§1. 시스템 선형 방정식.

시스템 보기

시스템이라고 불리는 미디엄선형 방정식 N알려지지 않은.

여기
- 알려지지 않은, - 미지수에 대한 계수,
- 방정식의 자유 항.

방정식의 모든 자유 항이 0과 같으면 시스템을 동종의.결정시스템을 숫자 집합이라고 합니다.
, 미지수 대신 시스템에 대입하면 모든 방정식이 항등식으로 바뀝니다. 시스템이라고 합니다 관절적어도 하나의 솔루션이 있는 경우. 단일 솔루션을 갖는 공동 시스템을 특정... 두 시스템을 호출 동등한솔루션 세트가 일치하는 경우.

시스템 (1)은 다음 방정식을 사용하여 행렬 형식으로 나타낼 수 있습니다.

(2)

.

§2. 선형 방정식 시스템의 호환성.

시스템 (1)의 확장 행렬을 행렬이라고 합니다.

크로네커 - 카펠리 정리... 시스템 (1)은 시스템 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같은 경우에만 일관성이 있습니다.

.

§삼. 시스템 솔루션N 선형 방정식N 알려지지 않은.

이질적인 시스템 고려 N선형 방정식 N알려지지 않은:

(3)

크래머의 정리.시스템의 주요 결정 요인인 경우(3)
, 시스템에는 다음 공식에 의해 결정된 고유 솔루션이 있습니다.

저것들.
,

어디 - 행렬식에서 얻은 행렬식 바꿔 놓음 무료 회원 열당 th 열.

만약에
, 및 다음 중 하나 이상 ≠ 0이면 시스템에 솔루션이 없습니다.

만약에
, 그러면 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

시스템 (3)은 행렬 표기법 (2)를 사용하여 풀 수 있습니다. 행렬의 순위가 NS와 동등하다 N, 즉.
, 행렬 NS반대가있다
... 행렬 방정식을 곱하여
매트릭스에
왼쪽에서 우리는 다음을 얻습니다.

.

마지막 등식은 역행렬을 사용하여 선형 연립방정식을 푸는 방법을 나타냅니다.

예시.역행렬을 사용하여 연립방정식을 풉니다.

해결책. 행렬
비-퇴화, 이후
, 따라서 역행렬이 있습니다. 역행렬을 계산해 보겠습니다.
.

,

연습... Cramer의 방법으로 시스템을 풉니다.

§4. 선형 방정식의 임의 시스템 풀기.

형식 (1)의 선형 방정식의 비균일 시스템이 주어집니다.

시스템이 호환된다고 가정합니다. Kronecker-Capelli 정리의 조건은 다음과 같이 충족됩니다.
... 행렬의 순위가
(알 수 없는 수), 시스템에는 고유한 솔루션이 있습니다. 만약에
, 그러면 시스템에는 무한히 많은 솔루션이 있습니다. 우리가 설명하자.

행렬의 순위를 보자 NS(NS)= NS< N... 하는 한
, 0이 아닌 소수의 순서가 있습니다. NS... 기본 마이너라고 합시다. 계수가 기본 마이너를 형성하는 미지수를 기본 변수라고 합니다. 나머지 미지수를 자유 변수라고 합니다. 이 소수가 시스템 행렬의 왼쪽 상단 모서리에 위치하도록 방정식을 재정렬하고 변수 번호를 다시 매기겠습니다.

.

첫번째 NS선은 선형 독립이고 나머지는 선을 통해 표현됩니다. 따라서 이러한 선(방정식)은 버릴 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

자유 변수에 임의의 숫자 값을 지정해 보겠습니다. 왼쪽에는 기본 변수만 남기고 자유 변수는 오른쪽으로 옮깁니다.

시스템을 얻었다 NS선형 방정식 NS알 수 없음, 행렬식이 0과 다릅니다. 고유한 솔루션이 있습니다.

이 시스템을 선형 방정식 시스템의 일반 솔루션(1)이라고 합니다. 그렇지 않으면: 자유 변수에 대한 기본 변수의 표현이 호출됩니다. 공통의 결정시스템. 그것에서 당신은 무한 세트를 얻을 수 있습니다 개인 솔루션, 자유 변수에 임의의 값을 제공합니다. 자유 변수의 0 값에 대한 일반 솔루션에서 얻은 특정 솔루션을 호출합니다. 기본 솔루션... 서로 다른 기본 솔루션의 수는 다음을 초과하지 않습니다.
... 음이 아닌 성분이 있는 기본 솔루션을 지원시스템 솔루션.

예시.

,NS=2.

변수
- 기초적인,
- 무료.

방정식을 추가해 보겠습니다. 표현하다
건너서
:

- 공통의 결정.

- 특정 솔루션
.

- 기본 솔루션, 참조.

§5. 가우스 방법.

가우스의 방법은 선형 방정식의 임의 시스템을 연구하고 풀기 위한 보편적인 방법입니다. 시스템의 동등성을 위반하지 않는 기본 변환을 사용하여 미지수를 연속적으로 제거하여 시스템을 대각선(또는 삼각형) 형태로 줄이는 것으로 구성됩니다. 변수가 계수가 1인 시스템의 한 방정식에만 포함된 경우 제외된 것으로 간주됩니다.

기본 변환시스템은 다음과 같습니다.

방정식에 0이 아닌 숫자를 곱합니다.

다른 방정식으로 임의의 숫자를 곱한 방정식의 추가;

방정식의 재배열;

방정식 0 = 0을 삭제합니다.

기본 변환은 방정식이 아니라 결과 등가 시스템의 확장 행렬에 대해 수행할 수 있습니다.

예시.

해결책.시스템의 확장 행렬을 작성해 보겠습니다.

.

기본 변환을 수행하여 행렬의 왼쪽을 단위 형식으로 가져옵니다. 주 대각선에는 단위가 생성되고 외부에는 0이 생성됩니다.

논평... 기본 변환을 수행할 때 0 형식의 방정식이 = ~에(어디 NS0), 그러면 시스템이 일관성이 없습니다.

미지수의 연속 제거 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 솔루션은 다음 형식으로 공식화될 수 있습니다. 테이블.

테이블의 왼쪽 열에는 제외된(기본) 변수에 대한 정보가 포함됩니다. 나머지 열에는 미지수의 계수와 방정식의 자유 항이 포함됩니다.

시스템의 확장 행렬은 원래 테이블에 기록됩니다. 다음으로 요르단 변환을 수행하기 시작합니다.

1. 변수 선택 , 기준이 됩니다. 해당 열을 키 열이라고 합니다. 이 변수가 남아 있는 방정식이 선택되고 다른 방정식에서 제외됩니다. 테이블의 해당 행을 키 행이라고 합니다. 계수 , 키 행과 키 열의 교차점에 서 있는 키를 키라고 합니다.

2. 키 라인의 요소는 키 요소로 나뉩니다.

3. 키 열은 0으로 채워집니다.

4. 나머지 요소는 직사각형 규칙에 따라 계산됩니다. 키 요소와 반대 정점에서 다시 계산되는 요소로 직사각형을 만듭니다. 키 요소가 있는 사각형의 대각선에 있는 요소의 곱에서 다른 대각선 요소의 곱을 빼고 결과 차이를 키 요소로 나눕니다.

예시. 연립방정식에 대한 일반 솔루션과 기본 솔루션을 찾습니다.

해결책.

시스템의 일반적인 솔루션:

기본 솔루션:
.

시스템의 한 기저에서 다른 기저로의 전환은 단일 대체의 변환을 허용합니다. 주요 변수 중 하나 대신 자유 변수 중 하나가 기저에 도입됩니다. 이를 위해 자유 변수의 열에서 키 요소를 선택하고 위의 알고리즘에 따라 변환을 수행합니다.

§6. 지원 솔루션 찾기

선형 연립방정식의 기본 해는 음의 성분을 포함하지 않는 기본 해입니다.

시스템의 지원 솔루션은 다음과 같은 조건에서 가우스 방법으로 구합니다.

1. 원래 시스템에서 모든 자유 항은 음수가 아니어야 합니다.
.

2. 키 요소는 양의 계수 중에서 선택됩니다.

3. 기준에 도입된 변수에 대해 여러 개의 양수 계수가 있는 경우 키 행은 양수 계수에 대한 자유 항의 비율이 가장 작은 행을 사용합니다.

비고 1... 미지수를 제거하는 과정에서 모든 계수가 양수가 아닌 방정식이 나타나고 자유 항은
, 시스템에 음이 아닌 솔루션이 없습니다.

비고 2... 자유 변수에 대한 계수 열에 양의 요소가 없으면 다른 참조 솔루션으로의 전환이 불가능합니다.

예시.

미지수의 연속 소거법이라고도 하는 가우스의 방법은 다음과 같다. 기본 변환의 도움으로 선형 방정식 시스템은 계수 행렬이 사다리꼴(삼각형 또는 계단형과 동일) 또는 사다리꼴에 가깝습니다(가우스 방법의 직접 이동, 더 나아가 - 단지 직접 이동). 이러한 시스템과 그 솔루션의 예는 위의 그림에 있습니다.

이러한 시스템에서 마지막 방정식에는 하나의 변수만 포함되며 그 값을 명확하게 찾을 수 있습니다. 그런 다음 이 변수의 값은 이전 방정식( 역방향 가우스 방법 , 그 다음 역순), 이전 변수가 발견된 것 등입니다.

사다리꼴(삼각형) 시스템에서 볼 수 있듯이 세 번째 방정식에는 더 이상 변수가 포함되지 않습니다. 와이그리고 NS, 두 번째 방정식은 변수 NS .

시스템의 행렬이 사다리꼴 모양을 취한 후에는 시스템의 호환성 문제를 이해하고 솔루션 수를 결정하고 솔루션 자체를 찾는 것이 더 이상 어렵지 않습니다.

방법의 장점:

1. 방정식의 수가 3개 이상인 선형 방정식 시스템을 풀 때 Gauss 방법은 Cramer 방법만큼 번거롭지 않습니다. 왜냐하면 Gauss 방법을 풀 때 계산이 덜 필요하기 때문입니다.
2. 가우스 방법을 사용하여 선형 방정식의 부정한 시스템을 풀 수 있습니다. 즉, 일반 솔루션을 사용하고(이 단원에서 이를 분석할 것입니다) Cramer의 방법을 사용하여 시스템이 무한하다고 말할 수 있습니다.
3. 미지수의 수가 방정식의 수와 같지 않은 선형 방정식 시스템을 풀 수 있습니다(이 단원에서도 분석할 것입니다).
4. 이 방법은 초등 (학교) 방법을 기반으로합니다. 미지수의 대체 방법과 방정식을 추가하는 방법은 해당 기사에서 다루었습니다.

모든 사람이 선형 방정식의 사다리꼴(삼각형, 계단식) 시스템을 푸는 단순함에 흠뻑 젖도록 역방향 운동을 사용하여 이러한 시스템에 대한 솔루션을 제공할 것입니다. 이 시스템에 대한 빠른 솔루션은 수업 시작 부분의 그림에 나와 있습니다.

예 1.역방향 운동을 사용하여 선형 연립방정식을 풉니다.

해결책. 이 사다리꼴 시스템에서 변수 지세 번째 방정식에서 고유하게 발견됩니다. 그 값을 두 번째 방정식에 대입하고 다음을 변경하여 값을 얻습니다. 와이:

이제 우리는 두 변수의 값을 압니다. 지그리고 와이... 우리는 그것들을 첫 번째 방정식에 대입하고 변수의 값을 얻습니다. NS:

이전 단계에서 방정식 시스템에 대한 솔루션을 작성합니다.

우리가 아주 간단하게 풀었던 이러한 사다리꼴 선형 방정식 시스템을 얻으려면 선형 방정식 시스템의 기본 변환과 관련된 직접 이동을 적용해야 합니다. 또한 별로 어렵지 않습니다.

선형 방정식 시스템의 기본 변환

시스템의 방정식의 대수적 덧셈의 학교 방법을 반복하여 시스템의 다른 방정식을 시스템의 방정식 중 하나에 추가할 수 있고 각 방정식에 몇 개의 숫자를 곱할 수 있음을 발견했습니다. 결과적으로 주어진 것과 동일한 선형 방정식 시스템을 얻습니다. 그 안에 하나의 방정식에는 이미 하나의 변수만 포함되어 있고 그 값을 다른 방정식으로 대체하여 솔루션에 도달합니다. 이러한 추가는 시스템의 기본 변환 유형 중 하나입니다. 가우스 방법을 사용할 때 여러 유형의 변환을 사용할 수 있습니다.

위의 애니메이션은 연립방정식이 점차 사다리꼴로 변하는 과정을 보여줍니다. 즉, 첫 번째 애니메이션에서 보았고 모든 미지수의 값을 쉽게 찾을 수 있음을 스스로 확인했습니다. 이러한 변환을 수행하는 방법과 물론 예제에 대해 더 자세히 설명합니다.

방정식 시스템과 시스템의 확장 행렬에서 방정식과 미지수가 있는 선형 방정식 시스템을 풀 때 ~ 할 수있다:

1. 줄을 재정렬합니다(이 기사의 맨 처음에 언급됨).
2. 다른 변환의 결과로 동일하거나 비례하는 행이 나타나면 하나만 제외하고 삭제할 수 있습니다.
3. 모든 계수가 0인 "0" 줄을 삭제합니다.
4. 어떤 숫자로 곱하거나 나눌 문자열;
5. 어떤 줄에 어떤 숫자를 곱한 다른 줄을 추가하십시오.

변환의 결과로 이와 동일한 선형 방정식 시스템을 얻습니다.

가우스 방법으로 정방 행렬을 사용하여 선형 방정식 시스템을 푸는 알고리즘 및 예

먼저 미지수의 수가 방정식의 수와 동일한 선형 방정식 시스템의 솔루션을 고려합시다. 이러한 시스템의 행렬은 정사각형입니다. 즉, 행 수는 열 수와 같습니다.

예 2.가우스 방법으로 선형 연립방정식 풀기

학교 방법을 사용하여 선형 방정식의 시스템을 풀 때 방정식 중 하나에 특정 숫자를 곱하여 두 방정식에서 첫 번째 변수의 계수가 반대 숫자가 되도록 했습니다. 방정식을 추가하면 이 변수가 제거됩니다. 가우스 방법도 비슷한 방식으로 작동합니다.

단순화하기 위해 모습솔루션 시스템의 확장 행렬을 구성합니다.:

이 행렬에서 세로 막대 앞 왼쪽에는 미지수에 대한 계수가 있고 세로 막대 뒤 오른쪽에는 자유항이 있습니다.

변수의 계수를 쉽게 나누기 위해(1로 나누기 위해) 시스템 행렬의 첫 번째 행과 두 번째 행을 교환합니다.... 선형 방정식 시스템에서 방정식이 다음 위치에서 재배열될 수 있기 때문에 주어진 시스템과 동일한 시스템을 얻습니다.

새로운 첫 번째 방정식 사용 변수 제외 NS두 번째 및 모든 후속 방정식에서... 이렇게 하려면 행렬의 두 번째 행에 첫 번째 행에 (이 경우에는) 곱하고 첫 번째 행에 (이 경우에는) 세 번째 행에 곱한 값을 추가합니다.

이것은 이후부터 가능하다

방정식 시스템이 3개 이상인 경우 첫 번째 행을 모든 후속 방정식에 추가하고 해당 계수의 비율을 빼기 기호로 곱한 값을 곱해야 합니다.

결과적으로 우리는 이 시스템에 해당하는 행렬을 얻습니다. 새로운 시스템두 번째부터 시작하는 모든 방정식이 포함된 방정식 변수를 포함하지 않음 NS :

결과 시스템의 두 번째 행을 단순화하기 위해 이를 곱하고 이 시스템과 동일한 방정식 시스템의 행렬을 다시 얻습니다.

이제 결과 시스템의 첫 번째 방정식을 변경하지 않고 유지하면 두 번째 방정식을 사용하여 변수를 제외합니다. 와이 모든 후속 방정식에서. 이렇게 하려면 시스템 행렬의 세 번째 행에 두 번째 행에 (이 경우에는) 곱한 값을 추가합니다.

우리의 방정식 시스템에 3 개 이상이면 두 번째 행을 모든 후속 방정식에 추가하고 해당 계수의 비율을 빼기 기호로 곱해야합니다.

결과적으로 주어진 선형 방정식 시스템과 동일한 시스템의 행렬을 다시 얻습니다.

우리는 선형 방정식의 주어진 사다리꼴 시스템과 동등한 것을 얻었습니다:

방정식과 변수의 수가 이 예보다 많으면 데모 예에서와 같이 시스템 행렬이 사다리꼴이 될 때까지 변수의 연속적인 제거 프로세스가 계속됩니다.

우리는 "끝에서"해법을 찾을 것입니다 - 역 코스... 이를 위해 우리가 정의한 마지막 방정식에서 지:
.
이 값을 이전 방정식에 대입하면 찾기 와이:

첫 번째 방정식에서 찾기 NS:

답: 이 연립방정식의 해는 다음과 같습니다. .

: 이 경우 시스템에 명확한 솔루션이 있으면 동일한 답변이 반환됩니다. 시스템에 무한한 수의 솔루션이 있는 경우 이것이 답이 될 것이며 이것이 이 강의의 다섯 번째 부분의 주제입니다.

가우스 방법으로 선형 연립방정식을 직접 풀고 솔루션 보기

우리 앞에는 방정식의 수가 미지수의 수와 동일한 선형 방정식의 공동 및 명확한 시스템의 예가 다시 있습니다. 알고리즘의 데모 예제와 다른 점은 이미 4개의 방정식과 4개의 미지수가 있다는 것입니다.

예 4.가우스 방법으로 선형 방정식 시스템을 풉니다.

이제 두 번째 방정식을 사용하여 후속 방정식에서 변수를 제외해야 합니다. 수행하자 준비 작업... 계수의 비율을 보다 편리하게 사용하려면 두 번째 행의 두 번째 열에 단위를 가져와야 합니다. 이렇게 하려면 두 번째 줄에서 세 번째 줄을 빼고 결과 두 번째 줄에 -1을 곱합니다.

이제 세 번째 및 네 번째 방정식에서 변수의 실제 제거를 수행해 보겠습니다. 이렇게하려면 세 번째 줄에 두 번째를 곱하고 네 번째 줄에 두 번째를 곱합니다.

이제 세 번째 방정식을 사용하여 네 번째 방정식에서 변수를 제거합니다. 이렇게하려면 네 번째 줄에 세 번째를 곱한 값을 더하십시오. 확장된 사다리꼴 행렬을 얻습니다.

에 해당하는 방정식 시스템이 얻어졌습니다. 이 시스템:

결과적으로 얻은 시스템과 주어진 시스템은 일관되고 명확합니다. 우리는 "끝에서" 최종 해결책을 찾습니다. 네 번째 방정식에서 변수 "x 네 번째"의 값을 직접 표현할 수 있습니다.

이 값을 시스템의 세 번째 방정식에 대입하고 다음을 얻습니다.

,

,

마지막으로 값 대체

첫 번째 방정식은

,

여기서 "x 먼저"를 찾습니다.

답변: 이 연립방정식에는 고유한 솔루션이 있습니다. .

Cramer의 방법으로 해결하는 계산기에서 시스템의 솔루션을 확인할 수도 있습니다. 이 경우 시스템에 명확한 솔루션이 있으면 동일한 답변이 제공됩니다.

합금에 대한 문제의 예에 의한 응용 문제의 가우스 방법에 의한 솔루션

선형 방정식 시스템은 물리적 세계의 실제 객체를 모델링하는 데 사용됩니다. 합금의 경우 이러한 문제 중 하나를 해결합시다. 유사한 작업 - 혼합물, 비용 또는 비중상품 그룹의 개별 상품 등.

예 5. 3개의 합금 조각의 총 중량은 150kg입니다. 첫 번째 합금은 60% 구리, 두 번째 합금은 30%, 세 번째 합금은 10%를 포함합니다. 또한, 두 번째 및 세 번째 합금을 합치면 구리가 첫 번째 합금보다 28.4kg, 세 번째 합금에서 구리가 두 번째보다 6.2kg 적습니다. 각 합금 조각의 질량을 찾으십시오.

해결책. 선형 방정식 시스템을 구성합니다.

두 번째 및 세 번째 방정식에 10을 곱하면 등가 선형 방정식 시스템을 얻을 수 있습니다.

확장된 시스템 매트릭스를 구성합니다.

주의, 직접 코스. 시스템의 확장된 행렬로 한 행에 숫자를 곱한 값(두 번 적용)을 더하면(이 경우 빼기) 다음 변환이 발생합니다.

직접 이동이 종료되었습니다. 확장된 사다리꼴 행렬을 받았습니다.

우리는 역동작을 적용합니다. 우리는 끝에서 해결책을 찾습니다. 우리는 그것을 본다.

두 번째 방정식에서 우리는

세 번째 방정식에서 -

Cramer의 방법으로 해결하는 계산기에서 시스템의 솔루션을 확인할 수도 있습니다. 이 경우 시스템에 명확한 솔루션이 있으면 동일한 답변이 제공됩니다.

가우스 방법의 단순성은 독일 수학자 칼 프리드리히 가우스가 그것을 발명하는 데 15분밖에 걸리지 않았다는 사실에 의해 입증됩니다. 그의 이름의 방법 외에도 Gauss의 작업에서 "우리는 우리에게 믿을 수없고 부자연스러워 보이는 것과 절대 불가능한 것을 혼합해서는 안됩니다"라는 말 - 일종의 짧은 지시발견하기 위해.

많은 응용 문제에서 세 번째 제약 조건, 즉 세 번째 방정식이 없을 수 있으므로 가우스 방법으로 3개의 미지수가 있는 2개의 방정식 시스템을 풀어야 하거나 반대로 미지수가 방정식보다 적습니다. 우리는 이제 그러한 방정식 시스템의 솔루션으로 진행할 것입니다.

가우스 방법을 사용하여 시스템이 호환되는지 여부를 설정할 수 있습니다. N선형 방정식 N변수.

가우스 방법 및 무한한 솔루션 세트가 있는 선형 방정식 시스템

다음 예는 일관되지만 정의되지 않은 선형 방정식 시스템, 즉 무한한 솔루션 세트를 갖는 것입니다.

시스템의 확장된 행렬에서 변환을 수행한 후(행 재배열, 행을 일부 숫자로 곱 및 나누기, 한 행에 다른 행 추가) 형식의 행

다음 형식을 갖는 모든 방정식에서

자유 항은 0과 같습니다. 이것은 시스템이 무한하다는 것을 의미합니다. 즉, 무한한 솔루션 세트를 가지며 이러한 유형의 방정식은 "불필요"하며 시스템에서 제외합니다.

예 6.

해결책. 시스템의 확장 행렬을 구성해 보겠습니다. 그런 다음 첫 번째 방정식을 사용하여 후속 방정식에서 변수를 제외합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 줄을 두 번째, 세 번째 및 네 번째 줄에 추가하고 다음을 곱합니다.

이제 세 번째와 네 번째 줄에 두 번째 줄을 추가합니다.

결과적으로 우리는 시스템에 도달합니다.

마지막 두 방정식은 형식의 방정식으로 바뀌었습니다. 이 방정식은 미지수의 모든 값에 대해 충족되며 버릴 수 있습니다.

두 번째 방정식을 만족시키기 위해 임의의 값을 선택할 수 있으며, 그러면 에 대한 값이 이미 명확하게 결정됩니다. ... 첫 번째 방정식에서 에 대한 값도 명확하게 찾을 수 있습니다. .

주어진 시스템과 후자의 시스템은 모두 호환 가능하지만 정의되지 않으며 공식

임의적이며 주어진 시스템의 모든 솔루션을 제공합니다.

가우스 방법 및 해가 없는 선형 방정식 시스템

다음 예는 일관성 없는 선형 방정식 시스템입니다. 즉, 솔루션이 없습니다. 이러한 문제에 대한 답은 다음과 같이 공식화됩니다. 시스템에는 솔루션이 없습니다.

첫 번째 예와 관련하여 이미 언급했듯이 시스템의 확장 행렬에서 변환을 수행한 후 다음 형식의 행

형식의 방정식에 해당

그 중 0이 아닌 자유 항(즉)이 있는 방정식이 하나 이상 있으면 이 방정식 시스템은 일관성이 없습니다. 즉, 솔루션이 없으며 이로써 솔루션이 완성됩니다.

예 7.가우스 방법으로 선형 방정식 시스템을 풉니다.

해결책. 우리는 시스템의 확장 행렬을 구성합니다. 첫 번째 방정식을 사용하여 후속 방정식에서 변수를 제외합니다. 이렇게하려면 두 번째 줄에 첫 번째를 곱하고 세 번째 줄에 - 첫 번째, 곱한, 네 번째 - 첫 번째에 곱한 값을 추가하십시오.

이제 두 번째 방정식을 사용하여 후속 방정식에서 변수를 제외해야 합니다. 계수의 정수 비율을 얻기 위해 시스템의 확장 행렬의 두 번째 행과 세 번째 행을 바꿉니다.

세 번째 및 네 번째 방정식에서 제거하려면 세 번째 행에 두 번째에 곱한 값을 더하고 두 번째에 곱한 값을 더합니다.

이제 세 번째 방정식을 사용하여 네 번째 방정식에서 변수를 제거합니다. 이렇게하려면 네 번째 줄에 세 번째를 곱한 값을 추가하십시오.

따라서 주어진 시스템은 다음과 동일합니다.

마지막 방정식은 미지수 값으로 만족할 수 없기 때문에 결과 시스템은 일관성이 없습니다. 따라서 이 시스템에는 솔루션이 없습니다.

이 수학 프로그램을 사용하면 대입 방법과 덧셈 방법을 사용하여 두 개의 변수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템을 풀 수 있습니다.

프로그램은 문제에 대한 답을 제시할 뿐만 아니라 상세한 솔루션대체 방법과 추가 방법의 두 가지 방법으로 솔루션 단계에 대한 설명과 함께.

이 프로그램은 고등학교를 준비하는 고등학생에게 유용할 수 있습니다. 제어 작업그리고 시험, 시험 전에 지식을 확인할 때, 부모는 수학 및 대수에서 많은 문제의 해결을 제어합니다. 아니면 교사를 고용하거나 새 교과서를 구입하는 데 너무 비용이 많이 듭니까? 아니면 가능한 한 빨리 하고 싶습니까? 숙제수학이나 대수학에서? 이 경우 자세한 솔루션으로 당사 프로그램을 사용할 수도 있습니다.

이런 식으로, 당신은 자신의 가르침 및 / 또는 동생의 가르침을 수행 할 수 있으며, 해결되는 문제 분야의 교육 수준이 높아집니다.

방정식 입력 규칙

모든 라틴 문자를 변수로 사용할 수 있습니다.
예: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) 등

방정식을 입력할 때 대괄호를 사용할 수 있습니다... 이 경우 방정식이 먼저 단순화됩니다. 단순화 후 방정식은 선형이어야 합니다. 요소 순서의 정확도로 ax + by + c = 0 형식입니다.
예: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

방정식에서는 정수뿐만 아니라 소수 및 일반 분수 형태의 분수도 사용할 수 있습니다.

소수점 이하 자릿수 입력 규칙.
전체 및 분수 부분 V 소수점이나 쉼표로 구분할 수 있습니다.
예: 2.1n + 3.5m = 55

일반 분수 입력 규칙.
정수만 분자, 분모 및 분수의 전체 부분으로 사용할 수 있습니다.
분모는 음수일 수 없습니다.
숫자 분수를 입력할 때 분자는 나누기 기호로 분모와 구분됩니다. /
전체 부분은 앰퍼샌드로 분수와 구분됩니다. &

예.
-1 & 2 / 3년 + 5 / 3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2 & 1 / 8q)

연립방정식 풀기

이 문제를 해결하는 데 필요한 일부 스크립트가 로드되지 않아 프로그램이 작동하지 않을 수 있습니다.
아마도 AdBlock을 활성화했을 것입니다.
이 경우 비활성화하고 페이지를 새로 고칩니다.

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솔루션이 나타나려면 JavaScript를 활성화해야 합니다.
다음은 브라우저에서 JavaScript를 활성화하는 방법에 대한 지침입니다.

때문에 문제를 해결하려는 많은 사람들이 있으며 귀하의 요청이 대기열에 있습니다.
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약간의 이론.

선형 방정식 풀이 시스템. 대체 방법

대체 방법으로 선형 방정식 시스템을 풀 때 일련의 작업:
1) 시스템의 일부 방정식에서 다른 변수를 통해 하나의 변수를 표현합니다.
2) 얻은 식을 이 변수 ​​대신 시스템의 다른 방정식에 대입합니다.

$$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ 끝(배열) \ 오른쪽. $$

첫 번째 방정식에서 y를 x로 표현해 보겠습니다: y = 7-3x. 표현식 7-Зx를 y 대신 두 번째 방정식에 대입하면 다음과 같은 시스템을 얻을 수 있습니다.
$$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ 끝(배열) \ 오른쪽 $$

첫 번째 시스템과 두 번째 시스템이 동일한 솔루션을 가지고 있음을 쉽게 보여줍니다. 두 번째 시스템에서 두 번째 방정식에는 변수가 하나만 포함됩니다. 이 방정식을 풀자:
$$ -5x + 2(7-3x) = 3 \ 오른쪽 화살표 -5x + 14-6x = 3 \ 오른쪽 화살표 -11x = -11 \ 오른쪽 화살표 x = 1 $$

x 대신 y = 7-3x 등식에 숫자 1을 대입하면 해당하는 y 값을 찾습니다.
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ 오른쪽 화살표 y = 4 $$

쌍(1, 4) - 시스템 솔루션

해가 같은 두 변수의 연립방정식을 ~에 해당하는... 솔루션이 없는 시스템도 동등한 것으로 간주됩니다.

덧셈법으로 선형 방정식 풀기

선형 방정식 시스템을 푸는 또 다른 방법인 덧셈을 고려하십시오. 이 방법으로 시스템을 풀 때와 대체 방법으로 풀 때 우리는 이 시스템에서 방정식 중 하나에 하나의 변수만 포함하는 이와 동등한 다른 시스템으로 전달합니다.

덧셈 방법으로 선형 방정식 시스템을 풀 때 일련의 동작:
1) 시스템 항의 방정식을 항으로 곱하고 변수 중 하나에 대한 계수가 반대 수가 되도록 요인을 선택합니다.
2) 시스템 방정식의 좌변과 우변에 항을 추가합니다.
3) 하나의 변수로 결과 방정식을 풉니다.
4) 두 번째 변수의 해당 값을 찾습니다.

예시. 연립방정식을 풀자:
$$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ 끝(배열) \ 오른쪽. $$

이 시스템의 방정식에서 y의 계수는 반대 숫자입니다. 방정식의 좌변과 우변을 항별로 더하면 하나의 변수가 3x = 33인 방정식을 얻습니다. 시스템의 방정식 중 하나(예: 첫 번째)를 방정식 3x = 33으로 바꿉니다. 우리는 시스템을 얻는다
$$ \ 왼쪽 \ (\ 시작(배열) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ 끝(배열) \ 오른쪽. $$

방정식 3x = 33에서 x = 11임을 알 수 있습니다. 이 x 값을 방정식 \ (x-3y = 38 \)에 대입하면 변수 y가 있는 방정식을 얻습니다. \ (11-3y = 38 \). 이 방정식을 풀자:
\ (- 3y = 27 \ 오른쪽 화살표 y = -9 \)

따라서 우리는 덧셈 방법으로 연립방정식의 해를 찾았습니다. \ (x = 11; y = -9 \) 또는 \ ((11; -9) \)

시스템의 방정식에서 y의 계수가 반대 숫자라는 사실을 이용하여 등가 시스템의 솔루션으로 솔루션을 축소했습니다(원래 대칭의 각 방정식의 양변을 합산). 방정식의 에는 하나의 변수만 포함됩니다.

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선형 방정식 시스템

I. 문제에 대한 설명.

Ⅱ. 동종 및 이종 시스템의 호환성.

III. 체계 NS방정식 NS알려지지 않은. 크래머의 법칙.

IV. 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법.

V. 가우스 방법.

I. 문제 진술.

형식의 방정식 시스템

시스템이라고 불리는 미디엄선형 방정식 N알려지지 않은
... 이 시스템의 방정식 계수는 행렬 형태로 작성됩니다.

라고 불리는 시스템 매트릭스 (1).

방정식의 오른쪽에 있는 숫자는 무료 회원 열 {NS}:

.

열( NS}={0 ), 방정식 시스템은 동종의... 그렇지 않으면 ( NS}≠{0 ) - 시스템 이질적인.

선형 방정식 시스템(1)은 행렬 형식으로 작성할 수 있습니다.

[NS]{NS}={NS}. (2)

여기 - 미지의 열.

방정식 (1)의 시스템을 푸는 것은 집합을 찾는 것을 의미합니다 N 숫자
미지수 대신 시스템 (1)로 대체될 때
시스템의 각 방정식은 항등식이 됩니다. 숫자
연립방정식의 해라고 합니다.

선형 방정식 시스템은 하나의 솔루션을 가질 수 있습니다.

,

수많은 솔루션을 가질 수 있습니다

해결책이 전혀 없거나

.

해가 없는 연립방정식을 일관성없는... 연립방정식의 해가 하나 이상 있으면 이를 관절... 방정식 시스템은 특정고유한 솔루션이 있는 경우 찾으시는 주소가 없습니다수많은 솔루션이 있다면.

Ⅱ. 동종 및 이종 시스템의 호환성.

선형 방정식 (1) 시스템의 호환성 조건은 다음과 같이 공식화됩니다. 크로네커-카펠리 정리: 선형 방정식 시스템은 시스템 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같은 경우에만 적어도 하나의 솔루션을 갖습니다.
.

시스템의 확장 행렬은 오른쪽에 있는 자유 항의 열을 할당하여 시스템의 행렬에서 얻은 행렬입니다.

.

만약 Rg NSNS*, 그러면 연립방정식이 일치하지 않습니다.

Kronecker-Capelli 정리에 따른 균질 선형 방정식 시스템은 항상 일관됩니다. 방정식의 수가 미지수의 수와 같은 동종 시스템의 경우, 즉, 티 = n... 그러한 시스템의 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우, 즉
, 동종 시스템에는 사소한(0) 고유 솔루션이 있습니다. 균질 시스템은 시스템의 방정식 중 선형 종속 항목이 있는 경우 무한한 수의 솔루션을 갖습니다.
.

예시. 3개의 미지수가 있는 3개의 선형 방정식으로 구성된 동종 시스템을 고려하십시오.

솔루션의 수에 대한 질문을 조사하십시오. 각 방정식은 원점을 통과하는 평면의 방정식으로 간주될 수 있습니다( NS=0 ). 연립방정식은 세 평면이 한 점에서 모두 교차할 때 고유한 솔루션을 갖습니다. 또한 법선 벡터는 동일 평면이 아니므로 조건

.

이 경우 시스템의 솔루션 NS=0, 와이=0, 지=0 .

세 평면 중 적어도 두 개(예: 첫 번째 및 두 번째 평면)가 평행한 경우, 즉 , 그러면 시스템 행렬의 행렬식이 0이고 시스템에는 무한한 솔루션 세트가 있습니다. 또한 솔루션은 좌표가 될 것입니다 NS, 와이, 지선에 있는 모든 점의

세 평면이 모두 일치하면 방정식 시스템은 하나의 방정식으로 축소됩니다.

,

솔루션은 이 평면에 있는 모든 점의 좌표가 됩니다.

선형 방정식의 비균질 시스템을 연구할 때 호환성 문제는 Kronecker-Capelli 정리를 사용하여 해결됩니다. 그러한 시스템의 방정식 수가 미지수의 수와 같으면 시스템의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템은 고유한 솔루션을 갖습니다. 그렇지 않으면 시스템이 일관성이 없거나 수많은 솔루션이 있습니다.

예시... 두 개의 미지수가 있는 두 방정식의 비균일 시스템을 조사해 보겠습니다.

.

시스템의 방정식은 평면에 있는 두 직선의 방정식으로 간주할 수 있습니다. 선이 평행할 때 시스템은 일관성이 없습니다.
,
... 이 경우 시스템 행렬의 순위는 1입니다.

Rg NS=1 ~부터
,

확장 행렬의 순위
세 번째 열을 포함하는 2차 마이너를 기본 마이너로 선택할 수 있기 때문에 는 2와 같습니다.

고려 중인 경우, Rg NSNS * .

선이 일치하는 경우, 즉 , 방정식 시스템에는 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 직선상의 점 좌표
... 이 경우 Rg NS= Rg NS * =1.

시스템은 선이 평행하지 않은 경우, 즉
... 이 시스템의 솔루션은 직선 교차점의 좌표입니다.

III. 체계NS 방정식NS 알려지지 않은. 크래머의 법칙.

시스템의 방정식 수가 미지수의 수와 같은 가장 간단한 경우를 고려하십시오. 미디엄= N... 시스템 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 시스템에 대한 솔루션은 Cramer의 규칙으로 찾을 수 있습니다.

(3)

여기
- 시스템의 행렬의 결정자,

[에서 얻은 행렬의 행렬식입니다. NS] 교체 NS무료 회원 열당 th 열:

.

예시... Cramer의 방법으로 연립방정식을 풉니다.

해결책 :

1) 시스템의 행렬식 찾기

2) 보조 행렬식 찾기

3) Cramer의 규칙에 따라 시스템에 대한 솔루션을 찾습니다.

솔루션의 결과는 연립방정식으로 대체하여 확인할 수 있습니다.

올바른 ID를 얻습니다.

IV. 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법.

행렬 형식으로 선형 방정식 시스템을 작성해 보겠습니다. (2)

[NS]{NS}={NS}

왼쪽에 있는 관계식 (2)의 오른쪽과 왼쪽에 행렬 [ NS -1 ], 시스템 행렬의 역행렬:

[NS -1 ][NS]{NS}=[NS -1 ]{NS}. (2)

역행렬의 정의에 의해 제품 [ NS -1 ][NS]=[이자형], 그리고 단위 행렬의 속성에 의해 [ 이자형]{NS}={NS). 그런 다음 관계 (2 ")에서 우리는 다음을 얻습니다.

{NS}=[NS -1 ]{NS}. (4)

관계식 (4)는 선형 방정식 시스템을 풀기 위한 행렬 방법의 기초가 됩니다. 시스템의 역행렬을 찾고 시스템의 오른쪽 열 벡터에 왼쪽 열 벡터를 곱해야 합니다.

예시... 앞의 예에서 고려한 연립방정식을 행렬법으로 풀어보자.

시스템 매트릭스
그것의 결정적인 det NS==183 .

오른쪽 열
.

행렬을 찾으려면 [ NS -1 ], [ NS]:

또는

역행렬 계산 공식은 다음과 같습니다.
, 그 다음에

이제 시스템에 대한 솔루션을 찾을 수 있습니다.

그럼 우리는 마침내 .

V. 가우스 방법.

많은 수의 미지수에 대해 Cramer 방법 또는 행렬 방법에 의한 방정식 시스템의 솔루션은 고차 행렬식의 계산 또는 큰 행렬의 역전과 관련이 있습니다. 이러한 절차는 최신 컴퓨터에서도 매우 힘든 작업입니다. 따라서 많은 방정식의 시스템을 풀기 위해 가우스 방법이 자주 사용됩니다.

가우스의 방법은 시스템의 확장 행렬의 기본 변환에 의해 미지수를 순차적으로 제거하는 것으로 구성됩니다. 기본 행렬 변환에는 행의 순열, 행의 추가, 0 이외의 숫자로 행의 곱셈이 포함됩니다. 변환의 결과로 시스템의 행렬을 상부 삼각 행렬로 줄일 수 있으며, 그 중 주 대각선에는 1이 있고 주 대각선 아래에는 0이 있습니다. 이것은 가우스 방법의 직접적인 과정입니다. 방법의 반대는 후자부터 시작하여 미지수를 직접 결정하는 것입니다.

연립방정식을 푸는 예를 들어 가우스 방법을 설명하겠습니다.

전진 스트로크의 첫 번째 단계에서 계수는
변환된 시스템은 다음과 같았습니다. 1 , 및 계수
그리고
제로로 바뀌었다. 이렇게하려면 첫 번째 방정식을 곱하십시오. 1/10 , 두 번째 방정식에 10 첫 번째 방정식에 더하고 세 번째 방정식에 다음을 곱합니다. -10/2 그리고 첫 번째에 추가합니다. 이러한 변환 후에 우리는

두 번째 단계에서 변환 후 계수
평등해졌다 1 , 그리고 계수
... 이를 위해 두 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. 42 , 세 번째 방정식은 다음과 같이 곱합니다. -42/27 두 번째에 추가하십시오. 우리는 방정식 시스템을 얻습니다

세 번째 단계에서 계수를 얻어야 합니다.
... 이를 위해 세 번째 방정식을 다음과 같이 나눕니다. (37 - 84/27) ; 가져 오기

이 시점에서 Gauss 방법의 직접적인 과정은 종료됩니다. 시스템 행렬은 상부 삼각 행렬로 축소됩니다.

역 이동을 수행하여 미지수를 찾습니다.

선형 대수 방정식(SLAE) 시스템의 솔루션은 의심할 여지 없이 선형 대수 과정의 가장 중요한 주제입니다. 수학의 모든 분야에서 수많은 문제가 선형 방정식 시스템을 푸는 것으로 축소됩니다. 이러한 요소는 이 기사를 작성하는 이유를 설명합니다. 기사의 자료는 도움을 받아 다음을 수행할 수 있도록 선택되고 구성됩니다.

• 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 최적의 방법을 선택하고,
• 선택한 방법의 이론을 연구하고,
• 전형적인 예와 문제의 분석된 솔루션을 자세히 고려하여 선형 방정식 시스템을 풉니다.

기사 자료에 대한 간략한 설명.

먼저 필요한 모든 정의와 개념을 제공하고 표기법을 소개합니다.

다음으로, 방정식의 수가 미지의 변수의 수와 같고 고유한 해를 갖는 선형 대수 방정식의 시스템을 푸는 방법을 고려할 것입니다. 먼저 Cramer의 방법에 대해 설명하고, 두 번째로 이러한 연립방정식을 풀기 위한 행렬 방법을 보여주고, 세 번째로 Gauss 방법(미지의 변수를 연속적으로 제거하는 방법)을 분석합니다. 이론을 통합하기 위해 여러 SLAE를 다른 방식으로 확실히 해결할 것입니다.

그 후, 우리는 방정식의 수가 알려지지 않은 변수의 수와 일치하지 않거나 시스템의 주 행렬이 퇴화되는 일반 형태의 선형 대수 방정식의 시스템을 해결합니다. SLAE의 호환성을 설정할 수 있는 Kronecker - Capelli 정리를 공식화해 보겠습니다. 매트릭스의 기본 마이너 개념을 사용하여 시스템의 솔루션(호환성의 경우)을 분석해 보겠습니다. 우리는 또한 가우스 방법을 고려하고 예제의 솔루션을 자세히 설명합니다.

우리는 선형 대수 방정식의 동차 및 비균일 시스템의 일반 솔루션 구조에 대해 확실히 설명합니다. 기본 솔루션 시스템의 개념을 제공하고 기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 SLAE의 일반 솔루션을 작성하는 방법을 보여 드리겠습니다. 더 나은 이해를 위해 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

결론적으로, 우리는 SLAE가 발생하는 솔루션에서 다양한 문제뿐만 아니라 선형으로 축소되는 방정식 시스템을 고려합니다.

페이지 탐색.

정의, 개념, 명칭.

다음 형식의 n개의 알려지지 않은 변수(p는 n과 같을 수 있음)를 갖는 p 선형 대수 방정식의 시스템을 고려할 것입니다.

알 수 없는 변수, - 계수(일부 실수 또는 복소수), - 자유 항(실수 또는 복소수).

이러한 형태의 SLAE 표기법을 동등 어구.

V 매트릭스 형태표기법, 이 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
어디 - 시스템의 주 행렬 - 미지 변수의 행렬 열 - 자유 멤버의 행렬 열.

행렬 A에 (n + 1) 번째 열로 자유 항의 행렬 열을 추가하면 소위 확장 매트릭스선형 방정식 시스템. 일반적으로 확장 행렬은 문자 T로 표시되며 자유 구성원의 열은 나머지 열과 수직선으로 구분됩니다. 즉,

선형 대수 방정식 시스템을 풀면시스템의 모든 방정식을 항등식으로 변환하는 미지의 변수 값 집합입니다. 미지 변수의 주어진 값에 대한 행렬 방정식도 항등식으로 바뀝니다.

연립방정식의 해가 하나 이상 있으면 이를 관절.

연립방정식에 해가 없으면 다음과 같이 불립니다. 일관성없는.

SLAE에 고유한 솔루션이 있는 경우 특정; 솔루션이 둘 이상인 경우 - 찾으시는 주소가 없습니다.

시스템의 모든 방정식의 자유 항이 0인 경우 , 그런 다음 시스템이 호출됩니다. 동종의, 그렇지 않으면 - 이질적인.

선형 대수 방정식의 기본 시스템의 솔루션입니다.

시스템의 방정식 수가 알려지지 않은 변수의 수와 같고 주 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우 이러한 SLAE가 호출됩니다 초등학교... 이러한 방정식 시스템은 고유한 솔루션을 가지며 동차 시스템의 경우 모든 미지의 변수는 0과 같습니다.

우리는 고등학교에서 그러한 SLAE를 공부하기 시작했습니다. 풀 때 하나의 방정식을 취하고 하나의 미지의 변수를 다른 방정식으로 표현하고 나머지 방정식에 대입하고 다음 방정식을 취하고 다음 미지의 변수를 표현하고 다른 방정식에 대입하는 식입니다. 또는 그들은 덧셈 방법을 사용했습니다. 즉, 두 개 이상의 방정식을 추가하여 일부 알려지지 않은 변수를 제거했습니다. 이 방법은 실제로 가우스 방법의 수정이기 때문에 자세히 설명하지 않습니다.

선형 방정식의 기본 시스템을 푸는 주요 방법은 Cramer의 방법, 행렬 방법 및 Gauss 방법입니다. 그들을 분석합시다.

Cramer의 방법에 의한 선형 방정식의 시스템 풀기.

선형 대수 방정식 시스템을 풀어야 한다고 가정합니다.

여기서 방정식의 수는 미지 변수의 수와 같고 시스템의 주 행렬의 행렬식은 0이 아닙니다.

시스템의 주 행렬의 행렬식이라고 하고, - 다음을 대체하여 A에서 얻은 행렬의 행렬식 1번째, 2번째, ..., n번째열을 무료 회원 열로 각각:

이 표기법을 사용하여 미지 변수는 Cramer 방법의 공식에 의해 다음과 같이 계산됩니다. ... 이것이 Cramer의 방법으로 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 찾는 방법입니다.

예시.

크래머의 방법 .

해결책.

시스템의 주요 매트릭스는 다음과 같은 형식을 갖습니다. ... 행렬식을 계산해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

시스템의 주행렬의 행렬식이 0이 아니므로 시스템에는 Cramer의 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션이 있습니다.

필요한 행렬식을 작성하고 계산합시다. (행렬 A의 첫 번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 행렬식을 얻습니다. 행렬식 - 두 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 - 행렬 A의 세 번째 열을 자유 구성원 열로 대체 ):

공식으로 알려지지 않은 변수 찾기 :

답변:

Cramer 방법의 주요 단점(단점이라고 할 수 있는 경우)은 시스템의 방정식 수가 3개 이상일 때 행렬식을 계산하는 복잡성입니다.

행렬 방법(역행렬 사용)에 의한 선형 대수 방정식의 시스템 풀기.

선형 대수 방정식 시스템이 행렬 형식으로 주어집니다. 여기서 행렬 A는 차원이 nxn이고 행렬식의 행렬식이 0이 아닙니다.

행렬 A는 역행렬, 즉 역행렬이 있기 때문입니다. 평등의 양쪽에 왼쪽을 곱하면 알 수 없는 변수의 열 행렬을 찾는 공식을 얻습니다. 그래서 우리는 행렬 방법에 의해 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션을 얻었습니다.

예시.

선형 연립방정식 풀기 매트릭스 방식.

해결책.

연립방정식을 행렬 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

때문에

그러면 SLAE는 행렬 방법으로 풀 수 있습니다. 역행렬을 사용하여 이 시스템에 대한 솔루션은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. .

행렬 A 요소의 대수 보수 행렬을 사용하여 역행렬을 구성해 보겠습니다(필요한 경우 기사 참조).

계산해야 합니다 - 역행렬을 곱하여 알려지지 않은 변수의 행렬 무료 회원의 열 행렬에 (필요한 경우 기사 참조):

답변:

또는 다른 표기법으로 x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1입니다.

행렬 방법으로 선형 대수 방정식 시스템에 대한 솔루션을 찾는 주요 문제는 특히 3차보다 높은 차수의 정방 행렬에 대해 역행렬을 찾는 복잡성입니다.

가우스 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 솔루션.

n개의 미지의 변수가 있는 n개의 선형 방정식 시스템에 대한 해를 찾아야 한다고 가정합니다.
0이 아닌 주 행렬의 행렬식입니다.

가우스 방법의 본질알 수 없는 변수의 연속적인 제거로 구성됩니다. 먼저 x 1이 시스템의 모든 방정식에서 제외되고 두 번째부터 시작하여 x 2가 모든 방정식에서 제외되고 세 번째부터 시작하는 식으로 계속 진행됩니다. xn은 마지막 방정식에 남아 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하기 위해 시스템의 방정식을 변환하는 이러한 과정을 가우스 방법의 직접적인 과정에 의해... 가우스법의 정방향 실행을 완료한 후 마지막 방정식에서 x n을 구하고 이 값을 사용하여 x n-1을 끝에서 두 번째 방정식에서 계산하는 식으로 첫 번째 방정식에서 x 1을 구합니다. 시스템의 마지막 방정식에서 첫 번째 방정식으로 이동할 때 미지의 변수를 계산하는 과정을 역방향 가우스 방법.

미지의 변수를 제거하는 알고리즘을 간략하게 설명하겠습니다.

우리는 시스템의 방정식을 재정렬함으로써 항상 이것을 달성할 수 있다고 가정할 것입니다. 두 번째부터 시작하여 시스템의 모든 방정식에서 미지의 변수 x 1을 제거합니다. 이를 위해 시스템의 두 번째 방정식에 첫 번째 곱한 값을 추가하고 세 번째 방정식에 첫 번째 곱한 값을 추가하는 식으로 n번째 방정식에 첫 번째 곱한 값을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디, 그리고 .

시스템의 첫 번째 방정식에서 x 1을 다른 미지의 변수로 표현하고 결과 표현식을 다른 모든 방정식에 대입하면 동일한 결과가 나옵니다. 따라서 변수 x 1은 두 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로 우리는 비슷한 방식으로 행동하지만 그림에 표시된 결과 시스템의 일부로만 작동합니다.

이를 위해 시스템의 세 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 추가하고 네 번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 추가하는 식으로 n번째 방정식에 두 번째 곱한 값을 더합니다. 이러한 변환 후의 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

어디, 그리고 ... 따라서 변수 x 2는 세 번째부터 시작하여 모든 방정식에서 제외됩니다.

다음으로, 우리는 미지수 x 3의 제거를 진행하면서 그림에 표시된 시스템 부분과 유사하게 행동합니다.

따라서 시스템이 다음 형식을 취할 때까지 가우스 방법의 직접적인 과정을 계속합니다.

이 순간부터 가우스 방법의 역 과정을 시작합니다. 얻은 xn 값을 사용하여 마지막 방정식에서 xn을 계산하고 끝에서 두 번째 방정식에서 x n-1을 찾고 계속해서 다음에서 x 1을 찾습니다. 첫 번째 방정식.

예시.

선형 연립방정식 풀기 가우스 방법으로

해결책.

시스템의 두 번째 및 세 번째 방정식에서 미지수 x 1을 제거합니다. 이렇게 하려면 첫 번째 방정식의 해당 부분을 두 번째 방정식과 세 번째 방정식의 양쪽에 곱하고 곱한 값을 추가합니다.

이제 두 번째 방정식의 왼쪽과 오른쪽에 다음을 곱하여 세 번째 방정식에서 x 2를 제외합니다.

이 시점에서 Gauss 방법의 정방향 이동은 끝났고 역방향 이동을 시작합니다.

결과 방정식 시스템의 마지막 방정식에서 x 3을 찾습니다.

두 번째 방정식에서 우리는 얻습니다.

첫 번째 방정식에서 나머지 알려지지 않은 변수를 찾고 이것은 가우스 방법의 역 과정을 완료합니다.

답변:

X 1 = 4, X 2 = 0, X 3 = -1.

일반 형태의 선형 대수 방정식 시스템의 솔루션입니다.

일반적으로 시스템 p의 방정식 수는 미지 변수 n의 수와 일치하지 않습니다.

이러한 SLAE에는 솔루션이 없거나, 단일 솔루션이 있거나, 무한히 많은 솔루션이 있을 수 있습니다. 이 진술은 또한 기본 행렬이 정사각형이고 축퇴된 방정식 시스템에도 적용됩니다.

크로네커 - 카펠리 정리.

선형 방정식 시스템의 솔루션을 찾기 전에 호환성을 설정해야 합니다. SLAE가 호환되는 경우와 호환되지 않는 경우에 대한 질문에 대한 답변은 다음과 같습니다. 크로네커 - 카펠리 정리:
n개의 미지수(p는 n과 같을 수 있음)가 있는 p 방정식의 시스템이 일관성을 유지하려면 시스템의 주 행렬의 순위가 확장된 행렬의 순위, 즉 순위와 같아야 하는 것이 필요하고 충분합니다. (A) = 순위 (T).

선형 방정식 시스템의 호환성을 결정하기 위해 Kronecker - Capelli 정리의 적용을 예를 들어 살펴보겠습니다.

예시.

선형 방정식의 시스템인지 알아보십시오. 솔루션.

해결책.

... 경계 미성년자 방법을 사용합시다. 2차 주문의 마이너 0이 아닌 그 경계에 있는 3차 미성년자를 분류해 보겠습니다.

세 번째 순서의 모든 접경 미성년자는 0과 같기 때문에 주 행렬의 순위는 2입니다.

차례로 확장 행렬의 순위 3차 단조이므로 3과 같습니다.

0이 아닌

따라서, 따라서 Rang(A)은 Kronecker - Capelli 정리에 의해 선형 방정식의 원래 시스템이 일관성이 없다는 결론을 내릴 수 있습니다.

답변:

시스템에 솔루션이 없습니다.

그래서 우리는 Kronecker - Capelli 정리를 사용하여 시스템의 불일치를 설정하는 방법을 배웠습니다.

그러나 호환성이 확립된 경우 SLAE에 대한 솔루션을 찾는 방법은 무엇입니까?

이를 위해서는 행렬의 기본 마이너 개념과 행렬의 순위에 대한 정리가 필요합니다.

0이 아닌 행렬 A의 가장 높은 차수 마이너를 호출합니다. 기초적인.

기본 마이너의 정의에서 그 차수는 행렬의 순위와 같습니다. 0이 아닌 행렬 A의 경우 기본 마이너가 여러 개 있을 수 있으며 항상 하나의 기본 마이너가 있습니다.

예를 들어 행렬을 고려하십시오. .

이 행렬의 세 번째 행의 요소가 첫 번째 행과 두 번째 행의 해당 요소의 합이기 때문에 이 행렬의 모든 3차 소수는 0과 같습니다.

다음 2차 미성년자는 0이 아니므로 기본입니다.

미성년자 0과 같기 때문에 기본이 아닙니다.

행렬 순위 정리.

p x n 차수의 행렬의 순위가 r과 같으면 선택된 기본 소수를 구성하지 않는 행렬의 모든 행(및 열) 요소는 행의 해당 요소에 대해 선형으로 표현됩니다( 및 열) 기본 마이너를 형성합니다.

행렬 순위 정리는 우리에게 무엇을 제공합니까?

Kronecker - Capelli 정리에 의해 시스템의 호환성을 설정한 경우 시스템의 기본 행렬(순서는 r)의 기본 마이너를 선택하고 다음을 형성하지 않는 모든 방정식을 시스템에서 제외합니다 선택한 기본 마이너. 이 방법으로 얻은 SLAE는 폐기된 방정식이 여전히 중복되기 때문에 원래의 SLAE와 동일합니다(행렬 순위 정리에 따르면 나머지 방정식의 선형 조합임).

결과적으로 시스템의 불필요한 방정식을 버리고 두 가지 경우가 가능합니다.

결과 시스템에서 방정식 r의 개수가 미지수 변수의 개수와 같으면 그것은 명확할 것이고 유일한 해는 Cramer의 방법, 행렬 방법 또는 Gauss의 방법으로 찾을 수 있습니다.

예시.

.

해결책.

시스템의 메인 매트릭스의 순위 2차 마이너이므로 2와 같습니다. 0이 아닌 확장 매트릭스 순위 세 번째 차수의 유일한 소수가 0과 같기 때문에 2와도 같습니다.

그리고 위에서 고려한 2차 마이너는 0이 아닙니다. Kronecker - Capelli 정리에 따라 Rank(A) = Rank(T) = 2이므로 원래 선형 방정식 시스템의 호환성을 주장할 수 있습니다.

우리는 기본 미성년자로 ... 첫 번째 및 두 번째 방정식의 계수로 구성됩니다.


시스템의 세 번째 방정식은 기본 마이너의 형성에 참여하지 않으므로 행렬의 순위에 대한 정리에 따라 시스템에서 제외합니다.


이것이 우리가 선형 대수 방정식의 기본 시스템을 얻은 방법입니다. Cramer의 방법을 사용하여 해결해 보겠습니다.


답변:

x 1 = 1, x 2 = 2.

얻은 SLAE의 방정식 r의 수가 미지수의 변수 n의 수보다 작으면 방정식의 왼쪽에서 기본 마이너를 형성하는 항을 남겨두고 나머지 항은 오른쪽으로 이동합니다. 반대 부호를 가진 시스템의 방정식의 손 측면.

방정식의 좌변에 남아 있는 알려지지 않은 변수(그 중 r개 있음)를 이라고 합니다. 메인.

오른쪽에 나타나는 알 수 없는 변수(n - r개의 조각이 있음)를 호출합니다. 무료.

이제 우리는 자유 미지수 변수가 임의의 값을 가질 수 있다고 가정하고 r개의 기본 미지수 변수는 고유한 방식으로 자유 미지수 변수로 표현될 것입니다. 구한 SLAE를 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법으로 풀어서 해당 표현을 찾을 수 있습니다.

예를 들어 보겠습니다.

예시.

선형 대수 방정식 시스템 풀기 .

해결책.

시스템의 주 행렬의 순위 찾기 미성년자를 접경하는 방법으로. 우리는 1 1 = 1을 0이 아닌 1차 미성년자로 취합니다. 이 마이너를 둘러싸고 있는 0이 아닌 2차 마이너를 찾기 시작합시다.


이것이 우리가 0이 아닌 2차 마이너를 찾은 방법입니다. 0이 아닌 3차 접경 미성년자를 찾기 시작하겠습니다.


따라서 주 행렬의 순위는 3입니다. 확장 행렬의 순위도 3입니다. 즉, 시스템이 일관적입니다.

발견된 0이 아닌 3차 마이너를 기본으로 사용합니다.

명확성을 위해 기본 마이너를 구성하는 요소를 보여줍니다.


우리는 시스템 방정식의 왼쪽에 기본 마이너에 참여하는 용어를 남겨두고 나머지는 반대 기호로 오른쪽으로 옮깁니다.


자유 미지 변수 x 2 및 x 5에 임의의 값을 할당합시다. 즉, , 여기서 임의의 숫자입니다. 이 경우 SLAE는 다음 형식을 취합니다.


선형 대수 방정식의 결과 기본 시스템은 Cramer의 방법으로 해결됩니다.


따라서, .

답에 알 수 없는 무료 변수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

답변:

임의의 숫자는 어디에 있습니까?

요약하다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위해 먼저 Kronecker - Capelli 정리를 사용하여 호환성을 찾습니다. 주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같지 않으면 시스템이 호환되지 않는다는 결론을 내립니다.

주 행렬의 순위가 확장 행렬의 순위와 같으면 기본 소수를 선택하고 선택한 기본 소수의 형성에 참여하지 않는 시스템의 방정식을 버립니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수와 같으면 SLAE는 알려진 방법으로 찾을 수 있는 고유한 솔루션을 갖습니다.

기본 마이너의 순서가 알려지지 않은 변수의 수보다 작으면 시스템 방정식의 왼쪽에서 기본 미지 변수가 있는 항을 남겨두고 나머지 항을 오른쪽으로 옮기고 자유 미지의 변수에 임의의 값을 부여합니다. 선형 방정식의 결과 시스템에서 Cramer 방법, 행렬 방법 또는 Gauss 방법에 의해 주요 미지 변수를 찾습니다.

일반 형태의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 가우스 방법.

가우스 방법은 호환성을 먼저 검사하지 않고 모든 종류의 선형 대수 방정식 시스템을 푸는 데 사용할 수 있습니다. 미지의 변수를 연속적으로 제거하는 과정을 통해 SLAE의 호환성과 비호환성을 모두 결론지을 수 있고, 해결책이 있으면 찾을 수 있게 한다.

계산 작업의 관점에서 가우스 방법이 바람직합니다.

일반 형식의 선형 대수 방정식 시스템을 풀기 위한 Gauss의 방법 문서에서 자세한 설명과 분석된 예를 참조하십시오.

기본 솔루션 시스템의 벡터를 사용하여 동차 및 비균일 선형 대수 시스템의 일반 솔루션을 작성합니다.

이 섹션에서는 무한한 솔루션 세트가 있는 선형 대수 방정식의 호환 가능한 동차 및 비균일 시스템에 중점을 둘 것입니다.

먼저 동종 시스템을 다루겠습니다.

기본 의사결정 시스템 n개의 알려지지 않은 변수가 있는 p 선형 대수 방정식의 동종 시스템은 이 시스템의 선형 독립 솔루션 집합(n - r)입니다. 여기서 r은 시스템의 기본 행렬의 기본 소수 차수입니다.

동종 SLAE의 선형 독립 솔루션을 X(1), X(2),…, X(nr)(X(1), X(2),…, X(nr)은 nx1 열 행렬) , 이 균질 시스템의 일반 솔루션은 임의의 상수 계수 С 1, С 2, ..., С (nr)을 갖는 기본 솔루션 시스템의 벡터의 선형 조합 형태로 표현됩니다. ,.

선형 대수 방정식의 균질 시스템의 일반 솔루션(oroslau)이라는 용어는 무엇을 의미합니까?

의미는 간단합니다. 공식은 원래 SLAE의 가능한 모든 솔루션을 지정합니다. 즉, 공식에 따라 임의의 상수 С 1, С 2, ..., С (nr) 값 세트를 취합니다. 원래 동종 SLAE의 솔루션 중 하나를 얻으십시오.

따라서 기본 솔루션 시스템을 찾으면 이 동종 SLAE의 모든 솔루션을 다음과 같이 지정할 수 있습니다.

균질한 SLAE에 대한 근본적인 솔루션 시스템을 구축하는 과정을 보여드리겠습니다.

우리는 원래 선형 방정식 시스템의 기본 마이너를 선택하고 시스템에서 다른 모든 방정식을 제외하고 자유 미지 변수를 포함하는 모든 항을 반대 부호가 있는 시스템 방정식의 오른쪽으로 옮깁니다. 무료 미지수 변수에 값 1,0,0, ..., 0을 부여하고 Cramer의 방법과 같이 어떤 식으로든 결과적인 기본 선형 방정식 시스템을 풀어서 기본 미지수를 계산해 보겠습니다. 이것은 기본 시스템에 대한 첫 번째 솔루션인 X(1)을 제공합니다. 자유 미지수에 0,1,0,0, ..., 0 값을 부여하고 주요 미지수를 계산하면 X(2)를 얻습니다. 등. 자유 미지수 변수에 0.0, ..., 0.1 값을 부여하고 기본 미지수를 계산하면 X(n-r)를 얻습니다. 이것이 동종 SLAE의 솔루션의 기본 시스템이 구성되는 방식이며 일반 솔루션을 형식으로 작성할 수 있습니다.

선형 대수 방정식의 비균일 시스템의 경우 일반 솔루션은 다음 형식으로 표시됩니다. 여기서 는 해당 동차 시스템의 일반 솔루션이고 는 자유 미지수 값을 제공하여 얻은 원래 비균일 SLAE의 특정 솔루션입니다. 0,0, ..., 0 및 주요 미지수 값을 계산합니다.

예제를 살펴보겠습니다.

예시.

선형 대수 방정식의 동차 시스템의 기본 솔루션 및 일반 솔루션 찾기 .

해결책.

선형 방정식의 동종 시스템의 주 행렬의 순위는 항상 확장 행렬의 순위와 같습니다. 보더링 마이너 방식으로 메인 매트릭스의 순위를 구해보자. 0이 아닌 1차 소수로서, 시스템의 주 행렬의 요소 a 1 1 = 9를 취합니다. 경계에 있는 0이 아닌 2차 미성년자 찾기:

0이 아닌 2차 미성년자가 발견되었습니다. 0이 아닌 값을 찾기 위해 경계에 있는 3차 미성년자를 반복해 보겠습니다.

세 번째 순서의 모든 접경 미성년자는 0과 같으므로 주 행렬과 확장 행렬의 순위는 2와 같습니다. 기본 부전공으로 취하십시오. 명확성을 위해 시스템을 구성하는 요소에 주목합니다.

원래 SLAE의 세 번째 방정식은 기본 부전공의 형성에 참여하지 않으므로 제외될 수 있습니다.

우리는 방정식의 오른쪽에 주요 미지수를 포함하는 항을 남겨두고 오른쪽에 자유 미지수가 있는 항을 옮깁니다.

선형 방정식의 원래 균질 시스템에 대한 기본 솔루션 시스템을 구성해 보겠습니다. 이 SLAE의 해의 기본 시스템은 두 개의 해로 구성되는데, 원래의 SLAE는 4개의 미지수 변수를 포함하고 기본 단조의 차수는 2이기 때문입니다. X (1)을 찾기 위해 자유 미지수 변수에 x 2 = 1, x 4 = 0 값을 할당한 다음 연립방정식에서 주요 미지수를 찾습니다.
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