역함수와 그 속성. 상호 역함수, 그 그래프. 역함수 찾기의 예

함수 y=f(x), X - 정의 영역, Y - 값 범위가 있다고 가정합니다. 우리는 각 x 0 가 단일 값 y 0 =f(x 0), y 0 Y에 해당한다는 것을 알고 있습니다.

각 y(또는 그 부분  1)도 X의 고유한 x에 해당하는 것으로 판명될 수 있습니다.

그런 다음 그들은 (또는 그 부분  ) 영역에 함수 x=y가 정의되어 있다고 말합니다. 이는 함수 y=f(x)에 대해 반대입니다.

예를 들어:

엑스 =(); Y=$

이 함수는 $X$ 구간에서 감소하고 연속적이므로 $Y=$ 구간에서도 이 구간에서 감소하고 연속적입니다(정리 1).

$x$ 계산:

\ \

적절한 $x$를 선택하십시오.

답변:역함수 $y=-\sqrt(x)$.

역함수를 찾는 문제

이 부분에서는 일부 기본 함수에 대한 역함수를 고려합니다. 작업은 위에 주어진 계획에 따라 해결됩니다.

실시예 2

$y=x+4$ 함수에 대한 역함수 찾기

$y=x+4$ 방정식에서 $x$ 찾기:

실시예 3

$y=x^3$ 함수에 대한 역함수 찾기

결정.

함수는 정의의 전체 영역에서 증가하고 연속적이므로 정리 1에 의해 역연속 및 증가 함수를 갖습니다.

$y=x^3$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

우리의 경우 값이 적합합니다(범위가 모두 숫자이기 때문에)

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

실시예 4

$$ 구간에서 $y=cosx$ 함수에 대한 역함수 찾기

결정.

$X=\left$ 집합에서 $y=cosx$ 함수를 고려하십시오. $X$ 집합에서 연속적이고 감소하며 집합 $X=\left$를 집합 $Y=[-1,1]$에 매핑하므로 역 연속 단조 함수의 존재에 대한 정리에 의해, $ Y$ 집합의 $y=cosx$ 함수에는 역함수가 있습니다. 역함수도 연속적이고 $Y=[-1,1]$ 집합에서 증가하고 $[-1,1]$ 집합을 매핑합니다. $\left$ 세트로.

$y=cosx$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

실시예 5

$\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 구간에서 $y=tgx$ 함수에 대한 역함수를 찾습니다.

결정.

$X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합에서 $y=tgx$ 함수를 고려하십시오. $X$ 집합에서 연속적이고 증가하며 $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합을 $Y 집합에 매핑합니다. =R$ 따라서 역연속 모노톤 함수의 존재에 대한 정리에 의해 집합 $Y$의 함수 $y=tgx$는 역함수를 가지며, 이는 또한 연속적이고 집합 $Y=R에서 증가합니다. $ 및 $R$ 집합을 $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ 집합에 매핑합니다.

$y=tgx$ 방정식에서 $x$ 찾기:

$x$의 적절한 값 찾기

변수를 재정의하면 역함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

역함수란? 주어진 함수의 역함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

정의 .

함수 y=f(x)를 집합 D에 대해 정의하고 E를 해당 값의 집합이라고 가정합니다. 에 대한 역함수함수 y=f(x)는 함수 x=g(y)로, 집합 E에 대해 정의되고 f(x)=y가 되도록 각 y∈E에 값 x∈D를 할당합니다.

따라서 함수 y=f(x)의 영역은 역함수의 영역이고 y=f(x)의 영역은 역함수의 영역입니다.

주어진 함수 y=f(x)의 역함수를 찾으려면 :

1) 함수 공식에서 y 대신 x - y 대신 x를 대체합니다.

2) 결과 등식에서 y를 x로 표현합니다.

함수 y=2x-6의 역함수를 찾습니다.

함수 y=2x-6 및 y=0.5x+3은 서로 반대입니다.