음의 거듭제곱으로 올리는 것은 수학의 기본 요소 중 하나이며 대수 문제를 풀 때 자주 접하게 됩니다. 아래에 자세한 지침이 나와 있습니다.
마이너스 파워로 올리는 방법 - 이론
숫자를 일반 거듭제곱으로 올리면 그 값을 여러 번 곱합니다. 예를 들어, 3 3 = 3×3×3 = 27입니다. 음수 분수의 경우 그 반대가 됩니다. 공식의 일반적인 형태는 다음과 같습니다: a -n = 1/an. 따라서 숫자를 음의 거듭제곱으로 올리려면 주어진 숫자로 나누어야 하지만 양의 거듭제곱으로 나누어야 합니다.
음의 거듭제곱을 올리는 방법 - 일반 숫자의 예
위의 규칙을 염두에 두고 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
답: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
답 -4 -2 = 1/16.
그런데 첫 번째 예와 두 번째 예의 답이 왜 같은가요? 사실 음수가 짝수로 거듭제곱(2, 4, 6 등)되면 부호는 양수가 됩니다. 정도가 짝수라면 마이너스는 그대로 유지됩니다.
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
0에서 1까지의 숫자를 음의 거듭제곱으로 올리는 방법
0과 1 사이의 숫자를 양의 거듭제곱으로 올리면 거듭제곱이 증가함에 따라 값이 감소한다는 점을 기억하세요. 예를 들어 0.5 2 = 0.25입니다. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
예 3: 0.5 -2 계산
풀이: 0.5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
답: 0.5 -2 = 4
분석(작업 순서):
- 소수 0.5를 분수 1/2로 변환합니다. 그렇게 하는 것이 더 쉽습니다.
1/2을 음의 거듭제곱으로 올립니다. 1/(2) -2 . 1을 1/(2) 2로 나누면 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4가 됩니다.
예 4: 0.5 -3 계산
풀이: 0.5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
예 5: -0.5 -3 계산
풀이: -0.5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
답: -0.5 -3 = -8
4번째와 5번째 예를 바탕으로 우리는 몇 가지 결론을 도출할 수 있습니다.
- 0에서 1 사이의 양수(예 4)의 경우 음의 거듭제곱으로 거듭제곱하면 짝수인지 홀수인지는 중요하지 않으며 표현식의 값은 양수가 됩니다. 또한 정도가 클수록 가치도 커집니다.
- 0에서 1까지 범위의 음수(예 5)의 경우 음의 거듭제곱으로 거듭제곱하면 짝수인지 홀수인지는 중요하지 않으며 표현식의 값은 음수가 됩니다. 이 경우, 등급이 높을수록 값은 낮아집니다.
음의 거듭제곱을 올리는 방법 - 분수 형태의 거듭제곱
이 유형의 표현식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. a -m/n, 여기서 a는 일반 숫자, m은 정도의 분자, n은 정도의 분모입니다.
예를 살펴보겠습니다:
계산하다: 8 -1/3
해결 방법(작업 순서):
- 숫자를 음의 거듭제곱으로 올리는 규칙을 기억해 봅시다. 우리는 다음을 얻습니다: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- 분모의 분수 거듭제곱은 8입니다. 분수 거듭제곱을 계산하는 일반적인 형식은 다음과 같습니다: a m/n = n √8 m.
- 따라서 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1)입니다. 8의 세제곱근은 2와 같습니다. 여기에서 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2입니다.
- 답: 8 -1/3 = 2
이번 자료에서는 숫자의 거듭제곱이 무엇인지 살펴보겠습니다. 기본 정의 외에도 자연, 정수, 유리수 및 무리수 지수를 사용하여 거듭제곱이 무엇인지 공식화합니다. 언제나 그렇듯이 모든 개념은 예제 문제를 통해 설명됩니다.
Yandex.RTB R-A-339285-1
먼저, 자연 지수를 사용하여 학위의 기본 정의를 공식화해 보겠습니다. 그러기 위해서는 곱셈의 기본 규칙을 기억해야 합니다. 지금은 기초로 삼을 것임을 미리 명확히합시다. 실수(문자 a로 표시) 및 표시기로 – 자연 (문자 n으로 표시).
정의 1
자연 지수 n을 갖는 숫자 a의 거듭제곱은 n번째 인수 수의 곱이며, 각 인수는 숫자 a와 같습니다. 학위는 다음과 같이 작성됩니다. 앤, 공식 형태로 그 구성은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
예를 들어, 지수가 1이고 밑이 a인 경우 a의 첫 번째 거듭제곱은 다음과 같이 작성됩니다. 1. a는 요인의 값이고 1은 요인의 개수라고 가정하면 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 1 = 에.
일반적으로 학위는 많은 수의 등수를 작성하는 편리한 형태라고 말할 수 있습니다. 그래서, 형식의 기록 8 8 8 8로 단축될 수 있다 8 4 . 마찬가지로 작업은 녹음을 피하는 데 도움이 됩니다. 큰 숫자항 (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; 우리는 자연수의 곱셈에 관한 기사에서 이미 이에 대해 논의했습니다.
학위 항목을 올바르게 읽는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 허용되는 옵션은 "a의 n승"입니다. 또는 "a의 n제곱" 또는 "anth power"라고 말할 수도 있습니다. 예를 들어, 다음 항목을 만났다면 8 12 , "8의 12제곱", "8의 12제곱" 또는 "12의 8제곱"으로 읽을 수 있습니다.
숫자의 2승과 3승에는 정사각형과 정육면체라는 고유한 이름이 있습니다. 예를 들어 숫자 7(7 2)과 같은 두 번째 거듭제곱을 보면 "7의 제곱" 또는 "숫자 7의 제곱"이라고 말할 수 있습니다. 마찬가지로 3도는 다음과 같이 읽습니다. 5 3 - 이것은 "숫자 5의 큐브" 또는 "5의 큐브"입니다. 그러나 표준 공식을 "2/3승"으로 사용할 수도 있는데 이는 실수가 아닙니다.
실시예 1
자연 지수가 포함된 학위의 예를 살펴보겠습니다. 5 7 5가 기본이 되고 7이 지수가 됩니다.
밑은 정수일 필요는 없습니다. (4 , 32) 9 밑수는 분수 4, 32이고 지수는 9입니다. 괄호에 주의하세요. 이 표기법은 자연수와 다른 밑수를 갖는 모든 거듭제곱에 대해 만들어졌습니다.
예: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.
괄호는 무엇입니까? 계산 오류를 방지하는 데 도움이 됩니다. 두 개의 항목이 있다고 가정해 보겠습니다. (− 2) 3 그리고 − 2 3 . 첫 번째는 음수에서 2를 뺀 3의 자연 지수로 거듭제곱한 것을 의미합니다. 두 번째는 학위의 반대 값에 해당하는 숫자입니다. 2 3 .
때로는 책에서 숫자의 거듭제곱에 대해 약간 다른 철자를 찾을 수 있습니다. 에이^n(여기서 a는 밑수이고 n은 지수입니다). 즉, 4^9는 다음과 같습니다. 4 9 . n이 여러 자리 숫자인 경우 괄호 안에 표시됩니다. 예를 들어 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) 입니다. 하지만 우리는 표기법을 사용할 것입니다 앤더 일반적입니다.
정의에서 자연 지수를 사용하여 지수 값을 계산하는 방법을 추측하기 쉽습니다. n번째 곱하기만 하면 됩니다. 우리는 다른 기사에서 이에 대해 더 자세히 썼습니다.
정도의 개념은 또 다른 수학적 개념인 숫자의 근과 반대입니다. 거듭제곱과 지수의 값을 알면 그 밑수를 계산할 수 있습니다. 학위에는 문제 해결에 유용한 몇 가지 특정 속성이 있으며, 이에 대해서는 별도의 자료에서 논의했습니다.
지수에는 자연수뿐만 아니라 음수 1과 0을 포함한 일반적인 모든 정수 값도 포함될 수 있습니다. 왜냐하면 지수 집합에도 속하기 때문입니다.
정의 2
양의 정수 지수를 갖는 숫자의 거듭제곱은 공식으로 표현될 수 있습니다: 
.
이 경우 n은 양의 정수입니다.
0도의 개념을 이해해 봅시다. 이를 위해 우리는 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 몫 속성을 고려하는 접근 방식을 사용합니다. 이는 다음과 같이 공식화됩니다:
정의 3
평등 am: an = am − n다음 조건에서 참이 됩니다: m과 n은 자연수이고, m은< n , a ≠ 0 .
마지막 조건은 0으로 나누는 것을 방지하기 때문에 중요합니다. m과 n의 값이 같으면 다음과 같은 결과를 얻습니다. an: an = an − n = a 0
그러나 동시에 n: n = 1은 동일한 숫자의 몫입니다. 앤그리고 0이 아닌 숫자의 0승은 1과 같다는 것이 밝혀졌습니다.
그러나 그러한 증명은 0의 0승에는 적용되지 않습니다. 이를 위해서는 권력의 또 다른 속성, 즉 동일한 기반을 가진 권력의 산물의 속성이 필요합니다. 다음과 같습니다: am · ann = am + n .
n이 0이면, 오전 · 오전 0 = 오전(이 평등은 또한 우리에게 다음을 증명합니다. 0 = 1). 그러나 and 도 0이면 우리의 평등은 다음과 같은 형식을 취합니다. 0m · 0 0 = 0m, 이는 n의 모든 자연 값에 대해 참이 되며, 차수 값이 정확히 무엇인지는 중요하지 않습니다. 0 0 즉, 어떤 숫자와도 같을 수 있으며 이는 평등의 정확성에 영향을 미치지 않습니다. 따라서 다음 형식의 표기법은 0 0 그 자체로 특별한 의미가 없으므로 우리는 그것을 그것에 귀속시키지 않을 것입니다.
원한다면 쉽게 확인할 수 있습니다. 0 = 1학위 속성과 수렴 (am) n = a m n단, 학위의 밑은 0이 아닙니다. 따라서 지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1입니다.
실시예 2
특정 숫자가 포함된 예를 살펴보겠습니다. 5 0 - 단위, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , 그리고 값 0 0 한정되지 않은.
0도 이후에는 음의 학위가 무엇인지 알아내면 됩니다. 이를 위해서는 위에서 이미 사용한 동일한 밑수를 가진 거듭제곱의 곱의 동일한 속성인 a m · an n = a m + n이 필요합니다.
조건을 소개하겠습니다: m = − n이면 a는 0이 되어서는 안 됩니다. 그것은 다음과 같습니다 a − n · an = a − n + n = a 0 = 1. n과 a−n우리는 상호 역수를 가지고 있습니다.
결과적으로, 음의 정수에 대한 a는 분수 1 a n에 지나지 않습니다.
이 공식은 정수 음수 지수를 갖는 차수의 경우 자연 지수를 갖는 차수와 동일한 속성이 모두 유효함을 확인합니다(밑이 0이 아닌 경우).
실시예 3
음의 정수 지수 n을 갖는 거듭제곱 a는 분수 1 a n 으로 표현될 수 있습니다. 따라서 a - n = 1 an n은 다음과 같습니다. a ≠ 0그리고 n - 모두 자연수.
구체적인 예를 들어 우리의 아이디어를 설명해 보겠습니다.
실시예 4
3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1
단락의 마지막 부분에서 우리는 명확하게 언급된 모든 내용을 하나의 공식으로 묘사하려고 노력할 것입니다.
정의 4
자연 지수 z를 갖는 숫자의 거듭제곱은 다음과 같습니다. a z = a z, e와 l 및 z - 양의 정수 1, z = 0 및 a ≠ 0, (z = 0 및 a = 0의 경우 결과는 0 0입니다. 표현식 0 0의 값은 정의되지 않음) 1 a z, if 및 z가 음의 정수이고 a ≠ 0 (z가 음의 정수이고 a = 0이면 0 z를 얻음, egoz 값은 미정임)
유리수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?
지수에 정수가 포함된 경우를 조사했습니다. 그러나 지수에 분수가 포함된 경우에도 숫자를 거듭제곱할 수 있습니다. 이것을 유리수 지수를 갖는 거듭제곱이라고 합니다. 이 섹션에서는 다른 힘과 동일한 속성을 가지고 있음을 증명할 것입니다.
무슨 일이야? 유리수? 그들의 다양성에는 전체와 분수, 분수는 일반 분수(양수 및 음수 모두)로 표시될 수 있습니다. 분수 지수 m / n을 사용하여 숫자 a의 거듭제곱의 정의를 공식화해 보겠습니다. 여기서 n은 자연수이고 m은 정수입니다.
우리는 분수 지수 a m n 으로 어느 정도의 차수를 가집니다. 거듭제곱 대 거듭제곱 속성이 유지되려면 a m n n = a m n · n = a m 등식이 참이어야 합니다.
n번째 근의 정의와 a m n n = a m이 주어지면 a m n이 주어진 m, n 및 a 값에 대해 의미가 있으면 조건 a m n = a m n을 받아들일 수 있습니다.
위의 정수 지수 속성은 a m n = a m n 조건에서 참이 됩니다.
우리 추론의 주요 결론은 다음과 같습니다. 분수 지수 m / n을 갖는 특정 숫자 a의 거듭제곱은 숫자 a의 m 거듭제곱의 n제곱근입니다. 주어진 m, n 및 a 값에 대해 a m n이라는 표현이 여전히 의미가 있다면 이는 사실입니다.
1. 우리는 도수 밑의 값을 제한할 수 있습니다. m의 양수 값은 0보다 크거나 같으며 음수 값은 엄격히 더 작습니다(m ≤ 0이므로) 우리는 얻는다 0m, 그러나 그러한 정도는 정의되지 않았습니다). 이 경우 분수 지수가 있는 학위의 정의는 다음과 같습니다.
어떤 양수 a에 대한 분수 지수 m/n의 거듭제곱은 a의 m 거듭제곱의 n제곱근입니다. 이는 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.
밑이 0인 거듭제곱의 경우에도 이 조항이 적합하지만 지수가 양수인 경우에만 가능합니다.
밑이 0이고 분수 양의 지수 m/n을 갖는 거듭제곱은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.
0 m n = 0 m n = 0 단, m은 양의 정수이고 n은 자연수입니다.
음의 비율 m n의 경우< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.
한 가지 점에 주목하자. a가 0보다 크거나 같은 조건을 도입했기 때문에 결국 일부 사례를 삭제하게 되었습니다.
a m n이라는 표현은 때때로 a와 일부 m의 일부 음수 값에 대해 여전히 의미가 있습니다. 따라서 올바른 항목은 (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4이며 밑이 음수입니다.
2. 두 번째 접근법은 짝수 지수와 홀수 지수를 갖는 근 a m n을 별도로 고려하는 것입니다. 그런 다음 조건을 하나 더 도입해야 합니다. 기약 가능한 일반 분수가 있는 지수의 차수 a는 해당 기약 분수가 있는 지수의 차수 a로 간주됩니다. 나중에 우리는 왜 이 조건이 필요한지, 왜 그렇게 중요한지 설명할 것입니다. 따라서 a m · k n · k 표기법이 있으면 이를 a m n으로 줄여 계산을 단순화할 수 있습니다.
n이 홀수이고 m의 값이 양수이고 a가 음수가 아닌 숫자이면 a m n 이 의미가 있습니다. a가 음수가 아닌 조건이 필요한 이유는 음수에서 짝수 근을 추출할 수 없기 때문입니다. m의 값이 양수이면 a는 음수이면서 0일 수 있습니다. 왜냐하면 홀수근은 임의의 실수에서 가져올 수 있습니다.
위의 모든 정의를 하나의 항목으로 결합해 보겠습니다.
여기서 m/n은 기약분수, m은 정수, n은 자연수를 의미합니다.
정의 5
일반적인 약분수 m · k n · k의 경우 차수는 a m n 으로 대체될 수 있습니다.
환원 불가능한 분수 지수 m / n을 갖는 숫자 a의 거듭제곱은 다음과 같은 경우 m n으로 표현될 수 있습니다. - 실수 a의 경우 정수 양수 값 m과 홀수 자연값 n. 예: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.
0이 아닌 실수 a에 대해 m의 음의 정수 값과 n의 홀수 값(예: 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7
음수가 아닌 a, 양의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18입니다.
양의 a, 음의 정수 m 및 심지어 n의 경우, 예를 들어 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .
다른 값의 경우 분수 지수를 사용한 정도는 결정되지 않습니다. 이러한 각도의 예: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.
이제 위에서 논의한 조건의 중요성을 설명하겠습니다. 왜 환원 가능한 지수가 있는 분수를 기약 지수가 있는 분수로 대체해야 할까요? 이 작업을 수행하지 않았다면 다음과 같은 상황이 발생했을 것입니다. 예를 들어 6/10 = 3/5입니다. 그렇다면 이는 참이어야 합니다. (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , 그러나 - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 및 (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .
먼저 제시한 분수지수를 사용한 학위의 정의는 두 번째 정의보다 실제로 사용하기 편리하므로 계속해서 사용하겠습니다.
정의 6
따라서 분수 지수 m/n을 갖는 양수 a의 거듭제곱은 0 m n = 0 m n = 0으로 정의됩니다. 부정적인 경우 ㅏ a m n 표기법은 의미가 없습니다. 양의 분수 지수에 대한 0의 거듭제곱 m/n는 0 m n = 0 m n = 0 으로 정의됩니다. 음의 분수 지수에 대해서는 0의 정도를 정의하지 않습니다.
결론적으로 분수 표시기는 대분수와 소수 분수(5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7)로 작성할 수 있습니다.
계산할 때 지수를 일반 분수로 바꾼 다음 지수의 정의를 분수 지수로 사용하는 것이 좋습니다. 위의 예에서 다음을 얻습니다.
5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7
무리수와 실수 지수를 갖는 거듭제곱은 무엇입니까?
실수란 무엇입니까? 그 집합에는 유리수와 무리수가 모두 포함됩니다. 그러므로 실수지수를 갖는 학위가 무엇인지 이해하기 위해서는 유리수 지수와 무리수 지수를 사용하여 학위를 정의해야 합니다. 우리는 이미 위에서 합리적인 것들을 언급했습니다. 불합리한 지표를 단계별로 다루겠습니다.
실시예 5
무리수 a 와 그 십진수 근사치 시퀀스 a 0 , a 1 , a 2 , 가 있다고 가정해 보겠습니다. . . . 예를 들어 a = 1.67175331 값을 가정해 보겠습니다. . . , 그 다음에
0 = 1, 6, 1 = 1, 67, 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .
근사 시퀀스를 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 시퀀스와 연관시킬 수 있습니다. . . . 숫자를 합리적인 거듭제곱으로 올리는 것에 대해 앞서 말한 내용을 기억하면 이러한 거듭제곱의 값을 스스로 계산할 수 있습니다.
예를 들어보자 a = 3, a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . 등.
거듭제곱의 시퀀스는 숫자로 축소될 수 있으며, 이는 밑이 a이고 무리수 a가 있는 거듭제곱의 값이 됩니다. 결과적으로 3 1, 67175331 형식의 무리수 지수를 갖는 학위입니다. . 숫자 6, 27로 줄일 수 있습니다.
정의 7
무리수 a에 대한 양수 a의 거듭제곱은 a로 표기됩니다. 그 값은 시퀀스 a a 0 , a a 1 , a a 2 , 의 극한입니다. . . , 여기서 a 0 , a 1 , a 2 , . . . 는 무리수 a의 연속적인 소수 근사치입니다. 0 a = 0 따라서 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0인 양의 무리수 지수에 대해 밑이 0인 차수를 정의할 수도 있습니다. 그러나 예를 들어 0 - 5, 0 - 2 π 값이 정의되지 않았기 때문에 음수에는 이를 수행할 수 없습니다. 예를 들어, 비합리적인 거듭제곱으로 올려진 단위는 단위로 유지되며 1 2, 1 5 in 2 및 1 - 5는 1과 같습니다.
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학위 공식방정식과 부등식을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에 사용됩니다.
숫자 씨~이다 N-숫자의 거듭제곱 ㅏ언제:
학위를 사용한 작업.
1. 동일한 밑수에 각도를 곱하면 표시기가 추가됩니다.
오전·an = a m + n .
2. 동일한 기준으로 각도를 나눌 때 해당 지수를 뺍니다.
3. 2의 곱의 거듭제곱 또는 더요인은 다음 요인의 거듭제곱을 곱한 것과 같습니다.
(abc…) n = an·bn·cn…
4. 분수의 차수는 피제수와 제수의 차수의 비율과 같습니다.
(a/b) n = a n /b n .
5. 거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.
(am) n = a m n .
위의 각 공식은 왼쪽에서 오른쪽 방향으로 또는 그 반대로 적용됩니다.
예를 들어. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
뿌리가 있는 작업.
1. 여러 요인의 곱의 근은 다음 요인의 근의 곱과 같습니다.
2. 비율의 근은 배당금과 근의 제수의 비율과 같습니다.
3. 근을 거듭제곱할 때 근수를 이 거듭제곱으로 올리는 것으로 충분합니다.
4. 뿌리의 정도를 높이면 N한 번에 동시에 구축 N제곱이 근수이면 근의 값은 변경되지 않습니다.
5. 뿌리의 정도를 감소시키는 경우 N동시에 뿌리를 뽑아낸다 N- 근수의 거듭제곱인 경우 근의 값은 변경되지 않습니다.
음수 지수가 있는 학위입니다.양수가 아닌(정수) 지수를 갖는 특정 숫자의 거듭제곱은 양수가 아닌 지수의 절대값과 동일한 지수를 갖는 동일한 숫자의 거듭제곱으로 나눈 값으로 정의됩니다.
공식 오전:an =a m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> N, 뿐만 아니라 중< N.
예를 들어. ㅏ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
공식으로 오전:an =a m - n공정해졌을 때 m=n, 0도가 필요합니다.
지수가 0인 학위입니다.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.
예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
분수 지수가 있는 학위입니다.실수를 올리려면 ㅏ정도 m/n, 루트를 추출해야합니다 N의 학위 중- 이 숫자의 거듭제곱 ㅏ.
대수학과 모든 수학의 주요 특징 중 하나는 학위입니다. 물론 21세기에는 모든 계산을 온라인 계산기로 할 수 있지만 스스로 배우는 것이 두뇌 발달에 더 좋습니다.
이 기사에서는 이 정의와 관련된 가장 중요한 문제를 고려할 것입니다. 즉, 그것이 일반적으로 무엇인지, 주요 기능은 무엇인지, 수학에는 어떤 속성이 있는지 이해해 봅시다.
계산의 모양과 기본 공식이 무엇인지 예를 살펴 보겠습니다. 수량의 주요 유형과 다른 기능과의 차이점을 살펴보겠습니다.
이 수량을 이용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 알아봅시다. 우리는 0의 거듭제곱, 비합리적, 부정적 등으로 올리는 방법을 예제와 함께 보여 드리겠습니다.
온라인 지수 계산기
숫자의 거듭제곱이란 무엇인가요?
"숫자의 거듭제곱"이라는 표현은 무엇을 의미합니까?
숫자의 거듭제곱 n은 크기 인수를 n번 연속으로 곱한 것입니다.
수학적으로는 다음과 같습니다.
a n = a * a * a * ...an .
예를 들어:
- 2 3 = 3차에서는 2입니다. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 4단계. 2 = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 5단계. 4개 = 5*5*5*5 = 625;
- 10 5 = 5단계로 10입니다. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 = 4단계로 10입니다. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
아래에는 1부터 10까지의 정사각형과 큐브가 포함된 표가 있습니다.
1에서 10까지의 각도 표
다음은 자연수를 양의 거듭제곱("1에서 100까지")으로 올린 결과입니다.
| Ch-lo | 2위. | 3단계 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
도의 속성
그러한 수학적 함수의 특징은 무엇입니까? 기본 속성을 살펴보겠습니다.
과학자들은 다음과 같은 사실을 확립했습니다. 모든 학위의 특징적인 징후:
- n * a m = (a) (n+m) ;
- n: a m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
예를 들어 확인해 보겠습니다.
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. 반면, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.
마찬가지로: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. 그렇지 않으면 2 3-2 = 2 1 =2입니다.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. 다르면 어떻게 되나요? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
보시다시피 규칙이 작동합니다.
하지만 어떨까요? 덧셈과 뺄셈으로? 간단 해. 지수화가 먼저 수행된 다음 덧셈과 뺄셈이 수행됩니다.
예를 살펴보겠습니다:
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. 참고: 먼저 빼면 규칙이 적용되지 않습니다: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.
하지만 이 경우 괄호 안에 동작이 있으므로 먼저 덧셈을 계산해야 합니다: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.
생산 방법 더 많은 계산 어려운 경우 ? 순서는 동일합니다.
- 대괄호가 있으면 그 대괄호부터 시작해야 합니다.
- 그런 다음 지수화;
- 그런 다음 곱셈과 나눗셈의 연산을 수행합니다.
- 덧셈, 뺄셈 후.
모든 학위의 특징이 아닌 특정 속성이 있습니다.
- 숫자 a의 m차 n번째 루트는 다음과 같이 작성됩니다: a m / n.
- 분수를 거듭제곱할 때: 분자와 분모 모두 이 절차를 따릅니다.
- 서로 다른 숫자의 곱을 거듭제곱할 때, 표현식은 주어진 숫자에 대한 곱셈에 해당합니다. 즉, (a * b) n = a n * b n 입니다.
- 숫자를 음수로 올리려면 1을 같은 세기의 숫자로 나누어야 하지만 "+" 기호가 있어야 합니다.
- 분수의 분모가 음의 거듭제곱인 경우, 이 표현식은 분자와 분모의 양의 거듭제곱을 곱한 것과 같습니다.
- 0 = 1의 거듭제곱 및 거듭제곱에 대한 임의의 숫자입니다. 1 = 자신에게.
이러한 규칙은 경우에 따라 중요하므로 아래에서 자세히 살펴보겠습니다.
음수 지수가 있는 학위
마이너스 등급으로 무엇을 해야 합니까? 즉, 지표가 음수일 때?
속성 4와 5를 기반으로 함(위의 내용 참조), 그것은 밝혀:
A(-n) = 1/An, 5(-2) = 1/5 2 = 1/25.
그 반대:
1 / A (-n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.
분수라면 어떨까요?
(A/B) (-n) = (B/A)n, (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
자연 지표가 있는 정도
이는 정수와 동일한 지수를 갖는 정도로 이해됩니다.
기억해야 할 사항:
0 = 1, 10 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1...등등.
A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3...등등.
또한 (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2...이면 결과는 "+" 기호가 됩니다. 음수가 홀수로 거듭제곱되면 그 반대도 마찬가지입니다.
일반적인 속성과 위에서 설명한 모든 특정 기능도 해당 속성의 특징입니다.
분수도
이 유형은 A m / n 구성표로 작성할 수 있습니다. 다음과 같이 읽습니다: 숫자 A의 m제곱의 n제곱입니다.
분수 표시기로 원하는 것은 무엇이든 할 수 있습니다: 줄이기, 여러 부분으로 나누기, 다른 거듭제곱으로 올리기 등.
무리수 지수가 있는 정도
α를 무리수로, A ˃ 0으로 설정합니다.
이러한 지표를 통해 학위의 본질을 이해하려면, 가능한 다양한 사례를 살펴보겠습니다.
- A = 1. 결과는 1과 같습니다. 공리가 있으므로 모든 거듭제곱에서 1은 1과 같습니다.
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – 유리수;
- 0˂A˂1.
이 경우 두 번째 단락과 동일한 조건에서 반대 방향입니다. Ar 2 ˂ A α ˂ A r 1.
예를 들어 지수는 숫자 π입니다.합리적입니다.
r 1 – 이 경우에는 3과 같습니다.
r 2 – 4와 같습니다.
그러면 A = 1이면 1π = 1입니다.
A = 2, 그러면 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.
A = 1/2, 그다음 (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
이러한 학위는 위에서 설명한 모든 수학적 연산과 특정 속성이 특징입니다.
결론
요약해 보겠습니다. 이러한 수량은 무엇에 필요한가요? 이러한 기능의 장점은 무엇입니까? 물론, 우선 계산을 최소화하고, 알고리즘을 단축하고, 데이터를 체계화하는 등의 작업을 수행할 수 있기 때문에 예제를 풀 때 수학자 및 프로그래머의 삶을 단순화합니다.
이 지식이 또 어디에 유용할 수 있습니까? 모든 업무 전문 분야: 의학, 약리학, 치과, 건축, 기술, 엔지니어링, 디자인 등
첫 번째 수준
학위와 그 속성. 종합 가이드 (2019)
학위는 왜 필요한가요? 어디에 필요합니까? 왜 시간을 내어 그것들을 연구해야 합니까?
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물론 학위에 대한 지식은 성공에 더 가까워질 것입니다. OGE를 통과또는 통합 주 시험 및 꿈의 대학 입학.
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중요 사항! 수식 대신 gobbledygook이 표시되면 캐시를 지우십시오. 이렇게 하려면 Ctrl+F5(Windows) 또는 Cmd+R(Mac)을 누르세요.
첫 번째 레벨
지수화는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 수학적 연산입니다.
이제 나는 인간의 언어로 모든 것을 매우 간단한 예. 조심하세요. 예제는 초보적이지만 중요한 사항을 설명합니다.
추가부터 시작하겠습니다.
여기서는 설명할 것이 없습니다. 당신은 이미 모든 것을 알고 있습니다. 우리는 8명입니다. 다들 콜라 두병씩 가지고 계시네요. 콜라가 얼마나 있어요? 맞습니다 - 16 병.
이제 곱셈.
콜라에 대한 동일한 예를 다르게 작성할 수 있습니다. 수학자들은 교활하고 게으른 사람들이다. 그들은 먼저 몇 가지 패턴을 알아차린 다음 이를 더 빨리 "계산"하는 방법을 찾아냅니다. 우리의 경우, 그들은 8명 모두가 같은 수의 콜라병을 가지고 있다는 것을 알아차리고 곱셈이라는 기술을 생각해 냈습니다. 동의하십시오. 더 쉽고 빠른 것으로 간주됩니다.
따라서 더 빠르고 쉽게 오류 없이 계산하려면 다음 사항만 기억하면 됩니다. 곱셈 구구표. 물론, 모든 일을 더 느리고, 더 어렵고, 실수할 수도 있습니다! 하지만…
여기 곱셈표가 있습니다. 반복하다.
그리고 또 다른, 더 아름다운 것:
다른 것들은 무엇입니까? 교활한 속임수게으른 수학자들이 계정을 발명 했습니까? 오른쪽 - 숫자를 거듭제곱하기.
숫자를 거듭제곱하기
숫자 자체를 5번 곱해야 한다면 수학자들은 그 숫자를 5제곱으로 올려야 한다고 말합니다. 예를 들어, . 수학자들은 2의 5승이 다음과 같다는 것을 기억합니다. 그리고 그들은 그러한 문제를 머리 속에서 더 빠르고 쉽게 실수 없이 해결합니다.
당신이해야 할 일은 숫자의 거듭제곱 표에서 색상으로 강조 표시된 내용을 기억하세요.. 저를 믿으십시오. 이것이 당신의 삶을 훨씬 더 쉽게 만들어 줄 것입니다.
그런데 왜 2급이라고 부르나요? 정사각형숫자, 그리고 세 번째 - 입방체? 무슨 뜻이에요? 매우 좋은 질문. 이제 정사각형과 큐브가 모두 생깁니다.
실제 사례 #1
숫자의 제곱 또는 2승부터 시작하겠습니다.
1미터 x 1미터 크기의 정사각형 수영장을 상상해 보세요. 수영장은 당신의 dacha에 있습니다. 날씨도 더워서 수영하고 싶어요. 하지만... 수영장에는 바닥이 없습니다! 수영장 바닥을 타일로 덮어야 합니다. 얼마나 많은 타일이 필요합니까? 이를 확인하려면 수영장 바닥 면적을 알아야 합니다.
수영장 바닥이 미터 단위 큐브로 구성되어 있음을 손가락으로 가리키면 간단히 계산할 수 있습니다. 1m x 1m 타일이 있으면 조각이 필요합니다. 쉽죠... 그런데 이런 타일은 어디서 보셨나요? 타일은 아마도 cm x cm일 것이고, 그러면 당신은 "손가락으로 세는 것"으로 고문을 당할 것입니다. 그런 다음 곱해야합니다. 따라서 수영장 바닥 한쪽에는 타일(조각)을 맞추고 다른 쪽에도 타일을 놓을 것입니다. 를 곱하면 타일()이 됩니다.
수영장 바닥의 면적을 결정하기 위해 같은 숫자에 그 자체를 곱했다는 것을 알고 계셨습니까? 무슨 뜻이에요? 동일한 숫자를 곱하므로 "지수화" 기술을 사용할 수 있습니다. (물론 두 개의 숫자만 있는 경우 곱하거나 거듭제곱해야 합니다. 하지만 숫자가 많으면 거듭제곱하는 것이 훨씬 쉽고 계산 오류도 적습니다. . 통합 상태 시험의 경우 이는 매우 중요합니다.)
따라서 30의 2제곱은 ()가 됩니다. 아니면 30의 제곱이 될 것이라고 말할 수도 있습니다. 즉, 숫자의 2승은 항상 정사각형으로 표시될 수 있습니다. 그리고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 정사각형이 보이면 이는 항상 어떤 숫자의 두 번째 거듭제곱입니다. 정사각형은 숫자의 두 번째 거듭제곱을 나타내는 이미지입니다.
실제 사례 #2
여기에 당신을 위한 작업이 있습니다: 숫자의 제곱을 사용하여 체스판에 몇 개의 사각형이 있는지 세어보세요... 셀의 한쪽과 다른 쪽에도 있습니다. 숫자를 세려면 8을 8로 곱해야 합니다. 또는... 눈치채셨다면 체스판- 이것은 한 변이 있는 정사각형입니다. 그러면 8을 정사각형으로 만들 수 있습니다. 당신은 세포를 얻을 것이다. () 그래서?
실제 사례 #3
이제 큐브 또는 숫자의 세 번째 거듭제곱입니다. 같은 수영장. 하지만 이제 이 웅덩이에 얼마나 많은 물을 부어야 하는지 알아내야 합니다. 부피를 계산해야 합니다. (그런데 부피와 액체는 다음과 같이 측정됩니다. 입방 미터. 예상치 못한 일이죠?) 수영장을 그립니다. 바닥은 1미터이고 깊이는 1미터입니다. 그리고 수영장에 1미터 x 1미터 크기의 큐브가 몇 개 들어갈지 세어보세요.
손가락으로 가리키고 숫자를 세기만 하면 됩니다! 하나, 둘, 셋, 넷...스물둘, 스물셋...얼마나 얻었나요? 길을 잃지 않았나요? 손가락으로 세기가 어렵나요? 하도록 하다! 수학자들의 예를 들어보세요. 그들은 게으르기 때문에 수영장의 부피를 계산하려면 수영장의 길이, 너비, 높이를 서로 곱해야 한다는 것을 알아냈습니다. 우리의 경우 풀의 부피는 큐브와 같습니다... 더 쉽겠죠?
이제 수학자들이 이것을 단순화한다면 얼마나 게으르고 교활한지 상상해 보십시오. 우리는 모든 것을 하나의 행동으로 줄였습니다. 그들은 길이, 너비, 높이가 같고 같은 숫자가 그 자체로 곱해진다는 것을 알아냈습니다... 이것은 무엇을 의미합니까? 이는 학위를 활용할 수 있음을 의미합니다. 따라서 한 번 손가락으로 세었던 것은 한 번의 동작으로 수행됩니다. 3의 세제곱은 같습니다. 다음과 같이 작성됩니다: .
남은 건 학위표를 기억하세요. 물론 당신이 수학자만큼 게으르고 교활하지 않다면 말이죠. 열심히 일하고 싶고 실수를 하고 싶다면 계속해서 손가락으로 숫자를 셀 수 있습니다.
글쎄, 마침내 학위는 포기하고 교활한 사람들이 자신의 삶의 문제를 해결하고 문제를 일으키기 위해 발명되지 않았다는 것을 확신시키기 위해 여기에 삶의 몇 가지 예가 더 있습니다.
실제 사례 #4
당신은 백만 루블을 가지고 있습니다. 매년 초에는 백만 달러를 벌 때마다 또 다른 백만 달러를 벌게 됩니다. 즉, 매년 초에 백만 달러당 두 배의 돈을 갖게 됩니다. 몇 년 안에 돈이 얼마나 될까요? 지금 앉아서 "손가락으로 세고" 있다면, 당신은 매우 열심히 일하는 사람이고... 바보입니다. 하지만 당신은 똑똑하기 때문에 몇 초 안에 답을 줄 것입니다! 그래서, 첫 번째 해에 - 2에 2를 곱한 것... 두 번째 해에 - 세 번째 해에 두 개가 더 늘어난 것은... 그만! 숫자가 그 자체로 곱해진다는 것을 알았습니다. 따라서 2의 5제곱은 백만입니다! 이제 경쟁이 있고 가장 빨리 계산할 수 있는 사람이 수백만 달러를 얻을 것이라고 상상해 보십시오... 숫자의 힘을 기억할 가치가 있다고 생각하지 않습니까?
실제 사례 #5
당신은 백만 달러를 가지고 있습니다. 매년 초에 백만 달러를 벌 때마다 두 배를 더 벌게 됩니다. 대단하지 않나요? 백만 달러마다 세 배가됩니다. 1년에 얼마나 많은 돈을 벌 수 있나요? 세어 보자. 첫 번째 해 - 곱한 다음 결과를 다른 해에 곱합니다... 이미 모든 것을 이해했기 때문에 지루합니다. 3은 그 자체로 곱해집니다. 따라서 4제곱은 100만과 같습니다. 3의 4승은 or라는 것을 기억하면 됩니다.
이제 당신은 숫자를 거듭제곱함으로써 인생을 훨씬 더 쉽게 만들 수 있다는 것을 알고 있습니다. 학위로 무엇을 할 수 있는지, 그리고 학위에 대해 알아야 할 사항에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
용어와 개념... 혼동하지 않도록
그럼 먼저 개념을 정의해 보겠습니다. 어떻게 생각하나요, 지수는 무엇입니까? 그것은 매우 간단합니다 - 숫자의 거듭제곱의 "상위"에 있는 숫자입니다. 과학적이지는 않지만 명확하고 기억하기 쉽습니다.
뭐, 동시에 그런 정도의 기준? 더 간단합니다. 이것은 아래 베이스에 있는 숫자입니다.
여기에 좋은 측정을 위한 그림이 있습니다.
글쎄요 일반적인 견해, 일반화하고 더 잘 기억하기 위해... 밑이 " "이고 지수가 " "인 학위는 "정도"로 읽고 다음과 같이 씁니다.
자연지수를 갖는 숫자의 거듭제곱
아마도 이미 짐작하셨을 것입니다. 지수는 자연수이기 때문입니다. 응, 그런데 그게 뭐야? 자연수? 초등! 자연수는 물체를 나열할 때 계산에 사용되는 숫자입니다. 하나, 둘, 셋... 물체를 셀 때 "마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"이라고 말하지 않습니다. 또한 "1/3" 또는 "0점 5"라고 말하지 않습니다. 이것은 자연수가 아닙니다. 이것이 어떤 숫자라고 생각하시나요?
"마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"과 같은 숫자는 다음을 의미합니다. 정수.일반적으로 정수에는 모든 자연수, 자연수와 반대되는 숫자(즉, 빼기 기호를 사용하여 취함), 숫자가 포함됩니다. 0은 이해하기 쉽습니다. 아무것도 없는 경우입니다. 음수("마이너스") 숫자는 무엇을 의미하나요? 그러나 그들은 주로 부채를 표시하기 위해 발명되었습니다. 휴대 전화에 루블 잔액이 있으면 이는 운영자에게 루블을 빚지고 있음을 의미합니다.
모든 분수는 유리수입니다. 어떻게 생겼습니까? 매우 간단합니다. 수천년 전에 우리 조상들은 길이, 무게, 면적 등을 측정할 수 있는 자연수가 부족하다는 것을 발견했습니다. 그리고 그들은 생각해 냈습니다. 유리수... 흥미롭지 않나요?
불합리한 숫자도 있습니다. 이 숫자는 무엇입니까? 한마디로 끝없는 소수. 예를 들어 원의 둘레를 지름으로 나누면 무리수가 나옵니다.
요약:
지수가 자연수(즉, 정수와 양수)인 정도의 개념을 정의해 보겠습니다.
- 첫 번째 거듭제곱의 숫자는 그 자체와 같습니다.
- 숫자를 제곱한다는 것은 숫자 자체를 곱한다는 의미입니다.
- 숫자를 세제곱한다는 것은 숫자 자체를 세 번 곱하는 것을 의미합니다.
정의.숫자를 자연제곱으로 올리는 것은 숫자에 다음을 곱하는 것을 의미합니다.
.
도의 속성
이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 지금 보여 드리겠습니다.
보자 : 그게 뭐야? 그리고 ?
우선순위:
승수는 총 몇 개인가요?
매우 간단합니다. 요인에 승수를 추가하면 결과가 승수입니다.
그러나 정의에 따르면 이것은 지수가 있는 숫자의 거듭제곱, 즉 , 증명이 필요한 것입니다.
예: 표현을 단순화합니다.
해결책:
예:표현을 단순화하세요.
해결책:우리의 규칙에서는 다음과 같은 점에 유의하는 것이 중요합니다. 반드시같은 이유가 있을 거에요!
따라서 우리는 권한을 기본과 결합하지만 이는 별도의 요소로 남아 있습니다.
오직 권력의 산물만을 위해서!
어떤 경우에도 그런 글을 쓸 수는 없습니다.
2. 그게 다야 숫자의 거듭제곱
이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.
표현식에 그 자체를 곱한 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것이 숫자의 제곱입니다.
본질적으로 이는 "괄호에서 지표를 꺼내는 것"이라고 할 수 있습니다. 하지만 이 작업을 전체적으로 수행할 수는 없습니다.
축약된 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 우리는 몇 번이나 쓰고 싶었습니까?
그러나 이는 결국 사실이 아닙니다.
마이너스 베이스의 전력
지금까지 우리는 지수가 무엇인지에 대해서만 논의했습니다.
그런데 그 기초가 무엇이어야 합니까?
의 힘으로 자연 지표기초는 아마도 임의의 숫자. 실제로 우리는 양수, 음수, 짝수 등 어떤 숫자든 서로 곱할 수 있습니다.
어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 정도를 갖는지 생각해 봅시다.
예를 들어, 숫자는 양수인가요, 음수인가요? ㅏ? ? 첫 번째를 사용하면 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.
그러나 부정적인 것들은 좀 더 흥미 롭습니다. 우리는 6학년 때 배운 "마이너스에 마이너스가 플러스를 준다"라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 하지만 곱하면 작동합니다.
다음 표현의 부호가 무엇인지 스스로 결정하십시오.
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
당신은 관리 했습니까?
답변은 다음과 같습니다. 처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확해지기를 바랍니다. 밑수와 지수를 보고 적절한 규칙을 적용하면 됩니다.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
예 5) 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 결국 밑이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도가 짝수이므로 결과는 항상 긍정적일 것입니다.
음, 밑이 0인 경우를 제외하고 말이죠. 기본이 같지 않습니까? 분명히 그렇지 않습니다. 왜냐하면 (때문에).
예 6) 더 이상 간단하지 않습니다!
연습할 수 있는 6가지 예
솔루션 분석 6가지 예시
여덟 번째 힘을 무시하면 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 7학년 프로그램을 기억합시다. 기억하시나요? 이것은 약식 곱셈, 즉 제곱의 차이 공식입니다! 우리는 다음을 얻습니다:
분모를 잘 살펴보자. 분자 인자 중 하나와 많이 비슷해 보이지만 무엇이 잘못되었나요? 용어의 순서가 잘못되었습니다. 반대라면 규칙이 적용될 수 있습니다.
하지만 어떻게 해야 할까요? 매우 쉬운 것으로 밝혀졌습니다. 분모의 짝수가 여기서 우리에게 도움이 됩니다.
마술처럼 용어가 바뀌었습니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균일하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 쉽게 변경할 수 있습니다.
하지만 다음 사항을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 표시가 동시에 변경됩니다.!
예제로 돌아가 보겠습니다.
그리고 다시 공식은 다음과 같습니다.
전체우리는 자연수, 그 반대(즉, " " 기호로 표시) 및 숫자를 부릅니다.
양의 정수, 자연과 다르지 않으면 모든 것이 이전 섹션과 똑같아 보입니다.
이제 새로운 사례를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 표시부터 시작하겠습니다.
0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 1과 같습니다.:
언제나 그랬듯 스스로에게 물어봅시다. 왜 그럴까요?
베이스로 어느 정도 생각해 봅시다. 예를 들어 다음을 곱해 보세요.
그래서 우리는 숫자를 곱했고, 와 같은 결과를 얻었습니다. 아무 것도 변하지 않으려면 어떤 숫자를 곱해야 합니까? 맞아요. 수단.
임의의 숫자로 동일한 작업을 수행할 수 있습니다.
규칙을 반복해 보겠습니다.
0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 1과 같습니다.
그러나 많은 규칙에는 예외가 있습니다. 그리고 여기에도 있습니다. 이것은 (기본으로) 숫자입니다.
한편으로는 어느 정도나 동일해야 합니다. 0을 아무리 곱해도 여전히 0을 얻게 됩니다. 이는 분명합니다. 그러나 다른 한편으로는 0의 거듭제곱이 되는 숫자와 마찬가지로 이 값도 같아야 합니다. 그럼 이 중 얼마나 사실인가요? 수학자들은 개입하지 않기로 결정하고 0을 0의 거듭제곱으로 올리는 것을 거부했습니다. 즉, 이제 우리는 0으로 나눌 수 있을 뿐만 아니라 0의 거듭제곱까지 올릴 수도 없습니다.
계속 진행합시다. 정수에는 자연수와 숫자 외에도 음수도 포함됩니다. 음의 거듭제곱이 무엇인지 이해하기 위해 지난번처럼 일반 숫자에 같은 숫자를 곱하여 음의 거듭제곱을 만들어 보겠습니다.
여기에서 원하는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.
이제 결과 규칙을 임의의 정도로 확장해 보겠습니다.
이제 규칙을 공식화해 보겠습니다.
음의 거듭제곱을 갖는 숫자는 양의 거듭제곱을 갖는 동일한 숫자의 역수입니다. 하지만 동시에 기본은 null일 수 없습니다.(분할할 수 없기 때문입니다.)
요약해보자:
I. 해당 경우에는 표현이 정의되어 있지 않습니다. 그렇다면.
II. 0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 1과 같습니다.
III. 음의 거듭제곱에 대한 0과 같지 않은 숫자는 양의 거듭제곱에 대한 동일한 숫자의 역수입니다.
독립적인 솔루션을 위한 작업:
평소와 같이 독립적인 솔루션의 예는 다음과 같습니다.
독립적인 솔루션을 위한 문제 분석:
나도 알아요, 숫자가 무섭다는 걸 알아요. 하지만 통합 주 시험에서는 무엇이든 준비해야 합니다! 이 예제를 풀거나 풀 수 없는 경우 솔루션을 분석하면 시험에서 쉽게 대처하는 방법을 배울 수 있습니다!
지수로서 "적합한" 숫자의 범위를 계속해서 확장해 보겠습니다.
이제 고려해 봅시다 합리적인 숫자.유리수라고 불리는 숫자는 무엇입니까?
답변: 분수로 표현될 수 있는 모든 것, 여기서 및 는 정수입니다.
그것이 무엇인지 이해하려면 "분수 정도", 분수를 고려하십시오.
방정식의 양쪽을 거듭제곱해 보겠습니다.
이제 규칙을 기억해 봅시다. "도 대 학위":
얻으려면 어떤 숫자를 거듭제곱해야 합니까?
이 공식은 일차근의 정의입니다.
상기시켜 드리겠습니다. 숫자의 제곱근()은 1제곱하면 다음과 같은 숫자입니다.
즉, 3승의 근본은 1승의 역연산이다.
그것은 밝혀졌습니다. 분명히 이것은 특별한 경우확장 가능: .
이제 분자를 추가합니다. 그것은 무엇입니까? 답은 전력 대 전력 규칙을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다.
하지만 밑은 임의의 숫자가 될 수 있나요? 결국 모든 숫자에서 근을 추출할 수는 없습니다.
없음!
규칙을 기억합시다. 짝수로 거듭제곱된 숫자는 모두 양수입니다. 즉, 음수에서 짝수 근을 추출하는 것은 불가능합니다!
이는 그러한 숫자를 분모가 짝수인 분수 거듭제곱으로 올릴 수 없다는 것을 의미합니다. 즉, 표현이 의미가 없습니다.
표현은 어떻습니까?
그런데 여기서 문제가 발생합니다.
숫자는 예를 들어 또는 등의 다른 약분 분수의 형태로 표시될 수 있습니다.
그리고 그것이 존재하지만 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌지만 이것은 같은 숫자의 두 개의 서로 다른 기록일뿐입니다.
또는 또 다른 예: 한 번만 적어두면 됩니다. 그러나 지표를 다르게 기록하면 다시 문제가 발생합니다. 즉, 완전히 다른 결과를 얻습니다!
그러한 역설을 피하기 위해 우리는 다음을 고려합니다. 분수 지수가 있는 양의 기본 지수만.
그래서 만약:
- - 자연수;
- - 정수;
예:
유리수 지수는 근이 있는 표현식을 변환하는 데 매우 유용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
연습해야 할 5가지 예
훈련을 위한 5가지 사례 분석
이제 가장 어려운 부분이 다가옵니다. 이제 우리는 그것을 알아낼 것입니다 무리수 지수가 있는 학위.
여기서 학위의 모든 규칙과 속성은 예외를 제외하면 유리수 지수가 있는 학위와 정확히 동일합니다.
결국, 정의에 따르면 무리수는 분수로 표현될 수 없는 숫자입니다. 여기서 및 는 정수입니다(즉, 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).
자연 지수, 정수 지수, 유리 지수로 학위를 연구할 때마다 우리는 특정 "이미지", "유추" 또는 더 친숙한 용어로 설명을 만들었습니다.
예를 들어, 자연지수를 갖는 차수는 그 자체를 여러 번 곱한 숫자입니다.
...0의 거듭제곱- 이것은 그 자체로 한 번 곱해진 숫자입니다. 즉, 아직 곱하기 시작하지 않았습니다. 즉, 숫자 자체가 아직 나타나지 않았음을 의미합니다. 따라서 결과는 특정 "빈 숫자"일 뿐입니다. , 즉 숫자;
...음의 정수 정도- 무슨 일이라도 일어난 것 같아” 역과정"즉, 숫자 자체를 곱한 것이 아니라 나누어졌습니다.
그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지수를 가진 학위가 자주 사용됩니다. 즉 지수는 실수조차 아닙니다.
하지만 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않으며, 학원에서 이러한 새로운 개념을 이해할 기회를 갖게 될 것입니다.
당신이 갈 것이라고 확신하는 곳! (이러한 예제를 해결하는 방법을 배우면 :))
예를 들어:
스스로 결정하십시오:
솔루션 분석:
1. 권력을 권력으로 높이는 일반적인 규칙부터 시작해 보겠습니다.
이제 표시기를 살펴보십시오. 그 사람이 당신에게 아무것도 생각나지 않나요? 제곱 차이의 약식 곱셈 공식을 떠올려 보겠습니다.
이 경우,
다음과 같이 밝혀졌습니다.
답변: .
2. 지수의 분수를 다음과 같이 줄입니다. 같은 모습: 둘 다 십진수이거나 둘 다 정규입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
답: 16
3. 특별한 것은 없습니다. 일반적인 각도 속성을 사용합니다.
고급 레벨
학위결정
학위는 다음 형식의 표현입니다.
- — 학위 기반;
- - 지수.
자연 지표가 있는 정도(n = 1, 2, 3,...)
숫자를 자연 거듭제곱 n으로 올리는 것은 숫자 자체에 다음을 곱하는 것을 의미합니다.
정수 지수를 포함한 정도(0, ±1, ±2,...)
지수가 양의 정수숫자:
건설 0도까지:
그 표현은 불명확합니다. 왜냐하면 한편으로는 어느 정도의 숫자가 이것이고 다른 한편으로는 어느 정도의 숫자도 이것이기 때문입니다.
지수가 음의 정수숫자:
(분할할 수 없기 때문입니다.)
다시 한 번 0에 대해 설명합니다. 해당 경우에는 표현식이 정의되지 않습니다. 그렇다면.
예:
유리수 지수를 사용한 거듭제곱
- - 자연수;
- - 정수;
예:
도의 속성
문제를 더 쉽게 해결하기 위해 다음을 이해해 봅시다. 이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 그것을 증명해 봅시다.
보자 : 그리고 무엇입니까?
우선순위:
따라서 이 표현식의 오른쪽에는 다음과 같은 결과가 나타납니다.
그러나 정의에 따르면 이는 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다. 즉:
Q.E.D.
예 : 표현을 단순화합니다.
해결책 : .
예 : 표현을 단순화합니다.
해결책 : 우리의 규칙에서 다음 사항에 유의하는 것이 중요합니다. 반드시같은 이유가 있을 겁니다. 따라서 우리는 권한을 기본과 결합하지만 이는 별도의 요소로 남아 있습니다.
또 다른 중요한 참고 사항: 이 규칙 - 오직 권력의 산물에 대해서만!
어떤 경우에도 그런 글을 쓸 수는 없습니다.
이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.
이 작업을 다음과 같이 재편성해 보겠습니다.
표현식에 그 자체를 곱한 것으로 나타났습니다. 즉, 정의에 따르면 이것이 숫자의 제곱입니다.
본질적으로 이는 "괄호에서 지표를 꺼내는 것"이라고 할 수 있습니다. 하지만 이 작업을 완전히 수행할 수는 없습니다. !
축약된 곱셈 공식을 기억해 봅시다. 우리는 몇 번이나 쓰고 싶었습니까? 그러나 이는 결국 사실이 아닙니다.
부정적인 기초를 가진 힘.
지금까지 우리는 그것이 어떠해야 하는지에 대해서만 논의했습니다. 색인도. 그런데 그 기초가 무엇이어야 합니까? 의 힘으로 자연스러운 지시자 기초는 아마도 임의의 숫자 .
실제로 우리는 양수, 음수, 짝수 등 어떤 숫자든 서로 곱할 수 있습니다. 어떤 기호("" 또는 "")가 양수와 음수의 정도를 갖는지 생각해 봅시다.
예를 들어, 숫자는 양수인가요, 음수인가요? ㅏ? ?
첫 번째를 사용하면 모든 것이 명확합니다. 서로 곱한 양수에 관계없이 결과는 양수입니다.
그러나 부정적인 것들은 좀 더 흥미 롭습니다. 우리는 6학년 때 배운 "마이너스에 마이너스가 플러스를 준다"라는 간단한 규칙을 기억합니다. 즉, 또는. 하지만 ()를 곱하면 - 가 됩니다.
그리고 무한히 계속됩니다. 이후의 곱셈마다 부호가 변경됩니다. 우리는 다음을 공식화할 수 있습니다 간단한 규칙:
- 심지어학위, - 숫자 긍정적인.
- 음수, 내장 이상한학위, - 숫자 부정적인.
- 어떤 각도에서든 양수는 양수입니다.
- 0의 거듭제곱은 0과 같습니다.
다음 표현의 부호가 무엇인지 스스로 결정하십시오.
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
당신은 관리 했습니까? 답변은 다음과 같습니다.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
처음 네 가지 예에서는 모든 것이 명확해지기를 바랍니다. 밑수와 지수를 보고 적절한 규칙을 적용하면 됩니다.
예 5) 모든 것이 보이는 것만큼 무섭지 않습니다. 결국 밑이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도가 짝수이므로 결과는 항상 긍정적일 것입니다. 음, 밑이 0인 경우를 제외하고 말이죠. 기본이 같지 않습니까? 분명히 그렇지 않습니다. 왜냐하면 (때문에).
예 6)은 더 이상 그렇게 간단하지 않습니다. 여기서 어느 것이 더 적은지 알아내야 합니다: 또는? 이를 기억하면 밑이 0보다 작다는 것이 분명해집니다. 즉, 규칙 2를 적용합니다. 결과는 음수입니다.
그리고 다시 우리는 정도의 정의를 사용합니다:
모든 것이 평소와 같습니다. 학위의 정의를 기록하고 서로 나누고 쌍으로 나누어 다음을 얻습니다.
마지막 규칙을 살펴보기 전에 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.
표현식을 계산합니다.
솔루션 :
여덟 번째 힘을 무시하면 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 7학년 프로그램을 기억합시다. 기억하시나요? 이것은 약식 곱셈, 즉 제곱의 차이 공식입니다!
우리는 다음을 얻습니다:
분모를 잘 살펴보자. 분자 인자 중 하나와 많이 비슷해 보이지만 무엇이 잘못되었나요? 용어의 순서가 잘못되었습니다. 만약 반대라면 규칙 3이 적용될 수 있습니다. 그런데 어떻게요? 매우 쉬운 것으로 밝혀졌습니다. 분모의 짝수가 여기서 우리에게 도움이 됩니다.
곱하면 아무것도 달라지지 않죠? 그러나 이제는 다음과 같이 밝혀졌습니다.
마술처럼 용어가 바뀌었습니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균일하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 쉽게 변경할 수 있습니다. 하지만 다음 사항을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 표시가 동시에 변경됩니다!마음에 들지 않는 단점 하나만 바꿔서 대체할 수는 없어요!
예제로 돌아가 보겠습니다.
그리고 다시 공식은 다음과 같습니다.
이제 마지막 규칙은 다음과 같습니다.
어떻게 증명할 것인가? 물론 평소와 같이 학위 개념을 확장하고 단순화해 보겠습니다.
자, 이제 괄호를 열어 보겠습니다. 총 몇 개의 글자가 있나요? 승수로 곱하기 - 이것이 당신에게 무엇을 생각나게 합니까? 이는 작업의 정의에 지나지 않습니다. 곱셈: 거기에는 승수만 있었습니다. 즉, 이는 정의에 따라 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다.
예:
무리수 지수가 있는 정도
평균 수준에 대한 학위 정보 외에도 무리수 지수로 학위를 분석합니다. 여기서 도의 모든 규칙과 속성은 예외를 제외하고 유리수 지수가 있는 도와 정확히 동일합니다. 결국 정의에 따라 무리수는 분수로 표시할 수 없는 숫자입니다. 여기서 및 는 정수입니다(즉, , 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다.
자연 지수, 정수 지수, 유리 지수로 학위를 연구할 때마다 우리는 특정 "이미지", "유추" 또는 더 친숙한 용어로 설명을 만들었습니다. 예를 들어, 자연지수를 갖는 차수는 그 자체를 여러 번 곱한 숫자입니다. 0의 거듭제곱에 대한 숫자는 그 자체로 한 번 곱해진 숫자입니다. 즉, 아직 곱하기 시작하지 않았습니다. 즉, 숫자 자체가 아직 나타나지도 않았음을 의미합니다. 따라서 결과는 특정 "빈 숫자", 즉 숫자; 정수 음수 지수를 갖는 정도 - 마치 "역 과정"이 발생한 것과 같습니다. 즉, 숫자에 자체적으로 곱한 것이 아니라 나누어진 것입니다.
4차원 공간을 상상하기 어려운 것처럼 무리수 지수가 있는 차수를 상상하는 것은 극히 어렵습니다. 오히려 수학자들이 정도의 개념을 숫자의 전체 공간으로 확장하기 위해 만든 순전히 수학적 대상입니다.
그건 그렇고, 과학에서는 복잡한 지수를 가진 학위가 자주 사용됩니다. 즉 지수는 실수조차 아닙니다. 하지만 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않으며, 학원에서 이러한 새로운 개념을 이해할 기회를 갖게 될 것입니다.
그러면 무리수 지수를 보면 어떻게 해야 할까요? 없애기 위해 최선을 다하고 있습니다! :)
예를 들어:
스스로 결정하십시오:
| 1) | 2) | 3) |
답변:
- 제곱의 차이 공식을 기억해 봅시다. 답변: .
- 분수를 동일한 형식으로 줄입니다. 즉, 두 소수 또는 두 가지 모두 일반 분수입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
- 특별한 것은 없습니다. 일반적인 각도 속성을 사용합니다.
섹션 요약 및 기본 공식
도형식의 표현식을 호출합니다: , 여기서:
정수 지수를 포함한 정도
지수가 자연수(즉, 정수 및 양수)인 정도.
유리수 지수를 사용한 거듭제곱
학위, 지수는 음수와 분수입니다.
무리수 지수가 있는 정도
지수가 무한한 소수 또는 근인 정도.
도의 속성
학위의 특징.
- 다음으로 올림된 음수 심지어학위, - 숫자 긍정적인.
- 다음으로 올림된 음수 이상한학위, - 숫자 부정적인.
- 어떤 각도에서든 양수는 양수입니다.
- 0은 모든 힘과 같습니다.
- 0의 거듭제곱에 대한 모든 숫자는 동일합니다.
이제 당신은 말씀을 갖게 되었습니다...
기사가 마음에 드시나요? 마음에 드셨는지 안 드셨는지 댓글로 적어주세요.
학위 속성을 사용한 경험에 대해 알려주십시오.
아마도 질문이 있을 것입니다. 아니면 제안.
댓글에 적어주세요.
그리고 시험에 행운을 빕니다!
