Esimerkiksi sekvenssi \ (2 \); \(5\); \(kahdeksan\); \(yksitoista\); \ (14 \) ... on aritmeettinen progressio, koska jokainen seuraava alkio eroaa edellisestä kolmella (voidaan saada edellisestä lisäämällä tripletti):

Tässä etenemisessä ero \ (d \) on positiivinen (yhtä kuin \ (3 \)), ja siksi jokainen seuraava termi on suurempi kuin edellinen. Tällaisia ​​kehityskulkuja kutsutaan lisääntyy.

Kuitenkin \ (d \) voi olla myös negatiivinen. Esimerkiksi, v aritmeettinen progressio\(16\); \(kymmenen\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... etenemisen ero \ (d \) on yhtä suuri kuin miinus kuusi.

Ja tässä tapauksessa jokainen seuraava elementti on pienempi kuin edellinen. Näitä kehityskulkuja kutsutaan vähenee.

Aritmeettinen etenemismerkintä

Edistyminen on merkitty pienellä latinalaiskirjaimella.

Progression muodostavat numerot kutsuvat sitä jäsenet(tai elementtejä).

Ne on merkitty samalla kirjaimella kuin aritmeettinen eteneminen, mutta numeerisella indeksillä, joka on yhtä suuri kuin elementin numero järjestyksessä.

Esimerkiksi aritmeettinen progressio \ (a_n = \ vasen \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) koostuu elementeistä \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) ja niin edelleen.

Toisin sanoen etenemiselle \ (a_n = \ vasen \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ oikea \) \)

Aritmeettisen etenemisen ongelmanratkaisu

Periaatteessa yllä olevat tiedot ovat jo riittävät ratkaisemaan lähes kaikki aritmeettisen etenemisen ongelmat (mukaan lukien OGE:ssä tarjotut).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla \ (b_1 = 7; d = 4 \). Etsi \ (b_5 \).
Ratkaisu:

Vastaus: \ (b_5 = 23 \)

Esimerkki (OGE). Aritmeettisen etenemisen kolme ensimmäistä termiä on annettu: \ (62; 49; 36 ... \) Laske tämän etenemisen ensimmäisen negatiivisen termin arvo ..
Ratkaisu:

	Meille annetaan sekvenssin ensimmäiset elementit ja tiedämme, että se on aritmeettinen progressio. Eli jokainen elementti eroaa viereisestä samalla numerolla. Selvitä kumpi vähentämällä edellinen seuraavasta elementistä: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Nyt voimme palauttaa etenemisemme (ensimmäiseen negatiiviseen) elementtiin, jota tarvitsemme.
	Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen.

Vastaus: \(-3\)

Esimerkki (OGE). Useita peräkkäisiä aritmeettisen etenemisen alkioita on annettu: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Etsi \ (x \) kirjaimella merkityn elementin arvo.
Ratkaisu:

	Löytääksemme \ (x \), meidän on tiedettävä kuinka paljon seuraava elementti eroaa edellisestä, toisin sanoen - etenemisen ero. Etsitään se kahdesta tunnetusta viereisestä elementistä: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	Ja nyt löydämme halutun ilman ongelmia: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Valmis. Voit kirjoittaa vastauksen.

Vastaus: \(7,5\).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen progressiosarja seuraavat ehdot: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Laske tämän etenemisen kuuden ensimmäisen termin summa.
Ratkaisu:

Meidän on löydettävä etenemisen kuuden ensimmäisen ehdon summa. Mutta emme tiedä niiden merkityksiä, meille annetaan vain ensimmäinen elementti. Siksi ensin laskemme arvot vuorotellen käyttämällä meille annettua: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) Ja kun olemme laskeneet tarvitsemamme kuusi elementtiä, löydämme niiden summan.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Etsimäsi summa löytyi.

Vastaus: \ (S_6 = 9 \).

Esimerkki (OGE). Aritmeettisessa progressiossa \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Etsi ero tämän etenemisen välillä.
Ratkaisu:

Vastaus: \ (d = 7 \).

Tärkeitä aritmeettisen etenemisen kaavoja

Kuten näette, monet aritmeettiset etenemisongelmat voidaan ratkaista yksinkertaisesti ymmärtämällä pääasia - että aritmeettinen eteneminen on lukujen ketju ja jokainen seuraava elementti tässä ketjussa saadaan lisäämällä sama luku edelliseen (ero etenemisestä).

Joskus on kuitenkin tilanteita, joissa on erittäin hankalaa päättää "päältä". Kuvittele esimerkiksi, että aivan ensimmäisessä esimerkissä meidän ei tarvitse löytää viidettä elementtiä \ (b_5 \), vaan kolmesataakahdeksankymmentäkuudes \ (b_ (386) \). Mikä se on, me \ (385 \) kertaa lisäämme neljä? Tai kuvittele, että toiseksi viimeisessä esimerkissä sinun on löydettävä ensimmäisen seitsemänkymmentäkolmen elementin summa. Sinua kidutetaan laskeaksesi...

Siksi ne eivät tällaisissa tapauksissa ratkaise "päässä", vaan käyttävät erityisiä aritmeettiseen etenemiseen johdettuja kaavoja. Ja tärkeimmät ovat kaava etenemisen n:nnelle termille ja kaava ensimmäisten termien summalle \ (n \).

Kaava \ (n \) - . jäsen: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), missä \ (a_1 \) on etenemisen ensimmäinen termi;
\ (n \) - etsittävän elementin numero;
\ (a_n \) on etenemisen jäsen numerolla \ (n \).

Tämän kaavan avulla voimme nopeasti löytää ainakin kolmen sadasosan, jopa miljoonasosan, tietäen vain ensimmäisen ja etenemisen eron.

Esimerkki. Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Etsi \ (b_ (246) \).
Ratkaisu:

Vastaus: \ (b_ (246) = 1850 \).

Ensimmäisten n termien summan kaava: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), jossa

\ (a_n \) - viimeinen summattu termi;

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritellään ehdoilla \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Etsi tämän etenemisen ensimmäisten \ (25 \) jäsenten summa.
Ratkaisu:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Kahdenkymmenenviiden ensimmäisen elementin summan laskemiseksi meidän on tiedettävä ensimmäisen ja kahdennenkymmenennenviidennen ehdon arvo. Etenemisemme annetaan n:nnen termin kaavalla sen lukumäärästä riippuen (katso yksityiskohdat). Lasketaan ensimmäinen elementti korvaamalla \ (n \) yhdellä.
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Nyt löydämme kahdeskymmenesviides termin, joka korvaa kaksikymmentäviisi \ (n \) sijaan.
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		No, nyt voimme laskea tarvittavan määrän ilman ongelmia.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Vastaus on valmis.

Vastaus: \ (S_ (25) = 1090 \).

Ensimmäisten ehtojen summalle \ (n \) voit saada toisen kaavan: sinun tarvitsee vain \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) \ (a_n \) sijaan korvaa sen kaava \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Saamme:

Ensimmäisten n termien summan kaava: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), jossa

\ (S_n \) - vaadittu summa \ (n \) ensimmäisistä elementeistä;
\ (a_1 \) - ensimmäinen summattu termi;
\ (d \) - etenemisero;
\ (n \) - summan elementtien määrä.

Esimerkki. Etsi aritmeettisen progression ensimmäisen \ (33 \) - ex jäsenten summa: \ (17 \); \ (15,5 \); \(neljätoista\)…
Ratkaisu:

Vastaus: \ (S_ (33) = - 231 \).

Monimutkaisemmat aritmeettiset etenemisongelmat

Nyt sinulla on kaikki tiedot, joita tarvitset lähes minkä tahansa aritmeettisen etenemisongelman ratkaisemiseen. Päätämme aiheen pohtimalla ongelmia, joissa sinun ei tarvitse vain soveltaa kaavoja, vaan myös ajatella hieman (matematiikassa tästä voi olla hyötyä ☺)

Esimerkki (OGE). Etsi progression kaikkien negatiivisten termien summa: \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18,7 \) ...
Ratkaisu:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Tehtävä on hyvin samanlainen kuin edellinen. Aloitamme myös ratkaisemisen: ensin löydämme \ (d \).
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Nyt korvaamme summan kaavassa \ (d \) ja tästä tulee pieni vivahde - emme tiedä \ (n \). Toisin sanoen emme tiedä, kuinka monta termiä on lisättävä. Kuinka selvittää? Mietitään. Lopetamme elementtien lisäämisen, kun pääsemme ensimmäiseen positiiviseen elementtiin. Eli sinun on selvitettävä tämän elementin numero. Miten? Kirjataan ylös kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen elementin laskemiseksi: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) meidän tapauksessamme.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Tarvitsemme \ (a_n \) olevan suurempi kuin nolla. Selvitetään, missä \ (n \) tämä tapahtuu.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Jaamme epäyhtälön molemmat puolet arvolla \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Liiku miinus yksi, muista vaihtaa merkkejä
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Laskemme...
\ (n> 65 333 ... \)		... ja käy ilmi, että ensimmäisellä positiivisella elementillä on numero \ (66 \). Vastaavasti viimeisellä negatiivisella arvolla on \ (n = 65 \). Katsotaanpa se varmuuden vuoksi.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = -19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Siksi meidän on lisättävä ensimmäiset \ (65 \) -elementit.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Vastaus on valmis.

Vastaus: \ (S_ (65) = -630,5 \).

Esimerkki (OGE). Aritmeettinen eteneminen määritetään ehdoilla: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Etsi summa \ (26 \) th - \ (42 \) elementti mukaan lukien.
Ratkaisu:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	Tässä tehtävässä sinun on myös löydettävä elementtien summa, mutta alkaen ei ensimmäisestä, vaan \ (26 \) - th. Tällaista tapausta varten meillä ei ole kaavaa. Miten päättää? Helppo - saada summa arvosta \ (26 \) - th arvoon \ (42 \) - oi, sinun on ensin löydettävä summa kohdasta \ (1 \) - th arvoon \ (42 \) - oh ja vähennettävä sitten summa siitä ensin \ (25 \) - th (katso kuva).
	Etenemisellemme \ (a_1 = -33 \) ja erolle \ (d = 4 \) (loppujen lopuksi lisäämme neljä edelliseen elementtiin löytääksemme seuraavan). Kun tiedämme tämän, löydämme ensimmäisten \ (42 \) - yh elementtien summan.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Nyt ensimmäisten \ (25 \) - ty -elementtien summa.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Lopuksi laskemme vastauksen.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Vastaus: \ (S = 1683 \).

Aritmeettiselle etenemiselle on useita muita kaavoja, joita emme käsitelleet tässä artikkelissa niiden vähäisen käytännön hyödyn vuoksi. Voit kuitenkin löytää ne helposti.

Ensimmäinen taso

Aritmeettinen progressio. Yksityiskohtainen teoria esimerkein (2019)

Numerosarja

Joten istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:
Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat (meidän tapauksessamme ne). Riippumatta siitä, kuinka monta numeroa kirjoitamme, voimme aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen viimeiseen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta:

Numerosarja
Esimerkiksi sarjallemme:

Annettu numero koskee vain yhtä numeroa sarjassa. Toisin sanoen sekvenssissä ei ole kolmea sekuntia. Toinen numero (kuten -th luku) on aina yksi.
Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero:.

Meidän tapauksessamme:

Oletetaan, että meillä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.
Esimerkiksi:

jne.
Tätä numerosarjaa kutsutaan aritmeettiseksi progressioksi.
Roomalainen kirjailija Boethius otti käyttöön termin "eteneminen" jo 500-luvulla, ja se ymmärrettiin laajemmassa merkityksessä, loputtomana numerosarjana. Nimi "aritmetiikka" siirrettiin jatkuvien mittasuhteiden teoriasta, jota muinaiset kreikkalaiset harjoittivat.

Tämä on numeerinen sarja, jonka jokainen termi on yhtä suuri kuin edellinen, lisättynä samaan numeroon. Tätä lukua kutsutaan aritmeettisen etenemisen erotukseksi ja sitä merkitään.

Yritä määrittää, mitkä numerosarjat ovat aritmeettista progressiota ja mitkä eivät:

a)
b)
c)
d)

Ymmärsi? Verrataanpa vastauksiamme:
On aritmeettinen progressio - b, c.
Ei ole aritmeettinen progressio - a, d.

Palataan annettuun etenemiseen () ja yritetään löytää sen :nnen jäsenen arvo. Olemassa kaksi tapa löytää se.

1. Menetelmä

Voimme lisätä etenemisen numeron edelliseen arvoon, kunnes pääsemme etenemisen th termiin. On hyvä, että meillä ei ole paljon jäljellä yhteenvetoa - vain kolme arvoa:

Joten kuvatun aritmeettisen progression th jäsen on yhtä suuri kuin.

2. Menetelmä

Entä jos meidän pitäisi löytää etenemisen :nnen termin arvo? Summaaminen kestäisi yli tunnin, emmekä ole tosiasia, ettemme erehtyisi lisäämällä numeroita.
Tietenkin matemaatikot ovat keksineet tavan, jolla aritmeettisen progression eroa ei tarvitse lisätä edelliseen arvoon. Katso tarkasti piirroksiasi... Olet varmasti jo huomannut tietyn kuvion, nimittäin:

Katsotaanpa esimerkiksi, kuinka tämän aritmeettisen progression :nnen jäsenen arvo lisätään:


Toisin sanoen:

Yritä itsenäisesti löytää tietyn aritmeettisen progression jäsenen arvo tällä tavalla.

Laskettu? Vertaa muistiinpanojasi vastaukseen:

Huomaa, että sait täsmälleen saman luvun kuin edellisessä menetelmässä, kun lisäsimme peräkkäin aritmeettisen progression jäsenet edelliseen arvoon.
Yritetään "depersonalisoida" tämä kaava - tuomme sen mukaan yleinen muoto ja saada:

Aritmeettinen etenemisyhtälö.

Aritmeettiset progressiot ovat nousevia ja joskus laskevia.

Nouseva- progressiot, joissa jokainen myöhempi jäsenten arvo on suurempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Vähenemässä- progressiot, joissa jokainen myöhempi jäsenten arvo on pienempi kuin edellinen.
Esimerkiksi:

Johdettua kaavaa käytetään termien laskemiseen aritmeettisen etenemisen sekä kasvavissa että laskevissa termeissä.
Tarkastetaan tämä käytännössä.
Saamme aritmeettisen progression, joka koostuu seuraavista luvuista: Tarkastetaan, mikä tämän aritmeettisen progression :s luku tulee, jos laskemme sen kaavallamme:

Siitä lähtien:

Näin ollen varmistimme, että kaava toimii sekä laskevassa että kasvavassa aritmeettisessa etenemisessä.
Yritä löytää itse tämän aritmeettisen etenemisen th ja th termi.

Verrataanpa saatuja tuloksia:

Aritmeettisen progression ominaisuus

Monimutkaistaan ​​tehtävää - johdetaan aritmeettisen progression ominaisuus.
Oletetaan, että meille annetaan seuraava ehto:
- aritmeettinen progressio, löydä arvo.
Helppoa, sanot ja alat laskea jo tuntemasi kaavan mukaan:

Olkoon, a, sitten:

Aivan oikeassa. Osoittautuu, että löydämme ensin, lisäämme sen sitten ensimmäiseen numeroon ja saamme etsimämme. Jos etenemistä edustavat pienet arvot, niin siinä ei ole mitään monimutkaista, mutta jos meille annetaan numerot ehdossa? Myönnä se, että laskelmissa on mahdollisuus tehdä virhe.
Mieti nyt, onko mahdollista ratkaista tämä ongelma yhdellä toimella millä tahansa kaavalla? Tietysti kyllä, ja yritämme vetää hänet nyt pois.

Merkitään aritmeettisen progression vaadittu termi nimellä, tiedämme sen löytämisen kaavan - tämä on sama kaava, jonka johdimme alussa:
, sitten:

• etenemisen edellinen jäsen on:
• etenemisen seuraava jäsen on:

Tehdään yhteenveto etenemisen edellisistä ja myöhemmistä jäsenistä:

Osoittautuu, että etenemisen edellisen ja seuraavien jäsenten summa on niiden välissä olevan etenemisen jäsenen kaksinkertainen arvo. Toisin sanoen, jotta löydettäisiin etenemisen jäsenen arvo tunnetuilla edellisillä ja peräkkäisillä arvoilla, ne on laskettava yhteen ja jaettava arvolla.

Aivan, meillä on sama numero. Laitetaan materiaali kuntoon. Laske etenemisen arvo itse, sillä se ei ole ollenkaan vaikeaa.

Hyvin tehty! Tiedät melkein kaiken edistymisestä! Opeteltavana on vain yksi kaava, jonka legendan mukaan yksi kaikkien aikojen suurimmista matemaatikoista, "matemaatikoiden kuningas" - Karl Gauss - päätteli helposti itselleen ...

Kun Karl Gauss oli 9-vuotias, opettaja, joka oli kiireinen muiden luokkien opiskelijoiden töiden tarkistamisessa, asetti oppitunnilla seuraavan tehtävän: "Laske kaikkien luonnollisten lukujen summa alkaen korkeintaan (muiden lähteiden mukaan) mukaan lukien. " Kuvittele opettajan yllätys, kun yksi hänen oppilaistaan ​​(se oli Karl Gauss) antoi oikean vastauksen ongelmaan minuutissa, kun taas suurin osa urhoollisen luokkatovereista sai pitkien laskelmien jälkeen väärän tuloksen ...

Nuori Karl Gauss huomasi tietyn kuvion, jonka voit helposti huomata.
Oletetaan, että meillä on aritmeettinen progressio, joka koostuu -:nneistä jäsenistä: Meidän on löydettävä aritmeettisen progression annettujen jäsenten summa. Tietenkin voimme manuaalisesti summata kaikki arvot, mutta entä jos tehtävässä on tarpeen löytää sen jäsenten summa, kuten Gauss etsi?

Piirretään tietty eteneminen. Katso tarkasti korostettuja lukuja ja yritä suorittaa erilaisia ​​matemaattisia operaatioita niillä.


Oletko kokeillut sitä? Mitä olet huomannut? Oikein! Niiden summat ovat yhtä suuret

Kerro nyt minulle, kuinka monta tällaista paria on annetussa etenemisessä? Tietysti tarkalleen puolet kaikista luvuista.
Perustuen siihen tosiasiaan, että aritmeettisen progression kahden jäsenen summa on yhtä suuri ja samanlaisten yhtäläisten parien summa, saadaan, että kokonaissumma on:
.
Siten minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summan kaava on seuraava:

Joissakin tehtävissä emme tunne th termiä, mutta tiedämme eron etenemisessä. Yritä korvata kaavassa summa, kaava th termi.
Mitä sinä teit?

Hyvin tehty! Palataan nyt Karl Gaussille annettuun ongelmaan: laske itse, mikä on -th:stä alkavien lukujen summa ja -th:stä alkavien lukujen summa.

Kuinka paljon sait sen?
Gauss havaitsi, että jäsenten summa on yhtä suuri ja jäsenten summa. Näinkö päätit?

Itse asiassa antiikin kreikkalainen tiedemies Diophantus osoitti aritmeettisen progression jäsenten summan kaavan 3. vuosisadalla, ja koko tämän ajan nokkelat ihmiset käyttivät aritmeettisen progression ominaisuuksia parhaalla mahdollisella tavalla.
Kuvittele esimerkiksi Muinainen Egypti ja tuon ajan suurin rakennustyömaa - pyramidin rakentaminen... Kuvassa näkyy sen toinen puoli.

Missä tässä on kehitys, sanot? Katso tarkasti ja löydä kuvio hiekkalohkojen määrästä pyramidiseinän jokaisella rivillä.


Eikö se ole aritmeettinen progressio? Laske kuinka monta lohkoa tarvitaan yhden seinän rakentamiseen, jos pohjaan laitetaan tiiliä. Toivottavasti et laske vetämällä sormeasi näytön poikki, muistatko viimeisen kaavan ja kaiken, mitä sanoimme aritmeettisesta etenemisestä?

V tässä tapauksessa eteneminen näyttää tältä:.
Aritmeettisen etenemisen ero.
Aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä.
Korvataan tietomme viimeisiin kaavoihin (laskemme lohkojen lukumäärän kahdella tavalla).

Menetelmä 1.

Menetelmä 2.

Ja nyt voit laskea näytöllä: vertailla saatuja arvoja pyramidissamme olevien lohkojen lukumäärään. Tuliko se yhteen? Hyvin tehty, olet hallinnut aritmeettisen etenemisen termien summan.
Tietenkään et voi rakentaa pyramidia pohjassa olevista lohkoista, mutta? Yritä laskea kuinka monta hiekkatiiliä tarvitaan tämän ehdon mukaisen seinän rakentamiseen.
onnistuitko?
Oikea vastaus on lohkot:

Treenata

Tehtävät:

1. Masha kuntoutuu kesään mennessä. Joka päivä hän lisää kyykkyjen määrää. Kuinka monta kertaa Masha kyykky viikkojen aikana, jos hän teki kyykkyjä ensimmäisessä harjoituksessa.
2. Mikä on kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa.
3. Tukkeja varastoitaessa metsuri pinoaa ne siten, että kukin ylempi kerros sisältää yhden lokin vähemmän kuin edellinen. Kuinka monta hirsiä on yhdessä muurauksessa, jos hirret toimivat muurauksen perustana.

Vastaukset:

1. Määritellään aritmeettisen etenemisen parametrit. Tässä tapauksessa
   (viikot = päivät).

   Vastaus: Kahden viikon kuluttua Mashan tulisi kyykkyä kerran päivässä.

2. Ensimmäinen pariton numero, viimeinen numero.
   Aritmeettisen etenemisen ero.
   Parittomien lukujen määrä on puolet, mutta tarkistamme tämän tosiasian käyttämällä kaavaa aritmeettisen progression -:nnen termin löytämiseksi:

   Numerot sisältävät parittomat numerot.
   Korvaa käytettävissä olevat tiedot kaavaan:

   Vastaus: Kaikkien mukana olevien parittomien lukujen summa on yhtä suuri.

3. Muistakaamme pyramidiongelma. Meidän tapauksessamme a, koska jokaista pintakerrosta pienennetään yhdellä tukilla, niin vain kerroksittain, eli.
   Korvataan tiedot kaavaan:

   Vastaus: Muurauksessa on tukkeja.

Tehdään yhteenveto

1. - numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri. Se voi kasvaa ja pienentyä.
2. Kaavan löytäminen Aritmeettisen etenemisen th jäsen kirjoitetaan kaavalla -, jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.
3. Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus- - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.
4. Aritmeettisen progression jäsenten summa löytyy kahdella tavalla:
   
   , missä on arvojen määrä.

ARITMEETTINEN EDISTYS. KESKITASO

Numerosarja

Istutaan alas ja aletaan kirjoittaa numeroita. Esimerkiksi:

Voit kirjoittaa mitä tahansa numeroita, ja niitä voi olla niin monta kuin haluat. Mutta voit aina sanoa, kumpi on ensimmäinen, mikä toinen ja niin edelleen, eli voimme numeroida ne. Tämä on esimerkki numerosarjasta.

Numerosarja on joukko numeroita, joille jokaiselle voidaan määrittää yksilöllinen numero.

Toisin sanoen jokainen luku voidaan liittää tiettyyn luonnolliseen numeroon ja ainoaan. Emmekä määritä tätä numeroa millekään muulle tämän sarjan numerolle.

Numeroa sisältävää numeroa kutsutaan sekvenssin :nneksi jäseneksi.

Kutsumme yleensä koko sarjaa joksikin kirjaimeksi (esimerkiksi), ja jokainen tämän sekvenssin jäsen on sama kirjain, jonka indeksi on yhtä suuri kuin tämän jäsenen numero:.

On erittäin kätevää, jos sekvenssin th termi voidaan antaa jollakin kaavalla. Esimerkiksi kaava

määrittää järjestyksen:

Ja kaava on seuraava järjestys:

Esimerkiksi aritmeettinen progressio on sekvenssi (ensimmäinen termi tässä on yhtä suuri ja erotus). Tai (, ero).

N:nnen termin kaava

Kutsumme toistuvaksi kaavaa, jossa th jäsenen selvittämiseksi sinun on tiedettävä edellinen tai useita aiempia:

Löytääksemme esimerkiksi etenemisen th termin käyttämällä tällaista kaavaa, meidän on laskettava edelliset yhdeksän. Esimerkiksi anna. Sitten:

No mikä nyt on kaava?

Jokaisella rivillä, jonka lisäämme, kerrottuna jollakin numerolla. Minkä vuoksi? Hyvin yksinkertainen: tämä on nykyisen jäsenen numero miinus:

Paljon kätevämpää nyt, eikö? Tarkistamme:

Päätä itse:

Etsi aritmeettisesta progressiosta kaava n:nnelle termille ja löydä sadas termi.

Ratkaisu:

Ensimmäinen termi on yhtä suuri. Mikä on ero? Ja tässä mitä:

(se johtuu siitä, että sitä kutsutaan erotukseksi, joka on yhtä suuri kuin etenemisen peräkkäisten jäsenten ero).

Joten kaava on:

Sitten sadas termi on:

Mikä on kaikkien luonnollisten lukujen summa välillä -?

Legendan mukaan loistava matemaatikko Karl Gauss 9-vuotiaana poikana laski tämän summan muutamassa minuutissa. Hän huomasi, että ensimmäisen ja viimeisen luvun summa on yhtä suuri, toisen ja viimeisen luvun summa on sama, kolmannen ja kolmannen lopun summa on sama ja niin edelleen. Kuinka monta tällaista paria tulee olemaan? Aivan oikein, tasan puolet kaikista numeroista. Niin,

Yleinen kaava minkä tahansa aritmeettisen etenemisen ensimmäisten termien summalle olisi:

Esimerkki:
Etsi kaikkien kaksinumeroisten kerrannaisten summa.

Ratkaisu:

Ensimmäinen tällainen numero on. Jokainen seuraava saadaan lisäämällä edelliseen numeroon. Siten meitä kiinnostavat luvut muodostavat aritmeettisen progression ensimmäisen termin ja erotuksen kanssa.

Tämän etenemisen termikaava on:

Kuinka monta jäsentä on etenemässä, jos kaikkien on oltava kaksinumeroisia?

Erittäin helppoa: .

Jakson viimeinen lukukausi on tasainen. Sitten summa:

Vastaus:.

Päätä nyt itse:

1. Urheilija juoksee joka päivä enemmän m kuin edellisenä päivänä. Kuinka monta kilometriä hän juoksee viikossa, jos hän juoksi km m ensimmäisenä päivänä?
2. Pyöräilijä ajaa joka päivä enemmän kilometrejä kuin edellinen. Ensimmäisenä päivänä hän ajoi km. Kuinka monta päivää hänen täytyy matkustaa kulkeakseen km? Kuinka monta kilometriä hän matkustaa matkan viimeisenä päivänä?
3. Jääkaapin hinta kaupassa laskee joka vuosi saman verran. Selvitä, kuinka paljon jääkaapin hinta on laskenut joka vuosi, jos se myytiin ruplilla kuusi vuotta myöhemmin.

Vastaukset:

1. Tärkeintä tässä on tunnistaa aritmeettinen eteneminen ja määrittää sen parametrit. Tässä tapauksessa (viikot = päivät). Sinun on määritettävä tämän etenemisen ensimmäisten jäsenten summa:
   .
   Vastaus:
2. Se annetaan tässä:, se on löydettävä.
   Ilmeisesti sinun on käytettävä samaa summakaavaa kuin edellisessä tehtävässä:
   .
   Korvaa arvot:

   Juuri ei ilmeisesti sovi, joten vastaus on.
   Lasketaan viimeisen päivän kuljettu matka termikaavalla:
   (km).
   Vastaus:

3. Annettu:. Löytö: .
   Se ei voisi olla helpompaa:
   (hieroa).
   Vastaus:

ARITMEETTINEN EDISTYS. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Tämä on numeerinen sarja, jossa vierekkäisten lukujen välinen ero on sama ja yhtä suuri.

Aritmeettinen eteneminen voi olla nousevaa () ja laskevaa ().

Esimerkiksi:

Kaava aritmeettisen progression n:nnen termin löytämiseksi

kirjoitetaan kaavalla, jossa on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten ominaisuus

Sen avulla voit helposti löytää etenemisen jäsenen, jos sen naapurijäsenet tunnetaan - missä on etenemisen numeroiden lukumäärä.

Aritmeettisen progression jäsenten summa

On kaksi tapaa löytää summa:

Missä on arvojen määrä.

Missä on arvojen määrä.

Oppituntimme motto on venäläisen matemaatikon V.P. Ermakova: "Matematiikassa ei pitäisi muistaa kaavoja, vaan ajattelun prosesseja."

Tuntien aikana

Ongelman muotoilu

Liitutaululla on Gaussin muotokuva. Opettaja tai oppilas, jolle oli aiemmin annettu tehtäväksi kirjoittaa viesti, kertoo, että kun Gauss oli koulussa, opettaja pyysi oppilaita lisäämään kaiken kokonaislukuja 1-100. Pikku Gauss ratkaisi tämän ongelman minuutissa.

Kysymys ... Miten Gauss sai vastauksen?

Ratkaisujen löytäminen

Opiskelijat esittävät oletuksensa, jonka jälkeen summa lasketaan yhteen: ymmärtäen, että summat ovat 1 + 100, 2 + 99 jne. ovat yhtä suuret, Gauss kerrottuna 101:llä 50:llä, eli tällaisten summien lukumäärällä. Toisin sanoen hän huomasi kuvion, joka on luontainen aritmeettiselle etenemiselle.

Summakaavan johtaminen n aritmeettisen progression ensimmäiset jäsenet

Kirjoita oppitunnin aihe taululle ja muistivihkoon. Oppilaat kirjoittavat yhdessä opettajan kanssa muistiin kaavan johtamisen:

Anna olla a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmeettinen progressio.

Ensisijainen ankkurointi

1. Ratkaistaan ​​kaavan (1) avulla Gaussin ongelma:

2. Ratkaise tehtävät suullisesti kaavan (1) avulla (niiden ehdot kirjoitetaan taululle tai koodi positiivinen), ( a n) - aritmeettinen progressio:

a) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

v) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Suorita tehtävä loppuun.

Annettu:( a n) - aritmeettinen progressio;

a 1 = 3, a 60 = 57.

löytö: S 60 .

Ratkaisu... Käytämme summakaavaa n aritmeettisen progression ensimmäiset jäsenet

Vastaus: 1800.

Lisäkysymys. Kuinka monta erityyppistä ongelmaa tämä kaava voi ratkaista?

Vastaus... Neljän tyyppisiä tehtäviä:

Etsi summa S n;

Etsi aritmeettisen progression ensimmäinen termi a 1 ;

löytö n aritmeettisen progression termi a n;

Etsi aritmeettisen progression jäsenten lukumäärä.

4. Suorita tehtävä: № 369 (b).

Etsi aritmeettisen etenemisen kuudenkymmenen ensimmäisen ehdon summa ( a n), jos a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Ratkaisu.

Vastaus: 1230.

Lisäkysymys... Kirjoita kaava muistiin n aritmeettisen progression jäsen.

Vastaus: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Laske kaava aritmeettisen etenemisen yhdeksälle ensimmäiselle termille ( b n),
jos b 1 = –17, d = 6.

Onko mahdollista laskea heti kaavan avulla?

Ei, koska yhdeksäs termi on tuntematon.

Miten löydän sen?

Kaavan mukaan n aritmeettisen progression jäsen.

Ratkaisu. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Vastaus: 63.

Kysymys. Onko mahdollista löytää summa laskematta progression yhdeksättä termiä?

Ongelman muotoilu

Ongelma: hanki summakaava n aritmeettisen progression ensimmäiset jäsenet, tietäen sen ensimmäisen termin ja eron d.

(Opiskelijan johtama kaava taululle.)

Ratkaistaan ​​nro 371 (a) uuden kaavan (2) mukaan:

Yhdistämme suullisesti kaavat (2) ( ongelmien ehdot on kirjoitettu taululle).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Kysy opiskelijoilta, mitkä kysymykset ovat epäselviä.

Itsenäinen työ

Vaihtoehto 1

Annettu: (a n) on aritmeettinen progressio.

1... a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2... a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Vaihtoehto 2

Annettu: (a n) on aritmeettinen progressio.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Oppilaat vaihtavat muistikirjoja ja tarkistavat toistensa ratkaisuja.

Tee yhteenveto aineiston assimilaatiosta itsenäisen työn tulosten perusteella.