첫 번째 수준

이차방정식. 종합 가이드 (2019)

이차 방정식이라는 용어에서 핵심 단어는 '이차'입니다. 이는 방정식이 반드시 제곱된 변수(동일한 x)를 포함해야 하며, 3승(또는 그 이상)의 x가 있어서는 안 된다는 것을 의미합니다.

많은 방정식의 해는 이차 방정식을 푸는 것으로 귀결됩니다.

이것이 다른 방정식이 아니라 이차 방정식인지 확인하는 방법을 배워 보겠습니다.

예시 1.

분모를 제거하고 방정식의 각 항에 다음을 곱해 봅시다.

모든 것을 왼쪽으로 이동하고 X의 거듭제곱이 내림차순으로 항을 정렬해 보겠습니다.

이제 우리는 이 방정식이 이차 방정식이라고 자신있게 말할 수 있습니다!

예시 2.

왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱합니다.

이 방정식은 원래 포함되어 있었지만 이차 방정식이 아닙니다!

예시 3.

모든 것에 다음을 곱해 봅시다:

무서운? 4도 및 2도... 그러나 대체하면 간단한 이차 방정식이 있음을 알 수 있습니다.

예시 4.

있는 것 같지만 좀 더 자세히 살펴보겠습니다. 모든 것을 왼쪽으로 이동해 보겠습니다.

보세요, 그것은 줄어들었고 이제 그것은 단순한 선형 방정식이 되었습니다!

이제 다음 방정식 중 어느 것이 2차 방정식이고 어느 방정식이 아닌지 스스로 결정해 보십시오.

예:

답변:

정사각형;
정사각형;
정사각형이 아닙니다.
정사각형이 아닙니다.
정사각형이 아닙니다.
정사각형;
정사각형이 아닙니다.
정사각형.

수학자들은 전통적으로 모든 이차 방정식을 다음 유형으로 나눕니다.

완전한 이차 방정식- 계수와 자유항 c가 0이 아닌 방정식(예제 참조). 또한, 완전한 이차 방정식 중에는 다음이 있습니다. 주어진- 이것은 계수가 있는 방정식입니다(예제 1의 방정식은 완전할 뿐만 아니라 축소되었습니다!).

불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:
일부 요소가 누락되어 불완전합니다. 하지만 방정식에는 항상 x 제곱이 포함되어야 합니다!!! 그렇지 않으면 더 이상 이차 방정식이 아니라 다른 방정식이 됩니다.

그들은 왜 그런 구분을 생각해 냈습니까? X 제곱이 있는 것 같습니다. 괜찮습니다. 이 구분은 솔루션 방법에 따라 결정됩니다. 각각을 더 자세히 살펴보겠습니다.

불완전한 2차 방정식 풀기

먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 데 집중하겠습니다. 훨씬 간단합니다!

불완전한 이차 방정식에는 다음과 같은 유형이 있습니다.

, 이 방정식에서 계수는 동일합니다.
, 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.
, 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.

1. 나. 우리는 제곱근을 취하는 방법을 알고 있으므로 이 방정식으로 표현해 보겠습니다.

표현은 음수일 수도 있고 양수일 수도 있습니다. 두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱할 때 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 즉, 그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.

그리고 만약 그렇다면 우리는 두 개의 뿌리를 얻습니다. 이 공식을 외울 필요는 없습니다. 가장 중요한 것은 그것이 더 적을 수 없다는 것을 알고 항상 기억해야한다는 것입니다.

몇 가지 예를 해결해 봅시다.

예시 5:

방정식을 풀어보세요

이제 남은 것은 왼쪽과 오른쪽에서 루트를 추출하는 것뿐입니다. 결국 뿌리를 추출하는 방법을 기억하십니까?

답변:

음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!!!

예시 6:

방정식을 풀어보세요

답변:

예시 7:

방정식을 풀어보세요

오! 숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.

뿌리가 없어!

뿌리가 없는 방정식의 경우 수학자들은 특별한 아이콘(빈 세트)을 생각해 냈습니다. 그리고 대답은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 루트를 추출하지 않았으므로 여기에는 제한이 없습니다.
예시 8:

방정식을 풀어보세요

괄호에서 공통인수를 빼자:

따라서,

이 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

답변:

가장 간단한 유형의 불완전 이차 방정식입니다(비록 모두 간단하지만). 분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.

여기서는 예제를 생략하겠습니다.

완전한 2차 방정식 풀기

완전한 이차 방정식은 다음과 같은 형태의 방정식이라는 점을 상기시켜 드립니다.

완전한 이차 방정식을 푸는 것은 이것보다 조금 더 어렵습니다.

기억하다, 모든 이차 방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있습니다! 심지어 불완전합니다.

다른 방법을 사용하면 더 빨리 계산할 수 있지만, 2차 방정식에 문제가 있는 경우 먼저 판별식을 사용하여 해법을 익히십시오.

1. 판별식을 사용하여 이차방정식을 푼다.

이 방법을 사용하여 이차 방정식을 푸는 것은 매우 간단하며, 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다.

그렇다면 방정식에는 근이 있습니다. 특별한 관심한 발짝 떼다. 판별식()은 방정식의 근 개수를 알려줍니다.

그렇다면 단계의 공식은 다음과 같이 축소됩니다. 따라서 방정식에는 근만 있습니다.
그렇다면 해당 단계에서는 판별식의 근을 추출할 수 없습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

방정식으로 돌아가서 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 9:

방정식을 풀어보세요

1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다.

3단계.

답변:

예시 10:

방정식을 풀어보세요

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 방정식의 근이 하나라는 것을 의미합니다.

답변:

예 11:

방정식을 풀어보세요

방정식은 표준 형식으로 표시되므로 1 단계우리는 건너뜁니다.

2 단계.

우리는 판별식을 찾습니다:

이는 판별식의 근을 추출할 수 없음을 의미합니다. 방정식의 뿌리는 없습니다.

이제 우리는 그러한 답변을 올바르게 작성하는 방법을 알고 있습니다.

답변:뿌리가 없다

2. Vieta의 정리를 사용하여 이차방정식을 푼다.

기억하신다면 축소(계수 a가 다음과 같을 때)라고 불리는 방정식 유형이 있습니다.

이러한 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 매우 쉽게 풀 수 있습니다.

뿌리의 합 주어진이차방정식은 같고, 근의 곱은 같습니다.

실시예 12:

방정식을 풀어보세요

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. .

방정식의 근의 합은 같습니다. 즉, 우리는 첫 번째 방정식을 얻습니다.

그리고 제품은 다음과 같습니다.

시스템을 구성하고 해결해 봅시다:

그리고. 금액은 다음과 같습니다.
그리고. 금액은 다음과 같습니다.
그리고. 금액은 동일합니다.

시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

답변: ; .

실시예 13:

방정식을 풀어보세요

답변:

실시예 14:

방정식을 풀어보세요

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

답변:

이차 방정식. 평균 수준

이차 방정식이란 무엇입니까?

즉, 이차방정식은 다음과 같은 형태의 방정식입니다. 여기서 - 미지수, - 일부 숫자, 그리고.

그 숫자를 최고라고 부르거나 첫 번째 계수이차 방정식, - 두 번째 계수, ㅏ - 무료 회원.

왜? 왜냐하면 방정식이 즉시 선형이 된다면, 왜냐하면 사라질 것이다.

이 경우 및 는 0과 같을 수 있습니다. 이 의자 방정식에서는 불완전이라고 합니다. 모든 항이 제자리에 있으면 방정식이 완성됩니다.

다양한 유형의 이차 방정식에 대한 해법

불완전한 2차 방정식을 푸는 방법:

먼저, 불완전한 이차 방정식을 푸는 방법을 살펴보겠습니다. 이 방법은 더 간단합니다.

다음 유형의 방정식을 구별할 수 있습니다.

I., 이 방정식에서 계수와 자유 항은 동일합니다.

II. , 이 방정식에서 계수는 동일합니다.

III. , 이 방정식에서 자유항은 다음과 같습니다.

이제 이러한 각 하위 유형에 대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

분명히 이 방정식에는 항상 단 하나의 근이 있습니다.

두 개의 음수 또는 두 개의 양수를 곱하면 결과는 항상 양수가 되기 때문에 제곱된 숫자는 음수가 될 수 없습니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.

뿌리가 두 개라면

이 공식을 외울 필요는 없습니다. 기억해야 할 가장 중요한 것은 그보다 적을 수 없다는 것입니다.

예:

솔루션:

답변:

음수 기호가 있는 뿌리를 잊지 마세요!

숫자의 제곱은 음수가 될 수 없습니다. 즉, 방정식은 다음과 같습니다.

뿌리가 없습니다.

문제에 해결책이 없다는 것을 간단히 기록하려면 빈 세트 아이콘을 사용합니다.

답변:

따라서 이 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.

답변:

괄호에서 공통인수를 빼자:

요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 이는 다음과 같은 경우 방정식에 해가 있음을 의미합니다.

따라서 이 이차 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

예:

방정식을 풀어보세요.

해결책:

방정식의 좌변을 인수분해하고 근을 찾아보겠습니다.

답변:

완전한 2차 방정식을 푸는 방법:

1. 판별식

이 방법으로 이차 방정식을 푸는 것은 쉽습니다. 가장 중요한 것은 일련의 동작과 몇 가지 공식을 기억하는 것입니다. 모든 이차방정식은 판별식을 사용하여 풀 수 있다는 점을 기억하세요! 심지어 불완전합니다.

근에 대한 공식에서 판별식에서 근이 나오는 것을 보셨나요? 그러나 판별자는 음수가 될 수 있습니다. 무엇을 해야 할까요? 우리는 2단계에 특별한 주의를 기울여야 합니다. 판별식은 방정식의 근의 수를 알려줍니다.

그렇다면 방정식에는 뿌리가 있습니다.
그렇다면 방정식의 근은 동일하고 실제로는 하나의 근을 갖습니다.
이러한 뿌리를 이중뿌리라고 합니다.
그렇다면 판별식의 근은 추출되지 않습니다. 이는 방정식에 근이 없음을 나타냅니다.

왜 뿌리의 개수가 다를 수 있나요? 이차 방정식의 기하학적 의미를 살펴보겠습니다. 함수 그래프는 포물선입니다.

이차방정식인 특별한 경우에는 . 이는 이차 방정식의 근이 가로축(축)과의 교차점임을 의미합니다. 포물선은 축과 전혀 교차하지 않을 수도 있고, 한 점(포물선의 정점이 축 위에 있는 경우)이나 두 점에서 교차할 수도 있습니다.

또한 계수는 포물선 가지의 방향을 담당합니다. 그렇다면 포물선의 가지는 위쪽으로 향하고, 그렇다면 아래쪽으로 향합니다.

예:

솔루션:

답변:

답변: .

답변:

즉, 해결책이 없습니다.

답변: .

2. 비에타의 정리

Vieta의 정리를 사용하는 것은 매우 쉽습니다. 곱이 방정식의 자유 항과 같고 그 합이 반대 부호를 사용하여 취한 두 번째 계수와 같은 숫자 쌍을 선택하기만 하면 됩니다.

Vieta의 정리는 다음에만 적용될 수 있다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. 축소된 2차 방정식().

몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

예시 #1:

방정식을 풀어보세요.

해결책:

이 방정식은 Vieta의 정리를 사용하여 풀 수 있습니다. . 기타 계수: ; .

방정식의 근의 합은 다음과 같습니다.

그리고 제품은 다음과 같습니다.

곱이 같은 숫자 쌍을 선택하고 그 합이 같은지 확인해 보겠습니다.

그리고. 금액은 다음과 같습니다.
그리고. 금액은 다음과 같습니다.
그리고. 금액은 동일합니다.

시스템에 대한 솔루션은 다음과 같습니다.

따라서 와 는 우리 방정식의 뿌리입니다.

답변: ; .

예시 #2:

해결책:

제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택한 다음 그 합계가 같은지 확인하겠습니다.

그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다.

그리고 : 그들은 전체적으로 제공합니다. 얻으려면 가정된 뿌리와 결국 제품의 표시를 간단히 변경하는 것으로 충분합니다.

답변:

예시 #3:

해결책:

방정식의 자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 이는 근 중 하나가 음수이고 다른 하나가 양수인 경우에만 가능합니다. 따라서 근의 합은 다음과 같습니다. 모듈의 차이점.

제품에 제공되는 숫자 쌍을 선택하고 그 차이는 다음과 같습니다.

그리고: 그들의 차이는 동일합니다 - 맞지 않습니다.

그리고: - 적합하지 않음;

그리고: - 적합합니다. 남은 것은 뿌리 중 하나가 음수라는 것을 기억하는 것입니다. 그 합은 동일해야 하므로 모듈러스가 더 작은 근은 음수여야 합니다. 우리는 다음을 확인합니다:

답변:

예시 #4:

방정식을 풀어보세요.

해결책:

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

자유 항은 음수이므로 근의 곱은 음수입니다. 그리고 이는 방정식의 한 근이 음수이고 다른 근이 양수인 경우에만 가능합니다.

곱이 동일한 숫자 쌍을 선택한 다음 음수 부호를 가져야 하는 근을 결정해 보겠습니다.

분명히 뿌리만 첫 번째 조건에 적합합니다.

답변:

예시 #5:

방정식을 풀어보세요.

해결책:

방정식이 주어지며 이는 다음을 의미합니다.

근의 합은 음수입니다. 이는 근 중 적어도 하나가 음수임을 의미합니다. 그러나 그들의 곱이 양수이므로 두 뿌리 모두 마이너스 기호가 있음을 의미합니다.

곱이 다음과 같은 숫자 쌍을 선택해 보겠습니다.

분명히 뿌리는 숫자와입니다.

답변:

이 불쾌한 판별식을 세는 대신 구두로 뿌리를 찾는 것이 매우 편리합니다. 가능한 한 자주 비에타의 정리를 사용해 보십시오.

그러나 근을 찾는 것을 촉진하고 속도를 높이려면 비에타의 정리가 필요합니다. 이를 사용하여 이익을 얻으려면 작업을 자동으로 수행해야 합니다. 이를 위해 다섯 가지 예를 더 풀어보세요. 하지만 속이지 마세요. 판별식을 사용할 수 없습니다! 비에타의 정리만:

독립적인 작업을 위한 작업 솔루션:

작업 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vieta의 정리에 따르면:

평소와 같이 작품 선택을 시작합니다.

금액이 적당하지 않습니다.

: 딱 필요한 금액입니다.

답변: ; .

작업 2.

그리고 다시 우리가 가장 좋아하는 비에타 정리: 합은 동일해야 하고 곱도 동일해야 합니다.

그러나 그렇지 않아야 하기 때문에 뿌리의 부호를 변경합니다: 그리고 (전체적으로).

답변: ; .

작업 3.

흠... 그게 어디죠?

모든 용어를 하나의 부분으로 이동해야 합니다.

근의 합은 곱과 같습니다.

알았어, 그만해! 방정식은 제공되지 않습니다. 그러나 Vieta의 정리는 주어진 방정식에만 적용 가능합니다. 따라서 먼저 방정식을 제시해야 합니다. 이끌 수 없다면 이 아이디어를 포기하고 다른 방법(예를 들어 판별식을 통해)으로 해결하세요. 이차 방정식을 제공한다는 것은 주요 계수를 동일하게 만드는 것을 의미한다는 것을 상기시켜 드리겠습니다.

엄청난. 그러면 근의 합은 와 곱이 됩니다.

여기서 선택하는 것은 배 껍질을 벗기는 것만큼 쉽습니다. 결국 그것은 소수입니다(동어어가 같아 죄송합니다).

답변: ; .

작업 4.

무료 회원은 부정적입니다. 이것의 특별한 점은 무엇입니까? 그리고 사실 뿌리는 다른 징후를 가질 것입니다. 이제 선택하는 동안 루트의 합이 아니라 모듈의 차이점을 확인합니다. 이 차이는 동일하지만 제품입니다.

따라서 근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 비에타의 정리는 근의 합이 반대 부호를 갖는 두 번째 계수와 같다는 것을 말해줍니다. 이는 더 작은 루트에 마이너스가 있음을 의미합니다.

답변: ; .

작업 5.

먼저 무엇을 해야 할까요? 맞습니다. 방정식을 제시하십시오.

다시 말하지만, 숫자의 요소를 선택하고 그 차이는 다음과 같아야 합니다.

근은 and와 같지만 그 중 하나는 마이너스입니다. 어느? 그 합은 같아야 합니다. 즉, 마이너스의 근이 더 커집니다.

답변: ; .

요약하자면:

비에타의 정리는 주어진 이차 방정식에만 사용됩니다.
Vieta의 정리를 사용하면 구두로 선택하여 근을 찾을 수 있습니다.
방정식이 주어지지 않거나 자유 항의 적합한 인수 쌍이 발견되지 않으면 전체 근이 없으므로 다른 방법(예: 판별식을 통해)으로 풀어야 합니다.

3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법

미지수를 포함하는 모든 항이 약식 곱셈 공식(합 또는 차이의 제곱)의 항 형식으로 표시되는 경우 변수를 대체한 후 방정식은 해당 유형의 불완전한 이차 방정식 형식으로 표시될 수 있습니다.

예를 들어:

예시 1:

방정식을 푼다: .

해결책:

답변:

예 2:

방정식을 푼다: .

해결책:

답변:

안에 일반적인 견해변환은 다음과 같습니다.

이는 다음을 의미합니다.

아무것도 생각나지 않나요? 이건 차별적인 일이에요! 이것이 바로 우리가 판별 공식을 얻은 방법입니다.

이차 방정식. 주요 사항에 대해 간략하게

이차 방정식- 이것은 다음 형식의 방정식입니다. - 미지수 - 이차 방정식의 계수 - 자유항.

완전한 이차 방정식- 계수가 0이 아닌 방정식.

축소된 이차 방정식- 계수가 다음과 같은 방정식: .

불완전한 이차 방정식- 계수 및/또는 자유항 c가 0인 방정식:

계수인 경우 방정식은 다음과 같습니다.
자유 항이 있는 경우 방정식의 형식은 다음과 같습니다.
만약 그렇다면 방정식은 다음과 같습니다: .

1. 불완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

1.1. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:

1) 미지수를 표현해보자: ,

2) 표현식의 부호를 확인하십시오.

그렇다면 방정식에는 해가 없습니다.
그렇다면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.

1.2. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식:

1) 괄호 안의 공통인수를 빼자: ,

2) 요소 중 하나 이상이 0이면 곱은 0과 같습니다. 따라서 방정식에는 두 가지 근이 있습니다.

1.3. 다음 형식의 불완전한 2차 방정식입니다.

이 방정식에는 항상 단 하나의 근만 있습니다: .

2. 다음 형식의 완전한 2차 방정식을 풀기 위한 알고리즘

2.1. 판별식을 이용한 해

1) 방정식을 표준 형식으로 바꾸자: ,

2) 공식을 사용하여 판별식을 계산해 보겠습니다. , 이는 방정식의 근 수를 나타냅니다.

3) 방정식의 근을 찾으십시오.

그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 찾을 수 있는 근이 있습니다.
그렇다면 방정식에는 다음 공식으로 구되는 근이 있습니다.
그렇다면 방정식에는 근이 없습니다.

2.2. 비에타의 정리를 이용한 해

축소된 이차 방정식(형태의 방정식)의 근의 합은 같고 근의 곱은 같습니다. 즉 , ㅏ.

2.3. 완전한 정사각형을 선택하는 방법에 의한 해법

형식의 이차 방정식에 근이 있는 경우 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

왜냐하면 오직 5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽으시면 당신은 이 5% 안에 속합니다!

이제 가장 중요한 것입니다.

당신은 이 주제에 대한 이론을 이해했습니다. 그리고 반복합니다. 이건... 정말 최고예요! 당신은 이미 그보다 나아요 절대 다수당신의 동료.

문제는 이것만으로는 충분하지 않을 수 있다는 것입니다.

무엇을 위해?

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문제를 찾아 해결해보세요!

이차 방정식은 다음과 같은 방정식입니다. 도끼 2 + dx + c = 0. 의미가 있어요 a,c그리고 와 함께임의의 숫자 및 ㅏ 0이 아닙니다.

모든 이차 방정식은 여러 유형으로 나뉩니다.

근이 하나뿐인 방정식.
- 두 개의 서로 다른 근을 갖는 방정식.
-근이 전혀 없는 방정식.

이것이 차별화되는 점이다 선형 방정식여기서 근은 항상 동일합니다(제곱에서). 표현식에 몇 개의 근이 있는지 이해하려면 다음이 필요합니다. 이차 방정식의 판별식.

방정식 ax 2 + dx + c =0이라고 가정해 보겠습니다. 수단 이차 방정식의 판별식 -

D = b 2 - 4ac

그리고 이것은 영원히 기억되어야 한다. 이 방정식을 사용하여 이차 방정식의 근 수를 결정합니다. 그리고 우리는 이렇게 합니다:

D가 0보다 작으면 방정식에 근이 없습니다.
- D가 0이면 근은 하나만 있습니다.
- D가 0보다 크면 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.
판별식은 부호를 변경하지 않고도 방정식에 근이 몇 개인지 표시한다는 점을 기억하세요.

명확성을 위해 고려해 보겠습니다.

우리는 이 이차 방정식에 몇 개의 근이 있는지 알아내야 합니다.

1) x 2 - 8x + 12 = 0
2)5x 2 + 3x + 7 = 0
3) x 2 -6x + 9 = 0

첫 번째 방정식에 값을 입력하고 판별식을 찾습니다.
a = 1, b = -8, c = 12
D = (-8) 2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16
판별식에는 더하기 기호가 있습니다. 이는 이 평등에 두 개의 뿌리가 있음을 의미합니다.

두 번째 방정식에서도 동일한 작업을 수행합니다.
a = 1, b = 3, c = 7
D = 3 2 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
값은 음수입니다. 이는 이 평등에 뿌리가 없음을 의미합니다.

비유를 통해 다음 방정식을 확장해 보겠습니다.
a = 1, b = -6, c = 9
D = (-6) 2 - 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
결과적으로 우리는 방정식에 하나의 근을 갖게 됩니다.

각 방정식에서 계수를 작성하는 것이 중요합니다. 물론, 이는 그리 긴 과정은 아니지만 혼란을 방지하고 오류가 발생하는 것을 방지하는 데 도움이 되었습니다. 비슷한 방정식을 매우 자주 풀면 정신적으로 계산을 수행할 수 있고 방정식에 근이 몇 개 있는지 미리 알 수 있습니다.

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

1) x 2 - 2x - 3 = 0
2) 15 - 2x - x 2 = 0
3) x 2 + 12x + 36 = 0

첫 번째를 배치하자
a = 1, b = -2, c = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, 이는 0보다 크고, 두 개의 근을 의미하므로 이를 도출해 보겠습니다.
x 1 = 2+?16/2 * 1 = 3, x 2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

우리는 두 번째를 배치합니다
a = -1, b = -2, c = 15
D = (-2) 2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, 이는 0보다 크고 근도 2개입니다. 이를 표시해 보겠습니다.
x 1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, x 2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

우리는 세 번째를 배치합니다
a = 1, b = 12, c = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, 이는 0과 같고 근이 하나입니다.
x = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
이 방정식을 푸는 것은 어렵지 않습니다.

불완전한 이차 방정식이 주어진다면. 와 같은

1x2 + 9x = 0
2x 2 - 16 = 0

이 방정식은 완전하지 않고 세 번째 값이 없기 때문에 위의 방정식과 다릅니다. 그러나 그럼에도 불구하고 이는 완전한 이차방정식보다 간단하며 그 안에서 판별식을 찾을 필요가 없습니다.

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이차 방정식의 근에 대한 공식. 실수근, 다중근, 복소근의 경우가 고려됩니다. 이차 삼항식을 인수분해합니다. 기하학적 해석. 근을 결정하고 인수분해하는 예.

기본 공식

이차 방정식을 고려하십시오.
(1) .
이차 방정식의 근(1)은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
; .
이러한 공식은 다음과 같이 결합될 수 있습니다.
.
이차 방정식의 근이 알려지면 2차 다항식은 인수(인수분해)의 곱으로 표현될 수 있습니다.
.

우리는 또한 다음과 같이 가정합니다. 실수.
고려해 봅시다 이차 방정식의 판별식:
.
판별식이 양수이면 이차 방정식 (1)은 두 개의 서로 다른 실근을 갖습니다.
; .
그런 다음 이차 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.
판별식이 0이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 배수(동일) 실수근이 있습니다.
.
채권 차압 통고:
.
판별식이 음수이면 이차 방정식 (1)에는 두 개의 복소수 켤레 근이 있습니다.
;
.
다음은 허수단위 ;
그리고 근의 실수 부분과 허수 부분은 다음과 같습니다.
; .
그 다음에

.

그래픽 해석

빌드하면 함수 그래프
,
포물선인 경우 그래프와 축의 교차점이 방정식의 근이 됩니다.
.
에서 그래프는 두 지점에서 x축(축)과 교차합니다.
이면 그래프가 x축의 한 지점에 닿습니다.
이면 그래프가 x축을 교차하지 않습니다.

다음은 그러한 그래프의 예입니다.

이차 방정식과 관련된 유용한 공식

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

이차 방정식의 근에 대한 공식 유도

변환을 수행하고 공식 (f.1) 및 (f.3)을 적용합니다.

,
어디
; .

따라서 우리는 다음과 같은 형식으로 2차 다항식에 대한 공식을 얻었습니다.
.
이는 방정식이 다음과 같다는 것을 보여줍니다.

에서 수행
그리고 .
즉, 와 는 이차 방정식의 근입니다.
.

이차 방정식의 근을 결정하는 예

실시예 1

(1.1) .

해결책

.
방정식 (1.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식이 양수이므로 방정식에는 두 개의 실수근이 있습니다.
;
;
.

여기에서 우리는 이차 삼항식의 인수분해를 얻습니다:

.

함수 그래프 y = 2×2 + 7×+3두 점에서 x축과 교차합니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 두 지점에서 가로축(축)과 교차합니다.
그리고 .
이 점은 원래 방정식(1.1)의 근입니다.

답변

;
;
.

실시예 2

이차 방정식의 근을 구합니다:
(2.1) .

해결책

이차 방정식을 일반 형식으로 작성해 보겠습니다.
.
원래 방정식 (2.1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식이 0이므로 방정식에는 두 개의 배수(동일) 근이 있습니다.
;
.

그런 다음 삼항식의 인수분해는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

함수 y = x의 그래프 2 - 4 x + 4 x축의 한 지점에 닿습니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. 한 지점에서 x축(축)과 접촉합니다.
.
이 점은 원래 방정식(2.1)의 근본입니다. 이 근은 두 번 인수분해되기 때문입니다.
,
그런 근은 일반적으로 배수라고 불립니다. 즉, 그들은 두 개의 동일한 뿌리가 있다고 믿습니다.
.

답변

;
.

실시예 3

이차 방정식의 근을 구합니다:
(3.1) .

해결책

이차 방정식을 일반 형식으로 작성해 보겠습니다.
(1) .
원래 방정식(3.1)을 다시 작성해 보겠습니다.
.
(1)과 비교하여 계수 값을 찾습니다.
.
우리는 판별식을 찾습니다:
.
판별식은 음수입니다. 그러므로 실제 뿌리가 없습니다.

복잡한 뿌리를 찾을 수 있습니다.
;
;
.

그 다음에

.

함수의 그래프는 x축을 교차하지 않습니다. 실제 뿌리는 없습니다.

함수를 그려보자
.
이 함수의 그래프는 포물선입니다. x축(축)과 교차하지 않습니다. 그러므로 실제 뿌리가 없습니다.

답변

실제 뿌리는 없습니다. 복잡한 뿌리:
;
;
.

이차 방정식 문제는 다음에서도 연구됩니다. 학교 커리큘럼그리고 대학에서. 이는 a*x^2 + b*x + c = 0 형식의 방정식을 의미합니다. 엑스-변수, a, b, c – 상수; ㅏ<>0 . 문제는 방정식의 근을 찾는 것입니다.

이차 방정식의 기하학적 의미

이차 방정식으로 표현되는 함수의 그래프는 포물선입니다. 2차 방정식의 해(근)는 포물선과 가로좌표(x) 축의 교차점입니다. 세 가지 가능한 경우가 있습니다.
1) 포물선에는 가로축과 교차점이 없습니다. 이는 가지가 위로 향하는 상부 평면에 있거나 가지가 아래로 향하는 바닥에 있음을 의미합니다. 그러한 경우, 이차 방정식에는 실수근이 없습니다(두 개의 복소근이 있음).

2) 포물선은 Ox 축과 하나의 교차점을 갖습니다. 이러한 점을 포물선의 꼭지점이라고 하며, 이 점의 이차 방정식은 최소값 또는 최대값을 얻습니다. 이 경우 이차 방정식에는 하나의 실수근(또는 두 개의 동일한 근)이 있습니다.

3) 마지막 경우는 실제로 더 흥미롭습니다. 포물선과 가로축의 교차점이 두 군데 있습니다. 이는 방정식의 실제 근이 두 개 있다는 것을 의미합니다.

변수의 거듭제곱 계수 분석을 기반으로 포물선 배치에 대한 흥미로운 결론을 도출할 수 있습니다.

1) 계수 a가 0보다 크면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고, 음수이면 포물선의 가지가 아래쪽을 향합니다.

2) 계수 b가 0보다 크면 포물선의 꼭지점은 왼쪽 절반 평면에 있고, 음수 값을 취하면 오른쪽에 있습니다.

이차 방정식을 풀기 위한 공식 유도

이차방정식의 상수를 옮겨보자

등호에 대해서는 다음과 같은 표현을 얻습니다.

양변에 4a를 곱하세요

왼쪽에 완전한 정사각형을 얻으려면 양쪽에 b^2를 더하고 변환을 수행하십시오.

여기에서 우리는 찾습니다

이차 방정식의 판별식과 근에 대한 공식

판별식은 근호식의 값입니다. 양수이면 방정식에는 다음 공식으로 계산된 두 개의 실수 근이 있습니다. 판별식이 0일 때 이차방정식은 하나의 해(두 개의 일치하는 근)를 가지는데, 이는 위의 D=0 공식에서 쉽게 구할 수 있고, 판별식이 음수일 때 방정식에는 실수근이 없습니다. 그러나 이차 방정식의 해는 복소 평면에서 찾을 수 있으며 해당 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

비에타의 정리

이차 방정식의 두 근을 고려하고 이를 기반으로 이차 방정식을 구성해 봅시다. Vieta의 정리 자체는 표기법에서 쉽게 따릅니다. 그 근의 합은 반대 부호를 취한 계수 p와 같고 방정식 근의 곱은 자유 항 q와 같습니다. 위의 공식적 표현은 다음과 같습니다. 고전 방정식에서 상수 a가 0이 아닌 경우 전체 방정식을 이것으로 나눈 다음 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.

인수분해 이차 방정식 일정

작업을 설정하십시오. 이차 방정식을 인수분해합니다. 이를 위해 먼저 방정식을 풉니다(근을 찾습니다). 다음으로, 찾은 근을 이차방정식의 전개식에 대입하면 문제가 해결됩니다.

이차방정식 문제

작업 1. 이차 방정식의 근을 찾아보세요

x^2-26x+120=0 .

해결 방법: 계수를 기록하고 이를 판별식에 대입합니다.

루트 주어진 값는 14와 같으며 계산기로 쉽게 찾을 수 있거나 자주 사용하여 기억할 수 있지만 편의상 기사 끝 부분에서 이러한 문제에서 자주 발생할 수 있는 숫자의 제곱 목록을 제공합니다.
찾은 값을 루트 공식으로 대체합니다.

그리고 우리는 얻습니다

작업 2. 방정식을 풀어보세요

2x2 +x-3=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있고, 계수를 작성하고 판별식을 구합니다.

알려진 공식을 사용하여 이차 방정식의 근을 찾습니다.

작업 3. 방정식을 풀어보세요

9x2 -12x+4=0.

해결책: 완전한 이차 방정식이 있습니다. 판별식 결정

뿌리가 일치하는 경우가 있습니다. 공식을 사용하여 근의 값을 찾으십시오.

작업 4. 방정식을 풀어보세요

x^2+x-6=0 .

해결 방법: x에 대한 계수가 작은 경우 Vieta의 정리를 적용하는 것이 좋습니다. 그 조건에 따라 우리는 두 가지 방정식을 얻습니다.

두 번째 조건에서 곱은 -6과 같아야 함을 알 수 있습니다. 이는 근 중 하나가 음수임을 의미합니다. 다음과 같은 가능한 솔루션 쌍이 있습니다 (-3;2), (3;-2) . 첫 번째 조건을 고려하여 두 번째 솔루션 쌍을 거부합니다.
방정식의 근은 같습니다.

문제 5. 둘레가 18cm이고 넓이가 77cm 2인 직사각형의 변의 길이를 구하십시오.

해결책: 직사각형 둘레의 절반은 인접한 변의 합과 같습니다. x를 더 큰 변으로 표시하고, 18-x를 더 작은 변으로 표시하겠습니다. 직사각형의 면적은 다음 길이의 곱과 같습니다.
x(18-x)=77;
또는
x 2 -18x+77=0.
방정식의 판별식을 구해보자

방정식의 근을 계산

만약에 x=11,저것 18세=7 ,그 반대도 마찬가지입니다(x=7이면 21's=9).

문제 6. 2차 방정식 10x 2 -11x+3=0을 인수분해합니다.

해결책: 방정식의 근을 계산해 보겠습니다. 이를 위해 판별식을 찾습니다.

찾은 값을 루트 공식에 대입하고 계산합니다.

근으로 이차 방정식을 분해하는 공식을 적용합니다.

괄호를 열면 신원을 알 수 있습니다.

매개변수가 있는 2차 방정식

예 1. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0은 근이 하나입니까?

해결책: a=3 값을 직접 대체하면 해결책이 없음을 알 수 있습니다. 다음으로, 판별식이 0인 방정식에는 다중도 2의 근이 하나 있다는 사실을 사용할 것입니다. 판별식을 써보자

단순화해서 0과 동일시하자

우리는 매개변수 a에 대한 2차 방정식을 얻었으며, 그 해는 Vieta의 정리를 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 근의 합은 7이고 그 곱은 12입니다. 간단한 검색을 통해 숫자 3,4가 방정식의 근이 될 것임을 확인합니다. 계산 시작 시 이미 a=3이라는 해를 거부했기 때문에 유일한 올바른 해는 다음과 같습니다. a=4.따라서 a=4에 대해 방정식은 하나의 근을 갖습니다.

예 2. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ ,방정식 a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0루트가 두 개 이상인가요?

해결 방법: 먼저 특이점을 고려해 보겠습니다. 이는 a=0 및 a=-3 값이 됩니다. a=0일 때 방정식은 6x-9=0 형식으로 단순화됩니다. x=3/2이고 루트는 하나입니다. a= -3에 대해 항등식 0=0을 얻습니다.
판별식을 계산해보자

그리고 a가 양수인 값을 찾으세요.

첫 번째 조건에서 a>3을 얻습니다. 두 번째로, 우리는 방정식의 판별식과 근을 찾습니다.

함수가 수행하는 간격을 정의해 보겠습니다. 양수 값. 점 a=0을 대입하면 다음을 얻습니다. 3>0 . 따라서 간격(-3;1/3) 외부에서는 함수가 음수입니다. 요점을 잊지 마세요 a=0,이는 원래 방정식에 하나의 근이 있기 때문에 제외되어야 합니다.
결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 구간을 얻습니다.

실제로는 유사한 작업이 많이 있으므로 작업을 직접 파악하려고 노력하고 상호 배타적인 조건을 고려하는 것을 잊지 마십시오. 이차 방정식을 풀기 위한 공식을 잘 연구하십시오. 이 공식은 다양한 문제와 과학의 계산에 종종 필요합니다.

이 기사를 공부한 후에 완전한 이차 방정식의 근을 찾는 방법을 배우게 되기를 바랍니다.

판별식을 사용하면 완전한 이차 방정식만 풀 수 있으며, 불완전한 이차 방정식을 풀려면 "불완전한 이차 방정식 풀기" 기사에서 찾을 수 있는 다른 방법이 사용됩니다.

완전하다고 불리는 이차 방정식은 무엇입니까? 이것 ax 2 + b x + c = 0 형식의 방정식여기서 계수 a, b 및 c는 0이 아닙니다. 따라서 완전한 이차 방정식을 풀려면 판별식 D를 계산해야 합니다.

D = b 2 – 4ac.

판별식의 값에 따라 답을 적어보겠습니다.

판별식이 음수인 경우(D< 0),то корней нет.

판별식이 0이면 x = (-b)/2a입니다. 판별식이 양수(D > 0)인 경우,

그러면 x 1 = (-b - √D)/2a이고 x 2 = (-b + √D)/2a입니다.

예를 들어. 방정식을 풀어보세요 x 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

답: 2.

방정식 2 풀기 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 = - 23

답: 뿌리가 없다.

방정식 2 풀기 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

답변: - 3.5; 1.

그러면 그림 1의 다이어그램을 사용하여 완전한 이차 방정식의 해를 상상해 봅시다.

이 공식을 사용하면 완전한 이차 방정식을 풀 수 있습니다. 그냥 조심하면 돼요 방정식은 다항식으로 작성되었습니다. 표준보기

ㅏ x 2 +bx+c,그렇지 않으면 실수를 할 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 x + 3 + 2x 2 = 0을 작성할 때 실수로 다음과 같이 결정할 수 있습니다.

a = 1, b = 3, c = 2. 그러면

D = 3 2 – 4 1 2 = 1이고 방정식에는 두 개의 근이 있습니다. 그리고 이것은 사실이 아닙니다. (위의 예 2에 대한 해결 방법 참조)

따라서 방정식이 표준형의 다항식으로 작성되지 않으면 먼저 완전한 이차 방정식을 표준형의 다항식으로 작성해야 합니다(가장 큰 지수를 갖는 단항식이 먼저 와야 합니다. 즉, ㅏ x 2 , 그런 다음 더 적은 – bx그리고 무료 회원 와 함께.

축소된 이차 방정식과 두 번째 항의 계수가 짝수인 이차 방정식을 풀 때 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 이 공식에 대해 알아 봅시다. 완전한 2차 방정식에서 두 번째 항의 계수가 짝수(b = 2k)인 경우 그림 2의 다이어그램에 표시된 공식을 사용하여 방정식을 풀 수 있습니다.

계수가 다음인 경우 완전한 이차 방정식을 축소라고 합니다. x 2 는 1과 같고 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x 2 + px + q = 0. 이러한 방정식은 해법으로 주어질 수도 있고 방정식의 모든 계수를 계수로 나누어 얻을 수도 있습니다. ㅏ, 서 있는 x 2 .

그림 3은 축소제곱을 풀기 위한 다이어그램을 보여줍니다.
방정식. 이 기사에서 논의된 공식을 적용한 예를 살펴보겠습니다.