Mestská vzdelávacia inštitúcia "Gymnázium č. 41"
Magické štvorce
Vedúci: ,
učiteľ matematiky
Novouralsk, 2012.
Úvod 3
1. Všeobecné informácie o magických štvorcoch 4
1.1. Koncept magického štvorca 4
1.2. Z histórie magických štvorcov 4
1.3. Druhy magických štvorcov 6
2. Riešenie magických štvorcov 6
2.1. Riešenie magických štvorcov (metóda Bashe de Mezirak) 7
2.2. Vyhlásenie o probléme 8
2.3. Algoritmus na riešenie magických štvorcov 8
2.4. Dôkaz algoritmu (v algebraickej forme) 9
2.5. Príklad riešenia magického štvorca pomocou Algoritmu 10
3. Používanie magických štvorcov 11
3.1. Rôzne prípady zovšeobecnenia magických štvorcov 11
3.2. Aplikácia latinských štvorcov 12
4. Všeobecné závery 13
5. Záver 14
6. Referencie 15
Príloha 1
Dodatok 2
Dodatok 3
Úvod
Na hodinách matematického krúžku sme sa stretávali s problémami súvisiacimi s vypĺňaním buniek štvorca podľa špeciálnych pravidiel. Navrhované čísla museli byť napísané tak, aby výsledok spĺňal niekoľko podmienok naraz:
Ak spočítate všetky čísla v každom riadku,
Ak spočítate všetky čísla v každom stĺpci,
Ak spočítate všetky čísla v dvoch uhlopriečkach,
potom sa všetky tieto sumy budú rovnať rovnakému číslu.
Napriek tomu, že sa úlohy líšili počiatočnými číslami, poradím čísel, daným súčtom, všetky boli podobné a riešenia boli rovnakého typu.
Vznikla myšlienka nielen vyriešiť každú úlohu, ale aj vymyslieť všeobecný algoritmus riešenia, ako aj nájsť historické informácie o problémoch tohto typu v literatúre.
Ukázalo sa, že postavy, ktoré nás zaujímajú, sa nazývajú magické štvorce, známe už od staroveku. O nich sa bude diskutovať v práci.
Účel práce: systematizovať informácie o magických štvorcoch, vyvinúť algoritmus na ich riešenie.
Úlohy:
1. Preštudujte si históriu vzniku magických štvorcov.
2. Identifikujte typy magických štvorcov.
3. Naučte sa spôsoby riešenia magických štvorcov.
4. Vytvorte a dokážte svoj vlastný algoritmus riešenia.
5. Určte použitie magických štvorcov.
1. Všeobecné informácie o magických štvorcoch
1.1. Koncept magického štvorca
Magické štvorce sú veľmi obľúbené aj dnes. Sú to štvorce, v ktorých sú v každej bunke čísla vpísané tak, že súčty čísel pozdĺž akejkoľvek horizontály, akejkoľvek vertikálnej a akejkoľvek uhlopriečky sú rovnaké. Najznámejší je magický štvorec zobrazený na rytine nemeckého umelca A. Dürera „Melanchólia“ (Príloha 1).
1.2. Z histórie magických štvorcov
Čísla vstúpili do života človeka natoľko, že im začali pripisovať najrôznejšie magické vlastnosti. Už pred niekoľkými tisíckami rokov v starovekej Číne boli unesení kreslením magických štvorcov. Počas archeologických vykopávok v Číne a Indii sa našli štvorcové amulety. Štvorec bol rozdelený na deväť malých štvorcov, v každom z nich boli napísané čísla od 1 do 9. Je pozoruhodné, že súčty všetkých čísel v ľubovoľnej vertikálnej, horizontálnej a diagonálnej sa rovnali rovnakému číslu 15 (obrázok 1).
Obrázok 1.
V stredoveku boli magické štvorce veľmi obľúbené. Jeden z magických štvorcov je zobrazený na rytine známeho nemeckého umelca Albrechta Durera, „Melanchólia“. 16 buniek štvorca obsahuje čísla od 1 do 16 a súčet čísel vo všetkých smeroch je 34. Zaujímavé je, že dve čísla v strede spodného riadku označujú rok vytvorenia obrazu - 1514. Získanie magických štvorcov bola obľúbená zábava medzi matematikmi, vznikli obrovské štvorce, napríklad 43x43, obsahujúce čísla od 1 do 1849, ktoré majú okrem naznačených vlastností magických štvorcov aj mnoho ďalších vlastností. Boli vynájdené metódy na zostrojenie magických štvorcov akejkoľvek veľkosti, no stále sa nenašiel vzorec, pomocou ktorého by bolo možné zistiť počet magických štvorcov danej veľkosti. Je známe, a môžete to ľahko ukázať aj sami, že neexistujú žiadne magické polia 2x2, existuje presne jedno magické pole 3x3, ostatné takéto polia sa z neho získavajú ťahmi a symetriami. Magických políčok 4x4 je už 800 a počet políčok 5x5 sa blíži k štvrť miliónu.
1.3. Druhy magických štvorcov
Kúzelný(magický štvorec) n 2 čísla tak, aby súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a na oboch uhlopriečkach bol rovnaký.
Polomagický štvorec je štvorcová nxn tabuľka vyplnená n 2 čísla tak, že súčty čísel sú rovnaké iba v riadkoch a stĺpcoch.
Normálne- magický štvorec vyplnený celými číslami od 1 do n 2.
Asociatívne (symetrický) - magický štvorec, v ktorom sa súčet akýchkoľvek dvoch čísel umiestnených symetricky okolo stredu štvorca rovná n 2 + 1.
Diabolský (pandiagonálny) magický štvorec- magický štvorec, v ktorom súčty čísel pozdĺž prerušených uhlopriečok (uhlopriečok, ktoré sa tvoria pri zložení štvorca do torusu) v oboch smeroch sa tiež zhodujú s magickou konštantou.
K dispozícii je 48 diabolských magických štvorcov 4 × 4, presných na rotácie a odrazy. Ak zoberieme do úvahy aj ich dodatočnú symetriu – torické paralelné preklady, tak zostanú len 3 v podstate odlišné štvorce (obrázok 2).
Obrázok 2
Pandiagonálne štvorce štvrtého rádu majú množstvo ďalších vlastností, pre ktoré sú nazývané perfektné... Neexistujú dokonalé štvorce nepárneho poradia. Medzi pandiagonálnymi štvorcami s dvojitou paritou nad 4 sú dokonalé.
Pandiagonálnych štvorcov piateho rádu je 3600. Ak vezmeme do úvahy torické paralelné preklady, existuje 144 rôznych pandiagonálnych štvorcov.
2 riešenie magických štvorcov
2.1 Riešenie magických štvorcov (metóda Bashe de Mezirak)
Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov sú rozdelené do troch kategórií v závislosti od poradia štvorca: nepárne, rovné dvojnásobku nepárneho čísla alebo rovné štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda konštrukcie všetkých štvorcov nie je známa, hoci sa široko používajú rôzne schémy. Je možné nájsť všetky magické štvorce rádu n iba pre n ≤ 4.
Na riešenie normálnych magických štvorcov ľubovoľne veľkých rozmerov použijeme metódu, ktorú v roku 1612 opísal francúzsky matematik Claude Basche de Mezirak. Ruský preklad jeho knihy vyšiel v Petrohrade v roku 1877 pod názvom Hry a problémy založené na matematike.
Na štvorčekovom papieri je vhodné postaviť magický štvorec. Nech n je nepárne číslo a musíte postaviť nхn štvorec s číslami od 1 do n2, postupujeme postupne.
1. Všetky čísla od 1 do n2 sa zapíšu do buniek pozdĺž uhlopriečky (n čísel v rade), aby vytvorili uhlopriečku štvorca.
2. Vyberte štvorec nхn v jeho strede. Toto je základ (ešte nie sú zaplnené všetky bunky) budúceho magického štvorca.
3. Každý číselný "roh" mimo centrálneho štvorca sa opatrne prenesie dovnútra - na opačnú stranu štvorca. Čísla v týchto rohoch musia vyplniť všetky prázdne bunky. Magické námestie je postavené.
Uveďme príklad vyplnenia štvorca 3x3 číslami od 1 do 9. Ak to chcete urobiť, pridajte do štvorca ďalšie bunky, aby ste získali uhlopriečky. Najprv vyplňte diagonálne bunky číslami od 1 do 9 (obrázok 3), potom do prázdnych buniek štvorca „ohnite rohy“ dovnútra na opačnú stranu (obrázok 4).
Obrázok 3. Obrázok 4.
2.2. Formulácia problému.
Opíšme si náš spôsob riešenia magických štvorcov. Zastavme sa pri štúdiu matematického modelu magických štvorcov 3x3.
Všeobecná formulácia problému.
Existuje deväť čísel. Je potrebné ich usporiadať do buniek štvorca 3x3 tak, aby na akejkoľvek vertikálnej, horizontálnej a diagonále boli súčty čísel rovnaké.
2.3. Algoritmus na riešenie magického štvorca
Slovný popis algoritmu
1. Zoraďte čísla vo vzostupnom poradí.
2. Nájdite centrálne číslo (piate v poradí).
3. Určte dvojice podľa pravidla: 1 dvojica - prvé číslo a deviate,
2 páry - druhé číslo a ôsme,
3 páry - tretie číslo a siedme,
4 páry - štvrtý a šiesty.
4. Zistite súčet čísel (S), ktorý by ste mali získať sčítaním čísel pozdĺž každej vertikálnej, horizontálnej, diagonálnej: pridajte najmenšie, stredné, najväčšie číslo, teda číslo 1 z dvojice so stredom číslo.
5. Umiestnite stredové číslo do stredu štvorca.
6. Pozdĺž strednej horizontálnej (alebo vertikálnej) napíšte prvú dvojicu čísel do voľných buniek.
7. Na ľubovoľnú uhlopriečku zapíšte druhú dvojicu čísel (tak, aby sa väčšie číslo prvej dvojice objavilo v stĺpci s nižším číslom druhej dvojice).
8. Vypočítajte číslo, ktoré sa má zapísať do jedného z krajných stĺpcov, podľa pravidla:
od S, odčítajte súčet dvoch čísel obsiahnutých v bunkách stĺpca, získajte číslo.
9. Druhé číslo jeho dvojice zapíšte diagonálne k prijatému číslu.
10. Do zvyšných buniek zadajte poslednú dvojicu čísel podľa pravidla: väčšie číslo z dvojice napíšte do riadku s menším a menšie do prázdnej bunky.
2.4. Dôkaz o správnosti vyplnenia magického štvorca
(Všeobecné riešenie problému)
Dokážme, že súčty čísel umiestnených pozdĺž vertikál, horizontál a uhlopriečok štvorca sa budú v dôsledku vykonania algoritmu rovnať.
Nech sa po objednaní každé nasledujúce číslo líši od predchádzajúceho o konštantnú hodnotu NS... Vyjadrime všetky čísla v termínoch a1(najmenší počet) a NS:
a1, a2 = a1 + x,
a3 = a2 +NS= a1 + 2x,
a4 = a1 + 3x,
a5 = a1 + 4x,
a6 = a1 + 5x,
a7 = a1 + 6x,
a8 = a1 + 7x,
a9 = a1 +8 X.
Poďme nájsť sumu S a vyjadrite ho číslami a1 a NS: S= a1 + a5 + a9 =3 a1 +12 X.
Nech je magický štvorec vyplnený podľa navrhovaného algoritmu.
Dokážme, že súčty čísel umiestnených horizontálne, vertikálne a diagonálne od štvorca sú rovnaké S.
Vertikálne:
S1 = a4 + a3 + a8 = a1 + a1 + a1 + 3x + 2x + 7x = 3a1 + 12x = S
S2 = a9 + a5 + a1 = a1 + a1 + a1 + 8x + 4x = 3a1 + 12x = S
S3 = a2 + a7 + a6 = a1 + a1 + a1 + x + 6x + 5x = 3a1 + 12x = S
Vodorovne:
S4 = a4 + a9 + a2 = a1 + a1 + a1 + 3x + 8x + x = 3a1 + 12x = S
S5 = a3 + a5 + a7 = a1 + a1 + a1 + 2x + 4x + 6x = 3a1 + 12x = S
S6 = a8 + a1 + a6 = a1 + a1 + a1 + 7x + 5x = 3a1 + 12x = S
Diagonálne:
S7 = a4 + a5 + a6 = a1 + a1 + a1 + 3x + 4x + 5x = 3a1 + 12x = S
S8 = a8 + a5 + a2 = a1 + a1 + a1 + 7x + 4x + x = 3a1 + 12x = S
Dostal rovnakú sumu. Výrok je dokázaný.
Poznámka.
Takto usporiadané čísla tvoria aritmetický postup. V tejto postupnosti (po zoradení) je a1 prvým členom aritmetickej postupnosti, x je rozdiel aritmetickej postupnosti. Pre čísla, ktoré netvoria aritmetickú postupnosť, algoritmus nefunguje.
2.5. Príklad riešenia magických štvorcov
Dané čísla: 5,2,4,8,1,3,7,9,6. Vyplňte magický štvorec danými číslami.
1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
2. Dostal centrálne číslo 5.
3. Páry: 1 a 9, 2 a 8, 3 a 7, 4 a 6.
4,S = 5 + 1 + 9 = 15 - súčet.
8. 15-(9+2)=4
Tento algoritmus sa výrazne líši od metódy Bashe de Mesiriac. Na jednej strane vyžaduje dodatočné výpočty (nevýhoda metódy), na druhej strane naša metóda nevyžaduje dodatočné konštrukcie (diagonálny štvorec). Metóda je navyše použiteľná nielen na postupné prirodzené čísla od 1 do 9, ale aj na ľubovoľných deväť čísel, ktoré sú členmi aritmetickej postupnosti, v čom vidíme jej výhody. Okrem toho sa automaticky určí magická konštanta - súčet čísel pozdĺž každej uhlopriečky, vertikálnej, horizontálnej.
3. Pomocou magických štvorcov
3.1. Rôzne prípady zovšeobecnenia magických štvorcov
Úlohy skladania a opisovania magických štvorcov boli predmetom záujmu matematikov už od staroveku. Úplný popis všetkých míľnikov možných magických štvorcov však ešte nebol prijatý. S rastúcou veľkosťou (počet buniek) štvorca rýchlo rastie počet možných magických štvorcov. Medzi veľkými štvorcami sú štvorce so zaujímavými vlastnosťami. Napríklad v štvorci na obrázku 5 sa nielen súčty čísel v riadkoch, stĺpcoch a uhlopriečkach navzájom rovnajú, ale aj súčty pätičiek pozdĺž „lomených“ uhlopriečok spojených na obrázku farebnými čiarami.
Obrázok 5. Obrázok 6.
Latinské štvorce sa nazývajú štvorec n x n buniek, v ktorom sú zapísané čísla 1, 2,…, n, navyše tak, že v každom riadku a v každom stĺpci sa všetky tieto čísla objavia raz. Obrázok 6 zobrazuje dva takéto latinské štvorce 4x4. Majú zaujímavú vlastnosť: ak je jeden štvorec prekrytý druhým, všetky dvojice výsledných čísel sa ukážu byť odlišné. Takéto dvojice latinských štvorcov sa nazývajú ortogonálne. Problém hľadania ortogonálnych latinských štvorcov ako prvý nastolil L. Euler a to v takejto zábavnej formulácii: „Medzi 36 dôstojníkmi je rovnaký počet kopijníkov, dragúnov, husárov, kyrysníkov, jazdeckých stráží a granátnikov a navyše sú rovnými časťami generáli, plukovníci, majori, kapitáni, poručíci a podporučíkovia a každá vetva je zastúpená dôstojníkmi všetkých šiestich hodností. Je možné usporiadať týchto dôstojníkov do štvorca 6x6 tak, aby sa dôstojníci všetkých hodností stretli v ktorejkoľvek kolóne?" (Príloha 2).
L. Euler nedokázal nájsť riešenie tohto problému. V roku 1901 sa dokázalo, že takéto riešenie neexistuje.
3.2. Aplikácia latinských štvorcov
Magické a latinské štvorce sú blízkymi príbuznými. Teória latinských štvorcov našla množstvo aplikácií, a to ako v samotnej matematike, tak aj v jej aplikáciách. Uveďme si príklad. Predpokladajme, že chceme testovať dve odrody pšenice na úrodu v danej oblasti a chceme brať do úvahy vplyv miery riedkosti plodín a vplyv dvoch druhov hnojív. Aby sme to dosiahli, rozdelíme štvorcový úsek na 16 rovnakých častí (obrázok 7). Prvú odrodu pšenice vysadíme na pozemky zodpovedajúce spodnému vodorovnému pruhu, ďalšiu odrodu vysadíme na štyri pozemky zodpovedajúce ďalšiemu pruhu atď. (na obrázku je odroda označená farbou.)
Poľnohospodárstvo "href =" / text / category / selmzskoe_hozyajstvo / "rel =" záložka "> poľnohospodárstvo, fyzika, chémia a strojárstvo.
4. Všeobecné závery
V priebehu práce som sa zoznámil s rôznymi typmi magických štvorcov, naučil som sa riešiť bežné magické štvorce metódou Bashe de Mezirak. Keďže naše riešenie magických štvorcov 3x3 sa líšilo od zadanej metódy, ale umožnilo nám zakaždým správne vyplniť štvorce, bola tu túžba vyvinúť vlastný algoritmus. Tento algoritmus je v práci podrobne popísaný, dokázaný v algebraickej forme. Ukázalo sa, že to platí nielen pre normálne štvorce, ale aj pre štvorce 3x3, kde čísla tvoria aritmetickú postupnosť. Podarilo sa nám nájsť aj príklady využitia mágie a latinských štvorcov.
Naučil som sa, ako: vyriešiť niektoré magické štvorce, vyvinúť a popísať algoritmy, dokázať tvrdenia v algebraickej forme. Naučil som sa nové pojmy: aritmetická postupnosť, magický štvorec, magická konštanta, študoval som typy štvorcov.
Bohužiaľ, ani môj vyvinutý algoritmus, ani metóda Basheho de Meziraka neumožňujú riešiť 4x4 magické štvorce. Preto som chcel v budúcnosti zostaviť algoritmus na riešenie takýchto štvorcov.
5. Záver
V tejto práci sa študovali magické štvorce, zvažovala sa história ich pôvodu. Boli určené druhy magických štvorcov: magický alebo magický štvorec, polomagický štvorec, normálny, asociačný, diabolský magický štvorec, dokonalý.
Spomedzi existujúcich metód ich riešenia bola zvolená metóda Bashe de Mesiriac, bola odskúšaná na príkladoch. Okrem toho sa na riešenie magických štvorcov 3x3 navrhuje vlastný algoritmus riešenia, matematický dôkaz je uvedený v algebraickej forme.
Navrhovaný algoritmus sa výrazne líši od metódy Bashe de Mesiriac. Na jednej strane vyžaduje dodatočné výpočty (nevýhoda metódy), na druhej strane nie sú potrebné dodatočné konštrukcie. Metóda je použiteľná nielen pre postupné prirodzené čísla od 1 do 9, ale aj pre ľubovoľných deväť čísel, ktoré sú členmi aritmetickej postupnosti, v čom vidíme jej výhody. Okrem toho sa automaticky určí magická konštanta - súčet čísel pozdĺž každej uhlopriečky, vertikálnej, horizontálnej.
Príspevok predstavuje zovšeobecnenie magických štvorcov - latinských štvorcov a popisuje ich praktické využitie.
Túto prácu je možné využiť na hodinách matematiky ako doplnkový materiál, ako aj v triede a pri samostatnej práci so žiakmi.
6. Referencie
1. Záhady sveta čísel / Komp. - D .: Stalker, 1997.-448s.
2. Encyklopedický slovník mladého matematika / Komp. - M .: Pedagogika, 1989 –352 s.: Ill.
3. Encyklopédia pre deti. T11. Matematika / kap. vyd. - M .: Avanta +, 2000 - 688 s.: chor.
4. Poznám svet: Detská encyklopédia: Matematika / Komp. - a kol.- M.: AST, 1996. - 480s.: ill.
Existujú rôzne techniky na vytváranie štvorcov s jednou paritou a štvorcov s dvojitou paritou.
Vypočítajte magickú konštantu. Dá sa to urobiť pomocou jednoduchého matematického vzorca / 2, kde n je počet riadkov alebo stĺpcov na druhú. Napríklad na druhú 6x6 n = 6 a jeho magická konštanta:
- Magická konštanta = / 2
- Magická konštanta = / 2
- Magická konštanta = (6 * 37) / 2
- Magická konštanta = 222/2
- Magická konštanta pre štvorec 6x6 je 111.
- Súčet čísel v ľubovoľnom riadku, stĺpci a uhlopriečke sa musí rovnať magickej konštante.
Rozdeľte magický štvorec na štyri rovnako veľké kvadranty. Označte kvadranty A (vľavo hore), C (vpravo hore), D (vľavo dole) a B (vpravo dole). Vydeľte n číslom 2, aby ste zistili veľkosť každého kvadrantu.
- Takže v štvorci 6x6 je každý kvadrant 3x3.
Do kvadrantu A napíšte štvrté zo všetkých čísel; v kvadrante B napíšte ďalšiu štvrtinu všetkých čísel; v kvadrante C napíšte ďalšiu štvrtinu všetkých čísel; v kvadrante D napíšte poslednú štvrtinu všetkých čísel.
- Pre náš príklad štvorca 6x6 v kvadrante A napíšte čísla 1-9; v kvadrante B - čísla 10-18; v kvadrante C - čísla 19-27; v kvadrante D - čísla 28-36.
Napíšte čísla do každého kvadrantu pri zostavovaní nepárneho štvorca. V našom príklade začnite vyplniť kvadrant A číslami od 1 a kvadranty C, B, D - od 10, 19, 28.
- Vždy napíšte číslo, ktorým začínate v každom kvadrante do stredovej bunky horného riadku konkrétneho kvadrantu.
- Vyplňte každý kvadrant číslami, ako keby to bol samostatný magický štvorec. Ak je pri vypĺňaní kvadrantu k dispozícii prázdna bunka z iného kvadrantu, ignorujte túto skutočnosť a využite výnimky z pravidla pre vypĺňanie nepárnych štvorcov.
Zvýraznite konkrétne čísla v kvadrantoch A a D. V tejto fáze sa súčet čísel v stĺpcoch, riadkoch a na diagonále nebude rovnať magickej konštante. Preto musíte zameniť čísla v konkrétnych bunkách v ľavom hornom a dolnom ľavom kvadrante.
- Začnite od prvej bunky v hornom riadku kvadrantu A a vyberte počet buniek, ktorý sa rovná mediánu počtu buniek v celom riadku. Vo štvorci 6x6 teda vyberte iba prvú bunku v hornom riadku kvadrantu A (táto bunka obsahuje číslo 8); v štvorci 10x10 musíte vybrať prvé dve bunky horného radu kvadrantu A (v týchto bunkách sú napísané čísla 17 a 24).
- Z vybratých buniek vytvorte stredný štvorec. Keďže ste vybrali iba jednu bunku v štvorci 6x6, stredný štvorec bude pozostávať z jednej bunky. Nazvime tento stredný štvorec A-1.
- V štvorci 10x10 ste vybrali dve bunky v hornom riadku, takže musíte vybrať prvé dve bunky druhého radu, aby ste vytvorili stredný štvorec 2x2 pozostávajúci zo štyroch buniek.
- Na ďalšom riadku preskočte číslo v prvej bunke a potom vyberte toľko čísel, koľko ste zvýraznili v medziľahlom štvorci A-1. Výsledný stredný štvorec sa bude nazývať A-2.
- Vytvorenie medziľahlého štvorca A-3 je rovnaké ako vytvorenie medziľahlého štvorca A-1.
- Medziľahlé štvorce A-1, A-2, A-3 tvoria vybranú oblasť A.
- Opakujte tento postup v kvadrante D: vytvorte medziľahlé štvorce, ktoré tvoria vybranú oblasť D.
MAGICKÉ NÁMESTIE
štvorcová tabuľka celých čísel, v ktorej sa súčty čísel v ľubovoľnom riadku, ľubovoľnom stĺpci a ktorejkoľvek z dvoch hlavných uhlopriečok rovnajú rovnakému číslu. Magický štvorec je staročínskeho pôvodu. Podľa legendy sa za vlády cisára Yu (asi 2200 pred n. l.) z vôd Žltej rieky vynorila posvätná korytnačka, na ktorej pancieri boli vpísané tajomné hieroglyfy (obr. 1, a) a tieto znaky sú známe ako lo-shu a sú ekvivalentné magickému štvorcu znázornenému na obr. 1, b. V 11. storočí. o magických štvorcoch sa dozvedeli v Indii, a potom v Japonsku, kde sa v 16. stor. magickým štvorcom bola venovaná rozsiahla literatúra. V 15. storočí predstavil Európanom magické štvorce. byzantský spisovateľ E. Moshopoulos. Za prvý štvorec vynájdený Európanom sa považuje štvorec A. Dürera (obr. 2), zobrazený na jeho slávnej rytine Melanchólia 1. Dátum vzniku rytiny (1514) označujú čísla v dvoch centrálnych bunkách spodná čiara. Magickým štvorcom sa pripisovali rôzne mystické vlastnosti. V 16. storočí. Cornelius Henry Agrippa postavil štvorce 3., 4., 5., 6., 7., 8. a 9. rádu, ktoré súviseli s astrológiou 7 planét. Verilo sa, že magický štvorec vyrytý na striebre chráni pred morom. Aj dnes možno medzi atribútmi európskych veštcov vidieť magické štvorce.
V 19. a 20. stor. záujem o magické štvorce vzplanul s novou silou. Začali sa skúmať metódami vyššej algebry a operačného počtu. Každý prvok magického štvorca sa nazýva bunka. Štvorec, ktorého strana pozostáva z n buniek, obsahuje n2 buniek a nazýva sa štvorec n-tého rádu. Väčšina magických štvorcov používa prvých n po sebe idúcich prirodzených čísel. Súčet S čísel v každom riadku, každom stĺpci a na ľubovoľnej uhlopriečke sa nazýva konštanta štvorca a rovná sa S = n (n2 + 1) / 2. Je dokázané, že n і 3. Pre štvorec 3. rádu S = 15, 4. rád - S = 34, 5. rád - S = 65. Dve uhlopriečky prechádzajúce stredom štvorca sa nazývajú hlavné uhlopriečky. Prerušovaná čiara je uhlopriečka, ktorá po dosiahnutí okraja štvorca pokračuje rovnobežne s prvým segmentom od protiľahlého okraja (takúto uhlopriečku tvoria vytieňované bunky na obr. 3). Bunky, ktoré sú symetrické okolo stredu štvorca, sa nazývajú šikmo symetrické. Sú to napríklad bunky a a b na obr. 3.
Pravidlá pre vytváranie magických štvorcov sú rozdelené do troch kategórií v závislosti od poradia štvorca: nepárne, rovné dvojnásobku nepárneho čísla alebo rovné štvornásobku nepárneho čísla. Všeobecná metóda konštrukcie všetkých štvorcov nie je známa, hoci sa široko používajú rôzne schémy, z ktorých niektoré zvážime nižšie. Magické štvorce nepárneho rádu možno zostrojiť metódou francúzskeho geometra zo 17. storočia. A. de la Luber. Uvažujme o tejto metóde na príklade štvorca 5. rádu (obr. 4). Číslo 1 je umiestnené v strednej bunke horného riadku. Všetky prirodzené čísla sú usporiadané v prirodzenom poradí cyklicky zdola nahor v bunkách uhlopriečok sprava doľava. Po dosiahnutí horného okraja štvorca (ako v prípade čísla 1) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky od spodnej bunky nasledujúceho stĺpca. Po dosiahnutí pravého okraja štvorca (číslo 3) pokračujeme vo vypĺňaní uhlopriečky z ľavej bunky čiarou vyššie. Po dosiahnutí vyplnenej bunky (číslo 5) alebo rohu (číslo 15) trajektória klesne o jednu bunku, po ktorej proces plnenia pokračuje.
Metóda F. de la Ira (1640-1718) je založená na dvoch pôvodných štvorcoch. Na obr. 5 ukazuje, ako sa pomocou tejto metódy zostrojí štvorec 5. rádu. Čísla od 1 do 5 sú vpísané do bunky prvého štvorca tak, že číslo 3 sa opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky smerom nahor a žiadne číslo sa nevyskytuje dvakrát v tom istom riadku alebo v tom istom stĺpci. To isté robíme s číslami 0, 5, 10, 15, 20, len s tým rozdielom, že číslo 10 sa teraz opakuje v bunkách hlavnej uhlopriečky zhora nadol (obr. 5, b). Súčet týchto dvoch políčok po bunke (obr. 5, c) tvorí magický štvorec. Táto metóda sa používa aj pri konštrukcii štvorcov párneho poradia.
Ak poznáte metódu na zostavenie štvorcov rádu m a rádu n, môžete vytvoriť štvorec rádu mґn. Podstata tejto metódy je znázornená na obr. 6. Tu m = 3 an = 3. Väčší štvorec tretieho rádu (s číslami označenými prvočíslami) zostrojíme de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 1ў (centrálna bunka horného riadku) je opísaná štvorcom tretieho rádu s číslami od 1 do 9, tiež zostrojeným de la Lubertovou metódou. Bunka s číslom 2ў (pravá v spodnom riadku) obsahuje štvorec tretieho rádu s číslami od 10 do 18; v bunke s číslom 3ў - štvorec čísel od 19 do 27 atď. V dôsledku toho dostaneme štvorec 9. rádu. Takéto štvorce sa nazývajú zložené štvorce.
Collierova encyklopédia. - Otvorená spoločnosť. 2000 .
Pozrite sa, čo je „MAGIC SQUARE“ v iných slovníkoch:
Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, pričom prvých n2 prirodzených čísel je zapísaných vo výsledných bunkách, ktoré tvoria rovnaký počet pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky ... Veľký encyklopedický slovník
MAGIC SQUARE, štvorcový MATRIX, rozdelený na bunky a vyplnený určitým spôsobom číslami alebo písmenami, fixujúci špeciálnu magickú situáciu. Najbežnejší štvorec s písmenami je SATOR, tvorený slovami SATOR, AREPO, ... ... Vedecko-technický encyklopedický slovník
Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, s prirodzenými číslami od 1 do n2 vpísanými do výsledných buniek, ktoré pridávajú rovnaké číslo pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky. Na obr. príklad M. c. s ... ... Prírodná veda. encyklopedický slovník
Magický alebo magický štvorec je štvorcová tabuľka naplnená číslami tak, že súčet čísel v každom riadku, každom stĺpci a na oboch uhlopriečkach je rovnaký. Ak sú v štvorci súčty čísel iba v riadkoch a stĺpcoch rovnaké, potom ... Wikipedia
Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, pričom prvých n2 prirodzených čísel je zapísaných vo výsledných bunkách, ktoré tvoria rovnaký počet pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky. Na obrázku je príklad ...... encyklopedický slovník
Štvorec rozdelený na rovnaký počet n stĺpcov a riadkov, pričom prvých n2 prirodzených čísel je zapísaných vo výsledných bunkách, ktoré súčet rovnakého počtu pre každý stĺpec, každý riadok a dve veľké uhlopriečky [rovnajúce sa ... .. . Veľká sovietska encyklopédia
Štvorcová tabuľka celých čísel od 1 do n2 spĺňajúca nasledujúce podmienky: kde s = n (n2 + 1) / 2. Do úvahy prichádzajú aj všeobecnejšie M. k., v ktorých sa nevyžaduje, aby akékoľvek číslo a, bolo jednoznačne charakterizované párom zvyškov (a, b) modulo n (číslice ... Encyklopédia matematiky
Kniha. Štvorec rozdelený na časti, v každej z nich je vpísané číslo, ktoré dáva rovnaké číslo spolu s ostatnými horizontálne, vertikálne alebo diagonálne. BTS, 512 ... Veľký slovník ruských prísloví
- (grécky magikos, od magos kúzelník). Mágia, súvisiaca s mágiou. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov AN, 1910. MAGICKÁ mágia. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Pavlenkov F., 1907 ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
Je to trojrozmerná verzia magického štvorca. Tradičná (klasická) magická kocka rádu n sa nazýva kocka n × n × n naplnená rôznymi prirodzenými číslami od 1 do n3 tak, že súčty čísel v ktoromkoľvek z riadkov 3n2, ... ... Wikipedia
knihy
- Magické námestie, Irina Bjorno, „Čarovné námestie“ - zbierka príbehov a príbehov napísaných v štýle magického realizmu, kde je realita úzko prepojená s mágiou a fantáziou a tvorí nový, magický štýl - ... Kategória: Horor & Mystery Vydavateľ: Publishing Solutions, eBook(fb2, fb3, epub, mobi, pdf, html, pdb, lit, doc, rtf, txt)
XIII vedecká a praktická konferencia školákov
"Magické štvorce"
Žiaci 8. ročníka „A“.
PTP lýceum
Šolochová Anna
Vedúci Anokhina M.N.
História mojej práce ……………………………………………… 2
Magický štvorec ................................................ ...................... 3
Historicky významné magické štvorce ................... 4-5
NÁMESTIE V KHAJURAHO (INDIA) ......... 6
Magický štvorec Yang Hui (Čína) ...................................... 7
Námestie Albrechta Durera ................................................ ............osem
Henry E. Dudeny a Allan W. Johnson Jr. Squares ... 9
Čertov magický štvorec ......................................... 10-11
PRAVIDLÁ STAVBY MAGICKÝCH ŠTVORCOV ... 12
ZLOŽENIE MAGICKÝCH Štvorcov ...................... 13-15
Vytvorenie magického štvorca od Albrechta Durera. ..... 17-18
Sudoku ................................................. ...................................... 19-21 Kakuro ................................................. ................................................. 22.-23
BANKA ÚLOH ................................................................ ................... 24.-25
Závery................................................................ ................................... 26 Literatúra .................. ................................................................... ....... 27
História mojej práce .
Predtým som si ani nemyslel, že by sa niečo také dalo vymyslieť. Prvýkrát som sa s magickými štvorcami stretol v prvej triede v učebnici, boli najjednoduchšie.| 7 | ||
| 8 | 0 | |
| 5 |
O niekoľko rokov neskôr som išiel s rodičmi k moru a stretol som dievča, ktoré milovalo sudoku. Tiež som sa chcel učiť a ona mi vysvetlila, ako na to. Toto povolanie sa mi veľmi páčilo a stalo sa mojím takzvaným koníčkom.
Po ponuke zúčastniť sa vedeckej a praktickej konferencie som si hneď vybral tému „Magické štvorce“. Do tejto práce som zahrnul historický materiál, odrody, pravidlá tvorby logickej hry.
Magický štvorec.
Magické štvorce existujú pre všetky objednávky okrem n = 2, hoci prípad n = 1 je triviálny - štvorec pozostáva z jedného čísla.
Súčet čísel v každom riadku, stĺpci a uhlopriečkach. Volaný magická konštanta, M. Magická konštanta normálneho magického štvorca závisí len od n a je určená vzorcom.
| Objednávka č | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| M (n) | 15 | 34 | 65 | 111 | 175 | 260 | 369 | 505 | 671 | 870 | 1105 |
Prvé hodnoty magických konštánt sú uvedené v nasledujúcej tabuľke.
Historicky významné magické štvorce.
V starej čínskej knihe "Zhe-kim" ("Kniha permutácií") existuje legenda, že cisár Niu, ktorý žil pred 4 000 rokmi, videl na brehu rieky posvätnú korytnačku. Na jej pancieri bol znázornený vzor bielych a čiernych kruhov (obr. 1). Ak nahradíte každý tvar číslom označujúcim, koľko kruhov obsahuje, získate tabuľku. | 4 | 9 | 2 |
| 3 | 5 | 7 |
| 8 | 1 | 6 |
Tento stôl má úžasnú vlastnosť. Pridajme čísla prvého stĺpca: 4 + 3 + 8 = 15. Rovnaký výsledok získame sčítaním čísel druhého, ako aj tretieho stĺpca. Získava sa aj sčítaním čísel z ktoréhokoľvek z troch reťazcov. Nielen to, rovnakú odpoveď 15 získate sčítaním čísel každej z dvoch uhlopriečok: 4 + 5 + 6 = 8 + 5 + 2 = 15.
Pravdepodobne na túto legendu prišli Číňania, keď našli usporiadanie čísel od 1 do 9 s takou pozoruhodnou vlastnosťou. Kresbu nazvali „lo-šu“ a začali ju považovať za magický symbol a používať ju na kúzla. Preto sa teraz nazýva akákoľvek štvorcová tabuľka zložená z čísel, ktorá má túto vlastnosť magický štvorec.
Obr
NÁMESTIE NÁJDENÉ V KHAJURAHO (INDIA).
Najstarší unikátny magický štvorec bol nájdený v nápise z 11. storočia v indickom meste Khajuraho.
Toto je prvý magický štvorec, ktorý patrí k rôznym takzvaným „diablovým“ štvorcom.
Čarovné námestie Yang Hui (Čína)
V 13. storočí sa matematik Yang Hui zaoberal problémom metód konštrukcie magických štvorcov. V jeho výskume potom pokračovali ďalší čínski matematici. Yang Hui považoval magické štvorce nielen za tretie, ale aj za veľké objednávky.
Niektoré jeho štvorce boli dosť ťažké, ale vždy dal pravidlá na ich stavbu. Podarilo sa mu postaviť magický štvorec šiesteho rádu.
Súčet čísel na ľubovoľnej vodorovnej, zvislej a uhlopriečke je 34. Tento súčet sa vyskytuje aj vo všetkých rohových poliach 2x2, v centrálnom poli (10 + 11 + 6 + 7), v poli rohových buniek (16 + 13 + 4 + 1), na poliach postavených „ťahom rytiera“ ( 2 + 8 + 9 + 15 a 3 + 5 + 12 + 14), obdĺžniky tvorené pármi stredných buniek na opačných stranách (3 + 2 + 15 + 14 a 5 + 8 + 9 + 12) Väčšina dodatočných symetrií je pretože súčet akýchkoľvek dvoch centrálne umiestnených čísel je 17.
Námestie Henry E. Dudeny a Allan W. Johnson Jr
Ak sa do štvorcovej matice n x n zadá nie striktne prirodzený rad čísel, potom je tento magický štvorec netradičný. Nižšie sú uvedené dva z týchto magických štvorcov vyplnené väčšinou prvočíslami. Prvý (obr. 3) je rádu n = 3 (Dudenyho štvorec); druhý (obr. 4) (4x4) je Johnsonov štvorec. Obe boli vyvinuté na začiatku dvadsiateho storočia.
Obr. 3 Obr
Diablov magický štvorec
Párne štvorce sa stavajú oveľa ťažšie ako nepárne. Existuje mnoho spôsobov, ako vysvetliť princípy ich konštrukcie. Tento článok popisuje zábavný spôsob, ako postaviť magický štvorec 4 x 4.
Začneme zadaním jednotky do bunky úplne vľavo v hornom riadku. Dva sa nachádzajú v susednej bunke a čísla 3 a 4 v nasledujúcom. Tým je horný riadok hotový. Ďalší riadok obsahuje čísla 5, 6, 7 a 8.
Pokračujte, kým nevyplníte všetky bunky (obr. 1).
Obr
Potom vo všetkých extrémnych riadkoch musíte odstrániť dve čísla z centrálnych buniek, to znamená, že čísla 2 a 3 sú odstránené v hornom riadku a 14 a 15 v dolnom riadku. Nakoniec v ľavom extrémnom riadku čísla 5 a 9 sú odstránené av pravom extréme - 8 a 12 (obr. 2).
Obr Teraz môžu byť tieto čísla usporiadané pomerne zaujímavým spôsobom. Čísla 2 a 3 zaberajú bunky, v ktorých sa predtým nachádzali čísla 14 a 15. Spodný riadok teda bude pozostávať z čísel 13, 3, 2 a 16. Čísla 14 a 15 sú umiestnené podľa rovnakého princípu, to znamená, že zaberajú tie bunky, ktoré predtým obsahovali čísla 2 a 3. Výsledkom je, že horný riadok bude pozostávať z čísel 1, 15, 14 a 4. Dúfam, že už chápete, ako sa bude magický štvorec budovať ďalej. Čísla 8 a 12 obsadia tie bunky, v ktorých predtým boli čísla 5 a 9. Nakoniec sa čísla 5 a 9 zmestia do dvoch buniek v stĺpci úplne vpravo (obr. 3).
Obr Všimnite si, že v tomto magickom štvorci je súčet čísel v ľubovoľnom riadku 34.
Rovnakým spôsobom môžete vytvoriť štvorec 4 * 4 jednoduchým usporiadaním šestnástich čísel za sebou, počnúc ľubovoľným číslom. Ak postavíte magický štvorec, v ktorom budú čísla ísť v poradí 3, 6, 9, 12 atď., Potom uvidíte, že súčet čísel ktoréhokoľvek riadku sa bude rovnať 102.
Existuje mnoho spôsobov, ako postaviť dokonca magické štvorce. Niektoré z nich sú veľmi ťažké, časovo náročné a zaujímavé len pre matematikov. Našťastie metóda vytvárania magických štvorcov jantry založená na dátume narodenia je neuveriteľne jednoduchá.
