmulți un număr din două cifre cu 101, trebuie să adăugați același număr la dreapta acestui număr.
648 1001 = 648648;
999 1001 = 999999.
Metodele de calcul oral rațional utilizate în lecțiile de matematică ajută la îmbunătățirea nivel general dezvoltarea matematică;să dezvolte la elevi deprinderea de a identifica rapid din legile, formulele și teoremele cunoscute de ei pe cele care ar trebui aplicate pentru rezolvarea problemelor, calculelor și calculelor propuse;promovează dezvoltarea memoriei, dezvoltă capacitatea de percepție vizuală a faptelor matematice și îmbunătățește imaginația spațială.
În plus, calculul rațional la lecțiile de matematică joacă un rol important în creșterea interesului cognitiv al copiilor pentru lecțiile de matematică, ca unul dintre cele mai importante motive pentru activitatea educațională și cognitivă și dezvoltarea calităților personale ale copilului.Prin dezvoltarea abilităților de calcul oral rațional, profesorul dezvoltă astfel la elevi abilitățile de asimilare conștientă a materialului studiat, îi învață să prețuiască și să economisească timp și își dezvoltă dorința de a căuta modalități raționale de a rezolva o problemă. Cu alte cuvinte, se formează acțiuni educaționale universale cognitive, inclusiv logice, cognitive și semn-simbolice.
Scopurile și obiectivele școlii se schimbă dramatic; are loc o tranziție de la paradigma cunoașterii la învățarea orientată spre personal. Prin urmare, este important nu doar să învățăm cum să rezolvi problemele de matematică, ci să arăți funcționarea legilor matematice de bază în viață, să explici cum un student poate aplica cunoștințele dobândite. Și atunci copiii vor avea principalul lucru: dorința și sensul de a învăța.
Bibliografie
Minskikh E.M. „De la joc la cunoaștere”, M., „Prosveshcheniye” 1982.
Kordemsky B.A., Akhadov A.A. O lume minunata numere: Cartea elevilor, - M. Învățământ, 1986.
Sovaylenko VK. Sistemul de predare a matematicii în clasele 5-6. Din experiență de muncă. - M.: Educație, 1991.
Cutler E. McShane R. „Sistem de numărare rapidă conform lui Trachtenberg” - M. Education, 1967.
Minaeva S.S. „Calcule la clasă și activitati extracuriculare matematică." - M.: Educație, 1983.
Sorokin A.S. „Tehnici de numărare (metode de calcul rațional)”, M, Znani, 1976
http://razvivajka.ru/ Antrenament de numărare mentală
http://gzomrepus.ru/exercises/production/ Exerciții pentru productivitate și calcul mental rapid
