dokaz:
Prvo, dokazujemo teoremu za slučaj niza 
Prema binomnoj Newton formuli:
Pod pretpostavkom da dobijemo
Iz ove jednakosti (1) slijedi da kako n raste, broj pozitivnih članova na desnoj strani raste. Osim toga, kako n raste, broj se smanjuje, pa tako i količine 
povećati. Dakle, sekvenca 
raste, dok (2) * Pokažimo da je ograničen. Svaku zagradu na desnoj strani jednakosti zamijenimo jednim, desna strana će se povećati, dobićemo nejednakost
Dobivenu nejednakost pojačavamo, zamjenjujemo 3,4,5, ..., koja stoji u nazivnicima razlomaka, brojem 2: Zbir u zagradi nalazi se formulom zbira članova geometrijske progresije: Dakle 
(3)*
Dakle, niz je ograničen odozgo, dok vrijede nejednakosti (2) i (3): 
Stoga, na osnovu Weierstrassove teoreme (kriterijum za konvergenciju niza), niz 
je monotono rastuća i ograničena, što znači da ima granicu označenu slovom e. One. 
Znajući da je druga izuzetna granica istinita za prirodne vrijednosti x, dokazujemo drugu izuzetnu granicu za realno x, odnosno dokazat ćemo da 
... Razmotrite dva slučaja:
1. Neka je svaka vrijednost x zatvorena između dva pozitivna cijela broja:, gdje je cijeli dio x. => =>
Ako, dakle, prema granici 
Imamo
Na osnovu (o granici posredne funkcije) postojanja granica 
2. Neka. Tada vršimo supstituciju - x = t
Iz ova dva slučaja proizilazi da 
za pravi x.
Posljedice:
9 .) Poređenje infinitezimalnih. Teorema o zamjeni infinitezimalnog ekvivalentom u graničnom dijelu i teorema o glavnom dijelu infinitezimalnog.
Neka su funkcije a ( x) i b ( x) - b.m. at x ® x 0 .
DEFINICIJE.
1) a ( x) pozvao beskonačno malo više high order kako b (x) ako
Napiši ( x) = o (b ( x)) .
2) a ( x) i b ( x)su pozvani infinitezimalno istog reda, ako
gdje je CÎℝ i C¹ 0 .
Napiši ( x) = O(b ( x)) .
3) a ( x) i b ( x) su pozvani ekvivalentan , ako
Napiši ( x) ~ b ( x).
4) a ( x) naziva se infinitezimalnim reda k u odnosu na
beskrajno mali b ( x),
ako je beskonačno mali a ( x)i(b ( x)) k su istog reda, tj. ako
gdje je CÎℝ i C¹ 0 .
TEOREMA 6 (o zamjeni infinitezimalnog ekvivalentom).
Neka bude a ( x), b ( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- b.m. na x ® x 0 ... Ako a ( x) ~ a 1 ( x), b ( x) ~ b 1 ( x),
onda 
Dokaz: Neka je a ( x) ~ a 1 ( x), b ( x) ~ b 1 ( x), onda
TEOREMA 7 (o glavnom dijelu infinitezimalnog).
Neka bude a ( x)i b ( x)- b.m. na x ® x 0 , i b ( x)- b.m. višeg reda od a ( x).
=, a pošto b ( x) - višeg reda od a ( x), zatim, tj. 
od jasno je da a ( x) + b ( x) ~ a ( x)
10) Kontinuitet funkcije u tački (na jeziku epsilon-delta granica, geometrijski) Jednostrani kontinuitet. Kontinuitet na intervalu, na segmentu. Svojstva kontinuiranih funkcija.
1. Osnovne definicije
Neka bude f(x) je definiran u nekom susjedstvu tačke x 0 .
DEFINICIJA 1. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u tački x 0 ako je jednakost tačna
Napomene.
1) Na osnovu teoreme 5 §3, jednakost (1) se može napisati u obliku
Stanje (2) - definicija kontinuiteta funkcije u tački u jeziku jednostranih granica.
2) Jednakost (1) se može napisati i kao:
Kažu: „ako je funkcija kontinuirana u tački x 0, tada se predznak granice i funkcija mogu obrnuti."
DEFINICIJA 2 (na jeziku e-d).
Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u tački x 0 ako"e> 0 $ d> 0 takav, šta
ako je xÎU ( x 0, d) (tj. | x – x 0 | < d),
zatim f(x) ÎU ( f(x 0), e) (tj. | f(x) – f(x 0) | < e).
Neka bude x, x 0 Î D(f) (x 0 - fiksno, x - proizvoljno)
Označavamo: D x= x - x 0 – povećanje argumenta
D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – prirast funkcije u tački x 0
DEFINICIJA 3 (geometrijska).
Funkcija f(x) uključeno pozvao kontinuirano u tački
x 0
ako u ovom trenutku beskonačno mali prirast argumenta odgovara beskonačno malom prirastu funkcije, tj.
Neka funkcija f(x) je definiran na intervalu [ x 0 ; x 0 + d) (na intervalu ( x 0 - d; x 0 ]).
DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u tački
x 0 desno
(lijevo
), ako je jednakost tačna
Očigledno je da f(x) je kontinuiran u tački x 0 Û f(x) je kontinuiran u tački x 0 desno i lijevo.
DEFINICIJA. Funkcija f(x) pozvao kontinuirano u intervalu e ( a; b) ako je kontinuiran u svakoj tački ovog intervala.
Funkcija f(x) se naziva kontinuirano na segmentu [a; b] ako je kontinuirano na intervalu (a; b) i ima jednostrani kontinuitet na graničnim tačkama(tj. kontinuirano je u tački a desno, u tački b- lijevo).
11) Prelomne tačke, njihova klasifikacija
DEFINICIJA. Ako je funkcija f(x) definisano u nekom okruženju tačke x 0 , ali u ovom trenutku nije kontinuirano f(x) naziva se diskontinuiranim u tački x 0 , već sama poenta x 0 nazvana tačka prekida funkcija f(x) .
Napomene.
1) f(x) može se definirati u nekompletnom susjedstvu tačke x 0 .
Tada se razmatra odgovarajući jednostrani kontinuitet funkcije.
2) Iz definicije Þ tačke x 0 je tačka diskontinuiteta funkcije f(x) u dva slučaja:
a) U ( x 0, d) Î D(f) , ali za f(x) jednakost
b) U * ( x 0, d) Î D(f) .
Za elementarne funkcije moguć je samo slučaj b).
Neka bude x 0 - tačka prekida funkcije f(x) .
DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida I vrsta ako je funkcija f(x)ima konačne granice na lijevoj i desnoj strani u ovoj tački.
Ako su, pored toga, ove granice jednake, tada je tačka x 0 pozvao tačka uklonjivog diskontinuiteta , inače - jump point .
DEFINICIJA. Tačka x 0 pozvao tačka prekida II vrsta ako je barem jedna od jednostranih granica funkcije f(x)u ovom trenutku je¥ ili ne postoji.
12) Svojstva funkcija kontinuiranih na intervalu (teoreme Weierstrassa (bez dokaza) i Cauchy
Weierstrassova teorema
Neka je funkcija f (x) neprekidna na intervalu, dakle
1) f (x) je ograničen na
2) f (x) uzima svoju najmanju vrijednost na intervalu i najveća vrijednost
Definicija: Vrijednost funkcije m = f naziva se najmanjom ako je m≤f (x) za bilo koje x € D (f).
Vrijednost funkcije m = f naziva se najvećom ako je m≥f (x) za bilo koji x ∈ D (f).
Funkcija može uzeti najmanju \ najveću vrijednost u nekoliko tačaka segmenta.
f (x 3) = f (x 4) = max
Cauchyjev teorem.
Neka je funkcija f (x) neprekidna na intervalu i x je broj između f (a) i f (b), tada postoji barem jedna tačka x 0 € takva da je f (x 0) = g
Izraz "čudesna granica" se široko koristi u udžbenicima i nastavna sredstva za označavanje važnih identiteta koji značajno pomažu pojednostaviti rad pronalaženjem granica.
Ali da biti u mogućnosti donijeti njegova granica divnoga, morate ga dobro pogledati, jer se ne susreću direktnom obliku, a često iu obliku posljedica, opremljenih dodatnim pojmovima i faktorima. Međutim, prvo teorija, pa primjeri i uspjet ćete!
Prva divna granica
Sviđa mi se? Bookmark
Prva izuzetna granica je napisana ovako ($ 0/0 $ nesigurnost):
$$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin x) (x) = 1. $$
Posljedice od prve izvanredne granice
$$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (x) (\ sin x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (ax)) (\ sin (bx)) = \ frac (a) (b). $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ tan x) (x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ arcsin x) (x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ arctan x) (x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (1- \ cos x) (x ^ 2/2) = 1. $$Primjeri rješenja: 1 divna granica
Primjer 1. Izračunajte granicu $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin 3x) (8x). $$
Rješenje. Prvi korak je uvijek isti - zamjenjujemo graničnu vrijednost $ x = 0 $ u funkciju i dobijamo:
$$ \ lijevo [\ frac (\ sin 0) (0) \ desno] = \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno]. $$
Dobili smo nesigurnost oblika $ \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno] $, koju treba proširiti. Ako bolje pogledate, originalno ograničenje je vrlo slično prvom velikom, ali nije isto. Naš zadatak je da dovedemo do sličnosti. Transformiramo na ovaj način - gledamo izraz ispod sinusa, radimo isto u nazivniku (relativno rečeno, pomnožili smo i podijelili sa $3x $), zatim smanjimo i pojednostavimo:
$$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin 3x) (8x) = \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin 3x) (3x) \ frac (3x) (8x ) = \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (3x)) (3x) \ frac (3) (8) = \ frac (3) (8). $$
Gore je upravo dobila prvu divnu granicu: $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (3x)) (3x) = \ lim \ limits_ (y \ do 0) \ frac (\ sin ( y) )) (y) = 1, \ tekst (napravljena uslovna zamjena) y = 3x. $$ odgovor: $3/8$.
Primjer 2. Izračunajte granicu $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (1- \ cos 3x) (\ tan 2x \ cdot \ sin 4x). $$
Rješenje. Zamjenjujemo graničnu vrijednost $ x = 0 $ u funkciju i dobijamo:
$$ \ lijevo [\ frac (1- \ cos 0) (\ tan 0 \ cdot \ sin 0) \ desno] = \ lijevo [\ frac (1-1) (0 \ cdot 0) \ desno] = \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno]. $$
Dobili smo nesigurnost oblika $ \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno] $. Pretvorite ograničenje koristeći prvu divnu granicu (tri puta!) Pojednostavljeno:
$$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (1- \ cos 3x) (\ tan 2x \ cdot \ sin 4x) = \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (2 \ sin ^ 2 (3x / 2)) (\ sin 2x \ cdot \ sin 4x) \ cdot \ cos 2x = $$ $$ = 2 \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin ^ 2 (3x / 2) ) ((3x / 2) ^ 2) \ cdot \ frac (2x) (\ sin 2x) \ cdot \ frac (4x) (\ sin 4x) \ cdot \ frac ((3x / 2) ^ 2) (2x \ cdot 4x) \ cdot \ cos 2x = $$ $$ = 2 \ lim \ limits_ (x \ do 0) 1 \ cdot 1 \ cdot 1 \ cdot \ frac ((9/4) x ^ 2) (8x ^ 2) ) \ cdot \ cos 2x = 2 \ cdot \ frac (9) (32) \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ cos 2x = \ frac (9) (16). $$
odgovor: $9/16$.
Primjer 3. Pronađite granicu $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (2x ^ 3 + 3x)) (5x-x ^ 5). $$
Rješenje.Što ako postoji složen izraz pod trigonometrijskom funkcijom? Nema veze, i ovde se ponašamo na isti način. Prvo, provjeravamo vrstu nesigurnosti, zamjenjujemo $ x = 0 $ u funkciju i dobijamo:
$$ \ lijevo [\ frac (\ sin (0 + 0)) (0-0) \ desno] = \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno]. $$
Dobili smo nesigurnost oblika $ \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno] $. Pomnožite i podijelite sa $ 2x ^ 3 + 3x $:
$$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (2x ^ 3 + 3x)) (5x-x ^ 5) = \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ sin (2x) ^ 3 + 3x)) ((2x ^ 3 + 3x)) \ cdot \ frac (2x ^ 3 + 3x) (5x-x ^ 5) = \ lim \ limits_ (x \ do 0) 1 \ cdot \ frac ( 2x ^ 3 + 3x) (5x-x ^ 5) = \ lijevo [\ frac (0) (0) \ desno] = $$
Opet smo dobili nesigurnost, ali u ovom slučaju to je samo djelić. Smanjite brojilac i imenilac za $ x $:
$$ = \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (2x ^ 2 + 3) (5-x ^ 4) = \ lijevo [\ frac (0 + 3) (5-0) \ desno] = \ frac (3) (5). $$
odgovor: $3/5$.
Druga divna granica
Druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način (neizvjesnost oblika $ 1 ^ \ infty $):
$$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ lijevo (1+ \ frac (1) (x) \ desno) ^ (x) = e, \ quad \ text (ili) \ quad \ lim \ limits_ ( x \ do 0) \ lijevo (1 + x \ desno) ^ (1 / x) = e. $$
Posljedice druge izvanredne granice
$$ \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (1+ \ frac (a) (x) \ desno) ^ (bx) = e ^ (ab). $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (\ ln (1 + x)) (x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (e ^ x -1) (x) = 1. $$ $$ \ lim \ limits_ (x \ do 0) \ frac (a ^ x-1) (x \ ln a) = 1, a> 0, a \ ne 1. $$ $$ \ lim \ limits_ ( x \ do 0) \ frac ((1 + x) ^ (a) -1) (ax) = 1. $$Primjeri rješenja: 2 divna granica
Primjer 4. Pronađite granicu $$ \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (1- \ frac (2) (3x) \ desno) ^ (x + 3). $$
Rješenje. Provjerimo vrstu nesigurnosti, zamijenimo $ x = \ infty $ u funkciju i dobijemo:
$$ \ lijevo [\ lijevo (1- \ frac (2) (\ infty) \ desno) ^ (\ infty) \ desno] = \ lijevo. $$
Dobili smo nesigurnost oblika $ \ left $. Granica se može svesti na drugu izvanrednu. transformirajmo:
$$ \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (1- \ frac (2) (3x) \ desno) ^ (x + 3) = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ lijevo ( 1+ \ frac (1) ((- 3x / 2)) \ desno) ^ (\ frac (-3x / 2) (- 3x / 2) (x + 3)) = $$ = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (\ lijevo (1+ \ frac (1) ((- 3x / 2)) \ desno) ^ ((- 3x / 2)) \ desno) ^ \ frac (x + 3 ) ( - 3x / 2) = $$
Izraz u zagradama je zapravo druga divna granica $ \ lim \ limits_ (t \ do \ infty) \ lijevo (1+ \ frac (1) (t) \ desno) ^ (t) = e $, samo $ t = - 3x / 2 $, dakle
$$ = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (e \ desno) ^ \ frac (x + 3) (- 3x / 2) = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) e ^ \ frac (1 + 3 / x) (- 3/2) = e ^ (- 2/3). $$
odgovor:$ e ^ (- 2/3) $.
Primjer 5. Pronađite Granicu $$ \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (\ frac (x ^ 3 + 2x ^ 2 + 1) (x ^ 3 + x-7) \ desno) ^ (x). $ $
Rješenje. Zamjenom $ x = \ infty $ u funkciju dobijamo nesigurnost oblika $ \ lijevo [\ frac (\ infty) (\ infty) \ desno] $. I trebamo $ \ lijevo $. Dakle, počnimo pretvaranjem izraza u zagradama:
$$ \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) \ lijevo (\ frac (x ^ 3 + 2x ^ 2 + 1) (x ^ 3 + x-7) \ desno) ^ (x) = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (\ frac (x ^ 3 + (x-7) - (x-7) + 2x ^ 2 + 1) (x ^ 3 + x-7) \ desno) ^ (x ) = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (\ frac ((x ^ 3 + x-7) + (- x + 7 + 2x ^ 2 + 1)) (x ^ 3 + x-7 ) \ desno) ^ (x) = $$ $$ = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (1+ \ frac (2x ^ 2-x + 8) (x ^ 3 + x-7) \ desno) ^ (x) = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (\ lijevo (1+ \ frac (2x ^ 2-x + 8) (x ^ 3 + x-7) \ desno) ^ (\ frac (x ^ 3 + x-7) (2x ^ 2-x + 8)) \ desno) ^ (x \ frac (2x ^ 2-x + 8) (x ^ 3 + x-7)) = $$
Izraz u zagradama je zapravo druga divna granica $ \ lim \ limits_ (t \ do \ infty) \ lijevo (1+ \ frac (1) (t) \ desno) ^ (t) = e $, samo $ t = \ frac (x ^ 3 + x-7) (2x ^ 2-x + 8) \ do \ infty $, dakle
$$ = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) \ lijevo (e \ desno) ^ (x \ frac (2x ^ 2-x + 8) (x ^ 3 + x-7)) = \ lim \ limits_ (x \ do \ infty) e ^ (\ frac (2x ^ 2-x + 8) (x ^ 2 + 1-7 / x)) = \ lim \ limits_ (x \ to \ infty) e ^ (\ frac (2-1 / x + 8 / x ^ 2) (1 + 1 / x ^ 2-7 / x ^ 3)) = e ^ (2). $$
Ovaj članak: "Druga izvanredna granica" posvećena je otkrivanju unutar nesigurnosti oblika:
$ \ bigg [\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg] ^ \ infty $ i $ ^ \ infty $.
Također, takve nesigurnosti se mogu otkriti korištenjem logaritma eksponencijala funkcija snage, ali ovo je već drugačija metoda rješenja, koja će biti obrađena u drugom članku.
Formula i posljedice
Formula druga izuzetna granica je napisana na sljedeći način: $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ bigg (1+ \ frac (1) (x) \ bigg) ^ x = e, \ text (gdje) e \ približno 2,718 $$
Formula implicira posljedice, koje je vrlo zgodno koristiti za rješavanje primjera s ograničenjima: $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ bigg (1 + \ frac (k) (x) \ bigg) ^ x = e ^ k, \ text ( gdje) k \ in \ mathbb (R) $$ $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1 + \ frac (1) (f (x)) \ bigg) ^ (f (x)) = e $ $ $$ \ lim_ (x \ do 0) \ bigg (1 + x \ bigg) ^ \ frac (1) (x) = e $$
Vrijedi napomenuti da se druga izvanredna granica ne može primijeniti uvijek na eksponencijalnu funkciju, već samo u slučajevima kada baza teži jedinstvu. Da biste to učinili, prvo se u umu izračunava osnovna granica, a zatim se donose zaključci. Sve će to biti pokriveno u uzorcima rješenja.
Primjeri rješenja
Razmotrimo primjere rješenja koristeći direktnu formulu i njene posljedice. Također ćemo analizirati slučajeve u kojima formula nije potrebna. Dovoljno je napisati samo gotov odgovor.
| Primjer 1 |
| Pronađite granicu $ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (\ frac (x + 4) (x + 3) \ bigg) ^ (x + 3) $ |
| Rješenje |
|
Zamijenimo beskonačnost u granici i pogledajmo nesigurnost: $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (\ frac (x + 4) (x + 3) \ bigg) ^ (x + 3) = \ bigg (\ frac (\ infty) (\ infty) \ bigg) ^ \ infty $$ Pronađite granicu baze: $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ frac (x + 4) (x + 3) = \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (x (1+ \ frac ( 4) ( x))) (x (1+ \ frac (3) (x))) = 1 $$ Dobili smo bazu jednaku jedan, što znači da se druga izuzetna granica već može primijeniti. Da bismo to učinili, bazu funkcije uklapamo u formulu oduzimanjem i dodavanjem jednog: $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1 + \ frac (x + 4) (x + 3) - 1 \ bigg) ^ (x + 3) = \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1 + \ frac (1) (x + 3) \ bigg) ^ (x + 3) = $$ Gledamo drugu posljedicu i zapisujemo odgovor: $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1 + \ frac (1) (x + 3) \ bigg) ^ (x + 3) = e $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje... Moći ćete se upoznati sa tokom obračuna i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od svog nastavnika! |
| Odgovori |
| $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1 + \ frac (1) (x + 3) \ bigg) ^ (x + 3) = e $$ |
| Primjer 4 |
| Riješite limit $ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (\ frac (3x ^ 2 + 4) (3x ^ 2-2) \ bigg) ^ (3x) $ |
| Rješenje |
|
Pronalazimo granicu baze i vidimo da je $ \ lim_ (x \ to \ infty) \ frac (3x ^ 2 + 4) (3x ^ 2-2) = 1 $, tako da se može primijeniti druga divna granica. Standardno, prema planu, dodajemo i oduzimamo jedan od osnove stepena: $$ \ lim_ (x \ to \ infty) \ bigg (1+ \ frac (3x ^ 2 + 4) (3x ^ 2-2) -1 \ bigg) ^ (3x) = \ lim_ (x \ to \ infty) ) \ bigg (1+ \ frac (6) (3x ^ 2-2) \ bigg) ^ (3x) = $$ Razlomak prilagođavamo formuli 2. napomene. limit: $$ = \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1+ \ frac (1) (\ frac (3x ^ 2-2) (6)) \ bigg) ^ (3x) = $$ Sada podesimo stepen. Potencija mora biti razlomak jednaka nazivniku baze $ \ frac (3x ^ 2-2) (6) $. Da biste to učinili, pomnožite i podijelite stepen s njim i nastavite rješavati: $$ = \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (1+ \ frac (1) (\ frac (3x ^ 2-2) (6)) \ bigg) ^ (\ frac (3x ^ 2-2) (6) \ cdot \ frac (6) (3x ^ 2-2) \ cdot 3x) = \ lim_ (x \ to \ infty) e ^ (\ frac (18x) (3x ^ 2-2)) = $$ Granica koja se nalazi u stepenu na $ e $ je: $ \ lim_ (x \ do \ infty) \ frac (18x) (3x ^ 2-2) = 0 $. Dakle, nastavljajući sa rješenjem, imamo: |
| Odgovori |
| $$ \ lim_ (x \ do \ infty) \ bigg (\ frac (3x ^ 2 + 4) (3x ^ 2-2) \ bigg) ^ (3x) = 1 $$ |
Pogledajmo slučajeve kada je problem sličan drugoj izuzetnoj granici, ali se može riješiti i bez nje.
U članku: "Druga izuzetna granica: primjeri rješenja" analizirana je formula, njene posljedice i date su česte vrste problema na ovu temu.
Formula za drugu izuzetnu granicu je lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Druga notacija izgleda ovako: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Kada govorimo o drugoj značajnoj granici, moramo imati posla sa nesigurnošću oblika 1 ∞, tj. jedinica do beskonačnog stepena.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Razmotrite probleme u kojima će vam dobro doći sposobnost izračunavanja druge izuzetne granice.
Primjer 1
Naći granični lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4.
Rješenje
Zamena željenu formulu i izvršite proračune.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
U našem odgovoru, dobili smo jedan na moć beskonačnosti. Za određivanje metode rješenja koristimo tablicu nesigurnosti. Odaberimo drugu izuzetnu granicu i izvršimo promjenu varijabli.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Ako je x → ∞, tada je t → - ∞.
Da vidimo šta smo dobili nakon zamjene:
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
odgovor: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2.
Primjer 2
Izračunajte granicu lim x → ∞ x - 1 x + 1 x.
Rješenje
Zamijenite beskonačnost i dobijete sljedeće.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
U odgovoru smo opet dobili isto što i u prethodnom zadatku, tako da opet možemo koristiti drugu izuzetnu granicu. Zatim moramo odabrati cijeli dio u osnovi funkcije snage:
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Nakon toga, limit poprima sljedeći oblik:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Zamjenjujemo varijable. Pretpostavimo da je t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1; ako je x → ∞, tada je t → ∞.
Nakon toga zapisujemo ono što smo dobili u originalnom limitu:
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 tt - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2
Za izvođenje ove transformacije koristili smo osnovna svojstva granica i stupnjeva.
odgovor: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2.
Primjer 3
Naći graničnu granicu x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5.
Rješenje
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Nakon toga, moramo transformirati funkciju da primijenimo drugu izvanrednu granicu. dobili smo sljedeće:
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Budući da sada imamo iste eksponente u brojniku i nazivniku razlomka (jednaki šest), granica razlomka na beskonačnosti će biti jednaka omjeru ovih koeficijenata na najvećim potencijama.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
Zamjena t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 daje nam drugu izuzetnu granicu. Znači šta:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 tt - 3 = e - 3
odgovor: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3.
zaključci
Nesigurnost 1 ∞, tj. jedan do beskonačnog stepena je stepen nesigurnosti, stoga se može proširiti upotrebom pravila za pronalaženje granica eksponencijalnih funkcija.
Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter
Postoji nekoliko divnih granica, ali najpoznatije su prva i druga divna granica. Izvanredna stvar u vezi s ovim ograničenjima leži u činjenici da su široko korišteni i uz njihovu pomoć moguće je pronaći i druga ograničenja koja se nalaze u brojni izazovi... To je ono što ćemo raditi u praktičnom dijelu ove lekcije. Da bismo riješili probleme svođenjem na prvu ili drugu izuzetnu granicu, nije potrebno otkrivati nesigurnosti sadržane u njima, budući da su vrijednosti ovih granica odavno zaključili veliki matematičari.
Prva divna granica naziva se granica omjera sinusa infinitezimalnog luka i istog luka, izražena u radijanskoj mjeri:
Pređimo na rješavanje problema na prvoj izuzetnoj granici. Napomena: ako je trigonometrijska funkcija ispod graničnog znaka, to je gotovo siguran znak da se ovaj izraz može svesti na prvu izvanrednu granicu.
Primjer 1. Pronađite granicu.
Rješenje. Zamjena umjesto x nula dovodi do neizvjesnosti:
.
Imenilac je sinus, dakle, izraz se može svesti na prvu izuzetnu granicu. Počinjemo transformacije:
.
Imenilac sadrži sinus od tri x, a brojilac ima samo jedan x, što znači da i u brojniku treba da dobijete tri x. Za što? Zastupiti 3 x = a i dobiti izraz.
I dolazimo do varijacije prve divne granice:
jer nije bitno koje slovo (varijabla) u ovoj formuli predstavlja x.
Pomnožimo x sa tri, a zatim podijelimo:
.
U skladu sa uočenom prvom značajnom granicom, zamjenjujemo frakcijski izraz:
Sada konačno možemo riješiti ovu granicu:
.
Primjer 2. Pronađite granicu.
Rješenje. Direktna zamjena opet dovodi do dvosmislenosti nula-podijeli na nulu:
.
Da biste dobili prvu izvanrednu granicu, potreban vam je x ispod predznaka sinusa u brojiocu i samo x u nazivniku sa istim koeficijentom. Neka je ovaj koeficijent jednak 2. Da bismo to uradili, predstavljamo trenutni koeficijent na x kao ispod, izvodeći radnje sa razlomcima, dobijamo:
.
Primjer 3. Pronađite granicu.
Rješenje. Prilikom zamjene, opet dobivamo nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":
.
Verovatno već razumete da iz originalnog izraza možete dobiti prvu divnu granicu pomnoženu sa prvom divnom granicom. Da bismo to učinili, razlažemo x kvadrate u brojiocu i sinus u nazivniku po istim faktorima, a da bismo dobili iste koeficijente za x i sinus, podijelimo x u brojiocu sa 3, a zatim pomnožimo sa 3. dobiti:
.
Primjer 4. Pronađite granicu.
Rješenje. Opet dobijamo nesigurnost "nula podeljena sa nulom":
.
Možemo dobiti omjer prve dvije izvanredne granice. Podijelite i brojilac i imenilac sa x. Zatim, tako da se koeficijenti za sinuse i za x poklope, gornji x pomnožimo sa 2 i odmah podijelimo sa 2, a donji x pomnožimo sa 3 i odmah podijelimo sa 3. Dobijamo:
Primjer 5. Pronađite granicu.
Rješenje. I opet nesigurnost "nula podijeljena sa nulom":
Zapamtite iz trigonometrije da je tangenta omjer sinusa i kosinusa, a kosinus nule je jedan. Pravimo transformacije i dobijamo:
.
Primjer 6. Pronađite granicu.
Rješenje. Trigonometrijska funkcija pod znakom granice opet sugerira ideju o primjeni prve izvanredne granice. Predstavljamo ga kao omjer sinusa i kosinusa.
