기하학을 공부할 때 벡터에 대한 많은 질문이 발생합니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.

기본 용어

벡터 사이의 각도를 고려하기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도 개념에 익숙해져야 합니다.

벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.

공통 원점이 있는 평면에서 두 벡터 사이의 각도는 방향이 일치할 때까지 공통 점 주위에서 벡터 중 하나를 이동하려는 각도만큼 작은 각도입니다.

솔루션 공식

벡터가 무엇이고 각도가 어떻게 결정되는지 이해하면 벡터 사이의 각도를 계산할 수 있습니다. 이에 대한 솔루션 공식은 매우 간단하며 적용 결과는 각도의 코사인 값이 됩니다. 정의에 따르면 벡터의 내적과 그 길이의 곱의 몫과 같습니다.

벡터의 스칼라 곱은 벡터 요소의 해당 좌표를 곱한 값의 합으로 계산됩니다. 벡터의 길이 또는 모듈러스는 좌표의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.

각도의 코사인 값을 받으면 계산기를 사용하거나 삼각법 테이블을 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.

예

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 파악하면 해당 문제에 대한 솔루션이 간단하고 간단해집니다. 예를 들어 각도 값을 찾는 간단한 문제를 고려하십시오.

우선, 솔루션에 필요한 벡터의 길이와 스칼라 곱의 값을 계산하는 것이 더 편리합니다. 위의 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.

얻은 값을 공식에 대입하면 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.

이 숫자는 5가지 일반적인 코사인 값 중 하나가 아니므로 각도 값을 얻으려면 계산기나 Bradis 삼각법 테이블을 사용해야 합니다. 그러나 벡터 사이의 각도를 얻기 전에 공식을 단순화하여 추가 음수 기호를 제거할 수 있습니다.

정확도를 유지하기 위해 최종 답은 그대로 두거나 각도 값을 도 단위로 계산할 수 있습니다. Bradis 테이블에 따르면 그 값은 약 116도 70분이 될 것이며 계산기는 116.57도의 값을 표시할 것입니다.

n차원 공간에서 각도 계산

3차원 공간에서 두 벡터를 고려할 때 같은 평면에 있지 않은 경우 우리가 말하는 각도를 이해하기가 훨씬 더 어렵습니다. 인식을 단순화하기 위해 그 사이에 가장 작은 각도를 형성하는 두 개의 교차 세그먼트를 그릴 수 있습니다. 원하는 것이 될 것입니다. 벡터에 세 번째 좌표가 있음에도 불구하고 벡터 간의 각도를 계산하는 프로세스는 변경되지 않습니다. 벡터의 내적과 계수, 몫의 역코사인을 계산하면 이 문제에 대한 답이 됩니다.

기하학에서는 3차원 이상의 공간에서 문제가 자주 발생합니다. 그러나 그들에게 답을 찾는 알고리즘은 비슷해 보입니다.

0도와 180도의 차이

벡터 사이의 각도를 계산하도록 설계된 문제에 대한 답을 작성할 때 가장 흔한 실수 중 하나는 벡터가 평행하다는 것, 즉 원하는 각도가 0도 또는 180도라는 결정입니다. 이 답변은 올바르지 않습니다.

솔루션의 결과를 기반으로 각도 0도의 값을 받은 경우 정답은 벡터를 동방향으로 지정하는 것입니다. 즉, 벡터가 동일한 방향을 갖습니다. 180도를 구하는 경우 벡터는 반대 방향이 됩니다.

특정 벡터

벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 동방향 및 반대 방향 외에 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.

한 평면에 평행한 여러 벡터를 동일 평면이라고 합니다.
길이와 방향이 같은 벡터를 등가라고 합니다.
방향에 관계없이 한 직선에 있는 벡터를 동일선상이라고 합니다.
벡터의 길이가 0이면, 즉 시작과 끝이 일치하면 0이라고 하고, 1이면 1이라고 합니다.

벡터의 스칼라 곱(이하 SP라고 함). 친애하는 친구! 수학 시험에는 벡터 풀이 문제 그룹이 포함됩니다. 우리는 이미 몇 가지 작업을 다뤘습니다. "벡터" 카테고리에서 볼 수 있습니다. 일반적으로 벡터이론은 어렵지 않고 꾸준히 공부하는 것이 가장 중요합니다. 학교 수학 과정에서 벡터를 사용한 계산 및 동작은 간단하고 공식은 복잡하지 않습니다. 보세요. 이 기사에서는 SP 벡터(시험에 포함)에 대한 작업을 분석합니다. 이제 이론에 "몰입":

NS 벡터의 좌표를 찾으려면 끝 좌표에서 빼야 합니다.시작의 해당 좌표

그리고 더:

* 벡터 길이(모듈러스)는 다음과 같이 정의됩니다.

이 공식을 기억해야합니다 !!!

벡터 사이의 각도를 표시해 보겠습니다.

0에서 180까지 다양할 수 있음이 분명합니다. 0(또는 0에서 Pi까지의 라디안 단위).

내적의 부호에 대해 몇 가지 결론을 도출할 수 있습니다. 벡터의 길이는 긍정적인 가치, 뻔하다. 따라서 내적의 부호는 벡터 사이 각도의 코사인 값에 따라 달라집니다.

다음과 같은 경우가 가능합니다.

1. 벡터 사이의 각도가 예각이면(0 0 ~ 90 0) 각도의 코사인 값은 양수입니다.

2. 벡터 사이의 각도가 둔한 경우(90 0 ~ 180 0) 각도의 코사인 값은 음수입니다.

* 0도에서, 즉 벡터가 동일한 방향을 가질 때 코사인은 1과 같으므로 결과는 양수입니다.

180 °에서, 즉 벡터의 방향이 반대일 때 코사인은 마이너스 1과 같고,따라서 결과는 음수입니다.

지금 중요한 순간!

90o에서, 즉 벡터가 서로 수직일 때 코사인은 0과 같으며, 이는 SP가 0과 같다는 것을 의미합니다. 이 사실(결과, 결론)은 다음과 같은 문제를 포함하여 벡터의 상호 배열에 대해 이야기하는 많은 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 오픈 뱅크수학 과제.

다음 문장을 공식화해 보겠습니다. 스칼라 곱은 이러한 벡터가 수직선에 있는 경우에만 0입니다.

따라서 SP 벡터에 대한 공식은 다음과 같습니다.

벡터의 좌표 또는 시작점과 끝점의 좌표를 알면 항상 벡터 사이의 각도를 찾을 수 있습니다.

다음 작업을 고려하십시오.

27724 벡터 a와 b의 내적을 구합니다.

다음 두 공식 중 하나를 사용하여 벡터의 스칼라 곱을 찾을 수 있습니다.

벡터 사이의 각도는 알 수 없지만 벡터의 좌표를 쉽게 찾은 다음 첫 번째 공식을 사용할 수 있습니다. 두 벡터의 원점이 원점과 일치하기 때문에 이러한 벡터의 좌표는 끝의 좌표와 같습니다.

벡터의 좌표를 찾는 방법은 에 설명되어 있습니다.

우리는 다음을 계산합니다.

답: 40

벡터의 좌표를 찾고 공식을 사용합시다.

벡터의 좌표를 찾으려면 벡터 끝의 좌표에서 시작의 해당 좌표를 빼야합니다.

내적을 계산합니다.

답: 40

벡터와 b 사이의 각도를 찾습니다. 당신의 대답을 도 단위로 주십시오.

벡터의 좌표는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

벡터 사이의 각도를 찾기 위해 벡터의 내적 공식을 사용합니다.

벡터 사이 각도의 코사인:

따라서:

이러한 벡터의 좌표는 다음과 같습니다.

다음 공식으로 대체해 보겠습니다.

벡터 사이의 각도는 45도입니다.

답: 45

벡터의 내적

우리는 벡터를 계속 다루고 있습니다. 첫 번째 수업에서 인형용 벡터우리는 벡터의 개념, 벡터를 사용한 동작, 벡터의 좌표 및 벡터를 사용한 가장 간단한 작업을 조사했습니다. 검색 엔진에서 처음으로 이 페이지를 방문했다면 위의 소개 기사를 읽는 것이 좋습니다. 자료를 마스터하려면 내가 사용하는 용어, 명칭을 탐색해야 하기 때문입니다. 기본 지식벡터에 대해 알고 기본 문제를 해결할 수 있습니다. 이 수업은 주제의 논리적 연속이며, 벡터의 내적이 사용되는 일반적인 작업을 자세히 분석합니다. 이것은 매우 중요한 활동입니다.... 예제를 건너뛰지 마십시오. 유용한 보너스가 함께 제공됩니다. 연습을 통해 다룬 자료를 통합하고 해석 기하학의 일반적인 문제에 대한 솔루션을 얻을 수 있습니다.

벡터 더하기, 벡터에 숫자 곱하기… 수학자들이 다른 것을 생각해내지 못했다고 생각하는 것은 순진한 일일 것입니다. 이미 고려한 작업 외에도 벡터를 사용하는 다른 작업이 많이 있습니다. 벡터의 내적, 벡터의 벡터 곱그리고 벡터의 혼합 곱... 벡터의 스칼라 곱은 학교에서 우리에게 친숙하고 다른 두 제품은 전통적으로 고등 수학 과정과 관련이 있습니다. 주제는 간단하고 많은 문제를 해결하기 위한 알고리즘은 고정 관념적이고 이해할 수 있습니다. 유일한 것. 정보가 많기 때문에 한 번에 모든 것을 마스터하고 해결하려고 하는 것은 바람직하지 않습니다. 이것은 특히 찻주전자에 해당됩니다. 저를 믿으십시오. 저자는 수학에서 Chikatilo처럼 느끼고 싶지 않습니다. 글쎄요, 물론 수학도 아닙니다 =) 더 준비된 학생들은 자료를 선택적으로 사용할 수 있습니다. 어떤 의미에서 누락된 지식을 "얻을 수 있습니다.

마지막으로 문을 열고 두 벡터가 서로 만날 때 어떤 일이 일어나는지 열정적으로 봅시다.

벡터의 내적 결정.
내적 속성. 일반적인 작업

내적 개념

처음으로 벡터 사이의 각도... 벡터 사이의 각도가 무엇인지 직관적으로 이해하고 계실 거라 생각합니다만, 만일을 위해 조금 더 자세히 말씀드리겠습니다. 0이 아닌 자유 벡터를 고려하십시오. 임의의 지점에서 이러한 벡터를 연기하면 많은 사람들이 이미 마음속으로 상상한 그림을 얻을 수 있습니다.

나는 여기에서 이해의 수준에서만 상황을 설명했음을 고백합니다. 벡터 사이의 각도에 대한 엄밀한 정의가 필요한 경우 교과서를 참조하지만 실제 문제의 경우 원칙적으로 필요하지 않습니다. 또한 HERE AND NEXT에서는 실제 중요성이 낮기 때문에 0 벡터를 무시하는 곳도 있습니다. 나는 다음 진술 중 일부의 이론적 불완전성에 대해 나를 비난할 수 있는 고급 사이트 방문자를 위해 특별히 예약했습니다.

0에서 180도(0에서 라디안까지)의 값을 가질 수 있습니다. 분석적으로 이 사실은 다음과 같은 형식으로 작성됩니다. 이중 불평등:

또는

(라디안 단위).

문헌에서 각도 아이콘은 종종 간과되고 간단하게 작성됩니다.

정의:두 벡터의 스칼라 곱은 두 벡터 사이의 각도의 코사인에 의한 이러한 벡터의 길이의 곱과 동일한 NUMBER입니다.

이것은 이미 상당히 엄격한 정의입니다.

우리는 필수 정보에 중점을 둡니다.

지정:내적은 또는 간단히 표시됩니다.

작업 결과는 NUMBER입니다.: 벡터에 벡터를 곱하여 숫자를 얻습니다. 실제로 벡터의 길이가 숫자라면 각도의 코사인은 숫자이고 그 곱은 숫자도 됩니다.

몇 가지 워밍업 예:

실시예 1

해결책:우리는 공식을 사용합니다 ... 입력 이 경우:

답변:

코사인 값은 다음에서 찾을 수 있습니다. 삼각 테이블... 인쇄하는 것이 좋습니다. 타워의 거의 모든 섹션에서 필요하며 여러 번 필요합니다.

순전히 수학적 관점에서 내적은 차원이 없습니다. 즉, 이 경우 결과는 숫자에 불과합니다. 물리학 문제의 관점에서 스칼라 곱은 항상 특정 물리적 의미, 즉 결과 후에 하나 또는 다른 의미를 갖습니다. 물리적 단위... 힘의 일을 계산하는 표준 예는 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다(공식은 정확히 내적입니다). 따라서 힘의 일은 줄 단위로 측정되며 예를 들어 그 답은 매우 구체적으로 기록됩니다.

실시예 2

다음 경우 찾기 , 그리고 벡터 사이의 각도는 입니다.

에 대한 예입니다. 독립적인 결정, 답은 수업 끝에 있습니다.

벡터와 내적 값 사이의 각도

실시예 1에서는 내적이 양수이고, 실시예 2에서는 음수인 것으로 나타났다. 내적의 부호가 무엇에 의존하는지 알아 봅시다. 우리는 공식을 봅니다. ... 0이 아닌 벡터의 길이는 항상 양수이므로 부호는 코사인 값에만 의존할 수 있습니다.

메모: 아래 정보를 더 잘 이해하려면 설명서의 코사인 그래프를 공부하는 것이 좋습니다. 함수 그래프 및 속성... 코사인이 세그먼트에서 어떻게 작동하는지 확인하십시오.

이미 언급했듯이 벡터 사이의 각도는 , 다음과 같은 경우가 가능합니다.

1) 만약 주입벡터 사이 매운: (0도에서 90도까지) 그런 다음 , 그리고 내적은 긍정적일 것이다 공동 감독, 그러면 그들 사이의 각도는 0으로 간주되고 내적도 양수입니다. 공식이 단순화되었기 때문입니다.

2) 만약 주입벡터 사이 무딘: (90도에서 180도까지) 그런 다음 , 그리고 그에 따라, 내적은 음수:. 특별한 경우: 벡터인 경우 반대 방향, 그런 다음 그들 사이의 각도가 고려됩니다. 배치: (180도). 내적도 음수이므로

반대의 진술도 사실입니다:

1) 그렇다면, 이 벡터들 사이의 각도는 예각입니다. 또는 벡터는 동방향입니다.

2) 그렇다면 주어진 벡터 사이의 각도가 둔각입니다. 또는 벡터가 반대 방향으로 향합니다.

그러나 세 번째 경우가 특히 중요합니다.

3) 만약 주입벡터 사이 똑바로: (90도), 다음 내적은 0이다:. 그 반대도 마찬가지입니다. 만약 그렇다면. 진술은 다음과 같이 간결하게 공식화됩니다. 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터가 직교하는 경우에만 0입니다.... 짧은 수학 표기법:

! 메모 : 반복하다 수학적 논리의 기초: 양면 논리적 결과 아이콘은 일반적으로 "그때만", "만일만"으로 읽습니다. 보시다시피 화살표는 양방향으로 지시됩니다. "이것에서 다음이 따르고 그 반대도 마찬가지입니다." 그건 그렇고, 일방통행 아이콘과의 차이점은 무엇입니까? 아이콘 주장 만그것은 "이것에서 비롯된다"고 그 반대가 사실이 아니라는 사실이다. 예를 들어: 그러나 모든 야수가 팬더인 것은 아니므로 이 경우 아이콘을 사용할 수 없습니다. 동시에 아이콘 대신 ~ 할 수있다단방향 아이콘을 사용합니다. 예를 들어, 문제를 해결하면서 우리는 벡터가 직교한다는 결론을 내렸습니다. - 그러한 항목은 정확하고 다음보다 더 적절합니다. .

세 번째 경우는 실제적으로 매우 중요합니다.벡터가 직교인지 아닌지 확인할 수 있기 때문입니다. 수업의 두 번째 섹션에서 이 문제를 해결할 것입니다.

내적 속성

벡터가 두 개일 때의 상황으로 돌아가자. 공동 감독... 이 경우, 그들 사이의 각도는 0이고 내적 공식은 다음과 같은 형식을 취합니다.

벡터에 자신을 곱하면 어떻게 될까요? 벡터가 자기 자신과 동방향인 것이 분명하므로 위의 단순화된 공식을 사용합니다.

번호가 호출됩니다 스칼라 제곱벡터 및 로 표시됩니다.

따라서, 벡터의 스칼라 제곱은 주어진 벡터의 길이의 제곱과 같습니다.

이 평등에서 벡터의 길이를 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다.

모호해 보이지만 수업의 과제는 모든 것을 제자리에 둘 것입니다. 문제를 해결하려면 또한 필요합니다. 내적 속성.

임의의 벡터 및 임의의 숫자에 대해 다음 속성이 유효합니다.

1) - 변위 가능 또는 가환성스칼라 곱 법칙.

2) - 배포 또는 분배스칼라 곱 법칙. 간단히 괄호를 확장할 수 있습니다.

3) - 조합 또는 연관스칼라 곱 법칙. 상수는 내적에서 파생될 수 있습니다.

종종 모든 종류의 속성(이것도 증명해야 함!)은 학생들에게 불필요한 쓰레기로 인식되며, 기억하고 시험 직후에 안전하게 잊어버리면 됩니다. 여기서 중요한 것은 제품이 요소의 순열에서 변경되지 않는다는 것을 1 학년부터 모든 사람이 알고있는 것 같습니다. 이 접근 방식을 사용하는 고등 수학에서는 나무를 부러뜨리기가 쉽습니다. 예를 들어 변위 속성은 유효하지 않습니다. 대수 행렬... 에 대해서도 사실이 아니다. 벡터의 벡터 곱... 따라서 적어도 할 수 있는 것과 할 수 없는 것을 이해하기 위해 고등 수학 과정에서 접하게 되는 속성을 탐구하는 것이 좋습니다.

실시예 3

해결책:먼저 벡터로 상황을 명확히 합시다. 대체 이게 뭐야? 벡터의 합은 로 표시되는 잘 정의된 벡터입니다. 벡터를 사용한 동작의 기하학적 해석은 기사에서 찾을 수 있습니다. 인형용 벡터... 벡터와 동일한 파슬리는 벡터의 합입니다.

따라서 조건에 따라 내적을 찾아야 합니다. 이론적으로 작업 공식을 적용해야 합니다. 그러나 문제는 벡터의 길이와 벡터 사이의 각도를 모른다는 것입니다. 그러나 조건은 벡터에 대해 유사한 매개변수를 제공하므로 다른 방향으로 이동합니다.

(1) 벡터 표현을 대체합니다.

(2) 다항식의 곱셈 규칙에 따라 대괄호를 확장합니다. 기사에서 저속한 텅 트위스터를 찾을 수 있습니다. 복소수또는 분수 유리 함수의 적분... 나는 나 자신을 반복하지 않을 것이다 =) 그건 그렇고, 스칼라 곱의 분포 속성을 통해 우리는 괄호를 확장할 수 있습니다. 우리는 권리가 있습니다.

(3) 첫 번째 항과 마지막 항에서 벡터의 스칼라 제곱을 간결하게 작성합니다. ... 두 번째 항에서는 스칼라 곱의 순열성을 사용합니다.

(4) 유사한 용어를 제공합니다.

(5) 첫 번째 항에서는 얼마 전에 언급한 스칼라 제곱 공식을 사용합니다. 마지막 기간에는 각각 동일한 작업이 수행됩니다. 표준 공식에 따라 두 번째 항을 확장합니다. .

(6) 우리는 이 조건을 대체합니다 , 그리고 조심스럽게 최종 계산을 합니다.

답변:

내적의 음수 값은 벡터 사이의 각도가 둔각이라는 사실을 나타냅니다.

작업은 일반적이며 다음은 독립 솔루션의 예입니다.

실시예 4

벡터의 내적을 구하고 다음이 알려진 경우 .

이제 벡터 길이에 대한 새로운 공식에 대한 또 다른 일반적인 작업입니다. 여기의 지정은 약간 겹치므로 명확성을 위해 다른 문자로 다시 작성하겠습니다.

실시예 5

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구하십시오. .

해결책다음과 같을 것입니다:

(1) 벡터 표현을 제공합니다.

(2) 길이: 공식을 사용하는 반면 전체 표현식은 벡터 "ve"로 작동합니다.

(3) 합계의 제곱에 학교 공식을 사용합니다. 여기에서 그것이 어떻게 흥미롭게 작동하는지 주목하십시오: - 사실, 그것은 차이의 제곱이고, 실제로 그렇습니다. 관심 있는 사람들은 벡터를 다음 위치에서 재배열할 수 있습니다. - 용어를 재배열할 때까지 동일하게 나타났습니다.

(4) 나머지는 앞의 두 문제에서 이미 익숙합니다.

답변:

길이에 대해 이야기하는 한 "단위"라는 치수를 표시하는 것을 잊지 마십시오.

실시예 6

다음과 같은 경우 벡터의 길이를 구하십시오. .

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 완벽한 솔루션그리고 수업이 끝날 때의 대답.

우리는 내적에서 유용한 것들을 계속 짜내고 있습니다. 공식을 다시 보자 ... 비례 법칙에 따라 벡터의 길이를 좌변의 분모로 재설정해 보겠습니다.

그리고 우리는 부품을 교환할 것입니다:

이 공식의 의미는 무엇입니까? 두 벡터의 길이와 내적을 알면 이러한 벡터 사이의 각도 코사인을 계산할 수 있으므로 각도 자체도 계산할 수 있습니다.

내적은 숫자입니까? 숫자. 벡터의 길이는 숫자입니까? 번호. 따라서 분수도 특정 숫자입니다. 각도의 코사인을 알고 있는 경우: , 역 함수를 사용하면 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다. .

실시예 7

벡터 사이의 각도를 구하고, 알고 있는 경우 이를 구하십시오.

해결책:우리는 공식을 사용합니다:

에 마지막 스테이지계산은 분모의 비합리성을 제거하는 기술을 사용했습니다. 불합리함을 없애기 위해 분자와 분모를 곱했습니다.

그래서 만약 , 그 다음에:

역 삼각 함수의 값은 다음과 같이 찾을 수 있습니다. 삼각 테이블... 이것은 드물게 발생하지만. 해석기하학의 문제에서는 어떤 종류의 서투른 곰이 훨씬 더 자주 나타나며, 각도 값은 대략 계산기를 사용하여 구해야 합니다. 실제로, 우리는 그러한 그림을 한 번 이상 보게 될 것입니다.

답변:

다시 말하지만, 차원(라디안 및 도)을 표시하는 것을 잊지 마십시오. 개인적으로, 고의로 "모든 질문을 지우기" 위해 나는 그것과 저것을 모두 표시하는 것을 선호합니다(물론 조건에 따라 답을 라디안 또는 도로만 표시해야 하는 경우는 제외).

이제 더 어려운 작업에 스스로 대처할 수 있습니다.

실시예 7 *

주어진 벡터의 길이와 그 사이의 각도입니다. 벡터 사이의 각도를 찾습니다.

작업은 다단계만큼 어렵지 않습니다.
솔루션 알고리즘을 분석해 보겠습니다.

1) 조건에 따라 벡터 사이의 각도를 구해야 하므로 다음 공식을 사용해야 합니다. .

2) 내적을 찾습니다(예제 3, 4 참조).

3) 벡터의 길이와 벡터의 길이를 구한다(예제 5, 6 참조).

4) 솔루션의 끝은 예 7과 일치합니다. 숫자를 알고 있으므로 각도 자체를 쉽게 찾을 수 있습니다.

간략한 솔루션그리고 수업이 끝날 때의 대답.

강의의 두 번째 섹션에서는 동일한 내적에 초점을 맞춥니다. 좌표. 첫 번째 부분보다 훨씬 쉬울 것입니다.

벡터의 내적,
직교 기준의 좌표로 제공

답변:

말할 필요도 없이, 좌표를 다루는 것이 훨씬 더 즐겁습니다.

실시예 14

벡터의 내적을 구하고 다음과 같은 경우

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 여기에서 연산의 연관성을 사용할 수 있습니다. 즉, 계산하지 않고 즉시 트리플을 스칼라 곱 밖으로 이동하고 마지막으로 곱합니다. 공과 끝에 솔루션과 답변이 있습니다.

단락 끝에서 벡터의 길이를 계산하는 도발적인 예:

실시예 15

벡터의 길이 찾기 , 만약

해결책:다시, 길은 구걸한다 이전 섹션: 하지만 다른 방법이 있습니다.

벡터 찾기:

그리고 사소한 공식에 따른 길이 :

여기서 내적은 전혀 문제가 되지 않습니다!

사업이 중단되면 벡터의 길이를 계산할 때입니다.
멈추다. 벡터 길이의 명백한 속성을 활용하지 않는 이유는 무엇입니까? 벡터의 길이는 어떻습니까? 이 벡터는 벡터보다 5배 더 깁니다. 방향은 반대지만 대화는 길이에 관한 것이기 때문에 문제가 되지 않습니다. 분명히 벡터의 길이는 곱과 같습니다. 기준 치수벡터 길이당 숫자:
- 모듈의 기호는 숫자의 가능한 빼기를 "먹습니다".

따라서:

답변:

좌표로 주어지는 벡터 사이의 각도 코사인 공식

이제 우리는 전체 정보벡터 사이 각도의 코사인에 대한 이전에 파생된 공식 벡터의 좌표를 통해 표현:

평면 벡터 사이의 각도 코사인그리고 orthonormal 기반으로 주어진, 공식으로 표현:
.

공간 벡터 사이 각도의 코사인 orthonormal 기반으로 주어진, 공식으로 표현:

실시예 16

삼각형의 꼭짓점 3개가 주어집니다. (정점 각도)를 찾습니다.

해결책:조건에 따라 도면을 수행할 필요는 없지만 여전히 다음과 같습니다.

필요한 각도는 녹색 호로 표시됩니다. 각도의 학교 지정을 즉시 기억하십시오. - 특별한 주의에 평균편지 - 이것은 우리가 필요로하는 모서리의 정점입니다. 간결함을 위해 간단하게 작성할 수도 있습니다.

그림에서 삼각형의 각도가 벡터 사이의 각도와 일치한다는 것이 분명합니다. 즉, .

정신적으로 수행 된 분석을 수행하는 방법을 배우는 것이 좋습니다.

벡터 찾기:

내적을 계산해 봅시다.

그리고 벡터의 길이:

각도의 코사인:

찻주전자에 추천하는 작업 순서입니다. 보다 정교한 독자는 "한 줄에" 계산을 작성할 수 있습니다.

다음은 "나쁜" 코사인 값의 예입니다. 결과 값은 최종 값이 아니므로 분모의 불합리성을 제거하는 것은 거의 의미가 없습니다.

모서리 자체를 찾자.

도면을 보면 결과가 상당히 그럴듯합니다. 확인을 위해 각도기로 각도를 측정할 수도 있습니다. 모니터 덮개를 손상시키지 마십시오 =)

답변:

대답에서, 그것을 잊지 마세요 삼각형의 각도에 대해 물었다(벡터 사이의 각도가 아니라), 정확한 답을 나타내는 것을 잊지 마세요: 그리고 각도의 대략적인 값: 계산기로 찾았습니다.

이 과정을 즐겼던 사람들은 각도를 계산하고 표준 평등이 참인지 확인할 수 있습니다.

실시예 17

삼각형은 정점의 좌표에 의해 공간에서 정의됩니다. 측면과 측면 사이의 각도를 찾으십시오.

이것은 DIY 솔루션의 예입니다. 튜토리얼 끝에 완전한 솔루션 및 답변

스칼라 곱도 "혼합"되는 투영에 대한 짧은 마지막 섹션이 제공됩니다.

벡터 대 벡터 투영. 좌표축에 대한 벡터의 투영입니다.
벡터의 방향 코사인

벡터를 고려하고:

벡터에 벡터를 투영합니다. 이를 위해 벡터의 시작과 끝에서 생략합니다. 수직선벡터당(녹색 점선). 광선이 벡터에 수직으로 떨어지는 것을 상상해보십시오. 그런 다음 세그먼트(빨간색 선)는 벡터의 "그림자"가 됩니다. 이 경우 벡터에 대한 벡터의 투영은 세그먼트의 LENGTH입니다. 즉, 프로젝트는 숫자입니다.

이 NUMBER는 다음과 같이 표시됩니다. "큰 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 어느프로젝트, "작은 첨자 벡터"는 벡터를 나타냅니다. 온 더투영되고 있는 것입니다.

레코드 자체는 "벡터의 투영" a "벡터에 대한" bh ""와 같이 읽습니다.

벡터 "bs"가 "너무 짧으면" 어떻게 됩니까? 벡터 "be"를 포함하는 직선을 그립니다. 그리고 벡터 "a"는 이미 투영됩니다. 벡터 "bh"의 방향으로, 간단히 - 벡터 "be"를 포함하는 직선에. 벡터 "a"가 30번째 왕국에서 연기된 경우에도 동일한 일이 발생합니다. 여전히 벡터 "bh"를 포함하는 직선에 쉽게 투영됩니다.

만약 각도벡터 사이 매운(그림과 같이) 그럼

벡터인 경우 직교, 그런 다음(투영은 치수가 0으로 가정되는 점입니다).

만약 각도벡터 사이 무딘(그림에서 벡터의 화살표를 정신적으로 재정렬) 그런 다음 (길이는 같지만 빼기 기호로 사용).

이 벡터를 한 지점에서 연기합시다.

분명히 벡터가 움직일 때 투영은 변경되지 않습니다.

두 벡터 사이의 각도:

두 벡터 사이의 각도가 예각이면 내적은 양수입니다. 벡터 사이의 각도가 둔각이면 이러한 벡터의 내적은 음수입니다. 0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터가 직교하는 경우에만 0입니다.

작업.벡터 사이의 각도를 구하고

해결책.필요한 각도의 코사인

16. 직선, 직선 및 평면 사이의 각도 계산

선과 평면 사이의 각도, 이 직선과 수직이 아닌 교차하는 직선과 이 평면에 대한 투영 사이의 각도입니다.

직선과 평면 사이의 각도를 결정하면 직선과 평면 사이의 각도가 직선 자체와 평면에 투영되는 두 개의 교차 직선 사이의 각도라는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 직선과 평면이 이루는 각은 예각이다.

수직 직선과 평면 사이의 각도는 동일한 것으로 간주되며 평행 직선과 평면 사이의 각도는 전혀 결정되지 않거나 동일한 것으로 간주됩니다.

§ 69. 직선 사이의 각도 계산.

공간에서 두 직선 사이의 각도를 계산하는 문제는 평면에서와 같은 방식으로 해결됩니다(§ 32). φ는 직선 사이의 각도 값을 나타냅니다 엘 1 및 엘 2 및 ψ - 방향 벡터 사이의 각도 값 하지만 그리고 NS 이 직선들.

그렇다면

ψ 90 ° (그림 206.6), φ = 180 ° - ψ. 분명히 두 경우 모두 cos φ = | cos ψ |가 참입니다. § 20의 공식 (1)에 의해 우리는

따라서,

선이 정규 방정식으로 주어집니다.

그런 다음 선 사이의 각도 φ는 다음 공식을 사용하여 결정됩니다.

직선 중 하나(또는 둘 다)가 비정규 방정식으로 제공되는 경우 각도를 계산하려면 이러한 직선의 방향 벡터 좌표를 찾은 다음 공식 (1)을 사용해야 합니다.

17. 평행선, 평행선에 대한 정리

정의.평면 위의 두 직선을 평행 한공통점이 없다면.

3차원 공간에 있는 두 직선을 평행 한그들이 같은 평면에 있고 공통점이 없는 경우.

두 벡터 사이의 각도입니다.

내적의 정의에서:

두 벡터에 대한 직교성 조건:

두 벡터에 대한 공선성 조건:

정의 5에 따른다 -. 실제로, 벡터의 곱을 숫자로 정의한 결과를 따릅니다. 따라서 벡터의 평등 법칙에서 출발하여 다음과 같이 씁니다. ... 그러나 벡터에 숫자를 곱한 결과 벡터는 벡터와 동일선상에 있습니다.

벡터 대 벡터 투영:

실시예 4... 포인트가 주어집니다,,,.

내적 찾기.

해결책... 좌표로 주어진 벡터의 내적 공식으로 찾습니다. 왜냐하면

, ,

예 5.포인트가 주어집니다,,,.

투영을 찾으십시오.

해결책... 왜냐하면

, ,

투영 공식을 기반으로 우리는

예 6.포인트가 주어집니다,,,.

벡터와 사이의 각도를 찾습니다.

해결책... 벡터

, ,

좌표가 비례하지 않기 때문에 동일선상에 있지 않습니다.

이 벡터는 내적과 마찬가지로 수직이 아닙니다.

우리는 찾을거야

주입 공식에서 찾기:

예 7.어떤 벡터에서 결정하고 동일선상에 있는

해결책... 공선성의 경우 벡터의 해당 좌표는 비례해야 합니다. 즉,

따라서 그리고.

실시예 8... 벡터의 값을 결정 그리고 수직.

해결책... 벡터 내적이 0이면 수직입니다. 이 조건에서 우리는 다음을 얻습니다. 그건, .

실시예 9... 찾다 , 만약 , , .

해결책... 스칼라 곱의 속성으로 인해 다음이 있습니다.

실시예 10... 벡터 사이의 각도를 구하고, 어디와 - 단위 벡터와 벡터 사이의 각도는 120 °와 같습니다.

해결책... 우리는 다음을 가지고 있습니다: , ,

마지막으로 다음이 있습니다. .

5 나. 벡터 제품.

정의 21.벡터 제품벡터에 의한 벡터를 벡터라고 하거나 다음 세 가지 조건으로 정의됩니다.

1) 벡터의 계수는 벡터 사이의 각도이고, 즉 .

벡터 곱의 계수는 벡터 및 측면에 구축된 평행 사변형의 면적과 수치적으로 동일합니다.

2) 벡터는 각 벡터와 (;)에 수직입니다. 벡터에 구축 된 평행 사변형의 평면에 수직이며.

3) 벡터는 그 끝에서 보았을 때 벡터에서 벡터로의 가장 짧은 회전이 시계 반대 방향(벡터, 오른쪽 삼중선을 형성함)이 되도록 방향이 지정됩니다.

벡터 사이의 각도는 어떻게 계산합니까?

기하학을 공부할 때 벡터에 대한 많은 질문이 발생합니다. 학생은 벡터 사이의 각도를 찾아야 할 때 특별한 어려움을 겪습니다.

기본 용어

벡터 사이의 각도를 고려하기 전에 벡터의 정의와 벡터 사이의 각도 개념에 익숙해져야 합니다.

벡터는 방향이 있는 세그먼트, 즉 시작과 끝이 정의된 세그먼트입니다.

공통 원점이 있는 평면에서 두 벡터 사이의 각도는 방향이 일치할 때까지 공통 점 주위에서 벡터 중 하나를 이동하려는 각도만큼 작은 각도입니다.

솔루션 공식

벡터의 스칼라 곱은 벡터 요소의 해당 좌표를 곱한 값의 합으로 계산됩니다. 벡터의 길이 또는 계수는 다음과 같이 계산됩니다. 제곱근좌표의 제곱의 합에서.

각도의 코사인 값을 받으면 계산기를 사용하거나 삼각법 테이블을 사용하여 각도 자체의 값을 계산할 수 있습니다.

예

우선, 솔루션에 필요한 벡터의 길이와 스칼라 곱의 값을 계산하는 것이 더 편리합니다. 위의 설명을 사용하여 다음을 얻습니다.

얻은 값을 공식에 대입하면 원하는 각도의 코사인 값을 계산합니다.

n차원 공간에서 각도 계산

기하학에서는 3차원 이상의 공간에서 문제가 자주 발생합니다. 그러나 그들에게 답을 찾는 알고리즘은 비슷해 보입니다.

0도와 180도의 차이

특정 벡터

벡터 사이의 각도를 찾으면 위에서 설명한 동방향 및 반대 방향 외에 특수 유형 중 하나를 찾을 수 있습니다.

한 평면에 평행한 여러 벡터를 동일 평면이라고 합니다.
길이와 방향이 같은 벡터를 등가라고 합니다.
방향에 관계없이 한 직선에 있는 벡터를 동일선상이라고 합니다.
벡터의 길이가 0이면, 즉 시작과 끝이 일치하면 0이라고 하고, 1이면 1이라고 합니다.

벡터 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?

도와주세요, 제발! 공식은 알지만 계산할 수 없습니다((
벡터 a(8, 10, 4) 벡터 b(5, -20, -10)

알렉산더 티토프

좌표에 의해 주어진 벡터 사이의 각도는 표준 알고리즘에 따라 찾습니다. 먼저 벡터 a와 b의 내적을 찾아야 합니다. (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. 여기에서 이러한 벡터의 좌표를 대입하고 다음을 계산합니다.
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (-20) = 4 * (-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
다음으로 각 벡터의 길이를 결정합니다. 벡터의 길이 또는 계수는 좌표의 제곱합의 제곱근입니다.
| = (x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2)의 루트 = (8 ^ 2 + 10 ^ 2 + 4 ^ 2)의 루트 = (64 + 100 + 16)의 루트 = 180의 루트 = 6개의 루트 다섯
ㄴ | = (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2)의 루트 = (5 ^ 2 + (-20) ^ 2 + (-10) ^ 2)의 루트 = (25 + 400 + 100)의 루트 = 루트 525 = 21의 5근.
이 길이를 곱합니다. 우리는 105개 중 30개의 뿌리를 얻습니다.
마지막으로 벡터의 내적을 이 벡터의 길이의 곱으로 나눕니다. 우리는 -200 / (105 중 30 뿌리) 또는
- (105의 4근) / 63. 이것은 벡터 사이의 각도의 코사인입니다. 그리고 각도 자체는이 숫자의 역 코사인과 같습니다.
φ = arccos(105의 -4 근) / 63.
내가 모든 것을 올바르게 계산했다면.

벡터 좌표로 벡터 사이의 사인 각도를 계산하는 방법

미하일 트카초프

이러한 벡터를 곱합니다. 그들의 내적은 이들 벡터 사이의 각도의 코사인에 의한 이러한 벡터의 길이의 곱과 같습니다.
각도는 우리에게 알려지지 않았지만 좌표는 알려져 있습니다.
수학적으로 이렇게 써봅시다.
주어진 벡터 a(x1; y1) 및 b(x2; y2)
그 다음에

A * b = | a | * | b | * cosA

CosA = a * b / | a | * | b |

우리는 논쟁한다.
a * 벡터의 b-스칼라 곱은 이러한 벡터 좌표의 해당 좌표 곱의 합과 같습니다. 즉, x1 * x2 + y1 * y2와 같습니다.

| a | * | b | -벡터 길이의 곱은 √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2)와 같습니다.

따라서 벡터 사이의 각도의 코사인은 다음과 같습니다.

CosA = (x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + (y2) ^ 2)

각도의 코사인을 알면 사인을 계산할 수 있습니다. 방법은 다음과 같습니다.

각도의 코사인이 양수이면 이 각도는 1 또는 4/4에 있고 사인은 양수 또는 음수입니다. 그러나 벡터 사이의 각도가 180도 이하이므로 사인은 양수입니다. 코사인이 음수인 경우에도 유사하게 주장합니다.

SinA = √ (1-cos ^ 2A) = √ (1 - ((x1 * x2 + y1 * y2) / √ ((x1) ^ 2 + (y1) ^ 2) * √ ((x2) ^ 2 + ( y2) ^ 2)) ^ 2)

이와 같이)))) 그것을 알아내는 행운을 빕니다)))

드미트리 레비시초프

부비동을 직접적으로 관찰하는 것이 불가능하다는 사실은 사실이 아닙니다.
공식 외에:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
다음도 있습니다.
|| = | a | * | b | * 죄 A
즉, 내적 대신 벡터 곱의 모듈을 사용할 수 있습니다.

지침

두 개의 0이 아닌 벡터가 평면에 주어지고 한 점에서 플롯됩니다. 좌표(x1, y1)가 있는 벡터 A 좌표(x2, y2)가 있는 B. 주입그들 사이는 θ로 표시됩니다. 각도 θ의 정도 측정값을 찾으려면 내적의 정의를 사용해야 합니다.

0이 아닌 두 벡터의 스칼라 곱은 이러한 벡터의 길이와 두 벡터 사이의 각도 코사인의 곱과 같은 수입니다. 즉, (A, B) = | A | * | B | * cos(θ) . 이제 주어진 각도의 코사인을 표현해야 합니다: cos (θ) = (A, B) / (| A | * | B |).

스칼라 곱은 공식 (A, B) = x1 * x2 + y1 * y2로도 찾을 수 있습니다. 0이 아닌 두 벡터의 곱은 해당 벡터의 곱의 합과 같기 때문입니다. 0이 아닌 벡터의 스칼라 곱이 0이면 벡터는 수직이며(둘 사이의 각도는 90도) 추가 계산은 생략할 수 있습니다. 두 벡터의 내적이 양수이면 두 벡터 사이의 각도 벡터예리하고 음수이면 각도가 둔합니다.

이제 공식으로 벡터 A와 B의 길이를 계산하십시오: | A | = √ (x1² + y1²), | B | = √ (x2² + y2²). 벡터의 길이는 좌표의 제곱합의 제곱근으로 계산됩니다.

구한 내적 값과 벡터 길이를 2단계에서 구한 각도 공식에 대입합니다. 즉, cos(θ) = (x1 * x2 + y1 * y2) / (√ (x1² + y1²) + √ (x2² + y2²)). 이제 값을 알면 사이 각도의 정도 측정 값을 찾습니다. 벡터 Bradis 테이블을 사용하거나 다음에서 가져와야 합니다. θ = arccos(cos(θ)).

벡터 A와 B가 3차원 공간에서 지정되고 좌표가 각각 (x1, y1, z1) 및 (x2, y2, z2)인 경우 각도의 코사인을 찾을 때 좌표가 하나 더 추가됩니다. 이 경우 코사인은 cos (θ) = (x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2) / (√ (x1² + y1² + z1²) + √ (x2² + y2² + z2²))입니다.

유용한 조언

두 벡터가 같은 점에서 그려지지 않은 경우 평행 평행 이동으로 두 벡터 사이의 각도를 찾으려면 이러한 벡터의 시작 부분을 결합해야 합니다.
두 벡터 사이의 각도는 180도를 초과할 수 없습니다.

출처:

벡터 사이의 각도를 계산하는 방법
선과 평면 사이의 각도

물리학 및 선형 대수학에서 응용 및 이론의 많은 문제를 해결하려면 벡터 사이의 각도를 계산해야 합니다. 이 단순해 보이는 작업이 내적의 본질과 이 곱의 결과로 나타나는 가치를 명확히 파악하지 못하면 많은 어려움을 겪을 수 있습니다.

지침

벡터 선형 공간에서 벡터 사이의 각도 - 최소 각도벡터가 공동으로 향하는 at. 벡터 중 하나가 시작점 주위에 그려집니다. 정의에서 각도 값이 180도를 초과할 수 없다는 것이 분명해졌습니다(단계 참조).

이 경우 선형 공간에서 벡터의 평행 전송을 수행할 때 벡터 사이의 각도가 변경되지 않는다고 가정하는 것이 맞습니다. 따라서 각도의 해석적 계산에서 벡터의 공간적 방향은 중요하지 않습니다.

내적의 결과는 숫자이고 그렇지 않으면 스칼라입니다. 추가 계산에서 오류를 피하기 위해 기억하십시오(이 사실을 아는 것이 중요합니다). 평면 또는 벡터 공간에 있는 내적의 공식은 다음과 같은 형식을 갖습니다(단계에 대한 그림 참조).

벡터가 공간에 있으면 같은 방식으로 계산합니다. 유일한 것은 배당금에 용어가 나타나는 것입니다. 이것은 신청자에 대한 용어입니다. 벡터의 세 번째 구성 요소입니다. 따라서 벡터의 계수를 계산할 때 z 성분도 고려해야 하며 공간에 위치한 벡터의 경우 마지막 표현식은 다음과 같이 변환됩니다(그림 6에서 단계 참조).

벡터는 주어진 방향을 가진 선분입니다. 벡터 사이의 각도는 물리적 의미, 예를 들어 축에 대한 벡터 투영의 길이를 찾을 때.

지침

내적 계산을 사용하는 두 개의 0이 아닌 벡터 사이의 각도입니다. 정의에 따르면 곱은 길이와 그 사이의 각도의 곱과 같습니다. 반면에 좌표(x1, y1)가 있는 두 벡터 a와 좌표(x2, y2)가 있는 b에 대한 내적은 ab = x1x2 + y1y2로 계산됩니다. 이 두 가지 방법 중 내적은 쉽게 벡터 사이의 각도입니다.

벡터의 길이 또는 계수를 찾습니다. 벡터와 b의 경우: | | = (x1² + y1²) ^ 1/2, | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

ab = x1x2 + y1y2의 쌍으로 좌표를 곱하여 벡터의 내적을 찾습니다. 내적의 정의에서 ab = | a | * | b | * cos α, 여기서 α는 벡터 사이의 각도입니다. 그런 다음 x1x2 + y1y2 = | a | * | b | * cos α를 얻습니다. 그러면 cos α = (x1x2 + y1y2) / (| a | * | b |) = (x1x2 + y1y2) / ((x1² + y1²) (x2² + y2²)) ^ 1/2입니다.

Bradis 테이블을 사용하여 각도 α를 구합니다.

기본 용어

솔루션 공식

예

n차원 공간에서 각도 계산

0도와 180도의 차이

특정 벡터

벡터의 내적

벡터의 내적 결정.내적 속성. 일반적인 작업

내적 개념

벡터와 내적 값 사이의 각도

내적 속성

벡터의 내적, 직교 기준의 좌표로 제공

좌표로 주어지는 벡터 사이의 각도 코사인 공식

벡터 대 벡터 투영. 좌표축에 대한 벡터의 투영입니다.벡터의 방향 코사인

두 벡터 사이의 각도입니다.

벡터 사이의 각도는 어떻게 계산합니까?

기본 용어

솔루션 공식

예

n차원 공간에서 각도 계산

0도와 180도의 차이

특정 벡터

벡터 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까?

벡터 좌표로 벡터 사이의 사인 각도를 계산하는 방법

벡터의 내적 결정.
내적 속성. 일반적인 작업

벡터의 내적,
직교 기준의 좌표로 제공

벡터 대 벡터 투영. 좌표축에 대한 벡터의 투영입니다.
벡터의 방향 코사인