원뿔의 부피, 계산. 원뿔의 부피를 찾는 방법 잘린 원뿔 공식을 계산하는 방법

원뿔 표면의 전개는 원뿔의 측면과 밑면을 일정한 평면으로 결합하여 얻은 평면도입니다.

스윕 건설 옵션:

오른쪽 원뿔의 개발

오른쪽 원뿔의 측면 표면의 발달은 원형 부채꼴이며, 반경은 원추형 표면의 모선 길이 l이고 중심각 φ는 공식 φ=360*R/에 의해 결정됩니다. l, 여기서 R은 원추 밑면의 원주 반경입니다.

기술 기하학의 여러 문제에서 선호되는 솔루션은 원뿔에 새겨진 피라미드에 의한 원뿔의 근사화 (대체)와 원추형 표면에있는 선을 그리는 것이 편리한 대략적인 스윕의 구성입니다.

구성 알고리즘

우리는 원뿔 표면에 다각형 피라미드를 새깁니다. 내접 피라미드의 측면이 많을수록 실제 스캔과 대략적인 스캔 간의 일치가 더 정확합니다.
삼각형 방법을 사용하여 피라미드의 측면을 개발합니다. 원뿔의 밑면에 속하는 점은 부드러운 곡선으로 연결됩니다.

예시

아래 그림에서 정육각뿔 SABCDEF는 오른쪽 원뿔에 새겨져 있으며 측면의 대략적인 발달은 피라미드의 면인 6개의 이등변 삼각형으로 구성됩니다.

삼각형 S 0 A 0 B 0 을 고려하십시오. 변 S 0 A 0 및 S 0 B 0의 길이는 원추면의 모선 l과 같습니다. 값 A 0 B 0은 길이 A'B'에 해당합니다. 도면의 임의의 위치에 삼각형 S 0 A 0 B 0을 만들려면 세그먼트 S 0 A 0 =l을 따로 설정한 다음 반지름이 S 0 B 0 =l이고 A 0 B 0 =인 원을 그립니다. 점 S 0 및 A 0에서 각각 A'B'. 원 B 0 의 교차점을 점 A 0 및 S 0 에 연결합니다.

SABCDEF 피라미드의 면 S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 삼각형 S 0 A 0 B 0 .

원뿔의 바닥에있는 점 A, B, C, D, E 및 F는 부드러운 곡선으로 연결됩니다. 반지름은 l과 같은 원호입니다.

비스듬한 원뿔 발달

근사 방법에 의해 경사 원뿔의 측면 스윕을 구성하는 절차를 고려하십시오.

연산

우리는 원뿔 밑면의 원에 육각형 123456을 새기고 점 1, 2, 3, 4, 5 및 6을 꼭짓점 S와 연결합니다. 이러한 방식으로 구성된 피라미드 S123456은 어느 정도의 근사값으로, 원추형 표면을 대체하고 추가 구성에서 그대로 사용됩니다.
투영선을 중심으로 회전하는 방법을 사용하여 피라미드 모서리의 자연값을 결정합니다. 이 예에서는 수평 투영 평면에 수직이고 꼭지점 S를 통과하는 i축이 사용됩니다.
따라서, 모서리 S5의 회전의 결과로, 그것의 새로운 수평 투영 S'5' 1 은 정면 평면 π 2 에 평행한 위치를 취합니다. 따라서 S''5'' 1은 S5의 자연값이다.
6개의 삼각형으로 구성된 피라미드 S123456의 측면 개발을 구성합니다. 0 1 0 . 각 삼각형의 구성은 3면에서 수행됩니다. 예를 들어 △S 0 1 0 6 0 의 길이는 S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'입니다.

대략적인 스윕과 실제 스윕의 일치 정도는 내접 피라미드의 면 수에 따라 다릅니다. 면 수는 도면 읽기의 용이성, 정확성 요구 사항, 스캔으로 전송해야 하는 특징 점 및 선의 존재 여부에 따라 선택됩니다.

원뿔의 표면에서 현상으로 선을 옮기는 것

원뿔의 표면에 있는 선 n은 특정 평면과의 교차 결과로 형성됩니다(아래 그림). 스윕에서 라인 n을 구성하는 알고리즘을 고려하십시오.

연산

선 n이 원뿔 S123456에 새겨진 피라미드의 모서리와 교차하는 점 A, B 및 C의 투영을 찾으십시오.
투영선을 중심으로 회전하여 세그먼트 SA, SB, SC의 실제 크기를 결정합니다. 이 예에서 SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
피라미드의 해당 모서리에서 점 A 0 , B 0 , C 0 의 위치를 찾고 세그먼트 S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 = S''C'' 1 .
점 A 0 , B 0 , C 0 을 부드러운 선으로 연결합니다.

잘린 원뿔 개발

아래에서 설명하는 오른쪽 원형 잘린 원뿔의 스윕을 구성하는 방법은 유사성의 원리를 기반으로 합니다.

다양한 기하학적 몸체 중에서 가장 흥미로운 것 중 하나는 원뿔입니다. 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전시켜 형성됩니다.

원뿔의 부피를 찾는 방법 - 기본 개념

원뿔의 부피 계산을 시작하기 전에 기본 개념을 숙지해야 합니다.

원형 원뿔 - 그러한 원뿔의 밑면은 원입니다. 밑면이 타원, 포물선 또는 쌍곡선이면 그림을 타원, 포물선 또는 쌍곡선 원뿔이라고 합니다. 마지막 두 가지 유형의 원뿔에는 무한한 부피가 있음을 기억할 가치가 있습니다.
잘린 원뿔은 밑면과 이 밑면과 평행한 평면 사이에 있는 원뿔의 일부이며 상단과 밑면 사이에 있습니다.
높이 - 바닥에 수직인 선분으로 위에서부터 해제됩니다.
원뿔의 모선은 밑면과 윗면의 경계를 연결하는 세그먼트입니다.

콘 볼륨

원뿔의 부피를 계산하기 위해 공식 V=1/3*S*H가 사용됩니다. 여기서 S는 밑면, H는 높이입니다. 원뿔의 밑면은 원이므로 면적은 공식 S= nR^2로 구합니다. 여기서 n = 3.14, R은 원의 반지름입니다.

높이, 반지름 또는 모선과 같은 일부 매개변수를 알 수 없는 상황이 있습니다. 이 경우 피타고라스 정리에 의지할 가치가 있습니다. 원뿔의 축 방향 단면은 이등변 삼각형으로 두 개의 직각 삼각형으로 구성되며 여기서 l은 빗변이고 H와 R은 다리입니다. 그러면 l=(H^2+R^2)^1/2입니다.

잘린 원뿔 볼륨

잘린 원뿔은 상단이 잘린 원뿔입니다.

이러한 원뿔의 부피를 찾으려면 다음 공식이 필요합니다.

V=1/3*n*H*(r^2+rR+R^2),

여기서 n=3.14, r은 단면 원의 반지름, R은 큰 밑면의 반지름, H는 높이입니다.

잘린 원뿔의 축 방향 단면은 이등변 사다리꼴이 됩니다. 따라서 원뿔의 모선의 길이나 원 중 하나의 반지름을 찾아야 하는 경우 사다리꼴의 변과 밑변을 찾는 공식을 사용하는 것이 좋습니다.

높이가 8cm이고 밑변의 반지름이 3cm인 원뿔의 부피를 구하십시오.

주어진: H=8 cm, R=3 cm.

먼저 S=nR^2 공식을 적용하여 밑면의 넓이를 구합니다.

S=3.14*3^2=28.26cm^2

이제 V=1/3*S*H 공식을 사용하여 원뿔의 부피를 찾습니다.

V=1/3*28.26*8=75.36cm^3

원뿔 모양의 인물은 주차 원뿔, 빌딩 타워, 램프 갓 등 모든 곳에서 볼 수 있습니다. 따라서 원뿔의 부피를 찾는 방법을 아는 것은 전문적인 생활과 일상 생활 모두에서 유용할 수 있습니다.

"패턴"이라는 단어 대신 "스윕"이 사용되는 경우가 있지만 이 용어는 모호합니다. 예를 들어 리머는 구멍의 직경을 늘리는 도구이고 전자 기술에는 리머라는 개념이 있습니다. 따라서 검색 엔진이 이 기사를 사용하여 찾을 수 있도록 "콘 스윕"이라는 단어를 사용해야하지만 "패턴"이라는 단어를 사용합니다.

원뿔의 패턴을 만드는 것은 간단한 문제입니다. 완전한 원뿔형과 잘린 원뿔형의 두 가지 경우를 고려해 보겠습니다. 사진에 (확대하려면 클릭)그러한 원뿔의 스케치와 그 패턴이 표시됩니다. (나는 우리가 둥근 밑면을 가진 직선 원뿔에 대해서만 이야기할 것이라는 점에 즉시 주목합니다. 타원형 밑면과 경사 원뿔이 있는 원뿔은 다음 기사에서 고려될 것입니다).

1. 전체 테이퍼

명칭:

패턴 매개변수는 다음 공식으로 계산됩니다.
;
;
어디 .

2. 원뿔대

명칭:

패턴 매개변수 계산 공식:
;
;
;
어디 .
이 공식은 로 대체하면 전체 원뿔에도 적합합니다.

때로는 원뿔을 구성할 때 꼭짓점(또는 원뿔이 잘린 경우 가상 꼭짓점)에서의 각도 값이 근본적으로 중요합니다. 가장 간단한 예는 하나의 원뿔이 다른 원뿔에 꼭 맞아야 하는 경우입니다. 이 각도를 문자로 지정합시다(그림 참조).
이 경우 세 가지 입력 값 중 하나 대신 사용할 수 있습니다. , 또는 . 왜 "함께 ~에 대한"가 아니라 "함께 이자형"? 세 개의 매개변수가 원뿔을 구성하기에 충분하고 네 번째의 값은 나머지 세 개의 값을 통해 계산되기 때문입니다. 왜 두 개나 네 개가 아니라 정확히 세 개인지는 이 기사의 범위를 벗어나는 질문입니다. 신비한 목소리는 이것이 "원뿔" 물체의 3차원성과 어떻게든 연결되어 있다고 말합니다. (이 기사에서 다른 모든 매개변수를 계산한 2차원 "원 세그먼트" 개체의 두 초기 매개변수와 비교합니다.)

다음은 3이 주어졌을 때 원뿔의 네 번째 매개변수가 결정되는 공식입니다.

4. 패턴 구성 방법

계산기에서 값을 계산하고 나침반, 눈금자 및 각도기를 사용하여 종이에(또는 금속에 직접) 패턴을 만듭니다.
수식과 소스 데이터를 스프레드시트(예: Microsoft Excel)에 입력합니다. 얻은 결과는 그래픽 편집기(예: CorelDRAW)를 사용하여 패턴을 작성하는 데 사용됩니다.
내 프로그램을 사용하여 화면에 그리고 주어진 매개변수를 사용하여 원뿔의 패턴을 인쇄합니다. 이 패턴은 벡터 파일로 저장하고 CorelDRAW로 가져올 수 있습니다.

5. 평행 베이스가 아님

잘린 원뿔에 관한 한, Cones 프로그램은 여전히 평행한 밑면만 있는 원뿔에 대한 패턴을 만듭니다.
평행하지 않은 베이스로 잘린 원뿔 패턴을 구성하는 방법을 찾고 있는 사람들을 위해 사이트 방문자 중 한 명이 제공한 링크가 있습니다.
평행하지 않은 밑면이 있는 잘린 원뿔입니다.

기하학에서 잘린 원뿔은 밑면에 수직인 측면에 대해 직사각형 사다리꼴의 회전에 의해 형성된 몸체입니다. 그들은 어떻게 계산합니까 잘린 원뿔 부피, 모두는 학교 기하학 과정에서 알고 있으며 실제로이 지식은 건축가뿐만 아니라 다양한 기계 및 메커니즘의 설계자, 일부 소비재 개발자가 자주 사용합니다.

잘린 원뿔의 부피 계산

잘린 원뿔의 부피를 계산하는 공식

잘린 원뿔의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.

πh (R 2 + R × r + r 2)

시간- 콘 높이

아르 자형- 상부 베이스의 반경

아르 자형- 하단 베이스 반경

V- 잘린 원뿔의 부피

π - 3,14

다음과 같은 기하학적 몸체로 잘린 원뿔, 일상 생활에서 모든 사람은 지속적이지는 않더라도 아주 자주 만납니다. 그들의 모양은 양동이, 유리잔, 일부 컵과 같이 일상 생활에서 널리 사용되는 다양한 용기를 가지고 있습니다. 그것을 개발한 디자이너가 다음을 계산하는 공식을 사용했음은 물론입니다. 잘린 원뿔 부피, 이 값은 제품의 용량과 같은 중요한 특성을 결정하기 때문에 이 경우 매우 중요합니다.

엔지니어링 구조, 잘린 원뿔, 화력 및 원자력 발전소뿐만 아니라 대규모 산업 기업에서 종종 볼 수 있습니다. 냉각탑에는 이러한 형태가 있습니다. 대기 공기의 역류를 강제하여 많은 양의 물을 냉각하도록 설계된 장치입니다. 대부분의 경우 이러한 설계는 단시간에 많은 양의 액체 온도를 크게 낮추어야 하는 경우에 사용됩니다. 이러한 구조의 개발자는 다음을 결정해야 합니다. 잘린 원뿔 부피계산 공식은 아주 간단하고 한때 고등학교에서 공부를 잘했던 모든 사람들에게 알려져 있습니다.

이 기하학적 모양을 갖는 세부 사항은 다양한 기술 장치의 설계에서 종종 발견됩니다. 예를 들어, 운동 전달 방향을 변경해야 하는 시스템에 사용되는 기어는 대부분 베벨 기어를 사용하여 구현됩니다. 이 부품은 다양한 기어박스와 현대 자동차에 사용되는 자동 및 수동 기어박스의 필수 부품입니다.

잘린 원뿔 모양에는 밀링 커터와 같이 생산에 널리 사용되는 절삭 공구가 있습니다. 그들의 도움으로 특정 각도에서 경사면을 처리 할 수 있습니다. 금속 가공 및 목공 장비의 날카롭게하는 커터의 경우 연마 휠이 자주 사용되며 이는 원뿔형이기도 합니다. 게다가, 잘린 원뿔 부피테이퍼 섕크(드릴, 리머 등)가 장착된 절삭 공구의 고정을 포함하는 선삭 및 밀링 기계의 설계자를 결정해야 합니다.

잘린 원뿔 정의

원뿔이 밑면에 평행한 평면과 교차하는 경우 일반 원뿔에서 잘린 원뿔을 얻을 수 있습니다. 그러면 두 평면(이 평면과 일반 원뿔의 밑면) 사이에 있는 그림을 잘린 원뿔이라고 합니다.

그는 가지고있다 두 개의 기지, 원뿔의 경우 원이며 그 중 하나가 다른 것보다 큽니다. 잘린 원뿔은 또한 키- 두 개의 밑면을 연결하고 각각에 수직인 세그먼트.

온라인 계산기

잘린 원뿔은 직접, 그러면 한 베이스의 중심이 두 번째 베이스의 중심으로 투영됩니다. 콘의 경우 기울어진, 그런 다음 이러한 투영이 발생하지 않습니다.

오른쪽 원뿔을 고려하십시오. 이 수치의 부피는 여러 가지 방법으로 계산할 수 있습니다.

밑면의 반지름과 밑면 사이의 거리에 대한 잘린 원뿔의 부피 공식

원형 잘린 원뿔이 주어지면 다음 공식을 사용하여 부피를 찾을 수 있습니다.

잘린 원뿔 볼륨

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) V=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot(r_1^2+r_1\ cdot r_2+r_2^2)V =3 1 ⋅ π ⋅ h ⋅(아르 자형 1 2 + 아르 자형 1 ⋅ 아르 자형 2 + 아르 자형 2 2 )

R 1 , R 2 r_1, r_2 아르 자형 1 , 아르 자형 2 - 원뿔 밑면의 반경;
헐 시간- 이 밑면 사이의 거리(잘린 원뿔의 높이).

예를 들어보겠습니다.

작업 1

작은 밑면의 면적이 64 π cm 2 64\pi\text(cm)^26 4 파이 센티미터2 , 큰 - 169 π cm 2 169\pi\text(cm)^21 6 9 센티미터2 , 그리고 그 높이는 14cm 14\텍스트(cm) 1 4 센티미터.

해결책

S 1 \u003d 64 π S_1 \u003d 64 \ 파이 에스 1 = 6 4 파이
S 2 \u003d 169 π S_2 \u003d 169 \ 파이 에스 2 = 1 6 9
시간=14 시간=14 시간 =1 4

작은 밑면의 반지름 찾기:

S 1 = π ⋅ r 1 2 S_1=\pi\cdot r_1^2에스 1 = π ⋅ 아르 자형 1 2

64 π = π ⋅ r 1 2 64\pi=\pi\cdot r_1^26 4 파이 =π ⋅ 아르 자형 1 2

64=r 1 2 64=r_1^2 6 4 = 아르 자형 1 2

R1=8 r_1=8 아르 자형 1 = 8

마찬가지로, 큰 기반의 경우:

S 2 = π ⋅ r 2 2 S_2=\pi\cdot r_2^2에스 2 = π ⋅ 아르 자형 2 2

169 π = π ⋅ r 2 2 169\pi=\pi\cdot r_2^21 6 9π ⋅ 아르 자형 2 2

169=r 2 2 169=r_2^2 1 6 9 = 아르 자형 2 2

R2=13 r_2=13 아르 자형 2 = 1 3

원뿔의 부피를 계산합니다.

V = 1 3 ⋅ π ⋅ h ⋅ (r 1 2 + r 1 ⋅ r 2 + r 2 2) = 1 3 ⋅ π ⋅ 14 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 13 + 1 3 2) ≈ 4938 cm 3 V= \frac(1)(3)\cdot\pi\cdot h\cdot (r_1^2+r_1\cdot r_2+r_2^2)=\frac(1)(3)\cdot\pi\cdot14\cdot(8 ^2+8\cdot 13+13^2)\약 4938\텍스트(cm)^3V =3 1 ⋅ π ⋅ h ⋅(아르 자형 1 2 + 아르 자형 1 ⋅ 아르 자형 2 + 아르 자형 2 2 ) = 3 1 ⋅ π ⋅ 1 4 ⋅ (8 2 + 8 ⋅ 1 3 + 1 3 2 ) ≈ 4 9 3 8 센티미터3

대답

4938cm3. 4938\텍스트(cm)^3.4 9 3 8 센티미터3 .

밑면의 면적과 꼭대기까지의 거리에 대한 잘린 원뿔의 부피 공식

잘린 원뿔이 있다고 가정해 보겠습니다. 정신적으로 누락된 부분을 추가하여 정점이 있는 "일반 원뿔"로 만듭니다. 그런 다음 잘린 원뿔의 부피는 해당 밑면을 가진 두 원뿔의 부피와 원뿔 상단까지의 거리(높이)의 차이로 찾을 수 있습니다.

잘린 원뿔 볼륨

V = 1 3 ⋅ S ⋅ H − 1 3 ⋅ s ⋅ h = 1 3 ⋅ (S ⋅ H − s ⋅ h) V=\frac(1)(3)\cdot S\cdot H-\frac(1) (3)\cdot s\cdot h=\frac(1)(3)\cdot (S\cdot H-s\cdot h)V =3 1 ⋅ ⋅시간-3 1 ⋅ s⋅시간 =3 1 ⋅ (S ⋅시간-s⋅시간)