Téme „Uhlový koeficient dotyčnice ako dotyčnica uhla sklonu“ je v certifikačnej skúške zadaných niekoľko úloh. V závislosti od ich stavu môže byť absolvent požiadaný o poskytnutie úplnej alebo krátkej odpovede. Pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky by si mal študent určite zopakovať úlohy, ktoré vyžadujú výpočet sklonu dotyčnice.
Pomôže vám v tom vzdelávací portál Shkolkovo. Naši špecialisti pripravili a prezentovali teoretický a praktický materiál čo najdostupnejším spôsobom. Po oboznámení sa s ním budú absolventi akejkoľvek úrovne vzdelania schopní úspešne riešiť problémy súvisiace s deriváciami, v ktorých je potrebné nájsť tangens tangensového uhla.
Základné momenty
Na nájdenie správneho a racionálneho riešenia takýchto úloh v Jednotnej štátnej skúške je potrebné zapamätať si základnú definíciu: derivácia predstavuje rýchlosť zmeny funkcie; rovná sa dotyčnici dotyčnicového uhla nakresleného ku grafu funkcie v určitom bode. Rovnako dôležité je dokončiť výkres. Umožní vám nájsť správne riešenie problémov USE na derivácii, v ktorej musíte vypočítať tangens tangensového uhla. Pre prehľadnosť je najlepšie vykresliť graf na rovine OXY.
Ak ste sa už oboznámili so základným materiálom na tému derivácií a ste pripravení začať riešiť problémy s výpočtom dotyčnice uhla dotyčnice, podobne ako úlohy Jednotnej štátnej skúšky, môžete to urobiť online. Ku každej úlohe, napríklad úlohám na tému „Vzťah derivácie s rýchlosťou a zrýchlením telesa“, sme zapísali správnu odpoveď a algoritmus riešenia. Študenti si zároveň môžu precvičiť vykonávanie úloh rôznej úrovne zložitosti. V prípade potreby je možné cvičenie uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste neskôr mohli prediskutovať riešenie s učiteľom.
Číselne sa rovná dotyčnici uhla (predstavuje najmenšiu rotáciu od osi Ox k osi Oy) medzi kladným smerom osi x a danou priamkou.
Tangent uhla možno vypočítať ako pomer protiľahlej strany k susednej strane. k sa vždy rovná , teda derivácii rovnice priamky vzhľadom na X.
Pre kladné hodnoty sklonu k a nulový koeficient posunu b priamka bude ležať v prvom a treťom kvadrante (v ktorom X A r pozitívne aj negatívne). Súčasne veľké hodnoty uhlového koeficientu k bude zodpovedať strmšia priamka a plochejšia bude zodpovedať menším.
Priame a kolmé, ak , a rovnobežné, ak .
Poznámky
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je „Uhlový koeficient priamky“ v iných slovníkoch:
sklon (priamy)- - Témy ropný a plynárenský priemysel EN svah... Technická príručka prekladateľa
- (matematické) číslo k v rovnici priamky v rovine y = kx+b (pozri Analytická geometria), charakterizujúce sklon priamky voči osi x. V pravouhlom súradnicovom systéme Spojeného kráľovstva k = tan φ, kde φ je uhol medzi ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Odvetvie geometrie, ktoré študuje najjednoduchšie geometrické objekty pomocou elementárnej algebry založenej na súradnicovej metóde. Vytvorenie analytickej geometrie sa zvyčajne pripisuje R. Descartesovi, ktorý jej základy načrtol v poslednej kapitole svojho... ... Collierova encyklopédia
Meranie reakčného času (RT) je pravdepodobne najváženejším predmetom empirickej psychológie. Vznikla v oblasti astronómie, v roku 1823, meraním individuálnych rozdielov v rýchlosti vnímania hviezdy pretínajúcej čiaru ďalekohľadu. Títo … Psychologická encyklopédia
Odvetvie matematiky, ktoré poskytuje metódy na kvantitatívne štúdium rôznych procesov zmien; sa zaoberá štúdiom rýchlosti zmeny (diferenciálny počet) a určovaním dĺžok kriviek, plôch a objemov obrazcov ohraničených zakrivenými obrysmi a ... Collierova encyklopédia
Tento výraz má iné významy, pozri Priamy (významy). Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie, to znamená, že nemá presnú univerzálnu definíciu. V systematickej prezentácii geometrie sa priamka zvyčajne berie ako jedna... ... Wikipedia
Obraz rovných čiar v pravouhlom súradnicovom systéme Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie. V systematickej prezentácii geometrie sa rovná čiara zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je definovaný len nepriamo... ... Wikipedia
Obraz rovných čiar v pravouhlom súradnicovom systéme Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie. V systematickej prezentácii geometrie sa rovná čiara zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je definovaný len nepriamo... ... Wikipedia
Nezamieňať s pojmom "Elipsa". Elipsa a jej ohniská Elipsa (starogrécky nedostatok ἔλλειψις, v zmysle nedostatku excentricity do 1) ťažisko bodov M euklidovskej roviny, pre ktoré je súčet vzdialeností od dvoch daných bodov F1... ... Wikipedia
Nech na rovine, kde je pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, priamka l prechádza bodom M 0 rovnobežne so smerovým vektorom A (Obr. 96).
Ak rovno l pretína os O X(v bode N), potom pod uhlom priamky l s osou O X pochopíme uhol α, o ktorý je potrebné os O pootočiť X okolo bodu N v smere opačnom k otáčaniu v smere hodinových ručičiek, takže os O X sa zhodoval s priamkou l. (Toto sa vzťahuje na uhol menší ako 180°.)
Tento uhol sa nazýva uhol sklonu rovno. Ak rovno l rovnobežne s osou O X, potom sa predpokladá, že uhol sklonu je nulový (obr. 97).
Tangenta uhla sklonu priamky sa nazýva sklon priamky a zvyčajne sa označuje písmenom k:
tan α = k. (1)
Ak α = 0, potom k= 0; to znamená, že čiara je rovnobežná s osou O X a jeho sklon je nulový.
Ak α = 90°, potom k= tan α nedáva zmysel: to znamená, že priamka kolmá na os O X(t. j. rovnobežne s osou O pri), nemá sklon.
Sklon priamky možno vypočítať, ak sú známe súradnice akýchkoľvek dvoch bodov na tejto priamke. Nech sú dané dva body na priamke: M 1 ( X 1 ; pri 1) a M 2 ( X 2 ; pri 2) a nech je napríklad 0< α < 90°, а X 2 > X 1 , pri 2 > pri 1 (obr. 98).
Potom z pravouhlého trojuholníka M 1 PM 2 nájdeme
$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2) $$
Podobne je dokázané, že vzorec (2) platí aj v prípade 90°< α < 180°.
Vzorec (2) stráca zmysel, ak X 2 - X 1 = 0, t.j. ak je rovný l rovnobežne s osou O pri. Pre takéto priame čiary neexistuje koeficient sklonu.
Úloha 1. Určte uhlový koeficient prvočísla prechádzajúceho bodmi
M1 (3; -5) a M2 (5; -7).
Dosadením súradníc bodov M 1 a M 2 do vzorca (2) dostaneme
\(k=\frac(-7-(-5))(5-3)\) alebo k = -1
Úloha 2. Určte sklon priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (3; 5) a M 2 (3; -2).
Pretože X 2 - X 1 = 0, potom rovnosť (2) stráca zmysel. Pre túto priamku nie je sklon. Priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou O pri.
Úloha 3. Určte sklon priamky prechádzajúcej počiatkom a bodom M 1 (3; -5)
V tomto prípade sa bod M 2 zhoduje s pôvodom. Aplikovaním vzorca (2) dostaneme
$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$
Vytvorme rovnicu priamky s uhlovým koeficientom k, prechádzajúci bodom
M 1 ( X 1 ; pri 1). Podľa vzorca (2) sa uhlový koeficient priamky zistí zo súradníc jej dvoch bodov. V našom prípade je daný bod M 1 a ako druhý bod môžeme vziať ľubovoľný bod M( X; pri) požadovaná priamka.
Ak bod M leží na priamke, ktorá prechádza bodom M 1 a má uhlový koeficient k, potom na základe vzorca (2) máme
$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$
Ak bod M neleží na priamke, tak rovnosť (3) neplatí. V dôsledku toho je rovnosť (3) rovnicou priamky prechádzajúcej bodom M 1 ( X 1 ; pri 1) so sklonom k; táto rovnica sa zvyčajne píše ako
r- r 1 = k(X - X 1). (4)
Ak priamka pretína os O pri v určitom okamihu (0; b), potom rovnica (4) nadobúda tvar
pri - b = k (X- 0),
r = kx + b. (5)
Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky so sklonom k a začiatočnou ordinátou b.
Úloha 4. Nájdite uhol sklonu priamky √3 x + 3pri - 7 = 0.
Zredukujeme túto rovnicu do tvaru
$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$
teda k= tan α = - 1 / √ 3, odkiaľ α = 150°
Úloha 5. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom P(3; -4) s uhlovým koeficientom k = 2 / 5
Nahrádzanie k = 2 / 5 , X 1 = 3, r 1 = - 4 do rovnice (4), dostaneme
pri - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) alebo 2 X - 5pri - 26 = 0.
Úloha 6. Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom Q (-3; 4) a komponentom s kladným smerom osi O X uhol 30°.
Ak α = 30°, potom k= tan 30° = √ 3/3. Dosadenie hodnôt do rovnice (4). X 1 , r 1 a k, dostaneme
pri -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) alebo √3 X-3r + 12 + 3√3 = 0.
Číselne sa rovná dotyčnici uhla (predstavuje najmenšiu rotáciu od osi Ox k osi Oy) medzi kladným smerom osi x a danou priamkou.
Tangent uhla možno vypočítať ako pomer protiľahlej strany k susednej strane. k sa vždy rovná , teda derivácii rovnice priamky vzhľadom na X.
Pre kladné hodnoty sklonu k a nulový koeficient posunu b priamka bude ležať v prvom a treťom kvadrante (v ktorom X A r pozitívne aj negatívne). Súčasne veľké hodnoty uhlového koeficientu k bude zodpovedať strmšia priamka a plochejšia bude zodpovedať menším.
Priame a kolmé, ak , a rovnobežné, ak .
Poznámky
Nadácia Wikimedia. 2010.
- Iphit (kráľ Elis)
- Zoznam dekrétov prezidenta Ruskej federácie „o udeľovaní štátnych vyznamenaní“ za rok 2001
Pozrite sa, čo je „Uhlový koeficient priamky“ v iných slovníkoch:
sklon (priamy)- - Témy ropný a plynárenský priemysel EN svah... Technická príručka prekladateľa
Faktor sklonu- (matematické) číslo k v rovnici priamky v rovine y = kx+b (pozri Analytická geometria), charakterizujúce sklon priamky voči osi x. V pravouhlom súradnicovom systéme Spojeného kráľovstva k = tan φ, kde φ je uhol medzi ... ... Veľká sovietska encyklopédia
Rovnice priamky
ANALYTICKÁ GEOMETRIA- úsek geometrie, ktorý študuje najjednoduchšie geometrické objekty pomocou elementárnej algebry na základe súradnicovej metódy. Vytvorenie analytickej geometrie sa zvyčajne pripisuje R. Descartesovi, ktorý jej základy načrtol v poslednej kapitole svojho... ... Collierova encyklopédia
Reakčný čas- Meranie reakčného času (RT) je pravdepodobne najváženejším predmetom empirickej psychológie. Vznikla v oblasti astronómie, v roku 1823, meraním individuálnych rozdielov v rýchlosti vnímania hviezdy pretínajúcej čiaru ďalekohľadu. Títo … Psychologická encyklopédia
MATEMATICKÁ ANALÝZA- odvetvie matematiky, ktoré poskytuje metódy na kvantitatívny výskum rôznych procesov zmien; sa zaoberá štúdiom rýchlosti zmeny (diferenciálny počet) a určovaním dĺžok kriviek, plôch a objemov obrazcov ohraničených zakrivenými obrysmi a ... Collierova encyklopédia
Rovno- Tento výraz má iné významy, pozri Priamy (významy). Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie, to znamená, že nemá presnú univerzálnu definíciu. V systematickej prezentácii geometrie sa priamka zvyčajne berie ako jedna... ... Wikipedia
Priamka- Obraz rovných čiar v pravouhlom súradnicovom systéme Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie. V systematickej prezentácii geometrie sa rovná čiara zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je definovaný len nepriamo... ... Wikipedia
Priamy- Obraz rovných čiar v pravouhlom súradnicovom systéme Priamka je jedným zo základných pojmov geometrie. V systematickej prezentácii geometrie sa rovná čiara zvyčajne berie ako jeden z počiatočných pojmov, ktorý je definovaný len nepriamo... ... Wikipedia
Menší hriadeľ- Nezamieňať s pojmom "Elipsa". Elipsa a jej ohniská Elipsa (starogrécky nedostatok ἔλλειψις, v zmysle nedostatku excentricity do 1) ťažisko bodov M euklidovskej roviny, pre ktoré je súčet vzdialeností od dvoch daných bodov F1... ... Wikipedia
V matematike je jedným z parametrov, ktorý popisuje polohu priamky na kartézskej súradnicovej rovine, uhlový koeficient tejto priamky. Tento parameter charakterizuje sklon priamky k osi x. Aby ste pochopili, ako nájsť sklon, najprv si spomeňte na všeobecný tvar rovnice priamky v súradnicovom systéme XY.
Vo všeobecnosti môže byť ľubovoľná čiara reprezentovaná výrazom ax+by=c, kde a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla, ale a 2 + b 2 ≠ 0.
Pomocou jednoduchých transformácií možno takúto rovnicu dostať do tvaru y=kx+d, v ktorom k a d sú reálne čísla. Číslo k je sklon a rovnica priamky tohto typu sa nazýva rovnica so sklonom. Ukazuje sa, že na nájdenie sklonu stačí zmenšiť pôvodnú rovnicu na vyššie uvedenú formu. Pre lepšie pochopenie zvážte konkrétny príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 36x - 18y = 108
Riešenie: Transformujme pôvodnú rovnicu.
Odpoveď: Požadovaný sklon tejto čiary je 2.
Ak sme pri transformácii rovnice dostali výraz ako x = const a v dôsledku toho nemôžeme reprezentovať y ako funkciu x, potom máme do činenia s priamkou rovnobežnou s osou X. Uhlový koeficient takéhoto priamka sa rovná nekonečnu.
Pre priamky vyjadrené rovnicou ako y = const je sklon nulový. To je typické pre priame čiary rovnobežné s osou x. Napríklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Riešenie: Uveďme pôvodnú rovnicu do jej všeobecného tvaru
24x + 12r - 12r + 28 = 4
Z výsledného výrazu nie je možné vyjadriť y, preto sa uhlový koeficient tejto priamky rovná nekonečnu a priamka samotná bude rovnobežná s osou Y.
Geometrický význam
Pre lepšie pochopenie sa pozrime na obrázok:
Na obrázku vidíme graf funkcie ako y = kx. Pre zjednodušenie zoberme koeficient c = 0. V trojuholníku OAB bude pomer strany BA k AO rovný uhlovému koeficientu k. Pomer BA/AO je zároveň tangensom ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku OAB. Ukazuje sa, že uhlový koeficient priamky sa rovná dotyčnici uhla, ktorý táto priamka zviera so súradnicovou osou súradnicovej siete.
Pri riešení problému, ako nájsť uhlový koeficient priamky, nájdeme dotyčnicu uhla medzi ňou a osou X súradnicovej siete. Hraničné prípady, keď je príslušná čiara rovnobežná so súradnicovými osami, potvrdzujú vyššie uvedené. Skutočne, pre priamku opísanú rovnicou y=const je uhol medzi ňou a osou x nula. Tangenta nulového uhla je tiež nula a sklon je tiež nulový.
Pre priamky kolmé na os x a opísané rovnicou x=konšt. je uhol medzi nimi a osou X 90 stupňov. Tangenta pravého uhla sa rovná nekonečnu a uhlový koeficient podobných priamok je tiež rovný nekonečnu, čo potvrdzuje to, čo bolo napísané vyššie.
Tangentový sklon
Častou úlohou, s ktorou sa v praxi často stretávame, je tiež nájsť sklon dotyčnice ku grafu funkcie v určitom bode. Dotyčnica je priamka, preto sa na ňu vzťahuje aj pojem sklon.
Aby sme zistili, ako nájsť sklon dotyčnice, budeme si musieť pripomenúť pojem derivácie. Derivácia ľubovoľnej funkcie v určitom bode je konštanta, ktorá sa číselne rovná dotyčnici uhla, ktorý je vytvorený medzi dotyčnicou v zadanom bode ku grafu tejto funkcie a osou x. Ukazuje sa, že na určenie uhlového koeficientu dotyčnice v bode x 0 musíme vypočítať hodnotu derivácie pôvodnej funkcie v tomto bode k = f"(x 0). Pozrime sa na príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky dotyčnice k funkcii y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Riešenie: Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie vo všeobecnom tvare
y"(0,1) = 24, 0,1 + 2, 0,1. e 0,1 + 2, e 0,1
Odpoveď: Požadovaný sklon v bode x = 0,1 je 4,831
