Ecuațiile trigonometrice nu sunt subiectul cel mai ușor. În mod dureros, sunt diverse.) De exemplu, cum ar fi:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin (5x + π / 4) = ctg (2x-π / 3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
etc...
Dar acești monștri trigonometrici (și toți ceilalți) au două caracteristici comune și obligatorii. Primul - nu veți crede - există funcții trigonometrice în ecuații.) Al doilea: se găsesc toate expresiile cu x în cadrul acestor aceleaşi funcţii.Și numai acolo! Dacă x apare oriunde in afara, de exemplu, sin2x + 3x = 3, aceasta va fi deja o ecuație de tip mixt. Astfel de ecuații necesită o abordare individuală. Nu le vom lua în considerare aici.
Nici în această lecție nu vom rezolva ecuații malefice.) Aici ne vom ocupa de cele mai simple ecuații trigonometrice. De ce? Da, pentru că soluția orice ecuațiile trigonometrice au două etape. În prima etapă, ecuația malefica este redusă la una simplă prin intermediul diverselor transformări. Pe a doua, această ecuație cea mai simplă este rezolvată. Nici o alta cale.
Deci, dacă aveți probleme la a doua etapă, prima etapă nu are prea mult sens.)
Cum arată ecuațiile trigonometrice elementare?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Aici A denotă orice număr. Oricine.
Apropo, în interiorul funcției poate să nu existe un x pur, ci un fel de expresie, cum ar fi:
cos (3x + π / 3) = 1/2
etc. Acest lucru complică viața, dar nu afectează metoda de rezolvare a ecuației trigonometrice.
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice?
Ecuațiile trigonometrice pot fi rezolvate în două moduri. Primul mod: folosind logica și cercul trigonometric. Vom lua în considerare această cale aici. A doua modalitate - folosirea memoriei și a formulelor - va fi discutată în lecția următoare.
Prima modalitate este clară, de încredere și greu de uitat.) Este bună pentru a rezolva ecuații trigonometrice, inegalități și tot felul de exemple nestandardizate complicate. Logica este mai puternică decât memoria!)
Rezolvarea ecuațiilor folosind cercul trigonometric.
Includem logica elementară și capacitatea de a folosi cercul trigonometric. Nu stiu cum!? Totuși... Îți este greu în trigonometrie...) Dar nu contează. Aruncă o privire la lecțiile „Cercul trigonometric ...... Ce este?” și „Numărarea unghiurilor pe un cerc trigonometric”. Totul este simplu acolo. Spre deosebire de tutoriale...)
Oh stii tu !? Și chiar a stăpânit „Lucrarea practică cu cercul trigonometric” !? Felicitări. Acest subiect vă va fi apropiat și de înțeles.) Ceea ce este deosebit de plăcut, cercul trigonometric nu-i pasă ce ecuație rezolvați. Sinus, cosinus, tangent, cotangent - totul este unul pentru el. Există un singur principiu de soluție.
Deci luăm orice ecuație trigonometrică elementară. Cel putin asta:
cosx = 0,5
Trebuie să găsim X. În termeni umani, ai nevoie găsiți unghiul (x), al cărui cosinus este 0,5.
Cum am folosit cercul mai devreme? Am desenat un colț pe el. În grade sau radiani. Și imediat văzut funcţiile trigonometrice ale acestui unghi. Acum să facem invers. Să desenăm un cosinus egal cu 0,5 pe cerc și imediat vedea injecţie. Rămâne doar să scrieți răspunsul.) Da, da!
Desenați un cerc și marcați un cosinus de 0,5. Pe axa cosinusului, desigur. Asa:
Acum să desenăm unghiul pe care ni-l dă acest cosinus. Mutați cursorul mouse-ului peste desen (sau atingeți imaginea de pe tabletă) și vedea chiar acest colt NS.
Ce unghi este cosinusul 0,5?
x = π / 3
cos 60 °= cos ( π / 3) = 0,5
Cineva va chicoti sceptic, da... Se spune, a meritat cercul, când totul este deja clar... Puteți, desigur, să chicotiți...) Dar adevărul este că acesta este un răspuns eronat. Sau mai bine zis, insuficient. Cunoscătorii cercului înțeleg că există încă o grămadă de unghiuri aici, care dau și un cosinus egal cu 0,5.
Dacă întoarceți partea mobilă a OA viraj complet, punctul A va reveni la poziția inițială. Cu același cosinus egal cu 0,5. Acestea. unghiul se va schimba 360 ° sau 2π radiani și cosinus nu este. Noul unghi 60 ° + 360 ° = 420 ° va fi, de asemenea, soluția ecuației noastre, deoarece
Puteți înfășura un număr infinit de astfel de spire complete... Și toate aceste unghiuri noi vor fi soluții pentru ecuația noastră trigonometrică. Și toate trebuie să fie scrise cumva ca răspuns. Tot.În caz contrar, decizia nu contează, da...)
Matematica știe să facă acest lucru într-un mod simplu și elegant. Într-un răspuns scurt, scrie set nesfârșit solutii. Iată cum arată pentru ecuația noastră:
x = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
voi descifra. Mai scrie semnificativ mai plăcut decât să desenezi prost niște litere misterioase, nu?)
π / 3 - Acesta este același colț în care noi a văzut pe cerc şi identificat conform tabelului cosinus.
2π este o revoluție completă în radiani.
n este numărul de plini, adică întreg revoluții. Este clar că n poate fi 0, ± 1, ± 2, ± 3 .... și așa mai departe. După cum indică o scurtă notă:
n ∈ Z
n aparține ( ∈ ) la mulțimea de numere întregi ( Z ). Apropo, în loc de scrisoare n literele pot fi bine folosite k, m, t etc.
Această intrare înseamnă că puteți lua orice întreg n ... Cel puțin -3, cel puțin 0, cel puțin +55. Ce vrei. Dacă introduceți acel număr în răspunsul dvs., obțineți un unghi specific care va rezolva cu siguranță ecuația noastră dură.)
Sau, cu alte cuvinte, x = π / 3 este singura rădăcină a mulțimii infinite. Pentru a obține toate celelalte rădăcini, este suficient să adăugați orice număr de rotații complete la π / 3 ( n ) în radiani. Acestea. 2π n radian.
Tot? Nu. Întind în mod deliberat plăcerea. Pentru a-l aminti mai bine.) Am primit doar o parte din răspunsurile la ecuația noastră. Voi scrie această primă parte a soluției după cum urmează:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nu o singură rădăcină, este o serie întreagă de rădăcini, scrise sub formă scurtă.
Dar există și unghiuri care dau și un cosinus de 0,5!
Să revenim la poza noastră, care a fost folosită pentru a scrie răspunsul. Acolo e:
Treceți mouse-ul peste imagine și vedea un alt colt care dă, de asemenea, un cosinus de 0,5. Cu ce crezi că este egal? Triunghiurile sunt la fel... Da! Este egal cu colțul NS , doar pus înapoi în direcția negativă. Acesta este colțul -NS. Dar ne-am dat deja seama de x. π / 3 sau 60 °. Prin urmare, putem scrie în siguranță:
x 2 = - π / 3
Ei bine, desigur, adăugăm toate unghiurile care se obțin prin rotații complete:
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Acum asta este.) În cercul trigonometric, noi a văzut(cine înțelege, desigur)) toate unghiuri care dau un cosinus egal cu 0,5. Și au scris aceste unghiuri într-o formă matematică scurtă. Răspunsul a produs două serii nesfârșite de rădăcini:
x 1 = π / 3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π / 3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este răspunsul corect.
Speranţă, principiul general al rezolvării ecuaţiilor trigonometrice folosirea unui cerc este clară. Marcam pe cerc cosinusul (sinus, tangenta, cotangenta) din ecuatia data, desenam unghiurile corespunzatoare acesteia si notam raspunsul. Desigur, trebuie să vă dați seama ce fel de colțuri suntem a văzut pe cerc. Uneori nu este chiar atât de evident. Ei bine, așa că am spus că aici este necesară logica.)
De exemplu, să ne uităm la o altă ecuație trigonometrică:
Vă rugăm să rețineți că numărul 0,5 nu este singurul număr posibil din ecuații!) Este mai convenabil pentru mine să-l scriu decât rădăcinile și fracțiile.
Lucrăm după principiul general. Desenați un cerc, marcați (pe axa sinusoidală, desigur!) 0,5. Desenăm deodată toate unghiurile corespunzătoare acestui sinus. Să obținem următoarea imagine:
Ocupându-te mai întâi de unghi NS in primul trimestru. Amintim tabelul sinusurilor și determinăm valoarea acestui unghi. Este o chestiune simplă:
x = π / 6
Ne amintim turele complete și, cu conștiința curată, notăm prima serie de răspunsuri:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Facut pe jumatate. Dar acum trebuie să definim al doilea colt... Asta e mai viclean decât în cosinus, da... Dar logica ne va salva! Cum să determinați al doilea unghi prin x? Da Ușor! Triunghiurile din imagine sunt aceleași, iar colțul roșu NS egal cu unghiul NS ... Numai că se măsoară din unghiul π în direcția negativă. Prin urmare, este roșu.) Și pentru răspuns avem nevoie de un unghi, măsurat corect, din semiaxa OX pozitivă, adică. dintr-un unghi de 0 grade.
Treceți cursorul peste imagine și vedeți totul. Am scos primul colt ca sa nu complic poza. Unghiul care ne interesează (desenat în verde) va fi egal cu:
π - x
X o știm π / 6 ... Prin urmare, al doilea unghi va fi:
π - π / 6 = 5π / 6
Reamintim din nou adăugarea de revoluții complete și notăm a doua serie de răspunsuri:
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Asta e tot. Răspunsul complet constă din două serii de rădăcini:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Ecuațiile cu tangentă și cotangentă pot fi rezolvate ușor folosind același principiu general pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice. Dacă, desigur, știi să desenezi tangenta și cotangenta pe un cerc trigonometric.
În exemplele de mai sus, am folosit valoarea tabelului sinus și cosinus: 0,5. Acestea. unul dintre acele semnificații pe care le cunoaște elevul trebuie sa. Acum să ne extindem capacitățile la toate celelalte valori. Decide, deci decide!)
Deci, să presupunem că trebuie să rezolvăm această ecuație trigonometrică:
Nu există o astfel de valoare a cosinusului în tabelele scurte. Ignorăm acest fapt teribil cu sânge rece. Desenați un cerc, marcați 2/3 pe axa cosinusului și desenați unghiurile corespunzătoare. Avem doar o astfel de imagine.
Să ne dăm seama, pentru început, cu un unghi în primul sfert. Dacă aș fi știut ce este X, ar fi scris răspunsul imediat! Nu știm... Eșec !? Calm! Matematica nu își abandonează propriile în necazuri! Ea a venit cu arccosine pentru acest caz. Nu stiu? Degeaba. Aflați, este mult mai ușor decât credeți. Sub această legătură, nu există o singură incantație complicată despre „funcțiile trigonometrice inverse”... Acest lucru este de prisos în acest subiect.
Dacă știți, este suficient să vă spuneți: „X este unghiul, al cărui cosinus este 2/3”. Și imediat, doar prin definiția arccosinului, puteți scrie:
Ne amintim ture suplimentare și notăm cu calm prima serie de rădăcini a ecuației noastre trigonometrice:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
A doua serie de rădăcini este, de asemenea, înregistrată aproape automat pentru al doilea unghi. Totul este la fel, doar x (arccos 2/3) va fi cu minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Și asta e tot! Acesta este răspunsul corect. Chiar mai ușor decât cu valorile din tabel. Nu trebuie să vă amintiți nimic.) Apropo, cei mai atenți vor observa că această imagine cu soluția prin cosinus invers în esență, nu diferă de imagine pentru ecuația cosx = 0,5.
Exact! Principiul general este cel general! Am desenat special două poze aproape identice. Cercul ne arată unghiul NS prin cosinusul său. Tabelul este un cosinus, sau nu - cercul nu știe. Care este acest unghi, π / 3 sau ce fel de cosinus invers - asta depinde de noi.
Cu sine același cântec. De exemplu:
Desenați din nou cercul, marcați sinusul egal cu 1/3, desenați colțurile. Poza arata cam asa:
Și din nou imaginea este aproape aceeași ca pentru ecuație sinx = 0,5. Din nou, începeți de la colț în primul sfert. Care este x dacă sinusul său este 1/3? Nici o problemă!
Deci primul pachet de rădăcini este gata:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Ne ocupăm de al doilea colț. În exemplul cu o valoare de tabel de 0,5, a fost:
π - x
Deci aici va fi exact la fel! Doar x este diferit, arcsin 1/3. Și ce dacă!? Puteți nota în siguranță al doilea pachet de rădăcini:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Acesta este un răspuns absolut corect. Deși nu pare foarte cunoscut. Dar este de înțeles, sper.)
Așa se rezolvă ecuațiile trigonometrice folosind un cerc. Această cale este clară și de înțeles. El este cel care salvează în ecuațiile trigonometrice cu selecția rădăcinilor la un interval dat, în inegalitățile trigonometrice - acestea sunt în general rezolvate aproape întotdeauna în cerc. Pe scurt, în orice sarcini care sunt puțin mai dificile decât cele standard.
Să ne aplicăm cunoștințele în practică?)
Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice:
La început e mai simplu, chiar din această lecție.
Acum mai greu.
Sugestie: Aici trebuie să reflectați asupra cercului. Personal.)
Și acum sunt în exterior nepretențioși ... Se mai numesc și cazuri speciale.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Sugestie: aici trebuie să vă dați seama într-un cerc unde există două serii de răspunsuri și unde este unul... Și cum să scrieți unul în loc de două serii de răspunsuri. Da, astfel încât să nu se piardă o singură rădăcină a numărului infinit!)
Ei bine, foarte simple):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Sugestie: aici trebuie să știți ce este arcsinus, arccosinus? Ce este arc tangentă, arc cotangentă? Cele mai simple definiții. Dar nu trebuie să vă amintiți nicio valoare din tabel!)
Răspunsurile sunt, desigur, o mizerie):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Nu merge totul? S-a întâmplat. Citiți din nou lecția. Numai gânditor(există un cuvânt atât de învechit...) Și urmați linkurile. Legăturile principale sunt despre cerc. Fără ea, în trigonometrie, e ca și cum ai traversa drumul cu legarea la ochi. Uneori funcționează.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
Lecție și prezentare pe tema: „Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice”
Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, recenziile, urările! Toate materialele au fost verificate de un program antivirus.
Manuale si simulatoare in magazinul online Integral pentru nota 10 din 1C
Rezolvăm probleme de geometrie. Sarcini interactive de construcție în spațiu
Mediul software „1C: Mathematical Constructor 6.1”
Ce vom studia:
1. Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
3. Două metode principale de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Ecuații trigonometrice omogene.
5. Exemple.
Ce sunt ecuațiile trigonometrice?
Băieți, am studiat deja arcsinus, arccosinus, arctangent și arc cotangent. Acum să ne uităm la ecuațiile trigonometrice în general.
Ecuații trigonometrice - ecuații în care variabila este conținută sub semnul funcției trigonometrice.
Să repetăm forma rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice:
1) Dacă | a | ≤ 1, atunci ecuația cos (x) = a are o soluție:
X = ± arccos (a) + 2πk
2) Dacă | a | ≤ 1, atunci ecuația sin (x) = a are o soluție:
3) Dacă | a | > 1, atunci ecuația sin (x) = a și cos (x) = a nu au soluții 4) Ecuația tan (x) = a are o soluție: x = arctan (a) + πk
5) Ecuația ctg (x) = a are o soluție: x = arcctg (a) + πk
Pentru toate formulele k este un număr întreg
Cele mai simple ecuații trigonometrice au forma: T (kx + m) = a, T- orice funcție trigonometrică.
Exemplu.Rezolvați ecuațiile: a) sin (3x) = √3 / 2
Soluţie:
A) Notăm 3x = t, apoi ne rescriem ecuația sub forma:
Soluția acestei ecuații va fi: t = ((- 1) ^ n) arcsin (√3 / 2) + πn.
Din tabelul de valori obținem: t = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn.
Să revenim la variabila noastră: 3x = ((- 1) ^ n) × π / 3 + πn,
Atunci x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3
Răspuns: x = ((-1) ^ n) × π / 9 + πn / 3, unde n este un număr întreg. (-1) ^ n - minus unu la a n-a putere.
Mai multe exemple de ecuații trigonometrice.
Rezolvați ecuațiile: a) cos (x / 5) = 1 b) tg (3x- π / 3) = √3Soluţie:
A) De data aceasta vom trece direct la calcularea rădăcinilor ecuației imediat:
X / 5 = ± arccos (1) + 2πk. Atunci x / 5 = πk => x = 5πk
Răspuns: x = 5πk, unde k este un număr întreg.
B) O scriem sub forma: 3x- π / 3 = arctan (√3) + πk. Știm că: arctan (√3) = π / 3
3x- π / 3 = π / 3 + πk => 3x = 2π / 3 + πk => x = 2π / 9 + πk / 3
Răspuns: x = 2π / 9 + πk / 3, unde k este un număr întreg.
Rezolvați ecuațiile: cos (4x) = √2 / 2. Și găsiți toate rădăcinile din segment.
Soluţie:
Să rezolvăm ecuația noastră în formă generală: 4x = ± arccos (√2 / 2) + 2πk
4x = ± π / 4 + 2πk;
X = ± π / 16 + πk / 2;
Acum să vedem ce rădăcini vor cădea pe segmentul nostru. La k La k = 0, x = π / 16, am intrat în segmentul dat.
Cu k = 1, x = π / 16 + π / 2 = 9π / 16, au lovit din nou.
Pentru k = 2, x = π / 16 + π = 17π / 16, dar aici nu am lovit, ceea ce înseamnă că pentru k mare cu siguranță nu vom lovi.
Răspuns: x = π / 16, x = 9π / 16
Există două metode principale de soluție.
Am luat în considerare cele mai simple ecuații trigonometrice, dar există și altele mai complexe. Pentru rezolvarea acestora se utilizează metoda introducerii unei noi variabile și metoda factorizării. Să aruncăm o privire la câteva exemple.Să rezolvăm ecuația:
Soluţie:
Pentru a ne rezolva ecuația, vom folosi metoda introducerii unei noi variabile, notăm: t = tg (x).
Ca rezultat al înlocuirii, obținem: t 2 + 2t -1 = 0
Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t = -1 și t = 1/3
Atunci tg (x) = - 1 și tg (x) = 1/3, obținem cea mai simplă ecuație trigonometrică, găsim rădăcinile ei.
X = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.
Răspuns: x = -π / 4 + πk; x = arctan (1/3) + πk.
Un exemplu de rezolvare a unei ecuații
Rezolvați ecuații: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0
Soluţie:
Să folosim identitatea: sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1
Ecuația noastră va lua forma: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0
2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0
Introduceți înlocuirea t = cos (x): 2t 2 -3t - 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice este rădăcinile: t = 2 și t = -1 / 2
Atunci cos (x) = 2 și cos (x) = - 1/2.
pentru că Cosinusul nu poate lua valori mai mari de unu, atunci cos (x) = 2 nu are rădăcini.
Pentru cos (x) = - 1/2: x = ± arccos (-1/2) + 2πk; x = ± 2π / 3 + 2πk
Răspuns: x = ± 2π / 3 + 2πk
Ecuații trigonometrice omogene.
Definiție: Ecuațiile de forma a sin (x) + b cos (x) se numesc ecuații trigonometrice omogene de gradul I.Ecuații de formă
ecuații trigonometrice omogene de gradul doi.
Pentru a rezolva ecuația trigonometrică omogenă de gradul întâi, o împărțim la cos (x): 
Este imposibil de împărțit la cosinus dacă este egal cu zero, să ne asigurăm că nu este:
Fie cos (x) = 0, apoi asin (x) + 0 = 0 => sin (x) = 0, dar sinusul și cosinusul nu sunt egale cu zero în același timp, avem o contradicție, deci putem în siguranță împărțiți la zero.
Rezolvați ecuația:
Exemplu: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0
Soluţie:
Scoateți factorul comun: cos (x) (c0s (x) + sin (x)) = 0
Atunci trebuie să rezolvăm două ecuații:
Cos (x) = 0 și cos (x) + sin (x) = 0
Cos (x) = 0 pentru x = π / 2 + πk;
Luați în considerare ecuația cos (x) + sin (x) = 0 Împărțiți ecuația noastră la cos (x):
1 + tg (x) = 0 => tg (x) = - 1 => x = arctan (-1) + πk = -π / 4 + πk
Răspuns: x = π / 2 + πk și x = -π / 4 + πk
Cum se rezolvă ecuații trigonometrice omogene de gradul doi?
Băieți, respectați întotdeauna aceste reguli!
1. Vezi cu ce este egal coeficientul a, dacă a = 0 atunci ecuația noastră va lua forma cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), un exemplu de rezolvare care în diapozitivul precedent
2. Dacă a ≠ 0, atunci trebuie să împărțiți ambele părți ale ecuației la cosinusul la pătrat, obținem:
Schimbăm variabila t = tg (x) și obținem ecuația:
Rezolvați exemplul nr: 3
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Împărțiți ambele părți ale ecuației la pătratul cosinus: 
Modificați variabila t = tg (x): t 2 + 2 t - 3 = 0
Aflați rădăcinile ecuației pătratice: t = -3 și t = 1
Atunci: tg (x) = - 3 => x = arctan (-3) + πk = -arctg (3) + πk
Tg (x) = 1 => x = π / 4 + πk
Răspuns: x = -arctg (3) + πk și x = π / 4 + πk
Rezolvați exemplul nr: 4
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Suntem capabili să rezolvăm astfel de ecuații: x = - π / 4 + 2πk și x = 5π / 4 + 2πk
Răspuns: x = - π / 4 + 2πk și x = 5π / 4 + 2πk
Rezolvați exemplul nr.: 5
Rezolvați ecuația:Soluţie:
Să ne transformăm expresia:
Introducem înlocuirea tg (2x) = t: 2 2 - 5t + 2 = 0
Soluția ecuației noastre pătratice va fi rădăcinile: t = -2 și t = 1/2
Atunci obținem: tg (2x) = - 2 și tg (2x) = 1/2
2x = -arctg (2) + πk => x = -arctg (2) / 2 + πk / 2
2x = arctan (1/2) + πk => x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2
Răspuns: x = -arctg (2) / 2 + πk / 2 și x = arctan (1/2) / 2 + πk / 2
Sarcini pentru o soluție independentă.
1) Rezolvați ecuațiaA) sin (7x) = 1/2 b) cos (3x) = √3 / 2 c) cos (-x) = -1 d) tan (4x) = √3 e) ctg (0,5x) = -1,7
2) Rezolvați ecuațiile: sin (3x) = √3 / 2. Și găsiți toate rădăcinile de pe segmentul [π / 2; π].
3) Rezolvați ecuația: ctg 2 (x) + 2ctg (x) + 1 = 0
4) Rezolvați ecuația: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos (x) = 0
5) Rezolvați ecuația: 3sin 2 (3x) + 10 sin (3x) cos (3x) + 3 cos 2 (3x) = 0
6) Rezolvați ecuația: cos 2 (2x) -1 - cos (x) = √3 / 2 -sin 2 (2x)
Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.
Colectarea și utilizarea informațiilor personale
Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.
Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.
Mai jos sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și cum putem folosi aceste informații.
Ce informații personale colectăm:
- Când lăsați o solicitare pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.
Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:
- Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să raportăm oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
- Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a trimite notificări și mesaje importante.
- De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
- Dacă participați la o tragere la sorți, la o competiție sau la un eveniment promoțional similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra acele programe.
Dezvăluirea informațiilor către terți
Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.
Excepții:
- Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordinul instanței, în cadrul procedurilor judiciare și/sau pe baza solicitărilor publice sau a solicitărilor din partea autorităților guvernamentale de pe teritoriul Federației Ruse - să dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte motive importante din punct de vedere social.
- În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, este posibil să transferăm informațiile personale pe care le colectăm către terțul corespunzător - succesorul legal.
Protecția informațiilor personale
Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și abuzului, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.
Respect pentru intimitatea ta la nivel de companie
Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, aducem regulile de confidențialitate și securitate angajaților noștri și monitorizăm cu strictețe implementarea măsurilor de confidențialitate.
Relațiile dintre principalele funcții trigonometrice - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - sunt stabilite formule trigonometrice... Și din moment ce există o mulțime de conexiuni între funcțiile trigonometrice, acest lucru explică abundența formulelor trigonometrice. Unele formule conectează funcții trigonometrice ale aceluiași unghi, altele - funcții ale unui unghi multiplu, altele - vă permit să scădeți gradul, al patrulea - să exprimați toate funcțiile prin tangenta unui jumătate de unghi etc.
În acest articol, vom enumera în ordine toate formulele trigonometrice de bază, care sunt suficiente pentru a rezolva marea majoritate a problemelor de trigonometrie. Pentru ușurință de memorare și utilizare, le vom grupa după scop și le vom introduce în tabele.
Navigare în pagină.
Identități trigonometrice de bază
Identități trigonometrice de bază stabiliți relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangente unui unghi. Ele decurg din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, precum și din conceptul de cerc unitar. Ele vă permit să exprimați o funcție trigonometrică în termenii oricărei alte.
Pentru o descriere detaliată a acestor formule de trigonometrie, derivarea lor și exemple de aplicare, consultați articolul.
Formule de turnare
Formule de turnare rezultă din proprietățile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei, adică reflectă proprietatea de periodicitate a funcțiilor trigonometrice, proprietatea simetriei, precum și proprietatea deplasării cu un unghi dat. Aceste formule trigonometrice vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare la lucrul cu unghiuri cuprinse între zero și 90 de grade.
Rațiunea acestor formule, regula mnemonică pentru memorarea lor și exemple de aplicare a acestora pot fi studiate în articol.
Formule de adunare
Formule trigonometrice de adunare arată cum funcțiile trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri sunt exprimate în termenii funcțiilor trigonometrice ale acestor unghiuri. Aceste formule servesc drept bază pentru derivarea următoarelor formule trigonometrice.
Formule pentru dublu, triplu etc. colţ
Formule pentru dublu, triplu etc. unghiul (numit și formule cu unghiuri multiple) arată modul în care funcțiile trigonometrice dublu, triplu etc. unghiurile () sunt exprimate în termeni de funcții trigonometrice ale unui singur unghi. Derivarea lor se bazează pe formule de adunare.
Informații mai detaliate sunt adunate în formulele articolului pentru dublu, triplu etc. colţ.
Formule cu jumătate de unghi
Formule cu jumătate de unghi arătați modul în care funcțiile trigonometrice ale unui semiunghi sunt exprimate în termeni de cosinus al unui unghi întreg. Aceste formule trigonometrice decurg din formulele cu unghi dublu.
Concluzia lor și exemple de aplicare pot fi găsite în articol.
Formule de reducere a gradului
Formule de reducere a gradului trigonometric sunt concepute pentru a facilita trecerea de la grade naturale ale funcțiilor trigonometrice la sinusuri și cosinusuri de gradul întâi, dar unghiuri multiple. Cu alte cuvinte, ele vă permit să reduceți gradele funcțiilor trigonometrice la primul.
Formule de sumă și diferență pentru funcții trigonometrice
destinatia principala formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice este să mergem la produsul funcțiilor, ceea ce este foarte util atunci când simplificați expresiile trigonometrice. Aceste formule sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în rezolvarea ecuațiilor trigonometrice, deoarece vă permit să factorizați suma și diferența sinusurilor și cosinusurilor.
Formule pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus
Trecerea de la produsul funcțiilor trigonometrice la sumă sau diferență se realizează folosind formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.
Substituție trigonometrică generică
Încheiem trecerea în revistă a formulelor de bază ale trigonometriei cu formule care exprimă funcții trigonometrice în termeni de tangente a unui semiunghi. Acest înlocuitor a fost numit substituție trigonometrică universală... Comoditatea sa constă în faptul că toate funcțiile trigonometrice sunt exprimate în termeni de tangente a unui jumătate de unghi rațional fără rădăcini.
Bibliografie.
- Algebră: Manual. pentru 9 cl. miercuri scoala / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M .: Educație, 1990. - 272 p .: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: manual. pentru 10-11 cl. miercuri shk. - Ed. a 3-a. - M .: Educaţie, 1993 .-- 351 p .: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebră iar începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov.- ed. a XIV-a - M .: Educaţie, 2004. - 384 p .: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții la școlile tehnice): manual. manual.- M .; Superior. shk., 1984.-351 p., ill.
Drepturi de autor de către cleverstudents
Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și designul extern, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.
Cele mai simple ecuații trigonometrice sunt de obicei rezolvate prin formule. Permiteți-mi să vă reamintesc că următoarele ecuații trigonometrice sunt numite cele mai simple:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x este unghiul care trebuie găsit,
a - orice număr.
Și iată formulele cu care puteți nota imediat soluțiile acestor ecuații simple.
Pentru sinus:
Pentru cosinus:
х = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pentru tangentă:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pentru cotangentă:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
De fapt, aceasta este partea teoretică a rezolvării celor mai simple ecuații trigonometrice. Mai mult, totul!) Nimic. Cu toate acestea, numărul de erori pe acest subiect este pur și simplu la scară. Mai ales dacă exemplul se abate ușor de la șablon. De ce?
Da, pentru că mulți oameni notează aceste scrisori, nu le inteleg deloc sensul! Cu prudență notează, indiferent cum s-ar întâmpla ceva...) Acest lucru trebuie rezolvat. Trigonometrie pentru oameni sau oameni pentru trigonometrie până la urmă!?)
Să ne dăm seama?
Un unghi va fi egal cu arccos a, al doilea: -arccos a.
Și așa va funcționa întotdeauna. Pentru orice A.
Dacă nu mă credeți, treceți mouse-ul peste imagine sau atingeți imaginea de pe tabletă.) Am schimbat numărul A la unele negative. Oricum, avem un colț arccos a, al doilea: -arccos a.
Prin urmare, răspunsul poate fi întotdeauna scris sub forma a două serii de rădăcini:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Combinăm aceste două serii într-una singură:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Și asta e tot. Am o formulă generală pentru rezolvarea celei mai simple ecuații trigonometrice cu cosinus.
Dacă înțelegi că acesta nu este un fel de înțelepciune super-științifică, dar doar o notație prescurtată a două serii de răspunsuri, tu și sarcina „C” veți fi pe umăr. Cu inegalități, cu selecția rădăcinilor dintr-un interval dat... Acolo răspunsul cu plus/minus nu se rostogolește. Și dacă tratați răspunsul într-o manieră de afaceri și îl descompuneți în două răspunsuri separate, totul este decis.) De fapt, pentru asta înțelegem. Ce, cum și unde.
În cea mai simplă ecuație trigonometrică
sinx = a
de asemenea se obţin două serii de rădăcini. Este mereu. Și aceste două serii pot fi și înregistrate o linie. Numai această linie va fi mai vicleană:
х = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Dar esența rămâne aceeași. Matematicienii au construit pur și simplu o formulă pentru a face una în loc de două înregistrări ale unei serii de rădăcini. Si asta e!
Să verificăm matematicienii? Și atunci nu știi niciodată...)
În lecția anterioară, soluția (fără formule) a unei ecuații trigonometrice cu un sinus a fost analizată în detaliu:
Răspunsul a produs două serii de rădăcini:
x 1 = π / 6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π / 6 + 2π n, n ∈ Z
Dacă rezolvăm aceeași ecuație folosind formula, obținem răspunsul:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
De fapt, acesta este un răspuns neterminat.) Studentul trebuie să știe asta arcsin 0,5 = π / 6. Un răspuns complet ar fi:
x = (-1) n π / 6+ π n, n ∈ Z
Aceasta ridică o întrebare interesantă. Răspunde prin x 1; x 2 (asta e raspunsul corect!) si prin singuratic NS (și acesta este răspunsul corect!) - același lucru, sau nu? Vom afla acum.)
Înlocuiește ca răspuns cu x 1 sens n = 0; 1; 2; și așa mai departe, numărăm, obținem o serie de rădăcini:
x 1 = π / 6; 13π / 6; 25π / 6 etc.
Cu aceeași înlocuire în răspunsul cu x 2 , primim:
x 2 = 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6 etc.
Acum înlocuim valorile n (0; 1; 2; 3; 4 ...) în formula generală pentru un singuratic NS ... Adică ridicăm minus unu la zero, apoi la primul, al doilea etc. Și, desigur, înlocuim 0 în al doilea termen; 1; 2 3; 4, etc. Și numărăm. Primim seria:
x = π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6 etc.
Atât se vede.) Formula generală ne oferă exact aceleasi rezultate, deoarece cele două răspunsuri separat. Doar toate deodată, în ordine. Nu vă lăsați păcăliți de matematicieni.)
Pot fi verificate și formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice cu tangentă și cotangentă. Dar nu vom face.) Ele sunt atât de simple.
Am descris toate aceste înlocuiri și verificări intenționat. Este important să înțelegeți un lucru simplu aici: există formule pentru rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare, doar o scurtă înregistrare a răspunsurilor. Pentru această concizie, a trebuit să introduc plus/minus în soluția cosinus și (-1) n în soluția sinusului.
Aceste inserții nu interferează în niciun fel în sarcinile în care trebuie doar să scrieți răspunsul la o ecuație elementară. Dar dacă trebuie să rezolvați inegalitatea sau atunci trebuie să faceți ceva cu răspunsul: selectați rădăcini pe un interval, verificați ODZ etc., aceste inserții pot deranja cu ușurință o persoană.
Si ce sa fac? Da, fie notează răspunsul în două serii, fie rezolvă ecuația / inegalitatea de-a lungul cercului trigonometric. Apoi aceste inserții dispar și viața devine mai ușoară.)
Putem rezuma.
Există formule de răspuns gata făcute pentru rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. Patru piese. Sunt bune pentru înregistrarea instantanee a soluției unei ecuații. De exemplu, trebuie să rezolvați ecuațiile:
sinx = 0,3
Uşor: х = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nici o problemă: х = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Uşor: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
A mai ramas una: x = arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Dacă tu, strălucind de cunoștințe, scrii instantaneu răspunsul:
x = ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
atunci deja străluciți, asta... aceea... din băltoacă.) Răspunsul corect: fara solutii. Înțelegi de ce? Citiți ce este arccosinul. În plus, dacă valorile tabelare ale sinusului, cosinusului, tangentei, cotangentei sunt în partea dreaptă a ecuației originale, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 etc. - răspunsul prin arcade va fi neterminat. Arcurile trebuie traduse în radiani.
Iar dacă dai peste inegalitate ca
atunci raspunsul este:
х πn, n ∈ Z
există o prostie rară, da ...) Aici este necesar să se decidă asupra cercului trigonometric. Ce vom face în subiectul relevant.
Pentru cei care au citit eroic până la aceste rânduri. Pur și simplu nu pot să nu apreciez eforturile tale titanice. Tu un bonus.)
Primă:
Atunci când scriu formule într-un mediu de luptă alarmant, chiar și tocilarii înrădăcinați din punct de vedere academic devin adesea confuzi în legătură cu unde πn, Si unde 2π n. Iată un truc simplu. În dintre toate formule de valoare πn. Cu excepția singurei formule cu cosinus invers. Stă acolo 2πn. Două pien. Cuvânt cheie - Două. Aceeași formulă conține Două semnează la început. Plus și minus. Aici si acolo - Două.
Deci daca ai scris Două semn în fața cosinusului invers, este mai ușor să ne amintim ce va fi la sfârșit Două pien. Și chiar se întâmplă invers. Sari peste semnul om ± , ajunge până la capăt, scrie corect Două pien și își va veni în fire. Înainte de ceva Două semn! Persoana se va întoarce la început, dar va corecta greșeala! Asa.)
Daca va place acest site...
Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)
Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățarea - cu interes!)
vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.
