Derivată a unei funcții specificată implicit.
Derivată parametric funcţie dată

În acest articol ne vom uita la alte două sarcini tipice care se găsesc adesea în teste la matematica superioară. Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să poți găsi derivate cel puțin la un nivel intermediar. Puteți învăța să găsiți derivate practic de la zero în două lecții de bază și Derivată a unei funcții complexe. Dacă abilitățile tale de diferențiere sunt în regulă, atunci hai să mergem.

Derivată a unei funcții specificată implicit

Sau, pe scurt, derivata unei funcții implicite. Ce este o funcție implicită? Să ne amintim mai întâi însăși definiția unei funcții a unei variabile:

Funcție cu o singură variabilă este o regulă conform căreia fiecărei valori a variabilei independente îi corespunde una și o singură valoare a funcției.

Variabila este numită variabila independenta sau argument.
Variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie .

Până acum ne-am uitat la funcțiile definite în explicit formă. Ce înseamnă? Să realizăm un debriefing folosind exemple specifice.

Luați în considerare funcția

Vedem că în stânga avem un „jucător” singuratic, iar în dreapta - doar "X". Adică funcția explicit exprimată prin variabila independentă.

Să ne uităm la o altă funcție:

Aici sunt amestecate variabilele. în plus imposibil prin orice mijloace exprimați „Y” doar prin „X”. Care sunt aceste metode? Transferarea termenilor dintr-o parte în parte cu schimbarea semnului, mutarea lor din paranteze, aruncarea factorilor conform regulii proporției etc. Rescrieți egalitatea și încercați să exprimați „y” în mod explicit: . Puteți răsuci și întoarce ecuația ore întregi, dar nu veți reuși.

Permiteți-mi să vă prezint: – exemplu funcţie implicită.

În cursul analizei matematice s-a dovedit că funcţia implicită există(totuși, nu întotdeauna), are un grafic (la fel ca o funcție „normală”). Funcția implicită este exact aceeași există derivată întâi, derivată a doua etc. După cum se spune, toate drepturile minorităților sexuale sunt respectate.

Și în această lecție vom învăța cum să găsim derivata unei funcții specificate implicit. Nu este atât de greu! Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare rămân în vigoare. Diferența constă într-un moment deosebit, pe care îl vom analiza chiar acum.

Da, și vă voi spune veștile bune - sarcinile discutate mai jos sunt efectuate conform unui algoritm destul de strict și clar, fără o piatră în fața a trei piste.

Exemplul 1

1) În prima etapă, atașăm lovituri la ambele părți:

2) Folosim regulile de liniaritate ale derivatei (primele două reguli ale lecției Cum să găsesc derivatul? Exemple de soluții):

3) Diferențierea directă.
Cum să diferențiezi este complet clar. Ce să faci acolo unde există „jocuri” sub lovituri?

- până la rușine, derivata unei funcții este egală cu derivata acesteia: .

Cum să diferențiezi
Aici avem functie complexa. De ce? Se pare că sub sinus există o singură literă „Y”. Dar adevărul este că există o singură literă „y” - ESTE ÎNȘI O FUNCȚIE(vezi definiția de la începutul lecției). Astfel, sinusul este o funcție externă și este o funcție internă. Folosim regula pentru diferențierea unei funcții complexe :

Diferențiem produsul după regula obișnuită :

Vă rugăm să rețineți că – este, de asemenea, o funcție complexă, orice „joc cu clopoței și fluiere” este o funcție complexă:

Soluția în sine ar trebui să arate cam așa:

Dacă există paranteze, extindeți-le:

4) În partea stângă colectăm termenii care conțin un „Y” cu un prim. Mutați totul în partea dreaptă:

5) În partea stângă scoatem derivata din paranteze:

6) Și conform regulii proporției, aruncăm aceste paranteze în numitorul părții drepte:

S-a găsit derivatul. Gata.

Este interesant de observat că orice funcție poate fi rescrisă implicit. De exemplu, funcția poate fi rescris astfel: . Și diferențiază-l folosind algoritmul tocmai discutat. De fapt, expresiile „funcție implicită” și „funcție implicită” diferă într-o singură nuanță semantică. Expresia „funcție specificată implicit” este mai generală și mai corectă, – această funcție este specificată implicit, dar aici puteți exprima „jocul” și prezenta funcția în mod explicit. Expresia „funcție implicită” se referă la funcția implicită „clasică” atunci când „y” nu poate fi exprimat.

A doua soluție

Atenţie! Vă puteți familiariza cu a doua metodă numai dacă știți să găsiți cu încredere derivate parțiale. Începători de calcul și manechini, vă rog nu citi și sări peste acest punct, altfel capul tău va fi o mizerie completă.

Să găsim derivata funcției implicite folosind a doua metodă.

Mutăm toți termenii în partea stângă:

Și luați în considerare o funcție a două variabile:

Apoi derivata noastră poate fi găsită folosind formula
Să găsim derivatele parțiale:

Prin urmare:

A doua soluție vă permite să efectuați o verificare. Dar nu este recomandabil ca ei să scrie versiunea finală a temei, deoarece derivatele parțiale sunt stăpânite mai târziu, iar un student care studiază subiectul „Derivată a unei funcții a unei variabile” nu ar trebui să cunoască încă derivate parțiale.

Să ne uităm la câteva exemple suplimentare.

Exemplul 2

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Adăugați linii la ambele părți:

Folosim reguli de liniaritate:

Găsirea derivatelor:

Deschiderea tuturor parantezelor:

Mutăm toți termenii cu în partea stângă, restul în partea dreaptă:

Răspuns final:

Exemplul 3

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Soluție completăși un model de design la sfârșitul lecției.

Nu este neobișnuit ca fracțiile să apară după diferențiere. În astfel de cazuri, trebuie să scapi de fracții. Să ne uităm la încă două exemple.

Exemplul 4

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Închidem ambele părți sub linii și folosim regula liniarității:

Diferențierea folosind regula de diferențiere a unei funcții complexe și regula diferențierii coeficientilor :

Extinderea parantezelor:

Acum trebuie să scăpăm de fracțiune. Acest lucru se poate face mai târziu, dar este mai rațional să o faceți imediat. Numitorul fracției conține . Multiplica pe . În detaliu, va arăta astfel:

Uneori după diferențiere apar 2-3 fracții. Dacă am avea o altă fracție, de exemplu, atunci operația ar trebui repetată - înmulțiți fiecare termen al fiecărei părți pe

În partea stângă îl scoatem din paranteze:

Răspuns final:

Exemplul 5

Aflați derivata unei funcții dată implicit

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Singurul lucru este că înainte de a scăpa de fracțiune, va trebui mai întâi să scăpați de structura cu trei etaje a fracției în sine. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Derivată a unei funcții definite parametric

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generală a unei funcții definite parametric, dar, pentru a fi clar, voi scrie imediat exemplu concret. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea, ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametruși poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Puteți marca un punct pe planul de coordonate, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții definite parametric, puteți utiliza programul meu.

În cele mai simple cazuri, este posibil să se reprezinte funcția în mod explicit. Să exprimăm parametrul din prima ecuație: – și înlocuiți-l în a doua ecuație: . Rezultatul este o funcție cubică obișnuită.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, deoarece există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate sunt valabile, desigur, pentru litera , astfel, nu există noutate în procesul de găsire a derivatelor. Doar înlocuiți mental toate „X”-urile din tabel cu litera „Te”.

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

În ceea ce privește notația, în loc să o scrieți în formulă, s-ar putea scrie pur și simplu fără un indice, deoarece aceasta este o derivată „regulată” „față de X”. Dar în literatură există întotdeauna o opțiune, așa că nu mă voi abate de la standard.

Exemplul 6

Folosim formula

ÎN în acest caz,:

Prin urmare:

O caracteristică specială a găsirii derivatei unei funcții parametrice este faptul că la fiecare pas este benefic să simplificăm cât mai mult rezultatul. Deci, în exemplul luat în considerare, când l-am găsit, am deschis parantezele de sub rădăcină (deși s-ar putea să nu fi făcut asta). Există șanse mari ca atunci când înlocuiți în formulă, multe lucruri să fie reduse bine. Deși, desigur, există exemple cu răspunsuri stângace.

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

In articol Cele mai simple probleme tipice cu derivate ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că, pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

Inlocuim derivatele gasite in formula. Pentru simplificare, folosim formula trigonometrică:

Luați în considerare definirea unei linii pe un plan în care variabilele x, y sunt funcții ale unei a treia variabile t (numită parametru):

Pentru fiecare valoare t dintr-un anumit interval corespund anumite valori XȘi y, a, prin urmare, un anumit punct M (x, y) al planului. Când t parcurge toate valorile dintr-un interval dat, apoi punctul M (X y) descrie o linie L. Ecuațiile (2.2) se numesc ecuații de linii parametrice L.

Dacă funcția x = φ(t) are un invers t = Ф(x), atunci substituind această expresie în ecuația y = g(t), obținem y = g(Ф(x)), care specifică y ca o funcție a X. În acest caz, spunem că ecuațiile (2.2) definesc funcția y parametric.

Exemplul 1. Lăsa M(x,y)– punct arbitrar pe un cerc de rază Rși centrat la origine. Lăsa t– unghiul dintre axe Bou si raza OM(vezi Fig. 2.3). Apoi X y sunt exprimate prin t:

Ecuațiile (2.3) sunt ecuații parametrice ale unui cerc. Să excludem parametrul t din ecuațiile (2.3). Pentru a face acest lucru, pătram fiecare ecuație și o adunăm, obținem: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) sau x 2 + y 2 = R 2 – ecuația unui cerc în cartezian sistem de coordonate. Definește două funcții: Fiecare dintre aceste funcții este dată de ecuații parametrice (2.3), dar pentru prima funcție și pentru a doua.

Exemplul 2. Ecuații parametrice

definiți o elipsă cu semi-axe a, b(Fig. 2.4). Excluzând parametrul din ecuații t, obținem ecuația canonică a elipsei:

Exemplul 3. Un cicloid este o linie descrisă de un punct situat pe un cerc dacă acest cerc se rostogolește fără să alunece într-o linie dreaptă (Fig. 2.5). Să introducem ecuațiile parametrice ale cicloidei. Fie raza cercului de rulare A, punct M, descriind cicloidul, la începutul mișcării a coincis cu originea coordonatelor.

Să stabilim coordonatele X, y puncte M după ce cercul s-a rotit printr-un unghi t
(Fig. 2.5), t = ÐMCB. Lungimea arcului M.B. egală cu lungimea segmentului O.B. deoarece cercul se rostogolește fără să alunece, așadar

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Deci, se obțin ecuațiile parametrice ale cicloidei:

La modificarea unui parametru t de la 0 la 2π cercul se rotește cu o rotație, iar punctul M descrie un arc de cicloid. Ecuațiile (2.5) dau y ca o funcție a X. Deşi funcţia x = a(t – sint) are o funcție inversă, dar nu se exprimă în termeni de funcții elementare, deci funcția y = f(x) nu se exprimă prin funcţii elementare.

Să considerăm diferențierea unei funcții definită parametric prin ecuațiile (2.2). Funcția x = φ(t) pe un anumit interval de schimbare t are funcție inversă t = Ф(x), Apoi y = g(Ф(x)). Lăsa x = φ(t), y = g(t) au derivate și x"t≠0. Conform regulii de diferenţiere a funcţiilor complexe y"x=y"t×t"x. Pe baza regulii de diferențiere funcție inversă, De aceea:

Formula rezultată (2.6) permite găsirea derivatei pentru o funcție specificată parametric.

Exemplul 4. Fie funcția y, în funcție de X, este specificat parametric:

Soluţie. .
Exemplul 5. Găsiți panta k tangentă la cicloidă în punctul M 0 corespunzător valorii parametrului.
Soluţie. Din ecuațiile cicloidale: y" t = asint, x" t = a(1 – cost), De aceea

Factorul de pantă tangentă într-un punct M0 egală cu valoarea la t 0 = π/4:

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ

Lăsați funcția la punct x 0 are un derivat. Prioritate A:
prin urmare, conform proprietăților limitei (Secțiunea 1.8), unde A– infinitezimal la Δx → 0. De aici

Δy = f „(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Ca Δx → 0, al doilea termen din egalitatea (2.7) este infinitezimal de ordin superior, comparat cu , prin urmare Δy și f " (x 0)×Δx sunt echivalente, infinitezimale (pentru f "(x 0) ≠ 0).

Astfel, incrementul funcției Δy este format din doi termeni, dintre care primul f "(x 0)×Δx este parte principală increment Δy, liniar în raport cu Δx (pentru f "(x 0)≠ 0).

Diferenţial funcția f(x) în punctul x 0 se numește partea principală a incrementului funcției și se notează: dy sau df(x0). Prin urmare,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Exemplul 1. Aflați diferența unei funcții dy iar incrementul funcției Δy pentru funcția y = x 2 la:
1) arbitrar Xşi Δ X; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Soluţie

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Dacă x 0 = 20, Δx = 0,1, atunci Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Să scriem egalitatea (2.7) sub forma:

Δy = dy + a×Δx. (2,9)

Incrementul Δy este diferit de diferenţial dy la un infinitezimal de ordin superior, în comparație cu Δx, prin urmare, în calcule aproximative, egalitatea aproximativă Δy ≈ dy este utilizată dacă Δx este suficient de mic.

Considerând că Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), obținem o formulă aproximativă:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2,10)

Exemplul 2. Calculați aproximativ.

Soluţie. Considera:

Folosind formula (2.10), obținem:

Deci, ≈ 2,025.

Să luăm în considerare semnificația geometrică a diferenţialului df(x 0)(Fig. 2.6).

Să desenăm o tangentă la graficul funcției y = f(x) în punctul M 0 (x0, f(x 0)), fie φ unghiul dintre tangentei KM0 și axa Ox, apoi f"( x 0) = tanφ Din ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Dar PN este incrementul ordonatei tangentei pe măsură ce x se schimbă de la x 0 la x 0 + Δx.

În consecință, diferența funcției f(x) în punctul x 0 este egală cu incrementul ordonatei tangentei.

Să găsim diferența funcției
y = x. Deoarece (x)" = 1, atunci dx = 1×Δx = Δx. Vom presupune că diferența variabilei independente x este egală cu incrementul acesteia, adică dx = Δx.

Dacă x este un număr arbitrar, atunci din egalitatea (2.8) obținem df(x) = f "(x)dx, de unde .
Astfel, derivata pentru o funcție y = f(x) este egală cu raportul dintre diferența sa și diferența argumentului.

Să luăm în considerare proprietățile diferențialei unei funcții.

Dacă u(x), v(x) sunt funcții diferențiabile, atunci următoarele formule sunt valabile:

Pentru a demonstra aceste formule, se folosesc formule derivate pentru suma, produsul și câtul unei funcții. Să demonstrăm, de exemplu, formula (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Să considerăm diferența unei funcții complexe: y = f(x), x = φ(t), adică. y = f(φ(t)).

Atunci dy = y" t dt, dar y" t = y" x ×x" t, deci dy =y" x x" t dt. Luand in considerare,

că x" t = dx, obținem dy = y" x dx =f "(x)dx.

Astfel, diferența unei funcții complexe y = f(x), unde x =φ(t), are forma dy = f "(x)dx, la fel ca și în cazul în care x este o variabilă independentă. Această proprietate se numește invarianţa formei diferenţialului A.

Să nu ne stresăm, totul în acest paragraf este, de asemenea, destul de simplu. Puteți nota formula generală pentru o funcție definită parametric, dar pentru a fi clar, voi scrie imediat un exemplu specific. În formă parametrică, funcția este dată de două ecuații: . Adesea, ecuațiile sunt scrise nu între paranteze, ci secvențial: , .

Variabila se numește parametru și poate lua valori de la „minus infinit” la „plus infinit”. Luați în considerare, de exemplu, valoarea și înlocuiți-o în ambele ecuații: . Sau în termeni umani: „dacă x este egal cu patru, atunci y este egal cu unu”. Puteți marca un punct pe planul de coordonate, iar acest punct va corespunde valorii parametrului. În mod similar, puteți găsi un punct pentru orice valoare a parametrului „te”. În ceea ce privește o funcție „obișnuită”, pentru indienii americani ai unei funcții definite parametric, toate drepturile sunt de asemenea respectate: puteți construi un grafic, puteți găsi derivate etc. Apropo, dacă trebuie să reprezentați un grafic al unei funcții specificate parametric, descărcați programul meu geometric de pe pagină Formule matematice si mese.

În cazurile mai „grave”, acest truc nu funcționează. Dar nu contează, deoarece există o formulă pentru a găsi derivata unei funcții parametrice:

Găsim derivata „jocului față de variabila te”:

Găsim derivata lui „x față de variabila te”:

Acum tot ce rămâne este să înlocuim derivatele găsite în formula noastră:

Gata. Derivata, ca și funcția în sine, depinde și de parametru.

Exemplul 6

Folosim formula

În acest caz:

Prin urmare:

Exemplul 7

Găsiți derivata unei funcții specificată parametric

Acesta este un exemplu de rezolvat singur.

In articol Protozoare sarcini tipice cu derivat ne-am uitat la exemple în care trebuia să găsim derivata a doua a unei funcții. Pentru o funcție definită parametric, puteți găsi și derivata a doua și se găsește folosind următoarea formulă: . Este destul de evident că, pentru a găsi derivata a doua, trebuie mai întâi să găsiți derivata întâi.

Exemplul 8

Găsiți prima și a doua derivată ale unei funcții date parametric

Mai întâi, să găsim prima derivată.
Folosim formula

În acest caz:

Înlocuiește derivatele găsite în formulă. Pentru simplificare, folosim formula trigonometrică:

Am observat că în problema găsirii derivatei unei funcții parametrice, destul de des în scopul simplificării este necesar să se folosească formule trigonometrice . Amintiți-le sau păstrați-le la îndemână și nu ratați ocazia de a simplifica fiecare rezultat intermediar și răspunsuri. Pentru ce? Acum trebuie să luăm derivata lui , iar aceasta este în mod clar mai bună decât să găsim derivata lui .

Să găsim derivata a doua.
Folosim formula: .

Să ne uităm la formula noastră. Numitorul a fost deja găsit în pasul anterior. Rămâne de găsit numărătorul - derivata primei derivate în raport cu variabila „te”:

Rămâne să folosiți formula:

Pentru a consolida materialul, vă ofer încă câteva exemple pe care să le rezolvați singur.

Exemplul 9

Exemplul 10

Găsiți și pentru o funcție specificată parametric

Vă doresc succes!

Sper că această lecție a fost utilă, iar acum puteți găsi cu ușurință derivate ale funcțiilor specificate implicit și din funcții parametrice

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3: Soluție:

Prin urmare:

Funcția poate fi specificată în mai multe moduri. Depinde de regula folosită pentru a-l specifica. Forma explicită de specificare a funcției este y = f (x). Există momente când descrierea sa este imposibilă sau incomodă. Dacă există multe perechi (x; y) care trebuie calculate pentru parametrul t pe intervalul (a; b). Pentru a rezolva sistemul x = 3 cos t y = 3 sin t cu 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Definiția unei funcții parametrice

De aici avem că x = φ (t), y = ψ (t) sunt definite la o valoare t ∈ (a; b) și au o funcție inversă t = Θ (x) pentru x = φ (t), atunci despre care vorbim despre specificarea unei ecuații parametrice a unei funcții de forma y = ψ (Θ (x)).

Există cazuri când, pentru a studia o funcție, este necesară căutarea derivatei față de x. Să luăm în considerare formula pentru derivata unei funcții definite parametric de forma y x " = ψ " (t) φ " (t), să vorbim despre derivata de ordinul 2 și al n-lea.

Derivarea formulei pentru derivata unei funcții definite parametric

Avem că x = φ (t), y = ψ (t), definit și derivabil pentru t ∈ a; b, unde x t " = φ " (t) ≠ 0 și x = φ (t), atunci există o funcție inversă de forma t = Θ (x).

Pentru început, ar trebui să treceți de la o sarcină parametrică la una explicită. Pentru a face acest lucru, trebuie să obțineți o funcție complexă de forma y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), unde există un argument x.

Pe baza regulii de găsire a derivatei unei funcții complexe, obținem că y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Aceasta arată că t = Θ (x) și x = φ (t) sunt funcții inverse din formula funcției inverse Θ " (x) = 1 φ " (t), apoi y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Să trecem la rezolvarea mai multor exemple folosind un tabel de derivate conform regulii de diferențiere.

Exemplul 1

Aflați derivata pentru funcția x = t 2 + 1 y = t.

Soluţie

Prin condiție avem că φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, de aici obținem că φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Trebuie să utilizați formula derivată și să scrieți răspunsul sub forma:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Răspuns: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Când se lucrează cu derivata unei funcții h, parametrul t specifică expresia argumentului x prin același parametru t, pentru a nu pierde legătura dintre valorile derivatei și funcția definită parametric cu argumentul la cărora le corespund aceste valori.

Pentru a determina derivata de ordinul doi a unei funcții date parametric, trebuie să utilizați formula pentru derivata de ordinul întâi pe funcția rezultată, apoi obținem că

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Exemplul 2

Aflați derivatele de ordinul 2 și 2 ale funcției date x = cos (2 t) y = t 2 .

Soluţie

Prin condiție, constatăm că φ (t) = cos (2 t), ψ (t) = t 2.

Apoi, după transformare

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Rezultă că y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Obținem că forma derivatei de ordinul I este x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Pentru a rezolva, trebuie să aplicați formula derivată de ordinul doi. Obținem o expresie a formei

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Apoi se specifică derivata de ordinul 2 folosind o funcție parametrică

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

O soluție similară poate fi rezolvată folosind o altă metodă. Apoi

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

De aici obținem asta

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Răspuns: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Derivatele de ordin superior cu funcții definite parametric se găsesc într-un mod similar.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Derivată a unei funcții specificată implicit. Derivată parametric funcţie dată