Un pentagon este o figură geometrică cu cinci colțuri. Mai mult, din punct de vedere al geometriei, categoria pentagoanelor include orice poligoane cu această caracteristică, indiferent de amplasarea laturilor sale.
Suma unghiurilor unui pentagon
Un pentagon este de fapt un poligon, prin urmare, pentru a calcula suma unghiurilor sale, puteți folosi formula adoptată pentru a calcula suma specificată în raport cu un poligon cu orice număr de unghiuri. Cel specificat consideră suma unghiurilor poligonului drept următoarea egalitate: suma unghiurilor = (n - 2) * 180 °, unde n este numărul de unghiuri din poligonul dorit.Astfel, în cazul în care este vorbași anume, valoarea lui n în această formulă va fi 5. Astfel, înlocuind valoarea dată a lui n în formulă, rezultă că suma unghiurilor pentagonului va fi 540 °. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere faptul că aplicarea acestei formule în raport cu un anumit pentagon este asociată cu o serie de restricții.
Tipuri de pentagoane
Cert este că formula indicată, care, ca și pentru alte tipuri de aceste figuri geometrice, poate fi aplicată numai dacă vorbim despre așa-numitul poligon convex. El, la rândul său, este o figură geometrică care satisface următoarea condiție: toate punctele sale sunt de aceeași parte a unei drepte care trece între două vârfuri adiacente.Astfel, există o întreagă categorie de pentagoane, suma unghiurilor în care va diferi de valoarea indicată. Deci, de exemplu, una dintre opțiunile pentru un pentagon neconvex este figură geometrică in forma de stea. Un pentagon în formă de stea poate fi obținut și folosind întregul set de diagonale ale unui pentagon obișnuit, adică un pentagon: în acest caz, figura geometrică rezultată va fi numită pentagramă, care are unghiuri egale... În acest caz, suma unghiurilor indicate va fi de 180 °.
Prima cale- pe această parte S folosind un raportor.
Desenați o linie dreaptă și puneți AB = S pe ea; luăm această linie ca o rază și cu această rază descriem arce din punctele A și B: apoi, folosind un raportor, construim unghiuri de 108 ° în aceste puncte, ale căror laturi se vor intersecta cu arcele din punctele C și D; din aceste puncte cu raza AB = 5 descriem arce care se intersectează în E, iar cu drepte conectăm punctele L, C, E, D, B.
Pentagonul rezultat- cel dorit.
A doua cale. Să desenăm un cerc cu raza r. Din punctul A cu o busolă, trageți un arc de rază AM până la intersecția din punctele B și C cu un cerc. Conectați B și C cu o linie care traversează axa orizontală în punctul E.
Apoi din punctul E trasăm un arc care va intersecta linia orizontală în punctul O. În final, din punctul F, descriem un arc care va intersecta cercul în punctele H și K. Punând distanța FO = FH = FK în jurul cercului de cinci ori și conectând punctele de despărțire cu linii, obținem un pentagon obișnuit.
A treia cale.Înscrieți un pentagon regulat în acest cerc. Desenăm două diametre reciproc perpendiculare AB și MC. Împărțiți raza lui AO la punctul E la jumătate. Din punctul E, ca de la centru, desenați un arc de cerc cu raza EM și marcați-l cu diametrul AB în punctul F. Segmentul MF este egal cu latura pentagonului regulat necesar. Cu o soluție de busolă egală cu MF, facem serife N 1, P 1, Q 1, K 1 și le unim cu linii drepte.
Figura prezintă un hexagon pe această parte.
Dreaptă AB = 5, ca rază, din punctele A și B descriem arce care se intersectează în C; din acest punct, cu aceeași rază, descriem un cerc pe care latura A B se va depune de 6 ori.
Hexagon ADEFGB- cel dorit.
„Decorarea camerelor în timpul renovării”,
N.P. Krasnov
Baza picturii este vopsirea complet finisată a suprafeței pereților, tavanelor și a altor structuri; vopsirea se face cu lipici de calitate superioara si vopsele de ulei, realizat pentru tuns sau fluturi. Când începe să dezvolte o schiță pentru finisare, maestrul trebuie să-și imagineze în mod clar întreaga compoziție într-un cadru domestic și să înțeleagă clar intenția creativă. Numai dacă această condiție de bază este îndeplinită este posibilă corect...
Măsurarea lucrărilor efectuate, cu excepția cazurilor special prevăzute, se efectuează în funcție de suprafața suprafeței efectiv prelucrate, ținând cont de relieful acesteia și minus locurile netratate. Pentru a determina suprafețele efectiv finisate când lucrări de pictură ar trebui să utilizați factorii de conversie indicați în tabele. A. Dispozitive de fereastră din lemn (măsurarea se face în funcție de zona deschiderilor de-a lungul conturului exterior al cutiilor) Denumirea dispozitivelor Coeficient la ...
Am spus deja că, pentru a efectua unele tipuri de lucrări de pictură, trebuie să fii capabil să desenezi. Iar capacitatea de a desena, la rândul său, presupune cunoașterea regulilor de construire a formelor geometrice. Se desenează schițe pe hârtie folosind triunghiuri, șine, transportoare și busole, iar pe planul pereților și tavanelor se realizează construcții folosind o greutate, o riglă, o busolă din lemn și un șnur. În acest caz, este necesar...
Dicționarul explicativ al lui Ozhegov spune că un pentagon este delimitat de cinci linii drepte care se intersectează formând cinci colțurile interioare, precum și orice obiect de formă similară. Dacă un poligon dat are toate laturile și unghiurile la fel, atunci se numește regulat (pentagon).
Ce este interesant la pentagonul obișnuit?
În această formă a fost construită binecunoscuta clădire a Departamentului de Apărare al Statelor Unite. Dintre poliedrele regulate volumetrice, doar dodecaedrul are fețe în formă de pentagon. Și în natură, cristalele sunt complet absente, ale căror fețe ar semăna cu un pentagon obișnuit. În plus, această formă este un poligon cu un număr minim de colțuri care nu pot fi pavate cu o zonă. Doar un pentagon are același număr de diagonale ca și numărul laturilor sale. De acord, este interesant!
Proprietăți și formule de bază
Folosind formulele pentru un poligon regulat arbitrar, le puteți determina pe toate parametrii necesari pe care le are pentagonul.
- Unghiul central α = 360 / n = 360/5 = 72 °.
- Unghiul intern β = 180 ° * (n-2) / n = 180 ° * 3/5 = 108 °. În consecință, suma unghiurilor interioare este de 540 °.
- Raportul dintre diagonală și latură este (1 + √5) / 2, care este (aproximativ 1,618).
- Lungimea laturii pe care o are un pentagon obișnuit poate fi calculată folosind una dintre cele trei formule, în funcție de parametrul care este deja cunoscut:
- dacă în jurul lui este descris un cerc și se cunoaște raza lui R, atunci a = 2 * R * sin (α / 2) = 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈ 1,1756 * R;
- în cazul în care un cerc cu raza r este înscris într-un pentagon regulat, a = 2 * r * tan (α / 2) = 2 * r * tan (α / 2) ≈ 1,453 * r;
- se întâmplă ca în locul razelor să se cunoască valoarea diagonalei D, atunci latura se determină astfel: a ≈ D / 1,618.
- Aria unui pentagon obișnuit este determinată, din nou, în funcție de parametrul pe care îl cunoaștem:
- dacă există un cerc înscris sau circumscris, atunci se utilizează una dintre cele două formule:
S = (n * a * r) / 2 = 2,5 * a * r sau S = (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;
- aria poate fi determinată și prin cunoașterea numai a lungimii laturii laterale a:
S = (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.
Pentagon obișnuit: construi
Această formă geometrică poate fi construită în diferite moduri. De exemplu, înscrieți-l într-un cerc cu o rază dată sau construiți-l pe baza unei laturi laterale date. Secvența acțiunilor a fost descrisă încă din „Începuturile” lui Euclid, în jurul anului 300 î.Hr. În orice caz, avem nevoie de o busolă și o riglă. Luați în considerare o metodă de construcție folosind un cerc dat.
1. Selectați o rază arbitrară și desenați un cerc, marcând centrul acestuia cu punctul O.
2. Pe linia cercului, selectați un punct care va servi drept unul dintre vârfurile pentagonului nostru. Fie punctul A. Conectați punctele O și A cu o dreaptă.
3. Desenați o dreaptă prin punctul O perpendicular pe dreapta OA. Intersecția acestei drepte cu linia cercului este desemnată ca punct B.
4. La mijlocul distanței dintre punctele O și B, trageți punctul C.
5. Desenați acum un cerc, al cărui centru va fi în punctul C și care va trece prin punctul A. Locul intersecției sale cu dreapta OB (va fi chiar în interiorul primului cerc) va fi punctul D.
6. Construiți un cerc care trece prin D, al cărui centru va fi în A. Locurile sale de intersecție cu cercul inițial trebuie desemnate prin punctele E și F.
7. Acum desenați un cerc, al cărui centru va fi în E. Acest lucru trebuie făcut astfel încât să treacă prin A. Celălalt loc de intersecție al cercului inițial trebuie desemnat
8. În cele din urmă, desenați un cerc prin A centrat pe F. Marcați cealaltă intersecție a cercului original cu H.
9. Acum rămâne doar să conectăm vârfurile A, E, G, H, F. Pentagonul nostru obișnuit va fi gata!
Am scris deja că pitagoreicii considerau lumea ca fiind aranjată după legile armoniei numerice. Ei au descoperit că percepția armoniei în muzică este asociată cu o anumită relație între numere (vezi Armonia lui Pitagora); dar armonia vizuală, se dovedește, este, de asemenea, asociată cu anumite rapoarte ale diferitelor segmente. În acest sens, cel mai faimos este raportul de aur - această metodă de împărțire a unui segment în două părți inegale, în care întregul segment se referă la partea mai mare, la fel de mare la cea mai mică:
Sculptorul Polycletus a dezvoltat ideea unui canon (regulă) pentru înfățișarea unui corp uman proporțional și și-a întruchipat vizual canonul în statuia „Dorifor” („Purtărul de suliță”), altfel numită pur și simplu „Canon”. Raportul de aur este abundent în proporțiile statuii. De exemplu, raportul dintre înălțimile părților inferioare și superioare, în care buricul împarte statuia, este egal cu raportul de aur; la rândul său, baza gâtului împarte partea superioară și în raportul de aur; genunchii împart fundul în raportul de aur etc.
În timpul Renașterii, savanții și artiștii au dezvoltat un interes reînnoit pentru raportul de aur. Matematicianul italian Luca Pacioli i-a dedicat cartea Divine Proportion. Iar prietenul său – marele Leonardo da Vinci – deține termenul „raport de aur” (anticii îl numeau de obicei „împărțirea unui segment în raportul extrem și mediu”). „Secțiunea de aur” se găsește adesea în lucrările lui Rafael, Michelangelo, Durer.
Johannes Kepler, care nu este străin de ideile lui Pitagora despre armonia numerică care stă la baza Universului, spunea că geometria posedă două comori - teorema lui Pitagora și raportul de aur; primul poate fi comparat cu o măsură de aur, al doilea cu o piatră prețioasă.
S-a dovedit experimental că, de exemplu, din dreptunghiuri cu raporturi de aspect diferite, ochiul uman le preferă pe acelea în care acest raport este egal cu raportul de aur. Foile de hârtie, batoanele de ciocolată, cărțile de credit etc. sunt foarte adesea realizate sub forma unor astfel de dreptunghiuri.
Pentru a împărți un anumit segment AB în proporția secțiunii de aur, trebuie să restaurați printr-unul dintre capete, de exemplu, prin punctul B, o perpendiculară, amânați segmentul BD = AB / 2 pe el, desenați segmentul AD, amânați segmentul DE = AB / 2 pe el și, în final, marcați pe segmentul AB un punct C astfel încât AC = AE. Punctul C și va împărți segmentul AB în raportul de aur.
Să demonstrăm. După teorema lui Pitagora (AE + ED) 2 = AB 2 + BD 2, sau
AE 2 + 2AE ∙ ED + ED 2 = AB 2 + BD 2, și deoarece BD = DE = AB / 2 și AE = AC, atunci
AC 2 + AC ∙ AB = AB 2,
de unde AC 2 = AB (AB - AC).
Deoarece AB - AC = BC, avem
AC 2 = AB ∙ BC, de unde
Construcția de mai sus vă permite să găsiți valoarea numerică a raportului de aur. Este egal cu raportul dintre întregul segment AB și segmentul
Astfel, raportul de aur este exprimat prin număr 
Acest număr este de aproximativ 1.618. Este adesea numit numărul Fidias și este notat cu litera greacă Φ:
| Φ = |
Numărul este uneori numit număr mic Phidias (și Φ atunci - un numar mare Phidias) și notăm φ. Este aproximativ egal cu 0,618. Raportul de aur este exprimat printr-un număr irațional. Acest lucru rezultă din iraționalitate (dacă raportul de aur ar fi rațional, atunci numărul = 2Φ - 1 ar fi, de asemenea, rațional), iar iraționalitatea poate fi dovedită în mod similar cu iraționalitatea. În plus, iraționalitatea lui Φ este destul de simplu de arătat folosind o ilustrație geometrică. a algoritmului lui Euclid. Să presupunem că avem un dreptunghi a 1 × a 2, ale cărui laturi sunt în raportul de aur. Punând latura mai mică pe latura mai mare, obținem un pătrat, iar dreptunghiul rămas va fi similar dreptunghiului inițial: Aplicându-i aceeași operație, obținem din nou un pătrat și un dreptunghi similar cu originalul etc. (Interesant , primul, al treilea, al cincilea și deci dreptunghiurile au o diagonală comună, la fel ca a doua, a patra, a șasea și așa mai departe; aceste două diagonale se intersectează în unghi drept într-un punct care aparține tuturor dreptunghiurilor).
Deoarece acest algoritm nu se va termina niciodată, segmentele a 1 și a 2 nu au nicio măsură comună. Kepler a spus că raportul de aur se reproduce în mod constant. Se găsește adesea în natura vie în structura unor astfel de organisme, ale căror părți sunt aproximativ similare cu întregul - de exemplu, în scoici, în aranjarea frunzelor pe lăstari etc.
 |
|
Orez. 5. Chiuveta |
În cele din urmă, raportul de aur vă permite să construiți un pentagon obișnuit. (Puteți construi triunghiuri și patrulaturi regulate fără un indiciu, nu? Prin descrierea unor cercuri în jurul lor și împărțirea laturilor în jumătate, este ușor să construiți poligoane regulate cu 2 n și 3 ∙ 2 n vârfuri). Dacă extindeți laturile unui pentagon obișnuit până la punctele de intersecție cu extensiile laturilor adiacente, obțineți o frumoasă stea cu cinci colțuri. Acesta este un simbol mistic antic, popular, în special, printre pitagoreeni: se numește „pentagramă” sau „pentalpha”, adică literalmente „cinci litere” sau „cinci alfa” - au văzut în el o combinație de cinci literele „alfa” (A)... Pentagrama a fost considerată un simbol al sănătății - armonie la o persoană - și a servit drept marcă de identificare pentru pitagoreici. (De exemplu, când, într-o țară străină, unul dintre pitagoreici zăcea pe patul de moarte și nu avea bani să plătească persoana care avea grijă de el până la moartea sa, el a ordonat să înfățișeze o pentagramă pe ușa locuinței sale. A. câțiva ani mai târziu, un alt pitagoreean a văzut acest semn și proprietarul a primit recompensă generoasă). Se dovedește că în pentagramă, linii diferite se împart între ele în raport cu raportul de aur. Într-adevăr, triunghiurile ACD și ABE sunt similare, AB: AC = AE: AD. Dar AD = BC, și AE = AC și, prin urmare, AB: AC = AC: BC. Se pare că oricare dintre cele 10 segmente ale conturului exterior al stelei aparține în raportul de aur oricăruia dintre cele 5 segmente care formează un mic pentagon intern.
Apropo, din asemănarea acelorași triunghiuri ACD și ABE rezultă că triunghiul ACD este isoscel și CD = AD. Aceasta înseamnă că diagonala unui pentagon obișnuit se referă la latura sa și în raportul de aur. Toate cele cinci diagonale ale unui pentagon obișnuit formează o altă pentagramă, în care toate rapoartele se repetă din nou.
Dacă trebuie să construiți un pentagon obișnuit cu latura a 1, atunci trebuie să împărțiți segmentul a 1 în raportul de aur în segmente a 2 și a 3, apoi să construiți un triunghi isoscel cu laturile a 1, a 1 și (a 1 + a 2). Două segmente de lungime a 1 alcătuiesc două laturi ale pentagonului necesar, iar un segment de lungime a 1 + a 2 = a 1 / Φ este diagonala acestuia. Construind alte triunghiuri, nu este dificil să găsiți vârfurile rămase ale pentagonului.
În Evul Mediu, pentagrama a servit ca simbol al lui Venus: această planetă se apropie de Pământ în cinci puncte, formând un pentagon.
Un triunghi isoscel, în care laturile se referă la bază în raportul de aur - de exemplu, un triunghi format din două diagonale și o latură a unui pentagon regulat - are o altă proprietate interesantă: bisectoarele unghiurilor sale de la bază sunt egale cu baza în sine.
Un astfel de triunghi se găsește adesea în compoziția diferitelor opere de artă- de exemplu, în celebra „La Gioconda” de Leonardo da Vinci.
Poligon- o figură geometrică pe un plan, delimitată de o linie întreruptă închisă; dreapta care se obține dacă iei orice n puncte A 1, A 2, ..., A n și leagă fiecare dintre ele cu următorul, iar ultimul cu primul, prin segmente de dreaptă.
Există două tipuri de poligoane: convexe și neconvexe... Vom arunca o privire mai atentă asupra poligoanelor convexe. Poligonul se numește convex dacă nicio latură a poligonului, fiind extinsă nemărginit, taie poligonul în două părți. Poligoanele convexe pot fi regulate și neregulate, dar ne vom uita la cele obișnuite. Poligon convex numit corect dacă toate laturile lui sunt egale și toate unghiurile sunt egale. Centrul unui poligon regulat este un punct echidistant de toate vârfurile și toate laturile sale.
Unghiul central al unui poligon regulat este unghiul la care este vizibilă latura din centrul acestuia. Proprietățile poligonului regulat:
1) Un poligon regulat este înscris într-un cerc și circumscris unui cerc, în timp ce centrele acestor cercuri coincid;
2) Centrul unui poligon regulat coincide cu centrele cercurilor înscrise și circumscrise;
3) Partea corectă n-gon este asociat cu raza R cercul circumscris prin formula;
4) Perimetrele corecte n-gonurile sunt denumite razele cercurilor circumscrise.
5) Diagonalele unui n-gon regulat împart unghiurile sale în părți egale.
Pentagon obișnuit
Să ne oprim mai în detaliu asupra pentagonului obișnuit - pentagonul.
Relații de bază: unghiul la vârful pentagonului este de 108 °, colțul exterior- 72 °. Latura pentagonului este exprimată prin razele cercurilor înscrise și circumscrise:
Să construim un pentagon obișnuit. Acest lucru este ușor de făcut cu circumcercul. Din centrul său este necesar să se amâne secvenţial unghiurile cu vârful în centrul cercului, egale cu 72 °. Laturile colțurilor vor intersecta cercul în cinci puncte, conectându-le succesiv, obținem un pentagon obișnuit. Acum să desenăm toate diagonalele din acest pentagon. Ele formează un pentagon regulat în formă de stea, adică. celebra pentagramă. Este interesant că laturile pentagramelor, încrucișate, formează din nou un pentagon regulat, în care intersecția diagonalelor ne dă o nouă pentagramă și așa mai departe la infinit (vezi Fig. 6).
Pentagrama este un pentagon regulat neconvex, este, de asemenea, un pentagon obișnuit în formă de stea sau o stea pentagonală obișnuită. Multe flori, stele de mare și arici, viruși etc. au forma unei stele cu cinci colțuri. Primele mențiuni ale pentagramei se referă la Grecia antică... Tradusă din greacă, pentagrama înseamnă literalmente cinci rânduri. Pentagrama a fost semnul distinctiv al școlii pitagoreice (580-500 î.Hr.). Ei credeau că acest poligon frumos are multe proprietăți mistice. O atitudine reverentă față de pentagramă a fost, de asemenea, caracteristică misticilor medievali, care au împrumutat mult de la pitagoreeni. În Evul Mediu, se credea că pentagrama a servit drept semn de securitate de la Satana.
