현실이나 상상 속에서 일어나는 사건은 3가지 그룹으로 나눌 수 있습니다. 이것들은 반드시 일어날 확실한 사건, 불가능한 사건, 무작위 이벤트. 확률 이론은 무작위 사건을 연구합니다. 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건. 이 기사는 다음에서 발표됩니다. 간단히 말해서수학 통합 상태 시험(프로필 수준)의 작업 4에 포함될 확률 이론 공식 및 확률 이론 문제 해결의 예.
왜 확률 이론이 필요한가?
역사적으로 이러한 문제에 대한 연구의 필요성은 17세기에 산업화와 전문화와 관련하여 발생했습니다. 도박그리고 카지노의 출현. 이것은 자체 연구와 연구가 필요한 실제 현상이었습니다.
카드 놀이, 주사위, 룰렛은 유한한 수의 동일하게 가능한 이벤트가 발생할 수 있는 상황을 만들었습니다. 특정 사건의 발생 가능성에 대한 수치적 추정이 필요했습니다.
20세기에는 이 하찮아 보이는 과학이 소우주에서 일어나는 근본적인 과정을 이해하는 데 중요한 역할을 한다는 것이 분명해졌습니다. 생성되었습니다 현대 이론확률.
확률 이론의 기본 개념
확률 이론의 연구 대상은 사건과 그 확률입니다. 사건이 복잡하다면 확률을 쉽게 찾을 수 있는 간단한 구성요소로 나눌 수 있습니다.
사건 A와 B의 합을 사건 C라고 하며, 이는 사건 A, 사건 B, 또는 사건 A와 B가 동시에 발생했다는 사실로 구성됩니다.
사건 A와 사건 B의 곱은 사건 C이며, 이는 사건 A와 사건 B가 모두 발생했음을 의미합니다.
사건 A와 B가 동시에 발생할 수 없으면 양립 불가능하다고 합니다.
사건 A가 일어날 수 없으면 불가능하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.
사건 A가 일어날 것이 확실하다면 사건 A를 확실하다고 합니다. 이러한 이벤트는 기호로 표시됩니다.
각 사건 A를 숫자 P(A)와 연관시키십시오. 이 숫자 P(A)를 다음 조건이 일치하는 경우 사건 A의 확률이라고 합니다.
중요한 특수 사례는 균등하게 확률이 높은 기본 결과가 있고 이러한 결과 중 임의의 결과가 이벤트 A를 형성하는 상황입니다. 이 경우 확률은 공식을 사용하여 입력할 수 있습니다. 이렇게 도입된 확률을 고전적 확률이라고 합니다. 이 경우 속성 1~4가 충족된다는 것이 입증될 수 있습니다.
수학 통합시험에 출제되는 확률론 문제는 주로 고전적 확률과 관련이 있습니다. 이러한 작업은 매우 간단할 수 있습니다. 데모 버전의 확률 이론 문제는 특히 간단합니다. 유리한 결과의 개수를 쉽게 계산할 수 있으며 모든 결과의 개수가 조건에 바로 표시됩니다.
우리는 공식을 사용하여 답을 얻습니다.
확률 결정에 관한 수학 통합 상태 시험 문제의 예
테이블 위에는 20개의 파이가 있습니다. 5개는 양배추, 7개는 사과, 8개는 쌀입니다. 마리나는 파이를 갖고 싶어합니다. 그녀가 떡을 가져갈 확률은 얼마인가?
해결책.
동일한 확률로 20개의 기본 결과가 있습니다. 즉, 마리나는 20개의 파이 중 하나를 선택할 수 있습니다. 하지만 마리나가 쌀 파이를 선택할 확률, 즉 A가 쌀 파이를 선택할 확률을 추정해야 합니다. 이는 유리한 결과(쌀을 곁들인 파이 선택)의 수가 8개에 불과하다는 것을 의미합니다. 그러면 확률은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
독립적이고 반대적이며 임의적인 사건
그러나 열린 항아리더 복잡한 작업이 발생하기 시작했습니다. 그러므로 확률 이론에서 연구되는 다른 문제에 독자의 관심을 집중시키겠습니다.
사건 A와 B는 각각의 확률이 다른 사건의 발생 여부에 의존하지 않는 경우 독립이라고 합니다.
사건 B는 사건 A가 일어나지 않았다는 것입니다. 사건 B는 사건 A와 반대입니다. 반대 사건의 확률은 1에서 직접 사건의 확률을 뺀 값과 같습니다. 즉, .
확률 덧셈과 곱셈 정리, 공식
임의의 사건 A와 B의 경우, 이들 사건의 합에 대한 확률은 결합 사건의 확률을 제외한 확률의 합과 같습니다. 즉, .
독립적인 사건 A와 B의 경우, 이러한 사건이 발생할 확률은 확률의 곱과 같습니다. 즉, 이 경우에는 .
마지막 2개의 진술은 확률의 덧셈과 곱셈의 정리라고 불립니다.
결과 수를 계산하는 것이 항상 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 어떤 경우에는 조합 공식을 사용해야 합니다. 가장 중요한 것은 특정 조건을 만족하는 사건의 수를 세는 것입니다. 때로는 이러한 종류의 계산이 독립적인 작업이 될 수 있습니다.
6명의 학생이 6개의 의자에 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 무료 좌석? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 세 번째 학생에게는 4자리, 네 번째 자리에는 3자리, 다섯 번째 자리에는 2자리가 남아 있으며, 여섯 번째 학생이 남은 자리를 차지하게 됩니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 기호 6으로 표시된 제품을 찾아야 합니다! "6팩토리얼"이라고 읽습니다.
일반적인 경우 이 질문에 대한 답은 n 요소의 순열 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
이제 학생들의 또 다른 경우를 고려해 보겠습니다. 빈 자리 6개에 학생 2명이 앉을 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6자리 중 하나를 차지하게 됩니다. 이러한 각 옵션은 두 번째 학생이 자리를 잡을 수 있는 5가지 방법에 해당합니다. 모든 옵션의 개수를 찾으려면 해당 제품을 찾아야 합니다.
일반적으로 이 질문에 대한 답은 k개 요소에 대한 n개 요소의 배치 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
우리의 경우에는 .
그리고 이 시리즈의 마지막 사례. 6명 중에서 3명의 학생을 선택할 수 있는 방법은 몇 가지입니까? 첫 번째 학생은 6가지 방법으로, 두 번째 학생은 5가지 방법, 세 번째 학생은 네 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. 그런데 이 선택지들 중에서 같은 학생 3명이 6번이나 등장합니다. 모든 옵션의 수를 찾으려면 값을 계산해야 합니다. 일반적으로 이 질문에 대한 답은 요소별 요소 조합 수에 대한 공식으로 제공됩니다.
우리의 경우에는 .
확률을 결정하기 위해 수학 통합 상태 시험의 문제를 해결하는 예
작업 1. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.
접시에는 30개의 파이가 있습니다. 3개는 고기, 18개는 양배추, 9개는 체리입니다. 사샤는 무작위로 파이 하나를 선택합니다. 그가 체리를 갖게 될 확률을 구해보세요.
.
답: 0.3.
작업 2. 편집자 컬렉션에서. 야쉬첸코.
전구 1,000개를 배치할 때마다 평균 20개가 불량입니다. 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률을 구하십시오.
해결책: 작동하는 전구의 수는 1000-20=980입니다. 그러면 배치에서 무작위로 가져온 전구가 작동할 확률은 다음과 같습니다.
답: 0.98.
학생 U가 수학 시험에서 9개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.67입니다. U가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.
수직선을 상상하고 그 위에 점 8과 9를 표시하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 푼다'는 조건에 'U. 8개 이상의 문제를 올바르게 푼다'라는 조건은 적용되지 않지만, 'U. 9개 이상의 문제를 정확하게 해결할 것입니다.”
다만, “U. 9개 이상의 문제를 올바르게 해결합니다.”라는 조건이 “U. 8개 이상의 문제를 올바르게 해결하겠습니다.” 따라서 이벤트를 지정하면 “U. 정확히 9개의 문제를 정확하게 해결해 드립니다." - A를 통해, "U. 8개 이상의 문제를 정확하게 풀어드립니다." - B를 통해, "U. C를 통해 9개 이상의 문제를 올바르게 해결할 수 있습니다. 해당 솔루션은 다음과 같습니다.
답: 0.06.
기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록 중 하나의 질문에 답합니다. 이것이 삼각법 문제일 확률은 0.2입니다. "라는 주제에 대한 질문일 가능성이 높습니다. 외부 모서리"는 0.15와 같습니다. 이 두 가지 주제에 동시에 관련된 질문은 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.
어떤 이벤트가 있는지 생각해 봅시다. 두 가지 호환되지 않는 이벤트가 제공됩니다. 즉, 질문은 "삼각법" 주제 또는 "외각" 주제와 관련됩니다. 확률 정리에 따르면, 호환되지 않는 사건의 확률은 각 사건의 확률의 합과 같습니다. 이러한 사건의 확률의 합을 구해야 합니다. 즉, 다음과 같습니다.
답: 0.35.
방은 세 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.29입니다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.
가능한 이벤트를 고려해 봅시다. 우리에게는 세 개의 전구가 있는데, 각 전구는 다른 전구와 독립적으로 꺼질 수도 있고 그렇지 않을 수도 있습니다. 이는 독립적인 사건입니다.
그런 다음 해당 이벤트에 대한 옵션을 표시합니다. 다음 표기법을 사용해 보겠습니다. - 전구가 켜져 있습니다. - 전구가 꺼졌습니다. 그리고 바로 다음에는 사건의 확률을 계산합니다. 예를 들어, "전구가 다 탔습니다", "전구가 켜져 있습니다", "전구가 켜져 있습니다"라는 세 가지 독립적인 이벤트가 발생한 이벤트의 확률은 다음과 같습니다. 켜져 있음”은 “전구가 켜져 있지 않음” 이벤트와 반대되는 이벤트가 발생할 확률로 계산됩니다.
"확률 이론"을 주제로 한 강의
2016년 통합 상태 시험의 작업 번호 4입니다.
프로필 수준.
1개 그룹:고전적인 확률 공식을 사용하는 작업.
- 연습 1.택시 회사에는 60대가 있어요 승용차; 그 중 27개는 검은색이며 측면에 노란색 글자가 새겨져 있습니다. 나머지는 황검은 비문으로. 검은색 글자가 새겨진 노란색 자동차가 무작위 호출에 응답할 확률을 구하십시오.
- 작업 2. Misha, Oleg, Nastya 및 Galya는 누가 게임을 시작해야 하는지에 대해 제비를 뽑았습니다. Galya가 게임을 시작하지 않을 확률을 구해 보세요.
- 작업 3.평균적으로 판매된 정원용 펌프 1000개 중 7개가 누출됩니다. 제어를 위해 무작위로 선택한 펌프 중 하나가 누출되지 않을 확률을 구하십시오.
- 작업 4.화학 티켓 컬렉션에는 15장의 티켓만 있으며, 그 중 6장은 "산"이라는 주제에 대한 질문을 포함하고 있습니다. 무작위로 선택된 시험 티켓에서 학생이 "산성"이라는 주제에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.
- 작업 5.이번 다이빙 챔피언십에는 스페인 다이버 4명, 미국 다이버 9명 등 45명의 선수가 출전합니다. 공연순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 미국 점퍼가 24번째일 확률을 구하십시오.
- 작업 6.과학회의는 3일에 걸쳐 진행됩니다. 총 40개의 보고서가 계획되어 있습니다. 첫날에는 8개의 보고서가, 나머지는 둘째 날과 셋째 날에 균등하게 배포됩니다. 보고 순서는 추첨을 통해 결정됩니다. M 교수의 보고서가 학회 마지막 날에 발표될 확률은 얼마나 됩니까?
- 연습 1.테니스 선수권 대회의 첫 번째 라운드가 시작되기 전에 참가자들은 추첨을 통해 무작위로 짝을 이루어 플레이합니다. 이번 대회에는 티모페이 트루브니코프를 포함해 러시아 출신 9명을 포함해 총 26명의 테니스 선수가 참가한다. 첫 번째 라운드에서 Timofey Trubnikov가 러시아 테니스 선수와 경기할 확률을 구하십시오.
- 작업 2.배드민턴 선수권 대회의 첫 번째 라운드가 시작되기 전에 참가자는 추첨을 통해 무작위로 두 쌍으로 나누어집니다. 이번 대회에는 빅토르 폴랴코프 등 러시아 선수 22명을 포함해 총 76명의 배드민턴 선수가 참가한다. 첫 번째 라운드에서 Viktor Polyakov가 러시아 배드민턴 선수와 경기할 확률을 구하십시오.
- 작업 3.학급에는 16명의 학생이 있으며 그 중에는 Oleg와 Mikhail이라는 두 명의 친구가 있습니다. 클래스는 무작위로 4개의 동일한 그룹으로 나뉩니다. Oleg와 Mikhail이 같은 그룹에 속할 확률을 구하십시오.
- 작업 4.학급에는 33명의 학생이 있는데 그 중에는 Andrey와 Mikhail이라는 두 명의 친구가 있습니다. 학생들은 무작위로 3개의 동일한 그룹으로 나뉩니다. Andrey와 Mikhail이 같은 그룹에 속할 확률을 구하십시오.
- 연습 1:한 세라믹 식기 공장에서는 생산된 접시의 20%에 결함이 있습니다. 제품 품질 관리 과정에서 불량 플레이트의 70%가 식별됩니다. 나머지 접시는 판매 중입니다. 구입 시 무작위로 선택한 접시에 결함이 없을 확률을 구합니다. 답을 소수점 이하로 반올림하세요.
- 작업 2.한 세라믹 식기 공장에서는 생산된 접시의 30%가 불량입니다. 제품 품질 관리 과정에서 불량 플레이트의 60%가 식별됩니다. 나머지 접시는 판매 중입니다. 구입 중에 무작위로 선택한 접시에 결함이 있을 확률을 구합니다. 답을 소수점 이하로 반올림하세요.
- 작업 3:두 공장에서 자동차 헤드라이트용으로 동일한 유리를 생산합니다. 첫 번째 공장은 이러한 유리의 30%를 생산하고, 두 번째 공장은 70%를 생산합니다. 첫 번째 공장에서는 불량 유리의 3%를 생산하고, 두 번째 공장에서는 4%를 생산합니다. 실수로 상점에서 구입한 유리가 결함이 있을 확률을 구하십시오.
2 그룹:반대 사건의 확률을 찾는 것.
- 연습 1.프로 사수의 경우 20m 거리에서 표적 중앙에 맞을 확률은 0.85입니다. 목표의 중심을 놓칠 확률을 구합니다.
- 작업 2.직경이 67mm인 베어링을 제조할 때 직경이 지정된 직경과 0.01mm 미만으로 다를 확률은 0.965입니다. 무작위 베어링의 직경이 66.99mm보다 작거나 67.01mm보다 클 확률을 구합니다.
3 그룹:호환되지 않는 이벤트 중 적어도 하나가 발생할 확률을 찾습니다. 확률을 더하는 공식.
- 연습 1.주사위를 던져 5~6점을 얻을 확률을 찾아보세요.
- 작업 2.항아리 안에는 30개의 공이 있습니다: 빨간색 10개, 파란색 5개, 흰색 15개. 색깔 있는 공이 나올 확률을 구해 보세요.
- 작업 3.사수는 3개 구역으로 나누어진 목표물을 향해 사격합니다. 첫 번째 영역에 명중할 확률은 0.45, 두 번째 영역은 0.35입니다. 사수가 한 번의 사격으로 첫 번째 영역과 두 번째 영역 중 하나를 명중할 확률을 구하십시오.
- 작업 4.지역 센터에서 마을까지 버스가 매일 운행됩니다. 월요일에 버스에 승객이 18명 미만일 확률은 0.95입니다. 승객이 12명 미만일 확률은 0.6입니다. 승객 수가 12명에서 17명일 확률을 구하여라.
- 작업 6.학생 U가 생물학 시험에서 9개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.61입니다. U가 8개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.73입니다. U가 정확히 9개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.
4 그룹:독립적인 사건이 동시에 발생할 확률. 확률 곱셈 공식.
- 연습 1.방은 두 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.3이다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.
- 작업 2.방은 세 개의 램프가 달린 랜턴으로 밝혀졌습니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.3이다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.
- 작업 3.매장에는 판매자가 두 명 있습니다. 그들 각각은 확률 0.4로 클라이언트로 바쁘다. 임의의 순간에 두 판매자가 동시에 바쁠 확률을 구합니다(고객이 서로 독립적으로 방문한다고 가정).
- 작업 4.가게에는 세 명의 판매자가 있습니다. 그들 각각은 확률 0.2의 클라이언트로 바쁘다. 임의의 순간에 세 명의 판매자가 동시에 바쁠 확률을 구합니다(고객이 서로 독립적으로 방문한다고 가정).
- 작업 5:고객 리뷰를 바탕으로 Mikhail Mikhailovich는 두 온라인 상점의 신뢰성을 평가했습니다. 원하는 제품이 A 매장에서 배송될 확률은 0.81입니다. 이 제품이 B 매장에서 배송될 확률은 0.93입니다. Mikhail Mikhailovich는 두 상점에서 동시에 상품을 주문했습니다. 온라인 상점이 서로 독립적으로 운영된다고 가정하고 어떤 상점도 제품을 배송하지 않을 확률을 구하십시오.
- 작업 6:그랜드마스터 A.가 백인 플레이를 한다면 그는 확률 0.6으로 그랜드마스터 B를 상대로 승리합니다. A.가 흑색 플레이를 한다면 A.는 확률 0.4로 B를 상대로 승리합니다. Grandmasters A.와 B.는 두 게임을 플레이하며 두 번째 게임에서는 말의 색상을 변경합니다. A.가 두 번 모두 승리할 확률을 구하십시오.
5 그룹:두 공식을 모두 사용하는 것과 관련된 문제입니다.
- 연습 1:간염이 의심되는 모든 환자는 혈액 검사를 받습니다. 검사 결과 간염이 밝혀지면 검사 결과를 양성이라고 합니다. 간염 환자의 경우 확률 0.9로 양성 결과가 나옵니다. 환자가 간염에 걸리지 않은 경우 검사 결과는 0.02의 확률로 위양성 결과가 나올 수 있습니다. 간염이 의심되어 입원한 환자의 66%가 실제로 간염을 앓고 있는 것으로 알려져 있습니다. 간염이 의심되어 병원에 입원한 환자가 양성 반응을 보일 확률을 구하십시오.
- 작업 2.카우보이 존이 제로 리볼버를 발사하면 벽에 붙은 파리를 맞힐 확률은 0.9입니다. 존이 조준되지 않은 리볼버를 발사하면 그는 확률 0.2로 파리를 맞춥니다. 테이블 위에는 10개의 리볼버가 있는데 그 중 4개만 총에 맞았습니다. 카우보이 존은 벽에 붙어 있는 파리를 발견하고, 우연히 마주친 첫 번째 리볼버를 무작위로 집어 파리를 쏜다. John이 놓칠 확률을 구하세요.
작업 3:
일부 영역에서는 다음과 같은 관찰 결과가 나타났습니다.
1. 6월의 아침이 맑다면 그날 비가 올 확률은 0.1이다. 2. 6월 아침이 흐리면 낮에 비가 올 확률은 0.4이다. 3. 6월 아침이 흐릴 확률은 0.3이다.
6월의 임의의 날에 비가 오지 않을 확률을 구하십시오.
작업 4.포병 발사 중 자동 시스템목표물에 총을 쏜다. 목표물이 파괴되지 않으면 시스템은 두 번째 사격을 발사합니다. 표적이 파괴될 때까지 사격이 반복됩니다. 첫 번째 사격으로 특정 목표를 파괴할 확률은 0.3이고, 후속 사격마다 0.9입니다. 목표물을 파괴할 확률이 최소 0.96이 되도록 하려면 몇 발의 사격이 필요합니까?
수학 통합 상태 시험의 확률 이론은 확률의 고전적 정의에 대한 간단한 문제의 형태와 해당 정리의 적용에 대한 매우 복잡한 문제의 형태로 제시될 수 있습니다.
이 부분에서는 확률의 정의를 사용하는 것으로 충분한 문제를 고려할 것입니다. 때때로 여기서는 반대 사건의 확률을 계산하는 공식을 사용할 수도 있습니다. 여기서는 이 공식 없이도 할 수 있지만 다음 문제를 해결할 때는 여전히 필요합니다.
이론적인 부분
무작위란 관찰이나 테스트 중에 발생할 수도 있고 발생하지 않을 수도 있는(사전 예측이 불가능함) 이벤트입니다.
테스트를 할 때(동전이나 주사위 던지기, 그림 그리기) 시험 카드등) 똑같이 가능한 결과도 가능합니다. 예를 들어, 동전을 던지면 앞면이나 뒷면 외에 다른 결과가 나올 수 없으므로 모든 결과의 수는 2입니다. 주사위를 던질 때 1부터 6까지의 숫자가 주사위 윗면에 똑같이 나타날 수 있으므로 6가지 결과가 가능합니다. 또한 일부 이벤트 A가 결과에 의해 선호된다고 가정해 보겠습니다.
사건 A의 확률은 동일하게 가능한 결과의 총 수에 대한 이 사건에 유리한 결과 수의 비율입니다(이것이 확률의 고전적인 정의입니다). 우리는 쓴다
예를 들어, 이벤트 A가 주사위를 던져 홀수 점수를 얻는 것으로 구성된다고 가정해 보겠습니다. 총 6가지 가능한 결과가 있습니다: 큐브 윗면에 1, 2, 3, 4, 5, 6이 나타납니다. 이 경우 1, 3, 5가 나타나는 결과는 이벤트 A에 유리합니다. 
.
항상 유지된다는 점을 참고하세요. 이중 불평등, 따라서 사건 A의 확률은 구간에 있습니다. 
. 답의 확률이 1보다 크다면 이는 어딘가에서 실수를 했다는 의미이므로 솔루션을 다시 확인해야 합니다.
이벤트 A와 B가 호출됩니다. 반대어떤 결과가 정확히 그들 중 하나에게 유리한 경우 서로.
예를 들어, 주사위를 던질 때 “홀수를 굴렸다”는 이벤트는 “짝수를 굴렸다”는 이벤트와 반대입니다.
사건 A와 반대되는 사건이 지정된다. 반대 사건의 정의로부터 다음과 같다 
, 수단, 
.
세트에서 개체를 선택할 때 발생하는 문제
작업 1.세계선수권에는 24개 팀이 참가한다. 추첨을 사용하여 각각 6개 팀으로 구성된 4개 그룹으로 나누어야 합니다. 상자에 그룹 번호가 혼합된 카드가 있습니다.
1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.
팀 주장은 각각 카드 한 장을 뽑습니다. 러시아 팀이 세 번째 그룹에 속할 확률은 얼마입니까?
총 결과 수는 카드 수와 동일합니다(24개). 유리한 결과는 6개입니다(카드 6개에 숫자 3이 적혀 있으므로). 필요한 확률은 다음과 같습니다. 
.
답: 0.25.
작업 2.항아리 안에 빨간색 공 14개, 노란색 공 9개, 녹색 공 7개가 있습니다. 항아리에서 공 1개를 무작위로 꺼냅니다. 이 공이 노란색일 확률은 얼마인가?
총 결과 수는 공 수와 같습니다: 14 + 9 + 7 = 30. 이 이벤트에 유리한 결과 수는 9입니다. 필요한 확률은 다음과 같습니다. 
.
작업 3.전화 키패드에는 0부터 9까지 10개의 숫자가 있습니다. 무작위로 누른 숫자가 짝수이고 5보다 클 확률은 얼마입니까?
여기서 결과는 특정 키를 누르는 것이므로 총 10개의 동일한 결과가 가능합니다. 지정된 이벤트는 키 6 또는 8을 누르는 것을 의미하는 결과에 의해 선호됩니다. 이러한 결과는 두 가지입니다. 필요한 확률은 와 같습니다.
답: 0.2.
문제 4. 무작위로 선택된 확률은 얼마입니까? 자연수 4에서 23은 3으로 나눌 수 있나요?
4에서 23까지의 세그먼트에는 23 – 4 + 1 = 20개의 자연수가 있으며, 이는 총 20개의 가능한 결과가 있음을 의미합니다. 이 세그먼트에서 다음 숫자는 3의 배수입니다: 6, 9, 12, 15, 18, 21. 이러한 숫자는 총 6개이므로 문제의 이벤트는 6개의 결과에서 선호됩니다. 필요한 확률은 다음과 같습니다. 
.
답: 0.3.
작업 5.시험에서 제공되는 20개의 티켓 중 학생은 17개에만 답할 수 있습니다. 학생이 무작위로 선택한 티켓에 답하지 못할 확률은 얼마입니까?
첫 번째 방법.
학생은 17개의 티켓에 답할 수 있으므로 3개의 티켓에 답할 수는 없습니다. 이 티켓 중 하나를 얻을 확률은 정의상 와 같습니다.
두 번째 방법.
"학생이 티켓에 답할 수 있는" 이벤트를 A로 표시하겠습니다. 그 다음에 . 반대 사건의 확률은 =1 – 0.85 = 0.15입니다.
답: 0.15.
문제 6. 이번 리듬체조 선수권대회에는 러시아 6명, 독일 5명, 프랑스 1명 등 총 20명의 선수가 참가한다. 체조 선수의 연기 순서는 추첨에 의해 결정됩니다. 7위로 출전하는 선수가 프랑스 출신일 확률을 구하세요.
총 20명의 선수가 있으며, 모두가 7위로 출전할 수 있는 동등한 기회를 갖습니다. 따라서 동일한 확률의 결과가 20개 있습니다. 프랑스 선수는 20 – 6 – 5 = 9명이므로 특정 종목에 유리한 결과는 9개입니다. 필요한 확률은 와 같습니다.
답: 0.45.
작업 7.과학회의는 5일간 진행됩니다. 총 50개의 보고서가 계획되어 있습니다. 처음 3일에는 각각 12개의 보고서가 있고 나머지는 4일과 5일에 균등하게 배포됩니다. 보고 순서는 추첨을 통해 결정됩니다. N 교수의 보고서가 학회 마지막 날에 발표될 확률은 얼마나 됩니까?
먼저, 마지막 날에 예약된 보고서가 몇 개인지 알아봅시다. 프레젠테이션은 처음 3일 동안 예정되어 있습니다. 아직 50 – 36 = 14개의 보고서가 남아 있고 남은 이틀 동안 균등하게 배포되므로 마지막 날에 보고서가 예약되어 있습니다.
결과를 N 교수 보고서의 일련 번호로 간주합니다. 동일한 가능한 결과는 50개입니다. 지정된 이벤트를 선호하는 결과는 7개입니다(보고서 목록의 마지막 7개 숫자). 필요한 확률은 와 같습니다.
답: 0.14.
문제 8. 항공기의 비상구 옆에는 10석이 있고 객실을 분리하는 칸막이 뒤에는 15석이 있습니다. 나머지 좌석은 키가 큰 승객에게는 불편합니다. 승객 K는 키가 크다. 체크인 시 좌석을 무작위로 선택하고 비행기에 좌석이 200개라면 승객 K가 편안한 좌석을 얻을 확률을 구하십시오.
이 작업의 결과는 위치 선택입니다. 총 200개의 동일하게 가능한 결과가 있습니다. "선택한 장소가 편리하다"라는 이벤트는 15 + 10 = 25개의 결과로 선호됩니다. 필요한 확률은 와 같습니다.
답: 0.125.
문제 9. 공장에서 조립된 커피 그라인더 1000개 중 7개가 결함이 있었습니다. 전문가가 1000개의 커피 분쇄기 중 무작위로 하나를 테스트합니다. 테스트 중인 커피 분쇄기에 결함이 있을 확률을 구하십시오.
커피 그라인더를 무작위로 선택할 때 1000개의 결과가 가능하며, 이벤트 A "선택한 커피 그라인더에 결함이 있습니다."의 경우 7개의 결과가 유리합니다. 확률의 정의에 따르면.
답: 0.007.
문제 10.이 공장에서는 냉장고를 생산합니다. 평균적으로 고품질 냉장고 100대당 15대의 냉장고가 있습니다. 숨겨진 결함. 구입한 냉장고가 고품질일 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다.
이 작업은 이전 작업과 유사합니다. 그러나 “고품질 냉장고 100대에 결함이 있는 냉장고는 15대”라는 공식은 다음과 같이 나타냅니다. 15개의 불량품은 100개의 품질 제품에 포함되지 않습니다.. 따라서 결과의 총 개수는 100 + 15 = 115(냉장고의 총 개수와 동일)이고, 유리한 결과는 100개이며, 필요한 확률은 와 같습니다. 분수의 대략적인 값을 계산하려면 각도 나누기를 사용하는 것이 편리합니다. 우리는 0.869를 얻습니다... 이는 0.87입니다.
답: 0.87.
문제 11. 테니스 선수권 대회의 첫 번째 라운드가 시작되기 전에 참가자들은 추첨을 통해 무작위로 짝을 이루어 플레이합니다. 이번 대회에는 막심 자이체프를 포함해 러시아 출신 7명을 포함해 총 16명의 테니스 선수가 참가한다. 첫 번째 라운드에서 Maxim Zaitsev가 러시아의 어떤 테니스 선수와도 경기를 펼칠 확률을 구하십시오.
이전 작업에서와 마찬가지로 조건을 주의 깊게 읽고 무엇이 결과이고 무엇이 유리한 결과인지 이해해야 합니다. 예를 들어, 확률 공식을 무분별하게 적용하면 잘못된 답이 나옵니다.
여기서 결과는 Maxim Zaitsev의 상대입니다. 총 16명의 테니스 선수가 있고 Maxim은 자신과 대결할 수 없으므로 16 – 1 = 15개의 동일한 결과가 발생합니다. 유리한 결과는 러시아의 상대입니다. 7 – 1 = 6개의 유리한 결과가 있습니다(우리는 러시아인 수에서 Maxim을 제외합니다). 필요한 확률은 와 같습니다.
답: 0.4.
문제 12.축구 섹션에는 33명이 참석하며 그 중 Anton과 Dmitry라는 두 형제가 있습니다. 섹션에 참석하는 사람들은 각각 11명으로 구성된 세 팀으로 무작위로 나뉩니다. Anton과 Dmitry가 같은 팀에 속할 확률을 구하십시오.
Anton과 Dmitry를 시작으로 순차적으로 빈 자리에 플레이어를 배치하여 팀을 구성합니다. 먼저 Anton을 무료 33개 중에서 무작위로 선택한 장소에 배치하겠습니다. 이제 Dmitry를 무료 장소에 배치합니다(결과가 될 장소 선택을 고려할 것입니다). 총 32개의 무료 자리가 있으므로(Anton은 이미 한 자리를 차지했습니다) 총 32개의 가능한 결과가 있습니다. Anton과 같은 팀에는 10개의 빈 자리가 남아 있으므로 "Anton과 Dmitry의 같은 팀" 이벤트는 10개의 결과에서 선호됩니다. 이 사건의 확률은 
.
답: 0.3125.
문제 13. 12시간 문자판이 달린 기계식 시계가 어느 시점에 고장이 나서 작동을 멈췄습니다. 시침이 얼어서 11시에는 도달했지만 2시에는 도달하지 못할 확률을 구하십시오.
일반적으로 다이얼은 인접한 숫자 표시(12와 1, 1과 2, 2와 3, ..., 11과 12 사이) 사이에 위치한 12개의 섹터로 나눌 수 있습니다. 표시된 섹터 중 하나에서 시계 바늘이 멈추는 결과를 고려해 보겠습니다. 총 12개의 동일하게 가능한 결과가 있습니다. 이 이벤트는 세 가지 결과(11과 12, 12와 1, 1과 2 사이의 섹터)에 의해 선호됩니다. 필요한 확률은 다음과 같습니다. 
.
답: 0.25.
요약하다
확률 이론의 간단한 문제를 해결하는 방법에 대한 자료를 공부한 후 다음 작업을 완료하는 것이 좋습니다. 독립적인 결정우리가 게시하는 우리 텔레그램 채널. 입력하여 올바르게 완료되었는지 확인할 수도 있습니다. 제공된 양식으로 답변합니다.
소셜 네트워크에서 기사를 공유해 주셔서 감사합니다.
출처“통합 상태 시험 준비. 수학, 확률이론.” 편집자: F.F. Lysenko, S.Yu. 쿨라부호바
V-6-2014(통합 국가 시험 은행의 프로토타입 56개 모두)
가장 간단한 수학적 모델(확률 이론)을 구축하고 연구할 수 있습니다.
1.B 무작위 실험두 개의 주사위가 던져집니다. 총합이 8점이 될 확률을 구해 보세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다.해결책: 주사위를 던져 8점이 나오는 결과의 수는 5개(2+6, 3+5, 4+4, 5+3, 6+2)입니다. 각 주사위에는 6개의 가능한 굴림이 있으므로 총 결과 수는 6 6 = 36입니다. 따라서 총 8이 나올 확률은 5입니다: 36 = 0.138... = 0.14
2. 무작위 실험에서 대칭 동전이 두 번 던져졌습니다. 앞면이 정확히 한 번 나올 확률을 구하세요.해결책: 실험에는 머리-머리, 머리-꼬리, 꼬리-머리, 꼬리-꼬리의 4가지 동등하게 가능한 결과가 있습니다. 머리-꼬리와 꼬리-머리의 두 가지 경우에는 머리가 정확히 한 번 나타납니다. 따라서 앞면이 정확히 1번 나올 확률은 2:4 = 0.5입니다.
3. 이번 체조 선수권 대회에는 20명의 선수가 참가합니다: 러시아 8명, 미국 7명, 나머지 중국. 체조 선수의 연기 순서는 추첨에 의해 결정됩니다. 먼저 출전하는 선수가 중국 출신일 확률을 구하여라.해결책: 챔피언십에 참가합니다중국에서 온 운동선수들. 그렇다면 먼저 출전하는 선수가 중국 출신일 확률은 5:20=0.25이다.
4. 평균적으로 판매된 정원 펌프 1000개 중 5개가 누출됩니다. 제어를 위해 무작위로 선택한 펌프 중 하나가 누출되지 않을 확률을 구하십시오.해결책: 평균적으로 판매된 정원 펌프 1000개 중 1000 − 5 = 995개는 새지 않습니다. 이는 제어를 위해 무작위로 선택된 하나의 펌프가 누출되지 않을 확률이 995: 1000 = 0.995라는 것을 의미합니다.
5. 공장에서는 가방을 생산합니다. 평균적으로 품질이 좋은 가방 100개마다 숨겨진 결함이 있는 가방이 8개 있습니다. 구매한 가방이 품질이 좋을 확률을 찾아보세요. 결과를 100분의 1로 반올림합니다.해결책: 조건에 따르면 100 + 8 = 108개의 가방마다 100개의 고품질 가방이 있습니다. 이는 구매한 가방이 고품질일 확률이 100:108 =0.925925...= 0.93임을 의미합니다.
6. 포환던지기 대회에는 핀란드 4명, 덴마크 7명, 스웨덴 9명, 노르웨이 5명이 참가합니다. 선수들의 경기 순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 마지막으로 경기하는 선수가 스웨덴 출신일 확률을 구하세요.. 해결책: 총 4 + 7 + 9 + 5 = 25명의 선수가 대회에 참가합니다. 이는 마지막으로 경기에 출전하는 선수가 스웨덴 출신일 확률이 9:25 = 0.36임을 의미합니다.
7.과학회의는 5일간 진행됩니다. 총 75개의 보고서가 계획되어 있습니다. 처음 3일에는 17개의 보고서가 포함되고 나머지는 4일과 5일에 균등하게 배포됩니다. 보고 순서는 추첨을 통해 결정됩니다. M 교수의 보고서가 학회 마지막 날에 발표될 확률은 얼마나 됩니까?해결책: 처음 3일 동안 51개의 보고서를 읽을 예정이며, 마지막 이틀 동안 24개의 보고서를 읽을 예정입니다. 따라서 마지막 날에는 12개의 보고서가 예정되어 있습니다. 이는 M 교수의 보고서가 학회 마지막 날에 예정될 확률이 12:75=0.16임을 의미한다.
8. 출연자 경연은 5일간 진행됩니다. 각 나라별로 총 80회의 공연이 발표됐다. 첫날 공연은 8회이며, 나머지 공연은 남은 날에 균등하게 배분됩니다. 공연순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 대회 3일차에 러시아 대표가 공연할 확률은 얼마나 됩니까?해결책: 셋째날 예정연설. 이는 대회 3일차에 러시아 대표의 공연이 예정되어 있을 확률이 18:80 = 0.225라는 것을 의미합니다.
9. 세미나에는 노르웨이 과학자 3명, 러시아 3명, 스페인 4명이 왔습니다. 보고 순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 여덟 번째 보고서가 러시아 과학자의 보고서일 확률을 구하십시오.해결책: 총 3 + 3 + 4 = 10명의 과학자가 세미나에 참여합니다. 즉, 8번째로 말하는 과학자가 러시아 출신일 확률은 3:10 = 0.3입니다.
10. 배드민턴 선수권 대회 1회전 시작 전, 참가자들은 추첨을 통해 무작위로 2인 1조로 배정됩니다. 이번 대회에는 루슬란 오를로프를 비롯한 러시아 출신 10명을 포함해 총 26명의 배드민턴 선수가 참가한다. 첫 번째 라운드에서 Ruslan Orlov가 러시아 배드민턴 선수와 경기할 확률을 찾아보세요.해결책: 첫 번째 라운드에서 Ruslan Orlov는 26 − 1 = 25명의 배드민턴 선수와 경기할 수 있으며 그 중 10 − 1 = 9명은 러시아 출신입니다. 이는 첫 번째 라운드에서 Ruslan Orlov가 러시아 배드민턴 선수와 경기할 확률이 9:25 = 0.36임을 의미합니다.
11. 생물학 티켓 컬렉션에는 55장의 티켓만 있으며 그 중 11장은 식물학에 관한 질문을 담고 있습니다. 무작위로 선택된 시험 티켓에서 학생이 식물학에 관한 문제를 받을 확률을 구하십시오.해결책: 11: 55 = 0.2
12. 다이빙 챔피언십에는 러시아 출신 8명, 파라과이 출신 9명 등 25명의 선수가 출전한다. 공연순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 파라과이 점퍼가 6위가 될 확률을 구하세요.
13. 두 공장에서 자동차 헤드라이트용으로 동일한 유리를 생산합니다. 첫 번째 공장은 이러한 유리의 30%를 생산하고 두 번째 공장은 70%를 생산합니다. 첫 번째 공장에서는 불량 유리의 3%를 생산하고, 두 번째 공장에서는 4%를 생산합니다. 실수로 상점에서 구입한 유리가 결함이 있는 것으로 판명될 확률을 구하십시오.
해결책. %%를 분수로 변환합니다.
이벤트 A - "첫 번째 공장에서 유리를 구입했습니다." P(A)=0.3
이벤트 B - "두 번째 공장에서 유리를 구입했습니다." P(B)=0.7
이벤트 X - "유리 결함".
P(A와 X) = 0.3*0.03=0.009
P(B 및 X) = 0.7*0.04=0.028 전체 확률 공식에 따르면: P = 0.009+0.028 = 0.037
14. 그랜드마스터 A.가 백인 플레이를 하면 그랜드마스터 B를 상대로 확률 0.52로 승리합니다. A.가 흑색 플레이를 한다면 A.는 확률 0.3으로 B를 상대로 승리합니다. Grandmasters A.와 B.는 두 게임을 플레이하며 두 번째 게임에서는 말의 색상을 변경합니다. A.가 두 번 모두 승리할 확률을 구하세요. 해결책: 0,52 * 0,3 = 0,156.
15. Vasya, Petya, Kolya 및 Lyosha는 누가 게임을 시작해야 하는지에 대해 제비를 뽑았습니다. Petya가 게임을 시작해야 할 확률을 찾아보세요.
해결책: 무작위 실험 - 제비를 뽑는 것입니다.
이 실험에서 기본 이벤트는 추첨을 이기는 참가자입니다.
가능한 기본 이벤트를 나열해 보겠습니다.
(Vasya), (Petya), (Kolya), (Lyosha).
그 중 4개가 있을 것입니다. N=4. 로트는 모든 기본 사건이 동일하게 가능하다는 것을 의미합니다.
이벤트 A=(Petya가 많이 승리함)는 하나의 기본 이벤트(Petya)에서만 선호됩니다. 따라서 N(A)=1입니다.
그러면 P(A)=0.25답: 0.25.
16. 세계선수권에는 16개 팀이 참가한다. 추첨을 사용하여 각각 4개 팀으로 구성된 4개 그룹으로 나누어야 합니다. 상자에는 그룹 번호가 혼합된 카드가 있습니다: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. 팀 주장은 각각 카드 한 장을 받습니다. 러시아 팀이 두 번째 그룹에 속할 확률은 얼마입니까?해결책: 총 결과 - 16. 이 중에서 호의적입니다. 숫자 2를 사용하면 4가 됩니다. 따라서 4: 16=0.25
17. 기하학 시험에서 학생은 시험 문제 목록 중 하나의 문제를 받습니다. 이것이 내접원 질문일 확률은 0.2입니다. 평행사변형이라는 주제의 문제일 확률은 0.15입니다. 이 두 가지 주제에 동시에 관련된 질문은 없습니다. 학생이 시험에서 이 두 가지 주제 중 하나에 대한 질문을 받을 확률을 구하십시오.
= (“내접원” 주제에 대한 질문),
= (“평행사변형” 주제에 대한 질문).
이벤트그리고 조건에 따라 목록에 이 두 주제와 관련된 질문이 동시에 포함되어 있지 않기 때문에 호환되지 않습니다.
이벤트= (이 두 주제 중 하나에 대한 질문)은 다음의 조합입니다..
호환되지 않는 사건의 확률을 추가하는 공식을 적용해 보겠습니다.
.
18.B 쇼핑 센터두 개의 동일한 기계가 커피를 판매합니다. 하루가 끝날 때까지 기계에 커피가 떨어질 확률은 0.3입니다. 두 기계 모두 커피가 떨어질 확률은 0.12입니다. 하루가 끝날 때 두 기계 모두에 커피가 남아 있을 확률을 구하십시오.
이벤트를 정의해보자
= (첫 번째 기계에서는 커피가 다 떨어집니다),
= (두 번째 기계에서는 커피가 다 떨어집니다.)
문제의 조건에 따라그리고 .
확률을 더하는 공식을 사용하여 사건의 확률을 구합니다.
그리고 = (커피는 적어도 하나의 기계에서 다 떨어질 것입니다):
.
따라서 반대 사건(커피가 두 기계 모두에 남아 있음)이 발생할 확률은 다음과 같습니다.
.
19. 바이애슬론 선수가 목표물을 다섯 번 쏘았습니다. 한 번의 사격으로 목표물을 맞출 확률은 0.8입니다. 바이애슬론 선수가 처음 세 번 목표물을 맞추고 마지막 두 번은 놓칠 확률을 구하십시오. 결과를 100분의 1로 반올림합니다.
이 문제에서는 다음 샷의 결과가 이전 샷의 결과에 의존하지 않는다고 가정합니다. 따라서 이벤트는 "첫 번째 샷에 적중", "두 번째 샷에 적중" 등이 됩니다. 독립적인.
각 히트 확률은 동일합니다.. 이는 각 실패 확률이 다음과 같다는 것을 의미합니다.. 독립 사건의 확률을 곱하는 공식을 사용해 보겠습니다. 우리는 순서가
= (적중, 적중, 적중, 놓침, 놓침) 확률이 있습니다
=
= . 답변: .
20. 매장에는 결제기가 2대 있습니다. 다른 기계와 상관없이 각각은 확률 0.05로 결함이 있을 수 있습니다. 적어도 하나의 기계가 작동할 확률을 구하십시오.
이 문제는 또한 오토마타가 독립적으로 작동한다고 가정합니다.
반대 사건의 확률을 구해보자
= (두 기계 모두 결함이 있습니다).
이를 위해 독립 사건의 확률을 곱하는 공식을 사용합니다.
.
사건이 일어날 확률을 뜻함= (적어도 하나의 기계가 작동 중)은 다음과 같습니다.. 답변: .
21. 두 개의 램프가 달린 랜턴으로 방을 비춥니다. 1년 안에 램프 하나가 꺼질 확률은 0.3이다. 일년 중 적어도 하나의 램프가 꺼지지 않을 확률을 구하십시오.해결책: 둘 다 소진됩니다 (사건은 독립적이며 확률의 곱에 대한 공식을 사용합니다) 확률 p1=0.3⋅0.3=0.09
반대 이벤트(둘 다 타지 않을 것입니다 = 적어도 하나는 타지 않을 것입니다)
확률 p=1-p1=1-0.09=0.91로 발생합니다.
답: 0.91
22. 새 전기주전자가 1년 이상 지속될 확률은 0.97이다. 2년 이상 지속될 확률은 0.89이다. 2년 미만, 1년 이상 지속될 확률을 구하세요.
해결책.
A = "주전자의 수명은 1년 이상 2년 미만", B = "주전자의 수명은 2년 이상", A + B = "주전자의 수명은 1년 이상"입니다.
사건 A와 B는 결합되어 있으며 그 합의 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 발생 확률만큼 감소한 것과 같습니다. 주전자가 정확히 2년 후(정확히 같은 날, 시간, 초)에 고장날 것이라는 사실로 구성된 이러한 사건이 발생할 확률은 0입니다. 그 다음에:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = P(A) + P(B),
여기서 조건의 데이터를 사용하여 0.97 = P(A) + 0.89를 얻습니다.
따라서 원하는 확률에 대해 P(A) = 0.97 − 0.89 = 0.08이 됩니다.
23.농업회사 구매 닭고기 달걀두 가구에서. 첫 번째 농장의 계란 중 40%는 가장 높은 카테고리의 계란이고, 두 번째 농장의 계란은 20%가 가장 높은 카테고리의 계란입니다. 전체적으로 계란의 35%가 가장 높은 등급을 받았습니다. 이 농업 회사에서 구입한 계란이 첫 번째 농장에서 나올 확률을 구하십시오.해결책: 농업회사가 첫 번째 농장에서 구매하도록 하세요.계란을 포함한 가장 높은 카테고리의 계란과 두 번째 농장에서 -계란을 포함한 가장 높은 카테고리의 계란. 따라서 농산물 구매 총액은계란을 포함한 가장 높은 카테고리의 계란. 조건에 따르면 계란의 35%가 가장 높은 카테고리를 가지며 다음과 같습니다.
따라서 구입한 계란이 첫 번째 농장에서 나올 확률은 다음과 같습니다. =0,75
24. 전화 키패드에는 0부터 9까지 10개의 숫자가 있습니다. 무작위로 누른 숫자가 짝수일 확률은 얼마입니까?
25.10에서 19까지의 무작위로 선택된 자연수가 3으로 나누어질 확률은 얼마입니까?
26. 카우보이 존이 제로 리볼버로 사격할 경우 0.9의 확률로 벽에 파리를 맞춥니다. 존이 발사되지 않은 리볼버를 발사하면 그는 확률 0.2로 파리를 맞춥니다. 테이블 위에는 10개의 리볼버가 있는데 그 중 4개만 총에 맞았습니다. 카우보이 존은 벽에 붙어 있는 파리를 발견하고, 우연히 마주친 첫 번째 리볼버를 무작위로 집어 파리를 쏜다. John이 놓칠 확률을 구하세요.. 해결책: 존 영점 조정된 리볼버를 잡고 맞히면 파리에 맞고, 발사되지 않은 리볼버를 잡고 맞으면 파리가 됩니다. 조건부 확률 공식에 따르면 이러한 사건의 확률은 각각 0.4·0.9 = 0.36 및 0.6·0.2 = 0.12와 같습니다. 이러한 사건은 호환되지 않으며, 그 합의 확률은 이러한 사건의 확률의 합(0.36 + 0.12 = 0.48)과 같습니다. 존이 놓친 사건은 그 반대다. 확률은 1 − 0.48 = 0.52입니다.
27. 관광객 일행은 5명입니다. 추첨을 통해 그들은 음식을 사러 마을에 가야 할 두 사람을 선택합니다. 관광객 A.는 가게에 가고 싶어하지만 제비를 따릅니다. A가 가게에 갈 확률은 얼마입니까?해결책: 총 5명의 관광객이 있으며, 그 중 2명이 무작위로 선택됩니다. 선정될 확률은 2:5=0.4이다. 답: 0.4.
28. 시작하기 전에 축구 경기심판은 어느 팀이 공을 가지고 경기를 시작할 것인지 결정하기 위해 동전을 던집니다. Fizik 팀은 서로 다른 팀과 세 경기를 치릅니다. 이 게임에서 "물리학자"가 복권을 정확히 두 번 얻을 확률을 찾아보세요.해결책: "물리학자"가 로트에 당첨되는 동전의 면을 "1"로 표시하고, 동전의 다른 면을 "0"으로 표시하겠습니다. 그런 다음 110, 101, 011의 세 가지 유리한 조합이 있으며 총 2가지 조합이 있습니다. 3 = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. 따라서 필요한 확률은 다음과 같습니다.
29. 주사위는 두 번 던져진다. 실험의 기본 결과 중 "A = 점의 합은 5"라는 사건을 선호하는 경우는 몇 개입니까? 해결 방법: "3 + 2", "2 + 3", "1 + 4", "4 + 1"의 네 가지 경우에 점수의 합은 5가 될 수 있습니다. 답: 4.
30. 무작위 실험에서 대칭 동전이 두 번 던져졌습니다. OP 결과가 발생할 확률을 구합니다(처음에는 앞면이 나오고 두 번째에는 뒷면이 나옵니다).해결책: 가능한 결과는 머리-머리, 머리-꼬리, 꼬리-머리, 꼬리-꼬리의 네 가지입니다. 하나는 유리하다: 머리와 꼬리. 따라서 원하는 확률은 1:4 = 0.25입니다. 답: 0.25.
31. 밴드는 선언된 각 국가에서 하나씩 록 페스티벌에서 공연합니다. 공연순서는 추첨을 통해 결정됩니다. 덴마크 그룹이 스웨덴 그룹 다음으로, 노르웨이 그룹 다음으로 공연할 확률은 얼마입니까? 결과를 100분의 1로 반올림합니다.해결책: 페스티벌에서 공연하는 그룹의 총 수는 질문에 답하는 데 중요하지 않습니다. 숫자가 아무리 많아도 이들 국가에는 화자 간 상대적 위치를 나타내는 6가지 방법이 있습니다(D - 덴마크, W - 스웨덴, N - 노르웨이).
D...SH...N..., ...D...N...SH..., ...SH...N...D..., ...W. ..D...N..., ...N...D...W..., ...N...W...D...
덴마크는 두 가지 경우에 스웨덴과 노르웨이에 뒤처졌습니다. 따라서 그룹이 이런 방식으로 무작위로 분포될 확률은 다음과 같습니다.답: 0.33.
32. 포병 사격 중에는 자동 시스템이 목표물에 사격합니다. 목표물이 파괴되지 않으면 시스템은 두 번째 사격을 발사합니다. 표적이 파괴될 때까지 사격이 반복됩니다. 첫 번째 사격으로 특정 목표를 파괴할 확률은 0.4이고, 이후의 각 사격에서는 0.6입니다. 목표물을 파괴할 확률이 최소 0.98이 되도록 하려면 몇 발의 사격이 필요합니까?해결책: 일련의 연속 실패 후 생존 확률을 계산하여 "행동으로" 문제를 해결할 수 있습니다: P(1) = 0.6. P(2) = P(1) 0.4 = 0.24. P(3) = P(2) 0.4 = 0.096. P(4) = P(3) 0.4 = 0.0384; P(5) = P(4) 0.4 = 0.01536. 후자의 확률은 0.02보다 작으므로 목표물에 5발의 사격이면 충분합니다.
33. 다음 대회 라운드에 진출하려면 축구팀이 두 경기에서 최소 4점을 획득해야 합니다. 팀이 승리하면 3점, 무승부이면 1점, 패하면 0점을 받습니다. 팀이 다음 대회 라운드에 진출할 확률을 구해 보세요. 각 게임에서 승패 확률은 동일하고 0.4와 같다고 생각하세요.. 해결책 : 팀은 3+1, 1+3, 3+3의 세 가지 방법으로 두 게임에서 최소 4점을 얻을 수 있습니다. 이러한 사건은 양립할 수 없으며, 그 합의 확률은 확률의 합과 같습니다. 이러한 각 이벤트는 두 개의 독립적인 이벤트(첫 번째 게임과 두 번째 게임의 결과)의 산물입니다. 여기에서 우리는 다음을 가지고 있습니다:
34. 어떤 도시에서는 태어난 아기 5,000명 중 2,512명이 남자아이입니다. 이 도시에서 여자아이의 출생 빈도를 구하십시오. 결과를 천 단위로 반올림합니다.해결책: 5000 – 2512 = 2488; 2488: 5000 = 0,4976 ≈0,498
35. 항공기 기내에는 비상구 옆에 12개의 좌석이 있고 객실을 분리하는 칸막이 뒤에 18개의 좌석이 있습니다. 나머지 좌석은 키가 큰 승객에게는 불편합니다. 승객 V는 키가 큽니다. 체크인 시 좌석을 무작위로 선택하고 비행기에 총 좌석이 300개라면 승객 B가 편안한 좌석을 얻을 확률을 구하십시오.해결책 : 비행기에는 승객 B가 편안하게 앉을 수 있는 좌석이 12 + 18 = 30개가 있으며, 비행기에는 총 300개의 좌석이 있습니다. 따라서 승객 B가 편안한 좌석을 얻을 확률은 30:300 = 0.1입니다. 정답: 0.1.
36. 대학의 올림피아드에서 참가자들은 세 개의 교실에 앉아 있습니다. 처음 두 사람은 각각 120명씩 참석하고 나머지 사람들은 다른 건물에 있는 예비 강당으로 옮겨집니다. 집계해 보니 총 참가자 수는 250명이었다. 무작위로 선택된 참가자가 빈 교실에서 대회를 썼을 확률을 구하십시오.해결책: 총 250 – 120 – 120 = 10명이 예비 관객으로 보내졌습니다. 따라서 무작위로 선정된 참가자가 빈 교실에서 올림피아드를 쓸 확률은 10:250=0.04이다. 답: 0.04.
37. 학급에는 26 명이 있는데 그중에는 Andrey와 Sergey라는 두 명의 쌍둥이가 있습니다. 수업은 무작위로 각각 13명으로 구성된 두 그룹으로 나뉩니다. Andrey와 Sergey가 같은 그룹에 속할 확률을 구하십시오.해결책: 쌍둥이 중 한 명을 어떤 그룹에 속하게 하세요. 그와 함께 남은 25명의 동급생 중 12명이 그룹에 속하게 된다. 두 번째 쌍둥이가 이 12명 중에 포함될 확률은 12:25 = 0.48입니다.
38. 한 택시 회사에는 50대의 차량이 있습니다. 그 중 27개는 검은색이고 옆면에 노란색 문양이 있고, 나머지는 노란색이며 검은색 문양이 있습니다. 검은 글자가 새겨진 노란색 자동차가 무작위 호출에 응답할 확률을 구하십시오.해결책: 23:50=0.46
39. 관광객 일행은 30명입니다. 그들은 여러 단계에 걸쳐 헬리콥터를 타고 접근하기 어려운 지역으로 비행당 6명씩 투하됩니다. 헬리콥터가 관광객을 수송하는 순서는 무작위입니다. 관광객 P.가 첫 번째 헬리콥터 비행을 할 확률을 구하십시오.해결책: 첫 번째 비행에는 6석, 총 30석이 있으며, 관광객 P가 첫 번째 헬리콥터 비행에 탑승할 확률은 6:30 = 0.2입니다.
40. 새로운 DVD 플레이어가 1년 이내에 미국에 출시될 확률 보증 수리, 는 0.045와 같습니다. 어떤 도시에서는 한 해 동안 판매된 DVD 플레이어 1,000대 중 51대가 보증 워크샵을 통해 수령되었습니다. "보증 수리" 이벤트의 빈도는 이 도시에서의 확률과 얼마나 다릅니까?해결책: "보증 수리" 이벤트의 빈도(상대 빈도)는 51:1000 = 0.051입니다. 예상 확률과 0.006만큼 차이가 납니다.
41. 직경 67mm의 베어링을 제조할 때 직경이 지정된 직경과 0.01mm 이하로 다를 확률은 0.965입니다. 무작위 베어링의 직경이 66.99mm보다 작거나 67.01mm보다 클 확률을 구합니다.해결책. 조건에 따르면 베어링 직경은 0.965의 확률로 66.99~67.01mm 범위에 있습니다. 따라서 원하는 반대 사건의 확률은 1 − 0.965 = 0.035입니다.
42. 학생 O가 생물학 시험에서 11개 이상의 문제를 올바르게 풀 확률은 0.67입니다. O.가 10개 이상의 문제를 정확하게 풀 확률은 0.74입니다. O.가 정확히 11개의 문제를 올바르게 풀 확률을 구하세요.해결책: A = "학생이 11개의 문제를 해결할 것입니다." 및 B = "학생이 11개 이상의 문제를 해결할 것입니다."라는 사건을 생각해 보십시오. 그 합은 사건 A + B = "학생은 10개 이상의 문제를 풀 것입니다." 사건 A와 B는 양립할 수 없으며, 그 합의 확률은 다음 사건의 확률의 합과 같습니다: P(A + B) = P(A) + P(B). 그런 다음 이 문제를 사용하여 다음을 얻습니다: 0.74 = P(A) + 0.67, 여기서 P(A) = 0.74 − 0.67 = 0.07. 답: 0.07.
43. "언어학" 전문 연구소에 입학하려면 지원자는 수학, 러시아어 및 세 가지 과목의 통합 국가 시험에서 각각 최소 70점을 획득해야 합니다. 외국어. 전문 "상거래"에 등록하려면 수학, 러시아어 및 사회의 세 가지 과목에서 각각 최소 70점을 획득해야 합니다. 지원자 Z가 수학에서 최소 70점을 받을 확률은 0.6, 러시아어 - 0.8, 외국어 - 0.7, 사회 - 0.5입니다. Z가 적어도 하나의 과목에 등록할 수 있을 확률을 구하십시오. 언급된 두 가지 전문 분야 중 하나입니다.해결책: 어느 곳에든 등록하려면 Z.는 러시아어와 수학을 모두 70점 이상으로 통과해야 하며, 이에 더해 외국어 또는 사회 과목도 70점 이상으로 통과해야 합니다. 허락하다 A, B, C, D - Z. 가 수학, 러시아어, 외국어, 사회 과목을 각각 70점 이상으로 통과하는 이벤트입니다. 그러다가
도착 확률은 다음과 같습니다.
44. 한 도자기 식기 공장에서는 생산된 접시의 10%가 불량입니다. 제품 품질 관리 과정에서 불량 플레이트의 80%가 식별됩니다. 나머지 접시는 판매 중입니다. 구입 시 무작위로 선택한 접시에 결함이 없을 확률을 구합니다. 답을 소수점 이하로 반올림하세요.해결책 : 공장에서 생산하자접시. 모든 고품질 플레이트와 발견되지 않은 결함 플레이트의 20%가 판매됩니다.접시. 왜냐하면 품질이 좋은 것들은, 고품질 접시를 구입할 확률은 0.9p:0.92p=0.978 정답: 0.978.
45.가게에는 세 명의 판매자가 있습니다. 그들 각각은 확률 0.3으로 클라이언트로 바쁘다. 임의의 순간에 세 명의 판매자가 동시에 바쁠 확률을 구합니다(고객이 서로 독립적으로 방문한다고 가정).해결책 : 독립 사건의 곱의 확률은 이들 사건의 확률의 곱과 같습니다. 따라서 세 명의 판매자가 모두 바쁘게 일할 확률은 동일합니다.
46. Ivan Ivanovich는 고객 리뷰를 바탕으로 두 온라인 상점의 신뢰성을 평가했습니다. 원하는 제품이 A 매장에서 배송될 확률은 0.8입니다. 이 상품이 B 매장에서 배송될 확률은 0.9입니다. Ivan Ivanovich는 두 상점에서 동시에 상품을 주문했습니다. 온라인 상점이 서로 독립적으로 운영된다고 가정하고 어떤 상점도 제품을 배송하지 않을 확률을 구하십시오.해결책: 첫 번째 상점에서 상품을 배송하지 않을 확률은 1 − 0.9 = 0.1입니다. 두 번째 상점에서 상품을 배송하지 않을 확률은 1 − 0.8 = 0.2입니다. 이러한 이벤트는 독립적이므로 발생 확률(두 상점 모두 상품을 배송하지 않음)은 이러한 이벤트 확률의 곱과 같습니다. 0.1 · 0.2 = 0.02
47. 지역 센터에서 마을까지 버스가 매일 운행됩니다. 월요일에 버스에 승객이 20명 미만일 확률은 0.94입니다. 승객이 15명 미만일 확률은 0.56입니다. 승객 수가 15명에서 19명 사이일 확률을 구하세요.해결책: A = "버스에 15명 미만의 승객이 있습니다" 및 B = "버스에 15~19명의 승객이 있습니다"라는 이벤트를 생각해 보세요. 그 합은 사건 A + B = "버스에 20명 미만의 승객이 있습니다."입니다. 사건 A와 B는 양립할 수 없으며, 그 합의 확률은 다음 사건의 확률의 합과 같습니다: P(A + B) = P(A) + P(B). 그런 다음 이러한 문제를 사용하여 0.94 = 0.56 + P(B)를 얻습니다. 여기서 P(B) = 0.94 − 0.56 = 0.38입니다. 답: 0.38.
48. 배구 경기가 시작되기 전에 팀 주장은 공을 가지고 경기를 시작할 팀을 결정하기 위해 공정한 제비를 뽑습니다. "Stator" 팀은 "Rotor", "Motor" 및 "Starter" 팀과 번갈아 플레이합니다. Stator가 첫 번째 게임과 마지막 게임만 시작할 확률을 구하세요.해결책. 세 가지 이벤트가 발생할 확률을 찾아야 합니다. "Stator"가 첫 번째 게임을 시작하고, 두 번째 게임을 시작하지 않고, 세 번째 게임을 시작합니다. 독립적인 사건의 곱의 확률은 이러한 사건의 확률의 곱과 같습니다. 각각의 확률은 0.5이며, 그로부터 0.5·0.5·0.5 = 0.125를 알 수 있습니다. 답: 0.125.
49. 매직랜드에는 좋은 날씨와 아주 좋은 날씨의 두 가지 유형이 있으며, 아침에 설정된 날씨는 하루 종일 변하지 않습니다. 내일 날씨가 오늘과 같을 확률은 0.8로 알려져 있습니다. 오늘은 7월 3일, 매직랜드의 날씨가 좋습니다. 7월 6일 동화나라의 날씨가 좋을 확률을 구해보세요.해결책. 7월 4일, 5일, 6일의 날씨에는 ХХО, ХОО, ОХО, OOO의 4가지 옵션이 있습니다(여기서는 X가 좋음, O가 날씨가 좋음). 이러한 날씨가 발생할 확률을 찾아봅시다: P(XXO) = 0.8·0.8·0.2 = 0.128; P(XOO) = 0.8 0.2 0.8 = 0.128; P(OXO) = 0.2 0.2 0.2 = 0.008; P(OOO) = 0.2 0.8 0.8 = 0.128. 이러한 사건은 호환되지 않으며, 그 합의 확률은 다음 사건의 확률의 합과 같습니다: P(ХХО) + P(ХОО) + P(ХХО) + P(ООО) = 0.128 + 0.128 + 0.008 + 0.128 = 0.392.
50. 간염이 의심되는 모든 환자는 혈액검사를 받는다. 검사 결과 간염이 밝혀지면 검사 결과를긍정적인 . 간염 환자의 경우 확률 0.9로 양성 결과가 나옵니다. 환자가 간염에 걸리지 않은 경우 검사 결과는 0.01의 확률로 위양성 결과가 나올 수 있습니다. 간염이 의심되어 입원한 환자의 5%가 실제로 간염을 앓고 있는 것으로 알려져 있습니다. 간염이 의심되어 병원에 입원한 환자가 양성 반응을 보일 확률을 구하십시오.해결책 . 환자의 분석은 두 가지 이유로 긍정적일 수 있습니다. A) 환자가 간염을 앓고 있으며 그의 분석이 정확합니다. B) 환자는 간염이 없으며 그의 분석은 거짓입니다. 이는 양립할 수 없는 사건이며, 그 합의 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다. 우리는 p(A)=0.9 0.05=0.045; p(B)=0.01 0.95=0.0095; p(A+B)=P(A)+p(B)=0.045+0.0095=0.0545.
51. Misha의 주머니에는 "Grilyazh", "Squirrel", "Korovka", "Swallow" 등 4개의 사탕과 아파트 열쇠가 들어 있었습니다. 열쇠를 꺼내던 중 미샤는 실수로 주머니에서 사탕 한 개를 떨어뜨렸습니다. "그릴라쥬" 사탕이 분실되었을 확률을 구해보세요.
52. 12시간 다이얼이 있는 기계식 시계가 어느 시점에 고장이 나서 작동을 멈췄습니다. 시침이 얼어서 10시 위치에 도달하지만 1시 위치에는 도달하지 못할 확률을 구하십시오. 해결책: 3: 12=0.25
53. 배터리 불량 확률은 0.06이다. 상점의 구매자는 이러한 배터리 2개가 포함된 무작위 패키지를 선택합니다. 두 배터리 모두 양호할 확률을 구합니다.해결책: 배터리가 양호할 확률은 0.94입니다. 독립적인 사건이 발생할 확률(두 배터리 모두 양호함)은 이러한 사건의 확률을 곱한 것과 같습니다: 0.94·0.94 = 0.8836 답: 0.8836.
54. 자동 라인에서는 배터리를 생산합니다. 완성된 배터리가 불량일 확률은 0.02입니다. 포장하기 전에 각 배터리는 제어 시스템을 거칩니다. 시스템이 결함이 있는 배터리를 거부할 확률은 0.99입니다. 시스템이 실수로 작동하는 배터리를 거부할 확률은 0.01입니다. 임의로 선택된 제조 배터리가 검사 시스템에 의해 거부될 확률을 구하십시오.해결책. 다음과 같은 경우에 배터리가 거부되는 상황이 발생할 수 있습니다. A = 배터리에 실제로 결함이 있어 올바르게 거부되었거나 B = 배터리가 작동하지만 실수로 거부되었습니다. 이는 양립할 수 없는 사건이며, 그 합의 확률은 이러한 사건의 확률의 합과 같습니다. 우리는:
55. 그림은 미로를 보여줍니다. 거미는 입구 지점의 미로 속으로 기어 들어갑니다. 거미는 돌아서서 다시 기어갈 수 없으므로 각 가지에서 거미는 아직 기어가지 않은 경로 중 하나를 선택합니다. 추가 경로 선택이 순전히 무작위라고 가정하고 거미가 출구로 올 확률은 얼마인지 결정하십시오..
해결책.
표시된 네 개의 분기점 각각에서 거미는 D 출구로 이어지는 경로나 확률이 0.5인 다른 경로를 선택할 수 있습니다. 이는 독립적인 이벤트이며, 발생 확률(거미가 출구 D에 도달)은 이러한 이벤트 확률의 곱과 같습니다. 따라서 출구 D에 도착할 확률은 (0.5)입니다. 4 = 0,0625.
