Napríklad postupnosť \ (2 \); \(5\); \(osem\); \(jedenásť\); \ (14 \) ... je aritmetický postup, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (od predchádzajúceho sa dá získať pridaním trojice):

V tomto postupe je rozdiel \ (d \) kladný (rovná sa \ (3 \)), a preto je každý ďalší člen väčší ako predchádzajúci. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

\ (d \) však môže byť aj záporné. Napríklad, v aritmetická progresia\(16\); \(desať\); \(4\); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... rozdiel postupu \ (d \) sa rovná mínus šiestim.

A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.

Zápis aritmetického postupu

Postup je označený malým latinským písmenom.

Nazývajú to čísla tvoriace progresiu členov(alebo prvky).

Označujú sa rovnakým písmenom ako aritmetická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad aritmetický postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \) pozostáva z prvkov \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) a tak ďalej.

Inými slovami, pre postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \)

Riešenie problémov pre aritmetický postup

V zásade už vyššie uvedené informácie postačujú na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému pre aritmetický postup (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \ (b_1 = 7; d = 4 \). Nájsť \ (b_5 \).
Riešenie:

odpoveď: \ (b_5 = 23 \)

Príklad (OGE). Sú uvedené prvé tri členy aritmetickej progresie: \ (62; 49; 36 ... \) Nájdite hodnotu prvého záporného člena tejto progresie ..
Riešenie:

	Sú nám dané prvé prvky postupnosti a vieme, že ide o aritmetický postup. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného o rovnaké číslo. Zistite, ktorý z nich, odčítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme.
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(-3\)

Príklad (OGE). Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetického postupu: \ (… 5; x; 10; 12,5 ... \) Nájdite hodnotu prvku označenú písmenom \ (x \).
Riešenie:

	Aby sme našli \ (x \), potrebujeme vedieť, ako veľmi sa líši nasledujúci prvok od predchádzajúceho, inými slovami - rozdiel postupu. Nájdite to z dvoch známych susedných prvkov: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	A teraz bez problémov nájdeme požadovaný: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Pripravený. Môžete napísať odpoveď.

odpoveď: \(7,5\).

Príklad (OGE). Sada aritmetického postupu nasledujúcich podmienok: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.
Riešenie:

Musíme nájsť súčet prvých šiestich členov postupu. Ale ich význam nepoznáme, je nám daný len prvý prvok. Preto najprv vypočítame hodnoty postupne pomocou toho, čo máme: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) \ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \) \ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \) A po vypočítaní šiestich prvkov, ktoré potrebujeme, nájdeme ich súčet.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Hľadaná suma bola nájdená.

odpoveď: \ (S_6 = 9 \).

Príklad (OGE). V aritmetickom postupe \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Nájdite rozdiel medzi týmto vývojom.
Riešenie:

odpoveď: \ (d = 7 \).

Dôležité vzorce pre aritmetický postup

Ako vidíte, mnohé problémy s aritmetickou progresiou možno vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická progresia je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel progresie).

Niekedy však nastanú situácie, kedy je veľmi nepohodlné rozhodnúť sa „hlavou“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade potrebujeme nájsť nie piaty prvok \ (b_5 \), ale tristoosemdesiaty šiesty \ (b_ (386) \). Čo je to, \ (385 \) krát sčítame štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade potrebujete nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budete mučení, aby ste počítali...

Preto v takýchto prípadoch neriešia „hlavou“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetický postup. A hlavné sú vzorec pre n-tý člen postupnosti a vzorec pre súčet \ (n \) prvých členov.

Vzorec \ (n \) - tý člen: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), kde \ (a_1 \) je prvý člen postupnosti;
\ (n \) - číslo hľadaného prvku;
\ (a_n \) je členom postupnosti s číslom \ (n \).

Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť aspoň tristotý, dokonca aj miliónty prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel postupu.

Príklad. Aritmetický postup je určený podmienkami: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Nájsť \ (b_ (246) \).
Riešenie:

odpoveď: \ (b_ (246) = 1850 \).

Vzorec pre súčet prvých n členov: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), kde

\ (a_n \) - posledný sčítaný člen;

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Nájdite súčet prvých \ (25 \) členov tohto postupu.
Riešenie:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho člena. Naša postupnosť je daná vzorcom n-tého člena v závislosti od jeho čísla (pozri podrobnosti). Vypočítajme prvý prvok dosadením jedného za \ (n \).
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Teraz nájdeme dvadsiaty piaty člen, ktorý nahradí dvadsaťpäť namiesto \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		No a teraz už vieme bez problémov vypočítať požadovanú sumu.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2,8 + 84,4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \ (S_ (25) = 1090 \).

Pre súčet \ (n \) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \ ) namiesto \ (a_n \) dosaďte vzorec \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dostaneme:

Vzorec pre súčet prvých n členov: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), kde

\ (S_n \) - požadovaný súčet \ (n \) prvých prvkov;
\ (a_1 \) - prvý sčítaný člen;
\ (d \) - progresívny rozdiel;
\ (n \) - počet prvkov v súčte.

Príklad. Nájdite súčet prvých \ (33 \) - bývalých členov aritmetickej postupnosti: \ (17 \); \ (15,5 \); \(štrnásť\)…
Riešenie:

odpoveď: \ (S_ (33) = - 231 \).

Zložitejšie problémy aritmetického postupu

Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickým postupom. Tému uzatvárame úvahami o problémoch, pri ktorých je potrebné nielen aplikovať vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)

Príklad (OGE). Nájdite súčet všetkých záporných členov progresie: \ (- 19,3 \); \(-19\); \ (- 18,7 \) ...
Riešenie:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začneme tiež riešiť: najprv nájdeme \ (d \).
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Teraz by sme vo vzorci pre súčet dosadili \ (d \) ... a tu sa objaví malá nuansa - nevieme \ (n \). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? zamyslime sa. Pridávanie prvkov zastavíme, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. ako? Zapíšme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pre náš prípad.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Potrebujeme, aby \ (a_n \) bolo väčšie ako nula. Poďme zistiť, čo \ (n \) sa to stane.
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \)		Obe strany nerovnosti vydelíme \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Pohybujte sa mínus jedna, nezabudnite zmeniť znamienka
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Počítame...
\ (n> 65 333 ... \)		... a ukáže sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \ (66 \). Podľa toho má posledný zápor \ (n = 65 \). Pre každý prípad to skontrolujeme.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Preto musíme pridať prvých \ (65 \) prvkov.
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Odpoveď je pripravená.

odpoveď: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Príklad (OGE). Aritmetický postup je určený podmienkami: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Nájdite súčet od \ (26 \) do \ (42 \) prvku vrátane.
Riešenie:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \ (26 \) - th. Pre takýto prípad nemáme žiadny vzorec. ako sa rozhodnúť? Jednoduché - ak chcete získať súčet od \ (26 \) - th do \ (42 \) - och, musíte najprv nájsť súčet od \ (1 \) - th do \ (42 \) - och, a potom odpočítať hodnotu súčet z neho prvý na \ (25 \) - th (pozri obrázok).
	Pre náš postup \ (a_1 = -33 \) a rozdiel \ (d = 4 \) (napokon k predchádzajúcemu prvku pridáme štyri, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, nájdeme súčet prvých \ (42 \) - yh prvkov.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Teraz súčet prvých \ (25 \) - ty prvkov.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	Nakoniec vypočítame odpoveď.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

odpoveď: \ (S = 1683 \).

Existuje niekoľko ďalších vzorcov pre aritmetickú progresiu, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.

Prvá úroveň

Aritmetický postup. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Poradie čísel

Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, ​​čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:

Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:

Pridelené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy jedna.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejaké písmeno (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena:.

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečný číselný rad. Názov „aritmetika“ bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorou sa zaoberali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu, pripočítaný k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickou progresiou a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

pochopené? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
Nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého člena. existuje dva spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

K predchádzajúcej hodnote čísla progresie môžeme pripočítať, až kým sa nedostaneme k tému členu progresie. Je dobré, že nám nezostáva veľa na zhrnutie – iba tri hodnoty:

Takže, tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítavaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať rozdiel aritmetickej progresie k predchádzajúcej hodnote. Pozrite sa pozorne na kresbu, ktorú ste nakreslili ... Určite ste si už všimli určitý vzor, ​​a to:

Pozrime sa napríklad, ako sa pripočítava hodnota tého člena tejto aritmetickej progresie:


Inými slovami:

Pokúste sa týmto spôsobom nezávisle nájsť hodnotu člena danej aritmetickej progresie.

Vypočítané? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:

Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne pripočítali členy aritmetickej progresie k predchádzajúcej hodnote.
Skúsme si tento vzorec „odosobniť“ – vnesieme ho do všeobecná forma a získaj:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie stúpajú a niekedy klesajú.

Vzostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Klesajúci- progresie, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom členení aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké číslo tejto aritmetickej postupnosti vyjde, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Zabezpečili sme teda, že vzorec funguje pri klesajúcej aj rastúcej aritmetickej progresii.
Pokúste sa sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.

Porovnajme získané výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Skomplikujme si úlohu – odvodíme vlastnosť aritmetickej postupnosti.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Dovoľte, a, potom:

Úplnú pravdu. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale ak máme v podmienke čísla? Priznajte sa, že existuje šanca, že sa vo výpočtoch pomýlite.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné tento problém vyriešiť jednou akciou pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno a práve ju sa teraz pokúsime stiahnuť.

Označme požadovaný člen aritmetickej postupnosti, pretože poznáme vzorec na jeho nájdenie - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, potom:

• predchádzajúci člen postupu je:
• ďalší člen postupu je:

Zhrňme si predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je zdvojnásobená hodnota člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, aby sme našli hodnotu člena progresie so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, je potrebné ich sčítať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Opravíme materiál. Hodnotu progresie si vypočítajte sami, pretože to nie je vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva už len jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ – Karl Gauss ...

Keď mal Karl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce žiakov v iných ročníkoch, zadal na hodine túto úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od až (podľa iných zdrojov až po) vrátane. " Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (bol to Karl Gauss) dal za minútu správnu odpoveď na problém, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok ...

Mladý Karl Gauss si všimol istý vzor, ​​ktorý si môžete ľahko všimnúť.
Povedzme, že máme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet daných členov aritmetickej postupnosti. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať ručne, ale čo ak je v úlohe potrebné nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Nakreslíme daný postup. Pozorne si prezrite zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.


Skúšali ste to? čo si si všimol? Správny! Ich sumy sú rovnaké

Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je v danom postupe? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej postupnosti je rovnaký a podobných rovnakých párov, dostaneme, že celkový súčet je:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude teda takýto:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Skúste dosadiť do vzorca pre súčet, vzorec pre tý člen.
Čo si robil?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý dostal Karl Gauss: vypočítajte si, aký je súčet čísel začínajúcich od -tého a súčet čísel začínajúcich od -tého.

Koľko ste to dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Takto ste sa rozhodli?

V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už staroveký grécky vedec Diophantus v 3. storočí a počas tejto doby vtipní ľudia maximálne využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčšie stavenisko tej doby – stavbu pyramídy... Obrázok ukazuje jej jednu stranu.

Kde je tu progres, hovoríš? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.


Nie je to aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené v základni. Dúfam, že nebudete počítať prejdením prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V v tomto prípade postup vyzera takto:.
Rozdiel v aritmetickej progresii.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov budeme počítať 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. Dalo sa to dokopy? Výborne, zvládli ste súčet pojmov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z kociek na základni, ale z? Skúste si spočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Posilovať

Úlohy:

1. Máša sa do leta dostáva do formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát bude Masha drepovať za týždne, ak pri prvom tréningu urobila drepy.
2. Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
3. Drevorubci ich pri ukladaní guľatiny naskladajú tak, že každá vrchná vrstva obsahuje o jeden denník menej ako predchádzajúci. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak guľatina slúži ako základ muriva.

odpovede:

1. Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
   (týždne = dni).

   odpoveď: Po dvoch týždňoch by mala Masha raz denne drepovať.

2. Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
   Rozdiel v aritmetickej progresii.
   Počet nepárnych čísel v je polovičný, túto skutočnosť však overíme pomocou vzorca na nájdenie -tého člena aritmetickej postupnosti:

   Čísla obsahujú nepárne čísla.
   Nahraďte dostupné údaje do vzorca:

   odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v sa rovná.

3. Spomeňme si na problém pyramídy. Pre náš prípad a, keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden polienko, tak len v zhluku vrstiev, tzn.
   Dosadíme údaje do vzorca:

   odpoveď: V murive sú guľatiny.

Poďme si to zhrnúť

1. - číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať a znižovať.
2. Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom -, kde je počet čísel v postupnosti.
3. Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
4. Súčet členov aritmetickej postupnosti možno nájsť dvoma spôsobmi:
   
   , kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Poradie čísel

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy sa dá povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich môžeme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jediným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejaké písmeno (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena:.

Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti daný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

určuje postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel). Alebo (, rozdiel).

N-tý člen vzorec

Rekurentný nazývame vzorec, v ktorom na zistenie člena potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou takéhoto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad nech. potom:

No, aký je teraz vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Prečo? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickom postupe nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

Riešenie:

Prvý termín je rovnaký. V čom je rozdiel? A tu je čo:

(je to preto, že sa to nazýva rozdiel, ktorý sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec je:

Potom stý termín je:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy, veľký matematik Karl Gauss ako 9-ročný chlapec túto sumu vypočítal za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a tretieho od konca je rovnaký atď. Koľko takýchto párov bude? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takze

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie by bol:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferných násobkov.

Riešenie:

Prvé takéto číslo je. Každé ďalšie sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetický postup s prvým členom a rozdielom.

Termínový vzorec pre túto postupnosť je:

Koľko členov je v postupe, ak musia byť všetci dvojciferní?

Veľmi ľahké: .

Posledný termín v postupe bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

1. Každý deň športovec zabehne viac m ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov zabehne za týždne, ak prvý deň zabehol km m?
2. Cyklista najazdí denne viac kilometrov ako ten predchádzajúci. Prvý deň najazdil km. Koľko dní potrebuje cestovať, aby prešiel km? Koľko kilometrov prejde za posledný deň cesty?
3. Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble, o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

odpovede:

1. Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých členov tohto postupu:
   .
   odpoveď:
2. Je tu uvedené:, treba nájsť.
   Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
   .
   Nahraďte hodnoty:

   Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
   Vypočítajme vzdialenosť prejdenú za posledný deň pomocou vzorca:
   (km).
   odpoveď:

3. Vzhľadom na:. Nájsť: .
   Jednoduchšie to už nemôže byť:
   (drhnúť).
   odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNOM

Toto je číselná postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup môže byť vzostupný () a klesajúci ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

zapísané vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Umožňuje vám ľahko nájsť člena progresie, ak sú známi jeho susední členovia - kde je počet čísel v progresii.

Súčet členov aritmetickej postupnosti

Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

Kde je počet hodnôt.

Mottom našej hodiny budú slová ruského matematika V.P. Ermakova: "V matematike by sme si nemali pamätať vzorce, ale procesy myslenia."

Počas vyučovania

Formulácia problému

Na tabuli je Gaussov portrét. Učiteľ alebo študent, ktorý predtým dostal za úlohu pripraviť správu, hovorí, že keď bol Gauss v škole, učiteľ požiadal študentov, aby všetko pridali celé čísla od 1 do 100. Malý Gauss vyriešil tento problém za minútu.

Otázka ... Ako Gauss dostal odpoveď?

Hľadanie riešení

Študenti uvedú svoje predpoklady, potom sa spočíta súčet: uvedomia si, že súčty sú 1 + 100, 2 + 99 atď. sú rovnaké, Gauss vynásobený 101 číslom 50, teda počtom takýchto súčtov. Inými slovami, všimol si vzorec, ktorý je vlastný aritmetickej progresii.

Odvodenie súčtového vzorca n prví členovia aritmetického postupu

Napíšte tému hodiny na tabuľu a do zošitov. Žiaci spolu s učiteľom zapíšu odvodenie vzorca:

Nechať byť a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a n – 2 ; a n – 1 ; a n- aritmetický postup.

Primárne kotvenie

1. Vyriešme pomocou vzorca (1) Gaussovu úlohu:

2. Pomocou vzorca (1) ústne riešte úlohy (ich podmienky sú napísané na tabuli alebo kladný kód), ( a n) - aritmetický postup:

a) a 1 = 2, a 10 = 20. S 10 - ?

b) a 1 = –5, a 7 = 1. S 7 - ? [–14]

v) a 1 = –2, a 6 = –17. S 6 - ? [–57]

G) a 1 = –5, a 11 = 5. S 11 - ?

3. Dokončite úlohu.

Vzhľadom na: ( a n) - aritmetický postup;

a 1 = 3, a 60 = 57.

Nájsť: S 60 .

Riešenie... Používame súčtový vzorec n prví členovia aritmetického postupu

Odpoveď: 1800.

Doplňujúca otázka. Koľko rôznych typov problémov dokáže tento vzorec vyriešiť?

Odpoveď... Štyri typy úloh:

Nájdite množstvo S n;

Nájdite prvý člen aritmetického postupu a 1 ;

Nájsť nčlen aritmetického postupu a n;

Nájdite počet členov aritmetického postupu.

4. Dokončite úlohu: № 369 (b).

Nájdite súčet prvých šesťdesiatich členov aritmetickej progresie ( a n), ak a 1 = –10,5, a 60 = 51,5.

Riešenie.

Odpoveď: 1230.

Doplňujúca otázka... Zapíšte vzorec nčlen aritmetického postupu.

Odpoveď: a n = a 1 + d(n – 1).

5. Vypočítajte vzorec pre prvých deväť členov aritmetickej postupnosti ( b n),
ak b 1 = –17, d = 6.

Je možné okamžite vypočítať pomocou vzorca?

Nie, keďže deviaty termín nie je známy.

Ako to nájdem?

Podľa vzorca nčlen aritmetického postupu.

Riešenie. b 9 = b 1 + 8d = –17 + 8∙6 = 31;

Odpoveď: 63.

Otázka. Je možné nájsť súčet bez výpočtu deviateho termínu postupu?

Formulácia problému

Problém: získajte vzorec súčtu n prví členovia aritmetickej postupnosti, poznajúc jej prvý člen a rozdiel d.

(Vyvodenie vzorca na tabuli žiakom.)

Riešime č. 371 (a) podľa nového vzorca (2):

Budeme ústne konsolidovať vzorce (2) ( podmienky problémov sú napísané na tabuli).

(a n

1. a 1 = 3, d = 4. S 4 - ?

2. a 1 = 2, d = –5. S 3 - ? [–9]

Opýtajte sa študentov, ktoré otázky nie sú jasné.

Samostatná práca

možnosť 1

Dané: (a n) je aritmetický postup.

1... a 1 = –3, a 6 = 21. S 6 - ?

2... a 1 = 6, d = –3. S 4 - ?

Možnosť 2

Dané: (a n) je aritmetický postup.

1.a 1 = 2, a 8 = –23. S 8 - ? [–84]

2.a 1 = –7, d = 4. S 5 - ?

Žiaci si vymieňajú zošity a navzájom si kontrolujú riešenia.

Zhrňte asimiláciu materiálu na základe výsledkov samostatnej práce.