În cursul geometriei, vom studia proprietățile figurilor geometrice și am luat deja în considerare cele mai simple dintre ele: triunghiuri-ni-ki și împrejurimile. În același timp, am discutat cazuri specifice ale acestor figuri, cum ar fi dreptunghiular, egal tre-coal-ni-ki. Acum a sosit momentul să vorbim despre smochine mai generale și mai complexe - mult cărbune-no-kah.
Într-un caz anume multe-cărbune-nikovștim deja că suntem un triunghi (vezi Fig. 1).
Orez. 1. Tre-cărbune-nick
În numele în sine, este deja sub-cher-ki-va-et-sya, că acesta este fi-gu-ra, care are trei colțuri. Stânga-la-wa-tel-dar, în mult cărbune-no-ke pot fi multe dintre ele, i.e. mai mult de trei. De exemplu, imaginea unei poreclă de cinci cărbuni (vezi Fig. 2), adică fi-gu-ru cu cinci colturi-la-mi.
Orez. 2. Porecla pe cinci fețe. Tu-buchete-un-yogo-cărbune-nick
Definiție.Poligon- fi-gu-ra, format din mai multe puncte (mai mult de două) și co-cu-veterinarul-u-u-u-l-a-th-a-th kov, unele dintre ele după-va-tel-dar co-ună. Aceste puncte sunt na-zy-va-ut-Xia ver-shi-na-mi mult cărbune-nu, dar din tăiat- sto-ro-na-mi... În același timp, două laturi adiacente nu se află pe aceeași linie dreaptă și nici două laturi neadiacente nu se încrucișează ...
Definiție.Corectează multi-cărbune-nital- acesta este tu-buch-a-mult-coal-nick, la care-ro-go toate laturile și unghiurile sunt egale.
Orice poligon div-de-la-et osul-plan în două regiuni: interior-ren-nu și exterior-nu. Zona interioară-ren-nyu este, de asemenea, legată de mult cărbune-no-ku.
Cu alte cuvinte, de exemplu, când vorbesc despre cinci cărbuni-no-ke, se referă la întreaga sa regiune interioară-nyu și tsu. Și toate punctele care se află în interiorul multor cărbune, adică. punctul se referă și la cinci-coal-ni-ku (vezi Fig. 2).
O mulțime de cărbune-ni-ki încă uneori na-zy-wa-yut n-coal-ni-ka-mi, pentru a sublinia că ras-smat-ri-va-is-Xia obișnuit cazul unui număr necunoscut de colțuri (n bucăți).
Definiție. Per-ri-metru mulți-cărbune-no-ka- suma lungimilor laturilor unui lot de cărbune.
Acum este necesar să știi să știi să mergi cu noi-da-mulți-cărbuni-nikov. Sunt porniți tu-fart-lyși nu-fart-ly... De exemplu, porecla poligonală descrisă în Fig. 2 este bombat, iar în fig. 3 negrupate.
Orez. 3. Neva-buch-ly-go-coal-nick
2. Poligoane convexe și neconvexe
Definition-de-le-tion 1. Poligon na-zy-wa-et-Xia tu-buchet-lym dacă, când pro-ve-de-ny, direct prin oricare dintre laturile sale toate poligon se află doar pe o parte a acestei linii drepte. Neva-bunch-ly-mi toate celelalte mogo-coal-ni-ki.
Este ușor de imaginat că atunci când orice parte a celor cinci cărbuni din Fig. 2 el va fi toți sută la sută din această linie dreaptă, adică. el este o grămadă. Dar cu pro-ve-de-ny a unei linii drepte prin în four-you-rekh-coal-no-ke în Fig. 3 vedem deja că ea îl împarte în două părți, i.e. el nu-i-pe-pese.
Dar există și o altă definiție a tu-bunchet-de-mult cărbune-no-ka.
Definition-de-le-tion 2. Poligon na-zy-wa-et-Xia tu-buchet-lym dacă, atunci când selectați oricare dintre punctele sale interioare și când acestea sunt conectate, toate punctele din tăietură sunt, de asemenea, interior -n-mi-dots-mi-a-go-coal-ni-ka.
Demonstrarea utilizării acestei definiții poate fi văzută pe exemplul de construcție a punctelor de delimitare din Fig. 2 și 3.
Definiție. Dia-go-na-liu o mulțime de cărbune-no-ka-zy-va-is-Xia orice ot-zok, co-one-nya-yu-shi-două nu contiguitatea vârfurilor sale.
3. Teorema despre suma unghiurilor interioare ale unui n-gon convex
Pentru o descriere a proprietăților lui many-coal-nikov, există două teorii importante despre unghiurile lor: theo-re-ma despre suma colțurilor interioare ale vy-bunch-lo-th-many-coal-no-kași theo-re-ma despre suma unghiurilor exterioare ale ciorchinului... Examinează-le.
Teorema. Despre suma unghiurilor interioare ale mănunchiului de multe-cărbuni-no-ka (n-cărbune-no-ka).
Unde este numărul colțurilor (laturilor) acestuia.
Do-ka-tel-tstvo 1. Imagine-zim în Fig. 4 tu-buchet n-gon-nick.
Orez. 4. Tu-buchet-n-gon-nick
De la vârf-shi-we pro-we-dem toate posibile dia-go-na-li. Ei împart n-gon-nick în tri-gon-nick, deoarece fiecare dintre laturi are o mulțime de cărbune-no-ka-ra-zu-et un triunghi, cu excepția laturilor care vin în vârf. Este ușor de observat din desen că suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri va fi exact egală cu suma unghiurilor interioare ale n-cărbuni. Deoarece suma unghiurilor oricărui triunghi este, atunci suma unghiurilor interioare ale lui n-cărbune este:
Do-ka-tel-tstvo 2. Posibil, și o altă do-ka-tel-tialitate a acestui teo-re-we. Imaginea-ra-iarnă analog n-gon în Fig. 5 și co-unește oricare dintre punctele sale interne cu toate vârfurile.
Avem-chi-dacă raz-bi-e-n-cărbuni-n-cărbuni în n-cărbuni (câte laturi, atât de mulți cărbuni). Suma tuturor unghiurilor lor este egală cu suma unghiurilor interioare ale poligonului și suma unghiurilor din punctul interior, iar acesta este unghiul. Avem:
Q.E.D.
Do-ka-za-dar.
Conform teoriei ajustate, se poate observa că suma unghiurilor lui n-coal-ni-ka-stă pe numărul laturilor sale (de la n). De exemplu, într-un triunghi, și suma unghiurilor. În th-you-rekh-coal-no-ke, și suma unghiurilor - etc.
4. Teorema privind suma unghiurilor exterioare ale unui n-gon convex
Teorema. Despre suma unghiurilor exterioare ale unui buchet de cărbune-no-ka (n-cărbune-no-ka).
Unde este numărul colțurilor (laturilor) și, ..., sunt colțurile exterioare.
Dovada. Imaginea-ra-iarnă vy-bump-n-gon-nick în Fig. 6 și indică colțurile sale interioare și exterioare.
Orez. 6. You-bump-ly n-gon-nick cu colțurile exterioare desemnate
pentru că colțul exterior este conectat cu colțul interior ca adiacent, apoi 
și la fel pentru restul colțurilor exterioare. Atunci:
În cursul pre-ob-ra-zo-va-ny, am folosit-to-use-zo-va-li deja am ajuns la teorema despre suma unghiurilor interioare n-coal-nika.
Do-ka-za-dar.
Din teoria de vârf urmărim faptul interesant că suma unghiurilor exterioare ale mănunchiului de n-cărbune este egală cu 
din numărul colțurilor (laturilor) acestuia. Apropo, în contrast cu suma unghiurilor interioare.
În plus, vom lucra mai detaliat cu cazul particular al multor cărbune-nikov - che-you-rekh-coal-ni-ka-mi. În lecția următoare, vom cunoaște un astfel de roi de fi-gu ca pa-ra-le-lo-gram și vom discuta proprietățile sale.
O SURSĂ
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/mnogougolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/pryamougolnye-treugolniki
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/povtorenie/treugolniki-2
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2013/10/10/mnogougolniki-urok-v-8-klasse
https://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=daa2ea7bbc3c92be3a29b22d8106e486&n=33&h=190&w=144
Triunghi, pătrat, hexagon - aceste cifre sunt cunoscute de aproape toată lumea. Dar nu toată lumea știe ce este un poligon obișnuit. Dar acesta este același Poligon regulat se numește cel care are unghiuri și laturi egale. Există o mulțime de astfel de forme, dar toate au aceleași proprietăți și li se aplică aceleași formule.
Proprietățile poligonului regulat
Orice poligon regulat, fie el un pătrat sau un octogon, poate fi înscris într-un cerc. Această proprietate de bază este adesea folosită la construirea unei forme. În plus, un cerc poate fi înscris într-un poligon. În acest caz, numărul punctelor de contact va fi egal cu numărul laturilor sale. Este important ca un cerc înscris într-un poligon regulat să aibă un centru comun cu el. Aceste figuri geometrice sunt supuse acelorași teoreme. Orice latură a unui n-gon regulat este legată de raza cercului circumscris R. Prin urmare, poate fi calculată folosind următoarea formulă: a = 2R ∙ sin180 °. Prin intermediul puteți găsi nu numai laturile, ci și perimetrul poligonului.
Cum să găsiți numărul de laturi ale unui poligon obișnuit
Oricare constă dintr-un număr de segmente egale, care, atunci când sunt conectate, formează o linie închisă. În acest caz, toate unghiurile figurii formate au aceeași valoare. Poligoanele sunt împărțite în simple și complexe. Primul grup include un triunghi și un pătrat. Poligoane complexe au Mai mult petreceri. Acestea includ și figuri în formă de stea. Pentru poligoane regulate complexe, laturile sunt găsite prin înscrierea lor într-un cerc. Iată o dovadă. Desenați un poligon regulat cu un număr arbitrar de laturi n. Desenați un cerc în jurul lui. Dați raza R. Acum imaginați-vă că vi se oferă niște n-gon. Dacă punctele colțurilor sale se află pe un cerc și sunt egale între ele, atunci laturile pot fi găsite prin formula: a = 2R ∙ sinα: 2.
Aflarea numărului de laturi ale unui triunghi regulat înscris
Un triunghi echilateral este un poligon regulat. Formulele se aplică la fel ca și pătratului și n-gon. Un triunghi va fi considerat corect dacă are laturile de aceeași lungime. În acest caz, unghiurile sunt egale cu 60⁰. Să construim un triunghi cu o lungime dată a laturii. Cunoscând mediana și înălțimea acestuia, puteți găsi semnificația laturilor sale. Pentru a face acest lucru, vom folosi metoda de a găsi prin formula a = x: cosα, unde x este mediana sau înălțimea. Deoarece toate laturile triunghiului sunt egale, obținem a = b = c. Atunci următoarea afirmație va fi adevărată a = b = c = x: cosα. În mod similar, puteți găsi valoarea laturilor într-un triunghi isoscel, dar x va fi înălțimea dată. În acest caz, trebuie proiectat strict pe baza figurii. Deci, cunoscând înălțimea x, găsim latura a unui triunghi isoscel prin formula a = b = x: cosα. După ce ați găsit valoarea lui a, puteți calcula lungimea bazei c. Să aplicăm teorema lui Pitagora. Vom căuta valoarea jumătate a bazei c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Atunci c = 2xtgα. Într-un mod atât de simplu, puteți găsi numărul de laturi ale oricărui poligon înscris.
Calcularea laturilor unui pătrat înscris într-un cerc
Ca orice alt poligon regulat înscris, un pătrat are laturi egaleși colțuri. I se aplică aceleași formule ca și triunghiului. Puteți calcula laturile unui pătrat folosind valoarea diagonalei. Să luăm în considerare această metodă mai detaliat. Se știe că diagonala bisectează unghiul. Inițial, valoarea sa a fost de 90 de grade. Astfel, după împărțire, se formează două. Unghiurile lor la bază vor fi egale cu 45 de grade. În consecință, fiecare latură a pătratului va fi egală, adică: a = b = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, unde e este diagonala pătratului sau baza triunghiului dreptunghic format după împărțire. Acesta nu este singurul mod de a găsi laturile unui pătrat. Să înscriem această formă într-un cerc. Cunoscând raza acestui cerc R, găsim latura pătratului. O vom calcula după cum urmează a4 = R√2. Razele poligoanelor regulate se calculează prin formula R = a: 2tg (360 o: 2n), unde a este lungimea laturii.
Cum se calculează perimetrul unui n-gon
Perimetrul unui n-gon este suma tuturor laturilor sale. Nu este greu de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să cunoașteți semnificațiile tuturor părților. Există formule speciale pentru unele tipuri de poligoane. Ele vă permit să găsiți perimetrul mult mai rapid. Se știe că orice poligon regulat are laturile egale. Prin urmare, pentru a-i calcula perimetrul, este suficient să cunoști cel puțin unul dintre ele. Formula va depinde de numărul de laturi ale formei. În general, arată astfel: P = an, unde a este valoarea laturii și n este numărul de unghiuri. De exemplu, pentru a găsi perimetrul unui octogon regulat cu latura de 3 cm, este necesar să îl înmulțim cu 8, adică P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pentru un hexagon cu latura de 5 cm, avem calculați astfel: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.Și așa pentru fiecare poligon.
Aflarea perimetrului unui paralelogram, pătrat și romb
În funcție de câte laturi are un poligon obișnuit, se calculează perimetrul acestuia. Acest lucru face sarcina mult mai ușoară. Într-adevăr, spre deosebire de alte figuri, în acest caz nu trebuie să-i cauți toate laturile, una este suficientă. După același principiu, găsim perimetrul patrulagurilor, adică pătratul și rombul. În ciuda faptului că acestea sunt cifre diferite, formula pentru ele este aceeași P = 4a, unde a este o latură. Să dăm un exemplu. Dacă latura unui romb sau pătrat este de 6 cm, atunci găsim perimetrul astfel: P = 4 ∙ 6 = 24 cm.Numai laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale. Prin urmare, perimetrul său este găsit folosind o metodă diferită. Deci, trebuie să cunoaștem lungimea a și lățimea din figură. Apoi aplicăm formula P = (a + b) ∙ 2. Un paralelogram, în care toate laturile și unghiurile dintre ele sunt egale, se numește romb.
Aflarea perimetrului unui triunghi echilateral și dreptunghic
Perimetrul celui corect poate fi găsit prin formula P = 3a, unde a este lungimea laturii. Dacă este necunoscut, poate fi găsit prin mediană. Într-un triunghi dreptunghic, doar două laturi sunt de importanță egală. Fundamentul poate fi găsit prin teorema lui Pitagora. După ce valorile tuturor celor trei laturi devin cunoscute, calculăm perimetrul. Poate fi găsit prin aplicarea formulei P = a + b + c, unde a și b sunt laturi egale, iar c este baza. Reamintim că într-un triunghi isoscel a = b = a, deci a + b = 2a, atunci P = 2a + c. De exemplu, dacă latura unui triunghi isoscel este de 4 cm, îi vom găsi baza și perimetrul. Calculăm valoarea ipotenuzei conform teoremei lui Pitagora c = √a 2 + în 2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm.Acum calculăm perimetrul P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.
Cum să găsiți colțurile unui poligon obișnuit
Un poligon obișnuit apare în viața noastră în fiecare zi, de exemplu, un pătrat, triunghi, octogon obișnuit. S-ar părea că nu este nimic mai ușor decât să construiești singur această cifră. Dar asta este doar la prima vedere. Pentru a construi orice n-gon, trebuie să cunoașteți valoarea unghiurilor sale. Dar cum le gasesti? Chiar și oamenii de știință antici au încercat să construiască poligoane regulate. Au ghicit să le înscrie în cercuri. Și apoi au marcat punctele necesare pe el, le-au conectat cu linii drepte. Pentru forme simple, problema construcției a fost rezolvată. Au fost obținute formule și teoreme. De exemplu, Euclid în celebra sa lucrare „Inception” a fost angajat în rezolvarea problemelor pentru 3-, 4-, 5-, 6- și 15-gons. A găsit modalități de a le construi și de a găsi colțurile. Să vedem cum să facem asta pentru un 15-gon. Mai întâi, trebuie să calculați suma unghiurilor sale interioare. Trebuie să utilizați formula S = 180⁰ (n-2). Deci, ni se dă un 15-gon, deci numărul n este 15. Înlocuiți datele pe care le cunoaștem în formulă și obținem S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Am găsit suma tuturor unghiurilor interioare ale unui 15-gon. Acum trebuie să obțineți valoarea fiecăruia dintre ele. În total sunt 15 unghiuri.Facem calculul 2340⁰: 15 = 156⁰. Aceasta înseamnă că fiecare unghi intern este egal cu 156⁰, acum, folosind o riglă și busole, puteți construi un 15-gon obișnuit. Dar cum rămâne cu n-gonurile mai complexe? De multe secole, oamenii de știință s-au străduit să rezolve această problemă. A fost găsit abia în secolul al XVIII-lea de Karl Friedrich Gauss. El a reușit să construiască un 65537-gon. De atunci, problema este considerată oficial rezolvată complet.
Calcularea unghiurilor n-gonilor în radiani
Desigur, există mai multe moduri de a găsi colțurile poligoanelor. Cel mai adesea ele sunt calculate în grade. Dar le puteți exprima și în radiani. Cum să o facă? Trebuie să procedați după cum urmează. Mai întâi, aflăm numărul de laturi ale unui poligon regulat, apoi scădem 2. Deci obținem valoarea: n - 2. Înmulțim diferența găsită cu numărul n ("pi" = 3,14). Acum tot ce rămâne este să împărțim produsul rezultat la numărul de unghiuri din n-gon. Luați în considerare aceste calcule folosind exemplul aceluiași hexagon. Deci, numărul n este 15. Să aplicăm formula S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Aceasta nu este, desigur, singura modalitate de a calcula unghiul în radiani. Puteți împărți pur și simplu unghiul în grade la 57,3. La urma urmei, exact acest număr de grade este echivalent cu un radian.
Calcularea valorii unghiurilor în grade
Pe lângă grade și radiani, puteți încerca să găsiți valoarea unghiurilor unui poligon obișnuit în grade. Acest lucru se face după cum urmează. Scădeți 2 din numărul total de unghiuri, împărțiți diferența rezultată la numărul de laturi ale unui poligon regulat. Înmulțim rezultatul găsit cu 200. Apropo, o astfel de unitate de măsură a unghiurilor ca grade nu este practic utilizată.
Calculul unghiurilor externe ale n-gonilor
Pentru orice poligon obișnuit, pe lângă cel interior, puteți calcula și colțul exterior... Semnificația lui se regăsește în același mod ca și pentru restul figurilor. Deci, pentru a găsi colțul exterior al unui poligon obișnuit, trebuie să cunoașteți valoarea celui interior. Mai mult, știm că suma acestor două unghiuri este întotdeauna de 180 de grade. Prin urmare, calculele le facem astfel: 180⁰ minus valoarea unghiului intern. Găsește diferența. Acesta va fi egal cu valoarea unghiului adiacent. De exemplu, colțul interior al pătratului este de 90 de grade, deci exteriorul va fi 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. După cum vedem, nu este greu să-l găsim. Unghiul exterior poate lua o valoare de la + 180⁰ la -180⁰, respectiv.
Materia, vârsta elevului: geometrie, clasa a 9-a
Scopul lecției: studiul tipurilor de poligoane.
Sarcina de învățare: actualizarea, extinderea și generalizarea cunoștințelor elevilor despre poligoane; pentru a-și forma o idee despre „părțile constitutive” ale poligonului; efectuează cercetări asupra numărului elementele constitutive poligoane regulate (de la triunghi la n - gon);
Sarcina de dezvoltare: dezvoltarea capacității de a analiza, compara, trage concluzii, dezvolta abilități de calcul, vorbire matematică orală și scrisă, memoria, precum și independența în activități de gândire și învățare, capacitatea de a lucra în perechi și în grup; să dezvolte activități de cercetare și cognitive;
Sarcina educațională: a educa independența, activitatea, responsabilitatea pentru munca încredințată, perseverența în atingerea scopului stabilit.
În timpul orelor: există un citat pe tablă
„Natura vorbește în limbajul matematicii, literele acestei limbi... cifre matematice”. G.Galliley
La începutul lecției, clasa este împărțită în grupuri de lucru (în cazul nostru, împărțirea în grupuri de câte 4 persoane fiecare - numărul de membri ai grupului este egal cu numărul de grupuri de întrebări).
1. Etapa de apelare -
Obiective:
a) actualizarea cunoștințelor elevilor pe tema;
b) trezirea interesului pentru tema studiată, motivarea fiecărui elev pentru activități educaționale.
Tehnica: Jocul „Crezi că...”, organizarea muncii cu textul.
Forme de lucru: frontal, grup.
"Crezi asta ...."
1... cuvântul „poligon” indică faptul că toate formele din această familie au „mai multe unghiuri”?
2... un triunghi aparține unei familii mari de poligoane, care se disting între multe forme geometrice diferite pe un plan?
3.… este un pătrat un octogon regulat (patru laturi + patru colțuri)?
Lecția de astăzi se va concentra pe poligoane. Învățăm că această figură este delimitată de o polilinie închisă, care la rândul ei este simplă, închisă. Să vorbim despre faptul că poligoanele sunt plate, regulate, convexe. Unul dintre poligoane plate este un triunghi, cu care sunteți familiarizat de mult timp (puteți demonstra elevilor afișe cu imaginea poligoanelor, o linie întreruptă, arătați-le). tipuri diferite, puteți utiliza și TCO).
2. Stadiul de înțelegere
Scop: obținerea de informații noi, înțelegerea acesteia, selecția.
Recepție: zig-zag.
Forme de lucru: individual-> pereche-> grup.
Fiecărui grup i se oferă un text pe tema lecției, iar textul este compus în așa fel încât să includă atât informații deja cunoscute elevilor, cât și informații complet noi. Odată cu textul, elevii primesc întrebări, ale căror răspunsuri trebuie găsite în acest text.
Poligoane. Tipuri de poligoane.
Cine nu a auzit de misteriosul Triunghi al Bermudelor, în care navele și avioanele dispar fără urmă? Dar triunghiul, familiar pentru noi din copilărie, este plin de multe lucruri interesante și misterioase.
Pe lângă tipurile de triunghiuri deja cunoscute nouă, împărțite pe laturi (versatile, isoscel, echilateral) și colțuri (unghiular acut, obtuz, dreptunghic), un triunghi aparține unei mari familii de poligoane, care se disting între multe diferite. forme geometrice pe plan.
Cuvântul „poligon” indică faptul că toate formele din această familie au „mai multe unghiuri”. Dar acest lucru nu este suficient pentru a caracteriza figura.
O linie întreruptă А 1 А 2 ... А n este o figură care constă din punctele А 1, А 2, ... А n și segmentele А 1 А 2, А 2 А 3, ... care le unesc. Punctele sunt numite vârfuri ale poliliniei, iar segmentele sunt numite legături ale poliliniei. (fig. 1)
O linie întreruptă se numește simplă dacă nu are auto-intersecții (Fig. 2, 3).
O linie întreruptă se numește închisă dacă capetele ei coincid. Lungimea unei linii întrerupte este suma lungimilor legăturilor sale (Fig. 4).
O linie întreruptă închisă simplă se numește poligon dacă legăturile sale adiacente nu se află pe o singură linie dreaptă (Fig. 5).
Înlocuiți un anumit număr în cuvântul „poligon” în loc de partea „multe”, de exemplu 3. Veți obține un triunghi. Sau 5. Apoi - un pentagon. Rețineți că există atâtea laturi câte unghiuri, așa că aceste cifre ar putea fi numite multilaterale.
Vârfurile poliliniei se numesc vârfuri ale poligonului, iar legăturile poliliniei se numesc laturile poligonului.
Poligonul împarte planul în două zone: internă și externă (Fig. 6).
Un poligon plat sau o regiune poligonală este porțiunea de capăt a unui plan delimitată de un poligon.
Două vârfuri ale unui poligon care sunt capetele unei laturi sunt numite adiacente. Vârfurile care nu sunt capetele unei laturi nu sunt adiacente.
Un poligon cu n vârfuri și, prin urmare, cu n laturi, se numește n-gon.
Deşi cel mai mic număr laturile poligonului - 3. Dar triunghiurile, care se leagă între ele, pot forma alte forme, care la rândul lor sunt și poligoane.
Segmentele de linie care leagă vârfuri neadiacente ale unui poligon se numesc diagonale.
Un poligon se numește convex dacă se află într-un semiplan în raport cu orice dreaptă care conține latura sa. În acest caz, linia în sine este considerată a aparține semiplanului.
Unghiul unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf.
Să demonstrăm teorema (pe suma unghiurilor unui convex n - gon): Suma unghiurilor unui convex n - gon este 180 0 * (n - 2).
Dovada. În cazul n = 3, teorema este valabilă. Fie А 1 А 2 ... А n un poligon convex dat și n> 3. Desenați diagonale în el (de la un vârf). Deoarece poligonul este convex, aceste diagonale îl împart în n - 2 triunghiuri. Suma unghiurilor unui poligon este aceeași cu suma unghiurilor tuturor acestor triunghiuri. Suma unghiurilor fiecărui triunghi este 180 0, iar numărul acestor triunghiuri este n - 2. Prin urmare, suma unghiurilor unui convex n - gon А 1 А 2 ... А n este egală cu 180 0 * (n - 2). Teorema este demonstrată.
Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent colțului interior al poligonului la acest vârf.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile lui sunt egale și toate unghiurile sunt egale.
Deci pătratul poate fi numit într-un alt mod - un patrulater obișnuit. Triunghiurile echilaterale sunt de asemenea regulate. Astfel de figuri au fost mult timp de interes pentru maeștrii care decorează clădiri. Au realizat modele frumoase, de exemplu, pe parchet. Dar nu toate poligoanele obișnuite ar putea fi pliate în parchet. Parchetul nu poate fi pliat din octogoane obișnuite. Faptul este că fiecare unghi dintre ele este egal cu 135 0. Și dacă vreun punct este vârful a două astfel de octogoane, atunci ponderea lor va fi de 270 0 și nu există unde să se potrivească al treilea octogon acolo: 360 0 - 270 0 = 90 0. Dar acest lucru este suficient pentru un pătrat. Prin urmare, este posibil să pliați parchetul din octogoane și pătrate obișnuite.
Stelele sunt de asemenea corecte. Steaua noastră cu cinci colțuri este o stea pentagonală obișnuită. Și dacă rotiți pătratul în jurul centrului cu 45 0, obțineți o stea octogonală obișnuită.
grupa 1
Ce se numește linie întreruptă? Explicați care sunt vârfurile și legăturile unei polilinii.
Care polilinie se numește simplă?
Care polilinie se numește închisă?
Ce se numește poligon? Care sunt vârfurile unui poligon? Care sunt laturile unui poligon?
a 2-a grupă
Care poligon se numește plat? Dați exemple de poligoane.
Ce este n - gon?
Explicați ce vârfuri ale poligonului sunt adiacente și care nu.
Care este diagonala unui poligon?
Grupa 3
Care poligon se numește convex?
Explicați ce colțuri ale poligonului sunt externe și care sunt interne?
Care poligon se numește regulat? Dați exemple de poligoane regulate.
4 grupa
Care este suma unghiurilor unui n-gon convex? Dovedește-o.
Elevii lucrează cu textul, caută răspunsuri la întrebările puse, după care se formează grupuri de experți, lucrarea în care merge pe aceleași întrebări: elevii evidențiază principalul lucru, alcătuiesc un rezumat justificativ, prezintă informații într-unul din grafice. forme. La sfârșitul lucrării, elevii revin la grupurile lor de lucru.
3. Stadiul reflecției -
a) evaluarea cunoștințelor lor, provocare la următorul pas de cunoaștere;
b) înţelegerea şi însuşirea informaţiilor primite.
Recepție: lucrări de cercetare.
Forme de lucru: individual-> pereche-> grup.
În grupurile de lucru, există specialiști în răspunsul la fiecare dintre secțiunile întrebărilor propuse.
Revenind la grupul de lucru, expertul îi prezintă pe ceilalți membri ai grupului cu răspunsurile la întrebările sale. În grup, se face schimb de informații între toți membrii grupului de lucru. Astfel, în fiecare grup de lucru, datorită muncii experților, se formează o înțelegere generală a temei studiate.
Lucrări de cercetare ale elevilor – completarea tabelului.
| Poligoane regulate | Desen | Numărul de laturi | Numărul de vârfuri | Suma tuturor colțurilor interioare | Măsura gradului int. colţ | Măsurarea unghiului exterior | Numărul de diagonale |
| a) triunghi | |||||||
| B) patrulater | |||||||
| C) cinciwolnik | |||||||
| D) hexagon | |||||||
| E) n-gon |
Rezolvarea unor probleme interesante pe tema lecției.
- În patrulater, trageți o linie astfel încât să o împartă în trei triunghiuri.
- Câte laturi are un poligon obișnuit, fiecare dintre colțurile interioare ale cărora este 135 0?
- Într-un poligon, toate unghiurile interioare sunt egale între ele. Suma unghiurilor interioare ale acestui poligon poate fi egală cu: 360 0, 380 0?
Rezumând lecția. Înregistrare teme.
Proprietățile poligonului
Poligonul este figură geometrică, este de obicei definit ca o polilinie închisă fără auto-intersecții (poligon simplu (Fig. 1a)), dar uneori sunt permise auto-intersecții (atunci poligonul nu este simplu).
Vârfurile poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele de linie sunt numite laturile poligonului. Vârfurile unui poligon sunt numite adiacente dacă sunt capetele uneia dintre laturile sale. Segmentele de linie care leagă vârfurile neadiacente ale unui poligon se numesc diagonale.
Unghi (sau colțul interior) al unui poligon convex la un vârf dat se numește unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf, în timp ce unghiul este considerat din latura poligonului. În special, unghiul poate depăși 180 ° dacă poligonul este neconvex.
Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent colțului interior al poligonului la acest vârf. În general, unghiul exterior este diferența dintre 180 ° și unghiul interior. Din fiecare vârf al -gonului pentru> 3 - 3 diagonale ies, deci numărul total de diagonale ale -gonului este egal cu.
Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru un patrulater, cu cinci un pentagon etc.
Poligon cu n se numesc vârfuri n- pătrat.
Un poligon plat este o formă care constă dintr-un poligon și o parte finită a zonei delimitate de acesta.
Un poligon se numește convex dacă una dintre următoarele condiții (echivalente) este îndeplinită:
- 1. se află pe o parte a oricărei drepte care leagă vârfurile ei adiacente. (adică prelungirile laturilor poligonului nu se intersectează cu celelalte laturi ale acestuia);
- 2. este intersecția (adică partea comună) a mai multor semiplane;
- 3. orice segment cu capete în puncte aparținând poligonului îi aparține în întregime.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile lui sunt egale și toate unghiurile sunt egale, de exemplu triunghi echilateral, pătrat și pentagon.
Un poligon convex se numește circumscris unui cerc dacă toate laturile lui ating un cerc
Un poligon obișnuit este un poligon în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale.
Proprietățile poligonului:
1 Fiecare diagonală a unui -gon convex, unde> 3, o descompune în două poligoane convexe.
2 Suma tuturor unghiurilor unui -gon convex este.
D.S .: Demonstrăm teorema prin metoda inducției matematice. Pentru = 3, este evident. Să presupunem că teorema este adevărată pentru -gon, unde <, și dovediți-o pentru -gon.
Fie un poligon dat. Să desenăm diagonala acestui poligon. Prin teorema 3, poligonul este descompus într-un triunghi și un -gon convex (Fig. 5). Prin ipoteza inducţiei. Pe de altă parte, . Adăugând aceste egalități și ținând cont de faptul că (- unghiul fasciculului interior ) și (- unghiul fasciculului interior ), primim.Când primim:.
3 În jurul oricărui poligon obișnuit, puteți descrie un cerc și, în plus, doar unul.
D-in: Fie un poligon regulat, și și - bisectoare ale unghiurilor, și (fig. 150). Din moment ce, atunci, prin urmare, * 180 °< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Să demonstrăm asta O = OA 2 = O =… = OA NS . Triunghi O isoscel, deci O= O... Conform celui de-al doilea criteriu de egalitate a triunghiurilor, prin urmare, O = O... Se poate dovedi în mod similar că O = O etc. Deci ideea O echidistant de toate vârfurile poligonului, deci cercul cu centrul O rază O este circumscrisă unui poligon.
Să demonstrăm acum că există doar un singur cerc. Luați în considerare oricare trei vârfuri ale unui poligon, de exemplu, A 2 , ... Deoarece doar un cerc trece prin aceste puncte, în jurul poligonului … nu pot fi descrise mai mult de un cerc.
- 4 În orice poligon obișnuit, puteți înscrie un cerc și, în plus, doar unul.
- 5 Un cerc înscris într-un poligon obișnuit atinge laturile poligonului la mijlocul acestora.
- 6 Centrul unui cerc circumscris unui poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.
- 7 Simetrie:
Ei spun că o figură are simetrie (simetrică) dacă există o astfel de mișcare (nu identică) care transferă această figură în sine.
- 7.1. Un triunghi general nu are axe sau centre de simetrie; este asimetric. Un triunghi isoscel (dar nu echilateral) are o axă de simetrie: mediana perpendiculară pe bază.
- 7.2. Un triunghi echilateral are trei axe de simetrie (perpendiculare la mijloc pe laturi) și simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație de 120 °.
7.3 Orice n-gon regulat are n axe de simetrie, toate trec prin centrul său. De asemenea, are simetrie de pivot în jurul centrului unghiului de pivotare.
Cu chiar n unele axe de simetrie trec prin vârfuri opuse, altele prin punctele medii ale laturilor opuse.
Ciudat n fiecare axă trece prin vârful și mijlocul părții opuse.
Centrul unui poligon regulat cu un număr par de laturi este centrul său de simetrie. Un poligon regulat cu un număr impar de laturi nu are centru de simetrie.
8 Similaritate:
Dacă u este similar, -gonul merge în -gon, semiplanul - în semiplan, deci convexul n-gon intră în convex n-gon.
Teorema: Dacă laturile și unghiurile poligoanelor convexe și satisfac egalitățile:
unde este coeficientul pod
atunci aceste poligoane sunt asemănătoare.
- 8.1 Raportul dintre perimetrele a două poligoane similare este egal cu coeficientul de similitudine.
- 8.2. Raportul ariilor a două poligoane similare convexe este egal cu pătratul coeficientului de asemănare.
teorema perimetrului triunghiului poligonului
